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s t e i n e r 对称化及平面上经 s t e i n e r 对称化保持直径的凸集 摘要 在众多的对称化工具中，s t e i n e r 对称化无疑是既简单却又最有用的一个。尽 管j a k o bs t e i n e l 提出s t e i n e r 对称化的初衷在于解决等周不等式问题，其作用却 马上扩展到其它领域，比如经典几何与分析的一些定理证明就需要用到s t e i n e r 对称化这一工具。本文首先介绍了平面上s t e i n e r 对称化的定义与性质，同时简 单回顾了等径不等式与等周不等式。低维的不等式证明可利用微积分和一些简单 的技巧，但是一旦将问题推广到高维则往往会有一些处理上的困难，此时s t e i n e r 对称化将发挥强大的作用。接着我提出问题：平面上的凸集要具备哪些性质才能 保证沿各个方向的s t e i n e r 对称化都保持直径不变? 文中通过对保持直径不变的 情况进行讨论进而分别构造出三个具有代表性的凸集，但是具备该性质的凸集的 一般刻画仍需作进一步讨论。本文最后还介绍了一些s t e i n e r 对称化的其他应用， 由此也可以粗略看到s t e i n o r 对称化的价值。 关键词：s t e i n e r 对称化，等径不等式，等周不等式，凸集，康托集，最小特征值 s t e i n e rs y m m e t r i z a t i o na n dc o n v e xs e t su n d e r s t e i n e rs y m m e t r i z a t i o no nt h ep l a n e a b s t r a c t s t e i n e rs y m m e t r i z a t i o ni so n eo ft h em o s tp o w e r f u lb u ts i m p l e s ts y m m e t r i z a t o m a l t h o u g hi tw a si n t r o d u c e db yj a k o bs t e i n e rt os o l v et h ei s o p e r i m e t e ri n e q u a l i t yo n t h ep l a n e ，s t e i n e rs y m m e t r i z a t i o nh a sb e e na p p l i e dt om a n yo t h e rf i e l d s ，s u c h 弱 c l a s s i c a l g e o m e t r ya n da n a l y s i s f i r s t l y , t h ed e f i n i t i o n sa n db a s i cp r o p e r t i e s o f 2 - d i m e n s i o n a ls t e i n e rs y m m e t r i z a t i o na r ep r e s e n t e di nt h i st h e s i sa n dt h e nir e v i e w t h ei s o d i a m e t r i ci n e q u a l i t ya n di s o p e r i m e t e ri n e q u a l i t i e s t h e 2 - d i m e n s i o n a l i n e q u a l i t i e sc a l lb ep r o v e di nm a n y o t h e rw a y sb e s i d e ss t e i n e rs y m m e t r i z a t i o n s ot h e a d v a n t a g eo fs t e i n e rs y m m e t r i z a t i o nd o e s n tl i ei nc a s eo fl o w - d i m e n s i o n o n c ew e g e n e r a l i z et h ei n e q u a l i t i e si n t o ah i g h - d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c e ，t h es t e i n e r s y m m e t r i z a t i o nc a np l a ya l li m p o r t a n tp a r ti nt h ep r o o f t h e nih a v eaq u e s t i o n ：w h a t p r o p e r t i e sa r ei n d i s p e n s a b l ef o rac o n v e xs e tt ok c e pd i a m e t e rd u r i n gt h es t e i n e r s y m m e t r i z a t i o n so fa l ld i r e c t i o n s ? b a s e do nt h ed i s c u s s i o no ft h es i m p l ec a s 0 8i n w h i c ht h ed i a m e t e ri sk e p t , 3t y p i c a lc o n v e xs e t sa r ec o n s t r u c t e d h o w e v e r , af u r t h e r d i s c u s s i o no nd e t a i l e dp r o p e r t i e so ft h ec o n v e xs e t sa s t i l lr e q u i r e d f i n a l l y , i i n t r o d u c e ds o m eo t h e ra p p l i c a t i o n st os h o wt h ev a l u eo fs t e i n e rs y m m e t r i z a t i o n k e y w o r d s ：s t e i n e rs y m m e t r i z a t i o n , i s o d i a m e t r i ci n e q u a l i t y , i s o p e r i m e t e r i n e q u a l i t i e s ，c o n v e xs e t , c a n t o rs e t , m i n i m u me i g e n v a l u e m 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 红l 趣 1 日期：刀四年疗月“日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编入 有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名： 纠拖 导师签名：移唆 e l 期：9 年呵月日 第一章导论 第一章导论 我们往往希望我们所处理的数学对象具有某些对称性，因为对称性可以在 很大程度上简化一些证明过程中的技巧处理，但事实上具备一定对称性的数 学对象并不多，因此在保持某些性质的前提下对对象作对称化处理也就有了 必要。在众多的对称化工具中，s t e i n e r 灵j 称化无疑是最简单但却又最有用的一 个。尽管j a k o bs t e i n c r 提出s t e i n e r 聂j 称化的初衷在于解决等周不等式问题，但其 作用却马上扩展到其它领域，比如经典几何与分析的一些定理证明就需要用 到s t e i n e r 对称化。 本文首先介绍了平面上s t e i n e r x 寸称化的定义与基本性质，包括保持测度， 保持凸性，周长不增和直径不增。n 维s t e i n e r x c 寸称化的定义只要将定义中的直 线z 换成1 1 1 维超平面l 就可以，其操作完全一样，同时s t e i n e r 对称化的四个性质 可以很容易地推广到高维情况，故不赘述 j a k o bs t e i n e r 最早利用s t e i n e r 对称化给出平面上等周不等式的证明，但是他 的证明并不正确，最早用这一办法给出证明的是s t u d y 。事实上，在二维的情况 下s t e i i l e r 对称化并没有发挥太大作用，低维的不等式证明可以利用微积分和一 些简单的技巧，但是一旦将问题推广到高维则往往会有一些处理上的困难，此 时s t e i n e r 对称化才发挥出其强大的作用。【1 】 正因为s t e i n e r 对称化如此有效，其本身的研究也就具有一定的价值。 在s t c 删称化的性质中有保持周长不增与保持直径不增两条。我们自然会 问，什么情况下s t c i n c r 又r j 称化保持周长或者直径不变? 关于前一个问题的研 究可参见【2 】，但是保持周长不变的要求太强了，该文得到的结果是要满 足s t e i n e r 对称化保持周长不变当且仅当经过对称化后的图形是原图形的一个 平移，也即是说原图形关于z 是s t e i n e r 对称的。定理表明了几乎在所有的情况 下，s t e i n e r 对称化都会减少周长。 关于在什么情况下s t e i n e r r k j 称化保持直径不变我只在平面上作讨论。同时 我的讨论也只局限于凸集。这里有个值得进一步探讨的问题：对于平面上任意 给定的有界紧集，我们能否估计出最少需要经过多少次s t e i n e r 对称化才能将其 变为凸集。尽管s t e i i l e r 对称化促使图形趋向于均匀，但却不一定减少图形的凹 入部分，甚至还会增加图形的凹入，所以这不是一个平凡的问题。接下来我首 先对平面上保持直径不变的基本情况进行讨论分类，并说明除了给出的三种情 况再没其他情况符合要求，进而分别根据这三种情况构造出三个具有代表性的 凸集。尽管我们可以从特例中看到，保持直径的情况比保持周长的情况乐观得 多，但是具备这一性质的凸集的一般刻画仍需作进一步讨论，我也希望在接下 来的学习中能够把这个问题推进一步。 最后本文介绍了一些s t e i n e r 对称化的其他应用，包括一些简单的几何定理 证明和最小特征值问题。在最小特征值问题中我们可以看到，借助s t e i n e r 对称 化这一工具，问题的解决思路变得相当明朗，由此我们对s t e i n e r 对称化的应用 价值也可见一斑。 一2 一 第二章s t e i n e r , 对称化 第二章s t e i n e r 对称化 2 1s t e i n e r 对称化的定义和性质 定义2 1 ：令qc 群为一有界区域且边界分段可微，z 为平面上经过原点的直 线，通过旋转可令，与x 轴重合。对vz l 记： 瓯= z + y e 2 ，f l 耐 易见g z 为经过。点的垂线，又记q 与q 相交截线段的长度为：m 霉= i qn 瓯1 将每段g 0 与q 相交截线段的中点平移到z 上得到： s t ( a ) = z + y e 2 ，j z ，z + z e 2 q & 一互1 m 霉三m 霉 则称此过程为沿着z 方向对q 作s t e i n e r 对称化。，如图2 1 所示 命题2 2 ：s t e i n c r 舜j 称化保持l e b e s g u e 澳 i 度。 证明：记u 为q 在址的投影，利用f u b i n i 定理有： ， y ( q ) 。z 印( y e g n n 咖) 如 ，霉u _ ， n n = z 叫咄 = z 印( z 瓯n 岛( 锄e y ) d z = y ( & ( q ) ) 命题2 3 ：s t e i n c r 对称化将凸集变为凸集。 证明：用反证法。因为经过z 方向作s t c i n e r 对称化之后图形关于尉称，如 果s t e i n e r ；泰j 称化将凸集变为凹集，则在z 上下方应该是对称地凹入。因此在 凹入的地方任取一截线段其长度必然比原来短，但是s t e i n e r 幕j 称化不改变截线 段长的长度，故知不可能得到凹集。 一3 一 2 1 s 弧m 厄r 对称化的定义和性质 图2 1 命题2 4 ：s t e i n e r 聂j 称化保持直径不增。 证明：设 l ，y t ) 、( z 2 ，耽) 为岛( q ) 中 直径的端点( 由 对称性 知( z 1 ，一u 1 ) 、( z 2 ，一沈) 为另一直径的端点) ，记岛( q ) 中直径长度为6 ，q 中直 径长度为j ，则有： - p = d ( ( 1 ，秽1 ) ，( z 2 ，珈) ) 2 = i z l 一z 2 1 2 + l y l - - 抛1 2 p 星墨n d 0 ，q ) 2 6 2 - 口g 工，n o 这一性质可从直观上清楚看到，如图2 2 与图2 3 所示，在作s t e i n e r 对称化 之前l i t 向上平移，1 2 7 保持不变，因此端点距离增大。事实上除非厶与2 均保持不 动，否则或者( z l ，y 1 ) 与( z 2 ，一耽) 的垂直距离增大，或者( z l ，一可1 ) 、( x 2 ，抛) 的垂 直距离距离增大，也即原端点连线的长度总是不小于经过s t e i n e r 对称化后端点 连线的长度。 一4 一 第二章s t c i n e r 对称化 咐 队 k u 、 圳 b r l k 叫 蚶 图2 2图2 3 命题2 5 ：s t e i n e r 对称化保持周长不增。 图2 4图2 5 证明：将图2 4 的边界曲线分为两段，端点处m 霉= o ，分别记为 ( z ) 与，2 ( z ) ，则 经过s t e i n e r 对称化后的图2 5 上半边界曲线表达式： 根据曲线长度的积分公式有： 夕= 掣 l = 巴v 1 + ( f ：( x ) ) 2 d x + i 厕d k c 即冲f 厅$ 一5 一 2 2 沿各个方向持续作s t e i n e r 对称化的结果 由m i n k o w s k i 不等式 、e , - - - - 1a , j r 厕知： l ( a ) 一l ( b ) 0 也艮l j s t e i n e r 对称化保持周长不增。 2 2 沿各个方向持续作s t e i n e r 对称化的结果 取衅中所有非空紧集，记其所有构成的空间为。对任一f x o ， 其r 一邻域b ( ， o ) 定义为：耳= 【z r 2 ，d ( x ，f ) 0 ：ec 耳f 耳) 贝u ( , v - o ，d 日) 构成一个完备的度量空间。 定义在紧集上的直径是一个连续函数，即： a n 骂a o 口sn 叫o o 号l i r ad i a m ( a n ) = d i a m ( a o ) n + l e b e s g u e 测度函数是一个上半连续的函数，即： a n 马a o 嬲n 叫o o 弓l i ms u p l a n i i a o l n s t e i n e r 对称化也是一个半连续函数，即： a n 互a o s ( a n ) 互五 口sn o o 爿a oc s ( a o ) 在( 蜀，妇) 上，我们有： 定理2 1 ：( b l a s c h k e - h a d w i g e r - s e l e c f i o n 定理) 假设cc 而为一簇一致有界的非 空紧集( 一致有界也虽i j 3 b ，v c c 都有ccb ) ，则存在序列gcc 和c o 粕( c ocb ) 使得： g 鱼岛口sn 叫o o 一6 一 第二章s t c i n e r 对称化 令j ，i = 1 ，七为经过原点的直线集合，记最为对应厶方向的s t e i i l e r 对称 化，又记多f f 茎s t e i n e r 对称化为9 垒瓯os h lo o 最七r 。取q 记所 有9 ( q ) 构成的集合为删，关于【q 】有如下定理： 定理2 2 ：( l j u s t e m i k - g r o s ss p h e f i c a l m a f i o n 定理) 取定q 与 q 】则存在【q 】的子 列 q n ) 和一闭圆盘百，满足l 百i = l q i 且q n 一一b竹一( 3 0 。 由于上的l e b e s g u e 测度函数与s t e i n e r x 寸 称化不是连续函数，我们不妨将讨 论限制在由凸紧集构成的集合i c 0c 蜀上，此时上的l e b e s g u e 澳l j 度函数与周长 函数都是连续函数，也即对任一凸紧集序列 ) ，岛，有： 互口sn o o 考，舰i i = i k o l l l i r aa ( a k ) = a ( a k o ) 同时s t e i n e r 对称化也是一个连续函数，也即： 心骂n sn o o 考k o j i c 0 s ( ) 互s ( k o ) o s 住叫 下面将证明对任一凸紧集沿各个方向作s t c i n c r x f f 称化，其周长变化存在一 个下界并且当周长趋向这个下界的同时q 也将趋向于一圆盘。 取y 0 ，令凡= i n f a ( a k ) ：k & i k l = y ) 在j i c o 中取一周长递 减的序列 ) ，满足： i i = v l i r a4 ( a ) = a o 住 取面积为v 的圆盘s r ( r 为其半径) ， 序列譬，满足：正= 譬( k ) c 耳+ ( o ) 故有： 由定理2 2 知可以取到一个s t e i 眦r 作用 由于在作对称化的过程中周长递减， a o a ( o t , ) a ( a k ) j i ma ( a r , ) = a o i + 又由定理2 1 知存在 ) 的子列 i 0 以及蜀，使得： 互，叫t o a 8 i 7 一o o & t o c 耳托 垤 0 7 一 2 2 沿各个方向持续作s t e i n e r 对称化的结果 因此有： i t o i = 。l i r ai 正，l = v a ( 0 7 o ) = 1 i ma ( 0 t ，) = a o 也即t o 蝓为所要求的最小值，又因为e 任意，故知7 o = 耳( o ) 由此可得： 定理2 3 ：在平面上取定一个凸紧集q ，沿各个方向持续对齐作s t e i n e r 对称化将 使之趋向于一个圆盘。【3 】 一8 一 第三章s t e i n e r 对称化与不等式证明 第三章s t e i n e r 对称化与不等式证明 3 1s t e i n e r 对称化与等径不等式 平面上的等径问题是：在给定直径的所有图形中，哪个图形所包围的面积 最大? 答案是圆盘，问题对应了r 2 中的等径不等式。 定理3 1 ：r 2 中的等径不等式为： i a i 7 r ( 下d i a m a j 2 r 2 中的等径不等式有一个非常简洁的证明，只需用到初等微积分的知识， 如图3 1 所示【4 】： 图3 1 9 一 3 1 s t e i i r 对称化与等径不等式 证明：采用极坐标则a 的边缘曲线可表示为r = f ( o ) ( 0 p 7 f ) ，故： a i = 丢z 霄，2 ( 口) 硼= 去( z 号，2 ( + ，2 ( 口+ 三) d p ) x f ( o ) 2 + y ( o + 吾) 2 矛( d 为a 的直径) ，故： 川拼c f 2 棚刮罢) 2 定理3 2 ：r n 中的等径不等式为： p ( a ) a ( n ) ( d i a m a 2 ) n 高维等径不等式的证明如果仍1 日采用微积分的方法会有一些技术上的困 难，利用s t e i n e r 对称化将使到证明简单很多。注意到q + = ( o s 0 一。0 o & 。) ( q ) 关于原点对称，其中& 。是指作垂直于e 且经过原点的超平面的s t e i i l e f 对 称化。因此若z q + ，则一z q 。比q 都有d i a m f 2 2 1 x l ，也即 d i a m 坐f l * 2，因为z 任意，故q s ( o ，亟笋) 。由驴的单调性可知： 州q ) 驴( b ( 0 ，竿) ) - 酬竿) n 考虑q 的闭包豆，则有驴( 固= 驴( 雨) ，d i a m ( 雨) 旃n 仇( q ) 故： 一1 0 一 l n ( q ) l 仃( 孬) = 驴( 雨) 一 a ( n ) ( 竿) n 酬掣) n 叫州竿) n 第三章s t e i n e r 对称化与不等式证明 3 2s t e i n e r 对称化与等周不等式 j a k o bs t e i n e r 最早引入s t e i n e r 对称化的目的即在于证明等周不等式，但他给 出的证明并不正确，利用s t e i n e r 的方法最早给出正确证明的是s t u d y 。s t e i n e r 对 称化是证明高维等周不等式的有力工具，事实上，至今高维情形的证明方法只 有两种，除了利用s t e i n e r 又 r j 称化另一种则是利用b r u n n - m i n k o w s k i 定理。 r 2 中等周不等式的表述是： 定理3 3 ：令，ycr 2 为一长度为l 的简单闭曲线，记7 包围的区域为a ，则成立如 下不等式： 4 7 r l a i 己2 等号成立当且仅当，y 为圆。 二维情况有相当多的证明方法，但最典型的是利用微积分和微分几何的知 识来证明，其思路是先将问题转化为：平面上给定面积的圆形中以圆的周长最 短。由此可将对面积的积分转化为对周长的积分，因为周长的积分可用曲率表 示出，而取极值则求导为0 ，由此可得曲率为常数，又由微分几何的知识知平面 上常曲率的闭曲线只能为圆，故得到等径不等式【5 】。 高维的等周不等式问题表述如下： 定理3 4 ：对任一有限边界的区域qc 舯成立： n 前l n ( 动睾埘一( 砌) 其r 扣m , n 一1 是( n 1 ) 维的m 砌【o w s 垴区域，p 是n 维l e b e s g u e 测度而是舻中单 位球的体积。【5 】 因为对任一给定凸集，我们总是可以取到一个适当的s t e i n e r 对称化作用序 列，这个序列的作用最终将此凸集变为球，并且在保持l e b e s g u e i 炅! l 度的同时不 增加边界面积，由此可知球是在取定体积的所有几何体中边界面积最小的。 第四章保持直径不变的情况 既然s t e i n e r 建j 称化保持直径不增，我们自然会问，什么情况下s t e i n e r 对称 化保持直径不变? 关于这个问题的讨论我将仅限于平面上的凸集。导论中已 指出，对于任一给定有界紧集是否可以估计出至少要经过多少次s t e i n e r 对称化 才能将其变为凸集这一问题还有待研究，同时k j f a l c o n e r 已在一篇注记中指 出，对某一紧集沿任意方向作s t e i n e r 对称化其结果都是凸集当且仅当该紧集是 凸集【6 】，也即满足沿各个方向作s t e i n e r 对称化都保持直径的紧集必然首先是凸 集，因此将讨论局限在凸集上是合理的。 4 1 三种基本情况 首先我们考虑保持直径不变的基本情况。因为任意两点连线长度即使增加 仍小于原直径长度，所以保持直径不变的情况只有将直径仍旧变为直径。首先 我们指出，保持直径不变的基本情况只有下面三种： a 、直径与睡直 b 、直径与z 平行 c 、有两条直径并且对称相交在z 上 为说明除上述情况别无其它只需考虑直径与f 的其它位置关系。事实上除了 以上三种只剩一种情况，即是只有一条直径并且与蝌相交，除此以外的其它情 形总是可以分解归结为这四种基本情况。如图4 1 所示，因为( ( z 1 ，矽1 ) ，( x 2 ，蜘) ) 为 直径，故有：l 耽i i y l l ，i y 4 l 0 ，t ( k ) ck 为其最 大的内接三角形。则有不等式： 等号成立当且仅当k 为椭圆。 4 曩r l t ( k ) l 3 v s i k l 定理5 4 ：( s y l v e s t e r1 8 8 5 ) 令kcr 2 为一凸紧集，l k i o ，记( z ，箩，z ) 为其任意 内接三角形，则有不等式： 蒜郦1 上上上l ( z 幽z ) l d = d y d z 西1 左边等号成立当且仅当k 为椭圆，右边等号成立当且仅当k 为三角形。 定理5 5 ：( g r o b1 9 1 8 ) 令kcr 2 为一凸紧集i k i o ，记为包含k 的最小面积三 角形，则有不等式： 2 1 k i l i 等号成立当且仅当k 为平行四边形。 5 2 最小特征值问题 在p 中边界分段可微的紧集q 上考虑波动方程【7 】： 一1 5 一 5 2 最小特征值问题 嘉- - a u = 汹叫c 9 2 u 一剀 仳= 0 z a q 亡0 利用分离变量法，假设解的形式为u ( z ，芒) = ( z ) t ( 亡) ，则有： t 哪 固 丁。一a2 可 也即t 满足： p + 入t = 0 当入 0 时，由常微分方程知识知p + a t = 0 的解的形式为： t ( t ) = ac o s ( v 佤t ) + bs i n ( v 顷t ) 也即频率俩决于原方程的特征值a 。又入满足： r a 拦z = ( 宰) 式两边乘以u 再在q 上积分，由g r e e n 公式可得： a z 畦上i d v l 2 由此可知入 0 ，也即入有下界。 记r ( u ) = 每黟，称之为雷利商( r a y l e i g hq u o t i e n t ) 。定义最小特征值： 入1 ( q ) = i n f r ( u ) ，u p 础( q ) p 四( q ) 是指上q 上分段可微的函数集合。令u p 铝( q ) 满足： 一1 6 一 。oz x e 锄1 2 第五章s t e i n e r 对称化的其它应用 考虑： a ( u ) = ( x ，y ) o rx q0 y u ( z ) ) 若lcr n 为一经过原点的n 一1 维超平面贝, i l e r 为n 维超平面。记c ( u 。) = 既。r ( g ( u ) ) ，则g ( u ) 的底部为鼠( q ) ，c ( u 。) 的上表面是y = u + ( x ) u + ( x ) 关 于工，0r 对称，也即如果l 是z n = 0 ，则有： u ( z 1 ，x n - 1 ，z ，i ) = u ( x l ，x - 1 ，一n ) 由c 厂+ 是对称函数知g ( ( 扩) 2 ) = s l $ r ( g ( u 2 ) ) ，故有： u 2 = i g ( u 2 ) i = i g ( ( ，2 ) 2 ) i = ( u + ) 2 j a j s l ( n ) 。l i r a 1 f a# u i d u 2 。一1 ) = li d u l 2 ( 幸木) 因；为s t e i n e r 对称化减小表面积，故唯0 有： 厩i d 矿1 2 t 廊i d u l 2 再由( ，i 木) 可推出氏( q ) i d u 1 2 厶i d u l 2 令u p 锘( q ) 为原定的特征函数，也即入l ( q ) = 兄( u ) 。其对称化矿不一定 是既( q ) 上的特征函数，但可用于对鼠( q ) 上的最小特征值作估计。我们有不等 式： 删铡筹锣乩 等号成立当且仅当q 关于l 是s e i n e r 对称的。 由此我们有： 定理5 6 ：( f a b c r & k r a b h1 9 2 3 ) 在舯所有有界紧且边界分段光滑的区域中， 球体具有最小的特征值。 一1 7 参考文献 【1 】s 0 r e np e t e r s e n s y m m e t r i z a t i o n sa n di s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t