（基础数学专业论文）hübner函数的精确界及其应用.pdf

浙江理工人学硕士学位论文 摘要 超几何函数、椭圆积分、偏差函数以及与其相关的其他特殊函数在数学学科的许多 重要分支、某些其它学科及工程技术中都有着重要的应用。其中，h e r s c h p f l u g e r 偏差函 数咿kr ) 是拟共形理论r f l 最重要的特殊函数之一。拟共形s c h w a r z 引理是拟共形映射的 最重要的性质之一，而在此性质中，h e r s c h p f l u g e r 偏差函数妒k ( 7 ) 给出了单位圆盘到 单位圆盘的鼯拟共形映射的精确界。而且，拟共形映射的其它偏差性质都与妒k ( 7 ) 有关 系或由妒k ( r ) 表征。此偏差函数不仅在拟共形理论中发挥着极为重要的作用，而且它还 在数论等其它数学领域中有着广泛的应用。妒k ( r ) 的一些件质尤其是其精确界的估计依赖 于h i i b n e r 函数m ( r ) = m ( r ) + l o g r 。另一方面，我们需要用初等函数给出( i o k ( r ) 的显式 界。因此，研究揭示i ( r ) 的性质、改进其已知的界进而改进妒k ( 7 ) 的已知结果具有重要 的理论意义和应用价值。 本文的主要目的是获得h i i b n e r 函数由初等函数给出的精确界。运用这些结果，改进 拟共形理论中的h e r s c h p f l u g e r 偏差函数已有的界，从而加强显式拟共形s c h w a r z 引理 并改进r a m a n u j a n 模方程解的估计。 本文共四章。 在第一章中，我们引入了g a u s s 超儿何函数、完全椭圆积分、广义椭圆积分、h t i b n e r 函数及h e r s c h p f l u g e r 偏差函数等概念和记号，以及国内外的研究现状，并简要阐述了 它们的理论意义和应用价值。 在第二章中，我们研究一些由g a u s s 超几何函数以及广义椭圆积分定义的函数的单 调性，获得了它们的一些性质。 在第三章中，我们深入研究h i i b n e r 函数的分析性质，获得了此函数由初等函数给出 的更好的上下界。 在第四章中，我们运用第三章的结果改进了h e r s c h - p f l u g e r 偏差函数的已知估计， 从而较大程度地加强了显式拟共形s c h w a r z 引理和r a m a n u j a n 模方程解的估计。 关键词：特殊函数，h i i b n e r 函数，估计，拟共形s c h w a r z 引理，h e r s c h p f l u g e r 偏 差函数，r a m a n u j a n 模方程 i 浙江理工人学硕上学位论文 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a ts p e c i a lf u n c t i o n s ，s u c ha sg a u s s i a nh y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n s ， e l l i p t i ci n t e g r a l s ，d i s t o r t i o nf u n c t i o n s ，h a v ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nm a n yf i e l d so fm a t h e m a t i c s ，a sw e l la si ns o m eo t h e rs u b j e c t sa n de n g i n e e r i n g h e r s c h p f l u g e rd i s t o r t i o n f u n c t i o n 妒k ( r ) i so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tq u a s i c o n f o r m a ls p e c i a lf u n c t i o n s q u a s i - c o n f o r m a ls c h w a r zl e m m ai so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tp r o p e r t i e so ft h eq u a s i c o n f o r - m a lm a p p i n g s ，w h i c hs a y st h a th e r s c h p f l u g e rd i s t o r t i o nf u n c t i o n 妒k ( r ) g i v e st h es h a r p b o u n d so fak 。q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n go ft h eu n i td i s kb 2i n t oi t s e l fw i t hf ( o 、= 0 m a n y d i s t o r t i o np r o p e r t i e so fq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g sa r e e x p r e s s e di nt e r m so f 妒k ( r ) a n di ta l s oh a sa p p l i c a t i o n si ns o m eo t h e rm a t h e m a t i c a lf i e l d s p a r t i c u l a r l y , i ta p p e a r si n t h et h e o r yo fr a m a n u j a n 7 sm o d u l a re q u a t i o n sa n ds i n g u l a rv a l u e so fe l l i p t i ci n t e g r a l s o n t h eo t h e rh a n d ，s o m ep r o p e r t i e so f 妒k ( r ) ，e s p e c i a l l yt h es h a r pb o u n d sf o r 妒k ( r ) ，d e p e n d o nt h o s eo ft h eh f i b n e rf u n c t i o nu ( r ) = m ( r ) + l o gr i no r d e rt oo b t a i ns h a r pb o u n d s f o rt h ef u n c t i o n 妒k ( r ) ，o n en e e d st od e r i v et h eb e r e re s t i m a t e so fu ( r ) i nt e r m so fe l e m e n t a r yf u n c t i o n s h e n c e ，i ti ss i g n i f i c a n tt oo b t a i nn e wp r o p e r t i e sf o rm ( r ) ，i n c l u d i n g s h a r p e rl o w e ra n du p p e r b o u n d s t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si st op r e s e n ts o m en e wb o u n d sf o rt h eh f i b n e rf u n c t i o n ，a n dt h e na p p l yt h e mt oo b t a i ni m p r o v e m e n t su p o nk n o w nb o u n d so ft h eh e r s c h p f l u g e rd i s t o r t i o nf u n c t i o n t h ee x p l i c i tq u a s i c o n f o r m a ls c h w a r zl e m m aa n dt h ee s t i m a t e sf o rt h es o l u t i o n st or a m a n u j a nm o d u l a re q u a t i o n sa r ei m p r o v e d ，t o o t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , t h ea u t h o ri n t r o d u c e st h ec o n c e p t sa n dn o t a t i o no fg a u s s i a nh y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n s ，c o m p l e t ee l l i p t i ci n t e g r a l sa n dt h e i rg e n e r a l i z a t i o n s ，t h eh i i b n e r f u n c t i o n , h e r s c h p f l u g e rd i s t o r t i o nf u n c t i o na n dt h e i rd e v e l o p i n gh i s t o r y i nt h es e c o n dc h a p t e r , w es h o ws o m ep r o p e r t i e so fg a u s s i a nh y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n sa n dt h e g e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l sb ys t u d y i n g t h em o n o t o n e i t yo fc e r t a i nc o m b i n a t i o n sd e f i n e di nt e r m so ft h e s ef u n c t i o n sa n dc e r t a me l e m e n t a r yf u n c t i o n s i nt h et h i r dc h a p t e r , w eo b t a i nt h es h a r pb o u n d si nt e r m so fe l e m e n t a r yf u n c t i o n sf o r t h eh f i b n e rf u n c t i o nb y s t u d y i n gi t sa n a l y t i cp r o p e r t i e s i nt h ef o u r t hc h a p t e r , t h el o w e ra n d u p p e r b o u n d so fh e r s c h p f l u g e rd i s t o r t i o nf u n c - t i o na r ed e r i v e db ya p p l y i n gt h er e s u l t sp r o v e di nt h et h i r dc h a p t e nc o n s e q u e n t l yt h e e x p l i c i tq u a s i c o n f o r m a ls c h w a r zl e m m ai sf u r t h e rs h a r p e n e d ，a n dt h ee s t i m a t e sf o rt h e s o l u t i o n st or a m a n u j a nm o d u l a re q u a t i o n sa r ei m p r o v e d k e yw o r d s ：s p e c i a lf u n c t i o n s ，h i i b n e rf u n c t i o n ，s h a r pb o u n d s tq u a s i c o n f o r m a l s c h w a r z l e m m a ，h e r s c h p f l u g e rd i s t o r t i o nf u n c t i o n , r a m a n u j a n sm o d u l a re q u a t i o n s i i 浙江理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位论文，是本人在导师 的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已明确注明和引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰 写，我对所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：咋租 日期：山o ，年4 月占日 浙江理工大学学位论文版权使用授权书 学位论文作者完伞了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。本人授权浙江理工 大学可以将本学位论文的伞部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密1 ：3，在 不保密一。 学位论文作者签名：侈粗 r 期：知口夕年年月衫日 年解密后使用本版权书。 指导教师签名： 日期： 年年月石日 浙望堡王奎堂堡主堂篁笙垄 一。 第1 章绪论 本章将引入g a u s s 超几何函数、完全椭圆积分、广义椭圆积分、h i i b n e r 函数及 h e r s c h - p n u g e r 偏差函数等概念和记号，并对它们的研究现状作一简要介绍。 1 1g a u s s 超几何函数 给定复数。，6 和c ，c 0 ，一1 ，一2 ，g a u s s 超几何函数是由下式定义的函数【1 】在 裂纹复平面c 【o ，o 。) 上的解析开拓： 删；c ；沪2 f 1 ( a , b ；c ；z ) = 薹譬铲以h 0 ，z ( 0 ，1 ) ，令“= 乱( z ) = f ( a 一1 ，6 ；c ；z ) ，u = v ( z ) = f ( a ，6 ；c ；z ) ，u l 以及 = 乱( 1 一z ) ，v l =v ( 1 一名) 那么有 d u z 瓦 = ( a 一1 ) ( u 一乱) ， z ( 1 - z ) a d v z = c - a ) 乱+ ( 。一c + 6 z ) u ， i a b z ( 1 一z ) f ( a + 1 ，6 + 1 ，c + 1 ；z ) = c - - a ) u + ( a - - c + 6 z ) 秒 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) z ( 1 - z ) d ( u u l - fu l y - - v v l ) = ( 1 - - a - - 6 ) 【( 1 一z ) 钍钊1 一z u l 一( 1 - 2 z ) u u l ( 1 1 5 ) 论。 由定理1 1 不仅能得到后面将要介绍的广义椭圆积分的导数公式，而且有如下推 推论1 1 【1 0 1 一【1 1 】记号同上一定理，如果a ( 0 ，1 ) ，b = 1 一a 0 ， 锱= p 需 3 5 ， ( 1 3 5 ) 式被称为p 次模方程，s 称为p 次模方程的解。 5 浙江理工人学硕士学位论文 g r o t z s c h 极值环b 2 【0 ，r 的模【1 8 】 时) = 三器 ( 1 3 6 ) 据此定义h e r s c h p f l u g e r 偏差函数妒k ( 7 ) 如下【2 , 1 8 , 1 9 ：对7 0 ，1 ，k 0 ， 僻羔黑筝1 ) ， 3 7 ， 利用p ( 7 ) 和妒k ( r ) ，( 1 3 5 ) 及其解可依次写成： p ( s ) = p p ( 7 ) 和s = 妒l p ( r ) ( 1 3 8 ) 在1 9 5 2 年，h e r s c h 和p f l u g e r 把复分析中的s c h w a r z 引理推广到拟共形理论， 建立了著名的拟共形s c h w a r z 引理【2 0 1 。在此引理中，由从【0 ，1 到【0 ，1 严格单调递 增的函数f ，o k ( r ) 给出了单位圆盘到自身且保持原点不动的酬共形映射f ( 所有这 些函数组成族q c k ( b 2 ) ) 的精确界，即对任意的厂q c n ( b 2 ) 和z b 2 ，有 ￥ l k ( i z l ) i 厂( z ) l 妒k ( 1 z i ) ( 1 3 9 ) 此后，关于拟共形理论中发挥着重要作用的函数q o k ( r ) 的显式估计的研究3 2 作受到 国i 勾j , b 广泛关注。1 9 6 0 年，5 e 传芳证明te 2 1 】：对任意的厂q c k ( b 2 ) 及z b 2 ， i 厂( z ) i 4 ( 1 1 k ) l z l l k ( 1 4 0 ) 1 9 7 0 年，o h i i b n e r 又给出了函数q o k ( r ) 的精确估计，并且揭示出函数w k ( r ) 对函 数( r ) = m ( r ) + l o f f r 的依赖关系【2 2 】：当k 1 ，0 r 1 时， 妒k ( r ) r l l ke x p ( 1 1 k ) m ( r ) ) 4 ( 1 1 k ) r 1 k ( 1 4 1 ) 此处，并且在全文中，我们称i ( r ) 为h i i b n e r 函数。 函数q 口k ( r ) 在数论中的模方程和椭圆积分奇异值方面也有着广泛应用。从1 9 0 0 年到1 9 2 0 年，印度数学家s r a m a n u j a n 对模方程及其解的研究做出了巨大的贡献。 浙江理工人学硕士学位论文 他提出了许多关于模方程解( 上世纪9 0 年代后期，被发现此解可用函数，o k ( r ) 表 示) 的代数恒等式并获得多种广义模方程，但这些结果中有很多只记在其未发表的 笔记中且没有完整的证明过程。b c b e r n d t 经过长期研究后，补证了这些结果，出 版了专著“r a m a n u j a n 7 sn o t e b o o k s ( v 0 1 卜) ”【2 3 ，7 ，1 7 ，2 4 】。 1 9 5 9 年l e h t o ，v i r t a n e n 和v i i s i l i 引入由函数f ，o n ( r ) 表征的a 一偏差函数a ( k ) ， 且发现了a ( k ) 在拟共形理论中的重要作用1 2 5 】，即函数a ( k ) 度量了保持o 。点不动的 上- 半平面的绍拟共形自映射的边界值的偏差。1 9 6 8 年，a g a r d 把函数入( k ) 推广为 叩- 偏差函数，l k ( t ) ，且论证了函数7 7 k ( ) 可表示k - - - ： c = 2 共形自同构的上确界 2 6 】。1 9 9 7 年，g m a r t i n 应片j 全纯运动理论，揭示了俨偏差函数和解析函数论中s c h o t t k y 上界 的深刻联系【2 7 】。紧接着，裘松良教授用独创的方法给出了s c h o t t k y 上界问题的至今 最佳且较满意的解答 2 8 】。 1 9 8 8 年以来，国内外发表了一系列关于c ，o k ( r ) 以及由它表征的函数的论文和 著作，在这些论著里，l ，o k ( r ) 等函数的性质得到了系统的研究，同时获得了很多 新的结果。特别值得一提的是，g - d a n d e r s o n , m k v a m a n a m u r t h y , m v u o r i n e n 以及裘松良等教授在函数( ，o k ( r ) 及相关的拟共形特殊函数的性质和应用方面做 了大量的工作 2 9 , 2 , 1 9 ，3 0 - 3 8 】。上世纪九十年代后期，裘松良教授和g d a n d e r s o n , m k v a m a n a m u r t h y , m v u o r i n e n 一起揭示了拟共形映射、解析函数与r a m a n u j a n 广义模方程之间的联系，从而开创了拟共形理论与模方程等领域的交叉研究并为其 后的研究奠定了基础 1 0 ，3 9 4 a 。 在本文的研究中，单调性洛比达法则( m o n o t o n el h 6 p i t a l sr u l e ) 起着重要的 作用。为便于引用，现将此法则叙述如下： m o n o t o n el h 6 p i t a l sr u l e 2 , t h e o r e m l 2 5 】设a ，b ( 一o o ，) ，厂，g ：【o ，6 _ r 在 【a ，6 】上连续，在( a ，b ) 内可微，且9 7x ) 0 ，x ( a ，b ) 。则当厂7 ( z ) 9 7 ( z ) 在( a ，b ) 上 单调上升( 下降) 时，函数 f ( x ) 三 f ( x ) 一厂( o ) 夕( z ) 一夕( o ) 和a ( x ) 三 f ( x ) 一，( 6 ) 夕( z ) 一夕( 6 ) 7 浙江理工人学硕士学位论文 的单调性也是如此。如果函数厂7 ( z ) 9 7 ( z ) 的单调性是严格的，那么f 和g 的单调性 也是严格的。 本文中，对于任意的r ( 0 ，1 ) ，总记r 7 = 殍，且a = ( 0 ，l 2 】o 我们以t h 表示双曲正切函数，而a r t h 为反双曲正切函数。 8 浙江理工大学硕士学位论文 第2 章广义椭圆积分的几个性质 2 1g a u s s 超几何函数的性质 椭圆积分的最重要的性质之一是l a n d e n 恒等式【4 】。在1 9 9 9 年，裘松良等人把 椭圆积分l c ( r ) 的l a n d e n 恒等式推广为更一般地形式，建立了零平衡超几何函数的 l a n d e n 不等式。 定理2 1 对a ，b ( 0 ，1 ) ，c = a + b 1 和c = c o n s t 1 ，在r ( 0 ，1 ) 上定义 函数，和9 如下 ，( r ) = ( 1 + v t ) f ( 。，6 ；c ；r ) 一f ( 。，6 ；c ；石 差丢予) ， 9 ( r ) = c f ( 。，6 ；c ；r ) 一f ( 。，6 ；c ；石 差丢予) 则有 1 对任何的a ，b ( 0 ，1 ) ，c 1 ( c 1 ) ，厂从( 0 ，1 ) 到( 0 ，( r l o g1 6 ) b ) 上( 严格) 递增。这里b = b ( a ，6 ) ，r = r ( a ，b ) 。特别地，对a ，b ，r ( 0 ，1 ) ，c = a + b 1 有： 脚 6 - c ( 篙) 2 ) 0 。如果1 c 2 ，则9 从( 0 ，1 ) 到 ( c 1 ，c 一1 ) 上严格单调下降。这里 a = - - c i o , 1 c 2 c = 2 9 + 等等 f f 一 一 浙江理工人学硕_ 上学位论文 3 如果1 c 丢f ，6 ，c ；r ) + a c b f ( 。，6 ；c + 1 ；7 ) + 器州。“6 + 1 c + 2 r ) = 兰2r 妻t - - ：0 糌n 铲n 。6 薹掣n 器r n 厶 ( c ，+ 1 ) n ! 。 一。名( c ， + 1 ) n ! 砌6 三0 0 等瑞， = 薹掣黑+ 半拙吣铡 由此即得 的单调性。 显然，极限值f l ( o + ) = 一1 。由【3 7 , t h e o r e m1 2 】知，1 ( 1 一) = 2 b 。口 浙江理工人学硕士学位论文 2 2 广义椭圆积分的性质 近几年来，广义椭圆积分得到了广泛而深入的研究。尤其是文【1 0 】为其后的研 究奠定了基础。本节中，我们将为这些特殊函数揭示新的性质，为此给出下面的 定理2 3 函数，2 ( r ) 兰昙瓦。( 7 ) 瓦：( r ) + 1 。g ( r i 7 ) 从( o ，1 ) 到( r ( n ) 2 ，o 。) 严格单调 递减。 证明由广义l a g e n d r e 关系式( 1 2 9 ) ， 令 求导得 础嘣代) 吨础忙篇南 h ( r ) 三足：( r ) 幺( r ) 一r 彪j i c n ( r ) 尼：( r ) 一瓦口( r ) 髟( ? ) + r 2 足n ( r ) j | l c ：( r ) 肌) = 掣一南 掣一渊 8 ( 1 一o ) 瓦a ( 7 )障( r ) 一r 2 磋( r ) ， 由【1 0 ，l e m m a5 2 ( 1 ) 】- i 失n ，尼( r ) 0 。由此即得，2 的单调性。 因为止( 7 ) = m n ( r ) + l o g r + 【m n ( r 7 ) + l o g r ，】- 2 l o g r ，所以由【1 0 ，t h e o r e m 5 5 ( 3 ) 】 即得止的极限值。口 1 1 浙江理工大学硕士学位论文 第3 章h i i b n e r 函数的性质 本章中，我们将获得h i i b n e r 函数m ( r ) 由初等函数给出的一些新的精确界。下 面是文【1 5 】中给出的函数m ( r ) 的上下界：对任意的7 ( 0 ，1 ) ， 和 c ( r 2 ) m ( r ) a ( r ) r t 4 3l 0 9 4 6 ( r ) m ( r ) 2 c ( r ) 0 ，而re ( 6 ，r 7 ) 时 ( r ) 0 ， r x ) 0 ， ( 1 - ) = ( 7 ) 函数 ( r ) 三 ( 1 0 94 一位r 2 ) ( 1 + r 2 ) a r t h r 2 ( r a r t h r ) 从( 0 ，1 ) 到( 1 0 94 ，2 ) 上严格 单调递增。 ( 8 ) 记p = 1 7 7 ，7 7 = 1 l o g4 = o 7 2 1 3 4 。则函数 ( 7 ) 三【( 1 0 94 一a r ) ( 1 + 7 ) p a r t h r 】7 从( 0 ，1 ) 到( 1 0 9 4 ，o o ) 上严格单调递增。特别地，对r ( 0 ，1 ) ，有： d ( r ) 三( 1 0 9 4 - - a r ) r 2 a _ r t h r ( 1 一r ) ( 1 + r ) 町l 。g 4 证明( 1 ) 易见，函数 日( r ) 三爿( r ) ( 2 7 ) = 3 6 ( 1 0 9 4 1 ) r 2 + 3 ( 3 l 0 9 4 4 ) r + 2 3 l 0 9 4 在 0 ，1 】上严格单调递增而且n ( o ) = 2 3l o g4 0 。 由此可得 的分段单调性。由于f l ( o ) = 一l 0 9 4 ，f l ( 1 ) = 4 ( 5 1 0 9 4 6 ) 0 ，又因 1 1 ( o 7 7 ) = 一o 0 7 6 9 ，f l ( o 7 8 ) = 0 0 7 4 8 ，所以余下的结论成立。 ( 2 ) 易验证关于丘的结论。 ( 3 ) 因r 2 尼( r ) = f l ( r ) ，故从第( 1 ) 部分得到关于 的结论。 ( 4 ) 关于 的结论是显然的。 ( 5 ) 求导得 名( 7 ) 2 = f 2 ( 7 ) 三2 1 q 2 r 6 + 3 6 q 2 r 5 9 0 q ( q + 1 ) r 4 + 4 ( 1 1 q 2 + 3 q + 2 ) r 3 ( 3 3 ) 4 - 3 ( 4 0 a 2 + 2 6 a x ) r 2 8 ( q4 - 1 ) r 一1 2 a ( a + 1 ) 且屁( o ) = 一1 2 al o g4 0 ， f 兰( r ) 2 = f 1 3 ( r ) 三6 3 q 2 7 5 + 9 0 a 2 7 4 1 8 0 q ( q + 1 ) r 3 ( 3 4 ) + 6 ( 1 1 a 2 + 3 a + 2 ) r 2 + 3 ( 4 0 a 2 + 2 6 a 一1 ) r 一4 ( q + 1 ) 1 3 浙江理工人学硕士学位论文 且尼( o ) = 一4 ( q + 1 ) 0 ，而 7 ( 7 9 ，1 时r 4 ( r ) 0 ，r ( r i o ，1 】 时( 7 ) 如( o ) ，f ar i o ) 一定是正的。这样，昆有两个零点7 1 l ，r 1 2 ，且0 i l l 7 1 0 r 1 2 1 ，使得当7 0 ，r 1 1 ) u ( r 1 2 ，1 】时f 3 ( r ) 0 。所以，由( 3 4 ) 式，局有唯一零点7 5 ( 7 1 1 ，r x 2 ) ，当7 0 ，7 5 ) 时局( r ) 0 。因局( o 5 4 ) = - - 0 0 3 2 2 8 ，局( o 5 5 ) = 0 2 3 9 4 6 ，故 他( 0 5 4 ，0 5 5 ) 。于是由( 3 3 ) 式即得到 的分段单调性。 易见，5 ( o ) = 2 ( q + 1 ) ( 2 一q ) = 4 4 7 4 1 ， ( 1 ) = 5 8 2 8 a 一2 = 3 5 6 4 5 。 记s ：0 5 4 、t ：0 5 5 ，叻l ( r 5 ) 6 q 2 t 7 + 1 2 q 2 t 6 3 6 q ( q + a ) s 5 + 2 ( 1 1 q 2 + 3 n + 2 ) t 4 + 2 ( 4 0 c 2 + 2 6 q 一1 ) t 3 8 ( q + 1 ) s 2 2 4 q ( q + 1 ) s + 2 ( q + 1 ) ( 2 一q ) = - 0 6 7 1 5 0 凶此， 有两个零点7 6 和r 7 且0 7 6 7 5 7 7 0 。 ( 7 ) 令屁( r ) = ( 1 0 9 4 一a r 2 ) ( 1 + r 2 ) ( a r t h r 2 ) r ，r ( 7 ) = a r t h r 。则办( 7 ) = r ( r ) r ( r ) ， r ( o + ) = f 6 ( o ) = 0 ， 黑制刊l o g 4 - - o l r 2 ) + 1 砌2 曲4 ( 3 6 ) + ( 1 + 3 r 4 3 r 2 7 一2 ) l 0 9 4 a r t h r 2 求导得： r 3 碍( r ) = 【2 j f 2 ( r 2 ) 厶( r 2 ) 由第( 2 ) 和第( 6 ) 部分可知，上式右边的函数为正。故f 7 在( o ，1 ) 上严格单调递增， 再由m o n o t o n el h 6 p i t a l sr u l e 即得疗的单调性。易见 的极限值。 ( 8 ) 求导得： r 2 ( 1 + r ) 叼层( 7 ) l 0 9 4 q 2 7 2 + 7 l 0 9 4 + ( 1 0 9 4 ) 2 = f 8 ( 7 ) 三 r ( 1 0 9 4 一。甲、l 0 9 4 ( 1 一r ) 【a 27 2 + 7 l 0 9 4 + ( 1 0 9 4 ) 2 】 一a r t h 7 ( 3 7 ) ( 1 一，) 7 彪陋2 r 24 - 7 l o g4 + ( 1 0 94 ) 2 2 瑶( r ) = 7 局( r ) ， ( 3 8 ) 1 5 浙江理工人学硕士学位论文 此处，f g ( r ) = 一q 3 7 4 + a i r 3 + b l r 2 + c l r + ( 1 0 9 4 ) 3 ，a a = q 2 ( 5 l 0 9 4 1 ) ，b 1 = 2 a 3 + 2 a ( 1 0 94 ) 2 + 3l 0 9 4 一( 1 0 94 ) 2 l o g4 ，c a = 【4l o g4 一ql o g4 一( 1 0 94 ) 2 2 a 2 1 ( 1 0 94 ) 2 。 易验证，玛在( 0 ，1 ) 上严格单调递增且是向下凸的。因此，由( 3 8 ) 式，得知：风 在( o ，1 ) 上严格单调递增且咫( o ) = 0 。因此，由( 3 7 ) 式即得 的单调性。，8 的极限 值是显然的。口 引理3 2 在( 0 ，1 ) 上定义函数9 1 和9 2 如下： 9 1 ( r ) = r t ( 1 + r 2 ) a r t h r r ，9 2 ( r ) = 9 3 ( r ) r 7 ， 其中 烈r ) - - - - l 0 9 4 一不双r ) 一2 ( 1 0 9 4 - - 1 ) 丽r 3 则9 1 和9 2 在【o 8 1 ，1 ) 上都是正的且严格单调递减 证明求导得， 袱忙警m ( 3 - 9 ) r 厄( 2 r 4 + ) 2 敛( 7 ) = r 2 鳊( 7 ) ， 其中，9 4 ( r ) = 【r ( 1 + r 2 ) ( 2 r 4 + r , 2 ) 一a r t h r ，9 5 ( r ) = 一2 r 6 + 9 r 4 1 6 r 2 + 5 。因9 5 从 ( 0 ，1 ) 到( 一4 ，5 ) 严格单调递减，所以存在唯一实数r l ，使得驭在( 0 ，r 1 上严格单调递 增，在【r l ，1 ) 上严格单调递减且9 4 ( 0 ) = 0 ，9 4 ( 1 一) = 一。因此，对r ( 0 ，1 ) ，9 4 有 唯一零点r 2 ( r l ，1 ) ，使得当r ( 0 ，r 2 ) 时9 4 ( r ) 0 ，而