（基础数学专业论文）四维伪黎曼左对称代数的分类.pdf

摘要 摘要 左对称代数是在微分几何，李群，仿射流形等研究中提出的一种复杂的代数 体系。左对称代数上的不变双线性型与微分几何中伪黎曼度量有密切的关系。本 文讨论了左对称代数及其邻接李代数的相关代数性质，并给出了特征为零的代数 闭域上的四维伪黎曼左对称代数的分类。 关键词：伪黎曼；左对称代数；双线性型 1 1 a b s t r a c t 一_ 一 a b s t r a c t l e f t s y m m e t r i ca l g e b r a ( l s a ) i sac o m p l e xa l g e b r as y s t e ma r i s i n g f r o mt h es t u d y o fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ，l i eg r o u p s ，a n d a f f i n em a n i f o l d s i n v a r i a n tb i l i n e a rf o r m so n l s a sh a v ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si ns e v e r a la r e a so fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s i n t h i s p a p e r ，w es t u d ys o m e b a s i ca l g e b r a i cp r o p e r t i e so fl s a sa n dc l a s s i f yf o u rd i m e n s i o n a l p s e u d o r i e m a n n i a nl s a s o v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l dw i t hc h a r a c t e r i s t i cz e r o k e yw o r d s ：p s e u d o - r i e m a n n i a ml e f t - s y m m e t r i ca l g e b r a ；b i l i n e a r f o r m i v 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：秀小荔 卵尸年，月加e l 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：鄱苈 叫年岁月加e t 第一章引言 第一章引言 1 1 背景介绍 左对称代数是在微分几何，l i e 群，仿射流形等研究中提出的一种非结合代 数( 1 】， 2 】，【3 ) ，近年来它已成为代数学的一个重要分支并且是数学与数学物理 中非常活跃的前沿研究热点。复数域和实数域上的左对称代数在l i e 群表示论以 及光滑流形上的微分几何的研究中扮演着重要的角色。 定义1 1 设a 为域k 上的一个向量空间，如果在其上有一个双线性的乘积： ( z ，y ) _ x y ，v x ，y a ， 满足 ( z ，y ，z ) = ( y ，z ，z ) ，v x ，y ，z a ， ( 1 1 ) 其中( x ，y ，z ) = ( x y ) z x ( y z ) ，则称a 为左对称代数。 在【4 】中得到了二维左对称代数的分类。 如果在左对称代数中定义括积运算如下： k ，y = x y y z ，v x ，y a ， 则a 也是一个l i e 代数。我们称l l s l i e 代数为a 的邻接李代数，用9 ( a ) 来表示。研 究g ( a ) 可以帮助我们了解左对称代数a 的性质( 5 】， 6 1 ， 7 】) 。注意并不是所有 的l i e 代数上都存在相容的左对称代数结构。在 8 】，【9 】中，我们已经知道若l i e 代 数a 上存在相容的左对称代数结构，则阻卅a ；特别的，半单l i e 代数上不存在 相容的左对称代数结构。 定义1 2 设a 为左对称代数，如果在其上存在非退化对称双线性型，：ax a _ k ， 对一切x ，y ，z a 满足 厂( z 可，z ) + i ( y ，x z ) = 0 ， ( 1 2 ) 则称a 为伪黎曼左对称代数。 l 第一章引言 二维和三维伪黎曼左对称代数的分类最早由白承铭给出，张玮妮在【1 0 】中也 对此进行了研究。不过为了方便，本文在第二章用不同的方法进行了重新分类。 在第三章，主要研究了四维伪黎曼左对称代数的分类。 本文中的基域k 均为特征为零的代数闭域。 1 2 基本性质和结论 设a 为左对称代数，我们分别用厶和见表示下列线性变换： 厶( 可) = x y ，彪( 秒) = y x ，v y a 由厶和左对称代数的定义直接可以得到 命题1 1 设a 是左对称代数，则 l 正，l 】= l k ，】，y x ，y a ( 1 3 ) 不难看出，映射l ：g ( a ) 一g l ( a ) 是一个l i e 代数表示，称为a 的左正则表示， 其中l ) = l z 。 命题1 2 设a 为伪黎曼左对称代数，则比，y a ，有 ，7 ，y ) = 0 x yy 广，) 2 特别的，若令y = z ，n f ( x x ，z ) = 0 。 证明：在式f ，j 2 j 中令z = y ，则 f ( x y ，y ) + f ( u ，x y ) = 0 由厂的对称性，f ( x y ，y ) = s ( y ，x y ) ，故有f ( x y ，y ) = 0 。 设a 为伪黎曼左对称代数，定义： l a = l i v x a - ， a a = 口t 玩l a i , b i a ) ， k e r l = z a i x y = 0 ，v y a 】， z = z a i x y = y x = 0 ，v y a ) 显然，a a 是a 的理想。在讨论伪黎曼左对称代数的分类时，l a ，k e r l 起着十 分重要的作用。 2 第一章引言 命题1 3k e r l 是a 的理想。 证明：v x k e r l ，z a ，有z 名= 0 k e r l 。又因为对于v y a ，( z x ) y = z ( x y ) + ( x z ) y x ( z y ) = 0 。故z z k e r l 。因此，k e r l 是a 的理想。 命题1 4 设a 为伪黎曼左对称代数，若z ，y ，z 是两两可换的元素，则，( z 可，z ) = 0 。 证明：，y ，z a ，由式f ，j 2 席厂( z ，2 ) = - f ( y ，x z ) = 一f ( y ，z x ) = f ( z y ，x ) = f ( v z ，。) = - f ( z ，y x ) = - f ( z ，x y ) ，所p a f ( x y ，z ) = 0 ，v z ，y ，z a 。 推论1 5 若b 为a 的交换子空间，则必有b bcb 上。特别的，a 是可换伪黎曼左对 称代数，则a a = o ) 。 当a a = o ) 时，a 上任意对称非退化双线性型满足式( 1 2 ) 。因此在下文中， 我们只讨论a a o - 的情形。 我们用左乘线性变换可以将( 1 2 ) 式改写为：f ( l 茁y ，z ) + f ( y ，l z z ) = 0 ，则 由厂为非退化对称双线性型可得l z s o ( a ) ( v x a ) ，因此厶相似于反对称矩阵。 命题1 61 反对称矩阵的秩只可能为偶数，迹为0 。 2 反对称矩阵的互为相反数的非零特征值成对出现。 命题1 7 设 e 1 ，e n ) 为伪黎曼左对t $ 4 懒a 的一组基，厂在这组基下的度量矩阵 为f ，l a 中任意元素厶在此基下的矩阵x ，则 x 7 f = 一f x ( 1 4 ) 引理1 8 若y ，名a 分别为厶的对应于特征值入1 ，入2 的特征向量，则当a 1 十入2 o 时，f ( y ，z ) = 0 。 证明：由双线性型厂满足式f ，j 2 ) 得：至l j f ( x y ，z ) + ，( 秒，z z ) = 0 ，即( 入1 + 入2 ) 厂( 可，z ) = 0 。 因此当入1 + 入2 o 时，f ( y ，z ) = 0 。 引理1 9 设a 为四维伪黎曼左对称代数，若厶有两对相同的互为相反数的非零特 征根入和一a ，则砒m 玖= d i m v _ a 。 证明：若厶可对角化，则出m 玖= d i m v _ a = 2 成立；若厶不可对角化，则不妨 设成m 玖= 1 ，取e 1 ，e 2 ，使z e l = 入e 1 ，z e 2 = 入e 2 + e l 。由上面的引理扣( x e l ，e 2 ) = - ( e 1 ，z e 2 ) ，( x e 2 ，e 2 ) = o 得l ( e 1 ，e 2 ) 为迷向的。若出m u a 一2 ，则可以取到 ，2 亿入满足( e 1 ， ) = ( e 2 ，如) = 0 。显然，由厂的非退化性可得( e 1 ，2 ) 0 。又( e 1 ，尼) = ( x e 2 ，尼) = 一( e 2 ，z 尼) = o 矛盾。因此，若厶不可对角化，则出m u = d i m v _ a = 1 。 3 第一章引言 设 e 1 ，) 为左对称代数a 的一组基，则a 的具体结构可以用特征矩阵 a = 曛篓 来表示。 下文中提到的4 均为伪黎曼左对称代数。 4 一 自彩 跏 第二章二维和三维伪黎曼左对称代数的分类 第二章二维和三维伪黎曼左对称代数的分类 2 1 二维伪黎曼左对称代数的分类 命题2 1 设疵m a = 2 且a a 。) ，则a n 9 3 q - ( 三二2 ) 。 证明：由l a s d ( 2 ) 知d i m k e r l = 1 。取e 1 k e r l ，由k e r 己为a 的理想和比 a ，( x e l ，e 1 ) = o 可得( e 1 ，e 1 ) = 0 。取e 2 隹k e r l i 吏f g - 基e l ，e 2 下的度量矩阵为f = ( 呈舌) 。 嘲卅可舰。= ( 苦三) 鲥叭脖。代替e 2 ，则k = ( 三三) 。 2 2 三维伪黎曼左对称代数的分类 命题2 2g 殳d i m a = 3 且a a o ) ，则a 必同构于以下五种代数之一。 a 的特征矩阵d i m a a 度量矩阵 由己a s o ( 3 ) 和半单李代数上不存在相容的左对称代数结构可知，d i m l a = 1 或d i m l a = 2 。 5 第二章二维和三维伪黎曼左对称代数的分类 2 2 1d i m l a = 1 取e 岳k e r l ，则l 。为l a 的一个基。 1 l 。可对角化 我们已知k e r l 为l 。的不变子空间，由l 。相似于反对称矩阵和命题( 1 6 ) 可 知，可取到a 的一组基 矩阵为对角形矩阵，此 ( n o ) a 用丢e 3 代替e 3 ， 此时a 的特征矩阵为( ，) 姗 2 厶不可对角化 我们已知k e r l 为己。的不变子空间，由厶相似于反对称矩阵和命题( 1 6 ) 可 的一组 10 基 e 1 ，e 2 ，e 3 ( 其d p ，e l ，e 2 k e r l ) ，使得 ) ，用一e 3 e 3 ，e 3 c e 3 e 3 ，替换e 2 ，e ，则三e 。= 此时a 的特征矩阵为c ，。( 2 2 2d i m l a = 2 相应的f = 引理2 3 设d i m l a = 2 ，则厂限制在k e r l ) 台非退化的。 证明：若k e r 己为a 的非退化理想，设k e r l = l ( e 1 ) ，则( e 1 ，e 1 ) = 0 。进一步，( k e r l ) 上 为a 的二维伪黎曼子代数，且l 限制在( k e r l ) 上上为非退化的。由二维伪黎曼代数 的分类结果可得矛盾。 6 辫一 邀o o o o o一、。， 罐 o o o o o 忌 砒 = 1 o o 1 o o 使乜厂o 1 一眈 z 川乳一(舢 吡l 厂k 陉 卜 o o o靴舭 吨。瓣 m化o。o卜化h= q 蛙一 3 o o 吒 嘈) 基o o o 。 潋1 o o u 砣 1 0 0 在0 0 0： 场 o 1 o o o 0 o 枞 椰 融 0 o 1 2 o o 吒 0 0 日 0 0 0 第二章二维和三维伪黎曼左对称代数的分类 由k e r l 为退化的，取e 2 ，e 3 ，使厂在基e ，e 2 ，e 3 下的度量矩阵为f = ( 由式c l 4 ，可得l e ：= ( n 0 1n 0 2 兰i ) 和l e 。= ( 6 1 06 0 2 兰釜b 0 000 ) 。 由式( 1 4 ) 可得l e ：= i 0 2 i 和l e 。= i 一2 i 。 一0 1 一6 】 l 【e 2 , e 2 ； 并f l d i m l a = 2 得n 1 = 0 ，a 2 = b l 。 1 当幻= 。时，n z 。用6 e ，击e 3 分别代替e - ，e 3 ，则l e 。= ( 量 此时a 的特征矩阵为( j y ) 1 0 0 e 0 1 l fe l 0 2 当b z 。时，用礴b 2 e ，智e z ，丢e 3 分别代替e ，e 2 ，e 3 ，则l 。= ( 曼 和l 朗= ( 壶吕1 兰) a 此时a 的特征矩阵为c y ，( 兰兰 = 7 0 0 01 10 由【l e 。，l 。】= 0 0 1 三0 ) 一1 i 卦撒 相 、lj， o o o 、r o 0 0 1 0 0 1 0 o 0 1 0 0 0 1 = l 3 = e 厶 f 和 的 、ll，、lij， 0 0 0 铅 1 o o o 叱驴 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 当d i m a = 4 且a a o ) 时，则成m 三a 可能为1 ，2 ，3 ，4 四种情况，相应 的k e r l 的维数可以为3 ，2 ，1 ，o 。下面我们就这几种情况来分类讨论四维伪黎曼 左对称代数的结构。 3 1d i m l a = 1 在这一部分，我们给出d i m l a = 1 时的四维伪黎曼左对称代数的分类结果， 以及每一类上满足式( 1 2 ) 的相应的非退化对称双线性型。 命题3 14 殳d i m l a = 1 ，则a 必同构于以下六种代数之一： ( 1 1 ) 他( 6 ) j ( 1 2 ( 0 ) ) ( 1 3 ) 1 4 ) 8 2 2 2a ，推意) 、，0* c 6 o c 、， 0 * c 6 o c ll，、l-、l，、l-、l， c 0 0 6 1 o 0 0 1 o o o 1 o o 0 1 0 0 6 0 1 0 o 0 1 0 0 0 c 6 0 o 1 0 0 0 1 0 o 0 o 1 0 o 0 1 0 0 口c 0 0 0 1 0 0 o 1 o 口0 0 c 0 0 0 l 0 0 o 1 0 0 o 1 0 0 0 1 ，fiiiil，iilllil，j-llil一，、，、 、llj， 0 0 0 0 3 o o o 吒 o o 0 眈 * 、li， o o o吒1j 3 4 o 0 o 钯o o o 川 o o o 锄o o o 吒 0 0 0 3 liiii_-， o o o嘞、i 一o o o 吒 0 0 0 0 0 0 0 0 o 0沈0 o 0 0 卜0 0 0 0 e o o 0 q 0 0 0 0 o 0 0 钉o 0 0 q 0 0 0吼0 0 0 o ，jilliiil一一、，ji-_-il、，-_iil一，jlll-il、，i-lii 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 其中，2 ( b 1 ) n 戢j - - l 2 ( b 2 ) 当且仅当6 1 = 4 b 2 。 设d i m l a = 1 ，取e k e r l ，则l e 为l a 的一个基。 3 1 1 l 。可对角化 我们已知k e r l 为l 。的不变子空间，由l e 相似于反对称矩阵和命题( 1 6 ) 可知， 1 g a = 0 ，则6 0 a 用丢e 4 替换e 4 ，则l e 。= 为( 厶) ，相应的f = 使得l e 在这组基下的矩 ，b 3 0 任意常数) 。 c 其中k 言l 棚。 2 若o 0 ，b 0 ，用：e 4 替换e 4 ，则己。4 = 矩阵为( 厶( 6 ) ) ( 6 0 ) ，相应的f = 当b 1 = 士6 2 。 9 量) 。a 的特征矩阵 ) ( 6 叭黼征 1 2 ( b 1 ) 与h ( b 2 ) 同构当且仅 凹、， k 0 0 0 吨 3 ， 勖0 0 而0 b 0 6 0 0 中 其 i i 谚 = 1 j l 训 k 诜 肘 h 此 基 艮 绁 擗 一 矩 盼 形 刖 角 到 对 取 为 可 阵 o o o o 0 1 o 0 o o 0 o ，、 0 1 0 0 0 0 1 0 o o o o o o 山o 0 6 o o 1 0 o o 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ，ii-llill、 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 3 聋宇。，6 = 。，月日丢e 4 霍争挺起e 4 ，贝i j l e 4 = ( 量 为c 尼c 。m 相应的f = ( 荤 i ( 其中l l a 特征矩阵 3 1 2 l 。不可对角化 由厶相似于反对称矩阵和命题( 1 6 ) 可知l 。有两对相同的互为相反数的非零特 征根或只有零特征根。 k 盯) ，使得己。在这组基下的矩阵为己e = i 吕o ko 一0 1l ( 尼o 为 000 一忌 任意糊。由d i m l a = 1 可地。= i 吕警三尼三卜o ) 。 0 00 一a k 用去e 4 ，i l e l ，丢e 3 替换e 4 ，e l ，e 3 ，l i t 水j l e 4 在新的一组基 e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ) 下的矩阵为 l = ( 室0 三0 - 三- 三) 。a 的特征矩阵为c 厶，相应的f = 0 0 0 1 ) 。 当l 。只有零特征根时，r ( l e ) = 2 。我们可取a 的一组基， e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ) ( 其 ca，己e：(量考量三)，由dimla：1可设le。：00 00 让i 吕吕吕三i ， a = 1 可龅。= 0 0 0 0 三卜 0 o ) 。分别用o e l ，a e 3 替换e l ，e 3 ，此时l e 4 在e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ) 下的矩阵为l e 4 = 1 0 、liij， o o o o 0 0 0 0 0 0 0 0 o 、j 0 * c 6 o c 1 0 0 o 0 c 6 o o 口c 0 o o 0 o 0 0 0 o 0 = ( 分别 01 0 0 0 0 0 0 0 ) 。 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 a 的特征矩阵为( 厶) ，相应的f = d i m l a = 1 可设l e 。= e 2 ，此时l e 4 在e l ，e 2 ，e 3 ， 矩阵为( j 1 5 ) ，相应的f = 弘毗一批一 3 2 d i m l a = 2 1 j 。0 卜妫 b ) 在这一部分，我们给出d i m l a = 2 时的四维伪黎曼左对称代数的分类结果， 以及每一类上满足式( 1 2 ) 的相应的非退化对称双线性型。 引理3 2 设d i m l a = 2 ，则厂限制在k e r l 是退化的。 证明：若厂限制在k e r 三是非退化的，则( k e r l ) 上nk e r l = _ o ) ，我们可取k e r l 的 一组基e l ，e 2 ) ，( k e r l ) 上的一组基 e 3 ，e 4 ) ，使厂在这组基下的度量矩阵为单位矩 阵。由式( ，j 卅可设l 。和己q 在这组基下的矩阵分别为l 。= 1 1 0 1 0 0 0 口1 0 0 o 0 1 ，il o o o o il、， l，钔1： 叭o o叫勒。o c e o o o o卿o 1 o o 口o o 0 的 1 o o o o o o 0 0 0 o r， 儿u吣( 由 b 征趴龇黼 o 1 o o郇、r 1 0 0 0 毛0 0 0 0 0 0 0 o 用0 1 0 0 恤 夕札o o o o )舡o o o o 0 0 口0 彰 0 0 a 0 阵0 0 1 o o o 0 0 矩 o o o o 睁o o o o 0 0 0 o ，i-lll、 i 1 0 0 0 噎 巴 o 1 o o 0 0 o 0 0 1 0 o o 0 o 用0 1 0 0 o o o = 0 0 o 厶 ，u 厶 i 、，、， 0 o 啦0 o o o 吨 吼0 o o o 咄o o 一个基可得a 2 = 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 线性相关，仍与也m ( 己a ) = 2 矛盾。 l a ) = 2 ， 和l e 4 命题3 3 设d i m l a = 2 ，则a 必同构于以下十二种代数之一： ( 1 1 1 ) i i l 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) f 1 1 6 ) 1 2 勺1lj 一0 0 o 0 牝o o o o k 阢o o o 矛。也o o 玩 一 且，、 “、_、 打0 o 0 0 d 于o 0 0 o j 吼0 o o 0 i l o 饥0 o r ，】 ， 、 4 6+ i | l以厶 o o幻。孔 埘栅 2 d o o o 也枷 叫 = h 0 0 0= 如 。也o o k 已 = 乩 ， 由 己 和 勘 町 畦 * * 泌 嘶 倍 傀 倍 、l，lj，、l夕、lj，、， 1 0 0 尼0 1 0 o 0 1 o 0 1 0 0 0 1 o o o 1 0 0 0 o 0 l 0 0 0 1 0 0 0 1 0 o 尼0 0 o 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 尼o 0 0 1 o o o 1 0 0 o 0 1 后0 0 o 后0 0 o 0 0 0 1 0 0 o 1 0 o o 1 ，、，、，、，i， ，、， 卜 钮3 ) ) 兜 2 3 3 4 3 0 0 o吨(i一 ；一 “刊刊。&f。玄。笔 一 一 一 一 一 印 l o o o 吼o o 眈。 川o o嘞o o o吨o o o 吒钉 0 0 q 0 o 0 0 既o 0眈眈0 0 眈o 0 0 眈吼0 0 眈0 0 0 0 0 o 0 0 0 ； 吧 八v八v o o o o o o m o o扛o o o j 2 o ，_ 厂 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 a 的特征矩阵d i m a a 度量矩阵 其中，厶( 6 1 ) 和，j l b ( 6 2 ) 同构当且仅当b l = b 2 。 ，限制在k e r l 是退化的，即( k e r l ) 上nk e r l o ) 。又因为d i m ( k e r l ) = d i m ( ( k e r l ) 上) = 2 ，因此我们分为d i m ( ( k e r l ) 上nk e r l ) = 1 和d i m ( ( k e r l ) 上n k e r l ) = 2 ( 最p ( k e r l ) 上= k e r l ) 两种情况讨论。 3 2 1 d i m ( ( k e r l ) 上nk e r l ) = 1 我们取e l ( k e r l ) 上nk e r l ，贝t j ( e 1 ，e 1 ) = 0 。另取e 2 ，e 3 ，e 4 ( e 2 k e r l ) ，使 1 3 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 得，在基 e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ) 下的度量矩阵为f = 一个基。由式( 1 4 ) 可设l 。7 m l 。的矩阵为分别为l e 。= 妻) ，并且l e 。，己为己a 的 b l 易b 30 l 。= 1 0 。0 。0 。- 一b 6 3 2 l 。由【l e 。，l 。】：l e 3 , e 4 得n = 0 ，6 1 = n 3 。 0 0 0 6 1 1 若口z o ，叻= 0 ，分别用墨e 1 ， 则l 。和l 。的矩阵变为l 。= 此时a 的特征矩阵为c ，厶，( ( 忌为任意常数) 。 2 若a 2 = 0 ，a 3 0 ，则己。3 = l e 4 = 争= 0 一0 2 一n 3 一口1 替换e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ， 用e 2 一鲁e 1 代替e 1 ，贝l j e l z ，且由( e 1 ，e 1 ) = 1 得l ( e 1 ) 为a 的非退化理想。 此，b = e i _ 为a z 维伪黎曼左对称子代数，j ； d i m l b = 2 。由三维伪黎曼左对 称代数的分类可取b 的一组基e 2 ，e 3 ，e 4 ， 阵为( ， (。 ( 1 1 3 ) i f 00 00 e 2一e 3 0 d e 4 0 0 一e 3 一e 3 一e 4 相应的 相应的 3 ，e 4 下， k 1 a 的特征矩 0 ) ； ) i ( k o ) 。 ) 3 若a 2 0 ，a 3 0 ，m y ( z y ，z ) + f ( y ，x z ) = o 可知厂在这组基下的度量矩阵可 1 4 0 o 1 0 0 1 o 0 0 0 0 1 ，j一 0 0 o 眈0 0 0 吼o 0 0 。、j卜因 、一、1 o 0 后 o o一o 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 o 1 ，j-ii、 3 0 0 0 0 五西，、 上眈 q、， 嶂咙o 0 o o 3 0 0 o o e 吆1 0 o o o 0 0 吼 0 0 0 0)1) 黔加o o 钮o 2 3 0o 砌砌棚 b o o 0 幻0 0 0 钆0 0 0 ，、 = l 、lii， o o 川o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，。一 一o 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 o 1 0 塾o o o 1 o o o 1 的后0 0 0 七0 o o a 能 阽 肚 、l，、l、 0 0 0眈0 o 眈免 0 0 0 0 ； v o o o 眈 )玢 0 o 0 0 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 为f = o 0 0 鏊丝毫) ，即这种左对称代数 3 2 2 d i m ( ( k e r l ) 上nk e r l ) = 2 当( k e r l ) 上= k e r l 时，比，y k e r l ，f ( x ，y ) = 0 。由l a 为2 维李代数 可知，存在e 1 k e r l 为l a 的公共特征值；取e 2 ，e 3 ，e 4 ( e 2 k e r l ) ，使得，在 基t e ，眈，e 。，e 4 ，下的度量矩阵为f = ( 荤 0 01 呈0 13 i 。由式( 1 4 ) 得l 。和己e 。的矩 0 0 0i 阵为x = la 量季b c 三o 至、j 类型的。不妨设l 铝= ( 言专票4 兰i ) ， l e 。= 10 0 告一0 以- 一b 6 3 。i 即l 。= i 。0 5 。4 0 6 4 - 一6 b 4 4 。a 2 3 i = 6 4 l e 。，与出m ( l a ) = 2 矛盾。 俐 a l = 1 且n 2 = o 时，l e 。可以对角化。用e 3 一a - 警- 2e l 替换e 3 ，并重新取e 4 ，使 得厂的度量矩阵仍不改变。则l l 的矩阵变为己e 。= ( 妻 1 5 o0 1o 01 00 0 。0 l， 一1 b ) 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 由阪。，l 钒】= 厶e 3 ，e 4 得b l = b 4 0 ，幻= l a ) = 一警e 1 ， 度量矩阵仍不改变。9 h 吲- l 。，l 。的矩 f b lb 2 ri o6 4 “4 一10 0 f0 0 并重新取e 4 由 l e 。，l e 。】= l 【e 3 ，e 4 得( 6 4 1 ) e 3 一e 4 = 。64612530 b 4 00 b l 蚤b 4 00) 无解，此种情况不存在。 o 一2 6 3 i王矗口山“k 董、口下出鼻 一6 4一 i ”。”。 00 因此，在l e 。的矩阵中，a 1 1 。 由引理( 3 4 ) 和n i n ( 3 5 ) 可得a l 一l j t a l 分别用e 2 + 一a - - 虫, - e l ，e 3 一靠e 1 替换e 2 ，e 3 ，并重 不改变。则l e 。，l 。在新的基下的矩阵为l e 。= 1 ，此时l e 。一定可以对角化。 新取e 4 ，使得厂的度量矩阵仍 】得0 1 = 6 2 = b 3 = b 4 = 0 或n 1 = 0 。 = b 2 = b 3 = b 4 = o 时，用击e 4 替换e 4 得 0 0 。0 。0 l 。此时a 的特征矩阵 0 1 的 ， ，、， 0 o o m o o q o o o o o 1 1 o 0 舢 = 换 k 矾 潜 沩 嘞 蕃： 敝 、lj， 3 2 1 o山山山 b o也o e ： 印 i i e 【 跏 缸 = = j 如 e ： k = h 陋 三” 由 一 。 i | 、，吼 。也也呐喊 = 台吉地 功纵0 o 加 以 h o o o 岿 ，、量” q 0 0 0 0 1 0 o 0 ，、 = m l和 、l， 0 0 0 0 o o o o 0 1 0 0 0 o o 0 ，f-iii = l 为( ，厶) 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 肚( ； ( 忌0 ) 。 = b 4 = o 时，分别用而1e 4 ，俩e 1 替换e 4 ，e 1 ，得l e 3 = 卜= o 10 i ) 抄0 一= ( ；| 。此时a 的特征矩阵为( ，厶) 口1 = 一i 1 ，b l = 6 2 = b 4 = o w t ，分别用去b a e 4 ，瓶e 1 替换e 4 ，e 1 ，得l e 3 = 0 0 一互1 e 1 0 2 当a 4 = 0 ，l e 3 = 、和l e 。：r l 相应 引理3 6 在l 。的矩阵中，a 1 = 0 。 在a ，= 0 时，我们对a 2 ，a 3 的取值进行分来讨论。 1 7 。此时4 的特征矩阵为( j 1 6 ) ，击( e 3 一普e 1 ) 替换e 2 e 3 ， 新的基下 l e 。，l e 4 】 的矩阵为l e 。 = l 【e 3 , e 4 得b l 1 o o o 0 七0 o 0 0 后0 、llll， o o o 吒 o o 吧o b 1 2 o o 眈。 卸一o o o j 2 0 0 0 吼h 0 0 0 0 三2 = 0 l 0 o 吼一1 2 0 o 0 o 、lif， 1 0 o o 0 1 0 o 3 o o 吒o 0 o 眈吼 0 0 扣0 o 、l-、 1 0 0 0 0 1 0 0 、0 o 1 0 o 。o o加u 1 0 0 o = 0 0 0 o 够 、lli， o o 弘屹 0 0 0 三2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 o o o 3 吒吼 眈0 当 当 、，、， 3 2 1 o川吨吨 钆0 0 0 眈o o 0 虮0 0 0 q 在 由 纽虮 。 一 三、， 剃圳魄。也。 蝴一吣乱 淼一 嚣一一舢 舭藤 k 一 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 ( a ) 当0 2 = 0 ，a 3 o 时，分别用0 3 e 1 ，丢e 4 替换e l ，e 4 ，则l e 3 = i 当b 1 = 一2 b 4 = 0 时， 惫e 3 替换e 2 ，e 4 ，则 矩阵为( 厶) 任意常数) 。 由 l e 3 ，l 。】= l 【e 3 , e 4 】得6 1 = - 2 b t 。 0 0 一e 2 一e 3肚( ； 去e - ，去e 4 一 时a 的特征 1 j 吕b k ) i i 当6 1 = 一2 6 4 o 时，l 。和l 。在k e r l 上可同时对角化。分别用击( e 2 + 1 0 b s 0 l 黝托4 一扣) 替换峨。= i 。0 吉呈吉l 。进一 0 00 1 步，分别互换e 1 ，e 2 和e 3 ，e 4 ，则此时l 。满足情形( 1 ) 中的( c ) ，a 的特征 矩阵为( 1 1 6 ) 。 ( b ) 当a 3 = = 己【e 3 , e 4 得l 。= ( 量重量要) 和l e 。= 1 b 2 b 3 4 委) 。 i 当6 4 0 ，n _ b 4 一1 时，己e 4 可对角化。分别用e 2 + 鲁e 1 ，e 3 一- b 4 。+ 1 e l ，e 4 - _ - 捣e + b 4 k + 1 e 2 一笼e 3 替换e 2 ，e 3 ，e 4 ，则l e 。的矩阵不改变，l e 。= 1 8 、lli， o o o o l 0 0 0 0 o 0 0 0 o 0 o ，、 、lilj， o 如砌砌如。砌。 幻k 0 0 h 0 0 o ，f一 = 己 + 比 升 此 。瓦 ) 用 o o o o 、0 o 0 0 o山山o 1 o o o 如0 o 0 o 0 o = e 0 0 o 0 l ，、 ：j 1 陂 广 不 巴 8 厶 k 0 1 0 o o 0 1 0 0 0 白0 0 o 0 吼 0 0 0 0 乙 l 由且 4 e 白 换 替4 e 上眈 吼2 o 用“u另分时 o *2 00 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 a 的特征矩阵为i i s ( b ( b 0 ，b - 1 ) ，相应的f = 当且仅当b 1 = b 2 。 i i 当b 4 = 0 时，分 阵不变，l 。= 若= 0 ，则a 的特征矩阵为( 墨 o ，记作，j l b ( o ) 。相应的f = i 吕k 1 0 i 0 0 0 l10 0 i i i 当b 4 = - 1 矩阵不变， 0 ，分别用 00 若b 3 = 0 ，则a 的特征矩阵为 b 2 e 3 相 o 0 0 - b e 3 0 0 一e 3 一e 4 f j i b ( 6 1 ) 和，岛( 6 2 ) 同构 则l 。在新基下的矩 姜：)，且。，js c 6 ，q p 6 = 妻) c 后为任意常数，。 1 替换e 4 ，e 2 ，则l e 。在新基下的 le l - - e 2e 3 若6 3 0 ，分别用6 3 e 2 ，丢e 3 替换e 2 ，e 3 ，此时a 1 9 ，即，j l b ( 一1 ) 。 矩阵为( i l l o ) o o 艮她 0 0 0 艮 ，。一r ，“、夕 o o o o o o也o 0 k 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 o 0 0 0 1 0 0 0 o 1 ，、 铅换替妒 。 山、 夸。也。 嘧o o o o 一幻o o o 用1 0 o 0 别，一 o o 0 0 o o q o 阵 为 巨 后 柏刀 ( 征、l 寺1 0 0 0 d 彳 的o 1 0 0 a 则0 后1 0 ，0 0 0 1 铅 眈 i i q f 换 的 替 应 l， 眈 艮 o o 勖一 醒 一铅 0 0 0 0 q 吼 0 0 0吼。 (麴 若 劭 常 t f l 秦 意 为 任 妒、， 一0也0 0i 也o 。 铅b 0 1 0 l u 制o o o o 肌化心 分 = 时 l 、lj，征 o o = 腊 o 0 0 0 0 钉 0 0 0 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 0 0 0 e 1 + e 3 0 0 一e 3 一e 2 一e 4 综合( b ) 这部分得( j j l b ( 6 ) ) 为 ( c ) 当a 3 0 ，a 2 己e 。，l 。】= l i e 用e 4 + b 3 e 2 ，e 3 一 若b 2 = 0 ， 肚( 荤 0 0 0 - b e 3 0 0 一e 3 一e 4) c 6 为任意常数，。 o 时，用。e ， 等e 2 ，v 等e 3 ，壶e 4 替换e - ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，且由 。，e 。，稚导上：。= ：0 1 1 ，j ：。= = ( ：妻言喜 妻) 。 6 3 e 1 替换e 4 ，e 3 ，则厶。的矩阵不变，l e 4 = l 。0 。0 。0 0 6 2 i 。 则a 的特征矩阵为u 厶1 ) l 0 。三e 0 。一e 2 0 一e 3 i ，相应 0 0 的f ：f 。0 11 尼 f jo ( 忌；) 。 ，f=(量1委k尼1二k乏)c后互11k ，。 ，f = l 吕1 一尼1i 庇一尼l ( 后互) 。 南一后 3 3 d i m l a = 3 在这一部分，我们给出出m l a = 3 时的四维伪黎曼左对称代数的分类结果， 以及每一类上满足式( 1 2 ) 的相应的非退化对称双线性型。 引理3 7 设d i m l a = 3 ，则厂限制在k e r l 是退化的。 o 、liij， 1 0 0 0 0 l 0 0 0 0 1 02 o o q 吒 o 0 0 钮 o d 良膨 0 0 0 吼 1 0 0 0 忌 0 一七0 1 b、l， 磋 彩彩 惘o 毋 吃 分 一 一 0 0 0 钆0 剀o o q o 眈o o 毋毋 若 0 0 o 缸 第三章四维伪黎曼左对称代数的分类 证明：若k e r 三为a 的非退化的理想，i 殳k e r l = l ( e 1 ) ，则( e l ，e 1 ) 0 。进一 步，e 为3 维伪黎曼左对称代数，且l 限制在e 上为李代数同构映射。由3 维伪 黎曼左对称代数的分类结果可知，此种情况不存在。 命题3 8 设d i m l a = 3 ，n a , 必- 同构于以下五种左对称代数之一： 其中i i l 2 ( b 1 ) 和i i l 2 ( b 2 ) 同构当且仅当b 1 = t - b 2 。 我们现在设k e r l = l ( e 1 ) ，则( e 1 ，e 1 ) = 0 ，且 j e l e ，因此e l ( e 1 ) 为2 维伪 黎曼左对称代数。由2 维伪黎曼左对称代数的分类结果知，可选e 士l ( e 1 ) 的一组 合适的基而，西使得e i 己( e ) 的结构分两种情况。 3 3 1 e i - l ( e 1 ) 为非交换左对称代数 当e l ( e 1 ) 为非交换左对称代数时，设而6 = e 一2 e 一2 = 0 ，西而= e 一2 ，e 一3 e 一3 = 一两， 相应的厂限制在 而，岛) 上的度量矩阵为( 呈0 1 ) 。取e 4 使厂在基 e ，e 2 ，e 3 ，e 4 】i 下的 一 一、 一 任、 缸 冶 一 )惟、 龟嘞：一 。嘞。咄封。嘞咱一。嘞嘞o吣吣一 势。乏了嘞j=一 。吼吒o 3 吨。吼。渤一 三_o言絮君o i。吾生 0 0 眈0 一 0 q 0 q 堙一 o o 吼o o