（基础数学专业论文）关于一些fsmarandache简单函数的均值估计.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 解析数论是数论中以解析方法作为研究工具的一个分支，对一些数论函数性 质的研究在数论的研究中占有很重要的地位，许多著名的数论难题都与之密切相 关因而研究它们的性质具有很大意义 1 9 9 3 年，罗马尼亚著名的数论专家f s m a r a n d a c h e 教授在他所著的o n l v p r ( 南l e m s ，n o ts o l u t i o n s 一书中提出了1 0 5 个尚未解决的问题，其中许多问题与 数论有关 本文基于对f s m a r a i l d a c h e 函数的兴趣，应用初等数论，解析数论等知识对 一些特殊函数的性质进行了研究，并利用常用函数构建了几个复合函数，具体来 说，本文的主要成果包括以下儿个方面： 1 研究了包含f s m a r a n d a c h e 简单函数的d i r i c h l e t 函数的性质，并利用初等 方法获得了函数d ( p ( n ) ) 的渐近公式 2 通过研究f s m a r a n d a c h e 简单函数的性质对函数d ( p ( n ) ) 的情况进行了推 广，即对( p ) ) 进行了研究，并运用数论知识的技巧研究了它的均值 3 关于数论函数s l ( n ) 与( n ) ，本文运用解析的方法研究了它的均值性质， 并得到了几个有趣的渐近公式， 4 通过研究s m a r a n d a c h e 函数的性质以及对f s m a r a n d a c h el c m 函数知识 的了解，构建了复合函数s l ( z ( 扎) ) 本论文利用素数定理及a b d 等式对函数的混 合均值进行了研究，并给出了其渐近公式 关键词：f s m a r a n d a c h e 函数；数论函数；均值：渐近公式：除数函数 m e a nv m u eo ns o m ef s m a r a n d a c h es i m p l ef u n c 七i o n s a b s t r a c t ( 英文摘要) a n a l v t i cn u m b e rt h e o 眄i sac o m p o n e n to fn u m b e rt h e o r y li t ss t u d y i n gi r n p l e m e n ti sa n a l y t i cm e t h o d m e a n 、氇1 u ep r o b l e n l so fs o m ea r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s p l a y 且ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d y o fa n a l y t i cn u m b e rt h e o ma n dt h e yr e l a t e dt o m a m rf a i n o u sa r i t h m e t i c a ld r o b l e m s t h e r e f b r e ，t os t u 【l yt h e i rp r o p e r t i e si sv e r y s i g n m c a t e p r o f e s s o rf s m a r 孤d a c h ei saf 幻m a 面a nf a m o u sn u m b e rt h e o r e t i ce x p e r t i n 1 9 9 3 p m f e s s o rf s m a r a n d a c h ep r e s e n t e d1 0 5u i l s o l v e dp r o b l e m si n “0 n l yp r o b 1 e m s n o ts 0 1 u t i o n s ”，m o s to ft h e m 盯er e l a t e ( 1t om l m b e rt h e o r y i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，o nt h eb a s i so fm yi n t e r e s t i n gi nt h ef s m a r a n d a c h e f u n c t i o n ，w eu s e dt h ee l e m e n t a r ym e t h o d sa n da n a l y t i cm e t h o d 8t os t u ( 1 yt h e p r o p e r t i e so fs o m es p e c i a lf u n c t i o n s ，a n ds e tu ps o m en e w f u n c t i o n sb yu s i n gt h e f a n l i l i 甜f u n c t i o l l s i nd e t a i l s ，t h em a i na c h i e v e l e n t sc o n t 缸i l c di nt h i sd i s s e r t a t i o n a r ea sf b l l o w s ： 1 s t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so ft h ef u n e t i o np ( n ) ，a n dg e t t i n gt h ea s y n l p t o t i c f o r u l ao fd ( p ( n ) ) b yu s i n gt h ee k m e n t a r ym e t h o d 2 b ys t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so fs m a r a n d a c l l es i m p l ef u n c t i o n ，w es t u d n g t h em e a nv a l u eo f ( p ( n ) ) w h i c hi st h eg e n e r a l i z a t i 叨o ft h ef 【l n c t i o no fd ( p ( n ) ) 3 b vu s i 醒t h ea 1 1 a l y t i cm e t h o dw es t u d yt h ef u n c t i o ns l ( 凡) a n d ( n ) ， t 1 1 e no b t a i e ds o m ei n t e r e s t i n ga s y m p t o t i c 土o r n l u l a e 4 b vs t u d v i n gt h ep r o p e r t i e so fs m a r a n d a c h e8 i m p l ef u n c t i o na n df s 1 1 1 a r a n d a c h el c mf u n c t i o n ，u s i n gt h ep r i m en u m b e rt h e o r e ma n da b e li d e n t i t yt o s t u d yt h em e a n 、r a l u eo fs l ( z ( 礼) ) ，a n do b t a i n c ds o n l ei l l t e r e s t i i l ga s y n l p t o t i c f o r i n u 】a e k e y 、o r d s ：f s n l a r a n d a c h df i l n c t i o n ；n u 1 b e rt h r yf l m c t i o n ；m e 衄v a l u e a s y m p t o t i cf o 珊u l a i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：玉l 耸一 指导教师签名：弦么伞鸟 劲仃g 年上月弓。日：。口莎年多月夕口日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：1 等 加缉r 月jo 日 西北大学硕士学位论文 1 1 数论的简介 第一章绪论 一个学科分支的起源总是从对一些人们所关切的，感兴趣的重要问题的研究 开始的：当形成了特有的研究方法，以及较为系统的基本理论和成果时，一门新 学科也就随之诞生了 从日常生活以至尖端科学技术都与1 ，2 ，3 ，这些简单的正整数是分不开 的其他的数字，如负数、有理数等等，则都是以正整数为基础定义出来的所 以研究正整数的规律非常重要! 在数学中研究整数的性质的数学，叫做“数论” 数论与几何学一样是最古老的数学分支 虽然现在属于数论范围的许多著名问题在很早以前就开始研究，并得到了 丰硕的研究成果，但数论作为一门独立的数学分支出现却是迟至十九世纪初高 斯( c f g a u s s ) 在1 8 0 1 年发表的天才著作算术研究被人们公认为是数论作为 一| 、_ j 独立学科诞生的标志天才著作中开创的同余理论是初等数论中最基本最特 有的研究方法，数论是最占老的数学分支，又是始终活跃着的前沿数学领域 1 - 2 数论的分支 学科的划分有的侧重于研究对象，有的侧重于研究方法数论可按研究方法 不同而分成1 i 同的理论分支 ( 1 ) 初等数论 初等数论是作为一门纯粹数学发展起来的，但近年来，初等数论在计算机科 学、组合数学、代数编码、密码学计算方法等领域内得到广泛的应用 初等数论是数论中以算术方法为主要研究方法的一个分支，是研究整数规律 和性质的，整除理论是初等数论的基础，它是在带余除法的基础上建立的，整除理 论的中心内容是算术基本定理和最大公约数理论，同余理论是初等数论的核心， 它是数论所特有的思想、概念与方法，求解不定方程是推进数论发展的最主要课 题 f 2 1 解析数论 数论中采用分析方法研究整数的性质的理论分支叫做解析数论，通常 把g f b r i e m a n n 于】8 5 9 年发表的著名论文论不大于一个给定值的素数的个 数( u b e rd i ea n z a h ld e rp r i m z a h l e nu n t e re i n e rg e g e b e n e ng r o s s ) 看作是数论 的一个分支丌始形成的主要标志在数论研究中采用分析方法起源于欧拉的年 代欧拉用分析的方法证明了欧拉恒等式： ( 1 p n = 一一 p 第一章绪论 这个恒等式被认为是算术基本定理的解析等价形式1 8 5 9 年，黎曼定义复变 函数( ( s ) = 、礼一，即欧拉恒等式右边的级数，不过把s 看作复变数，他认为研究 n = 1 素数的性质可以通过研究复变函数( ( s ) 的性质，特别是其零点的性质，这样就把 复变函数论的思想和方法应用于数论研究，开创了解析数论的新时代 解析数论本身是在和其它学科互相渗透的过程中逐步发展起来的，从历史和 近年来的发展趋势看，新的分析、代数以及几何方法必将不断被引进来继续推动 解析数论向前发展，而这些学科的方法与结果的价值也将在其推断数论问题的解 决所取得的进展中得到检验所以解析数论始终是一门具有强大生命力和光辉前 景的重要学科 f 3 ) 数的几何 数的几何又叫几何数论，是应用几何方法研究某些数论问题的一个数论分 支用几何方法研究数论问题源于拉格朗日和高斯等人以几何观点研究二次型 的算术性质的工作为了把狄利克雷和埃尔米特所建立的丢番图逼近的解析理论 进行简化，闵可夫斯基在1 9 世纪末把格和r l l 集等几何概念引入数论1 8 9 1 年，他发 表了这方面的第一篇论文，1 8 9 6 年出版了这方面的一本著作数的几何从此 数的几何成了数论的一个分支并在丢番图逼近和代数数论研究中得到广泛的应 用 f 4 1 代数数沦 代数数论是数论的一个重要分支，它以代数整数，或以代数数域为研究对象 不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究因此代数数论是整数 研究的一个自然的发展代数数论的发展也推动了代数学的发展 代数数论主要起源于对费马猜想的研究，高斯关于二次域的研究是代数数 论的另一个重要起源代数数论也是活跃的数学前沿理论一方面是对一些古典 问题得出新的结果，另一方面又不断开辟新的研究领域代数数论的一人特点是： 不仪由它可解决一系列整数规律问题，而且它的成果儿乎可以用到每。一个数学领 域中 f 5 1 超越数论 如果一个复数是某个系数不全为零的整系数多项式的根，则称此复数为代数 数，不是代数数的复数叫做超越数 刘维尔开创了对超越数的研究，他于1 8 4 4 年以构造性方法证明了超越数的存 在他采用了构造性方法实际地构造出超越数1 8 3 7 年埃尔米特证明了e 是超越 数，1 8 8 2 年林德曼证明了7 r 是超越数，从而解决了古希腊的“化圆为方问题”由 此开拓了超越数论这一领域 ( 6 ) 堆垒数论 堆垒数论又称加性数论，是关于“加性问题”的一个数论分支他研究的典 型问题是：设是全体非负整数的集合，a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 是的有限个或可 数个子集，判定对中的每一个n ，方程n = o l + 0 2 + + 是否可解或其解数 为r ( n ) 其中o f a j ( 1 j s ) 堆垒数论的历史也很古老，费马等人很早就开 2 西北大学硕士学位论文 始了对堆垒数论的研究 1 3数论的应用及其在数学中的地位 至于数论有什么用处，不容置疑，许多数学分支之所以存在，应该归于“现实 世界”提出的问题，熟知的例子有微积分，还有天体力学中需要的微分方程理论 以及流体力学中必不可少的偏微分方程等等数论除了上述两个功能外，还有更 直接的“应用”如：密码问题、近似分析中的数论方法和信号处理等 随着数学的深入发展，强力的数学工具渗透到数论的研究中去，由于数论问 题简单明了，往往会导致研究深化 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用，比如在计 算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成 果：有文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计 算离散傅立叶变换等此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差 集合、快速变换等方面得到了应用特别是现在由于计算机的发展，用离散量的 计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是 数学中的皇冠”因此数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做 “皇冠卜的明珠”，以鼓励人们去“摘取”下面简要列m 几颗“明珠”：费尔 马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一从二十世纪三十年代开始， 在解析数论、丢番图方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、 闵嗣鹤、柯召等一流的数论专家，其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论 方面的研究是享有盛名的1 9 4 9 年以后，数论的研究得到了更大的发展特别是 “筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，己取得世界领先的优秀成绩特别是 陈景润在1 9 6 6 年证明了“歌德巴赫猜想”中的“一个大偶数可以表示为一个素 数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛 赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点至今，这仍是“歌德巴 赫猜想”的最好结果 1 4 研究背景与课题意义 数论形成一门独立的学科后，随着其他数学分支的发展，研究数论的方法也 在不断的发展，现代数论已经深入到数学的许多分支，在我国，数论也是发展最早 的数学分支之一 数论函数可= r ( n ) 在许多数论问题的研究中起着非常重要的作用，( 其中礼为 自变量，在某个正整数集合中取值，因变量”的值为实数或复数) 尽管很多重要 的数论函数的单个取值往往很不规则，然而它们的均值，( 扎) 却体现出很好的 n s o 规律性，冈而数论中对数论函数性质的研究经常是在均值意义下进行的【1 卜 3 第一章绪论 数论函数的均值估计是数论研究的重要课题之一，也是研究各种数论问题不 可缺少的工具，许多著名的数论难题部与这些均值密切相关因而在这领域 取得任何实质性进展或成果对数论的发展来说都具有重大意义 在o n l yp r o b l 哪s ，n o ts o l u t i o n s 一书中，罗马尼亚著名数论专 家s m a r a n d a c h e 教授【5 】提出了1 0 5 个尚未解决的数论问题，其中的许多问题具 有一定的研究价值，对这些问题进行研究并给以一定程度上的解决，是有趣并有 一定理论意义的 基于对s m a r a n d a c h e 问题的兴趣，我们应用初等数论、解析数论等知识，对 数论中一些著名函数与f s m a r a i l d a c h e 函数之间的联系以及它们的混合均值和 渐近公式 1 5主要成果和内容组织 s m a r a n ( 1 a c h e 函数、除数函数和e u l e r 函数以及些特殊的函数和数列在数 论研究中占有很重要的地位，研究它们的均值性质和其它方面的性质也具有很大 意义，因为，许多著名的数论难题都与之密切相关 本文研究了这些算术函数的均值性质和混合均值性质，通过研究函数之间的 关系构建了儿个复合函数，并利用数论上常用的初等及解析的方法研究丫他们 的均值性质，具体说来，本文的主要成果主要包括以下几个方面内容，分别分布在 第二至四章： 1 研究了关于f s m a r a n d a c h e 简单函数p ( 扎) 的有关性质，以及s m a r a n d a c h e 函数d ( p ( n ) ) 的混合均值，得到了一个有趣的渐近公式 2 研究了函数( n ) 与f s m ”a n d a c h e 简单函数的均值问题并利用解析的 方法得到了关于靠( p m ) ) 的几个渐近公式 3 研究了s m a r a n d a c h e 函数和s l ( 礼) 和( 扎) 的性质，并利_ l f j 解析的方法研究 了( n ) s l ( n ) 的均值性质，获得了几个有趣的渐近公式 4 通过研究函数s l ( n ) 及s m a r a n d a c h e 函数z m ) 的性质，构建了复合函 数s l ( z ( n ) ) 并研究了它的均值性质 4 西北大学硕士学位论文 第二章包含f s m a r a n d a c h e 简单函数 的d i r i c h l e t 除数函数的均值 2 1与f s m a r a n d a c h e 简单函数相关的知识 2 1 1引言 对任意的正整数n ，著名的f s m a r a n d a c h e 函数s ( 扎) 定义为最小的正整数m 使 得n l m ! ，也就是s ( n ) = m j n m ：m ，n l m i ) 从定义人们容易推出如果n = 硝1 p 尹霹7 表示礼的标准分解式，那么s ( n ) 2 器麓 s ( 蹬。) ) 由s ( n ) 的定义引 发了s m a r a n d a c h e 简单函数也就是昂( n ) ，其定义为：满足p “im ! 的最小正整 数m ，即 昂( n ) = m i n m ：m ，矿i m f ) 同时，冀永强【6 】还曾研究过蜀( n ) 与( n ) 构造的方程基于s m ) 与昂( n ) 的定 义及其性质，j o z s e fs a n d o r 【7 】定义s m a r a n d a c h e 简单函数的可加类似如下： p ( z ) = m i n m ：矿m ! ) ，z ( 1 ，。o ) ， 以及 矿( z ) = m a x 1 ：m ! 矿) ，z ( 1 ，。) ， 这里称p ( z ) 与p + ( 茁) 为p 函数当m 2 时，如果z ( ( r ，z 一1 ) ! ，m ! ，显然有p ( z ) = m ( 因为o ! = l ! ，因而对m = 1 时不定义) 关于这一问题、由于其提法不够明确，因 而未曾得到众多数论专家的重视然而这一问题的研究在数论中占有很重要的地 位，关于p ( z ) 的性质许多学者【7 _ 1 1 】已经对其进行了研究并得到如下结论： 定理2 1 ：对任意大于1 的实数z 我们可以得到下面的渐近公式 咖，= 警+ o ( 警) 为了证明这个定理我们需要如下引理 引理2 1 ：e u l e r 求和公式 设，在区间b ，z 上连续可微，其中o 9 z ，则有 r zr z 肋) = m 膨+ ( t m 他) m n z j gj + ，( 。) ( 陋1 一。) 一，( ) ( 可】y ) ，( 2 1 ) 其中嘲表示曼t 的最大整数 证明：参阅文献 1 】 5 第二童包含f s m a r a n d a c h e 简单函数的d i r i c h f e t 除数函数的均值 2 1 2定理的证明 下面我们来证明定理2 1 ，根据p ( z ) 的定义我们可以得知( m 一1 ) ! 矿sm 于是我们可以对此式两端同时取对数，即得 再由引理2 1 欧拉求和公式可得 及 “k t d t + ”( t 一嘲) ，n 7 t ，n t a t = m l n m m + 0 ( 1 n m ) f 2 2 1 f 2 3 1 争= 一1 m 出+ 一1 ”旧汕- 瑚 = m l n m 一仇+ o ( 1 n m ) ，( 2 4 ) 结合( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) 式我们很容易得到 所以 z l n p = m l n m m + o ( 1 n m ) m = 熹当+ d ( 1 ) m m l 一 同理，我们在式( 2 6 ) 两端取对数，则 1 1 1 m = l n o + o ( 1 n l n m ) 及 l n l n m = d ( 1 n l n z ) 因此，由式( 2 6 ) ，( 2 7 ) ，( 2 8 ) 式我们可得 p ( z ) z l n p l n z + o ( 1 n l n m ) 一1+ o ( 1 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 警捌n p ( 厕善) 警+ 。( 警) ， 仁。， 这就完成了定理( 2 1 ) 的证明 6 n m 湖 d 硎” 基于以上内容及上节有关p 函数的相关知识，本节主要利用初等及解析的方 法研究了p 函数与狄利克莱除数函数的复合函数的均值性质，并且得到两个有趣 的结论，也就是下面的两个定理： 定理2 2 ：设p 是一个固定的素数，对任意大于1 的实数z ，我们可以得到下 面的渐近公式 ：d p ( n ) ) = z ( 1 n z 一2 1 n l n z ) + o ( z 1 p ) 乏 定理2 3 ：设p 为一个固定的素数，那么对任意大于l 的实数z ，我们可以得到 下面的渐近式 d ( p 4 ( 几) ) = z ( 1 n z 一2 l n l n z ) + o o l n p ) n 。 2 2 1几个引理 引理2 2 ：1 n i = m l n m m + o ( 1 n m ) = l 证明：由( 2 3 ) 式很容易得到 引理2 3 ：对所有实数z2l ，我们有 d ( n ) = z l n z + ( 2 c 一1 ) z + o ( 施) o 这里c 是欧拉常数 证明：参阅文献f 1 引理2 4 ：对任意大于2 的实数z ，我们有 + 。( 警) 7 h 一； 。l 第二章包含f 5 m a r a n d a c h e 简单函数的d m c h i e t 除数函数的均值 这里a 是常数 证明：有初等函数的定义我们很容易看出半在区间f 1 ，z 1 上是连续可微的 z 。 所以可以利用引理( 2 1 ) 得： 薹竽= 。半出+ 。c t 却，( 半) 7 出+ 竽c z 一一。 = 扛+ 。( 警) + 。c ，半出 = + a + 。e 警) 这就完成了引理( 2 4 ) 的证明 2 2 2 定理的证明 下面我们将对上面定理( 2 2 ) 进行证明事实上由p ( z ) 和d m ) 的定义我们很容 易就可以得到 d ( p ( n ) ) n ( z 因为当几( 掣，等等 时，p ( 礼) = m 并且有礼sz ，那么区间( 掣，等 中 最大的数也小丁等 二。也就是等群z ，那么我们就得到了1 n m ! l n p 由引 理( 2 2 ) 和欧拉求和公式可得l n ”l ! 的主项m l nm 并且可以得到m l n m z l n p 如 果m 鲁蹇，那么1 n ，n 就渐近于l n z ，我们得到m 茎气警从以上的讨论我们可以 得到 d ( n ) ) = d ( m ) “立 “5 。堕等 n 哥 = 。毫嘲忡，叫 = 等酬+ 。( “n p ) m s 彳詈芋 2 南1 删时d ( 州n p ) 2 南1 n “1 + 1 吲 u ( 裂业n 碧业 一。三叫箍卜帅， 8 d 竺印 一 号 疃 西北大学硕士学位论文 = 急( 扣州n ，n 川n n 妒+ o ( 幽p ) ) = z ( 1 n z 一2 l n l n z ) + o ( z l n p ) 这就证明了定理( 2 2 ) ，应用同样的方法可以证明定理( 2 3 ) 9 第三章包含f s m a r a n d a c h e 简单函数的除数函数靠( n ) 第三章包含f s m a r a n d a c h e 简单函数的除数函 数( 礼) 3 1引言 由第二章我们知道p 函数的定义为 p ( z ) = m i n m ：矿m ! ) ，z ( 1 ，o o ) 以及 矿( 。) = m a x m ：m ! 矿) ，z ( 1 ，o 。) ， 并且设n 的标准分解式为n = 硝1 癌2 p ：，除数函数o 。( n ) 定义为 ( n ) 扩 d 1 8 其意义为n 的约数的。次方幂的和由p ( z ) 函数的知识以及d ( p ( n ) ) 的渐近性，于 是我设想，如果能把作用于p ( z ) 的d i r i c h l e t 除数函数d ( n ) 推广到除数函数口。( n ) 并且能使盯。( p ( 竹) ) 产生比较有趣的渐近公式的话，那么这个研究就是比较有意义 的，于是我们根据p ( z ) 和( 凡) 的性质研究了( p ( n ) ) 的渐近件质，并给出了它的 渐近式，也就是i f 明了如下几个定理： 3 2两个定理 定理3 1 ：对于任意大于1 的实数z ，我们有 b ( 扎) ) = n z 这里( ( s ) 是黎曼z e t o 函数 定理3 2 ：对于任意大于1 的实数z 我们有 a 。o + ( 他) ) n 1 i fq = 1 i f0 a 1 i fn = 1 i f0 a 0 ，n 1 有 盯。( n ) = 鱼群z 。+ 1 + o ( 岱9 ) ， n z 这里卢= m a x 1 ，q ) 证明：参阅文献 1 】 引理3 3 ：a b e l 等式 对任一数论函数o ( n ) ，令a ( z ) = ( 礼) ，其中，当z 1 时，a ( z ) = o ，假设， n 茎。 在区间队z 】有连续导数其中o 9 z 则有 ，蒹。俐叫w 叫讹) - z 2 删俅膨 ( 3 1 ) n t o 证明：令m = m ，七= 旧，于是a ( z ) = a ( ) ，则有 o ( n ) ，( n ) 分 n o 七 = n ( 礼) ，( 札) n = r n + 1 = ( a ( n ) 一m 一1 ) ) ，( n ) n = t n + l k一1 = a ( ，z ) ，( n ) 一a ( n ) ，( n + 1 ) n = l + l n = m 七一l = a ( n ) ( ，( 凡) 一，( 几一1 ) ) + a ( 七) ，( 七) 一a ( m ) ，( m + 1 ) n = l + l 七一l r n + l = 一 a ( t ) ，( t ) 出+ a ( ) ，( ) 一a ( m ) ，( m + 1 ) n = m + l 。n k 一1 ，n + l = 一 a ( t ) ，7 ( t ) 出+ a ( 七) ，( ) 一a ( m ) ，( 仇+ 1 ) n = ”i + l j n 1 1 第三章包含fs m a r a n d a c h e 简单函数的除数函数( n ) 证毕 ，月，z = 一a ( t ) ，o ) 出+ a 扛) ，( z ) 一a ( f ) o ) d j ，n + lj 七 + a ( ) ，( ) 一a 0 ) ，7 ( t ) 出 j 寸 = a ( 茁) ，( z ) 一a ( f ) 厂( y ) 一a o ) ，( t ) 出 3 2 2 定理的证明 现在我们利用这几个引理来证明前面所述的定理，当a = 1 时，我们根 据p ( 凡) 和盯l ) 的定义可知： 盯- ( p ( 讥) ) n o 因为当礼( 掣，等等】时，p ( 他) = m ，并且nsz ，那么区间( 掣，等】中最 大的数也小于等于z ，也就是说帮z ，于是我们得到1 1 1 m ! z l n n 然后利用欧 拉求和公式，就能得到l n m ! 的主项仇l n m ，由于l n m ! 茎z l n p 那么它的主项m l n m 也就小于等于茁l n p 当m 兰时l z m 渐近于l n z ，我们就得到了m 号等由 引理3 1 和引理3 3a b e l 等式得 一( p ( 礼) ) n z ：ff 二，一 = ，州仇，寄+ 。( 警) = 志州州n m + 。( 警) 毛字 1 时 盯。( p ( n ) ) n o ( m ) “9 鼍；掣c n 茎警 一点一。+ 。( 蔫) 毛 c m 等 、7 由引理3 2 我们知道 乏嘶) = 斜1 + o ( 卅 扫( 咒) ) = ( t 引 ”9 1 1 专型 醇z ，i = 1 ，2 ，r 的正整数 此外，文献2 0 1 还研究了s 三( 礼) 的均值问题，证明了如下的渐近公式： 定理4 1 ：对任意给定的正整数七及任意大于2 的实数z ，我们有： 跚哟：笔熹 o 蔫 。：l 兰 第四童关于f s m a r a n d a c h el c m 函数与除数函数( n ) 的混合均值 q ( i = 2 ，3 ，- ，) 为可计算的常数 定理4 2 ：设七2 为给定的整数，则对任意大于实数7 我们有 d ( n ) s ( n ) 磊- 盖+ 妻麓+ 。( 熹) 其中d ( n ) 为d 打z c 州以除数函数，也就是所有正因数的个数d ( n ) = 1 ，c ( i 硎“ 2 ，3 ，七) 均为可计算的常数 为了证明以上两个定理我们需要这样一个引理 4 1 2 引理 引理4 1 ：素数定理 巾，= 砉最+ p ( 斋) 其中矗0 = 2 ，- ，) 为常数且c l = 1 证明：参考文献 1 4 1 3定理的证明 下面我们证明定理( 4 1 ) 事实上，对于任意大于1 的正整数n ，设礼 硝1 劣2 霹为他的标准分解式，则山性质( 1 ) 我们可知 现在来考虑和式 s l ( n ) = m a x 硝1 ，癌2 ，霹) ( 4 4 ) s l ( n ) = s l ( n ) + s 上( n ) ( 4 5 ) n zn an b 这里我们把区间 1 ，z 】内的整数分成两个集合a 和b ，集合a 表示所有的正整 数n 【1 ，z 】并且满足这样的条件：存在一个素数p 使得pn ，并且历 p ，集 合b 表示区问 1 ，z l 内的所有正整数礼譬a ，从a 的定义和( 4 5 ) 式可得 乩( n ) =s l ( 凡) = s l ( 叩) n j 4n 兰zp n o p h 元 p n p = p = p ( 4 6 ) m 茎z n i n p 三 n n 1 6 西北大学硕士学位论文 利用引理3 3a b e l 等式和素数定理可得 。篆i p 2 ) 一一知胁 = 羔+ 娄裟+ 。( 纛) ，他， 其中蚋可计算的减同时注意到薹刍= 警且薹警对于所枷 2 ，3 ，4 ，是收敛的于是我们有 驴= ，乏( 熹+ 妻裟+ 。( 熹) )n an l p + 矿 礼z2 o l n z 芦茎o n 矿s o p l n ，p ! 瓶 p + 矿 n 兰2 p 曼m i n ( n ，嚣 2 o 兰1 “。”s 。p t 兰) 告 i 2 兰+ ：竺1 n z 五+ 面1 “。 z i 结合( 45 ) ，( 4 8 ) ，( 4 9 ) 式可以推出 驴垆笔未+ 妻爰+ 。( 熹) ( 4 9 ) 这里q ( i = 2 ，3 ，七) 为可计算的常数这就证明了定理( 4 1 ) l 司时我们还可以从 定理( 4 1 ) 推出下面一个结论， 1 7 篓四童苤王! ：兰竺型! ! ! ! ! ! ! ! 三塑鱼壑量堕塑鱼塑! ! ( ：生笪婆鱼塑笪 推论4 1 ：对任意大于l 的实数z 我们有 薹跚礼，= 笔盖+ 。( 盖) ， 下面我们给出定理( 4 2 ) 的证明事实上在和式 s l ( n ) d ( n ) ( 4 1 0 ) 【f ，我们利用定理( 4 1 ) 的证明巾所用的方法将所有1 n z 分成两个集合a 和b 于是利用性质1 我们有 s 三( 扎) d ( n ) =s l ( 礼) d ( 礼) = s l ( 印) d ( 叩) n n 。叩s 。 卅，诉 p “印 = 印d ( n ) = 2 d ( n ) p ( 4 ，1 1 ) ”p zn 墨z n p 吾 n 口 设”( z ) = 1 于是利用引理( 3 ，3 ) 及素数定理我们得到下面的表达 p s o 式( 4 1 2 ) ： 。篆：p = 纛+ 妻裟+ 。( 熹) 一孙霎去= 菩和耋警 s 己( n ) d ( n ) n 4 磊，结合( 4 1 1 ) 和( 4 1 2 ) 式可得 = 磊鑫+ 妻篙+ 。( 熹) ， 埘 其中玩为可计算的常数 现在我们来讨论集合b 的情况，由( 4 1 ) 式及集合b 的定义知，对任意的n 口 当n 的标准分解式为n = 井1 砖2 霹幔f ，我们有两种情况s 工( n ) = 肼、，佤或者 这里啦2 s l ( n ) 2 船 疗。) = 疗 1 8 兰 一n ，一 dn 一 堕 z 一2 堡札 。御 嘶 + 盟护 昕 2 一zo h 西北大学硕士学位论文 于是，由此分析我们得到 s l ( 几) d ( n ) n b d ( n ) 俪+ ( a + 1 ) - d ( n ) - 矿 印zf 巾o ! z ，n 2 2 d ( 礼) 领1 n n sz ；1 n 2 z ( 4 1 4 ) n z 其中我们用到渐近公式 d ( 订) = z l n z + o ( z ) n o 由集合a 和b 的定义并结合( 4 1 1 ) ，( 4 1 3 ) ，( 4 1 4 ) 式可以得到 s l ( ) d ( 扎) = s l ( 礼) d ( n ) + s l ( n ) d ( n ) ” $n n b 这就完成了定理( 4 2 ) 的证明 = 磊- 篙+ 妻麓+ 。( 熹) 埘 4 2 关于f s m a r a n d a c h el c m 函数与除数函数盯。( 仃) 的 混合均值 基于上节关于f s m a r a n d a c h el c m 函数与除数函数盯。( n ) 的知识，为了更好 的研究他们，本节对上节的s l ( n ) d m ) 的情况作了如下推广： 定理4 3 ：设七2 为给定的正整数，则对任意实数z 2 ，我们有渐近式 盯。( 礼) n o 当z * o 。时，右边的最后一个和一o ，所以当z o 。时，有p ( z ) 一，) 当级数n 。绝对收敛时，无限乘积兀( 1 + n n ) 也绝对收敛，所以有 o 。 l m ) + ，( 矿) + f ( 1 ，( p ) l + ，( 硎+ l ，扩) 1 + ) l ，( 礼) p zp 三z n = 2 由于所有部分和都是有界的，所以级数 i m ) + ，( p 2 ) + p 收敛这就证明了 绝对收敛 o o ，( n ) = 1 + ，( p ) + ，2 ) + n = l p 西北大学硕士学位论文 最后，当，是完全积性函数时，有，( 矿) = ，( p ) 并且引理4 2 中右边的每一个 级数部是收敛的几何级数，其和为( 1 一，( p ) ) 引理4 3 ： ( 叩)( 1 + 矿) ( n ) n z = ( 1 + 矿) ( n ) ( 4 1 6 ) n 元的正整数n ；而集合v 包含区间1 1 ，z 】中不属于集合u 的那些正整 数于是利用性质( 4 4 ) 式我们有 ( 他) s l ( n ) = 盯。( n ) s l ( 礼) + ( n ) - s l ( n ) ( 4 1 8 ) n zn un y 现在我们讨论集合u 的情况如下 盯。( n ) s