（基础数学专业论文）若干非线性算子与非线性方程的讨论.pdf

摘要 在本文中，我们主要讨论了b a n a c h 空间中两类非线性方程，其一为具有凹凸 性的非线性算子方程，其二为非线性积分微分方程。所使用的主要方法为半序 方法。 全文共分为三章，在第一章( 引言) 中，我们对具有凹凸性的非线性算子的研究 现状及我们在本文中将要做的工作进行了阐述；同时给出了我们处理本文所讨论 的非线性积分。微分方程的总体思路。 在第二章( 凹凸算子的不动点及应用) 中，我们主要讨论具有凹凸性的非线性 单调算子存在唯一正不动点的条件在5 2 1 中，我们给出了诸凹算子的关系，诸 一凸算子( 一u 。凸，一妒凸，一。凸及序凸算子等) 的关系在此基础上，我们证 明了u 。一凹增算子存在唯一正不动点的充分必要条件；一u 0 凸减算子存在唯一正 不动点的充分条件在本节中，我们也讨论了具有序凹( 凸) 性的单调算子及具有 “。凹凸性的混合单调算子唯一正不动点的存在性问题 在2 2 中，我们给出了增的凸算子，增的。( 1 ) 齐次算子算子存在唯一正 不动点的充分条件。 在2 3 中，作为前两节抽象结果的应用，我们讨论了具有凹凸性的h a m m e l 嘶e i n 积分方程正解的存在唯一性问题 所得结论推广并改善了现有相关结果。 在第三章( b a n a c h 空间中非线性积分，微分方程) 中，我们主要研究了b a n a c h 空间中带有一阶微分项的二阶非线性积分微分方程( 脉冲积分一微分方程) 。在 5 3 1 中，通过建立比较定理，我们讨论了如下带有非线性算子的一阶非线性积分 - 微分方程的最小最大解的存在性问题， jz = d t ，b z ，z ，t b x ，s b z ) t j 1z ( o ) = z 。 lz = f ( t 、b x ，z ，t b x ，s b x ) 、t j iz ( o ) = z ( 1 ) 其中，b = h + 后z ( s ) 如，h e 在5 3 2 ，利用5 3 1 的结果我们讨论了如下带有一阶微分项的的二阶非线性积 分一微分方程的最小最大解的存在性问题： j 。”= f ( t ，z ，z ，t x ，s x ) ，t j lz ( o ) = x 0 。( 0 ) = y o fz ，= ，( t ，z ，正，t 。，s 。) ，t j lz ( o ) = z o ，z ( o ) = z ( 1 ) 在3 3 及3 4 中，我们利用3 1 及3 2 的思路，讨论了相应的一阶、二阶脉 冲积分微分方程 所得结果发展并推广了相关的结论 2 a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e r i st od i s c u s st w oc l a s s e so fn o n l i n e a re q u a t i o n s ，o n eo fw h i c h i sn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n sw i t hc o n c a v i t yo rc o n v e x i t ya n dt h eo t h e ri sn o n l i n e a r i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e b y i e a n so fp a r t i a lo r d e r i n gm e t h o da n di t e r a t i v et e c h n i q u e s ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h e s en o n l i n e a re q u a t i o n si ss t u d i e d t h i sp a p e ri n c l u d e st h r e ec h a p t e r c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i nt h ef i r s tc h a p t e rw ep r o v i d e ar e s e a r c hs u m m a r yo f t h eo p e r a t o r sw i t hc o n c a v i t yo rc o n v e x i t ys i n c et h eb e g i n n i n gw h e nt h e s ed e f i n i t i o n so f c o n c a v e ( c o n v e x ) o p e r a t o rw e r ei n t r o d u c e d ，a n dt h eg e n e r a lt h o u g h t si n w h i c hw ec a n d e a lw i t ht h en o n l i n e a ri n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e c h a p t e r2 f i x e dp o i n tt h e o r e m so fc o n c a v e ( c o n v e x ) o p e r a t o r sa n d a p p l i c a t i o n s t h ec h a p t e ri s d e v o t e dt ot h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ff i x e dp o i n t o fm o n o t o n eo p e r a t o r sw i t hc o n c a v i t yo rc o n v e x i t y i n 2 1 w ep r e s e n ts o m er e l a t i o n s ： a m o n g t h ev a r i o u sc o n c a v eo p e r a t o r s ，a m o n gt h ev a r i o u s c o n v e x o p e r a t o r s i np a r t i c u l a r ，w eg i v ea s e r i e so f s u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o ff i x e dp o i n to fi n c r e a s i n go p e r a t o r sw i t h “o - c o n c a v i t ya n dd e c r e a s i n go p e r a t o r sw i t h 一“。一c o n v e x i t y m o r e o v e r ，w ed i s c u s si n c r e a s i n go p e r a t o r sw i t h o r d e rc o n c a v i t y ld e c r e a s i n go p e r a t o r sw i t ho r d e rc o n v e x i t ya n dm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r sw i t h d c o n c a v i t y a n d c o n v e x i t y i n 驼2 、w eg i v eas e r i e so fs u n c i e n tc o n d i t i o n sf o rt i l ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f f i x e dp o i n to fi n c r e a s i n go p e r a t o rw i t hl g o - - c o n v e x i t yo ra f 1 ) - h o m o g e n e i t y i n 2 3 w ea p p l yt h ea b s t r a c tr e s u l t si n5 21a n d 2 2t on o n l i n e a rh a m m e r s t e i n i n t e g r a le q u a t i o n s c h a p t e r3 i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e i nt h i sf i n a l c h a p t e r ，o u rp u r p o s ei s t o i n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fm a x i m a la n dm i n i m a ls o l u t i o n s o fs e c o n d - o r d e ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c eb yr e s u l t so ff i r s t o r d e r i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e i n 3i ，b ye s t a b l i s h i n gc o m p a r i s o nr e s u i t s w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fm a x i m a la n dm i n i m a ls o l u t i o n so fi n i t i a lv a l u ep r o b l e m s a n d b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rf i r s t o r d e ri n t e g r o - d i f f e r e n t i me q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a r o p e r a t o ri nb a n a c hs p a c ea sf o l l o w ： l 口= f ( t ，b 。，z 、t b z ，s b z ) ，j iz ( o ) = z o iz 7 = ，( ，b x ，z ，t b x ，s b x ) ，t j i 嚣( o ) = z ( 1 ) w h e r e ，b = h + j ：。( s ) d s ，h e i n 3 2 ，w ed i s c u s st h ei n i t i a lv a l u ev a l u ep r o b l e m sa n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o r s e c o n d o r d e ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fm i x e d t y p ei nb a n a c hs p a c ea sf o l l o w ： jz ”= ，( ，z ，。，t x ，s x ) ，j l 。( o ) = 。o ，。7 ( o ) = y o ， lz ”= ，( ，z ，z ，t x ，s x ) ，t j l 。( o ) = x o ，。邗) = z ”) a n d g i v es o m er e s u l t so fm a x i m a la n dm i n i m a ls o l u t i o n so ft h e m i n 3 3 a n d5 3 4 ，f o l l o w i n gt h es a m ei d e aa s 3 3 a n d 3 4 ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c e o fm a x i m a la n dm i n i m a ls o l u t i o n so ff i r s t - o r d e ra n ds e c o n d - o r d e ri m p u l s i v e i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o r r e s p o n d i n gt ot h ee q u a t i o n si n5 3la n d5 3 2 4 第一章引言 随着人类对自然、对世界的认识不断深入，在上世纪五、六十年代“非线性 科学”得到了飞速的发展，从那时起至今，非线性科学始终是国内外科学研究的 热点作为非线性科学研究的基础理论和工具的非线性泛函分析，在上世纪六、 七十年代蓬勃兴起其基本方法( 拓扑度方法、半j 莩方法、变分方法) 及成果广 泛地渗透到数理、生化、经管以及工程技术等诸多学科，并影响着他们的发展和 应用它所研究的的核心问题是非线性算子方程的解的存在性问题考虑如下的 非线性算子方程 a z = z 众所周知，上述非线性算子方程的解的存在性等价于非线性算子a 的不动点的存 在性( 详细讨论见文【1 4 8 】) ， 在非线性算子的研究中，由于应用背景的广泛性，人们对具有凹凸性的算子 的研究给予了极大的关注，用各种方法( 如半序方法、单调迭代技术、h i l b e r t 投 影距离及拓扑度理论等) 对其进行了广泛深入的研究结论不断被深化( 详见闻文 1 - 2 9 ，3 2 4 8 】) 但是由于凹凸算子的复杂性，使得对它们的研究相当困难，因此研 究成果并不很令人满意 本文的主要工作之一对凹凸算子作进一步深入细致的工作：讨论了诸凹f 凸) 算子之间的关系；给出了凹算子存在唯一正不动点的充分必要条件；给出了凸算 子存在唯一正不动点的充分条件并讨论了它们在积分方程中的应用本文的另 一个主要工作讨论了b a , n a c h 空间中含有一阶微分项的二阶积分微分方程及脉冲 积分微分方程 本文所使用的主要方法为半序方法及单调迭代技术 1 1 关于凹( 凸) 算子的研究情况 设e 是一个b a n a c h 空间，p 是e 中的零元素，p 是e 中的闭凸子集 定义1 1 1 ( 文 4 1 ) p 称为e 中的锥，若p 满足 ( i ) z p i a 0 ，则h 尸； ( i i ) 只z p ，贝z = 口 用p 。表示p 的内点集如果p 。曲，则称p 是一个体锥 通过锥p 我们可以在e 中引入半序：v z ，y e ，如果y 一。p 1 则称z 0 ，使得当忱| | = 忪2 | | = 1 ，z 1 ，。2 p 时恒有忙1 + 。2 | | 芝6 定理1 1 1 ( 文 4 ) 锥p 是正规的甘存在常数n 0 ，使得当0 。时恒 有i i 任何区间p - ，x 2 _ 圳。- 。s 。) 都是有界的 定义1 1 3 ( 文 4 】)p 称为e 中的正则锥，如果对任何单调递增且有上界的 序列，及存在y e 使得。l5 。2 茎。s sg 都存在z 4 e 使得 。一z + | | - + 0 ( n _ o 。) 定理1 1 2 ( 文 4 ) 若p 为正则锥，则p 必为正规锥 设p 是e 中的锥，在e 中定义关系”一”：若存在a 0 ，肛 0s t a x 0 ，p ( z ) 0 ，使得 ( z ) zsp ( 。) h ) ，显然rcp 若p 为 体锥，则p h = p 。( p o ) 关于锥的讨论详见文 4 ，5 ，6 ，关于r 的讨论详见文f 1 8 1 受方程，概率、控制学等学科的刺激，非线性算子理论在上世纪得到飞速发 展，在同一个年代相继出现了“。一凹( 凸) 算子，o 一凹( 凸) 算子及序凹( 凸) 算 子由于这些算子所具有的有的理论与应用价值，对它们的研究一直受到众多学 者的关注【l 一2 7 ，3 2 4 8 1 9 7 5 年，k r a s n o s e l s k i i ，m a 提出了u 。一凹( 凸) 算子的概念： 定义1 1 3 ( 文 1 )a ：p _ p ，i t 。 口，若a 满足 ( i ) v 。 0 ，3 a ( x ) 0 ，b ( x ) 0 ，s t a u 。a x b u 。； ( i i ) v a u 。s 。sb u 。及v 0 0 ，3 a ( x ) 0 ，6 ( 。) 0 ，s t a u 。a x b u 。； ( i i ) v a u 。b u 。及v 0 0 则4 在p 中有唯一的不动点 定警i l t 6 ( 文 3 3 ) 设j p 正规，a ：k 。 一 u 。j 为减的序凹算子，如果存在 l 2 ；，使得 a 2 u ( 1 一! ) u + e 4 u 则- 4 在 “，” 中有唯一的不动点 由此可见，关于具有单调性的序凹( 凸) 算子的讨论还是比较充分的 关于n ( osa 1 卜凹算子 自从a ( oso c 1 ) 一凹算子提出，文 9 利用h i l b e r t 投影距离研究了吐( o o t 1 ) 一凹增算子及一吐( o 吐 1 ) 一凸减算子的固有元1 9 8 4 年文【2 0 及 2 1 】分 别利用映象压缩条件及序方法改进了文翻的结果，并讨论了这类算子的不动点， 1 9 8 5 年，郭大均利用序方法对此类算子进行了深刻的研究，给出了如下重要的结 论 定理1 , 1 7 ( 文 1 5 】) 设a ：p o p 。，为o ( 0 曼o 0 ，为一凹算子而且是增的，如果a 具 有正的不动点。，而且锥p 是正规的，那么a 必为锥压缩的 定理1 1 1 0 ( 文【1 】) 设r r 0 ，a ：耳，r - p 全连续，如果a 为锥拉伸的 或为锥压缩的，则a 在只r 中具有不动点 由此可以得到如下全连续的一凹的增算子具有唯一正不动点的充分必要条 件 定理1 1 1 0 ( 文 1 7 】) 设a ：p + r 。，u 。 0 ，为全连续的 。一凹的增算子，则 a 具有唯一正不动点的充分必要条件是锥压缩的 由于工作的难度，在随后相当长的一段时同内，研究工作却未能推进，甚至， 诸如不具有全连续性的n 。一凹算子在什么条件下具有不动点这类问题也未能取得 一个理想的结果直到1 9 9 2 年郭大均在文 1 6 中给出如下的结论 定理1 1 1 1 ( 文 1 6 】) 设锥p 是正规的体锥，a ：p 斗p 是增的，”p 0 ，c 0 ，s t 0 a v ”，a o a v 又设对任何0 b 0 ，若存在妒：( 0 ，1 xp h 叶( 0 ，1 ) ，满足当 0 t l 时t 妒 ，z ) 使得a ( t z ) 妒0 ，x ) a x ( a ( t x ) 茎；i 毛i a g ) ，0 t 1 ，。p a 则称a 为p 上的妒一凹算子( 一妒一凸算子) 文 1 8 】指出，一凹算子和。一凹算子都是妒一凹算子的特例，并利用序方 法讨论了妒一凹增算子存在唯一不动点的充分条件( 从而给出了一凹增算子存 在唯一不动点的一个充分条件) 定理1 1 1 2 ( 文( 18 】) 设锥p 是正规的体锥，a ：ro 最是妒一凹增的， j u 。，? b o p a ， 。su o ，s t a u 。a v 。三以及对任何0 t $ - - t 由于妒一凹性不如u 。一凹性和。一凹性具体、容易操作，因此。要对其进行 进步深入的讨论是有定困难的 综上所述，可以看到：在关于诸凹算子的讨论中有以下不足： ( 1 ) 关于凹，a 凹，学一凹和序凹之间的关系及相应的一一凸。一a 一 凸，一妒一凸和序凸之间的关系讨论是零散而不完整的 ( 2 ) 我们仅知道全连续的u 。一凹增算子具有唯一正不动点的充分必要条件即 定理1 1 1 0 ，但是，对不具有连续性的一凹的增算子具有唯一正不动点的充分 必要条件的研究并不多见 ( 3 ) 上述所给出的不具有连续性的“。一凹增算子具有唯一正不动点的结论从 本r k t ：讲，q ( ，z ) 是与z 无关的但是，对一般的一凹的增算子( 1 1 pq ( ，。) 既 与t 有关，又与z 有关) 的研究尚未见到 在本文中，我们将针对以上问题对凹算子作进一步深入的讨论 在第二章第一节中，我们立足于u 。一凹算子，讨论一凹算子和其它凹算子 的关系；并讨论了一凹增算子( 并不要求其连续) 存在唯一正不动点的充分必要 条件以及一“。一凸减算子( 并不要求其连续) 存在唯一正不动点的充分条件，作为 所得结果的应用，我们讨论了a m m a n 的序凹凸算子存在不动点的条件。我们所 得蓟的结果和以往结果相比更为本质，丰富并发展关于凹凸算子的一些思想 众所周知，凹算子属于次线性问题，具有较弱的的非线性，而一凸算子及 5 。陋( 1 ) 一凸算子则属于超线性问题，具有较强的非线性因此，和凹算子相比， 其性质较差 同时，我们也注意到u 。一凸算子及n 一凸算子( o 1 ) 与a m m a n 的序凸算子 在凸性上还是有所区别的。从以上叙述中可以看到，就单调性而言，序凸算子可 增可溅，而对钍d 一凸算予及o ( 1 ) 凸算子而言，我们只能讨论其增性( 讨论其减 性是无意义的) 实际上，在某种意义上可以认为a m m a n 的序凸算子具有一n 。一凸 的性质( 详细讨论见本文第二章第一节的第四部分一关于序凹凸算子) 正是由于一凸算子及。一凸算子( o ( 1 ) 的复杂性，使得对它们的研究更 为困难可以说，到目前为止，所得到的结论都不很令人满意 关于n ( 1 ) 一凸算子与。( 1 ) 齐次算子 1 9 8 3 年，郭大均针对一类具体的的积分算子，发表了第一个a ( 1 ) 齐次算子 存在唯一不动点的结论，见文 4 0 1 1 9 9 5 年，梁展东基于6 ( 0 茎o l 1 ) 凸算子在一定条件下 可以转化的思想，利用满射定理，给出了第一个抽象的o f 1 ) 凸算子存在唯一 不动点的充分条件 定理1 1 1 3 ( 文( 3 6 】) 设a ：p 0 - + p ，为( 1 ) 凸算子，且存在常数m ，( o 1 ) 齐次的 若存在正m 齐次增泛函k ：p 。一( 0 ，+ 。) 满足( 1 ) ( # ，) = 暇( 。肌7 = ，2 ； ( 2 ) l m 尚，0 1 ) 齐次算子存在唯一不动点的 条件都是苛刻的 关于u 。一凸算子 6 自从u 。一凸算子提出，在相当长的一段时间里，我们仅知道的一个结论就是 如下的定理 定理1 1 1 5 ( 文【1 【1 3 ) 若a 为尸上u 。一凸的增算子，则a 不可能有两 个可以比较的正不动点 1 9 9 7 年，李福义引入了妒一凸算子的概念 定义1 1 8 ( 文【4 7 】)a ：q 。一q 。，e 口，若存在9 ：( o ，1 1 r ( o ，1 1 ，满足当 0 1 ) 齐次 增算子存在不动点的充分条件所得的结果改善并推广了现有的结论 在第二章第三节中，我们讨论了本章结果在一些积分方程中的应用 7 1 2 关于非线性微分方程的研究情况 作为非线性算子研究的动力与源泉，以及非线性算子与工程技术问题的重要 切入口，非线性微分方程的研究在国内外始终都是一个热点问题 在本文中，我们所讨论的方程涉及到b a n a c h 空间中非线性积分一微分方程问 题及b a n a c h 空间中非线性脉冲积分微分方程问题 关于b a n a c h 空间中非线性积分一微分方程问题 b a n a c h 空间中的微分方程理论是近三、四十年发展起来的一个新的数学分 支它把常微分方程理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析方法研究b a n a c h 空间中常微分方程它的理论在无穷常微分方程组、临界点理论、偏微分方程等 多方面都有广泛的应用1 9 8 5 年我国开始涉足此领域的研究( 详见 5 , 3 0 ，3 1 ，4 9 6 0 ，1 6 9 - 7 t 1 ) 由于它的重要性，又比较新，故在上世纪八十年代末期就被列入我国 自然科学基金重点资助项目 设e 是一个实b a n a c h 空间，p 是e 的锥令c y ，明= z ：j _ + el 对 任意的t 正z ( t ) 皆连续 ，c 1 e l = 。：j ei 对任意的t j ，z ( t ) 连续 可微) ，伊弘e 】= z ：j - ef 对任意的j ，( t ) 二阶连续可微 显然， c j ，司在范数i 。= r 搿忙( 川下构成b a n a c h 空间若尸是e 中的正规锥，则 p c = 。c 一e ) ( ) 8 ，v t j ) 为c j ，翻中的正规锥 在本文中，我们主要讨论如下b a n a c h 空间中含有一阶微分项的二阶非线性积 分一微分方程问题； j 。”= f ( t ，。，z 7 ，t x ，s 。) ，t j，1 、 l 。( o j = ，f o ) = y o 、 及 。”2 f ( t , x , x , t x , s x ) ，j ( 2 ) ix ( o ) = 。，z ，( 0 ) = z ”) 、7 其中，c f j e e e e ，司，j = 【0 ，l 】，2 0 ，y o ，z l ，y 1 e ， r f，1 ( t x ) ( t ) = k ( t ，s ) z ( s ) 如，( s 。) ( ) = 7h ( t ，。) $ ( s ) d s ，v t j ( a , 3 ) j 0j u 其中i c d ，n + l ，d = ( f ，) j j ：t s l ，h c jx r + 1 ，r + = 【0 、+ o o ) 当，与。无关时，文 5 3 ，5 5 ，5 6 ，6 0 对上述问题就最大最小解的存在进行了研 究 8 众所周知，利用单调迭代技术及上下解方法寻求b a n a c h 空间中= 阶积分- 微 分方程的解普遍采用的技术路线为： ( 1 ) 建立二阶微分问题的比较定理； ( 2 ) 利用g r e e n 函数将所讨论的二阶微分方程的相关线性问题转化为积分方 程 f 3 ) 通过该积分方程解的存在噬性构造非线性自映射算子a ； ( 4 ) 通过算子a 的性质寻求所研究二阶微分方程的解的存在性 显然，当，与z ，有关时，在寻求方程( a 1 1 a 2 ) 的解的过程中，。项的处理是 困难的 在本文中，我们将通过对解的研究，把方程( a 1 ) ，( a 2 ) 转变为一阶积分一微分 问题进行研究，然后，利用一阶积分微分方程的结果讨论方程方程( a 1 ) ，( a 2 ) 的 解的存在性问题 定义1 2 1 若存在。c 2 弛e 】满足i v p ( a 1 ) ，则称z 为i v p ( a 1 ) 的解 同理。可以定义b v p ( a 2 ) 的解 以下以i v p ( a l 1 为饲来说明本文所使用的主要思想 在i v p 11 中，令 o ( ) = g ( t ) 则i v p ( a 1 ) 等价与下列微分系统： iz 似) = y ( t ) y ，- f ( t z ，g ，t z s z ) ，t j i 。( o ) = g o ，g ( o ) = y o 由此有 z ( t ) = z o + u ( s ) d s = ：( z y ) ( t )( f t 4 ) 于是初值问题( a 1 ) 的解的存在性等价于如下一阶非线性积分微分方程的初值 问题 ：i 7 ( t , b y , y , t b 9 1 s b f ) ，tej ( n 5 ) g ( o ) = g o 、。 在本文第三章第一节中，我们讨论了含有非线性算子b 的混合型积分微分 方程a 5 ) ，所得结果丰富了现有一阶非线性混合型积分微分方程的结果 在本文第三章第二节中，我们利用第一节中所讨论一阶积分微分方程的结 果讨论了二阶非线性积分微分方程a 1 ) ，( n 2 ) 的解的存在性问题所得结果发展 并改进了文 5 3 ，5 5 ，5 6 ，6 0 】中相关的结论 9 关于b a n a c h 空间中非线性脉冲积分一微分方程问题 脉冲微分方程理论兴起于上世纪六、七十年代，用来描述具有突变现象的变 化过程，而产生突变现象所用的时间和整个变化过程相比可以忽略不计，即所谓 的具有脉冲作用的变化过程众所周知，这种变化过程在现实世界广泛存在，比 如医学、生物学、经济学中的最优控制、药力学及调频系统等众多领域中的阈现 象及节律性的裂变现象等另一方面，脉冲微分方程理论与相应的非脉冲微分方 程理论相比更为丰富，比如，脉冲微分方程的解不必有光滑性的要求，也可能不 再对初值具有连续依赖性等等正因如此，它一出现，立即引起了众多专家学者 的极大兴趣( 详见 5 ，5 2 ，6 1 6 8 ，7 2 7 4 ) b a n a c h 空间中脉冲微分方程理论兴起于上 世纪七、八十年代，并于上世纪八十年代末期始传入我国 设e 是一个实b a n a c h 空间，p 是e 的锥令p c i ，e 卜 。：j _ ! z ( f ) 在t t 连续，在t = t k 左连续，且。( f ) 存在，自= l ，2 ，m p c “队e _ 。： ，_ + e iz ( ) 在t t k 连续可微，在t = b 左连续，且z ( 吉) ，。他i ) ，。俅 ) 皆存在， = 1 ，2 ，m 显然，p c m e 】在范数l i x l l p c = s u p l l x ( t ) l lit ，) 下构成b a n a c h 空间而且如果p 是e 中的正规锥，则吃= 。p c i j , 司x ( t ) 0 t ，) 为 p c i j ，e 1 中的正规锥 本文讨论b a n a c h 空间中如下非线性二阶脉冲积分微分方程 及 。”= f ( t ，。z 7 ，t z ，s x ) t ，女= l ，2 ，- 一，m 拦纂畔i k ( x ( 曲t k 蕊( t k 挺1 1 2 ，。 慨- ， z 仆：“=) ，。) ) ，= ，m 、。 x ( o ) = 。，z t ( 0 ) = y 。 z ”= f ( t ，z ，。7 ) ，t t k ，= l ，2 ，w t ，藻瓮黜州k=flaz翟2 ，。 。， 仆：t 。= “( z ( ，z ，( f k ) ) ，= l ，m 、一 x ( o ) = z 。，。7 ( 0 ) = 。，( 1 ) 其中， ，c y xe exe 司，j = 0 ，1 ，0 t l t k t m 1 j 7 = ， t l ，t 2 ，m ) i k v i e ，司，i k c e e ，e ，( = 1 ，2 ，m ) ；。，。l ，如，y 1 e ，f ，s 形如( n 3 ) 式0 表示e 中的零元素，z j e “= 。( 古) 一z ( ) 表示z ( f ) 在 t = t k 点的跳跃度，z ( 吉) 和z ( t i ) 分别表示。( ) 在t = t b 处的右极限和左极限 z 仉：t 。表示z 协) 在t = 2 b 的相同意思 由文 6 4 ，我们知道对任意的z p c i 吲，。二( ) ：z 咏i ) 在本文中，z m k ) 亦理解为z ，_ ( t ) 1 0 当f 与z 无关时，文 6 3 6 5 ，6 8 】就上述脉冲问题的最大最小解的存在性进行 了研究当f 与。7 有关时，在利用单调技术及上下解方法寻求上述二阶脉冲方程 的解的过程中，。7 项的处理同样是困难的 定义1 2 2 若存在。p c i ，e n c 2 ，明适合脉冲i v p ( b 1 ) ，则称z 为脉冲 i v p ( b 1 ) 的解 同理，可以定义脉冲b p ( b 2 ) 的解 在本文中，我们将用处理( o 1 ) ，( n 2 ) 思想来处理脉冲问题池1 ) 和( 6 2 ) ，由于 ( j 1 ) ，( h 2 ) 具有脉冲作用，因此在具体的操作过程中会碰到一定的困难具体的 说，在处理( n 1 ) 时，通过( n4 ) 很容易地将。用p 来表示但是在处理( 6 1 ) 时， 如阿将。用来表示是需要作一定的工作的( 详细讨论见第三章第三节) 以下我们以初值问题( b 1 ) 为例，来说明我们处理二阶脉冲积分微分方程的 主要思想 在i v p ( b 1 ) 令 。m ) = ( f ) t t k 则由i v p ( _ 1 ) 1 ) 我们有 z ( ) = 。4 - y ( s ) d s + ( z ( ， ) ) ( 6 3 ) 。“ o t 令f f x ) ( t ) = 。( ) ( h 。) ( ) = o 。 0 ) ，若对v z p h 及t ( 0 ，1 ) ，存在 0 o t ) 0 ，则以下三个条件等价： ( i ) v z p u 。及v 0 t l ，存在正数q = q ( f 。) ，使得 a ( t z ) 2t ( 1 + q ) 4 z 即4 为r 。上的u 。一凹算子； ( i i ) v x r 。及v 0 t t ，使得 a ( t z ) f l ( t , x ) a x p 4 ( 拇) 5 高斛o f 1 ，z p 即j 4 为r 。上的p 一凹算子； ( i i i ) 对v 。r 。及t ( o ，1 ) 存在0 o ( ，z ) 0 ，且( 2 1 1 ) 式成立此即( i ) 成立 ( 2 ) 如果( i ) 成立，则( i l i ) 成立 若a 是“。一凹算子，注意到在( 2 1 1 ) 式中可以认为0 t ( 1 + 口( f ，。) ) 1 ( 若a 为增算子，显然在其它情况下，可调整q ( ，。) 使此不等式成立) 于是可令 o ( ，$ ) = 坠毪善监n ，则有0 。( ，g ) 0 ，且( 2 1 1 ) 式成立，即a 为r 。 上的“。一凹算子 综上所述得知定理2 1 1 成立证毕 注2 1 3 由定理2 1 1 及注2 1 1 易知，a 一凹算子必为p 。( 。p 。) 上的“。一 凹算子，即( 1 1 2 ) 式为( 2 i 1 ) 式的特殊情况 定理2 1 2 设a ：p _ r 。若a 为序凹算子( 定义1 1 5 ) ，则4 必为一凹 算子 证明对任意的。r 。，t ( 0 ，1 ) ，由( 1 1 1 ) 式知 a 0 z ) = a ( t z + ( 1 一t e ) 2t a z + ( 1 一t ) a o ，( 2 、l 4 ) 又因为a p ，a z r 。，故存在0 1 存在q ( ，s 。) 0 ，使得 4 ( s z ) 冬s ( 1 + q ( j 1 ，s 。) ) 一1 a $ 为了叙述方便，现引入伴随列的概念， 定义2 1 2设a ：p - p ， 。，”。只0 k 1 ，满足w 。a 。，记 。+ l = a w 。，u 。+ l = a v 。，n = l ，2 ，如果存在数列 q 。) 满足0 a 。= a 。( 1 + ) “ 0 ，a ：r 。r 。一凹的增算予，则 对任意的 。，r 。，0 。 1 只要。墨”。，。芝a 。，那么必存在a 关于 ，a 。伴随列 证明由u 。一凹算子的定义知，必存在正数q l = 口l ( k ，) ，s t a w 。a 。( 1 + r h ) a v 。注意到 4 的增性有0 k ( 1 + r j l ) 1 且此时有 其中 1 = k ( 1 + 0 1 ( , x 。，) ) ，t 0 1 = a w 。，”l = a 由( 2 1 5 ) ，存在