（基础数学专业论文）弱hopf代数上的yetterdrinfeld范畴.pdf

摘要 这篇论文中，弱h o p f ( 或双) 代数都是定义在域南的有限维空间上的我们主要进行 了两方面的研究：一方面是弱h o p f 代数的表示范畴，特别是( 左) y e t t e r d r i n f e l d 范畴； 另一方面是弱h o p f 代数( 左) y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的弱h o p f 代数 在第一章里，介绍了弱h o p f 代数的研究背景及相关知识，主要指出有限维的弱h o p f 代数是自对偶的，并且映射兀，兀r ：日_ 日， n l ( ) = ( 1 l ) 1 2 ，n r ( ) = l l ( 1 2 ) 及其像集日，日咒对弱h o p f 代数的研究起着重要作用 在第二章里，我们引入了弱h o p f 代数的y e t t e r - d r i n f e i d 模的概念，它是h o p f 代数的 y e t t 时_ d r i n f e l d 模的一种推广弱h o p f 代数日的左y e t t e r - d n i l f e l d 模范畴记作嚣y d ，我 们从其模结构出发得到备y d 是辫子张量范畴对偶于文献f 17 的结论我们得到：弱h o p f 代数的左h 一余模范畴h m 是张量范畴，弱h o p f 代数的有限维的余模及y e t t e 卜d r i n f e l d 模具有对偶接着证明了我们从范畴嚣y d 的模结构与余模结构出发构造的张量范畴是一 样的 在第三章里，我们引入了弱h o p f 代数的( 左) y e t t e r _ d r i n f e l d 范畴中弱h o p f 代数a 的概念，这样定义的a 还是自对偶的类似于h o p f 代数中双积的概念，我们给出了弱 h 叩f 代数中弱双积的概念并证明：设日是一个弱h 0 p f 代数，a x a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w e a kh o p fa l g e b r a s ( w e a kb i a l g e b r a s ) a r ea nf i n i t ed i m e n s i o n a lo v e rt h e 矗e l d 七、 ks t u d yt w os i d e s ：t h em o d u l ec a t e g o r i e se s p e c i a i l y ( 1 e f t ) 1 y 备t t e 卜d r i n f b l dc a t e g o r y o fw e a kh o p fa l g e b r a sa n dt h e 、张a kh o p fa l g e b r a si ny b t t e r d r i n f e l dc a t e g o r 弘 i nc h a p t e ri ，w em a i n l yi n t r o d u c et h em o t i v a t i o nf b rs t u d y i n gw e a kh o p fa l g e b r a s a m dt h er e l a t i 、他k n o w l e d g e ：f i n i t ed i m e n s i o n a lw e a kh o p fa l g e b r a hi ss e l f - d u a l ，t h em a p s n l r ：日- hs u c ht h a t l ( ) = e ( 1 1 丘) 1 2 ，n 冗( ) = 1 1 ( 1 2 ) a n dt h e i ri m a g es e t s 日l ，日冗a r ei m p o r t a n tt ot h es t u d yo fw e a kh o p ff ；f 芦誉重毯= x 第一章预备知识和研究背景 在本章中，介绍了弱h o p f 代数的研究背景及相关知识 1 1 研究背景 作为h o p f 代数的推广，b 曲m ，s z l a c h 磊n y i 和n i l l 在文献f 4 ，1 5 ，2 0 中提出了弱h o p f 代数的概念不同于其它h o p f 代数的构造，如拟h o p f 代数【6 l 或弱拟h o p f 代数，有理 h o p f 代数( 参见文献【9 ，1 2 ，2 3 ) ，弱h o p f 代数满足结合性这就使我们可以像在h o p f 代 数中一样容易地定义作用，余作用及交叉积我们研究弱h o p f 代数主要背景来自量子场 理论，它大致包括下面两个对称的问题： 1 设是m 的满足一定条件的子代数，找一个( 唯一的) “量子群”g 和g 在m 上 的作用，使得= m g ，其中m g 是m 的不变子代数； 2 对偶的问题是找一个作用在上的量子群铲，使得m 同构于交叉积x 口 显然找到合适的量子群及其作用是问题的一部分如果cm 是一个有限指标不 可约且深度为2 的v o nn e u m a n 因子系，文献f 1 1 1 指出要找的量子群是一个有限维的 c + 一h o p f 代数文献【16 得到：如果允许包含是可约的，并且和m 有任意维的中心， 那么要找的量子群是一个a + 一弱h o p f 代数当m 和都是结合( 不一定是+ ) 代数时， 域上的弱h o p f 代数可以提供一个有用的不变子代数 弱h o p f 代数的另一重要作用是：它对h o p f 代数中的动量扭曲 8 】提供了自然的框 架文献【7 作者证明了th o p f 代数中的每个动量扭曲都可构造一个弱h o p f 代数文献 【7 的作者还构造了一簇动量量子群( 与动量扭曲相关的弱h o p f 代数) 这些弱h o p f 代数 都是拟三角并且自对偶的 本论文只考察有限维的弱h o p f 代数，尽管有好多结论可以推广到无限维的情况，但 有限维的弱h o p f 代数有更好的性质，就像有限交换群或有限维h o p f 代数一样，有限维 的弱h o p f 代数在下面意义上是自对偶的，设日是一个有限维弱的h 0 p f 代数，它的对偶 空间有一个弱h o p f 代数结构，并且，这种对偶具有反身性，即( h + ) + 望日这一性质使得 第一章预备知识和研究背景 弱h o p f 代数研究起来比有限( 非交换) 群或有限维( 弱) 拟h o p f 代数更加自然 弱h o p f 的表示是研究其结构的基本工具。文献【5 1 对弱h o p f 代数的表示范畴作了一 些研究，证明了弱h o p f 代数日的有限维的左模范畴r 印) 是一个具有对偶的张量范 畴本论文得到对偶的结论，即日的有限维的左余模范畴r e p c 。( 日) 也是一个具有对偶的 张量范畴对于一般的h o p f 代数日，若a 既是左日一模代数又是左日一余模代数，则a 与h 的s m a s h 积与s m a s h 余积构成- h 叩f 代数当且仅当a 是y e t t e 卜d r i n f e l d 范畴中的 h o p f 代数本论文得到其必要条件在弱h o p f 代数中也成立 1 2 预备知识 定义1 2 1 ( 【2 】) 域七上的有限维向量空间日叫作弱双代数( w b a ) ，如果曰既是一 个结合代数( 日，m ，让) 又是一个余结合余代数( h ，e ) 并且其代数结构与余代数结构满 足下面的相容关系 ( 9 ) = ) ( g ) ， s ( g z ) = ( 9 1 ) ( 9 2 f ) ， e ( h 9 f ) = ( 9 皇) ( 9 1 f ) ， 2 ( 1 h ) = ( ( 1 h ) o1 口) ( 1 口o ( 1 日) ， 2 ( 1 日) = ( 1 日o ( 1 口) ( ( 1 日) o1 h ) ， 其中 ，g ，f 日 我们称日为弱h o p f 代数( w h a ) ，如果h 上还有一个七一线性的映射s ：日_ 日满 足 m ( i dos ) ( 危) = ( o d ) ( ( 1 ) ( o1 ) ) ， m ( soi d ) ( h ) = ( 掘圆) ( ( 1q ) ( 1 ) ) ， s ( )= s ( 1 ) 2 s ( 3 ) ， 其中h h s 称为日的对极 这里及其以后我们对余代数口中的余乘都采用s w e e d l e r 记号；( ) = h lo 2 ，v 日；对左余模m 中的余作用也采用这种记号：p ( m ) = m 一1 0 m o ，v m m 日的对偶空间 2 第一章预备知识和研究背景 = h d m k ( 日，) 有一个自然的弱h o p f 结构 ( 妒， ) = ( 庐。妒，( ) ) ， ( 西， o g ) z ， 9 ) ， ( s ( 曲) ，h ) = ( ，s ( 砷) ， 其中妒，妒， ，9 日日+ 的单位是，余单位是曲h ( ，1 ) 在日a 的研究中，映射n ，冗：日- l ( ) = e ( 1 1 ) 1 2 ，咒( ) = 1 1 ( 危1 2 ) 起着重要作用其像集日：= n ( 日) 和日r ：= 咒( 日) 都是h 的可分子代数，可分元分 别是 s ( 1 t ) 0 1 2 日固日。， l lo s ( 1 2 ) 日r 日8 。 子代数日和日矗关于乘法可换，并且 日。= t ( 妒o i d ) ( 1 ) l 西日4 ) = 日j ( ) = ( 1 ) ( o1 ) ) ， h r = ( i d 圆曲) ( 1 ) 1 咖日) = 日l ( ) = ( 1 圆 ) ( 1 ) ) 也就是说何。( 或h 冗) 由( 1 ) 的右( 或左) 张量分支上的元素生成( 见文献【1 4 ) 文献【2 】给出了弱h o p f 代数上对极的性质t 定理1 2 2 设日是一个弱h o p f 代数，s 是h 的对极，那么有下面结论 ( 1 ) s 既是反代数同态又是反余代数同态，即 s ( 9 )= s ( 9 ) s ( ) ， s ( ) los ( ) 2 = s ( 2 ) os ( 1 ) ， 对任意的九，9 日成立； ( 2 ) s i 1 = r - 和s i h n 都是双射，并且s ( 日) = h 8 ，s ( 日r ) = 日； ( 3 ) 单位和余单位是s 不变量，即s ( 1 ) = 1 ，o s = ； ( 4 ) s ：日_ 月是可逆的 3 第一章预备知识和研究背景 文献【2 关于映射，咒有下面结论 e ( 九n 。( 9 ) ) = ( 的) ， e ( r ( ) 9 ) = s ( 九9 ) ， 二o l = n l n ro n r = n 冗 1 固n ( k ) = 1 l 固1 2 ， n r ( 1 ) o 2 = 1 1o 1 2 ， ( 日) c 日。日， ( h r ) c 日r o 日 映射，r 与日上的对极还有下面关系 n l 。s = n l 。n r = s 。n r n 丑o s = ro n l = so n l 由于映射。，n r 还保持单位，我们有 ( 1 ) = ( i d 。) o ( 1 ) = ( 8 0 i d ) o ( 1 ) 例1 2 3 群代数及其对偶是常见的h o p f 代数的例子，而在广群代数及其对偶空间 上可以定义弱h o p f 代数结构( 参见文献【1 8 】) 设g 是一个有限广群：含有有限对象的小 范畴，且其态射都是可逆的广群代数g 由态射9 g 生成，如果两个态射的复合有意 义，它们的积即为它们的复合，否则为o ，单位为1 = i 奴，x 取遍g 中所有对象，则 在下述定义下g 成为一个w h a ： ( 9 ) = 90 9 ，( 9 ) = 1 ，s ( 9 ) = 9 一，vg g ， ( g ) 。= ( 厅7 g ) r = ? p n 仃 9 9 1j 9 g ) 并且 n l ( g ) = 9 9 1 = i d t d r 9 。( 9 ) ， r ( g ) = g 一1 9 = 诚。( 9 ) 4 第一章预备知识和研究背景 对偶弱h o p f 代数南9 同构于g 上的函数代数，也就是说，它由幂等元岛，9 g 生 成，并且 p 9 p = 如，h p 9 ， ( p 9 ) = m 。p 。， = 9 ( p 9 ) = 6 9 ，鲫- l i s ( p 9 ) = 啄1 ， n ( 鳓) = m ， 一l = 9 8 溉) = 孙 一l q = 9 定义1 2 4 设日是域上的一个弱双代数 ( 1 ) ( 1 0 】) 一代数a 称为左矾模代数，如果a 是一个左日一模，并且其模作用h o n 时 危n 满足 ( i ) n 6 = ( h 1 o ) ( h 2 6 ) ， ( i i ) n l ( ) 1 a = 九1 a ， 第二个等式等价于等式( ) o = ( h 1 a ) n ( 2 ) ( 【1 】) 一代数a 称为左h 一余模代数，如果a 是一个左日余模，并且其余模作用 p ：o 卜n ioo o 满足 ( i ) p ( n 6 ) = p ( 。) 户( 6 ) ， ( i i ) 户( 1 4 ) = ( roi d ) 。p ( 1 a ) ， 第二个等式等价于等式( 1 圆n ) p ( 1 a ) = ( r t d ) op ( 8 ) ( 3 ) ( f 1 ) k 一余代数c 称为左日一模余代数，如果c 是一个左打模，并且其模作用 oc 卜 c 满足 ( 1 ) g ( c ) = ( 危) c ( c ) ， ( i i ) ( - c ) = e ( n 凡( ) c ) ， 第二个等式等价子等式冗( ) - c = c l g c 2 ) ( 4 ) 一代数c 称为左日一余模余代数，如果g 是一个左日一余模，并且其余模作用 p ：c c lo 。o 满足 ( i ) ( i d o g ) op = p 。g ， 5 第二章弱h o p f 代数的y b t t e r d r i n f e l d 范畴 本章我们主要研究了弱h o p f 代数表示范畴的性质，证明了弱h o p f 代数的、r e t t e r - d r i n f e l d 范畴是辫子张量范畴，其子范畴即对象是有限维y e t t e r - d t i n f e l d 模的范畴具有对 偶并得到结论；从y e t t e r d r i n f e l d 范畴的模结构与余模结构出发构造的张量范畴是一样 的 2 1 弱h 0 p f 代数的表示范畴 类似于h o p f 代数中的y e t t d r i n f e l d 模，文献 1 0 的作者给出了弱h o p f 代数的 n t t e r d r i i l f e l d 模的定义： 定义2 1 1 设矗是一个弱h 0 p f 代数，我们说空间m 是一个左y e t t e r d r i n f e l d 模，假如m 既是左h 一模又是左日一余模，其模结构与余模结构满足下面相容条件 1 m 一1o 2 - m o = ( 1 - m ) 一l 九。o m lm ) o 1 l m 1 0 1 2 “o ：”l o “o ， 其中m m ，h 日 记备y d 为日的左y e t t e r d r i n f e l d 范畴：对象是目的左y e t t e r d r i n f e l d 模，态射是 左y e t t e r r d r i n f e l d 模映射，也就是说，既是左日一模映射又是左矾余模映射，为了研究 日 x 第二章 弱h o p f 代数的y e t t e r d r i n 电l d 范睦 h m 的单位对象h 。上的左日一模结构为 z = ( 。) ，v z 日 同构族的定义由下面自然地给出 n 玑v w ( ( o l ”) o l 叫) = 乱。二( 口。二叫) ( 口o lz ) = e ( 1 2 。) 1l ， r i l ( ) = o l l h ， l ( z o l 。) = z ， 0 1 ( 口) = 1 h p l ， 这里u 以口k 叫，配k 彤都是左打一模 口 记r 印( 日) 为日m 的子范畴：对象是有限维的左h 一模，态射为左h 一模映射，则范 畴r 印( 日) 具有对偶实际上，对于兄e p ( 日) 的任意对象k 定义日在= h o m 女( 日， ) 上的作用为( 西) ( ) = 咖( s ( 丸) u ) ，v 日对任意的态射，：y _ w ，令，4 ：w + _ v + 为，的对偶态射( 见文献【2 2 ) 对vv 0 6 月e p ( h ) ，定义对偶同态 c f v ：y o lv 口，6 v ：日vq lv + 使得对v 西o w v + o v d v ( 咖圆l ) = 矽( 1 1 口) 1 2 令协k ，k 为v 和y 4 的一组对偶基底，则元素虮 与基底的选取无关对任 t 意的 k y + 有庐= 妒( 吼) r ，z = 7 ( ) ，定义 ft b y ( z ) = z 吼圆中 直接验证可得如，沁都是左h 一线性的文献 17 】有下面定理 定理2 1 3 范畴r e p ( 日) 是一个具有对偶的张量范畴 8 第二章弱h o p f 代数的y e t t e r d r i n f e l d 范畴 拟三角弱h o p f 代数是指一个二元对( 日，r ) ，其中日是一个弱h o p f 代数， r 叩( 1 ) ( hoh ) ( 1 ) 满足 ( 1 ) 印( ) r = r ( ) ，v 日， ( 2 ) ( o i d ) r = r ( 1 or 【1 圆r ( 2 ) r ( 引，( 谢o ) r = r ( 1 r ( 1 ) or ( 2 o 冗( ， ( 3 ) 存在元素矗( 1 ) ( 日。日) 9 ( 1 ) ，使得 豆r = 1 1 0 1 2 ，r 豆= 1 2 q 1 1 这里”表示对做一般的扭曲 注记2 1 4 矗是由r 唯一决定的：如果袁，冗，( 1 ) ( 日 日) 9 ( 1 ) 满足上面第三 条，则有 矗= 矗。9 ( 1 ) = 矗r r 7 = ( 1 ) r ，= r 例2 1 5 ( 日，r ) 是拟三角h o p f 代数，则范畴灯m 与各y d 等价实际上，对于任 意的m 圩m ，我们可_ 以在其上面定义余模作用 则对任意的 日，m m ，有 p ( m ) = r ( 2 1o r ( 1 ) m ( h 1 m ) 一l h 2 - ( 托1 - m ) o = 兄( 2 ) 2 0 r ( 1 ) 1 m = 1 r ( 2 ) 圆 2 冗( 1 ) m = 1 m 1 圆 2 m o ， 1 1 m 1 0 1 2 m o = r ( 2 ) r ( 2 ) o ( r ( 1 ) ) r ( 1 ) m = r ( 2 ) o r ( 1 ) m = m 一o m 0 ， 这恰是y e t t e r d r i n f e l d 模的条件反之，一个y e 乞t e 卜d r i n f e l d 模已经是日一模了， 口 9 第二章 弱h o p f 代数的y j t t e r d r i n f e l d 莲劈 定理2 1 6 设日是一个弱h o p f 代数，那么日是拟三角的当且仅当日的左模范畴 是一个辫子张量范畴 证明如果口有拟三角结构r ，对任意的u ，v hm ，定义 付v ：u0 ly _ v l 仙 三钉r 兄( 2 ) ”o l r ( 1 ) u 匾 ：u o ly _ + yo l 阢 甜。己“时袁( 1 ) u l a ( 2 ) 这里矗满足定理2 1 3 中的第三个条件直接计算可得r 满足辫子的条件 反之，若日的左模范畴_ ：r m 有辫子结构_ r ，我们可以在抒上定义拟三角结构 r ：= 下h ，丑( 1 0 l 1 ) 2 2弱h o p f 代数的y e ! t t e r d r i n f e l d 范畴 口 设日是一个弱h o p f 代数，m ，分别是左h 一模，我们在定理2 1 2 的证明中将空 间( 1 ) ( mo ) 记作mo l ，下面的命题将说明这种记号的意义 命题2 2 1 令日是一个弱h o p f 代数，那么任意的左日一模m 有一个右日一模结 构 moz = s 一1 ( z ) - m ，v m m ，h 矗，名日l 任取左日一模| 7 v ，自然有一个左日一模结构在m o h 。上可以定义左日一模 - ( m 日l 礼) = 危1 m o 日 2 礼 并且mo 。与mo l 作为左日一模同构 证明只需证mo 日c 与m o l 作为左日模同构 定义映射 f ：m 圆n _ mo ln ， m o n m 工礼 1 0 箜三童塑坚! 丛垡墼塑塑! ! ! ! 里! ! 璺堡翌薹堕 一1 1 显然，是女一线性的满射 令v 是由 “o 胪- 一u 。胪o i “u ，口k 胪厅。) 生成的m 圆的子空间 ，( 钍o l 一o l o ) = “o l l 一乱o l o l = 1 l t 上o1 2 l - ”一1 1 s 一1 ( h l ) - u o1 2 - = s 一1 n l ( 1 l l ) 0 1 2 - 刘一1 1 s 一1 ( l ) 0 1 2 ” = 0 所以矿ck e r ( ，) 反之，对任意的钍。口k e r ( ，) ，即“os ( 1 1 ) o1 2 廿= 1 1 u 1 2 = o ，有 札。钉= u os ( 1 1 ) - ( 1 2 ) 一uos ( 1 1 ) o1 2 所以k e r ( ，) cy 我们得到y = k e r ( ，) 这样，作为k 一空间有mo 日- 型( mo ) v ，诱导出七一线性双射 tmq h ln _ mq ln ， 仃o o h l 几p 斗m o l 礼 由于，一( mo h 。扎) ) = ( mo l 扎) ，是左日一模同构 口 定理2 2 2 设h 是一个弱h 0 p f 代数，则其y e t t e r - d r i n f e l d 范畴嚣y d 是辫子张量 范畴 证明我们首先证明嚣l ，d 是张量范畴 令m ，是y e t t e r d r i n f e l d 模，作为h 一模，m 固l 有左日一模结构下面在七空 间m 圆l 上定义左日一余模结构 p m 西l n ：m9 ln h 圆m 圆ln m o l 扎p 仇一1 n l o m o o l n o 整三童 翌里! 匹垡墼塑塑! ! ! ! ：旦堕生丛生塞堕一1 2 则对任意的 日，m m ，体，有 ，( m l 乱) l q k ( m l n ) o = h l m l n ioh 2 m o 圆 3 礼o = ( 1 m ) 1 f k 礼一1 0 ( h l 。m ) o 圆矗3 。扎o = ( 1 竹z ) 一l ( 2 竹) 一1 3o ( 1 m ) oo ( 2 礼) o = ( h 1 ( m l 礼) ) 一l h 2 圆( 矗l ( m l n ) ) o ， 1 l ( m l n ) 。0 1 2 ( m l n ) o = 1 l m l n 一1o1 2 m oo1 3 n o = ( m o l 扎) 一l ( m o l n ) o 这样，mo l 成为y e t t e r _ d r i n f e l d 模对于h m 的单位日，余乘可作为其余模作用， 直接计算可得，在此模作用与余模作用下口成为y e t t e r - d r i n f e l d 模，定理2 1 2 中定义 的模同构还是余模同构 为了表明嚣v d 是辫子范畴，我们定义映射 t ：mq ln _ n 圆lm m 圆l n 卜m 一1 礼o l m o 对任意的 h 和m ，札，有 7 - ( ( m o ln ) ) = ( 1 竹1 ) 一1 h 2 - n o l ( 1 m ) o = i m 一1 t n o l 2 m o = 危7 r ( 仃z 圆l 礼) ， p 。l mo 丁( m o l 乱) = 户。l 彳( m l l 幻) = 1 l ( m 一2 - n ) 一l m i 圆1 2 = m 一2 n l o m l n o o m o 第二章弱h o p f 代数的y e t t e r d r i n f e l d 范畴 vu u v 州w 这里u ，k 都是左日一余模 口 记兄e p 。旧) 为弱h 叩f 代数日的余表示范畴，其对象是有限维的左日余模，态射 是左日一余模映射，则范畴r p 。( 日) 具有对偶对于r 印。( 日) 的任意对象k 在其对偶 空间y 4 = 日o m 女( 日， ) 上定义余模作用为 ( 一l 毋o ) ( 9o 让) = g ( 一1 ) o ( 钉) = gos 一1 ( “一i ) 西( n o ) ， v 9 日+ ，珏v y + 对任意的态射，：y - w 令，+ ：+ _ + y 4 为，的对偶态射 实际上，+ 是余模映射 ( i d 日 ，+ ) p n n ( 9 0 ) = ( 西一lo 咖o ，) ( f o “) = g ( 一1 ) 咖o ( ，( ) ) = g os 一1 ( ，( t 工) 1 ) ( ，( u ) o ) ， p v o 厂+ ( 曲) = p v ，( 妒。，) = ( ( 咖o ，) 一- 。，) o ) ( g o “) = 9 。s 一1 ( ”一1 ) ( ，( 仳o ) ) = 目os 一1 ( ，( 札) 一1 ) ( ，( 札) o ) ， 所以 ( i d h ，+ ) p w = p v o ，+ 对任意的y 0 6 兄印。( 日) ，定义对偶同态 d 矿：y + o 工y 一日l ，b v ：日l _ y ly 4 使得对任意的毋o y + ok 都有 d 矿( 西o l 口) = 妒( o ) ( 口一1 1 1 ) 1 2 1 4 第二章弱h o p f 代数的y e t t e r d r i n f e l d 范畴1 5 令 吼 。 中 i 为v 和y + 的一组对偶基底，则元素吼。中与基底的选取无关 对任意的w k 咖v + 有咖= 咖) 记z = 中( ) ，定义 l l 口v o ) = s ( 仇) 一，) ( 哦) 。r ， l 引理2 2 4 设日是一个弱h o p f 代数，v 是一个有限维的左肌余模，则矿+ 有上 述定义的余模结构令 肌) ， 中) i 为矿和的一组对偶基底，有下面等式成立 ( 1 ) ( ，y 。) o ( 甲) 一lo 吼= 甲os q ( ( 肌) 一1 ) ( 吼) o ( 2 ) ( 9 。) 一1 ( 7 ) 一lo ( 9 。) o 圆( ) o = s 一1 。n 。( ( m ) 1 ) o ( 肌) o 一y ( 3 ) ( 7 ) 一( 虮) 一- o ( 俄) oo ( 7 i ) o = r ( ( ) 1 ) o 肌p ( 中) o ( 4 ) o ( 让o ) 一1 固t 正l = 西( t 上o ) s 一1 ( 札一1 ) o 札一2 ，v v + ，u v ( 5 ) o ( u ) 一l = 西( u o ) s 一1 ( u 一1 ) ，v 咖y ，u y 证明 ( 1 ) 对任意的乱k 咖y ，日+ ， ( ( 7 4 ) o ( ，y ) 1 0 可i ) ( 让o ，圆) l = ，哆- 1 ( u t ) ) 了( 钍o ) 妒慨) f = ，( s 。( 乱一- ) ) 曲( 让o ) = ，( - ) 圣o ( 吼) r ( 札) = ( u ) ，( s 。( ) 一1 ) ( ( 肌) o ) l = ( 7 固s - 1 ( ( 吼) ) o ( 小) o ) 沁o ，o 西) t ( 2 ) ，( 3 ) 利用( 1 ) 直接计算可得 ( 4 ) 对任意的危，9 日， ( 妒o ( 钍o ) 毋一1 一1 ) ( ，o9 ) = o ( u o ) ，( ( 一1 ) ) 9 ( u 1 ) = ( u o ) ，( s 一1 - ) ) 9 ( 钍一2 ) = ( ( 札o ) s 一1 ( 牡一1 ) o 牡一2 ) ( ，og ) 所以等式如( “o ) 西一l 札一l = 妒( u o ) s 。( 札一l ) o 一2 成立 第二章弱h o p f 代数的y e t t e r d r i n f e l d 范堕 一1 6 ( 5 ) 利用( 4 ) 直接计算可得 口 定理2 2 5 范畴r 印。( 日) 是一个具有对偶的张量范畴 证明由命题2 2 3 ，r p m 。( 日) 是一个张量范畴 y 是任一个有限维的左日一余模， 则v + 有上述定义的左日一余模结构令协h ， 中 i 为v 和y + 的一组对偶基底下面 证明d v ，b v 是余模同态实际上对任意的币p ，u v ，有 o d v ( 咖圆) = 毋( 让o ) e ( “一1 1 1 ) ( 1 2 ) = 咖( o ) e ( u 1 1 1 ) 1 2o1 3 ， 所以d y 是余模同态 0 d 日圆d y ) p v v ( 咖园“) = 咖一1 u lod v ( 咖。园u o ) = 毋1 一2o ( u o ) ( u 一1 1 1 ) 1 2 = 妒一l 让一1 1 lo 西o ( 让o ) 1 2 = s 一1 ( 让一1 ) 珏一2 1 lo 妒( u o ) 1 2 = 咖( u o ) 一1 1 1 ) 1 2 圆1 3 = od y ( 币圆u ) 卢y 园vo _ b y ( z ) = ( z ( 肌) 一2 ) ( 9 1 ) 一l ( 7 ) 一1 ( 9 i ) oo ( 7 ) o t = e ( 。1 1 ) 1 2 ( 吼) 一l ( r ) 一1o 慨) oo ( 甲) o l = 。( 仇) 一1 ( ，y ) 一1ob ) o ( 7 。) o ( i 妇ob y ) ( z ) = 1 1 zo ( 1 2 ( 仇) 一1 ) ( 吼) o 圆r i = 1 ，。 e ( 1 z ( 玑) 一，( 中) 一1 ) ( m ) o ( 中) o t = z 慨) 一，( 7 。) 一1 ( 吼) oo ( 中) o ， 第二章弱h o p f 代数的y e t t e r d r i n f e l d 范畴 1 7 其中。h ，即b y 是余模同态 接下来证明 0 d 、，o d v ) ( b v 固i d y ) = d 矿， ( d v 圆i d v ) ( i d l ，+ ob v ) = t d y - 对任意的 k ( i d v 固d v ) ( b v i d v ) = ( i d yod v ) ( ( 1 1 一1 ) 日v ( 1 2 ) o 口o ) = ( i 如。d 、，) ( ( n 。( u ) ( 9 i ) 1 ( 中) 一1 ) ( g t ) o 。( r ) o ) ) l = ( i d v 。d y ) ( m 。( r 圆 ) ) t = o 圆( 一1 1 1 ) 1 2 = 这里用到公式2 2 。4 ( 3 ) ( d 矿o i d p ) ( i d v - ob y ) ( 妒) = ( d voi d v ) ( 5 ( 咖一1 1 1 ) 如圆b v ( 1 2 ) ) = ( d yoi d v ) ( ( 妒一l ( 玑) 一1 ( 7 4 ) 一1 ) 咖o ( g i ) oo ( ，y ) o ) l = ( z ) voi d p ) ( ( 一l ( 吼) 一1 ) 粕o ( 吼) oo 中 l = ( ( 肌) o ) e ( ( 仇) 一1 1 ) 1 zof t = ( s ( ( 一，) 1 1 ) 1 2o 毋o = e ( 1 1 咖一1 ) 1 2 o = 西 其中曲y ，这里用到公式2 2 4 ( 2 ) 和( 5 ) 口 命题2 2 6 设日是一个弱h o p f 代数，对任意的m ，嚣y d ，作为七一空间m o l = 吖圆( m o l 佗= m 圆n ) 第三章y 乱t e r d r i n f e l d 范畴中的弱蕊击誊萋藿霆 黧篓缁叼盘缓菱荔替翼鍪鸶i 戮i 羹；二蚕季! g 攀i 雪霉噙疆嫂羹耋蠢舞簖聪龋；羹篓 羹孙* ；坚鐾羹一堑f f 笔】墼j 雪编嚣；百融娃霉l f 二l 一冀旺譬羹；垂赫冶萎蓊鍪禚藉弱，晦筇萋 百美= 甑g ；譬鞘茧e b 灿誊尘鬣渔船犄淄器黯萋重型。琢疆襄鸶钎垂誓 3 萋耋；l 耋垂导州辞篷装 嚣篓瑟囊浓棚藩罐灌糯； 设h 是一个弱h o p f 代数，其y e t t e r - d r l n f e l d 范畴备】，d 还有余模结构，一个自然的 问题是：我们从其余模结构出发，是否也可以构造y e t t e卜d r i n f e l d 范畴的张量范畴，如果 能，这样构造的张量范畴与我们从其模结构出发构造的张量范畴是否一样? 为了解决这个 问题，我们接下来考察日的余模范畴对偶于定理2 1 2 ，我们得到下面的结论： 定理2 2 3 设圩是一个弱h o p f 代数，则其左h 一余模范畴h m 是张量范畴，单位 对象是圩 证明定义函子 园：hmx hm _ hm 。 ( 以v ) 斗u 圆矿 作为 自一空间。u 圆y = u 圆= e ( 钍一1 u 一1 ) 钍oo 珈l 札u n ，下面在u 园矿上定义左 h -余模结构 p u园y ：u 圆y 斗日ou 圆k 乱圆 p u 一1 钉一1 圆札。圆甜o 对于日，余乘可作为其余模作用 下面定义等价族 “皈u ( ( “圆口) 园埘) = u 园扣圆) ， h 扣园胪) = ( 一1 铲) 第三章、r e t t e r d r i n f 色l d 范畴中的弱h o p f 噬2 5 # ) 显然成立 d 命题3 1 7 设日是一个弱h o p f 代数，a 既是左日一模代数又是左h 余模余代 数，并且作为k 空间a # 日= 舢日，则对任意的n 4 ， 日，有下面结论成立 ( 1 ) 1 1 n o n r ( 1 2 ) = 凸o o n r ( o 一1 ) ( 2 ) n 1 1l oo o ( 1 2 t1 a ) = 盘一l on o ( 3 ) 0 1 ( ( n 2 ) 一i 1 a ) o ( n 2 ) o = 0 1 0 8 2 ( 4 ) n 1 圆( ( 2 ) o ) ( 。2 ) 一l = l l 一8 0 1 2 ( 5 ) ( 1 1 n ) 一1 1 2o ( 1 l o ) o = o 一1oo o ( 6 ) r ( ) o = o ( n r ( 危) 1 a ) ( 7 ) a ( 吐o ) a i = e 且( 1 1 - n ) 1 2 证明我们仅证( 3 ) ，( 4 ) ，( 6 ) ，( 7 ) ，其余类似可证 ( 3 ) 由余模余代数的定义知 n 1 ( ( n 2 ) 一l 一1 a ) o ( 0 2 ) o = ( ( n 1 ) l ( 日2 ) 一2 ) ( 0 1 ) o ( ( n 2 ) 一l 1 a ) o ( 0 2 ) o = ( ( n 1 ) 1 1 l ( 0 2 ) 一1 ) ( n 1 ) o ( 1 2 1 a ) o ( 0 2 ) o = ( ( 口1 ) 一1 ( n 2 ) 一1 ) ( 口1 ) oo ( n 2 ) o = n l o 。2 ( 4 ) 由等式a ( 口o ) n 一1 = 5 ( o o ) n 1 ) 得到 口1o ( ( 口2 ) o ) ( 口2 ) 一l = ( n 1 ) oo ( ( 0 2 ) o ) ( ( 1 ) 一1 ( 0 2 ) 一2 ) l ( ( a 2 ) 一1 ) = ( 1 ) oo ( ( 0 2 ) o ) ( ( n 1 ) 一l ( 0 2 ) 2 ) 工( ( 口2 ) 一1 ) = ( 0 1 ) op ( ( 0 2 ) o ) ( ( n 1 ) 一1 ( 0 2 ) 一1 1 1 ) 1 2 = ( o o ) 1o ( ( n o ) 2 ) ( n 一1 1 1 ) 1 2 = o o 圆( n 8 ( n 1 ) 1 1 ) 1 2 = 1 i n o oe ( 1 ：1 1 ) 1 2 = 1 1 a 圆1 2 第三章y j t t e r d r i n f e l d 范畴中的弱h o p f 代数一 2 6 ( 6 ) 由等式。m = 。( n r o i d ) o m 得 r ( ) - o = ( 1 2 ) ( 1 i l l n ) ( 1 ；1 ) = e ( 1 3 ) ( 1 l o ) ( 1 2 1 a ) = e ( 1 2 ) o ( 1 l l ) = o ( r ( h ) 1 a ) ( 7 ) 因为 ( 8 0 ) o l = e a ( n o ) ( n 1 ) ，所以 e ( o o ) o 一1 = a ( 口o ) ( 1 l 。一1 ) 1 2 = 5 a ( o o ) ( a 1 1 1 ) 1 2 = ( 1 ：o ) e ( 1 ：1 1 ) 1 2 = e a ( 1 1 - o ) 1 2 3 2y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的弱h o p f 代数 口 将七一弱h o p f 代数定义中的一般扭曲换成y e t t e n d r i n f e l d 范畴中的辫子映射，我们 得到y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的弱h o p f 代数的定义 定义3 2 1 设日是一个弱h o p f 代数，a 称为h 的左y e t t e 卜d r i n f e l d 范畴中的弱 双代数，如果a 满足以下条件 ( 1 ) a 是h 的一个左y e t t e r _ d r i n f e l d 模； ( 2 ) a 是左口一模代数； ( 3 ) a 是左日一模余代数； ( 4 ) a 是左日一余模代数； ( 5 ) a 是左口一余模余代数； 蔓三童堡垡! ! 旦! ! 呈鱼堕蔓堕主笪塑垡! 堕垡墼 2 7 ( 6 ) 对任意的n ，6 ，c a ，有下面等式成立 a ( 0 6 ) = n 1 ( ( a 2 ) 一li b l ) o ( n 2 ) o b 2 ， e ( n 6 c ) = a ( 0 6 1 ) s a ( 6 2 c ) ， e a ( n 6 c ) = a ( n ( 6 2 ) o ) e a ( 6 1 ( ( 6 2 ) 一1 c ) ) ， 二( 1 a ) = e 1 e 2 e 1oe 2 ， 刍( 1 j 4 ) = 1 1 e 1o ( 1 2 目1 ) ( ( 手) 一1 e 2o ( 目2 ) o 这里及以后我们采用记号( 1 ) = e 1 圆e 2 如果4 上还存在一个既是左日一模线性又是左日一余模线性的映射乳：a _ a ，