（应用数学专业论文）cohengrossberg神经网络殆周期解与周期解稳定性分析.pdf

摘要 稳定性分析一直是神经网络理论研究的重点，许多研究人员已经研究得到 大量的结果但是大多数研究成果集中于h o p f i e l d 神经网络周期解的稳定性问 题。在这些基础上研究人员提出更普遍的，限制条件更少的c o h e n o r o s s b e r g 神 经网络模型，h o p f i e l d 神经网络模型是c o h e n g r o s s b e r g 神经网络模型的一个特 例。本文研究c o h e n g r o s s b e r g 神经网络殆周期解的全局指数稳定性，得出限制 条件更少的判别条件，利用该条件可以顺利推h o p f i e l d $ *网络，b a m 神经网 络，c n n 神经网络等模型的殆周期解，周期解的全局指数稳定性判别条件更有意 义的是，我们进一步放宽了对模型的限制条件，使其与应用中的模型更接近，应 用范围更加广泛，结论更加简洁。 整篇文章按下面的结构进行组织： 第一章，介绍神经网络的发展和本文研究方向的进展。 第二章，主要做些准备性的工作，包括模型的介绍、一些必要的定义和 引理、已知结果综述。 第三章，进行主要定理的证明。随后，给出一系列的推论，这些推论包含 了之前许多类似结果。 第四章，用不同的方法证明周期解的一个推论，也可以得到较好的结果。 关键字：神经网络；殆周期；周期；全局指数稳定：c o h e n - g r o m b e r g ；h o p f i e l d 中图分类号：o2 9 a b s t r a c t n e u r a ln e t w o r k sh a v eb e e nd e e p l yi n v e s t i g a t e dd u et ot h e i rp r o m i s i n ga p p l i c a t i o n i nr e c e n ty e a r s ，t h e r eh a sb e e nj n c r e a s l ：b gi n t e r e s ti nt h es t u d yo fac l a s s o fn e u r a ln e 七w o r k s ，c a l l e dc o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k sd u et ot h e i re x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si nc l a s s i f i c a t i o n ，a s s o c i a t i v em e m o r y , p a r a l l e lc o m p u t a t i o na n d o n i nb o t ha p p l i c a t i o na n dt h e o r y , t h es t a b m t ya n a l y s i si sp r e r e q u i s i t e i nt h i s p a p e r w ei n v e s t i g a t e d8l a r g ec l a s so fa l m o s tp e r i o d i cc o h e n g r o s s b e r gn e u r a l n e t w o r k sa n dp r o v et h a tu n d e rm i l dc o n d i t i o n s ，t h e r ei sau n i q u ea l m o s t - p e r i o d i c s o l u t i o n s ，w h i c hi sg l o b a l l ye x p o n e n t i a l l ys t a b l e t h i sp a p e ri so r g a n i z e di nt h ef o l l o w i n gw a y ： i nc h a p t e rl ，t h eh i s t o f ya n dt h el a t e s td e v e l o p m e n to fn e u r a ln e t w o r k sa l e i n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，8 0 m ep r e l i m i n a r i e s ，i n c l u d i n gd e f i n i t i o n s ，i m p o r t a n tl e m m a s ，a l e g i v e n a n dm 血t h e o r e m so fp m v i o u sa l ei n t r o d u c e dh e r e i nc h a p t e r3 ，ag e n e r a la p p r o a c ht om v e s t i g a t et h ee 】( i s t e n c ea n dg l o b a l s t a b i l i t yo fa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o nf o rc o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k sw i t h a l m o s tp e r i o d ci n t e r c o n n e c t i o n sa n di n p u t sf i l ed i s c u s s e d i nc h a p t e r4 ，a n o t h e rm e t h o dt os t u d yt h eg l o b a ls t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n f o rc o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k sa l eg i v e n k e y w o r d s ：n e u r a ln e t w o r k ；a l m o s tp e r i o d ；p e r i o d ；g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ；c o h e n o r o s s b e r g ；h o p f i e l d 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 怍者签名：堑l 蟓日期：盈珲正捌 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 名：丝螺新虢衄吼缉掣 第一章绪论 1 9 4 3 年，神经生物学家m c c u u o c hw s 和青年数学家p i t t sw a a 作，提出 第一个人工种经元模型，并在此基础上抽象出神经元的数理模型，开始了人工 神经网络的研究。在此后的几十年里，神经网络科学不断发展。近二十年来， 针对神经网络的学术研究大量涌现，上百种神经网络模型被提出，其应用涉及 模式识别、联想记忆、信号处理、自动控制、组合优化、故障诊断及计算机视 觉等众多方面，取得了令人瞩目的进展。神经网络具有许多好的特性，如自适 应性、自组织性、学习能力、客错能力等，作为一门活跃的边缘性交叉学科， 神经网络的研究和应用正成为人工智能、认识科学、神经生理学、非线性动力 学等相关专业的热点。 在各种网络模型中递归神经网络是应用最广泛的一种，其c o h e n - g r o s s b e r g 模型是近几年神经网络模型的研究重点，也是实际中应用最好的模型 之一。c o h e n - g r o s s b e r g 模型包括t h o p f i e l d 等许多重要的神经网络模型，因此 对c o h e n g r o s s b e r g 模型研究，可以得到更普遍的结论。 对系统稳定性的分析是模型能够在实际中应用的重要基础之一。在现有的 大部分文章中，对c o h e n - g r o s s b e r g 模型的研究集中于分析平衡点的稳定性，这 就要求连接权和控制参数为常数，对于变系数的模型研究还比较少见。变系数 的模型是应用范围更广泛的模型，考虑到实际应用中硬件实现上的速度问题，我 们考虑带延时的，连接权和控制参数为殆周期的网络模型。这样，通过研究网 络的殆周期解全局指数稳定性，就可以方便推出网络的周期解以及平衡点等问 题的全局指数稳定性判据。由于h o p f i e l d 模型是c o h e n - g r o s s b e r g 模型的一个特 例，所以本文的结论涵盖许多现有的h o p f i e l d 等模型的稳定性结论。 现有的分析稳定性的方法，大多首先结合已知的一些理论证明平衡点的存 在性，然后再利用l y a p u n o v 函数和一些特殊不等式证明稳定性，这就需要对模 型中的激发函数做出有界性等限制，缩小了模型的适用范围在本文给出的证 1 第一章绪论2 明中，通过构造m 函数和j j 忆，。) 范数，直接证明系统的全局指数稳定性，而殆 周期解的存在性则作为稳定性的直接结果得到。 本文的主要内容包括以下三章的内容：第二章，主要做一些准备性的工 作，包括模型的介绍、一些必要的定义和引理、已知结果综述。第三章，进行 主定理的证明。随后，给出一系列的推论，这些推论包含了之前许多类似结 果。第四章，用不同的方法证明周期解的一个推论，也可以得到较好的结果。 第二章预备知识 2 1 模型的介绍 几乎所有的c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络模型都可以用下面的微分方程组来描 掣= 刮删( 6 i ( 删一壹j = l 口洲删+ 厶) ，2 i ，竹( 2 ) 这里n22 表示网络中神经元的个数，地( t ) 表示t 时刻第i 个神经元的状 态，奶( z ) 称为激发函数，皿( z ) 称为放大函数，玩( z ) 是一个适当的调节函 数，是常数连接权，厶是恒定的外部输入。显然若啦( z ) 为常数函数，上述 系统就是应用范围广泛的h o p f i e l d 神经网络模型。 考虑到实际应用中硬件上的速度等原因，我们需要考虑下面带延时的系统： 警= 叫啡) ) ( 地) 一宝咖舢) ) ，= 1 一喜啡一例十五) 卢1 1 2 ，n ( 2 1 2 ) ，= i 这里的激发函数毋( z ) 和厶( z ) 满足适当的限定条件，幻，五则是常量 这些神经网络和相应的延时系统已经得到广泛的研究，在一系列已发表的论 文中我们可以看到有关的结果然而，在延时系统中出现的系数，b i ) ，勺以及外部 输入都是可能随时间变化的，并且常常是周期的因此下面两种更复杂，更精确 的模型被提出： 生字= 刊们) ) 0 ( 邮) ) 一毫础) 地) 、 j = i 一塾讹( t 吲堋州吵乩2 ，几( 2 1 3 ) 3 第二章预备知识4 和分布延时系统 掣= 刊删( 蝴) ) - 骞吼删啪 一娄以d f 坼胤哪吲沪枷血州t ) ) ( 2 l 4 )一萎6 巧( ) 上( s ) 乃( 嘶 一( t ) 一8 ) ) 血+ 厶( 。) ) ( 2 工4 ) 这里o o ( t ) ，b o ( t ) ，n j ( t ) 0 ，厶( t ) ：r + 一1 t 均为周期为u 0 的连续函数 f ，j = 1 ，2 ，n 受文献【3 ，4 ，2 3 讨论的模型构建和论证启发，本文讨论以下更普遍，应用范 围更广的殆周期系统： d u 矿( o = 刮邮) ) ( 6 ( t 澎) ) 一毫吲慨( 啡) ) j = 1 一喜z ”脚吲铲神心抽m ) ( 2 | l s ) 这里对固定的0 ，d k l j ( t ，8 ) 为l e b e s g u e - s t i e l j i e s 钡4 度，0 o ( 味幻( 巩勺( t ) o ，五( t ) ：r + 一r 均 为殆周期连续函数，l ，歹= 1 ，2 ，扎( 殆周期定义，以及对本模型要求的具体 条件下一节具体介绍) 初始条件我们定义为： 地( s ) = 也( s ) f o rs ( 一，0 】 也c ( ( 一o 。，o 】) ，i = 1 ，2 ，礼 若当s o 时，a k 玎( t ，8 ) = 0 ，a q ( t ，0 ) = b j ( t ) ，系统( 2 1 5 ) 转化为系统( 2 1 3 ) ；同 样若d 西j ( t ，8 ) = ( t ) k l j ( s ) a 8 ，系统( 2 1 5 ) 转化为( 2 1 4 ) 第二章预备知识5 2 2 定义与引理 定义2 1 向- l r v = 【口1 ，忱，广 0 ，当且仅当仇 0 ，t = 1 ，2 ，7 , 定义2 2如果连续函数g ( x ) = ( g i ( ，9 2 ( ) ，如( z ) ) r ：俨一舻满足 b - 4 - t ) 一皿( z ) is g i i t l ，i = 1 ，2 ，佗 则称g ( z ) 属于 l i p ( g i ，g 2 ，g 1 ) ，g 0l = 1 ，2 ，- 一，n 记为： 9 ( z ) = ( g l ( z ) ，g z c z ) ，鲰( z ) ) t 血“g l ，g 2 ，g k ) 定义2 3 f ，o o ) 一范敦： i l u c t ) l l e ，m ) 2b m ，a x pi , - 1 啦( t ) i 这里 乱( t ) = ( 让1 ( 0 ，札2 ( t ) ，t 。( t ) ) = ( 矗，已，- - - ，靠) 0 定义2 4 设z ( t ) ：r 一俨是一个连续函数，如果对任意e 0 ，存在l ： f ( e ) 0 ，且在任意长为f ( e ) 的区间中都存在u = “，( e ) ，使得 l z ( t + u ) 一x ( t ) l i 0 假设2 2 对所有的t ，j = 1 ，n ，啦( z ) 连续，且满足 0 o ，江1 ，n r j ( t ) 0 ，o t ，( t ) ，厶( t ) 是连续函数 假设2 3对任意s 兄，k j ( t ，8 ) ：t 一( ，s ) 连续，并且对固定的 t r ，d k o ( t ，8 ) ：s _ d ( 鼻8 ) 差：l e b e s g u e - s t i e l j i e s 寝, l 度 d k i i ( s ) 是l e b e s g u e - s t i e l j i e s 溺j 度，假设i d k ，( t ，s ) lsi d k i j ( s ) l ，并且存 在 0 满足： 户 e “i d g j ( s ) i 0 ，存在f = f ( e ) 0 ，每个区问陋，口+ f 】包舍至少一 个u = u ( e ) ，使得下列不等式 口玎 + u ) 一o h a t ) i e ， l r o ( t + “) 一( 妨f ， i + u ) 一五( ) l e ， ， i d k 巧( t + u ，8 ) 一d k , j ( t ，8 ) l d 【s e ， j 0 对所有的f r ，i ，歹= 1 ，2 ，n 都成立 注2 1根据b o 出n e rt h e o r e m ( 【7 】，p p 4 - 7 ) ，假设2 4 与。玎( t ) ，n j ( t ) ，厶( t ) 是殆周期函数等价，因此它们都是有界的为了叙述方便，不妨记： 8 0 f2 ：罂k ( 坊j o o 噶= s u p n ，( t ) 。o ， 。“；凡 p l = s u p i i d t ) i o 使 一蚧6 + 喜i l 画q 6 + 喜画局6 z 。旧( 抽) l 一，7 0 都成立，特别的 一蛳6 + 喜隅白+ 喜娟z 。嗍圳一删1 ，n ，= l，= i 成立，则系统( 2 1 5 ) 的所有解u ( f ) 都是有界的 证明，定义函数 肘( t ) = m a xl l u c s ) l l “，耐 显然，m ( 站单调不减，且满足 j m ( t ) 】j f ，。) 肋( 力 对任意固定的t o ，有以下两种可能性： ( i ) 下述不等式成立： i l u c t o ) l l 托，耐 0 ，当t ( t o ，t o + ，使得 i l u ( t ) l l “，。 m ( t o ) ， 8 第三章主定理9 所以，当t ( t o ，t o + 6 ) 时， m ( t ) = m ( t o ) ( i i ) 下述不等式成立： f i 缸) 慷，畸= m c t o ) 在这种情况下，设当f = i t o 时，满足 注意到 l u oc t o ) l = i l u ( t o ) l l c 村 i g a s ) isq i s i + i g a o ) i hc s ) i b 沁i + f h ( o ) l ，歹= 1 ，犯，8 r ， ，= 甲h l i b , ( 吲+ 泓扣吲f i d k , a 驯驯)k 甲卜吲+ 若蚓删+ 善_ 驯堋i jj 对l 饥。( t ) i 求微分可得 第三章主定理 1 0 掣) 。砘 = s g n ( u t , o ( 岛) ) ( 一啦t o ( 地q o o ) ) ) f 钆。似| o ( 岛) ) 一啦t o j ( 岛) 毋( ( 岛) ) 一骞z 。t o - - t = t o j ( 护跏- f i 。= o l j ( u j ( t o ( t o ( 钿) 】一善： h ) ) 玩胛s ) ( 钿) s 一垒咱m t o & t 。f | 珏( 如) j f 俺。 + f i 跣。( o ) f + 乏二f 盘。，( 幻) | q 白等1 l u g ( t o ) + 善z 乃分1 坂岛一划铲s ) l l d k , “训j + 磐。j ( t o ) j l g j ( o ) l + 喜i k ( o ) l 厂l d k , d 圳氓( t o ) 1 1 + + “( 8 ) i + l k ( 1 ，= l j = 。” j s j - 乌。矗o + j ，( 岛) j g 6 + 画。f j 6 i d k , 。，( t o , 8 ) l ( 南) 1 1 幅。) + j = i = 1 j 0 j 一圳i ( 幻) i i 0 ，使得 m ( t ) = m ( t o ) ，t ( t o ，t o + 区) ( 2 ) 如果m ( t o ) 0 ，常 数口 0 ，使得 ( - a c t , + p ) 矗+ i o 巧( t ) j 吗g j 6 n ， + j = l 奶毋白，喝, d o 。 d k t j c t ，s ) j 一卵 0 成立，特别的 ( 一g m + 卢) 6 + l a , * j l a j g c g + 善奶易白e j o 扩陋( 圳 0 ，i = f ( e ) 0 使得任意区间 q ，a + 2 】至少存在一个 u = u ( e ) ，使系统( 2 1 5 ) 的所有解( t ) 均满足 0 札( t + v ) 一u ( t ) l l 代，。 e v t t 定义 日，t ) 壹协0 “，) j = ll 办( 哟( t 一( ) 甄撇 f 厶( t + u ) 一五( l 一( t ) i9 j ( o + u 一。) ) 1 d j ( t - i - u ，8 ) 第三章主定理1 2 z 。 厶( 坳( t 一亿o + “，) + u s ) ) 一( 。+ 叫) d b ( 蚪奶曲 t ， 由命题3 1 得，系统( 2 ，1 5 ) 的解( ) 连续有界，因此u ( t ) 是一致连续的。 不妨取 丘= m a x 盈 t 由命题2 4 ，对任意e o ，存在z = f ( e ) o ，且对任意区间【口，口+ l 】，都存在 u = 叫( e ) 使得 l q ( u ，t ) f e 田2 a ，v t r ，t = l ，凡 又记 蜊= e ”南纸 则有 11 壶忡+ u ) 一掘( ) i 雠) is 壶雠+ u ) 一地( 。) 对盈( t ) 求微分 ) ) - m 舢) ) 卜参( t ) i g j ( u j ( ) ) - g j ( u j l ) j + u ) ) 一地( 训+ ( t + u ) ) 一 ( t ) ) i j j = 办( ( t 一勺( + u s ) ) 一乃( 屿。一功( t ) 一s ) ) d ( t ，s ) 设指标t = 乱满足 1 k 。( t ) i = i i x ( t ) l lc ，。j 对e 加i z i 。( s ) i 求导，我们得到 。崩 + 、)、， u+ 硼 = 一 + 厂。力坼z 埘卟。脚小 = + + 幻。 蚴如 第三章主定理1 3 e p t 要f 。p i 。( s ) 1 ) u ljj i = 触删+ 咖矧们( 一卜( 州t + 堋“蚶t ) ) + 喜j ( ”脚t 刊t ) + c ，- - 8 ) ) - 脚嘞( t ) 叫酬柚) + 豁脚- g j ( u j ( t ) ) 卜川) ) + ( ) l 协( ( u ) )l + ( u ，t ) s i h ( f ) i 一乍。i t + u ) 一t “| ( 亡) i + 乏：i 啦。j ( t ) f c j l u j ( t + ) 一t o ( 力i + 善z 酏( 卜“卅一旷嘶( t - - t i t j 。) _ s ) l f d k d 。，曲f 4 - k ( u ，t ) l p l z “( t ) l 一乍。亟。i z “( t ) l 缶1 缸+ l 钆，( ) l 岛白l 巧( t ) l 等1 白 + 石上驯蹦卜酬- s 将1 飞“”“矽“慨如l 类似于命题3 1 。记 皿( t ) = 雩斟州阶一 ， ( j ) 如果存在幻 0 ，使得 皿( t o ) = “i # ( t o ) l l e p ) 则 矾dr t m 驯l 0 ，使得 ( t ) = 皿( t o ) ，t ( o ，t o4 - 毋) 第三章主定理 1 4 ( 2 ) 如果 则在岛附近 所以存在如 0 ，使得 皿( o ) e 扩。肛 扩愀圳 e ，耐 0 ，当t t 1 时 i z ( 圳 p se 肛 ( i i ) 任意t 0 ， 霍( t ) e 露i i z ( t ) f i c f ，。， 在这种情况下，皿( t ) = v ( o ) 则 e e l l z ( t ) l l ( e 。，i ( t ) = m ( 0 ) 所以存在t 2 0 ，当t t 2 时 z ( 圳 西se 肛 总之，由( i ) ，( i i ) 得到，存在t 0 ，当t t 时，“( ) 均满足 f l u ( t + a s ) 一u ( t ) l l l f ，m ，s f v t t 命题3 2 得证。口 第三章主定理1 5 注3 1如果把命题3 2 的条件变为如下条件： 假设2 1 2 4 成立，如果存在常数向量= ( f 1 ，已，矗) 0 ，常数 0 ，使 ( 一亟m + p ) 靠+ + i ( t ) l 奶g 白 妻 o ”e a l d k , j ( 抽) i 0 成立，特别的 ( 当乍+ 刃矗+ f 口0 f 国岛白 j = l + j = l 岛乃白扩喝o e 加i 嫩f ( s ) i 0 ，常数 口 0 ，使得 ( 一亟m 删矗+ 萎雠) l a j a j , 5 + 粥6 踟z 扩 ，驯 0 成立，特* q 的 ( 咄m + 舭+ 蚓奶岛6 + 善岛弓白踟z 纱眠删 0 和h r ，有 方 d f 川 。一卜 第三章主定理 1 7 即 仉【c + 例一忱i ” = 拽卜( m 删叫 = 舰厂 刊嘶删阻州枷一壹j = l 吲嘞( 咖圳 一喜z 。讹( 盯吲盯) + t k - - s ) ) d 啪州仃) 肛一善j ( 讹p 咱p ) ) ) 蚓以s ) + 以jj 打 f t + h + 段j ( 吣( 啪7 = ，“卜( 删陋一壹j = l 喇砒) 一娄f 讹( 仃吲忡慨( 州倒盯) ) 缸 掣= 刮蜊) 卅喜喇砒似) 一喜。! 。j ( ”j ( t t , a t ) s ) 删和m 卜1 j 棚 一 一 一s ) ) ( ，s ) + 荆i ，江1 ，n ；一1 o 口j 因此v ( t ) 是( 2 1 ，5 ) 的一个解 接下来证明，”( ) 是( 2 1 5 ) 的一个殆周期解。根据引理3 2 ，对任意e o ，存 在t 0 和2 = f ( e ) o ，在每个区间【a ，0 1 + 口中至少存在一个“，= u ( e ) ，使得 当k 足够大的时候 i t “( t + u ) 一t “( t ) is ，v t t j 豫0 + 如+ u ) 一u ，o + t dj se ，v t 0 令一则 i 仇( + u ) 一仇( t ) l f ， y t 0 因此t ，( 力g ( 2 ，1 5 ) 的一个殆周期解 第三章主定理1 8 则有 且 最后证明，对于系统( 2 1 5 ) 任意解u ( t ) = 【7 1 - 1 ( t ) ，( t ) r 满足 i n ( o v ( t ) l l ( f ，。 = o ( e 味 夏1 虹( t ) 一仉( ) ls 胁( js 主1 h ( t ) 一优( t ) 掣= 一阻m c 删卜扣t ，岫啪吲删 + 喜z 。脚训叫郇咱刊怕印) 设指标“满足 1 k 。( f ) i = i i z ( t ) l i f f ，o o j 对e 加i z “( s ) i 求微分，有 e 书爰h “s 虬 = 眠酬础) ) 一卜旭( c ) ) 也( 咄们 + j ( t ) f 毋沁( o ) 一g a v a t ) ) l + 喜川a ( u a t - r t , j 叫) - s j ( r ，( t - n , j 刊蚴卅)+ 善z 【 o ) - 印) - o ) _ o ) 卜一厶j sm 。( t ) l c j l & 一甄i z t , ( t ) l f f l + i c k o ( t ) l g # j l x a t ) l f 5 1 6 + fi z j a ，l z j ( t 飞j ( t ) s ) 1 分1 6 e 州础m ”i d k “j ( t ，s ) i “j u 定义函数 = 鼍班8 加懈) l l t f ，* ) ) 和 一i 喇 ，c 义 = 定 吼 z 证 的理于似 类 第三章主定理 1 9 如果存在t o 0 ，使得 q , ( t o ) = 一如i i z c t o ) l l f ，。， 则 爰 e p i z t 吣c 力 ) 。：幻 0 使得 霉( t ) = 霍( 岛) ，t ( t o ，t 0 4 - 6 1 ) 另一方面，如果 e 4 b i i x ( t o ) l l f ，。) 0 ，使得 矿。忙( 圳 e ，耐 o ，使得 ( 叫卅脯+ 壹j = l ( f ) i q 6 + 妻乃6 崩厂” 细) f 0 成立特别的如果 卜躏+ 矧l a j i g j j + 善毋白挪z 扩i d k , j ( 圳 o ，江l i - 棚， 一”， j = 1j = l 。” 则系统( 3 3 1 ) 有唯一的一个殆周期解口( 力= 扣l ( t ) 也( t ) ，( 纠丁如果缸( ) 是 系统( 3 3 1 ) 的一个解，则 乱( ) 一口( 圳k p j = o ( e 一肛) 这是文献【2 3 】的结论 推论3 2 假设班( ) l i p ( c , ) ，五( ) l i p ( f o ，0 o t = 1 ，n ，( t ) ，6 妇( t ) ，( t ) ，厶( t ) ( ，：i1 ：，n ) 均为连续的殆周期函数不妨记i b ；j l 2 s 。u r p i b q ( t ) o ，使得 nn ( 一乌m + 口) 乐+ i 皿j ( t ) 1 岛g j 6 + i 幻( 圳奶日6 e 0 成立特别的如果 nn ( 一盟乍+ 口) & + l a ；j l a j a j 6 + 1 6 嚣i 奶毋白矿 0 ，使得j 芦e 加l b ( 驯如 o o ，i ，= 1 ，n 成立不妨记f - s u p ( ) i 0 ，使得 ( 一生m + p ) 矗+ i o ) l e j g j 白+ 萎l 幻( t ) l 锄乃白e 上。印i ( s ) l 幽 0 成立特别的如果 ( 氇+ p 烁+ 善l 锄q 白+ 善i 吃 岛易白e ze 4 0 l k , a s ) j 出 0 ，厶( t ) ：r + 一r 均为周期为u 的连续函数， i ，j ：1 ，2 ，n 初始条件我们定义为： 啦( s ) = 苁( s ) f o rs ( 一o o ，o 】 毋。g ( ( 一o 。，o 】) ，i = 1 ，2 ，一，n 类似于主定理的证明，可以得到如下周期解判据： 推论4 1 假设2 1 2 3 成立，如果存在常数向量f = ( 1 ，2 ，靠) 0 ，常 数p 0 ，使得 ( 一g m 焖毫+ j = l ( 驯岛g 白+ 嘞毋白奶z 扩j 妫( 和) i 0 都成立，特别的如果 ( 一啦m + ) 6 + i 略i 岛g ，白+ 奶b 白矿吗 e 肛l d k j ( s ) l ( o ，j = lj - 1d01 = 1 ，n 则系统( 4 1 1 ) 存在唯一一个周期解v ( t ) = 扣l ( t ) ，也( t ) ，( t ) n 并且对于系 统( 4 1 1 ) 的每一个解t ( t ) ，都满足 让( t ) 一 o ) 0 e ，。) = o ( e - 4 ) 下一节，我们用另一种方法证明类似于推论( 4 1 ) 判断周期解全局稳定性的 判据。 洼4 1利用同样的方法，可以得到简化的系统周期解全局稳定性的判据 ( 与推论3 1 - 3 3 类似) 4 2 周期解判据证明 为了叙述方便。先做下面两个假设： 假设4 1 l g s ) f g j i s l + g ，l 办( s ) l 乃i s i + 功，其中g j 0 ，乃 0 g ，岛均为常数0 = 1 ，2 ，n ) 假设4 2 l 皿b + h ) 一历( z ) i g i i 危j ，l ，i ( z + h ) 一五扛) i f , i h i ( i = 1 ，2 ，n ) 定理：4 6 设l ( 4 1 ) 成立，如果存在正常数6 ，厶 0 ，使得 一协+喜铷i+喜z。嗍北小。，1 ，=，= i 。 i = l ，2 ，n 对所有的t 0 都成立，则系统( 4 1 1 ) 至少有一个周期为u 的周期解z ( t ) 如果 同时假设( 4 2 ) 成立，并且存在正常数p 0 ，使得 吨池m一所+善白岛ql(圳+萎6奶be帅oz1d杨。一)|o1 j =，= i 。 i = 1 ，2 ，n 第四章周期解判据 2 4 对所有的 0 都成立，则系统( 4 1 1 ) 的任意解u ( t ) = ( u f f t ) ，讹( 力，( t ) ) ，满 足 ( t ) 一x c t ) l i = d ( e 肛) t o 。 证明令 ，= m 警m f 也卜( o ) f + 骞( 圳q + 喜马z ”f d 鳓( 淞) f + 瞰驯) 取个常数m ，满足m ! 矸 定义b a n a c h 空间c = c ( ( 一0 0 ，o l ，i t ) 上的范数： 其中 不妨取 其中 = 8 u p i l e ( e ) l l f ，。 0 都成立。 假设如0 是满足 最小的数，则 设指标满足： 慨岛) 忆，。，_ m ( t o ) = m x ( t ) l l “，。l m “t t o 锚i x ( t o ) l = i i z ( t o ) l l _ 【e ，耐 对k 。( t ) f 直接求导可得： 第四章周期解判据 2 6 ，删1 l d t j 蛳 = s i g n ( x l , o ( 钏 飞( z l o ) ) g 水洲卜喜m 啪) ) 一妻j = l 厂0 ”讹( t o - - v “o i m 眠如 m o ( 0 ) ) ) 气鼬“硎坻( mo ) f + 骞阮纠刊 + f 弓白钉1 i z i c t o a 。( 茹) - s ) l l a k t 。( t o ，s ) l 一f j u + 喜k +妻i=lato)laj 岛f 峨舾，s ) l + i i t , oc to)11 ) + k + 岛fi 眠彬+) j = l 。 ( 亟幻枷喜恢小鸠岛) 懒) 删 、 j = 1 7 + 西o i = 1 乃白z 忙( t 。一飞，) 一曲i i 幅o o j i d 心彬( 驯+ ， ( 一垒k t o m o + l a , o jc t o ) l a q 6 、 i = t + 弘乃6 小( 删) m ( t o m o ，使得 nn 一矗堡m + 乏二6 a g j i 啦j ( ) l + 6 也乃f 6 i j ( t ) f 0 都成立，则系统( 4 3 2 ) 的任意解( t ) = ( u 1 c t ) ，乱2 ( t ) ，( ) ) ，满 足 i l u ( t ) 一z ( t ) l i = 0 ( e 雄) t o 。 这个推论涵盖了文献【5 】中的主要结论 如果d k o ( t ，8 ) = b o c t ) k q c s ) d s ，则系统( 4 1 1 ) 转化为： 掣= 刊删( 蝴) ) - 宴础蒯助 。 一势力卜脚咱- s ) 肼即) ) ( 4 3 3 ) 第四章周期解判据 2 9 推论4 3 假设( 4 1 ) 成立，如果存在正常数鼠，矗 0 ，使得 一池乍+ 善泓g j k 觯) i + 盈萎6 毋m 驯z i b o 灿 0 ，使得 一& 蜥卅+ 宴白奶钟删+ 壹奶白弓扣i ”扩瞰圳曲 0 都成立，则系统( 4 3 3 ) 的任意解u ( t ) = ( u l ( t ) ，t 2 ( t ) ，( t ) ) ，满 足 ( t ) 一x ( t ) l l = o ( e - # ) t o o 这个推论涵盖了文献【2 l 】中的主要结论 络： 如果毗( t ) ) = 1 ，也他( ) ) = 盈( t ) t “( t ) ，则系统( 4 1 1 ) 转化为h o p f i e l d 神经网 掣一d ( 州删+ 骞吼删啪 n ， + 善j ( 讹( 卜础h ) ) d k i i ( t ) + 蹦巩( 4 3