（基础数学专业论文）一类无穷维李代数的结构和表示.pdf

一类无穷维李代数的结构和表示 1 1 1 在第章中，我们给出并研究了一类李代数c ( e l ，马，e 3 ) ：= 9 a ( 李关系由( 1 ) 式给出) 在p e r e e t 条件下的同构分类和导子李代数，其中一4 = c t l 士1 ，砖1 ，t 軎1 我们 证明如果李代数( e l ，e 2 ，e a ) 是p e r f e c t 的，那么c ( e 1 ，e 2 ，e 3 ) 或者同构于c ( 1 ，l ，1 ) ， 或者同构于某个c ( ”，t s ：，1 ) ，其中s 1 ，s 2 z ； o ) 且s 1 s 2 ；我们还证明( t “，t s 。，1 ) 是有限生成的；z ”一分次李代数；最后，我们给出李代数c ( t “，俨，1 ) 的导子李代数 在第二章中，我们给出李代数c ( ”，t ”，1 ) 的个p e r f e c t 的中心扩张：= op c ( 李 关系由( 1 6 ) 式给出) ，并证明这个c 就是( t “，t 。，1 ) 的泛中心扩张在第三章中，我 们构造了a 1 型t o r o i d a l 李代数的个2 阶齐次表示我们所构造的f o c k 模是完全可 约的扩张t o r o i d a l 李代数模最后，在第四章中，我们考虑当y = 2 时p e r f e c t 李代数 c ( 毋，e 2 ，岛) 的泛中心扩张的顶点算子表示的存在性我们给出李代数l ( t 。，t 2 ，1 ) 的一 个顶点算子表示于是，对于每个p e r l e c t 李代数c ( e 1 ，e 2 ，e 3 ) ，当= 2 时它的泛中 心扩张都存在顶点算子表示 关键词：泛中心扩张，顶点算子表示，k a c m o o d y 代数 一类无穷维李代数的结构和表示 i v a b s t r a c t i nc h a p t e ro n eo ft h et h e s i sw es t u d yt h ei s o m o r p h i cc l a s s e sa n dt h ed e r i v a t i o n a l g e b r ao ft h el i ea l g e b r ac ( 且，易，e 3 ) ：= 9 aw i t ht h el i eb r a c k e tg i v e nb y ( 1 ) a n da = c q 1 ，手1 ，軎1 w h e nc ( e 1 ，e 2 ，e 3 ) i sp e r f e c t w ep r o v et h a ti ft h el i e a l g e b r ac ( 毋，易，b ) i sp e r f e c t , t h e nc ( 日，邑，e 3 ) i se i t h e ri s o m o r p h i ct o 2 ( 1 ，1 ，1 ) ， o ri s o m o r p h i ct oc ( t “，t ”，1 ) f o rs o m es 1 ，s 2 z ；w i t hs l ，s 2 0a n ds 1 s 2 w ea l s o p r o v et h a tc ( t “，t “，1 ) i sf i n i t e l yg e n e r a t e d f i n a l l y , w eg i v et h ed e r i v a t i o na l g e b r a o ft h e l i ea l g e b r az ( t ，t “，1 ) i nc h a p t e rt w ow eg i v eap e r f e c tc e n t r a le x t e n s i o n c ：= c o 疋o fcw i t hl i eb r a c k e tg i v e nb y ( 1 6 ) ，a n dp r o v et h a tci st h eu n i e r s a lc e n t r a l e x t e n s i o no fc i nc h a p t e rt h r e ew ec o n s t r u c tal e v e lt w oh o m o g e n e o u sc o n s t r u c t i o n o ft h et o r a i d a tl i ea l g e b r ao ft y p ea 1 t h ef o c km o d u l eo b t a i n e dh e r ei se o m p o l e t e l y r e d u c i b l eo v e rt h et h ee x t e n d e dt o r o i d a ll i ea l g e b r a i nt h el a s tc h a p t e ro ft h et h e s i s w es t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h ev e r t e xo p e r a t o rr e p r e s e n t a t i o nf o rt h eu n i e r s a lc e n t r a l e x t e n s i o no ft h e p e r f e c tl i ea l g e b r ac ( e 1 ，e 2 ，e 3 ) w i t hp = 2 w eg i v eav e r t e x o p e r a t o rr e p r e s e n t a t i o nf o rt h el i ea l g b r a ：( t l ，屯，1 ) t h e r e f o r e ，f o re v e r yp e r f e c tl i e a l g e b r ac ( 蜀，e 2 ，e 3 ) w i t h = 2 ，i t su n i e r s a lc e n t r a le x t e n s i o nh a st h ev e r t e xo p e r a t o r r e p r e s e n t i o n k e y w o r d s ：u n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n ，v e r t e xo p e r a t o rr e p r e s e n t a t i o n ，k a c m o o d y a l g e b r a 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任。 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦 门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸 质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关 数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密 的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 l 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密() ( 请在以上相应括号内打“”) 作者签名：堂滔名日期：年h p 日 导师签名：日期：年月日 引言 引言 上世纪6 0 年代末，k a c ( c f 1 5 】) 和m o o d y ( c f 2 1 1 ) 独立地引入并研究了一类新的 现在被称为k a c m o o d y 代数的无穷维李代数由于它在组合学、数论、可积系统、算子理 论、量子随机过程、等数学分支以及物理学的量子场理论中都有重要的应用，k a c m o o d y 代数成为许多数学家和物理学家感兴趣的个焦点在过去的3 0 多年里，这类代数在深 度和广度上都得到系统的研究，发展极为迅速下面，我们先回顾k a c m o o d y 代数的定 义和它的一些推广 设a = ( a t j ) 是佗n 整矩阵如果a 满足下列条件； ( c 1 ) ( c 2 ) ( c 3 ) v i = 1 ，2 ，礼，a i i = 2 ， vi ，j = 1 ，2 ，礼且i j ，a o 是非正整数 v i ，j = 1 ，2 ，n ，a i j = 0 蕴涵着a j i = 0 ， 则称a 为广义c a f t a n 矩阵设g ( a ) 是由e ；， ，h i ，i = 1 ，2 ，凡生成的复李代数，其 李关系如下； e i ，丘 = 翰h i ， h i ，h j 】= 0 ， 乜，e j = a i i e j ， h i ，办】= 一“玎力， 其中i ，j = 1 ，2 ，n 设r 是g ( a ) 的且和s p a n c 1 ，h 2 ， 。) 交为0 的最大理想， 则g ( 4 ) = 9 ( a ) 一就是广义c a r t a n 矩阵a 的k a c m o o d y 代数特别地，如果a 不 可分解目余维为1 ，那么称g ( a ) 为仿射k a c m o o d y 代觌 关于k a c m o o d y 代数推广，个自然的想法就是从广义c a f t a n 矩阵定义出发例 如，如果将( c 2 ) 和( c 3 ) 换成 a i j 0 ) 蕴涵着a i i 0 ) ，i ，j = 1 ，2 ，犯 则称a 为广义i n t e r s e c t i o n 矩阵( 简称g i m ) 由生成子q ，h t ，f i ( 1 i n ) 和下列关系 式 m ，h 3 】= 0 ，【h i ，e j = a l j e j ，【h i ，j 】= 一。臼厶， e i ，尼】= 瞄， 当i j 且a i j 茎0 时，( 口de ；) 一“i + 1 e j = ( a d ) 一“，+ 1 厶= 0 ， 当i j 且a 可 0 时，( 谢e 。) 8 q + 1 e i = ( a d ，i ) o “办= 0 ， 可以得到g i ma 对应的李代数9 i m ( a ) ( c 4 】 7 ， 1 2 ， 25 ) 如果考虑实矩阵a = ( ) 。e i ( ，是个可数指标集) ，a 满足下列条件； a 是对称的， 当i j 时，0 ， 当 0 时，警z 引言 那么由生成子e ，h i ，k ( i ，) 和下列关系式 h i ，h j 】= 0 ， 也，e j 】= a o e j ， ，乃 = 一a t j j ， c i ，办 = 文j 慨， 当i j 且啦。 0 时，( 。de 。) 鲁“勺：( 积，i ) 鲁+ 1 f j ：0 a o = 0 时，f e ，e i 】= ， ，矗】= 0 ， 2 可以得到矩阵a 对应的广义k a c m o o d y 代数( c f 5 1 ， 6 1 ， 1 4 1 ) t o w i d a l 李代数也是k a c m o o 幻代数的一种自然推广由于每个非扭仿射k a c m o o d y 代数都同构于某个有限维单李代数g 对应的l o o p 代数g o cct t ，t 一1 】的泛中心 扩张( c f 1 6 】) 多变量l o o p 代数9 圆c c f 1 ，t 砉1 的泛中心扩张就是仿射k a c m o o d y 代数的个自然推广，逸类代数也称为t o w i d a l 李代数( c 8 】， 2 3 7 ) 下面我们考虑另一类无穷维李代数，它包含了a 1 型多变量l o o p 代数 设g = c 圆s o ( 3 ) 是实李代数s o ( a ) 的复化李代数， a 。，n 2 ，n 3 ) 是s o ( 3 ) 的标准基， 亦 o z l ，a 2 】= a 3 ， o z 3 】_ 0 1 ，【q 3 ，0 1 = n 2 对任意的a = 墨1a i o r i g ，我们记a ( 0 = 吼a i ，i = 1 ，2 ，3 设a 是任一复数 域c 上的交换结合代数，在4 中任意取定三个元素历，e 2 ，玛，我们定义个李代数 c ( 毋，e 2 ，e a ) ：= 9 a ，它的李积如下：对任意的a ，b 9 ，f ，g a ， 3 a 圆，b 9 7 = a ，b 】( ) 。最，9 ( 1 ) 命题0 1 c ( e 1 ，e 2 ，毋) 是一个李代数而且，c ( 毋，易，e 3 ) 是p e r f e c t 李代数当且仅 当e 1 ，马，岛是一4 的可逆元 证明；要证c ( e 1 ，饬，e a ) 是个李代数，我们只需验证j a c o b i 等式对任意的a 圣l o ，b = ：l6 t q ：，c 一：1 岛n t 9 ，g ，h a ，我们有： 【 a ，b 】( ) ，c 】4 - b ，c m ，a 4 - c ，a ( 1 ) ，b 】 = ( a 2 b a a a b ：) a l ，c 】+ ( b 2 e a b a c = ) a 1 ，a 4 - ( c 2 0 3 一c a a 2 ) 0 1 ，b 】 = ( ( a 2 b a a a b 2 ) e 2 + ( b = c a b a c 2 ) a a4 - ( c 2 a 3 一c 3 2 ) 6 2 ) q 3 一( ( a 2 b 3 一a a b 2 ) c a4 - ( b = c a b a c 2 ) a a4 - ( c 2 a 3 一c a a 2 ) b a ) a 2 = 0 类似地，可以证明当i = 2 ，3 时 a ，b 】( 。) ，c 】4 - 【b ，叫( t ) ，a 】+ c ，a 】( ) ，b 】= 0 从而，我们有 a 圆f ，b 圆f 】，c h 4 - 7 5 0 9 ，c 州，a 圆， + 【 c h ，a 圆n ，b 圆或 毛：1 ( a ，5 7 ( 。) ，c o ) + b ，c 】( i ) ，a 】o ) + 7 c ，a 】( ，) ，b 】) 圆e i e j f g h = 0 引言3 这说明j a c o b i 等式成立，所以c ( 毋，毋，e 3 ) 是个李代数 我们知道，如果李代数c 的导出子代数等于它本身，即 ，c 】= c ，则称c 为p e r f e c t 的对于固定的局，e 2 ，b a ，我们简记c = ( 局，e a ，b ) ，7 = l c lc 1 设c 1 = ：t ( n t c 蜀一由于c = 圣。( 啦圆c4 ) ，蹴c ，c t 另一方面，对任意的 ，a ，由( 1 ) 式，我们有： 0 1 ，0 9 2 1 = o r 3 0 b ， 【0 2 圆f ，a 3 固l 】= o t i 圆e l i q 3 ，1 0 1 】= o t 2 岛， 所以c l 垦c 因此c 1 = c 7 于是： 如果c 是p e r f e c t 的，那么c 1 = 7 = c ，因而对任意的i = 1 ，2 ，3 ，最a = a ，所 以置是可逆元反之，如果岛( i = 1 ，2 ，3 ) 是可逆元，那么e a = a ，i = 1 ，2 ，3 ，所以 c = c 1 = c 7 ，c 是卵咖c t 的 口 注0 2 若取4 = c 肛 1 ，t 手1 ，軎1 当y = 1 时，李代数c ( 1 ，1 ，1 ) 就是a 1 型l o o p 代数；当2 时李代数c ( 1 ，1 ，1 ) 就是a 1 型多变量的l o o p 代数 顶点算子代数理论是数学的一个新领域，其中顶点算子代数这一数学概念是b o r c h e r d s 在1 9 8 6 年首先引入( c f _ 5 】) 利用顶点算子构造代数的模是k a e m o o d y 代数的个重 要研究方向l e p o w s k y 和w i l s o n 在1 9 7 8 年首先利用顶点算子构造了a 型仿射 k a c m o o d y 代数的表示( c f 1 9 1 ) k a c ，k a z h d a n ，l e p o s k y 和w i l s o n 在1 9 8 1 年将它推广到所有s i m p l y - l a c e d 型仿射k a c m o o d y 代数，他们所构造的都是一阶主表示 ( c f 17 ) f r a n k e l 和k a c ，以及s e g a l 给出了一阶齐次表示c f 1 0 ， 2 4 】) l e p o w s k y , w i l - 8 0 l l ，p r i m c 等还构造了优射k a c m o o d y 代数的二阶顶点算子表示( c f 1 8 ， 2 0 ) m o o d y , r a o 和y o k o n u m a 最先研究t o r o i d a l 李代数的顶点算子表示，他们构造了s i m p l y - l a c e d 型t o r o i d a l 李代数的一阶齐次顶点算子表示( c f i s l ，【2 3 】) b i l l i n g 和谭绍滨等构造了t o r o i d a l 李代数的主顶点算子表示( c f 2 ， 2 6 j ， 2 8 ) 研究 l 型t o r o i d a l 李代数的二阶齐次顶点算 子表示也是件有意义的事情 现在我们假定a = c t l + 1 ，手1 ，吉1 】，并且李代数c ( 最，易，岛) 是p e r f e c t 在这 篇学位论文中，我们首先研究p e 币c 李代数( 历，如，忍) 结构在第一章中，我们研 究李代数z ( e ，e 2 ，岛) 在p e 巾c t 条件下的同构分类和导子李代数我们证明如果李代 数c ( 毋，毋，岛) 是p e r f e c t 的，那么c ( 蜀，易，b ) 或者同构于c ( 1 ，1 ，1 ) ，或者同构于 c ( t ”，t ”，1 ) ，其中s 1 ，s 2 z g o ) 且s 1 s 2 ；我们还证明c ( t ”，t ”，1 ) 是有限生成 的j z ”一分次李代数；最后，我们给出李代数c ( t “，t s ：，1 ) 的全部导子在第二章中， 我们给出李代数c ( t “，t s z ，1 ) 的一个p e r f e c t 的中心扩张：= co ，并证明这个就 是c ( t ”，t ”，1 ) 的泛中心扩张特别地，当s 1 ，s 2 = 0 时，我们所构造的就是a 1 型 t o r o i d a l 李代数在论文的第三章，我们给出了t o r o i d a l 李代牧和扩张t o r o i d a l 李代数的 个二阶齐次顶点表示，其表示空间为m = c r 1 】os ( 一) oa ( w 一) ，我们还证明m 是完全可约的扩张t o r o i d a l 李代数槐在论文的最后一章，我 f 1 给出当y = 2 时p e r f e c t 李代数( t 。，t 。，1 ) 的个顶点表示，顶点算子构造的思想来源于t k k 代数的顶点算子 结构( c 2 7 】) 因此，由推论1 5 ，对于每个p e f f e c t 李代数c ( 毋，屁，e 3 ) ，当= 2 时 它的泛中心扩张都存在顶点算子表示 在整篇论文中，我们记： z ；= ( m 1 ，m ，) z ” 叻= 0 ，1 ，j = 1 ， t “= t 7 1 ，? v ，其中m 一( m l ，一，m ，) z ”( v 1 ) ，而e j 0 = 1 ，- ，v ) 表示z ”中 第j 个分量为1 ，其余分量金为0 的向量z = 全体非零的整数，z 一= 全体负整数， z + = 全体正整数，c 4 = 全体非零的复数 第一章同构类和导子李代数 第一章同构类和导子李代数 1 同构 引理1 1 假设李代数c ( e 1 ，e 2 ，局) 是p e r f e c t 的，那么存在8 1 ，s 2 z g 使得 ( 蜀，e 2 ，e 3 ) 竺e ( 亡s 1 ，t ”，i ) 5 证明：因为c ( 目，岛，岛) 是p e r f e c t 的，由命题0 1 ，故存在m 1 ，m 2 ，m 3 z ”和 n 1 ，a 2 ：“3 c + ，使得岛= a i r “，i = 1 ，2 ，3 对于k = 1 ，2 和j = 1 ，设 10 ，如果m k j + m 3 j 是偶数， 乳21 1 ，如果m 女，十m 3 j 是奇数， 其中m o 是m 。( i = 1 ，2 ，3 ) 的第j 个分量设s k = ( 乳1 ，8 k ，) ，则s k z ；，k = 1 ，2 定义线性映射妒：c ( 历，e 2 ，e 3 ) 一c ( t “，t ”，1 ) 如下 妒( q 1 ，) = 厕1 0 t 毕， 妒( a 2 圆f ) = 厕2 圆啦孕1 ， 垆( 0 3 0 ，) = 扣而口3 0 t 业产， 则c ( 毋，易，玩) 垡l ( t ”，”，1 ) 口 引理1 2 设s 1 ，s 2 z ；如果s 1 = 0 或者s 2 = o ，那么( “，”，1 ) 竺( 1 ，1 ，1 ) 证明；不失般性，假设s 2 = 0 我们用 】，卜】分别表示l ( t “，1 ，1 ) 和c ( 1 ，1 ，1 ) 的 李积对任意的m z ”，设 h ( m ) = - 2 i a l t “，z ( m ) = t 2 ”士o t 3 圆t “， 其中i = , - ：x 在c ( t “，1 ，1 ) 申，我们有： ( m ) ， ( n ) l = 0 ，限( m ) ，z 士( n ) 】= 土2 z 土( m + n ) ， 陋士( m ) ，z 士( n ) 1 = 0 ，陋+ ( m ) ，z 一( n ) 】= h ( m + n + s 1 ) 在c ( 1 ，1 ，1 ) 中，我们有； 降( m ) ，h ( n ) 】= o ，限( m ) ，z 士( n ) 】= 士缸( m + n ) 【z ( m ) ，z ( n ) 】7 = 0 ， 2 7 + ( m ) ，z 一( n ) 7 = h ( m + n ) 妒( 危( m ) ) = ( m ) ，妒( z + ( m ) ) = z + ( m ) ，妒( z 一( m ) ) = 。一( m + s 1 ) 第一章同构类和导子李代数 妒 则c ( t ”，1 ，1 ) 兰c ( 1 ，1 ，1 ) 引理1 3 对任意的s z ；，我们有( s ，t 8 ，1 ) 皇c ( 1 ，1 ，1 ) 证明t 定义线陛映射妒：c ( t 8 ，t 5 ，1 ) ，( t 3 ，1 ，1 ) 如下 妒( q 1 t m ) = n 2 t m ，妒( 口2 圆t m ) = 0 3 t m ，【p ( 0 3 m ) = 0 1 t m + 5 则c ( 护，s ，1 ) 墨c ( t s ，1 ，1 ) 由引理1 2 ，引理得证成立 由引理1 1 ，引理1 2 和引理1 3 ，我们有 6 口 口 定理1 4 如果李代数c ( e l ，岛，e 3 ) 是p e r f e c t 的，那么c ( 蜀，易，岛) 或者同构于 c ( 1 ，1 ，1 ) ，或者同构于某个c ( ，”，1 ) ，其中s 1 ，s 2 z i o ) 且s 1 s 2 口 推论1 5 设p = 2 如果李代数c ( e l ，易，岛) 是p e r f e c t 的，那么c ( e h 历，b ) 或者 同构于c ( 1 ，1 ，1 ) 或者同构于c ( t 1 ，t 2 ，1 ) 证明；对任意的s 1 ，s 2 z l o 且s l s 2 ，定义线性映射妒：c ( t “，t ”，1 ) 一 ( t ”，t “，1 ) 如下 _ 】o ( c q 圆f ) = d 2 ， 妒( n 2 圆，) = 1 圆， 【| o ( a 3 圆，) = 一0 3 圆， 则c ( t “，t ”，1 ) 垒c ( t ”，t “，1 ) 于是由定理1 4 ，只需要证明c ( t 1 ，t l 2 ，1 ) 和c ( t 2 ，t t t 2 ，1 ) 都同构于c ( t l ，t 2 ，1 ) 定义线性映射妒1 ：c ( 1 ，t l 屯，1 ) 一c ( t 1 ，2 ，1 ) 和如：c ( t 2 ，t i t 2 ，1 ) 一 c ( t l ，t 2 ，1 ) 如下 妒1 ( q 1 ，) ：一d 3 0 ， 妒1 ( n 2c 墨，) = n 2 ， 妒1 ( n 3 圆，) = 口1 0 t l l 也( n 1 ，) 如( n 2 0 ，) 如( q 3 0 ，) 一3 0 ， q 2 圆， q 1 圆t 2 f 则c ( f l ，1 t 2 ，1 ) 垒c ( 1 ，t 2 ，1 ) ，c ( 如，t l t 2 ，1 ) 垒c ( t 1 ，屯，1 ) 所以推论1 5 成立 口 由于a 1 型l o o p 代数和多变量l o o p 代数的结构理论已经很清楚，下面我们仅考虑李 代数c ( t “，t ”，1 ) ，其中s 1 ，8 2 z ； o ) 且s 1 s 2 2 分次 引理1 6 李代数c ( t “，t ”，1 ) 是有限生成的 第一章同构类和导予李代数 7 证明；设o 是( t 卧，t b ，1 ) 的由q 1 圆t “，n 2 t “，q 1 t 一勒，a 2 圆t 一8 - 0 1 ，) 圭e 成 的子代数+ 下面我们将证明c o = c ( t ”，t ”，1 ) 事实上：对任意的i = 1 ，2 ，3 ，j = 1 ，1 2 ， 由于 b l e j ，0 2 t 一勺 = 3 1 ，b 2 t s 1 ，a 3 圆1 1 = o z l 1 ， 皿3 1 ，。1 0 t 一印】= a 2 1 ， o t l 0 1 ，o l 2 t 一8 】= a 3 t 一乳， q l t e j ，a 2 1 = 0 1 3 t e j ， 0 c 2 t 川1 ，a 3 0 t e j = o t l 圆t 卧， o z 3 圆t e j ，q 1 圆t 一酏】= n 2 t e ， 我们有d 圆1 ，d 。圆t s ：e c o 又由于 陋1 圆t 。c e j ，o z 2 t + e 】= a 3 0 t 土2 e ， b 2 t 1 ，q 3 t 4 - 2 e j 】_ o r l t 拙j ， 【n 3 圆t 土2 e ，o l t 嘲 _ o z 2 圆t 曲“， 我们有a ；圆t 土2 e ，c 0 “= 1 ，2 ，3 ) 通过对n 做归纳，可得o t n e j c o 对任意的 n z ，i = 1 ，2 ，3 ，和j = 1 ，矿都成立对任意的n i ，n j z ，t ，j = 1 ，i j ， 由于 b 1 t ”，d 2 t 叩小= n 3 t 吼押“， q 2ot _ s 1 ，q 3 t r e e + n j 。j 】- o q t m 岛抑丹， 陋3ot m e + n j 船，o lot 呻2 】- o t 2 圆t m q 却而， 我们有 q l 固t n i e i + n j “，d 2 圆t n l 8 + q ，。3 t n l e i + n j e j o 重复上面的过程，由于有限，可以证明0 10 t “，0 2 t “，a 3 t “c o 对任意的n 掣 者成立因此，c o = c ( “，t ”，1 ) 口 定义李代数c ( t “，“，1 ) 的元素的次如下 d e g ( a l o t “) = n + z 1 s 2 ， d e g ( a z o t 。) = n + s l ， ( k g ( a 3 圆t “) = n + ；( s l + s 2 ) 由( 1 ) 式和( 2 ) 式，我们有下面的命题： ( 2 ) 墨二芏旦塑叁查量圭垡墼8 命题1 7 c ( t “，t “，1 ) = o ， 掣c r 是一个 z ”一分次李代数，而且 f c a l t r - - ”， ，一j c 口2 圆r 如， 蜥一1 c 3 酣 ( 8 1 + b 2 ) ， 【0 ， ( 3 ) 口 设g 是个a b e l 群，a = 0 。g a 。是个g 一分次李代数设d 是a 上个 线性变换，如果 d ( 陋，6 】) = d ) ，6 】+ a ，d ( 6 ) ， 对任意的“，b a 都成立，两秫d 是a 的个导子a 的导子的全体记为d e r ) 设 d d e r ( a ) ，如果d ( a n ) a 叶p ，对任意的卢g 成立，则称d 是。次导子，并记 d e g d = q 设 d e r ( a ) 。= ded e r ( a ) ld e g d = q 引理1 8 ( c f 9 ) 设g 是一个a b e l 群，那么每一个有限生成的g 一分次李代数a ： oa 。的导子李代数也是g 一分次的，即有： d e r ( a ) = 曰d e a ) 。， 口 & f i g 设c = c ( t “，t “，1 ) ，其中s 1 ，s 2 z ；f o ) 且s l 8 2 由引理1 6 和命题1 7 可知 c 是有限生成的 z ”一分次李代数应用引理1 8 ，我们有 d e r ( c ) = 0d e r ( c ) 。 r ；舻 对任意的j = 1 ，i t i z ”，定义c 上的线燃d 3 ( m ) 如下 d j ( m ) 。1 t “= ( + 等) q l 圆t “+ “ d a m ) 0 2 0 t “= ( + 孚) a 2 0 t “+ m d j ( m ) 0 3 圆t “= ( 哪+ 皇嚆盟) n 3 圆t n 十m 容易验证每个d a m ) 都是c 的导子 定理1 9 d e r ( c ( “，t ”，1 ) ) = 0d e r ( c ) ， r 扩 ( 4 ) 昆 & 凯0 121212 + + + 口掣掣 r r r 它当当当其 第一章同构类和导子李代数 o c d j ( r ) ， c a d ( a 2 t r - i 8 1 ) ， c a d ( a 1 固t r - ”) ， c a d ( a 3ot r - ( s l + s 2 ) ) o ， 当rez “ 当r z ”+ ；s 1 ， 当r z ”+ j s 2 ， 当r z ”+ ( s 1 + s 2 ) 其它 证明：由命题1 7 可知，l ( t “，t ”，1 ) = o ，。；矿c r ，而且对任意的r 掣有 d i m c ，= f ：其它r z ”+ j s 。u z ”+ j s 2 u z ”+ j 8 l + s 2 ” 设r ；z ”，d 。d e r ( c ) ，下面，我们分5 种情形证明( 5 ) 式 情形1 如果r = m z ”，由( 6 ) 式，对任意的i = 1 ，2 ，3 ，n z ”，可设 d ，( a ； t “) = 也( m ，n ) o 。 t m + “， 其中，如是个z ”z ”到c 的映射由于对任意的w z ”和j = l ， n 3 圆t w = n 1 圆勺，0 2 $ w - e j ，0 2 t w = o t 3 t w ，l 圆t - s 2 】， 所以 九( m ，w ) = l ( m ，e j ) + 咖2 ( m ，w 一勺) ， 2 ( m ，w ) = 豳( m ，w ) + 咖1 ( m ，一s 2 ) 因此。对任意的n z ”，j = 1 ，2 ，和= 1 ，2 ，我们有 9 ( 5 ) ( 6 ) ( 8 ) 九( m ，n ) = 向( m ，勺) + 庐2 ( m ，1 1 一e j ) = 咖1 ( m ，8 j ) + 咖3 ( m ，n 一8 j ) + 咖1 ( m ，- - s 2 ) ( 9 ) = 七妒1 ( m ，e j ) + 也( m ，n k e i ) + 七l ( m ，一s 2 ) 注意到( 9 ) 式对k 0 也成立于是由( 9 ) 式，对任意的n z ”，我们有 如( m ，n ) = 吩l ( m ，e j ) + 西3 ( m ，o ) + q 西1 ( m ，一s 2 ) ( 1 0 ) j = 1 】= 1 对任意的1 1ez ”，因为o l t “= d 2 3 圆_ 8 2 】，所以有 l ( m ，n ) = 2 ( m ，n ) + 庐3 ( m ，一8 1 ) = 妒3 ( m ，n ) + 1 ( m ，一s 2 ) + 西3 ( m ，一s 1 ) ( 1 1 ) ，、 1 1 k c ，【 盯d 中 其 第一章同构类和导子李代数 特别地，取1 3 = 一s 2 ，有 3 ( m ，一s 1 ) + 3 ( m ，- - $ 2 ) = 0 在( 2 9 ) 式中取n = 一s 1 和n = - 8 2 ，再由( 1 2 ) 式，我们有 1 0 ( 1 2 ) 2 如( m ，o ) = ( s ，+ s 巧) 咖1 ( m ，勺) + ( s l j + s 2 j ) 4 n ，( m ，一s 。) ( 1 3 ) j = 1j = l 此外，由于q 3 1 = a 1 圆1 ，2 圆1 ，利用( 8 ) 、( 1 0 ) 和( 1 1 ) 式，我们有 3 ( m ，0 ) = 1 ( m ，0 ) + 2 ( m ，0 ) = 2 九( m ，0 ) + 0 3 ( m ，一s 1 ) + 2 西1 ( m ，一s 2 ) = 3 3 ( m ，0 ) 8 1 j l ( m ，e j ) 一s t j 西l ( m ，一s 2 ) + 2 咖1 ( m ，一s 2 ) 注意到8 2 j 0 0 = 1 ，) 且不全为0 ，利用( 1 3 ) 式，我们有 咖t ( m ，m s 2 卜楚掣 ， 利用( 1 0 ) 、( 1 3 ) 和( 1 4 ) 式，九( m ，n ) 可由，( m ，勺) u = 1 ，) 线陛表示再利用 ( 8 ) 和( 1 1 ) 式，庐2 ( m ，n ) 和1 ( m ，n ) 也可以由西，( m ，e j ) ( j = 1 ，p ) 线性表示因 此，从( 7 ) 式可知，d 。由咖1 ( i n ，e j ) ( j = 1 ，) 决定这说明d i m d e r ( z ：) 。v 又 注意到d z ( m ) ，乩( m ) 在d e r ( c ) 。中是线性无关的，所以d i md e r ( c ) 。= ”，而且 d e r ( ) 。= o 名。c d j ( m ) 情形2 如果r = m + 詈z ”十謦，根据( 6 ) 式，对任意的n 才我们有 d r ( n 1 t “) = 3 ( m ，n ) c t a t “+ n ， d r - ( n 2 0 t “) = 0 ， d r , ( n 3 t “) = 九( m ，n ) o l t m + n + s 1 其中，1 和西3 是z ”x z ”到c 的映射对任意的n ，w z ”，因为a 3 圆t “= c q t ”，a 2 0 t - - w ，所以有机( m ，n ) = 一移a ( m ，w ) 特别地ti i l ( m ，n ) =也( m ，n ) = 一也( m 、o ) 对所有的n z ”都成立这说明d i m d e r ( c ) 。+ 。1 又a d ( c 比。) ( o ) d e r ( c ) 。+ 。，因此，d i m d e r ( z ；) 。+ 。= 1 ，d e r ( c ) 。+ 。= c a d ( 0 2 圆t 。) 情形3 如果r = m + 警z ”+ 警，根据( 6 ) 式，对任意的n z ”我们有 d r ( a 1 t “) = 0 ， d r ( 0 2 t “) = 九( m ，n ) a 3 t m + n ， d 。( q 3ot “) = 2 ( m ，n ) c y 2 f m + “十5 2 第一章同构类和导子李代数 1 1 其中，咖2 和九是z ”z “到c 的映射，对任意的n ，w z ”，因为0 3 t n = o t l 垆一”，d 2 圆”1 ，所以有西2 ( m ，1 2 ) = 一曲3 ( m ，w ) 特别地，曲2 ( m ，n ) = 一3 ( m ，n ) = 一九( m ，o ) 对所有的n z ”都成立这说明d i m d e r ( c ) 。+ 。茎1 又8 d ( 圆t “) ( o ) d e r ( c ) m + s 。，因此，d i md e r ( f 一) 。+ 。：= 1 ，d e r ( c ) 。+ 。= c a d ( e l t m ) 情形4 如果r = m + ! 垆z ”+ ! 垆，根据( 6 ) 式，对任意的l l z ”我们有 d 。( q 1 圆t 。) = 曲2 ( m ，n ) c ￥2o t m + “+ 8 2 d ，( 口2ot “) = l ( m ，n ) c y l 固t “+ 8 1 珥( a 3 严) = 0 ， 其中，l 和2 是z ”z ”到c 的映射对任意的n ，w z ”，因为n 1 圆垆= a 2 圆t ”，q 3 t n - w - s l 】，所以有d m ，n ) = 一妒1 ( m ，w ) 特别得，也( m ，n ) = 一曲l ( m ，n ) = 一1 ( m ，0 ) 对所有的n z ”都成立这说明d i m d e r ( e ) 。+ ；( 。，+ 。) s1 又a d ( 0 l t m ) ( 0 ) d e r ( c ) m + ( 。1 + 。：) ，因此，d i md e r ( ) 。+ ( 。l + 。2 ) = 1 ，d e r ( c ) 。+ ( 。1 + 。2 ) = c a d ( a 3 圆t ”) 情形5 如果r 乒( z ”+ ! 峙墅) u ( z ”+ 詈) u ( 掣+ 警) ，根据( 6 ) 式，对任意的 i = 1 ，2 ，3 和n 掣我们有 d 。( q ；圆t “) = 0 所以d ，= 0 ，从而d e r ( z ：) ，= 0 这样，我们也就完成了定理1 9 的证明 口 第二章l ( t “，t ”，1 ) 的泛中心扩张 第二章c ( t “，t s 。，1 ) 的泛中心扩张 1 2 设h 是个p e r f e c t 李代数，7 - 1 的中心扩张是个李代数h 和个满同态7 r ： 死一h ，满足k e r ”z ( 霄) 如果冗还是p e r f e c t 的，则称霄是h 的一个覆盖中 心扩张设( 冗，”) 是h 的个覆盖中心扩张，如果对任意的h 的中心扩张( 7 - 1 ，妒) ，都 存在唯李代数同态妒：冗一“使得妒妒= 疋则称( 霄，7 ) 为h 的泛中心扩张，每个 p e r f e d 李代数都有泛中心扩张，且在同构意义下泛中心扩张是唯一的( c f 1 3 ) 注意到，对任意的s l ，s 2 z ；，c = c ( t “，t ”，1 ) 是一个中心为0 的p e r f e c t 李代 数为了刻画c 的泛中心扩张，考虑商空间 其中 圮：= 丁i 丁：= s p a n c 勺( m ) ij = 1 ，”，me z ”) ， ，：= s p a n c j = l 叻勺( m ) f m2 ( m ，。，仇v ) z ”) 我们仍用勺( m ) 表示它在商空间瓦中的自然同态象，于是在中，我们有 m j c j ( m ) = 0 ，v n l z ” j = l 在复向量空间：= co 尼中定义括积如下。对任意的a ，b 9 和m ，n 掣