（基础数学专业论文）三维laplace方程的小波近似解研究.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得北 京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意 签名：王蓓莠日期：勿加章镅雩目 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：王馋书导师签名：曼戳日期：帅章目弓目 摘要 摘要 物理学和工程学的许多问题都归结为求解l a p l a c e 方程本文主要研究三维 l a p l a c e 方程的c a u c h y 问题，该问题是不适定的，即定解条件的微小扰动会引起 解的很大误差而在实际应用中，定解条件为测量数据，不可避免地存在误差基 于此，本文中我们构造了基于m e y e r 小波的逼近解，并证明了它们在两种范数意 义下的稳定性和收敛性具体地，第二章在l 2 范数意义下给出了方程的小波逼近 解的稳定性及收敛性；由于l 2 收敛是一种平均收敛，第三章我们给出了小波逼近 解的一致稳定性及一致收敛性对于以上两种方法，我们都给出了分辨率水平的选 取方法 关键词l a p l a u c e 方程；g a l e r k i n 方法；小波解 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t m a n yp h y s i c sa n de n g i n e e r i n gp r o b l e m sr e q u i r et h es o l u t i o i l so ft h el 印l a u c e e q u a t i o n s i nt h i sp a p e r ，w es h a l l lc o n s i d e rt h et h r e ed i m e n s i o n a lc a u c h yp r o b l e m f b rt h el a p l a c ee q u a t i o n 8 t h ep r o b l e mi si l l - p o s e d ，a s m a l ld i s t u r b a n c eo nt h e b o u n d a r yc o n d i t i o nc a np r o d u c eab i ga l t e r a 七i o no ni t ss o l u t i o n b u ti np r a c t i c e ， t h eb o u n d a r yc o n d i 七i o ni su s u a l l yg i v e nb ym e a s u r e dd a t aa i l dh 硒u na _ v o i d a b l e e r r o r 8 ，t h u st h es 0 1 u t i o ni su n s a t i s f a c t o r y b a s e do nt h i s ，w r es h a l lc o n s t r u c tt h e w a v e l e ta p p r o x i m a t es o l u t i o n sw h i c ha r en o to n l y8 t a b l eb u ta l s oc o n v e r g e n tt o t h ee x a c ts o l u t i o n s p e c i f i c a u y ，i nc h a p t e r2 ，ep r e s e n tt h ew a v e l e ts o l u t i o ni n t h el 2s e n s e ；s i n c el 2c o n v e r g e n c ei sak i n do fm e a nc o n v e r g e n c e ，i nc h a p t e r3 ，w e c o r 塔t r u c tau n i f o r m l yc o r l v e r g e n tw a v e l e ts o l u t i o n a sf o rt h ea b o 、，et 、柏m e t h o d s ， b o t hc o i l 、悒r g e n c ea n ds t a b i l i t ya r ed i s c u s s e d f h r t h e r m o r e ，w r es h a l lg i v ear e c i p e f o rc h o o s i n gt h ec o a r s el e v e l r e s o l u t i o n k e y w o r d sl a p l a c ee q u a t i o n ；g a l e r k i nm e t h o d ；w a v e l e ts o l u t i o n i i 目录 _ 一_ _l _ i ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 苎! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 竺! 竺! ! ! ! ! ! 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第1 章绪论1 1 1 研究背景1 1 2 预备知识4 1 3 本文结构及主要结论9 第2 章m e y e r 小波解的l 2 一收敛性- 1 1 2 1l 2 一稳定性1 1 2 2l 2 一收敛性1 6 2 3 本章小结2 2 第3 章m e y e r 小波解的一致收敛性2 4 3 1 一致稳定性2 4 3 2 一致收敛性2 5 3 3 本章小结2 8 结论3 0 参考文献3 2 致谢3 9 小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的尺度函数和小波函数【2 卜【4 1 与此同时， w i c k e r h a u s e r 和c o i f m a n 等人通过对母小波函数进行伸缩平移和调制运算，提出 了小波包的概念，并将m a l l a t 算法进一步深化，得到了小波包算法 近年来，随着小波理论的迅速发展，用小波方法求解微分方程引起了越来越多 研究者的关注在小波分析的发展中，小波方法在求解微分、积分方程方面有着 重要应用1 9 9 3 年，s b e r t o l u z z a 和g n a 】d i 利用小波配黉点法研究了偏微分方 北京工业大学理学硕士学位论文 融爹讹如幽垆0 蔓_ l ”1 ， 第1 章绪论 口( z ，可) l 1 ( 酞2 ) nl 2 ( r 2 ) 的傅里叶变换定义为 嗽，丁) = 去上。巾川e 一+ r 们捌y ( 1 叫 在方程( 1 一1 ) 两端对变量z 和可进行傅里叶变换得 则方程( 1 4 ) 的解为 r ，7 _ r ，0 0 ，若u ( z ) c + reu ( r ) u ( 7 ) d 丁d s ，则 u ( z ) c e c c u ( r ) d r 如 篮 已 ， ，l、j i l 多 叫 、j ， = 删 籼 印 佃 印 l ， ， ， f ， 北京工业大学理学硕士学位论文 利用上述引理及( 1 5 ) 式易得 引理1 2 设u ( z ，y ，z ) 为方程( 1 一1 ) 的解，则对v ( ，下) r 2 ，有 1 2 预备知识 1 2 1 多分辨率分析 也( ，7 ，z ) l l 鸯( ，下) i e 舻+ r 2 片 由于构造小波基的基本方法一般从多分辨率分析( m u l t i r e s 0 1 u t i o na n a l y s i s ， 简记为m r a ) 出发，因此下面首先给出m r a 的概念 定义1 3 1 1 7 】所谓多分辨率分析是指l 2 ( r ) 中的一列线性闭子空间 吩) j z ，满足 以下条件： ( i ) 单调性：对任意j z ， 吻一lc ； ( i i )完备性：嘶= l 2 ( r ) ，n j z = o ) ； ( i i i ) 伸缩性：对任意歹z ， ，( ) o 净，( 2 j ) ； ( i v ) 基的存在性：存在一个函数妒( z ) 2 ( r ) ，使得 妒( z n ) ) n z 是铷的 标准正交基这时称函数妒( z ) 生成该多分辨率分析，且妒( z ) 称为此多分辨率分 析对应的尺度函数 从( i i i ) 及( i v ) 可知：对给定的歹z ， 叻七( z ) ) 七z 是的标准正交基，其中 妒j ( z ) = 2 妒( 2 j z 一七) ，七z 4 第1 章绪论 定理1 4 【1 7 】 设 】j z 是由尺度函数妒( z ) 所生成的m r a ，定义尺度序列 小波序列 ( 岛) ) k z = ( 妒，妒l 七) ) z ， 9 ( 七) = ( 一1 ) 研i = 可， 及函数妒( z ) = 9 ( 七) 妒1 七( z ) ，则 奶k ( z ) ) j k z 为l 2 ( r ) 的标准正交小波基这 凫z 里( 妒，妒1 k ) = 厶妒( t ) 妒l ( ) d t ，奶七( z 数 1 2 2 一维m e y e r 小波 ) = 2 舌妒( 2 j z 一七) ，j ，凫z ，妒( z ) 称为小波函 根据文献【1 】，m e y e r 尺度函数妒( z ) 的傅里叶变换为 pc，=雾，c。sjuc嘉ii一1，】，蒹三三；丌， 这里u c ”( r ) 且满足 r l o ，z o ， u ( z ) = l 1 ，z 1 l 对于o zsl ，u ( z ) + u ( 1 一z ) = 1 相应的小波函数妒( z ) 的傅里叶变换为 令也七( z ) = 2 砂( 2 j z 一七) ，k ( z ) = 2 妒( 2 j z 一七) ，j ，七z ，则对任意七z ， s u p p ( 也七) = 詈趔外i 鲁趔) ，s u p p ( 纵) = 骶吲鲁丌2 j ) ( 1 8 ) 丌 丌 4 3 8 3 一 一 色 k k 一 0 ，m o 为常数 证明( 1 ) 证明见文献【1 9 】 ( 2 ) 事实上，我们只需要证明对于0s2 j z 1 成立由( 1 9 ) 式，我们有 丕m z ) 1 2 2 ( 斋骑+ 希巯+ 而+ l 奄。希) 2 ( 3 暖。土i 奄。矸胁) 2 ( 3 砩。+ i 乏：鼎) 2 m 一i 七l 2 。 i 七l 2 其中m 0 为常数 1 2 3 二维张量积小波 定理1 7 f 17 】设妒( z ) 是一维多分辨率分析对应的尺度函数，妒( z ) 为定理1 4 中所 定义的小波函数，令 西( z ，y ) = 妒( z ) 妒( ! ，) ， 皿( 1 ( z ，可) = 妒( z ) 矽( 可) ， 皿( 2 ( z ，可) = 妒( z ) 妒( y ) ， 皿( 3 ( z ，秒) = 矽( z ) 砂( 3 ，) ， 第1 章绪论 且对给定的j ，七1 ，凫2 z ，定义 则 基 圣 。，2 ( z ，秒) = 妒j ，l ( z ) ，七。( y ) ， 皿臻。，k ：( z ，可) = 奶，屉。( z ) 妒 b ( 耖) ， 皿b ( z ，夕) = 叻m ( z ) 奶南( y ) ， 皿爨。南( z ，可) = 吻南( z ) 奶胁( ) ， ( 1 ) 函数族 垂j 乩七：( z ，y ) ) 札乜z 构成= 吾两五 西矗七。，k 。) k 。，。z 的标准正交 函数族 雪毁：。知。( z ，秒) m ：。1 2 3 向南z 构成= 硒丽 皿臻：恕 。：- 2 。 ，b z 的标准正交基； ( 3 ) 函数族 皿豫向( z ，可) ) 。：1 2 ，3 矗h 七：z 构成l 2 ( r 2 ) 的标准正交基； ( 4 ) 对固定的j z ， 西 “。( z ，y ) ) 札乜zu 毁：b ( z ，y ) ) 。：l ，2 ，3 驼j “乜z 构 成l 2 ( r 2 ) 的标准正交基 由f o u r i e r 变换的定义，显然如下等式成立 蚤 七。，。： ，r ) = 9 七， ) 弼，b ( 7 ) ，亩；1 ，。( ，丁) = 9 j 。t 。( ) 奶七。( 丁) ， 每黧。，b ( ，丁) = 妨 ( ) 奶恕( 丁) ，函爨。恕( ，丁) = 如向( ) 如七。( r ) ， 且对任意凫l ，七2 z ，我们有 s u p p ( 蚤j ，k 。，膏：( ，7 ) ) = ( f ，丁) ：i i 丌2 ，i 丁- l 丌2 ， s u p p ( 函；l 。也( ，丁) ) = ( ，下) ：i f l 量丌2 j ，詈丌2 j i7 1 兰丌2 】， s u p p ( 画：( 印) ) = 骶，下) ：兰耙外i 耋趔一i 兰趔 ， s u p p ( 每爨。幻( ，丁) ) = ( ( ，丁) ：；7 r 2 l 引；7 r 2 ，；7 r 2 1 1 - i ；丌2 7 北京工业大学理学硕士学位论文 则 v u l 2 ( 骢2 ) ，令 这里如：= 弓：l 2 ( r 2 ) _ 巧 弓u ( 训) = ( u ，小。) 。，b ( z ，可) ， 知l ，七2 z q ：l 2 ( r 2 ) 一嵋 3 q u ( 训) = ( u ，皿溉b ) 皿蹴七：( 叫) ， 丌l = 1 七l 。七2 z n ( ，7 ) = 弓札( ，r ) ， ，7 - a j l 色( ，丁) 一弓u ( ，r ) = q u ( ，7 - ) ， 一 丌2 j ，；7 r 2 】【一；7 r 2 ， 7 r 2 1 ( 1 1 0 ) f ，7 _ a j a j l ( 1 1 1 ) 定义房：l 2 ( r 2 ) _ 谚= 筇丽 毛向渤) 札七。z ， p l l 则由p l a n c h e r e l 公式有： p l l = ( ，瓢小。) 愚，( v ，l 2 ( r 2 ) ) ， 七1 。七2 z ( ，觋。南) 觋。愚= 七l 。七2 z 类似地，定义兹：l 。( r 。) 一或 七l 七2 z ( ，西舻小。) 稚。乜= 蔚 七l ，七2 z = 硒匝 毒嬲向 。：1 2 3 h 昧z ， ( ，毒铡，b ) 毒嬲。”( v ，l 2 ( r 2 ) ) ， 3 ( ，面。) 每嬲向= 仇= l ( ，皿盟。：) 每盟乜 七1 七2 z = q ， z 艇 3 一 = ， 一q 。一 = q 第1 章绪论 1 3 本文结构和主要结果 第一章介绍r 本文的研究背景和预备知识 第二章利用m e y e r 小波构造小波解，并在l 2 范数意义下证明其稳定性及收 敛性，主要结果为： 定理2 3 设嘶( z ，y ，z ) 和( z ，y ，z ) 分别是方程( 1 1 ) 满足边界条件9 ( z ，3 ，) 和 卯( z ，可) 的m e y e r 小波解，如果l i 卯( z ，可) 一9 ( z ，y ) l i 6 ，选取j 满足 j 扣：( 未t n ( 抛 则对比( 0 ，1 ) ， i lu j ( z ，2 ) 一u ；( z ，z ) 临6 1 。 定理2 8 设u ( z ，可，z ) 是方程( 1 1 ) 的解，u ；( z ，可，z ) 是方程( 1 1 ) 满足边界条件 仍( z ，y ) 的m e y e r 小波解，若i i 卯( z ，y ) 一9 ( z ，可) i i 6 ，( f ，7 ) ：= 雪( ，下) e 5 ( f 2 + r 2 l 1 ( 2 2 ) nl 2 ( 毫2 ) ， l 0 9 2 ( i 矗l n ( ) ) 歹 l 0 9 2 ( 未了l n ( ) ) ，贝0 对v z ( o ，1 ) ， | iu ( 训，z ) 一u 如舭) 临矿。2 + 印扣。) + q ( 1 n 扣呼， 其中c l 0 ，岛 0 是常数 由于l 2 收敛是一种平均收敛，且当z = 1 时，所构造的解在l 2 范数意义下 不稳定，因此，第三章我们进一步得到一致稳定的小波解，并给出了一致收敛性分 析，主要结果为： 定理3 1 设u j ( z ，z ) 和嘭( z ，可，z ) 分别是方程( 1 1 ) 满足边界条件g ( z ，! ，) 和 卯( z ，y ) 的m e y e r 小波解，如果| i 卯( 石，可) 一9 ( 茁，! ，) l l 6 ，选取j i 满足 j 扣( 赤l n ( 轨 北京工业大学理学硕士学位论文 贝0 对v z ( o ，1 】， ( 删，z ) 一嘭( 训，z ) l c ( 1 n 丢) 6 这里c 0 是一个常数 定理3 4 设u ( z ，y ，z ) 是方程( 1 - 1 ) 的解，哆( z ，! ，z ) 是方程( 1 一1 ) 满足边界条件 夕6 ( z ，! ，) 的m e y e r j 、波解，若0 仍( z ，可) 一夕( z ，y ) l j 6 ，( ，7 ) ：= 鸯( ，7 - ) e 5 k 2 + r 2 l 1 ( 乏2 ) nl 2 ( r 2 ) ，；l 0 9 2 ( 乏告l n ( ) ) 歹 l 0 9 2 ( 矗了l n ( ) ) ，贝0 对v z ( o ，1 】， 巾m z ) 一q ( 删，列c ( i n 丢) 垠+ 岛6 + q ( 1 n 丢) 随 其中c 0 ，岛 0 ，a o 是常数 1 m _ 一 第2 章m e y e r 小波解的l 2 收敛性 第2 章m e y e r 小波解的l 2 一收敛性 在本章中，我们将构造l a p l a ce 方程c a u c h y 问题的m e y e r 小波解，并在l 2 范数意义下给出稳定性和收敛性分析 2 1 l 2 一稳定性 首先考虑方程( 1 1 ) 在空间的逼近解设妒( z ) 为一维m e y e r 尺度函数，定 义m e y e r 小波解为 u j ( z ，可，z ) ：= u 七l 。知2 ( z ) 圣j k l 2 ( z ，y ) = 其中无穷矩阵u = u “七。( z ) h k 。z 满足如下方程 u 。七：( z ) 妒j 七。( z ) 妒j 乜( y ) ， 慝即b ( 2 一1 ) 且无穷矩阵，y = 讯。) k ，k ：z = 扫( z ，y ) ，呜k 。：( z ，y ) ) 七。，七。z ，岛= ( 岛) 斛) 七z ，l z = ( 妒釜，妒j 七) ) k z ，l z 下面首先给出有关b 和u 的相关结论 引理2 1 设妒( z ) 为一维m e y e r 尺度函数，d j = ( d j ) 削) k z ，l z = ( 婚，叻k ) ) z f z ， 则 ( 1 ) ( 功) 埘) 七z l z = ( q ) f k ) f z 艇z ( 对称性) ； ( 2 ) i i 功i l l 2 3 丌2 2 2 ( 有界性) 1 1 北京工业大学理学硕士学位论文 证明( 1 ) 类似地， 所以 又因为 妒7 ( ) ( b ) z 七 = 去，妒协) e 一洳如 一 + = 去妒( z ) e 一必茹i r 一去( 一) ，妒( z ) e 一蜘如 惩9 ( ) ( ) = i 弦( f ) = 一z p ( ) 瓜( ) = e 一扩坫窃o ( ) ， = 一r 妒羔( z ) 妒j k ( z ) d z = r ，瓦。( ) 历丽必 r = ，一f 2 伤r ( ) 岛t ( ) 必= r ，一2 e 一2 叫( m i 囝( ) 1 2 武 r 由于m e y e r 尺度函数妒的傅里叶变换是偶函数，于是 ( 功) 斛= ，一f 2 e 一f 2 一一i 伤o ( ) 1 2 必= 厂一2 e - 乱2 叫( 一七l 伤o ( 一t ) 1 2 d rr = ，一2 e n 2 叫( m i 窃o ( ) 1 2 出= ( b ) 船 r ( 2 ) 对于7 r 2 j ，定义函数l ( t ) ： r j ( ) = 一2 7 r 2 【( 一2 j + 1 7 r ) 2 i 磊o ( 一2 j + 1 7 r ) 1 2 + 2 i 彩o ( t ) 1 2 + ( t + 2 + 1 7 r ) 2 l 霭o ( + 2 。+ 1 丌) | 2 】， 将其周期延拓后仍记为r j ( ) ，则l ( t ) = 饥e 纰1 七，其中， 七z 霄2 j 饥= 击- 2 丌2 讯t 卅+ 1 丌) 2 脚( - 2 j + 1 丌) 1 2 彬怖1 2 一，r 2 j 1 2 第2 章m e y e r 小波解的l 2 一收敛性 作变量代换有， + ( + 2 j + 1 7 r ) 2 i 窃o ( + 2 ，+ 1 丌) 1 2 】e n 2 _ j 七出， 饥= 一( ，+ ，+ ，) t 2 l 伤o ( ) 1 2 e 一坦1 七d 一3 w 2 ， 一丌1 r 2 j 3 r 2 j = 一，2 i 伤o ( ) 1 2 e 一比1 出 = 一，2 l 窈o ( 卵e 一比1 七出= ( 功) 七o ：= 也 r 由于l ld j 怯= s u p0b 川1 2 其中i 川2 = l f ( ) = e 讹2 一，w ( ) = r j ( ) f ( ) ， 七z 则( ) = u k e 让比一，u k = d k 一。凡= ( 岛，) 七z z 因为 所以，i iq1 1 2 w 1 1 2 = 1 2 = 南 七z _ i r 2 ， = 南l 一 r 2 ， r j ( t ) f ( ) 1 2 d s u p 一 r 2 j 丌2 s u p 一，r 2 j t 丌2 j s u p 一，r 凇 霄2 ， | r j ( t ) 1 2 下面估计s u p i l ( ) 2 一，r 2 j t s 7 r 力 r j ( ) 刚 因为( ) 为偶函数，所以只需要在【o ，7 r 2 1 上考虑其上确界即可而在【o ，7 r 】 1 3 艾定 2 鼢 = 2 p ， 吣 柑，柑 强 p 趔，憎一 一l 卿l 北京工业大学理学硕士学位论文 上，四( + 7 r 2 ) = o 所以， s u pl r j ( ) i 2 丌2 s u p 0 s t s r 0 s t s 7 r 引理证毕 2 7 r 2 j 【s u p 0 s s r 2 ， 【( 一2 丌2 ) 2 l 秀o ( t 一2 丌2 ) 1 2 + t 2 i 伤o ( ) j 2 】 ( 2 一j ) 2 i 痧( 2 一j ) 1 2 +s u p2 ( 2 一j ) 2 l ( 2 一j ) 1 2 】 2 7 r 2 【2 js u p ( t ) 2 i ( t ，) 1 2 + 2 j 0 曼t s 丌 一2 7 r 叫s t s 一，r s u p ( t ，) 2 i ( 蚓2 】 一2 r 曼矿一霄 2 7 r 2 2 j 丌2 去+ 2 s u p( ) 2i ( t ，) | 2 】 一要 r t ， 一霄 2 丌2 ( 2 j 丌2 去+ 2 萼7 r 2 击) 3 丌2 2 2 彳 引理2 2 设无穷矩阵u ( z ) 是方程( 2 1 ) 的解，则有如下估计式： u ( z ) l i 。07l l l 。e e ”2 。巧譬 证明因为= 一u u ，所以， 心) | i 硎，yi l l 2 + 2l | - 驯i l i 岫捌s 0 0 1 垂 rd 0 du ud ，l 一 。n = rd 、i ， r ， u 。o rd 、l ， du ud一 ，j = 、l ， s ，jk u sdrd 0 du ud一 ，j 。q。o = sd 、l ，0 u sdrd 、i j ， du ud一 ，fl 。n 。n 十 7 l i 、l ， z ，f u l 一 第2 章m e y e r 小波解的l 2 一收敛性 由引理1 1 ，可得 u ( z ) l lz ：s i i7i l l 。e 6 丌2 。2 j 譬 引理证毕 下述定理表明我们所构造的m e y e r 小波解是l 2 - 稳定的 定理2 3 设嘶( z ，可，z ) 和q ( z ，y ，z ) 分别是方程( 1 - 1 ) 满足边界条件夕( z ，可) 和 卯( z ，可) 的m e y e r 小波解，如果( 1 2 ) 式成立且选取j 满足 矗扣( 壶l n ( 扣 ( 2 _ 2 ) 则对比( 0 ，1 ) ， l lu j ( z ，y ，z ) 一q ( z ，y ，z ) i i 6 1 _ 证明由m e y e r 小波解的定义和引理2 2 ，我们有 0 ( z ，y ，z ) 一u ；( z ，可，z ) | i = | |u 七。知。( z ) 妒j 。( z ) 妒j b ( ! ，) 一 面七。，k 。( ) 乃七。( z ) 妒j 七。( y ) i i 七l ，七2 z七l ，七2 五 l iu ( z ) 一面( z ) 0 l z 0 ，y 一i l l 。e 6 丌2 2 2 ，害 e 3 丌2 2 2 z 2 j ， 若j 1 0 9 2 ( 刍l n ( ) ) ，我们有 l l ，勺( z ，掣，z ) 一让；( z ，可，z ) i i 占1 一扩 北京工业大学理学硕士学位论文 2 2l 2 收敛性 前一节我们给出了小波解的稳定性分析，由于0u 一嵋i i l | u b u0 + b u 一l i + i i 一qi i ，因此为了得到精确解t 和逼近解q 的误差估计，我们 还需要估计i iu b u0 和0 一b ui i 在本小节，我们将首先给出上述两式的 误差估计，最后给出小波解的收敛性估计 引理2 4 设u ( z ，y ，z ) 是方程( 1 1 ) 的解，且( 1 7 ) 式成立，则 ( 1 ) ，i 西i 武d 丁杀e 嘲2 2 2 j | 川趴 山山一1 ( 2 ) ，l 百i 陬d 丁南e 一渺2 ( 1 掣i l 川苎：， 如a j 一1 ，_ 、 ，_ 、 证明由于q j ，= q ，且 它祝( ，下，z ) = 妻( 彘( ，丁，z ) ，亩慰。( ，r ) ) 亩然。( ，下) m = l 七l ，七2 z = 妻亩涮( ，7 ) ( 也( 汛z ) ，每默：( ，丁) ) e 一2 叫( 嗽托1 m = 1 。 知l 。k 2 z 由f o u r i e r 级数的性质， 所以 ( 也( f ，7 ，z ) ，函龆。( ，7 - ) ) e 砘叫( 昧柏1 _ 七1 ，七2 z = ( 也每涮，e 。2 叫( 张盹下) e - 2 。州讹r l ，七2 z = 也亩矧 3 谚砬( 汛z ) = m = 1 3 砬每矧每矧= 讣豇黜1 2 竹i = l ( 1 ) 由于m e y e r 尺度函数和小波函数满足1 9 ( ) i 去，i 移( ) i 去，由引理 1 6 _ 第2 章m e y e r 小波解的l 2 收敛性 1 2 及雪( f ，7 - ) 的衰减性( 1 7 ) 式，有 ，l 西恢打 山山一1 ( 2 ) 同理， 语la j a 一l 训函1 2 必打 3 s 南厂武打 ( ，r ) l e 掣必打 ，l ，( ，f ) i e 一辩+ r 2 蜓d 丁 山山一l 嘉e 砌2 2 i i ，f i l ，i 昏i z 必d 丁3 妻， a j a j l f n 2 l a a j 一1 土 o1 6 丌4 0 为常数 证明由( 1 - 1 0 ) 知， j i 之扣。( 去l n ( 挑 u ( z ，可，z ) 一b u ( z ，y ，z ) | i c 1 巧刍( 1 一z 2 、 v ，7 - - 1 也( ，7 - ) = 弓u ( ，7 - ) ， 1 7 ( 2 3 ) r j o 一 一 如，山 如 如 汹。曲 上球 0 为常数 u ( ，可) 一b u ( ，y ) i i q 6 刍( 1 一：2 、 设u ( z ，y ，z ) 是方程( 1 1 ) 的解，妒( z ) 是一维m e y e r 尺度函数，弓u ( z ，可，z ) = 6 七。知。( z ) 圣j 七。七：( z ，可) ，其中6 ( z ) = 6 七。k 。( z ) 七。b z = ( u ( z ，2 ) ，呜。b ( 茁，) ) ) 七。，b z 七1 七2 而弓u ( z ，y ，z ) 满足方程： ( b u ) ：。= 一弓( 弓u ) z z 一弓( 弓u ) w b 【( ，一弓) t t k 罩 一b 【( ，一b ) u 】 弓u ( z ，剪，o ) = 弓夕( z ，y ) ， 弓札：( z ，y ，o ) = o ， 1 8 - z r ，r ，0 z 1 ， z 酞，y r ， z r ，箩r 第2 章m e y e r 小波解的l 2 一收敛性 因此系数矩阵6 ( z ) 满足如下方程 6 ；：= 一d j 6 ( z ) 一6 ( z ) 岛一丁( z ) ，o 0 ，岛 0 是常数 附注满足( 2 2 ) 和( 2 3 ) 式的整数j 是存在的事实上，由于 而 扣。( 赤l n ( 沁j 知：( 刍n ( 挑 抛。( 刍- n ( 沁扣。( 南n ( 丢) ) _ 瞄誉讹如m 加0 兰f 矧 2 2 贝0 对v z ( o ，1 ) ， u j ( z ，9 ，z ) 一u ；( z ，y ，z ) 怄j 1 定理2 8 设t ( z ，秒，z ) 是方程( 1 一1 ) 的解，t i ；( z ，y ，z ) 是方程( 1 1 ) 满足边界条件 缈( z ，可) 的m e y e r 小波解，若( 1 2 ) 式成立，雪( ，7 - ) 满足( 1 7 ) 式，j 满足( 2 - 2 ) 和 ( 2 3 ) 式，则 u ( 舢，z ) 一q ( 训，z ) 1 + c 。占击( 1 。) + q ( 1 n 丢) 6 呼， 其中g 0 ，g o 是常数 2 孓 北京工业大学理学硕士学位论文 第3 章m e y e r 小波解的一致收敛性 在第二章中，我们利用m e y e r 小波构造了小波解，并在l 2 范数意义下证明其 稳定性及收敛性但是由于l 2 收敛是一种平均收敛，且当z = 1 时，所构造的解 在l 2 范数意义下不稳定，因此，在本章我们进一步得到一致稳定的小波解，并给 出了一致收敛性分析 3 1 一致稳定性 下述定理表明，我们在第二章所构造的小波解，只要选取合适的参数歹，即能 保证它的一致稳定性 定理3 1 设( z ，z ) 和嘭( z ，可，z ) 分别是方程( 1 - 1 ) 满足边界条件9 ( z ，3 ) 和 卯( z ，3 ) 的m e ”r 小波解，如果( 1 2 ) 式成立，且选取歹满足 则 j 扣( 壶l n ( 拟 t 上j ( z ，夕，z ) 一u ；( z ，可，z ) i c ( 1 n 吾) 6 ，v z ( o ，l 】 这里c 0 是一个常数 2 垂 ( 3 1 ) 第3 章m e y e r 小波解的一致收敛性 证明由c a u c h y s c h w 盯z 不等式及引理2 2 ，我们有 u j ( z ，可，z ) 一u ；( z ，可，z ) l = lu k 。， ：( z ) 妒j 。( z ) 妒j k 。( y ) 一 o k 。，k ：( y ) 妒j 七。( z ) 叻k ：( y ) 七l ，七2 么七1 七2 z ( l u h ，：( z ) 一u 。( z ) 1 2 ) ( i 妒j 七。( z ) 妒j 乜( y ) 1 2 ) 七l ，七2 z七1 ，七2 z 2 j m | lu ( z ) 一面( z ) | | f 。 2 j m07 一i i f ：e 6 _ 2 2 2 譬 0 为一常数 3 2一致收敛性 前一节我们给出了小波解的一致稳定性，为了得到精确解似和逼近解u ；的误 差估计，我们还需要估计l u 一弓t l 和i u j 一弓u | 本小节，我们将给出上述两式的 误差估计，最后给出小波解的一致收敛性估计 定理3 2 设札( z ，可，z ) 是方程( 1 1 ) 的解，( 1 7 ) 式成立且选取j 满足 歹批( 赤l n ( 扣 ( 3 - 2 ) 则 i “( z ，可，z ) 一b u ( z ，可，z ) i g 残比( o ，1 】 其中g 0 为常数 2 5 - 北京工业大学理学硕士学位论文 证明 u ( z ，可，z ) 一弓札( z ，箩，z ) 击，i n ( f z ) 一苹( z ) l 必d 丁 r 2 去( ，i 砬一苹i 必d 丁+ ， a j 一1 = 去( o + ， 山 一1 山山一1 i 西i 必d 丁+ ， 由引理2 4 和( 1 7 ) 式，我们得到 r 2 如 u ( z ，y ，z ) 一弓u ( z ，y ，z ) 也i 武d 7 - ) 嘉e 由2 2 2 。| l 川二- + 去，i ( ，丁) e 妒+ 1 - 2 恢打) r 2 a j 嘉e 嘲2 2 2 i l 川l - + 去厂l 瓜，下) e 一妒+ r 2 i 必d 下) r 2 山 嘉e - 4 霄2 2 2 l i 川l t + 去e - 8 霄2 2 幻i i 川l - 号手e 砌2 2 2 i i 川小 由j l 0 9 2 ( 赤l n ( ) ) ，我们有 其中g 0 为常数 u ( ，秒) 一弓u ( ，) i g 6 定理3 3 设u ( z ，y ，z ) 是( 1 1 ) 的解，u j ( z ，y ，z ) 是方程( 1 1 ) 的m e y e r 小波解， 争( ，丁) 满足( 1 7 ) 式，歹满足( 3 1 ) 和( 3 2 ) 式，则 ( 础，z ) 一弓u ( 刚，z ) l q ( 1 n 吾) 6 击，v z 。( o ，1 】 其中q 0 为常数 2 6 - 第3 章m e y e r 小波解的一致收敛性 证明由c a u c h y - s c h w a r z 不等式及引理1 6 ，我们有 u j ( z ，夕，z ) 一b u ( z ，y ，z ) = iu l 。1 2 ( z ) 西j f l l 2 ( z ，可) 一芝二( u ( z ，y ，z ) ，垂j f l l 2 ( z ，可) ) 企j l 。f 2 ( z ，y ) l f l 。z 2 zl l ，1 2 z ( f u l 。，l 。( z ) 一( u ( z ，! ，z ) ，西一f 。( z ，y ) ) 1 2 ) ( i 西j l 。1 2 ( z ，可) 1 2 ) h 1 2 z l l ，1 2 z 0 为常数 由定理3 1 ，3 2 和3 3 ，我们得到以下结论 北京工业大学理学硕士学位论文 定理3 4 设u ( z ，y ，z ) 是方程( 1 1 ) 的解，“；( z ，y ，z ) 是方程( 1 1 ) 满足边界条件 卯( z ，) 的m e ”r 小波解，若( 1 - 2 ) 式成立，多( ，7 ) 满足( 1 - 7 ) 式，j 满足( 3 1 ) 和 ( 3 2 ) 式，则对比( o ，1 】，有 i u ( z ，可，z ) 一嘭( z ，可，z ) l c ( 1 n 丢) 占+ 岛6 + a ( 1 n 吾) 6 去 其中c 0 ，岛 0 ，a 0 是常数 附注：满足( 3 1 ) 和( 3 2 ) 式的整数j 是存在的事实上，由于 扣。( 赤n ( 沁j 扣：( 壶n ( 扣 而 扣。( 壶眦沁扣。( 赤眦如乩 3 3本章小结 本章主要研究了不适定问题 隹篆：_ 讹如m 加0 蔓| | ；0 0 是一个常数 定理3 4 设“( z ，可，名) 是方程( 1 1 ) 的解，1 z ；( z ，j | ，z ) 是方程( 1 1 ) 满足边界条件 卯( z ，y ) 的m e y e r 小波解，若( 1 2 ) 式成立，雪( ，7 ) 满足( 1 7 ) 式，歹满足( 3 1 ) 和 ( 3 2 ) 式，则 u ( 训一u 如耶) i c ( 1 n 吾) 潺+ 岛6 + 。( 1 n 吾) 6 去，比( 0 1 1 】 其中g 0 ，岛 0 ，q 0 是常数 一2 9 北京工业大学