（基础数学专业论文）一个二元丢番图方程.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如 没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名： 韩拖艳新擀锄 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权堂撞可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文 在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 轴狍拖 签字日期：2 0 0 7 年午月l 妒 导师签字： 锨亍 签字日期：2 。7 年细妇 山东师范大学硕士学位论文 一个二元丢番图方程 韩艳艳 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文第一部分研究了一个二元素变数丢番图方程 丢番图方程问题是数论中的经典问题之一，其研究具有重要的理论 意义 l p o r t a 2 1 证明了当l c 1 7 1 6 ，n 是一个充分大的正整数时，几乎 所有的n ( 2 】都能表示成n = 由c + 扫割，其中p 1 ，他1 肛且p - ，p 2 均 为素数，【x 表示x 的整数部分同时还得到了这些n 的表法个数的渐进 公式 本文改进了l p o r t a 2 1 】的结果l c 1 7 1 6 ，证明了当l c 8 7 ，且n 是一个充分大的正整数时，几乎所有的n ( ，2 j 都能表示成”= 臃j + 趁 ， 其中p - ，p z j v l 。且p 1 ，p z 均为素数，【x 表示x 的整数部分 设 兄( n ) = l o g p l l o g 孙 t b 目+ 吲 其中竹( ，2 】，n 是一个充分大的正整数，n ，耽1 c 且p 。，p 2 均为素 数， x j 表示x 的整数部分l p o r t a ( 2 l j 主要利用了l p o r t a 和t o i e v f l o l 中 的三角和估计 器瑟l p 警l 0 9 5 只 其中c 是满足1 c 1 7 1 6 的固定正常数，p = 1 肛：q 2 = ( _ ，1 一u ) ，v = p 1 一c q ，” 0 0 0 1 山东师范大学硕士学位论文 本文仿照翟文广【2 0 1 中的指数和估计方法，得到了 溉l p 等一”e ， 其中c 是满足1 7 1 6 sc 8 7 的固定正常数，p = “，q 2 = ( u 1 一“) ，w = 尸1 一m ，町 ( 8 7 一c ) 1 0 - 曰= e 印( 一a ( 1 0 9 | ) 1 3 5 ) ，e 是充分小的正数 本文得到了两个主要结果： ( 1 ) 设1 c o ，是任意满足o i 3 的常数，我们有 。涮肿蔫掣舻叩庐1 计卸训肛q ( 2 ) 设1 c o 声是任意满足o 5 l 3 的常数，则对所有 的扎( ，2 】，除去o ( e 卯( 一b ( 1 0 9 ) 1 3 一e ) ) 个例外情况，方程n = 瞬】+ 眵鲫 是可解的，其中p 1 ，? ，2 1 肛我们有 r ( ) = ! ! 蕞i 芫产2 肛- l + o ( 2 扛- i e 研，( 一i ( 1 。g ) 1 卢1 ) ) 论文第二部分考虑一个二元无平方因子数的丢番图方程问题 d e 8 h o u i l l e r s 【1 证明了当1 c 4 3 时，每一个充分大的整数可表 示为= 旷】+ m 。】，其中n ，m 为整数后来，g r i t 8 e n k o 【2 和k o n y a g i n f 3 改 进了这一结果，特别的，k o n y a g i n 证明了当l c 3 2 时，对每一个充 分大的整数n ，= 垆】+ m 。 是可解的 本文研究当n ，m 为无平方因子数时= 州+ 】的可解问题 本文证明的主要结论： 令 兄( ) =i p 如) p ( m ) i ， = i n c 则有渐进公式 剐) = 蒜肿。+ 。( ；+ i o 矿) 在l c 6 5 时成立，其中= 1 c 一5 6 2 山东师范大学硕士学位论文 关键词：素数丢番图方程指数和无平方因子数 分类号：0 1 5 6 4 3 山东师范大学硕士学位论文 o nab i n a r ya d d i t i v ee q u a t i o n y a n y a n h a n s c h o o io fm a t h e m a t i c ss c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a iu n i v e r s 时j i n a n ，s h a n d o n g ， 2 5 0 0 1 4 p r c h i n a a b s t r a c t ab i n a r ya d d i t i v ee q u a t i o nw i t hp r i m en u m b e r 8i 88 t u d i e di n 七h ef l r s tp 卵to f t h i sp a p e r t h ep r o b l e mo fad i o p h a n t i n ee q u a t i o ni so n eo ft h em o s t 如1 p o r t a n tc l a s s i c a l p r o b k m s i t ss t u d yh a sp r e t t yg o o ds i g n m c a n c ei i lt h e o p 弘 l e t1 c 1 7 1 6 ，a n dn i sas u m c i c i l t l yl 盯g ci l l t c g c r l p o r t a 【2 1 】p r o v 叫t h a t ， 出m o s ta 1 1 ( | ，2 】c a nb er e p r e s e n t e da s = p c 】+ i 绣 ，w h e r e 肌，p 2s 1 ，。 a r ep r i m en u m b e r sa n d 【x 】d e n o t e 8t h ei n t e g e rp 村to fx h i 8m e t h o da l s o 撕e l d 8a n a s y m p t o t i cf o r m u l af o rt h en u m b e ro fr e p r e s e n t a t i o 璐o ft h e 8 en i nt h i 8p a p e rw ei m p r o v et h er a _ i l g eo fci nl p o r t a l 2 l 】l e tl c 8 7 ， a 1 1 ( 1n 碡as 1 1 馈“( ：i i t l yl a r g ( ! i i l t c g e rw bp r a v et h a t ，a l n l o s ta un ( ，2 c a nb e r e p r e s e n t d ea s 礼= 归c + 陋射，w h e r e p l ，p 2 1 ca r e p r i m en u m b e r sa n d x 】d e n o t e s t h ei n t e g e rp a r to fx l e t r ( n ) = l o g p l l o g 鼢 肼】+ 屿】 w h e r e 扎( ，2 l ，ni sas u 伍e i e r i t l yl a r g ei n t e g e r 以，以1 ca r ep 痂n en u m b e r s 跗l d 【x 】d e n o e e st h ei n t e g e rp a r to fx l p o r t a 2 1 m a d ef i l l lu s eo ft h ee s t i m a t eo fa n e x p o n e r l t i 啦8 啪i nl p o r t aa n d7 r b l e v 【1 0 】 器簦f s ( 茚f p 等! i 。矿尸， w h e r eci saf i x e dr e a li m l b e rs a t i s f y i n g1 c 1 7 1 6 ，p = 1 c ，q 2 = ( u ，1 一 u ) 一= 尸1 一c - 叶，卵 00 0 1 4 山东师范大学硕士学位论文 i nt h i sp a p e rw ei m i t a t et h em e t h o do ft h ee s t i m a t e a e x p o n e n t i a ls u mi n w 色n g u a gz h a i 【2 0 1 ，t h e n 骶o b t a i n 麓俐l p 擎一”e ， w h e r efi f ；a 丘x e dr e a ln u m b e r8 a t i s f y i n g1 7 1 6 c 8 7 ，j p = ，v 1 c ，q 2 = ，1 一 u ) ，u = p 1 一。一1 ，叶 ( 8 7 一c ) 1 0 3 e = 印p ( 一a ( 1 0 9 ) 1 3 6 ) ，5i sa na r b i t r a l 了 s m a up o s i t i v en 啪b e r i nt h i sp a p e rw eh a v et w om a i nr 鼯u l t 8 ： ( 1 ) l e t1 c oa n do 1 3b e 盯b i t r a r yc o 璐t a n t s t h e n 。驯驯一号葛笋舻j 2 庐1 计卸o g ) 1 伊) ( 2 ) l e tl c oa n d0 e 1 3b ea r b i t r a r ) rc o n s t a n t 8 t h e n f o ra l j n ( ，2 b u t ( ) ( 8 郇i ( 一口( 1 0 9 ) 1 ，3 6 ) ) 既c e p t i o l l s ，t h ee q u a t i o n 什= 囟c + 臃】i 88 0 l v a b l ew i t hp r i m 留p 1 ，砌1 ca n d e h a v e r ( ) = ! 兰詈i 专考堕2 c - 1 + 。( 2 ，c 1 e 蝉( 一以( 1 。g _ ) v 3 。) ) a b i n a r ya d 噩t i v ee q u a t i o nw i t hs q u 瓣f r e e u m b e r si s8 t u d i e di nt h es e c o n d p a r t l e t1 c 4 3 ，a n dni sa8 u 伍c i e n t l yl 射g ei 1 1 t e g e rd e s l l o u i l l e r s 2 2 】p r o v e d t h a t ，nc a nb er 印r 档e n t e da s = f 站c 】+ m 。】，w h e r en ，ma r ei n t e g e r ss u b 8 e q u e n t 耽 t h er a n g ef o rcj n 亡h i sr e s u l tw a s 嘣e n d e db yg r i t s e n k o f 2 3 j 和k o n y 孵n f 2 4 】i n p a r t i c u l a r ，t h el a t t e ra u t h o r8 h o w e i dt h a t = 【n 。】+ m 。 h a ss o l u t i o n si i li n t e g e r s n ，m f o r l c 3 28 n d s l 王伍c i e t l y l 船g e i n 妇i sp a p e rw e8 t u d yt k8 0 l u t i o np r o b l 锄o f = h c + 【m 。 f o rn ，ma r e 8 q u ”e - f r e en u m b e r 8 w 毫o b t a i n 划 1 em a i nr e s u l t ： l e t r ( ) = 协) 肛( m ) h _ = 【n 1 + m 。】 山东师范大学硕士学位论文 t h e nw eh a ea s y m p t o t i cf o r m l l l a 兄c ，= 骗2 ，c q + 。( ；+ 6 b s 3 ) w h e r el e 6 5 ，= 1 c 一5 6 k e yw b r d s ：p r i m en u m b e r ；d i o p h a n t i n ee q u a t i o n ；e x p o n e n t i a l8 u m 8 q u a r e - f r e en u m b e r c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 6 4 6 山东师范大学硕士学位论文 ，y = 1 c 町 5 p ( 佗) 以( n ) ：= 。l d ( 1 _ 2 ；n ) ：= 一，嵋1 珏) 【“】 i | e ( z ) a ( n ) 妒( u ) ，( z ) = 0 ( g ( z ) ) n n a b 符号说明 l c o ，s t ，l ，( z ) j c 9 ( z ) n 0 ，s f ，a c b 7 山东师范大学硕士学位论文 第一章一个二元素变数丢番图方程 1 1引言及主要结果 1 7 7 0 年， e w a r i n g 在他的m e d i t a t i o n e 8a 1 9 e b r a i c a e 一书中，首先提出 了这样的问题：每个自然数n 一定至多是四个平方数之和；九个立方数 之和；十九个四次方数之和，等等他并没有给出这些结果的证明，但这 表明他相信：对任给正整数2 ，一定存在m = m ( ) 使得不定方程 z ：+ m ；+ + 兹= ，巧o ，j = 1 ，一，m ， 对每个自然数n 必有解这就是著名的w a r i n g 问题 后来有很多著名数学家h i l b e r t ，华罗庚，l a g r a i l g e 等研究w a r i n g 问 题，并做出了很大的成就 1 9 3 3 年，b i ，s e g “( 1 6 m7 | ) 研究了丢番图不等式 l z i + z ；+ - + 。；一i l 不是整数s e 商证明了存在粕( c ) ，使当南( c ) 时，上述不等 式和方程对充分大的可解d 船h 0 1 1 i 1 1 e r 8 4 】a l l da r l 【i l i p o va n dz h i t k o v 【1 】 等对b i s e g a l 的结果作了改进 1 9 5 2 年， p i a t e t s 虹- s h a p i r o 【1 4 将( 1 1 1 ) 中的z l ，。k 用素数代替， 作了进一步的研究令日( c ) 表示使此素变数不等式可解的最小的e ，则 p i a t e t 8 k i - s h a p i r 0 证明了 1 i m 日( c ) c l o g c 4 8 山东师范大学硕士学位论文 以及当1 c 3 2 时，日( c ) 5 d i t 0 1 e v 1 8 】证明了当1 c 1 5 1 4 ， 有h ( c ) 3 蔡迎春【3 】将t 0 l e v 的结果进一步改进为l c 1 3 1 2 及 1 e l l 1 0 。a k u m c h e va n dt d e v a 【9 也独立地将d i i t 0 1 e v 的结果改进 为1 c 1 1 1 0 后来，k u m c h e v l 8 】进一步改进为1 c 1 是实数，是充分大的正整数这是丢番图 方程( 1 1 2 ) 的类似令 兄( j v ) = 1 0 9 p li o g 他l o g p 3 = 囟：1 + 由翻+ 扣副 l a p o r t aa n dt 0 1 e v 证明了：若1 c o 是固定的小正常数 a k 衄d l e va n dn e d e v a 【9 】证明了渐进公式 ( 1 14 ) 对1 c 1 2 1 1 成立 2 0 0 2 年，翟文广f 2 0 j 证明了渐进公式( 1 i 4 ) 对l c 2 5 8 2 3 5 成立 我们知道整数n z 能够表为两个平方和的个数为( ) ( z ( 1 0 9 z ) - 1 2 ) ，d 础0 一 u i l l e r s 2 2 】证明了当1 c 4 3 时，每一个充分大的整数n 可表示为 札= p 晴】+ 【m c 】( 1 1 5 ) 其中m i ，仇5 为整数后来，g r i t 8 e n k 0 2 3 】和k o n y a g i n 2 4 】改进了这一结果， 特别的，k o r y a g i n 证明了当1 c 3 2 时，对每一个充分大的整数n 式 ( 1 1 5 ) 是可解的 若限制m i ，m l 为素变量，则问题变得相当困难，几乎等同于二元哥德 巴赫问题1 9 9 9 年，l p o r t a 【2 l 】证明了当1 c 1 7 1 6 时，几乎所有的” 能够表示为 竹= 囟i 】+ 由割， ( 1 ，1 6 ) 9 山东师范大学硕士学位论文 其中m ，p 2 为素数 e p b a l a n z a r i o ，m z g a r a e v 和r z u a z u a 【2 5 】研究方程 礼= 【价c 】+ 铲l ，( 1 1 ，7 ) 其中p 为素数，m 为整数证明了1 c 1 7 1 1 时( 1 1 7 ) 对几乎所有的 以是可解的 2 0 0 6 年5 月，a k u m c h e v l 2 6 】证明了当l c 1 6 1 5 时，方程( 1 1 ，7 ) 对每一个充分大的n 是可解的 本文利用翟文广【2 0 】中指数和估计的方法将l p o r t a 【2 1 的结果改进为 当1 7 1 6 c 8 7 时，几乎所有的n 能够表示为 n = 眵c 】+ 瞒】，( 1l ，8 ) 其中p ，m 为素数 本文有以下两个主要结果： 定理设1 c o 乒是任意满足o 1 3 的常数，我们有 。剐料罨铲蚪2 胪1 时地胪1 推论设l c o 声是任意满足o 1 ，朋1 ，尬2 ，n 。 l ，k ：l ，l = 1 0 9 2 x 尬a 如则对任意 o ，我们有 删4 磊，磊o m 瓣嚣豢， ( x 4 卵1 驴) 1 4 2 + ( x 6 露3 埘1 ) 1 6 6 + ( x 6 孵6 ) 1 脚+ ( x 2 ，产 舻) 1 4 0 + ( x 3 m 产嗍2 ) 1 脚+ ( x m ? 噬) m ) 7 1 0 + ( 妒懈噬) 1 7 1 0 + 肘 噬) 1 8 + m ；n 稚m 2 + m 1 m ；拉+ x 一1 批m 1 m 2 证明这是s a r 9 0 8 和矾，u f l 5 j 中的定理9 引理1 2 4 设o o o 使得，“( z ) 一m 令口= ，( ，卢= ，) 对每个口 卢，由方程 山东师范大学硕士学位论文 ，( ) = ”定义我们有 e ( 巾t ) ) = e ( 一；) i ，“( ) 心( m 。) 一) d t l b 。 n 占 + o ( 肘一+ l 。g ( 2 + m ( 6 一口) ) ) 证明这是h e a t h - b r o w n 【6 中的引理6 引理1 2 5 设d 是长方形 ( z ，v ) i x z 2 x ，ysp 2 y ) ( x y ) 的 子区域，任意平行于坐标轴的直线与之至多相交于o ( 1 ) 条线段 n ，卢是 两个实数，o 卢o ，n + p 1 ，口+ p 2 ，( z ，y ) 和9 ( z ，f ) 是两个足够多次可 微的实值函数，在上) 上满足，( z ，) 一 z 。矿和9 ( z ，) 一历：m 口t 一1 令 = x y i f = a 义。y 月，贝0 有 ( f ) 1 i g ( 矗) e ( ，) ) i f ； ，；+ + 盎，盎，盎矗 扛v ) d + f 一x 一n n f 一 + x j + y 一； 这里，( 。1 ，z 。) 一g ( z ”，) 表示 嚣，( z - ，z 。) = 箍9 ( z - ，一，z 。) ( 1 + 。( ) )西五i _ 丽7 ( 。1 ，。n ) 2 石：i _ 面9 ( 。1 ，。2 n ) 【1 + u ( ) ) 证明 这个引理在l i u 【1 1 】中被证明这个结果是k 0 1 e 8 n i k 8a b 定 理 引理1 2 6 设1 0 h 3 ，t ( o 1 ) ，c o 令( ) 表示满足 l ， 2 一 日，n ，n 2 一及i ( l + z ) n f 一( 厅2 + ) 蚓的四元数组( 1 ， 2 ， l ，n 2 ) ，则有 ( ) 日2 一。+ 日3 2 l o g 日 证明这是k u m c h e v 和n e d e v a 9 】中的引理4 引理1 2 7 设不是整数，t ( o ，1 ) ，h 3 则有 “一如) ) 2 。三嘣咖m ) + d ( m i “l 虿汹) ) ， i i o ，魂是任意复数，则 j 磊。魂卜( 2 + 半) i 嘉c ，一罄，射+ 篆蛔铀丽 证明这是e f o u v r y 和h 1 w a n i e c 【5 】中的引理2 引理1 2 1 0 令a ，夕r ，筇o ，p o ，矿l 我们用 d ( ，q ，f ，矿) 表示满足p ( ) 一矿f 口的四元数组危尢的个数，则有 d ( ，q ，p ，矿) 3 2 q l 0 9 2 q + 口2 q 2 ， 证明这是引理1 2 6 的不同形式 弓l 理1 2 1 1 设a ，p r ，o 卢o ，m 1 ，1 q 1 ，l = 1 0 9 2 a f 0 ， “+ c 爿，肌( u ) c 2 f m ，2 m 1 对 一m ， 爿满足以( u ) 一肛m ，9 ：( u ) 一p 令 ( u ) = ( ) u + 9 扣) ，这里u ( ) = + t ) 。矿( n + ) 。q 贝旷百 r ( ，d ) d 吖i 爿+ i + p 1 3 m i 爿i + i 咒+ i + ( 6 3 2 q i h + l l 肛) 1 2 h + + ( j 2 2 q 2 l h j 2 p ) 1 3 + j 、，q ( 巧m l 咒j ) 1 2 ， 证明这是翟文广【2 0 j 中的命题1 引理1 2 1 2 如果q m 1 _ 6 ，则存在一个q = q ( m ，0 ) ( 3 l 1 2 0 c g 1 3 山东师范大学硕士学位论文 1 】，使得 叩一1 l 一2 ，( m ，q ，瓦岛，) 0 曼 ( 2 m 8 3 1 q “) 1 1 6 + ( m 2 1 5 q 1 8 ) 1 8 + ( 2 矿1 8 q 2 0 ) 1 9 + ( 彳2 1 0 口1 2 ) 1 5 + 肘2 2 q 2 + 2 0 2 + n 6 q 7 3 + ，3 2 q + ( 2 f 8 7 0 2 ) 1 4 + ( 2 朋。5 6 q 4 ) 1 3 + ( ，2 4 q 4 ) 1 2 这里岛= 【口，( 1 + q ) o 女】，= ( 1 + 7 7 ) g ( 4 q 。) 1 ( 1 一，= f l o g ( g c ) 町】 与 证明这是翟文广f 2 0 j 中的命题2 1 3 指数和估计 设x p 4 5 ，j = e 一 x 孚在本节中我们估计指数和 岛( “，x ) = c ( ) a ( n 沁( ( h + ) 矿) ，( 6 冬日，o 1 ) h hf x s 2 ( x ) = a ( 扎) e ( a n 。) a 加) ， 这里c ( ) 1 令，= h x c 显然f e 一 x 学 引理1 3 1 设c ( ) 1 ，o t ) 1 ，6sh ， 。一m ，n 一，们= x ， 则当m x 卫产一l 昕j 时，我们有 研= o ( m ) e ( + t ) m 。礼。) x 学 ( 1 3 1 ) 证明显然，当m x 1 学一2 町时，( 1 3 1 ) 式由指数对( 1 6 4 6 ) 可直 接得到下面设m x 望产一取q = c 一1 + 却1 0 9 2 捌由c a u d l y 不等式和 引理1 2 9 ，我们有 胀竽+ 等洳， 。z ， 这里 日= e ( ( 忍+ t ) m 。( + g ) 。一竹。) ) m 肘 1 0 0 ( m x f ) 1 ，3l o gx 令g = f q l ，r ：f 0 1 m 对变量 m 使用引理124 ，然后使用引理1 2 8 ，我们有 s ，卷j e ( c 。( 危+ 圹由r 者口一击) j ( 1 3 9 ) g v 1 ”州“i j 扣，“， )j + q 1 日l o g x + q l 日肘g 一1 2 乒乏善三隆吣c c ，c n 刊咕r 士a 击，卜删r q 0 l n h 片i r r ：坚簧鼍善s ：+ h m n 。 我们只需证明 s 2 h n p 2 令r = q r 2 g 1 易验证l x 一2 ，则j 5 用指数对( 1 2 ，1 2 ) 估 计对嘶的求和，我们得到 e 2 x r f 2 f n i x 等 1 山东师范大学硕士学位论文 这里日= a f 类似于引理( 13 4 ) 的情形2 和情形3 ，我们知道其他的。都可以写为 。= o ( m ) 6 ( n ) e ( a n 。) m m n 这里n ( m ) x q ”，b ( n ) x 吖1 0 ，x 。一1 + 2 ”x c - 1 2 2 7 此和可用引理 1 2 ，3 来估计 我们设x 。一1 + 2 ”x 1 2 ，在引理1 2 3 中取( 尬，a 如) = ( ，肘) 得到 x ”3 2 ( 砰3 1 m “) 1 心+ ( 碍5 3 m 5 1 ) 1 椰+ ( 霹4 6 m 4 1 ) 1 5 6 + ( 砰黯m ”) 1 4 0 + ( 碍7 v 4 3 肘3 2 ) 1 4 6 + ( n 9 f 6 ) 1 1 0 + 噼n 1 m 。丫。强+ 0 f l n 喝m 6 丫拍+ n 1 殍m + m l 拉n + m n f i 、拍 ( x 3 4 + 4 c 一3 ) 1 4 2 + x 5 智产+ x 2 爷字+ x 2 鼍笋+ x 等! + x 盐蠢等+ x 3 2 去竽十x 1 2 擎+ x n 一1 担+ x 3 h + x 1 一c 扭一l 批 x 2 - c _ ”+ x 1 一c ，4 u l ，4 x 鼍产 如果x 1 ，2 x 1 2 - 2 目，则改变( m ，) 的顺序，上述估计仍然成 立证毕 易见 其中 1 4定理证明 ，1 兄( ) = s 2 ( t ) e ( 一f ) 出= 兄1 + r 2 j o 即) = 萎l o g p 印鼢冠= 驴e ( - 础- 1 ，2 ) p l q l = ( 一u ，u ) ，q 2 = ( u ，l u ) ，p = 1 c ，u = p 1 一。一叶，町 ( 8 7 一c ) 1 0 一3 m b s l a p o r t a 和d i t o l e v 在文【1 0 1 中有公式 = z 鬟g 2 ( 印e ( 一t ) 出= ! ：戢方考盟2 加- 1 + 。( 1 ，c - 1 ) = g 2 ( ) e ( 一) 出= l 睾嘉；掣2 c - 1 + o ( 1 c - 1 ) j l ，2 l z c ， 坐壅堕堕盔堂堡主堂垡堡塞 其中 g ( ) = ；m 1 m e ( t m ) 。m | v 因此 。蒹州一错扩l j 2 蠡旧叫p 2 c + 吲2 n ( ，2 玎 我们主要来估计 。蒹m 附小阳s 磷) 2 小阳 f ，2 m j m t 1 也 j o 尸1 。g p ( 雀努i s ( ) f ) 2 ! 一1 e ； 其中， e = e 印( 一a ( 1 0 9 ) 1 ，3 8 ) 现在，我们只需证明 翟警f s ( t ) j e p 学 iz 2 因为 s ( t ) = a ( n ) e ( t ) e ( 一t n c ) ) + p ( p l 2 ) n 曼p 只需对p 4 加 x ! p 证明，有 = a ( 咖( 扎c ) e ( 一f n c ) ) f ；j p 字， 一 7、 ，川一 在引理( 1 2 7 ) 中取z z 船。，= e 一1 x 孚，得到 2 l 吾州印善“咖“咖c ) + d ( 1 0 s x 篆嘶n ( 1 厕) ) l l ，n x、。y1 i i ， = ，( ) a ( 喇 + ) n 。) + c ( ) a ( 喇 + 功n c ) j j s 6 n x 6 ( j j jn x + 。( 崦x 善唧，南，) 咽+ 毯蝎 ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) 2 3 山东师范大学硕士学位论文 易证 ：e x 擎 ( 例如可见文献 6 ，2 4 5 2 4 6 页】) 由引理( 1 3 5 ) ，有 ：e x 擎 由引理( 1 3 4 ) ，我们有 毯吉f 最( 日，x ) e x 等 m 舡h 所以( 1 4 2 ) 成立 显然 | p 2 2 c e x 警 估计 fl r l 一日1 2 e x 与2 z j n ( m 2 _ v 】 见m b s l 印o r t a 【2 1 1 定理证毕 山东师范大学硕士学位论文 第二章一个二元无平方因子数的丢番图方程 2 1引言与主要结果 d e s h o u i l l e r s 【2 2 证明了当1 c 4 3 时，每一个充分大的整数可表 示为= 【n 。】+ 【m 。 其中n ，m 为整数后来，g r i t s e n k o 2 3 】和k o n y a g i n 2 4 改进了这一结果，特别的，k o n y 礤n 证明了当1 c 3 2 对，对每一个 充分大的整数n ，= n 。】+ 【m 。】是可解的 本文研究当n ，m 为无平方因子数时= 弦】+ 【”一。】的可解问题 本文证明的主要结论： 定理 令 兄( ) = p 协) 弘( m n = ”】+ l 叫 则有渐进公式 r ( ) = 蒜2 c - l + d ( + 。s 3 ) 在l c l ，我们有 帅卜，蒹，器+ 。( 唧，南，) 1 o 和a 2 1 使得 a i ，3 ( z ) i a 在区间i 上成立，则 e ( ，( f ) ) i j l a l 7 6 a 1 7 3 + l j l 3 7 4 a 1 7 4 + i ，1 1 7 4 a “，4 t j 证明这是s g r a h 锄和g k 0 1 e 8 n j k 【2 7 】中的定理2 6 我们都知道 2 3定理证明 p ( n ) i = p ( d - ) n = 毋n 1 山东师范大学硕士学位论文 则 兄( ) =i p ( n ) p ( 酬 - h c 】+ i - 1 ，2 = f i p