（基础数学专业论文）一类对数hardybloch型空间及其算子.pdf

扣 p 眇 7 ，： - 2 t h el o g a r i t h m i ch a r d y - b l o c hs p a c e ( d 娥l ) a n dt h el i t t l el o g a r i t h m i ch a r d y - b l o c hs p a c e ( d 娥尝) i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fh a r d ys p a c ei nt h eu n i t d i s ka n dl i s ts o m er e s u l t st ot h et h e s i s w ea l s oi n t r o d u c et h ed e f t n i t i o no fs o m e a n a l y t i cf u n c t i o ns p a c e sa n dt h ew e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r s i nc h a p t e r2 ，w ec o n c e r ns t u d y , w h i c ha = l ，t h ec o n t a i n m e n tr e l a t i o nb e t w e e n h a r d ys p a c e s ( h p ) ，d i r i c h l e tt y p es p a c e s ( 绨_ 1 ) a n dv m o as p a c e w h e nq 1 ， as u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o ni sg i v e nf o ra n yi n ，d 蛾l ( d 娥尝) f o r g i v e na n y 乜1 ，w ea l s oo b t a i ns o m ee s t i m a t e so nt h eg r o w t ho f ，( z ) = 扩 d 娥l ( d a h p , l o ) a n di t st a y l o rc o e f f i c i e n t i nc h a p t e r3 ，w ea r ed e v o t e dt oi n v e s t i g a t e ，w h i c h0 f = l ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i - t i o n sa n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n si nw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o rw h i c hi sb o u n d e d o rc o m p a c t | d h ff r o mt ob l o c hs p a c eo rl i t t l eb l o c hs p a c e as u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o ni sg i v e nf o rt h ec o m p o s i t i o no p e r a t o rt ob eb o u n d e do rc o m p a c t o nt h eb l o c hs p a c e ( o rt h el i t t l eb l o c hs p a c e ) k e y w o r d s ：h a r d ys p a c e s ，d i r i c h l e tt y p es p a c e s ，留s p a c e s ，v m o a s p a c e s ，t a y l o rc o e f f i c i e n t ，w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r s i i q 歹一 i p , b 、f i 眇 r 白 中文文摘 i生ti - i _ - 中文文捅 h a r d y 空i f i ( h p ) 是1 9 1 5 年英国数学家g h h a r d y 和j e l i t t l e w o o d q ! e 研究解析 函数模的平均值时引入的早期的数学家如j e l i t t l e w o o d ，p r i v a l o v ，p 和m r i e s z ， g s z e 9 5 等主要刻画h p 空间里函数的性质，为俨空间理论的发展打下坚实的基础 随着泛函分析的发展，h p 空间被看作是具体的线性空间来研究，这促使了日p 空间 的进一步完善f e f f e r m a n 在研究俨空间的相关性质时发现t ( h 1 ) 笺b m o a ， 于1 9 7 4 年获得了菲尔兹奖 本文在研究王p 空间的基石t l l ：定义两个空间：对数日o r d 扩b 2 d c 九型空间( d 上圪l ) 和 小对数日口r d 扩b z 口c 尼型空间( d 蛾l ) 并研究这两个空间的一些性质本文分为三章 第一章简要阐述h p 空间的历史背景及发展动态，同时概述本文的主要定理 第二章分别对= i ：乖- i ：i o l 1 进行研究，当q = l 时，给出的d 磁空间属性的一些 刻画，得出了 定理2 1 1 若1 p o o ，则d 哦c ( 舻n 维1 ) 定理2 1 2 若o p 1 ，则厂( z ) 2 石磊晤1 d 娥，但，gh p 定理2 1 3 若1 p o o ，则存在f 口( d ) ，使得f ( z ) ( 俨n 维1 ) d h f 定理2 1 4 若0 p o o ，则 m ) 。j of 而丽苫d t ed h f 但是，( 彳) 叠v m o a 定理2 1 5 若f d h f ，( 0 p o o ) ，则 l f c 丽i i f i i p 话l ，= 这里 f4 印一1 ) 宁( 1 + p e ；) ，1 p 。， c = 8 ( 1 + e 吉) ，p = 1 ， 【等，呦 1 i i i 口 _ 1 ， p - l f ) 一 h 福建师范大学吴晓明硕士学位论文 定理2 1 6 若o i b - 寸，我们得出 定理2 2 1 对0 p 0 0 则，d 娥工当且仅当 s u p ( 1 _ i z i ) a - 1l o g = e 1 2 1 m 删, 州i ) ， 溉 j 一i z ij 定理2 2 2 对0 p o o 则，d 蛾尝当且仅当 l 黔( 1 一i z l ) 口- zl o g 南嗨( i ，) 扎 定理2 2 3 若o p 。o ，f ( z ) = 口n 严d 蛾l ，则 轳( n o - 1 、) 1 ) ， ( 0 p 1 ) 第三章主要研究了当0 1 = 1 时，d 三吃空i 司到留空间和小国空l 司的加权复合算子的 有界性和紧性的一个充分条件和一个必要条件得出了 定理3 1 1 设0 p o o ，妒是d d _ h 的解析函数，t l , 日( d ) 如果以下条件 成立 s u p 叫掣剑 。， z e d 。( 1 一i 妒( z ) 睁l o g 嘲。 龇p 告粤警1 唑l 。 ( 3 1 1 ) z 占( 1 一l 妒( z ) 1 2 ) 1 + 石l o g r 翻 、7 则u q ：d 娥一历是有界算子反之，若u q ：d 磁_ 留是有界算子，则( 3 1 1 ) 是 成立的 i v 0 ， 、 i 一 定理3 2 1设0 p o o ，妒是d d 上的解析函数，u h c d ) 如果以f 条件成立 l i m ( ! 二目型! ! 型：。， 胁) l _ 1 一( 1 一l q o c z ) 1 2 ) 刍l o g 嘲 l i m 坠丝攀业_ o ( 3 2 1 ) i 妒( z ) 1 1 1 。( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) ”pl o gr 薪 则u o ：d 娥_ 留是紧的反之，若钆q ：d 磁_ 历是紧的，贝l j ( 3 2 1 ) 是成立的 定理3 2 2 设0 p 1 的情景 第3 章u q ：d 磁_ 历( 留o ) 有界性和紧性的刻画 3 1 u ：d h p l 一历( 驴) 的有界性 3 2 u q ：d 磁_ 历( 留o ) 的紧性 结论 参考文献 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果 致谢 个人简历 4 3 3 6 2 3 8 9 o 2 3 3 3 4 4 4 4 5 ； ： 绪论 绪论 1 研究背景 1 9 1 5 年，英国数学家g h h a r d y 在研究函数空间的性质时引进了俨函数类设 日( p ) 表示复平面上的单位圆盘o k 所有解析函数的全体当，日( d ) ，量 蛑( r ，f ) = 地( r ，) = ( 爵1 孙i s ( 冲棚) m ， 。m ，a ：x 。i s ( r ：) i ( 0 p o o ) ， 刻画了，的模的p 次幂在圆周h = r 上的平均值的大小假如它对0 r 1 有界，其 中0 p o o ，则称 厂h p 1 9 2 3 年，匈牙利数学家f r i e s z 证_ 明了它们是完备的 赋范线性空间或度量空间，并命名它们为h a r d y 空间或简称为俨空间当p 之1 时， 用m a r , ，) 在0 r 1 上的上确界定义，的上p 模，即 l i f l l h , = s u p 眸( r ，) ， 0 s r l 则俨组成一个b a n a c h 空间 1 9 2 3 年，f r i e s z 证明了当f h p 时，( z ) 在单位圆周上的径向极限是几乎处处 存在的，即 l i m ，f ( 7 e 硼) = f ( 目) ，o e 这里f ( 口) 定义在0 0 2 7 r 上( 也可以看作一周期为2 7 r ) 的函数，且满足相应的不等 式 1 f 2 1 r 嘉上i f ( p ) i p 础 0 0 这样，在这些以2 丌为周期的复值函数f ( p ) 与单位圆内的俨中的函数，( z ) 之间建立了 一个对应关系：f ( 口) 是，( 名) 在h = 1 的边值，而，( z ) 是f ( p ) 到单位圆内的解析延拓 全体这样的f ( p ) 记作鬈汐( t ) ，则鬈汐( t ) 是驴( t ) 的一个闭子空间 当1 p o 。时，俨的对偶空间是日g ，这里g 勘的共轭指数当p = 1 时， c f e f f e r m a n 和e m s t a i n 在文献 1 3 ，1 4 】证明了日1 的对偶空间是b m o a h 1 和b m o a 对偶关系的发现，使人们对这两个空间的认识深入了一大步，它们已经成了护 ( 1spso o ) 空间理论必不可少的补充 1 福建师范大学吴晓明硕士学位论文 对上p 空间进行刻画可以有多种方法，用c a r l e s o n 测度和 知( 7 ，7 ) 增长速度就是 两种常用的手段 1 9 5 8 年，c a r l e s o n 6 1 在研究有界函数的插值问题时，发现单位圆盘上的一种离 散测度p ，它对日1 中的函数，有性质： ， l ，i 咖c i i ：i i h 1 9 6 2 年，c a r l e s o n 7 考虑更一般的问题，对于测度须加什么条件才能有这样的一个 不等式： ， | ，j p 咖c i i f l l 备, ， f h v ，d 从中发现t c a r l e s o n 测度肛1 9 6 9 年，d w e 佗【1 z l 用p c a r l e s o n 测度来刻画伊空间 d h l u c k i n g 在文献【3 5 】中推广到，的n 阶导数，他在文【3 6 ，3 7 】还应用一c a r l e s o n i 见0 度来刻画b e g m a n 空间近三十年来，p c a r l e s o n 澳l j 度还被不少数学工作者刻 画其它空间的性质，如b e s 鲫空间，d i r i c h l e t 型空_ l h - 等，详见文献【1 ，2 ，4 9 ，5 0 ，5 1 ，5 2 1 1 9 8 0 年，p o w e r l 4 1 1 定义了 l i m 掣：0 。 l _ 0 忽 这也就是我们现在称之为消失的c 0 7 2 e s 帆测度，作为c a r l e s o n 钡, 1 度的一个补充，消 失的c a r l e s o n 测度在研究b m d 月的子空间y m d a 上有着独特的作用，见文献【4 8 ，5 9 】 用 矗( r ，7 ) 的增长速度来研究日p 空间，主要的形式我们可以归纳为一类型空间 。域= 化) 日( d ) i l f l l 舭= 骝( 1 邛旷坞( ，) o o ) 对于不同的q ，所得到的，的归属也不一样 定理a 1 2 9 若0 o l 0 1 2 r 1 p ，1 p 0 o l h l t 可知d 娥是一个平均的l 咖s 眈记z 空问在此基础上，s s o u z a i s 推广了该结果 ：j ，。_ ：- 。 f + ，j 绪论 定理b m 看0 p o o ，a = 1 ，d 月f ，则 驯m 击) 卢) t 这里 ， 0 。”。乏0 p 2 ， ( 鲥) 2 壹2 p o o 定理c 【2 9 ，a o l 若0 p o o ，1 q 0 0 则d f 理当且仅当 s u p ( 1 一p 1 坞( ，) ) o o 我们知道，对解析函数空间的一个重要的研究方向是用复合算子来刻画复合 算子是算子理论与解析函数空间相结合的产物，这样解析函数空间理论的讨论就可 以转移到对算子性质的研究，反过来也可以用算子理论的一些结果来解释函数空间 因此，复合算子的研究是一个热门的方向在单位圆盘d 上，m a d i g a n i 【i m a t h e s o n 3 s 刻画了劈空间上的复合算子的有界性和紧性，得到 定理d 设q o ：d _ d 是解析的，那么 ( 1 ) q ：留_ 历是有界的； ( 2 ) q ：彭垆_ 勿。是有界的充要条件是妒j 矿；： ( 3 ) o ：历_ 留是紧的充要条件是 l 妒聚。高器批) l _ 0 ； ( 4 ) q ：留o _ 百沪是紧的充要条件是 l i m 。南躲批) l - 。 2 0 0 1 年，赵如汉等刻画t b l o c h 空间和j 、b l o c h 空间上的加权复合算子的有界性 和紧性的充要条件过了两年，他们把上述结论推广至：l j o t - b l o c h 空间 2 研究的主要问题 本文主要是研究两个新空间 d 。t 化) 日( d ) ：俐即l2 盟( 1 一i z l ) 口l o g 南眸( ，) 的性质 在第2 章里，当a = 1 ，1 p o o 时，对于，d 娥，则 吲= 。( f 击话) ，。 a 它的增长速度介于定理a 和定理b 之间，可以推出f ( h pn 雅1 ) ，也即d 吃c ( 日pn 饼p - - 1 ) 但该结论对于p = 0 0 或0 1 时，我们给出，d 王壤l ( d 王理? ) 的一个充要条件，并估计f ( z ) = o n 矿中o n 随礼的 n = o 变化情况 在第3 章里，研究了当q = 1 时，d 日；：空间分别到b l o c h 空间和d , b l o c h 空间的加 权复合算子的有界性和紧性的一个充分条件和一个必要条件给出d 研空f 司至u b l o c h 空间和d , b l o c h 空间的复合算子的有界性和紧性的一个充要条件 4 1 ! 第l 章预备知识 第1 章预备知识 本章主要叙述俨空间的发展历史，以及历史上对，h p 刻画的研究，从中构造 两个新的空间对数日凹d 扩b 2 d c 危型空间( d 域l ) 和小对数日凹如b z d c 缱型空间 ( d 础) ，探究这两个空间的一些性质 1 1引言 俨空间，又称h a r d y 空间，是重要的函数空间之一，最早来源于复变函数论历 史上，1 9 1 5 年英国数学家g h h a r d y 在 2 5 3 0 弓1 进了日p 函数类1 9 2 3 年，匈牙利数 学家f r i e s z 4 0 i 正明了它们是完备的度量空间，并命名为h a r d y 空间或简称为俨空 间当p 1 时，俨是个b a n a c h 空间 随后近1 0 0 年的时间里，在众多数学家，如：j e l i t t l e w o o d ，m r i e s z ，l c a r l e s o n ，p l d u r e n 和c 。f e f f e r m a n 等大力工作下，三p 空间得到了极大的完善，已成为 一个经典的空间这其间，由于泛函分析的发展，用泛函分析的观点来刻画h p 空间 已成为研究月唑芒间的一个重要手段，它不但使p 空间的一些结果的证明更加通俗 易懂，而且还可以对这些结果进行推广和深化从某种意义上讲，归功于泛函分析， 日p 空间的发展才经久不衰 本文分为两大部分第一部分是给出对数h a r d y b l o c h 型空间和小对数h a r d y b l o c h 型空间的性质的一些刻画：第二部分是研究当a = 1 时用加权的复合算子来 刻画从对数h a r d y - b l o c h 型空间到留( 丘) 空间的有界性和紧性 自从h a r d y 引入俨函数类以来，在考虑给定的p 和，7 h p ，推出，属于某个 确定的空间，得出了不少经典的结果 对于0 p 1 ，若f 7 俨，h a r d y - l i t t l e w o o d i a t 明了f h v 卜p ，见【1 2 】，且指数 是最佳的d g i r e l a 和m a m a r q u e z 在 1 6 里对上面条件限制后可得，h p 1 呻是 精确的不过h a r d y - l i t t i e w o o d 证明的该结果是不充分的，因为可以找到在d 内解 析，在万连续的函数厂( z ) ，使得，7 ( z ) 的径向极限是几乎处处不存在的，见 1 0 ，4 7 】，也 即，叠舻 对而= 1 ，若f h 1 ，p r i v a l o v a 3 4 4 1 在1 9 1 8 年给出它的充要条件是，a ， 且厂( z ) 在i z l = 1 是绝对连续的，这里么是在d 内解析，在百上连续的所有函数构成的 集合 5 福建师范大学吴晓明硕士学位论文 _ - i _ - i 目= z 目_ _ - _ _ _ - # = _ 自= = = = 口目= = = = = = j l _ _ 自一= = j i j；目- 对于1 p o o ，若，7 王p ，1 9 3 2 年日口r d 沪肠刎e 伽d d d 得到- 厂( e ) a 1 一l 加，这 里人1 1 p 表示所有满足价是1 一l p 的三咖s c 肮亡名条件的函数的集合 当，7gh p 时，但对给定的p 和 坞( 吖，) - 。( 南) ，。 q o o ， 也可得到一些漂亮的结果 定理a 【2 9 】若0 & 1 ，l p o o ，则 d 蛾= a p a = ，h p ：w p ( t ，) = o ( t 卜n ) ，o st _ 0 ) ， 这里 姊( 亡，) 2 。 o ，l p o 可知d 娥是一个平均白 l i p s c h i t z 空间在此基础上，s s o u z a s l 推广了该结果 定理b 【1 7 l 若0 p 。o ，d 研，则 m ( ( 1 0 9 击) 卢) 这里 ( i ) p = 云，0 p 2 ， ( 钇) p = 言2 p o o 我们知道当口= l 时，若厂d 砚，则眸( r ，7 ) 的增长速度介于定理a 和定理b 之 间，可以得到： 定理2 1 1 若1 p 0 0 ，则d 磁c ( 俨n 维1 ) 该结果对o p l 和p = o o 是不成立的事实上，当p = 。时，空间d 印= 玩我们取化) = l 0 9 1 0 9 击，则 坻门= 。( f 靠卜，玩肿譬萨 当o p l 时，由于维1 h p ，我们有以下的结果 j 7 ；， 。 6 ，。，；：。：，j l ， i j 第1 章预备知识 定理2 l 2 若o p 1 ，则，( z ) 。百丽晤1 d 磁，但fch p 对于1 p 我们也可以证明d 砚c ( h p n 军1 ) 是严格的事实上，我们 有以下的定理 定理2 1 3 若1 p 0 0 ，则存在，日( d ) ，使得( 俨n 军1 ) d 砚 叶善力在 5 5 中证明了尻v m o a 因此我们自然要问，当p 0 0 时，是否 有d 磁v m o a ? 答案是否定的 定理2 1 4 对0 p o o ，则 他2 上f 配1 出d 磁 但是( z ) gv m o a 本文第三章主要探讨的是从d 磁空间到留( 铲) 空间的加权复合算子的有界性 和紧性的充分条件和必要条件加权复合算子是单位复平面上的解析函数与复合算 子相瓯结合的产物，对于复合算子的研究，最早由j e l i t t l e w o o d 3 3 1 中刻画从俨空 间到俨空间和b e r g m a n 空间至：l j b e r g m u ，。i 间的g 的有界性，这也是我们今天说的l i t t l e w o o d 从属原理其它作者也研究了这两个空间的复合算子，见i s ，2 8 ，4 7 ，s 4 加权 复合算子有界性和紧性的研究也有不少，如c o n t r e r a s 和h e r n 6 n d e z s l $ i j 画从俨空 间到上p 空间的有界性和紧性o h n o ，s t r o e t h o f f 和z h a o 刻画从历空间到历。空间的 有界性和紧性对b l o c h 型空间之间加权复合算子的刻画，可见【3 9 ，4 0 】对其它不同 空间加权复合算子的探讨，可见 5 2 ，5 8 ，5 0 对于d 磁到历( 历o ) 有界性的刻画，我们得至j p g t 几个定理 定理3 1 1 设0 p 。，妒是d d 上的解析函数，u 日( d ) 如果以下条件 成立 s u p 吲掣剑 。， z 白( 1 一l 妒( z ) 1 2 ) 刍l o g r 韧。 8 u p _ 1 1 二丝烨业 。( 3 1 1 ) z e d ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) l + ；l o g 南 、7 则u q ：d 哦一历是有界算子反之，若u q ：d 砚一历是有界算子，贝l j ( 3 1 1 ) 是 成立的 定理3 1 2 设0 p o o ，妒是d 叶d 上的解析函数，“日( d ) ，则 u o ：d 娥_ g 沪是有界的充要条件是u q ：d 上瑾_ 留是有界的，且u 历o ， 。 1 田( 1 一汗) l 让( z ) ( z ) i = 0 福建师范大学吴晓明硕士学位论文 对于d 上吃到留( 鬟矿) 紧性的刻圆，我们得到以下几个定理 定理3 2 1 设0 p 0 0 ，妒是d _ d 上的解析函数，让日( d ) 如果以下 条件成立 1 i m 型型掣盟一：o ， i , p c z ) l - - q - ( 1 _ l 妒( z ) 睁1 0 9 嘲 m列limf(1丽-iz萨l)lu丽(z)妒(z)11 l o g - 0 ( 3 2 1 ) 扣( z ) l - + 1 一( 一i 垆( z ) 1 2 ) 1 + 刍r 南 、7 则仳q ：d g f 一留是紧的反之，若牡q ：d h f 一留是紧的，贝l j ( 3 2 1 ) 是成立的 定理3 2 2 设0 p 0 0 ，妒是d d 上的解析函数，u 日( d ) 如果以下条 件成立 l i m 旦二啤吆型：o ， i ：l - q - ( 1 一i 垆( z ) 畛l o g 南。 l廿im(一(1-iz旷p)lt,刍(z)磊(z)lizl 1 l o g 姐 ( 3 - 2 4 ) 。1 一( 一i 妒( z ) 1 2 ) 1 + 刍i = 南 、7 则钆q ：d 砚_ 者沪是紧的反之，若仳：d 砚_ g 沪是紧的，则( 3 2 4 ) 是成立的 1 2 预备知识 设d = z ：l z i 1 ) 表不复平面上的单位圆盘，t = z ：i z i = 1 ) 表示复平面上 的单位圆周日( d ) 为d 上的所有解析函数的全体d i n ( z ) 、枷分别表示d 和趾的规 范的己e 6 e s 夕仳e 测度，也且p m ( d ) = i 和o ( t ) = 1 定义1 2 1 若o p o 。，0 q o 。，f 日( d ) ，令 蛐= ( 去 1i p d 广( 。 p 毗 地( r ，) 2 删m a xi f ( r e 钼) i 记 d 磁= ，( z ) h ( d ) ：i i f l l p ，q = s u p ( 1 一a ( ，7 ) g x ) ， lz e dj d 2t m ) 日( d ) ：i l i i i p ，a ls 舢u p ( 1 一坩1 。g 南坞( i ，) 。0 ， l o 口 l i lj 。h 。p l , 0 = 第1 章预备知识 = = 目：l 目= = = = ； = ：= = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = ；= ；= = = = = = = = 自= ；= = = = = = 目= = = # 我们称这三个空间分别为日0 7 咖型空间、对数h a r d y - b l o c h 型空间和小日盯d 圹j e 7 ：d 如 对数型空间易证d ，q 与d 三在度量 1 1 1 1 舳= i i ，l | p 芦+ i ( o ) i ， i i f l l 儿= m 机+ l ( o ) i 下是完备的，并且d 蛾尝是d 娥l 的闭子空间当p 1 时，以上三个空间都是b 肌口c 空间当0 【= 1 时，我们记d 缉，1 l = d 瑗 对于空间d 蛾l ，易证当a 固定时，对于0 p q 0 0 ，有d 娥l2d 磁l 当p 固定时，对于o q p 0 0 ，有d 上瑶l d 三瑰又根据上面的定义，我们得 到d 卯= 玩，d 魂= 玩l ( 分别见定义1 2 5 和1 2 6 ) ，这两个空间有丰富的性 质，详见 3 9 ，5 6 ，5 9 】 定义1 2 2 【1 2 1 若，日( d ) ，记 h p = 厂h ( d ) ：1 1 1 1 1 - , = s u p 眸( 7 ，) ) o o ， lu s r l j 该空间称为日口r 咖空间对于任意的p ( 0 ，o o ，俨空间以i i 州肿是个完备的度量空 间，当p 【1 ，o 。】时，日p 空间以l i 川脚为范数是个b a n a c h 空, f e 定义1 2 3 2 1 l 若，日( d ) ，记 锑p - l _ ， 这里d a ( z ) = 如d y ，该空间称为d i r i c 眦战型空间对于任意的p 【1 ，o o ，空间霉1 以i l 州维，为范数是个b o 几o c 危空间根据定义可知，维- 当且仅当 ( 卜一i ，7 ( z ) l p d a ( z ) = 2 r 7 ( 1 一r ) p - 1 军( r ，) 办 c o ( 1 2 1 ) 雅，空间与俨空间有着紧密的联系，l i t t l e w o o d 和p a l e y 在文献 3 3 】中得出一个经典 的结果 h pc 鳏1 ，2 p o o 另一方面，在文献 5 1 】里，我们有 军1 ch p ，0 p 2 当p 2 时，空间的包含是严格的 9 福建师范大学吴晓明硕士学位论文 定义1 2 4 s 9 l 若，日( d ) ，记 b m 。a = ，日2 | i ，“b m o a = s u ，p 击i ，c 一 1 2 d 刁5 o 。) ， 聊。a = f e b m o a ：l l i m _ _ if i 朋) 一 1 2 d o = 0 ) 其中区间，c o ，2 丌】，l ，i 是珀勺长度， = 击f xf ( o ) d o 分别称b m o a 和y m o a 是 有界平均振荡空间和消失的有界平均振荡空间b m o a 空间在以 l i i i b = i i i i b m o a + i ，( o ) l 为范数是个b a n a c h 空间，且v m o a 空间是b m o a 空间的闭子空间，多项式的全体 在v m o a 空间中稠密 定义1 2 5 f 5 8 】若o o t 0 0 ，f 日( d ) ，记b z o c 空间和小伽b f d 旃空间 玩= ，( z ) h ( d ) ：i f l b o = s u p ( 1 一ni ，心) l 0 ，多项式在, j 、b l o c h 空间m o r n 稠密，瑗的对偶空间是b e r g m a n 空间，玩的预对偶 空间也是b e r g m a n ，于是蛾的二次对偶空间就是玩 定义1 2 6 若0 o t l 时，空间d 蛾l 的一个充要条件，与第2 2 节类 似，我们也对，= ，三a n 扩d 蛾工中随他的增长速度进行估计 2 1 o z = 1 的情景 对于一个新给定的空间，我们的一个研究方向就是要估计它的大小因此与经 典的空间相比较就显得必要和自然了本节着重研究d 磁与日n r 妇空间、d i r i c h i e t 型 空间和y m d a 空间的包含关系，并给出，d 磁的增长速度一个刻画，估计- 厂( z ) = 严d 班( d f f z o ) 中口n 随钆的变化情况 n = 0 定理2 1 1 若1 p o o ，则d 砚c ( 舻n 军1 ) 该定理的证明需要以下三个引理 引理2 1 i 2 1 l 若2 p o o ，则存在一个只与p 有关的常数c ，使得 慨q ) l + ( 小叫蛐渺) “2 ) 小聊 引理2 1 2 f 1 7 l 若0 p 2 ，则存在一个只与油有关的常数c ，使得 i i i i 暑- , c i f ( 0 ) i p + 上( 1 一i 枷严1 批) i p 州z ) ) ，礓。 引理2 1 3 若o 口，p o 。，z ( o ，e 】，则，( z ) = 矿( 1 。g 三) 卢在( o ，e l 一鲁】上是 单调递增的，在【e 1 一鲁，e 】上是单调递减的 该引理的证明是简单的，这里略去不证 定理2 1 1 的证明不失一般性，取f d 砚，使得，( o ) = 0 当2 p o o ，对0 7 1 ，记二( z ) = f ( r z ) 对 应用引理2 1 1 ，有 蟛( r ，) c r 2 ( 1 一s ) m ；( r s ，f 7 ) d 8 因为7 s s ，根据引理2 1 3 ，得 晖( r ，) ct ( i s ) ( 1 0 9 亡) 2 d s 0 0 当1 p 2 ，根据引理2 1 2 ，得 哗( 吖) c z l 忡一i 训p 1 m 酬p 以( 伽) c z 1d 精如 ct ( i s ) ( 1 0 9 南) p 因此f h p 而，钟p - 1 可由式子( 1 2 1 ) 容易得出，证毕 d s 该结果对0 p l 并i p = 是不成立的事实上，当p = o 。时，空间d 聊= 耽我们取m ) = l 。g l 。g 吉，则 ( r ，f 7 ) = 0( 巧连 当o p 1 时，由于军l 舻，我们有定理2 1 2 即，玩，但fgh 定理2 l 2 若o 1 ，0 7 另一方面 f 一 2 a 如 当j 7 1 时， 南仁南d 告 若嘉仁志1 如 ( 1 一r ) n 一1 ，一丌( + z 2 ) 詈“4 击( 1 一矗蒂) ( 1 - r ) 仁南d 告 当o r 时， 仁南如 2 11 d z + 2 丌a i d x = 2 + 篙篙 q 一上口一上 南d 击孱南如一霄 ( 1 + 等( 击) 2 r 1 一r ：一南 ( 1i 虿习手蚴 ，2 r l d x 4 r ，- 2 7 r 因此 f f ( 1 - c0+r一)idt两47fa2rcos0南 一_ i f 品 一 u 、1， 证毕 ，i 引理2 1 5 对。 1 ) 另一方面， z 1 础舭f 0 1 一z ) ( 1 0 9 占) 令z = 7 e 徊， r ( 1 一r ) ( 1 0 9 击) 。 根据文献 1 2 e p 的习题3 ， d r = 0 0 ，0 c 1 应用引理2 1 6 有g 。( z ) gh 1 不妨设7 = 1 名i 去，则存在常数c o ，使得1 1 0 9 南l c 因此 也即，gh v 又由于 ，( z ) i p 夕1 ( z ) i j f k ) ( 1 一z ) l o g ( 南) p 万一 ( 1 一z ) l o g 古 2 l l o g 南l ( 1 0 9 南) p i 丽2 c ( 1 0 9 兰) h 1 p ( 1 一z ) 1 + ；1 0 9 南 1 5 ( 1 一名) 1 + i 1 ( 1 0 9 南) 2 福建师范大学吴晓明硕士学位论文 b - _ _ _ 目目- _ ；_ - _ l = = = = = ；= # = ；l _ t ；= = = = = = ；_ 目 _ 目目= 我们有 伊卜而南两g + 困1 习e ) p ( 三+ 去) p 两志砑 再应用引理2 1 4 和引理2 1 5 ，得 斯而南棚= 厂而嘲一枷而赫2 丌两朱硼 ， c 1 丌可印画牙研 c ( 1 一r ) p ( 1 0 9x - - - z e ；) 蜘p f ( z ) d 娥，证毕 对于l p o o 我们也可以证明d 磁c ( 俨n 维1 ) 是严格的，也即定 理2 1 3 定理2 1 3 若1 p 0 0 ，则存在，日( d ) ，使得( 俨n 维1 ) d h z z 证明取函数 ，( z ) ：_ 了，z d ( 1 一蹦( 1 0 9 一。- t ：7 小 劳 裂一啪魄嵩 l o g 研1 再取翘1 2 中的魄艄c 啪 岬( 7 ，) 一舰( n 夕扣) ，r = _ 1 一 当1 p o o 时，我们有厂h p 另外，根据( 1 2 1 ) 直接计算 u r ( 1 一r ) p 一1 哗( r ，7 ) 咖 o o 侮列：? t o ，；j 。啦 ；女嚣：t ：蚀，。 一 去门八) | p 础 因此 1 厂2 霄 磊j o 1 1 1 一 彬口i 却1 1 0 9 鬻i 伽 2 丌( 2 p ) pf ，1 0 9 1 g 1 1 一t e 硼1 1 却 2 7 r ( 劫) p ( 1 7 ) pl o g2 e 2 砸伽 ( 1 - r ) l 。g 击屿( r ，) 也即，gd 娥，证毕 注若取函数 f ( z ) = 1 e 1 0 9 r i 印2 7 r 西( 1 0 9 辔) 由 ( 1 一z ) ；1 0 9 喾 仔细检查定理2 1 2 和定理2 1 3 的证明过程，可得 知( r ，) 定理2 1 4 对0 p 0 0 ，则 但是f ( z ) gv m o a 证明对于函数 z d ( 1 7 ) l o g 者 伽i ，昭篇l 0 0 ，7 一1 一 化卜f o z 雨高话艇啷， f ( z ) =t ( 1 - 矿嘲1 。g 禹 1 7 卜 福建师范大学吴晓明硕士学位论文 ；= = = = = = = = = = = = ；= = 自= = = = = g = = = = = = = = ；：= ；_ 自= = ：j _ 口目= = 目； 厂 卜f 万蠹= 。 i 已z = r e # 并应用引理2 1 4 和引理2 1 5 ，我们有上 嘶，) f o r 1 阿珂枷 = f 0 2 r 而丽意丽面硼 南f01斯南础一( 一7 ) ( 1 0 9 击) p 1 1 一r e 珀i p ”。 丌_ 砸c r ) pl o