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拟线性椭圆型方程弱解的存在性 基础数学 研究生廖为指导教师蒲志林( 教授) 论文摘要：本文主要利用变分方法，特别是山路引理研究了拟线性椭圆 型方程非平凡弱解的存在性第一章通过选取适当的空间，利用无( p s ) 条 件的山路引理和c a f f a r e l l i k o h n - n i r e n b e r g 不等式证明了p - l a p l a c i a n 方 程一d i v ( f z l 。1 w l p - - 2 v u ) + 6 ( z ) p - 2 u = ( x ，u ) 在矽上非平凡弱解的存在性 第二章和第三章利用的山路引理则完全失去了f a r ) 条件，而着重针对另一种 情况，即非线性项( x ，t ) 关于t 在无穷远处渐近线性的情况进行了研究第二章 关于一d i v ( i x l o v u ) + b ( x ) u = ，( z ，“) 的d i r i c h l e t 问题得到了弱解的存在性第 三章使用进一步弱化的山路引理证明了具有非光滑泛函的e u l e r l a g r a n g e 方 nn 程一d j ( 8 a ( 。，让) d , u ) + i 1 巩a i i ( x ，让) n u 功u = ( x ，u ) d i r i c h l e t i n 题存 i j = li , i = 1 在非平凡弱解 关键词：山路引理，c a f f a r e l h k o h n - n i r e n b e r g 不等式，d i r i c h l e t l ； 题，渐 进线性，非光滑泛函，弱解 第i 页 t h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a lw e a ks o l u t i o no fs o m e q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s f o u n d a t i o n a lm a t h e m a t i c s w r i t e r ：l i a ow e i s u p e r v i s o r ：p uz h i l i n a b s t r a c t ：t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a lw e a ks o l u t i o n o fs o m eq u a s i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n sb y v a r i a t i o n a l m e t h o d s ，e s p e c i a l l y t h em o u n t a l np a s sl e m m a i n c h a p t e r 1 i ti s p r o v e dt h a t t h e r ee x - i s t sn o n t r i v i a lw e a ks o l u t i o ni n 刚”o ft h ep - l a p l a c i a ne q u a t i o ns u c ha s d i v ( i x 。i v 让i ”2 v u ) + 6 0 ) 阻i ”2 u = f ( x ，u ) b ya p p i y i n g t h ec a f f a r e l l i k o h n - n i r e n b e r gi n e q u a l i t ya n dt h em o n n t a i np a s sl e m m aw i t h o u tt h e ( p s ) c o n d i t i o na f t e rs e l e c t i n gt h ea p p r o p r i a t es p a c e i nc h a p t e r2a n dc h a p t e r3 ，t h e m o u n t a i np a s sl e m m aw eu s ed on o ti n c l u d et h e ( a r ) c o n d i t i o na n ym o r ea n d o u ri n t e r e s ts w i t c h e st oa n o t h e rs i t u a t i o ni nw h i c ht h en o n l i n e a rt e r m ，( z ，t ) i sa s y m p t o t i c a l l yl i n e a ri nta ti n f i n i t y s p e c i f i c a u ys p e a k i n g ，w eo b t a i nt h e e x i s t e n c eo fn o a t r i v i a lw e a ks o l u t i o no fd i r i c h l e tp r o b l e mf o rt h ee q u a t i o ns u c h a s d i v ( x l o v u ) + 6 ( z ) t 正= ，( z ，珏) i nc h a p t e r2 w js t u d yt h ee x i s t e n c eo f n o n t r i v i a lw e a ks o l u t i o no fd i r i c h l e tp r o b l e mf o rt h ee u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n nn 一b ( 啦j ( z ，h ) d i u ) + j 1 乱吼j ( 。，u ) d i u b = ( x ，札) w h i c hr e l a t e st oa t ，j = l i , j = l n o n s m o o t hf u n c t i o n a li nc h a p t e r3 k e yw o r d s ： m o u n t a i np a s sl e m m a ；c a f f a r e l h k o h n - n i r e n b e r gi n e q u a l - i t - y ；d i r i c h l e tp r o b l e m ；a s y m p t o t i c a l l yl i n e a r ；n o n s m o o t hf u n c t i o n a l ；w e a k s o l u t i o n 引言 偏微分方程广泛来源于物理学以及其它各门自然科学和技术科学，它反映 了有关的未知量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系连 续介质力学，电磁学量子力学等方面的基本方程都属于偏微分方程的范围最 初，人们只是将弦线振动问题和力学中的些问题归纳为偏微分方程进行研究 随后，人们又陆续了解了流体的运动弹性体的平衡和振动，热传导，电磁相互作 用，原子核和电子相互作用，化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写 成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解，从而能够通过实践验证这些基 本规律的正确性1 显示了偏微分方程对于认识自然界基本规律的重要作用偏 微分方程联系着众多自然现象和实际问题许多复杂的自然现象和工程技术问 题都可以转化成偏微分方程中的特定问题进行解答由于偏微分方程面临的数 学问题多样性，它必须引进数学中诸如泛函分析，复变函数，微分几何，计算数学 等其它分支作为解决问题的工具，因此也成为了纯粹数学的许多分支和自然科 学各部门及工程技术等领域之间的一座桥梁 0 ，1 线性椭圆型方程 根据不同方程所特有的性质和理论，偏微分方程可以分为三类：椭圆型 方程，抛物型方程，双曲型方程最典型的椭圆型方程是l a p l a c e 方程u 一 0 和p o i s s o n 方程- - a u = ，( z ) 这两种方程的一个著名实例来源于牛顿万有引 力若妒( z ，y ，。) 表示位势函数，p ( z ，y ，。) 表示分布在区域n 上的质量密度函数， 则由普通物理学可知，妒在q 以外满足l a p l a c e 方程妒= 0 ，当p 满足h s l d e r 条件 时，p 在n 内满足p o i s s o m 方程妒一4 7 r p 定义l ：设n 是r “中的区域，n 2 称线性微分算子 i vi v l u = ：n 玎扛) d 舒u + ：如扛) d j + c ( x ) u z i = 1i d = l 在点z n 是椭吲的：如果系数矩阵【。：，( z ) 】正定；称二 在n 中是一致椭圆的，如果 第1 页 引言 存在常数0 0 而对散度形式的一致椭圆算子，甚至当系数在区域 内部任意光滑并且连续到边界时，这个不等式也不一定成立具体的例子可以 在文f 1 1 中看到 0 2 拟线性椭圆型方程 一般的二阶拟线性椭圆算子f 文h1 2 1 ) 形如 n q u = o 订( 舭，d u ) d 3 u + 6 ( 。，“，d 让) ，= 啄 i d = l 若存在一个可微向量函数a ( x ，毛p ) = ( a l ( x ，z j p ) ，a 。( z ，z ，p ) ) 和上- 个数值函 数b ( 。，z ，p ) ，使得 q + u = d i v a ( z ，z ，p ) + b ( x ，z ，p ) 则称算子q + u 是散度形式的更具一般性的散度形式的非线性椭圆型算 第2 页毕业论文 引言 子( 文f 3 1 ) 为 4 “一 ：( 一1 ) 睁d 。n 。( 。；让，v u ，v 2 札) i o i ! 七 非线性方程与线性方程有着很大差别和线性算子的情形不同，具有光滑 系数的拟线性算子未必可以表示成散度形式线性椭圆型方程具有的许多良 好性质对于包括拟线性在内的非线性情况一般是不具备的例如线性椭圆型 方程除了具有弱极值原理外，还具有排除在区域内部取得极值的强极值原理， 而绝大多数非线性算子只具有弱极值原理目前，有关非线性算子强极值原理 的结果还只局限于非退化的p - l a p l a c i a n 算子一= d i v ( 1 v u l p - 2 v 让) 文【4 证明 了a 。在具有一个连续，单调不减且满足一定积分关系的控制函数时的强极值 原理；文 5 】得到了带一股项的p l a p i a c i a n 方算子，u + a ( z ) l u l ”2 u 的强极值原 理非线性算子与线性算子对应的基本问题中也有许多未得到完全解答如特 征值问题利用b a n a c h 空间中闭对称子集的亏格，y ) 概念，可以用 、，f ni v v l d z 儿m 肛玩罂 t 而 刻画出，的无穷多个特征值( 文 6 】) ，但这样刻画出的特征值是否是，的全体特 征值还不能确定非线性结构带来的不仅是技术上的困难，它也使得每一个具 体的问题都有着极强的个性加权s o b o l e v 空间( 文 3 】【7 】) 则是处理这些个性的一 个重要工具，它的定义只需要对经典的s o b o l e v 空间( 文f 8 ) 稍作修改即可，但它 的性质，特别是嵌入关系，则要复杂得多加权s o b o l e v 空间结合泛函分析方法对 获得椭圆型方程的存在性结果作用巨大 0 3 椭圆型方程的弱解 偏微分方程理论的发展过程中，人们定义了不同的解，其中包括古典解，弱 解，强解，上下解等直到上个世纪2 0 年代，一些基本的偏微分方程的古典解，即满 足c ( 七是方程中微分算子的阶数) 的解已经被深入地了解了随着偏微分方程 所面临的数学问题不断多样化和复杂化，特别是对非线性问题，获得古典解变 得举步为艰同时，人们在通过构造近似过程的极限解决偏微分方程问题时发 现，对近似解的估计并不足以保证其极限就是古典意义下的解，但近似解的极 第3 页毕业论文 引言 限又确实保存着相当部分古典解的性质这一点可以通过方程两边同时乘以 一个光滑的试验函数看出于是，人们引入了弱解的概念我们以p o i s s o n 方程 的d i r i c h l e t 问题为例进行说明： 设qcr ”是有界区域，其边界a n 分片光滑如果u c 2 ( q ) 是p o i s s o n 方 程的d i r i c h l e t i ；日题的解v 妒帮，将让代, n p o i s s o n 方程，两端同时乘以妒，然后 在n 上积分得 一u ( p d x = f w d x ( o - 1 ) j nj n 于是， 卜u岫，一一厶妒挚+ 上v u - v 妒如= 上v u - v 妒如 一一厶u 雾幽一上“岫一z u 妒如 其中p 是a q 的单位外法向量因此，式( o 1 ) 可改写成 ff | v u v q o d x = | i 咿妇， t 0 - 2 、 j nj q 或 ， r 一u ac p d x = f i ，o d x ( 0 - 3 ) j nj n 为使( 0 2 ) 式有意义，只需u h 1 ( q ) ，而为使式( 0 - 3 ) 有意义，则只需“ l 2 ) 所以，自然。叮以把对v 妒c 铲满足式( o 一2 ) 或式( o 一3 ) 的函数u h 1 ) ( u l 2 ( n ) ) 理解为p o i s s o n 方程的一种广义的解对于d i r i c h l e t f 司题则 要求这样的广义的解存边界卜为0 定义2 ：如果对v 妒c 冒0 m ) ，式( 0 - 2 ) 成立，则称函数让h 1 ( q ) 为p o i s s o n 方 程的d i r i c m e t 问题的弱解 事实上，利用式( 0 3 ) 还可以定义一种更弱的解，即在分布意义下( ，义函数 意义1 下p o i s s o n 方程的解 弱解的引入可以说是研究偏微分方程及其边值问题方法上的转折 点( 文【9 】) 它使得对偏微分方程的研究可以分为两步进行：( 1 ) 弱解的存在 性；( 2 ) 弱解的正则性在获得了弱解的存在性之后，便可以通过对弱解正则性的 研究进而得到最大程度上接近古典意义的解 第4 页毕业论文 引言 局部l i p s h i t z 连续的；( 2 ) 次临界增长；( 3 ) ，( z ，牡) = d ( 川) ，让一o ；( i v ) 满足( a r ) 条 燧： l 丘( z ，u ) d i u 地d s = 以 程与弱解正则性相关的成果还有文 2 1 1 1 5 1 一【1 8 】其中，文 2 给出了古典的g 1 ，。估 f 1 a j ( x ，u ，v u ) 一a ( x ，u ，v u ) 纠d t = 0 ， 了如果嘧( q ) 满2 t d i v ( w l p - 2 v u ) = j f ，p 1 ，l l ( q ) ，q ( 矗) ，则钍c l , a ( q ) 这一结果可以直接应用于文【1 9 】中有界区 解，则( i ) 当p 时，( 2 ) 当p n ，1 q 舄时，有u c 1 4 ( q ) 文【1 7 】利用 第5 页毕业论文 引言 在r n 中的星型有界区域q 上当1 p 0 由定义可以看出，因为f l 1 ) ，方程没有有界弱解，( z ，乱) d , u 不可能属 于l 1 ( q ) ，即微分算子b ( n 玎( z ，钍) d t u ) 在分布意义下都无意义通过对截断 函数的使用，定义中的每一项积分都有意义，再采用文【2 3 ， 2 4 ， 2 5 】中提供的区 域分划和收敛技术，便能得到熵解的存在性熵解定义中的等号也是可能取到 的，例如对一d i v ( a ( x ，u ，v u ) ) = ，一d i v ( f ) ，f ( q ) “的d i r i c h l e t i ；1 题就可以 通过等式来定义熵解( 文 2 6 j ) 椭圆型方程熵解相关的成果还有文 2 7 2 8 2 9 1 其中文f 2 7 1 对非线性椭圆型方程等值面边值问题的熵解进行了深入的研究 r ： 2 8 1 2 9 1 2 j p - l a p l a c i a n 算子的熵解得到了丰富的结果此外，对抛物型方程同样 可以引入熵解( 文 3 0 3 1 1 ) 本文中的部分思想方法就来源于熵解问题 0 4 变分法 在物理学中，能量总是遵从着一条极大或极小的规律，而能量往往可以用 积分表示，所以用数学的语言来描述这种规律的实质就是相应的泛函存在极 值点通常所说的变分问题就是积分表达式的极值问题物理学中的一些变分 第7 页毕业论文 引言 问题直接就与l a p l a cc ，方程甭l l p o i s s o n 方程的定解问题对应对于某些形状特殊 的区域，比女球，可以通过构造g i e e n l ! 雨l 数来求出它们的显式解( 文i a 2 ) 但这样 的情形毕竟很少对= _ f 一般区域通常使用变分法讨论问题的可解性微分方 程中的变分方法就是把方程边值问题转化为变分问题证明解的存在性，解的个 数及求近似解的方法引起变分法这一分支学科产生的第一个著名变分问题式 最速下降问题，它由j o h a n nb e r n o u l l i 于1 6 9 6 年在 上提出，因 此j o h a n n b e r n o u l l i 被认为是变分法的发明者1 9 0 0 年在巴黎举行的国际数学家 大会上，h i l b e r t 提出了著名的二十三个问题，其中三个与变分问题有关从此，变 分理论的研究获得了巨大的推动 古典变分法即直接变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点在一 定的条件下，确定泛函的极值点与确定微分方程边值问题的解可以相互转化 对p o i s s o n 方程的d i r i c l d e t 问题， ( u ) = i 1 i v u l 2 d x 一f u d x 是与之对应的泛函假设札嘲( q ) 为泛函，( u ) 在嘲( n ) 上的极值元，比如极小 元对v 妒g 铲( q ) 和e r 有u + 妒月3 ( q ) 记 f ( e ) = ，mi 妒) = ；v ( 让+ e 妒) 1 2 d x 一，+ e 妒) d x 因为让是，( u ) 在嘲( q ) 上的极小元，作为的普通函数，f ( ) 在e = o n 取最小 值，于是有f 7 ( o ) = 0 ，由此可知 ff iv u v i o d x 一| f i p 出= 0 ， 这表明泛函的极小元u b r l p o i s s o n 方程d i r i c h l e t 问题的弱解由于线性方程问题 所对应的泛函是有下界的，它的弱解即对应泛函的临界点可以通过求泛函的极 小值得到但对于非线性方程问题，它所对应的泛函可能既无上解也无下界，古 典变分法则不再适用例如与 一让= 1 1 , 2 对应的泛函 【札i a n = 0 ) = ；i v uj 2 d x 一；1 1 3 d z 任意取定个函数u ( _ jh a ( n ) 满2 ：u 0 ，u 0 对v t r ，t u 硪) 有 ，( 托) = 寻i v 训2 d x 一等趾3 d x 一千o 。，t 一：t ：o o 6j nuj n 第8 页毕业论文 引言 一般说来，对非线性方程问题不能用古典变分法确定泛函的临界点，需要用到大 范围变分法 大范围变分法的内容之一就是临界点的极大极小方法( 文【3 3 ) ，它以形 变定理为基础，说明了泛函，的临界值c 可以由在一个适当的集族s 上的 极大极小值表示，即c = i n f a 。s m 肇，( u ) 极大极小方法中又以山路引 理( 文 1 3 】 1 4 】 3 3 3 4 】) 最为著名，它形象地揭示了：从盆地中心出发到盆地外部 必有一条道路从周围山脉地最低点经过，这个点就是临界点 山路引理：e 是实b a n a c h 空间，i c 1 ( e ，r ) 满足 ( i ) i ( o ) = o ，存在p o 使得厶邬( o ) n o ； ( i i ) 存在e e b ( 0 ) 使得，( e ) 0 记r = ，y c ( 【0 1 】，e ) ：俐= o ，7 ( 1 ) 2e ) ，c = i n 0 e 。器；m ( 观则c o ，i 关于c 有临界序列 如果对泛函，在加上p a l a i s 和s m a l e 提出的条件，即( p s ) 条件，就能对泛函建 立必要的紧性保证山路引理中极大极小值就是临界值 定义4 ：e 是实b a n a c h 空间，i c 1 ( e ，r ) 如果对满足( i ) ，( u ) ) 有界； ( i i ) ，( “) 一0 ，七一的任意序列( ) ( 钍k e ) 在西部是列紧集，则称泛函，满 足p a l a i s - s m a l e 条件( 简记为( p s ) 条件) 定理l ：e 是实b a n a c h 空间，i c 1 ( e ，r ) 如果，满足( p s ) 条件，且j 关于c 有 临界序列，则c 为珀自i f 每界值 0 5 椭圆型方程研究状况 山路引理及其各种变体形式是解决有界区域上次临界增长的非线性椭 圆型方程弱解存在性及多解问题的有力工具山路引理的提出最先就是 针对这类问题的在文 1 3 】提出山路引理之前，半线性椭圆型方程的d i r i c h l e t 问 题一u = f ( x ，u ) ，$ qcr n 是否存在非平凡弱解都还是不能确定的，利用山 路引理，文【1 3 】证明了当下列条件成立时，该问题存在非平凡弱解： ( f 1 ) ，c ( ax r ，r ) ； 第9 页毕业论文 引言 ( f 2 ) 当礼2 时，存在正数s ；当3 时，存在正数s 2 和r 0 ，使o 1 ，o ( z ) g 一( 豆) ，a ( x ) 0 ，忱西，则对d i r i c h l e t 问题“+ n ( z ) 川一1 u = 0 得不到解 的先验估计，故不能使用上下解方法求解( 文 3 5 ) ，而山路引理可以自然地应用 近几十年来，有界区域上次临界增长问题已经被广泛研究，但由于非线性问 题本质上的复杂性和多样性，至今仍又许多新的问题和成果不断涌现这主要包 括： 1 、对二阶l a p l a c e 方程这类问题的理论的完善( 文 3 6 卜| 4 0 1 ) 文【3 6 】对一= ，( z ，乱，v u ) 得到了一正一负两个弱解的存在性，这可视为典 型的对文b 3 的推广文 3 7 】对二维的含有临界奇性位势的非线性椭圆型方 程- a u = p 酊毒两+ ，( z ，u ) 得到了一个非平凡弱解类似问题( 文 4 1 等) 在维 数n 3 时已经被广泛研究，但当n 一2 时的结果却还很少文 3 8 】研究的问题 为一t 一- a u + i u i ”2 对此得到了对v a o 方程存在正解的结论 2 、对包含拟线性算子方程这类问题的研究( 文 4 2 卜 4 7 】) 文f 4 2 】利用临 界群和山路引理得到i p - l a p l a c i a n 方程a p u = ，( z ，札) 在相应条件下的第三 个解文 4 5 1 利用山路引理和极大极小原理对文【4 8 】中的问题进行了改进，得 到了一d i v ( a ( 1 d u l ) i d u i p - 2 d u ) = a f ( x ，钍) 两个特征函数u ，坝的存在性，并 r u x ，坝的性质截然不同：、l i m 。1 l u i i = + o 。， 0 加权s o b o l e v 空间将非一致的椭圆型算子问题转化成了一致的情况，并使用山路 引理关于弱可微泛函的变体得到了一d i v ( a ( x ，d 让) ) = a ，( z ，“) 的弱解文【4 7 】证 明了具有非光滑泛函对应的e u l e r - l a g r a n g e 方程 第1 0 页 f ( x ，u ) 毕业论文 u b 扎 阢 叻p一 n 钆 渊 1 2 + 田 驮 z 文乌 归悭 一 在存的解弱 引言 值得注意的是，在使用山路引理的过程中，通常需要一个技术性的假 设，即( a r ) 条件：存在p 2 和r o ，使 0 0 ， 使得l i m t f ( x , t ) 石- 2 一f ( z , t ) n 0 和l i mp ，( z ，t ) 一2 f ( x ，t ) 】= + o o 后，利用鞍点定 理得到了- a u = f 0 ，u ) d i r i c h l e t i h 题弱解的存在性 文 4 0 4 3 5 3 1 1 5 4 中问题的切入点仍然是( a r ) 条件，但针对的是完全失 去( a r ) 条件的情况文 4 0 1 1 4 3 5 3 中最主要的假设是l i m 孪盟= q ( x ) l m ( q ) 这时称( x ，t ) 关于t 在无穷远处是渐近线性的例如，( z ，t ) 一皑l q - t a ，。 0 显然，这与( a r ) 条件的直接推论l i m 譬字= o o ( b p f ( z ，) 关于t 在无穷远处是 超线性的) 是不相容的文 4 0 1 4 3 5 3 1 2 t j p - l a p l a c i a n 方程，( p 2 ) 的渐进线 性问题进行了深入的研究，利用山路引理得到了正解的存在和不存在性结 果然而，当，( z ，t ) 关于t 在无穷远处是超线性的时候，( a r ) 条件也并不总是成 立，如f ( x ，t ) = t l o g ( 1 + i t l ) 对这种情形，文 5 4 】借助一个喷泉定理( 文 5 5 ) 的变 体证明了对应于每个极大极小值的临界序列的有界性，从而得到了一。钍= ( x ，u ) d i r i c h l e t i ； 题的无穷个多解解决失去( a r ) 条件的问题的关键是构造一 个特殊的有界临界序列，这一技术最先由文【5 2 1 给出 0 6 椭圆型方程的发展方向 目前，i 临界增长或无界区域上的椭圆问题正日益频繁的出现在几何，物理 等问题中，这一类问题将是椭圆型方程发展的主要方向自文f 5 6 1 关于临界增 长的半线性椭圆型方程的工作以来，越来越多的学者投入到了这类问题的研 究中i 临界增长和无界区域问题的关键性困难是紧性的缺失，两者中任意一种 情况都会导致s o b o l e v 嵌入失去紧性，相应的泛函也因此无法满足( p s ) 条件这 第l l 页毕业论文 引言 时山路引理必须结合其它用于恢复紧性的工具才能解决这类问题，但山路引 理保证问题存在临界序列的作用仍然是巨大的克服失去紧性困难的方法 有：用有界区域向无界区域逼近( 文 5 7 】 5 8 1 ) ；对可以产生具有紧性的极小化序 列函数的重排( 文 5 9 】) ；使用对称函数的s o b o l e v 空间获得紧性( 文f 5 9 】) ；集中紧原 理( 文 6 0 【6 1 1 ) 其中集中紧原理适用性最为广泛，它可以同时处理临界增长和无 界区域带来的困难( 文 6 2 】) ，无需要求特殊条件( 如对称性) 对求解包含拟线性算 子的方程( 文f 6 3 ) 也十分有效 0 7 本文研究的问题 本文包括以下三部分：第一章对来源于非牛顿流体力学，渗透介质中的流 量问题的p - l a p l a c i a n 方程 一d i v ( f z l 。i w l p - 2 v u ) + b ( x ) l u l 9 - 2 u = ，( 。，u ) 进行研究通过选取适当的空间和无( p s ) 条件的山路引理得到临界序列，利用有 界区域向无界区域逼近，得到了r 上的非平凡弱解第二章和第三章针对渐进 线性问题研究弱解的存在性其中第二章的问题 - d _ i v ( i x l 8 v u ) + 6 ( z ) “= f ( x ，u ) 来源于一类含有高振荡位势的稳态s c h r s d i n g e r 方程，第三章研究的是对应泛函 非光滑的包含拟线性算子的方程 1 n 一b ( n 玎( 刚) d i “) + ；吼8 巧( 置u ) d i u d u = ，( z ，让) i , j = li , i = l 第二章和第三章都用到了文【5 2 】提供的技术，第三章的部分思想方法还来源于 文 2 4 2 7 1 1 4 7 第1 2 页毕业论文 第一章缺乏紧性的p l a p l a c i a n 方程的弱解存在性 当q 是r 上的有界区域时， j a p 札兰一d i v ( i v - i p - - 2 v 让) = ，( z ，扎) ，卫q 1 札f 舰一。 其中f ( x ，u ) 满足次临界增长条件，这样的d i r i c h l e tj b 日题已经得到了较充分的研 究( 文【4 2 】_ 4 4 ) 于是人们便将关注的目光投向了无界区域的情况无界区域导 致的关键性困难是嵌入时紧性的缺乏集中紧原理f 文1 6 0 6 1 ) 是解决这一问 题的常用方法，如文 6 4 1 利用集中紧原理在带形区域n 上，即q = f l , r 。- - k 其 中q 是r “中的有界区域，得到了 一a p 缸= = - d i v ( 1 v u l 9 2 v 札) = ，( u ) ，。q 1 训。= o ，( u ) 次临界增长时，非平凡弱解的存在性受到文 5 7 1 1 5 8 的启发，此章对来源 于非牛顿流体力学和渗透介质中的流量问题的退化p - l a p l a c i a n 方程将使用另 一种方法来克服缺乏紧性带来的困难，即通过选取适当的空间用有界区域向 无界区域逼近，从而仅仅利用c a f f a r e u i k o h n - n i r e n b e r g 不等式( 文【2 9 】【6 5 ) 和 无( p s ) 条件的山路引理( 文【l3 3 3 1 ) 1 j 正明问题( 尸) 非平凡弱解的存在性问 题( p ) 具体如下： ( p )一d i v ( 1 z l 。p i 乱r 一2 v “) + 6 ( z ) 阻f 一2 “= ，( z ，乱) 其中z r n ( n 3 ) ，0 n 0 ，a 2 o ，使正( z ，z ) a 1 + a 2 ”1 ，其中l 5 p ，使0 0 ，五 ( z ) 表示 ( z ) 的磨光函数，则由文 1 l 】命题1 1 3 知j , h c ”( r ) ，又 由文 t o 6 1 a 2 i 失i s u p r n j e h i s u p r n l h l ，即五 l o o ( r ) 记h ( z ) = 五 ( z ) ， 设，( z ，。) = 日( z ) z 5 ，8 满2 ：( 1 4 ，则，( z ，z ) 满足) ，( ，2 ) ，) 1 1 预备知识 记e 为c 酽( r 一 o ) ) 的完备化，范数 i i , , ir 9 = ( i x l 。i w l 4 - 6 ( z ) i 让j ) 如 记磁，( r ) 为c 铲( r ) 的完备化，范数 臣= 。i x l 。l w , l d x 由于9 ，( r ) = 面瓦瓦矿二_ 丽”“。，ecz p ( r ) ( 文 6 5 】) e 是自反b a n a c h 空 间当q 是r 上的有界区域，0g 孬时，z p ( q ) 二p ：( q ) ( 其中二表示紧嵌 入藏= 丙兰) ( 文【3 】) 称让p ( r ) 是问题( p ) 的弱解，如果 ( i x l 口i w , i p - 2 v 也v 妒4 - b ( x ) l u l v - 1 妒) 出= f ( x ，u ) l p d z ，v 妒c 酽( r ) j r “j r “ 在讨论方程的解的过程中，我们需要用到一个重要的不等式，即c a 矗缸e l l i k o h n - n i r e n b e r g g k 等式( 文 2 9 【6 5 】) 为了方便起见，这里只给出所要用到的形 式 引理1 1 ：如果p , 0 o 和o o ，使, 舜v u e ，i i , , i l = p 雨- i ( u ) n 0 证明：由m ) 知 一l i m 竺碧= 枷l i r a f 矽( x , 一u 。) = 觋器1 ) z p = 蜘掣p = 。 z _ o z 9 2 _ + o p o p 一12 _ o p ( p 一 一2 z _ o ! “ ( 1 - 1 ) 由( ，2 ) ，( ，3 ) 知 0 墨f ( x ，z ) a 1 f z f 2 + a 2 i z l 5 + 1 = a 1 f 。1 2 + a 2 i z l ： ( 1 - 2 ) 其中以1 ，a 2 是正常数，即 嬲掣：o(1-3)oo o 4 i ，l o 由( 1 1 ) 知对比 0 , 3 5 1 o ，使得当h o , 觥l z i 如时，f ( x ，z ) i z l ： 由( 1 3 ) 知当6 1 j z 如时，f ( x ，z ) c g 芸譬= c ：i z i p 三 从而，对垤 0 , 3 g o ，使 f ( x ，z ) se h + c 。l z l “ ( 1 4 ) 由( 1 4 ) 和引理1 1 知 m ) = ；厶( i 帆h 啦) i u l 9 ) d x - 上n f ( 删) 如 2 ；i l u l l lj a - f ( 础胁 ；1i “i f 9 一s 厶i “1 9 如一e 上婶i u i 站如 ；i l u l l 一云上。6 ( 刮u i 如一q 上。i 钍i 无如 ；i l u l l l 廿i i k q j i ”i i 庀 = i i u l l ( ；一杀一g l i 让i i 小9 ) a 0 对于固定的e ( 0 ，；6 0 ) ，当| | 和n 充分小时，上面的不等式成立 第1 5 页 毕业论文 第一章缺乏紧性的p - l a p l a c i a n 方程的弱解存在性 引理1 3 ：如果( 6 。) ，池) ，( ，1 ) ，) ，( ，3 ) 成立，则存在e e ，使得当i p 时，( e ) o ，当i z 叩时，f ( x ，让) a 3 1 z l ”，其中a 3 是正常 数将让固定，则 坤u ) = 盟p l 厶f ( 叩) 出 i t p l p f l u i i 一五：阻l 如) f ( 。，“) 出一如五：阻囟 川”出 i t _ p l i i “ i - a # u 厶。一i 如 注意到p p ，则i ( t u ) 一一o 。( t 一。o ) 故引理3 成立 引理1 4 ：如果( 6 - ) ，( 6 2 ) ，( ，1 ) ，( ，2 ) ，( ，3 ) 成立，记 r = ，y g ( o ，1 1 ，e ) ：1 ( o ) = o ，7 ( 1 ) = e ， 其中c _ i n f 7 e r 龇m & x 1 1 嘶( 砒则c o - 证明：由c 的定义可知c o 假设c = o ，则i 0 e 。巽躺，( 7 ( t ) ) = o ，于是 对v 7 r , 蚓m a ，x l l ( v ( t ) ) 0 1o ；对垤 o ，j r ，使署t o 简1j ( ) ) e 对于固定 t i 1，j 的e ，0 ( ；圳i i 不等式两端同除以l 札。| ，令n 一，则得到矛盾因此，( u 。) 在e 中有 界，存在m o ，使得j i u 。i i 茎m 从而，存在 让。) 的子列( 以下不妨将 让。) 的子列 仍记为 u 。) ) 和u e ，札。一札在e 中又因为当q 是r 上的有界区域，0g 豆时， d 。1 , 9 ( n ) 专l 以( q ) ( 其中t 。，表示紧嵌入，疋= 丙兰) ，所以一“在口( q ) ( v1 茎 q ! 成) 中下面将证明( ，f 让，。) ，一( ，7 ( ) ，西，如c 铲( r 一 o ) ) ，由一 让在e 中可知 j i l 曼。“zj 。j v 札。i p 一2 v u 。v 妒+ 6 ( z ) i 仳。 p 一1 妒) d z “一o o j r 。 2 上，( i v 札i ”2 v 让v 妒+ 6 ( z ) 旷1 妒) 出 设q = s u p p ( o ) 0 彰瓦南f f 2 ) ) j h g l d e r 不等式知 i n ( ，( z ，u n ) 一，( z ，“) ) 妒( 。) d z f lf ( ，( z ，t n ) 一，( z ，“) ) i f c p ( z ) l d z j n j j i m i 州n ) 上i 正( z ，)