（基础数学专业论文）几个特殊数论函数的研究.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 众所周知，数论函数的均值估计问题在解析数论研究中占有十分重要的位 置，许多著名的数论难题都与之密切相关因而在这一领域取得任何实质性进 展都必将对解析数论的发展起到重要的推动作用! 著名的美籍罗马尼亚数学 家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 一生中引入了许多十分有趣的数列和数论函数，并提 出了许多问题和猜想他在1 9 9 1 年发表的o n l yp r o b l e m s ，n o ts 0 1 u t i o n s 一 书巾提出了1 0 5 个关于数论函数和序列的问题和猜想，很多学者都在研究这些问 题和猜想，并且有些已经得到了一些十分重要的结果 本文研究了一个特殊数论函数的均值估计问题，以及一些和s m a r a n d a c h e 数列相关的问题具体说来，本文的主要成果包括以下几方面： 1 研究了一个特殊数论函数及其均值，这个特殊数论函数是由数论函 数e p ( 佗) ，及数论函数鼠( 礼) 构成的一个复合函数，并给出了关于这个函数的均 值，得到了一个较好的渐近公式其中e 口( n ) 为满足条件矿i 佗的最大非负整 数q 且鼠( 礼) 为满足条件m 七 几的最大正整数m 2 s m a r a n d a c h ec e i l 函数鼠( n ) 在初等数论的研究中具有很重要的地位 本文利用初等方法研究了关于s m a r a n d a c h ec e i l 函数的一个方程的可解性 3 对于无穷级数的研究是很有意义的本文主要利用初等方法研究了关于 几个特殊函数的无穷级数的收敛性质，并给出了一些有趣的等式 关键词：s m a r a n d a c h e 函数；数论函数；渐近公式；均值；无穷级数 a b s t r a c t ( 英文摘要) i ti sw e nk n o w nt h a tt h em e a nv a h l ep r o b l e l so fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sp l a y a ni m p o r t a n tr 0 1 ei nt h es t u d yo fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y ，a n dt h e yr e l a t et om a i l y f a m o u sn u m b e rt h e o r e t i cp r o b l e i i l s t h e r e f o r e ，a n yp r o 粤田b s si nt h i s6 e l dw i ue o n - t r i b u t et ot h ed e 、，e l o p m e n to fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y a m e r i c a n i 如m a n i a nn u n 卜 b e rt h e o r i s tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h ei n t r o d u c e dh u n d r e d so fi i l t e r e s t i n gs e q u e n c e s a n da r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s ，a n dp r e s e n t e dm a i l yp r o b l e i 璐龇1 dc o n j e c t u r e 8i nh i s n f e i n1 9 9 1 ，h ep u b l i s h e dab o o kn a m e d“o n l yp r o b l e n l s ，n o ts 0 1 u t i o 璐 h e p r e s e n t e d1 0 5u n s o l v e dp r o b l e m sa n dc o n i e c t u r e s2 l b o u ta r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sa n d s e q u e n c e si ni t m a i l yr e s e a r c h e r ss t u d i e dt h e s es e q u e n c e sa n df u n c t i o 璐f r o mt h i s b o o k ，a n do b t a i n e dl o t so fi m p o r t a n tr e s u l t s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d vt h em e a nv 甜u ep r o b l e mo fas p e c i a la r i t h m e t i c a l f u n c t i o na n ds o m ea s p e c ta 山o u tt h es m a r a n d a c h eu n s o l v e dp r o b l e m s t h en l a i n a c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 t h em e a nv a l u ep r o b l e mo fas p e c i a la r i t h m e t i c a lf u n c t i o n 缸es t u d i e d w b s t u d yt h ep r o p e r t i e so fac o m p o u n df u n c t i o nw h i c hc o n t a i n 勺( n ) a n d 最( 他) a n d 西v ea na s y m p t o t i cf o r m u l aw h i l ee p ( n ) d e n o t e & t h el a r g e s tn o i m e g a t i v ei n t e g e ra s a t i s 母i n gp nl 他a n d 鼠( n ) d e n o t e st h el a r g e s tp o s i t i v ei n t e g e rms a t i s 矽i n gm 七in 2 t h es m a r a n d a c h ec e i lf u n c t i o n & ( 佗) h a u sa v e 巧i m p o r t a n tp o s i t i o ni nt h e s t u d yo fn u m b e rt h e o r y w bu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o d st os t u i vt h es o l u t i o 璐 o fa ne q u a t i o ni i l v 0 1 v i n gt h es m a r a n d a c h ec e i lf u n c t i o n 3 s t u d y i n gs o m ei n 6 i l i t ys e r i e si sv e r ys i g n i f i c a n t w bl l s et h ee l e m e n t a 巧 m e t h o dt os t u d yt h ec o n v e r g e n tp r o p e r t i e so fs o m es p e c i a lf u n c t i o i l s ，a n d 百v e s o m ei n t e r e s t i n gi d e n t i t i e s k e ”旧r d s ：s m a r a j l d a u c h ef u n c t i o 璐；a r i t h m e t i cf u n c t i o n s ；a 8 y m p t o t i cf o r m u l a ； m e a nv 赳u e ；i n 丘n i t ys e r i e s i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 查绛指导教师签名：拿尝始 i 凇髫年e 只 o 日仍g 年6 只( p 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：夺c 峰 妒矿年工月p 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1研究背景与课题意义 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论后来整数论又进 一步发展，就叫做数论了确切的说，数论就是一门研究整数性质的数学分支数 论形成门独立的学科后，随着其它数学分支的发展，研究数论的方法也不断地 在发展，现代数论已经深入到数学的许多分支 在我国，数论也是发展最早的数学分支之一我国的数学工作者对数论中许 多著名问题进行了研究，并做出了重大贡献可以认为，数论是迄今为j 卜我国在 近代数学中取得重大进展的最突出的分支之一其中对“歌德巴赫猜想”的研究 取得的成果尤其引人瞩目 自变量n 在某个整数集合中取值，因变量可取实数值或复数值的函数可= 厂( n ) ，称之为数论函数，它们在许多数论问题的研究中起着非常重要的作用 数论函数的单个取值往往很不规则，然而它们的均值厂( n ) 却体现出很好的 磊一 规律性，因而数论中对数论函数性质的研究经常是在均值意义下进行的，见文 献【1 】【7 】【8 】 数论函数的均值估计是数论尤其是解析数论的重要研究课题之一，是研究各 种数论问题不可缺少的工具许多著名的数论难题都与这些均值密切相关，因而 在这一领域取得任何实质性进展都必将对解析数论的发展起到重要的推动作用 在许多人看来，数学研究就是解题，在数学界内部，数学工作者们也分为理论 研究者和问题求解者数学能保持旺盛的生命力更重要的是来自于数学本身以及 来自日益增多的应用领域的一系列问题数学常常受惠于问题提出者，而能够提 出一个好的问题是一门艰难的艺术 一 罗马尼亚数论专家s m a r a n d a c h e 教授曾提出许多关于特殊数列与数论函数 的问题与猜想1 9 9 1 年，在o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s 【3 】一书中，s m a r a n d a c h e 教授提出了1 0 5 个关于特殊数列和数论函数的数学问题与猜想许多数学 工作者对此进行了深入的研究，并获得了许多具有重要意义的研究成果对其中 的一些问题进行研究，并给以一定程度上的解决，是具有一定意义的研究课题 基于以上的想法，本文应用初等数论，解析数论等知识对s m 觚a n d a c h e 教授 提出的几个数论中未解决的问题进行研究 1 2主要成果和内容组织 如前所述，本文研究了一些数论函数的性质这些成果主要表现在研究了一 个特殊的数论函数及其均值，包含s m a r a n d a c h ec e i l 函数的方程，关于一些无穷 级数的性质三个方面，内容分布在第四章至第六章具体说来，本文的主要成果和 内容组织如下： 1 第一章绪论 1 研究了一个特殊数论函数及其均值，这个特殊数论函数主要是由素因子 最大指数e p ( n ) ，数论函数鼠( n ) 构成的一个复合函数并给出了关于这个函数 的均值，得到了一些较好的渐近公式 2 s m a r a n d a c h ec e i l 函数& ( 扎) 在初等数论的研究中具有很重要的地位 本文利用初等方法研究了关于s m a r a n d a c h ec e i l 函数的一个方程的可解性 3 对于无穷级数的研究是很有意义的本文主要利用初等方法研究了关于 几个特殊函数的无穷级数的收敛性质，并给出了一些有趣的等式 2 西北大学硕士学位论文 第二章数论发展史 - 弟一草裂化夏展义 2 1数论的发展简况 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的 概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正 整数和负整数中间的中性数叫做o 它们和起来叫做整数 人们在对整数进行运算和研究中逐步熟悉了整数的特性利用整数的一些基 本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引 了古往今来许多的数学家不断地研究和探索 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论后来整数论又进 一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视自我国古代，对于 数论的研究主要是基于计算实践，具有鲜明的直观性与实用性中国最早 的数学名著周髀算经记载了西周入商高知道方程z 2 + 哲2 = z 2 有整数 解( z ，z ) = ( 3 ，4 ，5 ) 另一部数学名著孙子处经研究了整数的同余性质，后 来被世人称作“中国剩余定理 在古希腊的数学中，整数作为认识世界的最基 本的手段和工具，具有崇高的地位古希腊的数学充满了理性思辨的特性欧几 里得的名著几何原本共1 3 卷，其中有3 卷讲述数论其内容包括了初等数 论的基石：算术基本定理，证明了素数有无限多个，得到了方程z 2 + 秒2 = z 2 全部 整数解的表达式古希腊的另一部数论名著是丢番图的算术，书中研究了三 百多个数论问题，这是世界上第一个脱离几何学独立研究数论的著作 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入 研究整数的性质就必须研究质数的性质因此关于质数性质的问题，一直受到数 学家的关注 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富 了，把它们整理加工成为一门系统学科的条件已经基本成熟了德国数学家高斯 集前人的大成，写了一本书叫做算术探讨，这部书开始了现代数论的新纪元 十九世纪，数论取得了重大进步其主要标志是解析方法和代数工具引入数 论当中，产生了数论的两个新分支：解析数论和代数数论 2 2数论的基本内容 数论形成了一门独立的学科后，随着其他数学分支的发展，研究数论的方法 也在不断发展按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和 几何数论四个部分 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究 整数性质的分支比如中国古代有名的“中国剩余定理 ，就是初等数论中很重 要的内容 3 第二章数论发展史 解析数论是使用分析作为工具来解决数论问题的分支解析数论起源于素数 分布，哥德巴赫猜想，华林问题以及格点问题的研究，解析数论的方法主要有复变 积分法，圆法，筛法等解析数论是由欧拉奠基的，俄国数学家切比雪夫等也对它 的发展做出了贡献解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具比如，对 于“质数有无限多个一这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学 分析中有关无穷级数的若干知识二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫 创造性的提出了“三角和方法 ，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作 用令7 r ( z ) 表示不超过z 的素数的个数，关于7 r ( z ) 的研究是素数论的中心问题 黎曼在数论中引入复变函数e ( s ) ，称为黎曼e 函数，他对这个函数作了深入的研 究，得到了许多重要结果他建立了一个与( ( s ) 的零点有关的表示7 r ( z ) 的公式， 因此研究素数分布问题的关键在于研究e ( s ) 的性质，特别是它的零点的性质由 此，黎曼开创了解析数论的一个新时期同时，黎曼提出一个猜想：e ( s ) 的所有复 零点都在直线船s = 1 2 上，这就是所谓黎曼猜想它是尚未解决的最著名的数 学问题之一 代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支代数数论主要起源于 对费马猜想的研究，另外高斯关于二次域的研究是代数数论的另一个重要起源 代数数论的发展同时也推动了代数学的发展代数数论是目前比较活跃的数学前 沿理论：一方面对一些古典问题得出新的结果：另一方面又不断开辟新的研究领 域代数数论的一大特点是它不但可以解决一系列整数问题，而且它的成果几乎 可以应用到每一个数学领域中 几何数论是由德国数学家、物理学家阂可夫斯基等人开创的几何数论研究 的基本对象是“空间格网 什么是空间格网呢? 在给定的直角坐标系上，坐标 全是整数的点叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网空间格网对几何学 和结晶学有着重大的意义由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的 数学基础才能深入研究 2 3 数论在数学中的地位 数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状 态，它对数学理论的发展起到了积极的作用但对于大多数人来讲并不清楚它的 实际意义 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用比如在计 算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成 果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理 来进行测距，用原根和指数来计 算离散傅立叶变换等此外，数论的许多研究成果也在近似分析、差集合、快速 变换等方面得到了应用特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近 连续量而达到所要求的精度已成为可能 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是 数学中的皇冠 因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做 4 西北大学硕士学位论文 “皇冠上的明珠 ，以鼓励人们去“摘取”虽然数论中的许多问题在很早就开 始了研究，并取得了丰硕的成果，但至今仍有许多被数学家称之为“皇冠一卜的明 珠”的悬而未决的问题等待人们去解决正因如此，数论才能不断充实和发展， 才能既古老又年轻，才能始终活跃在数学领域的前沿 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一从二十世纪三十年代开始， 在解析数论、丢藩图方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、 闵嗣鹤、柯召等一流的数论专家其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方 面的研究是享有盛名的1 9 4 9 年以后，数论的研究的得到了更大的发展特别是 在“筛法 和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩 歌德巴赫猜想是1 7 4 2 年提出的，它是解析数论的中心问题之一二百多年 来，许多数学家为之付出了艰辛的努力然而在最近的八十年间，这个问题才取 得了一系列进展，并大大推动了解析数论的发展但是这一猜想至今仍没有被证 明1 9 6 6 年陈景润证明了“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个 素数的乘积之和 ，在国际数学界引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析 数论的名作，是筛法的光辉顶点至今，这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果 5 第三章基础知识 第三章基础知识 3 1引言与定义 首先我们先给出几个数论函数的定义： 定义3 1 ： 觞6 泐函数p ( 佗) 定义如下： p ( 1 ) = 1 ， 对于n 1 ，扎= 砖1 磋2 醭。时， 俐当满足条件n 1 = 0 2 = = 妣= 1 时，有p ( 几) = ( 一1 ) 知， 一砂当不满足俐的条件时，有p ( 他) = o 定义3 2 ： 欧拉函数妒( n ) 定义为正整数上的函数，它在正整数死上的值 等于序列0 ，1 ，2 ，n l 中与佗互质的数的个数 定义3 3 ：刘维尔函数a ( n ) 定义如下： 俐a ( 1 ) = l ， 以砂a ( n ) = ( 一1 ) 口1 + + 乱，其中礼= p ：1 熊 定义3 4 ： 对于任意的佗21 ，d i n c 尼z e 除数函数仃( n ) 定义如下7 口( n ) = d d | n 定义3 5 ：若，( n ) 为一数论函数，并且具有下述两个性质? 俐有一正整数佗使得函数值，( 他) 0 ， 以砂对于任意两个互质的正整数n 1 ，n 2 有 ，( 佗1 n 2 ) = ，( n 1 ) ，( n 2 ) ， 叫做可乘函数 定义3 5 ：欧拉常数c 定义为? c = 熙( 1 + h + + 三岫g 礼) 3 2 定理及公式 下面我们给出几个定理及其证明： 6 西北大学硕士学位论文 定理3 1 ： 如果函数，在区间b ，z 】内存在连续的导函数，则有 芝二，( 佗) = ( ，( 亡) 疵+ ( t 一吲) ，7 ( 亡) 班+ ，( z ) ( z 】一z ) 一，( 可) ( 【纠一可) ， 毫， n s 霉 ，vj 材 其中m 表示不超过z 的最大整数且o 可z 证明首先令m = m ，七= m 如果佗一1 n z 我们有 仁。m 沁) 出= 詹一出 =( 佗一1 ) ，( n ) 一，( n 1 ) ) = 扎，( n ) 一( 佗一1 ) 厂( n 一1 ) ) 一厂( 礼) ， 从n = m + 1 加到n = 忌我们发现 厶八妣 知 = 礼砌) 一( n 一1 ) 肋一1 ) ) _ ，( n ) = m + l ” z 、7 第三章基础知识 其中s 1 i = 筹+ 0 ( ， 其中q 0 定理3 2 ：对于任意的数论函数n ( 扎) ，我们令 a ( z ) = n ( 扎) ， 从而当z 1 时，有a ( z ) = o 如果函数，在区间【，z 】内存在连续的导函数， 则有 。( 佗) 砌) = a ( z ) 他) 一a ( 可) m ) 一( a ( ) ，稚) 出， 翟 n s 霉 。 其中纠表示不超过z 的最大整数且o l 和任一确定的质数p ，我们有 差赤= 专 萎薹( 1 一万丢) 鬻笛掣 舛。c 两， 其中( ( s ) 表示觑e m o 咒他z e 亡。一函数 4 2 几个引理 为了证明定理，我们需要如下几个引理： 引理4 1 ：对于任一确定的正整数尼 1 和任一确定的质数p ，我们有 薹蒹砌，= 尚蒜州瘌， 其中p ( 死) 表示 彩6 t 珏s 函数 证明由胁6 i 伽函数的性质，我们有 p ( d ) = p ( d ) 一肛( d ) n s 。d 岛i nn s 。d 七i 竹p n s zd 七l p n p f n = p ( d ) 一p ( d ) + 肛( d ) n s zd 詹l np n zd 奄i n p 七n s zd 盘i n p n 1 0 西北大学硕士学位论文 锗，+ 毒驴 等z ( 1 + 专) 圳两+ 毒驴 = 訾( 1 + +( ( 忌)矿。 p ( s o 1 ) 七 + 0 ( z ) = 揣+ d ( 二_ ) = 。- ：_ 一+ f ，i ，7 ：k l ( 1 一嘉) p 门 其中s o 为满足条件矿。七 z p ( 8 。一1 ) 七的正整数 由此我们证明了引理彳j 引理4 2 ：假设r 为满足条件0 r 七一l 任一确定的正整数， 任一确定的正整数七 1 与任一确定的质数p ，我们有 p g + z ( 1 一万軎雨) ( ( g 忌+ 七+ r ) p q 2 七+ 口七+ q r + r 其中q o 为满足条件严七+ r z p ( q 0 1 ) 七扣的正整数 证明 生一薹篙 俨2 缸 口奄+ 口r + r二j 乙 1 和任一确定的质数p ，我们有 一 ( 1 一；) 2 矿葫丽 ( 1 一嘉) e ( 尼) n s 茁 e p ( n ) 三r ( m o d 七) ( 鼠( n ) ) 印( n ) 妒+ 七押 1 1 ) 篱裂卜。， 掣常 卿 = 筹 卿 吣 抛 o 第四章新的数论函数及其均值 砌西由引理名j 和引理彳2 我们有 妒o + m 霉 p m ，硝 ( 鼠( n ) ) e p ( 竹) ( 妒m ) 口七竹 矿2 奄+ 眇 矿2 屉+ q r ( 1 一；) z ( 1 一嘉) e ( 尼) = j _ _ _ o o + r m z z 纠m ，州 p ( d ) d 七忙 m 量s 寿 计m m 舞i p f m 1 7 7 l 口南+ r 1 m 口南+ r l 南 坤 石 ( & ( 妒七+ r m 七f ) ) g 七+ r 肛( d ) d 七i z p ( d ) d k l l 精+ p ( 禹嘉) ( ( 七) 矿后扣m 七。矿+ 妻m ! ! 二趁r ! ( 卜专) ( 尼) 矿惫零矿2 蚪卅卅r +0 k + z l z k 矿2 惫+ 口r + q + 量 ( 卜昙) z ：= ：一 ( 1 一击) 1 ，r 2 ，口 1 ， z 一上 只有三组正整数解：( z ，秒，r ，q ) = ( 7 ，2 0 ，4 ，2 ) ，( 3 ，1 1 ，5 ，2 ) ，( 1 8 ，7 ，3 ，3 ) 证明阻文献纠) 现在我们来证明定理5 1 令佗= 乱七移，其中钉为一无后次方因子的正整 数根据& ( n ) 与丽的定义，我们有瓯( 佗) = z ( 钉) ，瓦丽= 乱其 中z w ( 口) = p 从而由方程( 5 1 ) 我们有 ( z ( ) ) 2 + 1 + ( u z ( ) ) 件2 + + ( u z w ( 可) ) + r = u 七，( 5 2 ) ( 让z w ( 口) ) 件1 1 + “z ( u ) + ( u z w ( ) ) 2 + + ( u z w ( 秒) ) r 一1 】= 礼知，( 5 3 ) 1 4 西北大学硕士学位论文 且 ( 钆z w ( 钞) ，1 + 牡- z 彬( ) + + ( 钆z ) ) r 一1 ) = 1 ( 5 4 ) 从而，由( 5 3 ) 和( 5 4 ) 我们可以知道存在乱l 与让2 使得 珏= u l u 2 ，( u 1 ，u 2 ) = 1 ( 钍z w ( 口) ) 蚪1 = 让 ， ( 5 5 ) 1 + u z ( 口) + + ( 牡z w ( u ) ) r 一1 = u 1 ( 5 6 ) 当r 2 时，如果牡z ( ) 1 ，由引理5 1 知方程( 5 6 ) 有解 ( 乱z w ( u ) ，u 2 ，r ，后) = ( 7 ，2 0 ，4 ，2 ) ，( 3 ，1 1 ，5 ，2 ) ，( 1 8 ，7 ，3 ，3 ) ， 这与u 2iu z w ( 钉) 矛盾如果让z w ( 可) = l ，则有n = 1 ，r = 1 ，这与r 、 2 矛 盾从而当r 2 时方程( 5 1 ) 无解 当r = 2 时，我们有 由( 5 8 ) 式我们有 ( 乱z w ( 钞) ) 。+ 1 ( 1 + u z ( u ) ) = 让七， ( t z w ( 秒) ，1 + u z 彤( 口) ) = 1 ( 让，1 + u z ( 钞) ) = l ， 这显然与( 5 7 ) 式矛盾，从而当r = 2 时，方程( 5 1 ) 无解 当r = 1 时，我们有 ( u z ( u ) ) 件1 = “七， ( z ( u ) ) 件1 = u 七一 ( 5 7 ) ( 5 8 ) ( 5 9 ) ( 5 1 0 ) 如果z ( u ) = 1 ，我们有钞= 1 ，矿一一1 = 1 当一t 一1 0 时，“= 1 ， 我们有 ( n ，r ) = ( 1 ，1 ) ，t 1 ，尼2 ， 第五章包含s m a r a n d a c h e 函数的方程 当后一亡一1 = 0 时，我们有 ( 几，r ) = ( 钍七，1 ) ，钆1 ，1 = 七一1 ，七2 如果z ( 钉) 1 ，从而存在正整数s ，使得u = z 8 ( 钉) ，+ 1 = s 忌一s t s ， 所以我们有( s + 1 ) ( 亡+ 1 ) = s 七，且s + 1i 忌从而有 扎= z w 曲( 口) 移， 其中移是一无七次方因子数，且有后三o ( m o ds + 1 ) ，t = 熹一1 由此我们证明了定理5 1 1 6 西北大学硕士学位论文 第六章关于一些无穷级数的性质 6 1关于正整数的尼次方部分序列的恒等式 6 1 1引言与结论 对于任一确定的正整数七 1 与任意的正整数n ，定义数论函 数n 七( 佗) 与k ( 扎) 为： 吼( 几) = m a x m 膏：m 七扎， k ( 佗) = m i n m 七：仇七n ) 例如，当七= 2 时，则有0 2 ( 1 ) = 0 2 ( 2 ) = 0 2 ( 3 ) = 1 ，n 2 ( 4 ) = n 2 ( 5 ) = 口2 ( 6 ) = n 2 ( 7 ) = 4 ，6 2 ( 1 ) = 1 ，6 2 ( 2 ) = 6 2 ( 3 ) = 6 2 ( 4 ) = 4 ，阮( 5 ) = 6 2 ( 6 ) = 6 2 ( 7 ) = 6 2 ( 8 ) = 8 在文献【3 】的第4 0 个问题和第4 1 个问题中，f s m a u r a n ( 1 础e 教授要求 我们研究序列_ 钒( 佗) ) 和 巩( 佗) ) 的性质关于这些问题，张文鹏教授在文献 3 3 j 中给出两个有趣的渐近公式： d ( 0 3 ( 扎) ) = 嘉a 川礼3 z + b z f 佗2 z + c z f n z + d z + o ( z 3 托) ， 芝炳( 蝴= 杀删如+ 劂也砌慨慨+ 0 ( 疹九 其中a ，b ，c 与d 为可计算出的常数；d ( n ) 表示d i r i c h l e t 除数函数； 为任一确定的正数。 在这一章，我们利用初等方法来证明如下定理： 定理6 1 ：对于任意满足兄e s 2 的复数s ，我们有 薹粼= 萎帆叫泓s z ，玎卜q 夸 其中( ( s ) 表示黎曼z e 口一函数，仃( n ) 表示d i 死c 九z e t 除数函数 定理6 2 ：对于任意满足觑s 2 的复数s ，我们有 薹粼= 广州咖叫泓一叫u 卜吲窖 定理6 3 ：对于任意满足r e s 2 的复数s ，我们有 薹粼= 薹嚷器，鲁( o 七( n ) ) 8台。七( ( 后s 一七一i + 1 ) 1 7 第六章关于一些无穷级数的性质 其中妒( 礼) 为欧拉函数 定理6 4 ：对于任意满足兄e s 2 的复数s 我们有 薹粼= 静广嚷揣 由上述定理，我们立即。司以推出如下推论： 推论6 1 ：对于任意满足冗e s 2 的复数s ，我们有 ：! ( n 2 ( n ”一) e ( 2 s 一1 ) ( ( 2 s 一2 ) 时绝对收敛如果数论函数，( n ) 为 n = l ” 一个可乘函数，则有 薹警= 耳 1 + 等+ 等+ 胁 n 证明( 参见文献【1 】定理1 1 7 ) 6 1 3定理的证明 现在我们来证明定理首先我们来证明定理6 1 令d 七( 佗) = 盯( 舻) ， 则仇( 扎) 也是个可乘函数我们有 壹粼：警+ 警+ 警 鲁( 。詹( n ) ) 8 l * 象2 t1 b 。2 。象3 。2 幻3 。象4 。再 一一。喾+ n 2 时上式右端是收敛的，当觑s 2 时发散 由此证明了定理6 1 现在我们来证明定理6 2 仃( 1 七) 。 下f 十 l 七 n 1 和任意正整数砧，s m 笳a n d a c h ec e i l 函 数& ( n ) 的定义如下： 鼠( 扎) = m i n m ：佗i m 七) 这个函数由数学家s m a r a n d a c h e 【3 】提出，关于这个函数的性质，许多学者都对它 做了研究并得出了许多有意义的性质，见文献【4 】与【5 1 在文献【4 】中，i b s t e d t 得出 如下结论： 讹，6 ，( n ，6 ) = 1 号鼠( 0 6 ) = 鼠( n ) 鼠( 6 ) 和 鼠( n ) ：鼠( 衍，砖。霹r ) ：p ：警1 p 5 钢0 引， 其中陋1 代表不超过z 的最大整数 在文献【1 9 】中，李洁研究了s m a r a n d a c h ec e i l 函数瓯( n ) 的性质，并给出了 如下渐近公式： q c 跏啪= 越昭n 峒+ 。( 去) ， 其中数论函数q ( n ) 定义如下： q ( 硝1 建2 熊) = 口1 + 口2 + 一+ 口七， 且g 为一可计算出的常数 在本章，我们利用初等方法来证明如下定理： 定理6 5 ：对于任意满足条件r e s 2 的复数s ，我们有 薹踹刊班卜1 ，咿等+ 学一学 ， 其中( ( s ) 为舷e m 口扎佗z e t 口一函数，矿( 佗) 为眈死c 愚? e t 除数函数 定理6 6 ：对于任意满足条件r e s 2 的复数8 ，我们有 薹黜训s 叫u 1 + 学一身鲁( 鼠( 哟) 8 。 叫甘1 1 1 矿矿j 其中垆( 他) 为欧拉函数 2 0 曲北大字坝士字 亚论又 定理6 7 ：对于任意满足条件r e s 1 的复数s ，我们有 薹黜= 罂( 1 一嘉) ，鲁( & ( n ) ) 8甘矿 其中p ( 佗) 为a 掰觇铭占函数 定理6 8 ：对于任意满足条件r e s 1 的复数s ，我们有 耋黜= 器巧( 1 一等) ， 一= 一i - 工一一- 急( 鼠( n ) ) 8( ( s ) 甘、 矿 其中入( 礼) 为刘维尔函数 定理6 9 ：对于任意满足条件r e s 1 的复数s ，我们有 薹南刊珥( 1 + 等) 通过以上定理，我们立即可以推出如下推论： 推论6 2 ：对于任意满足兄e s 2 的复数s ，我们有 薹踹刊叫耳( 1 + 专+ 参一参) ， 耋黜叫，粤( 1 + 字) 惫( 岛( n ) ) 8。叫甘矿。 推论6 3 ：对于任意满足r e s 1 的复数s ，我们有 薹锱= 罂( 1 一；) ，鲁( 岛( n ) ) s蛩矿 o 入( & ( n ) ) ( ( 2 s ) 刍( ( n ) ) 8 ( 2 ( s ) o 1 ( 2 ( s )弋、 i o ， 鲁( ( n ) ) 8 ( ( 2 s ) 6 2 2 引理 引理6 2 ：假设妻罨字在舭s 盯口时绝对收敛如果数论函数，( 佗) 为 一个可乘函数，则有 薹掣= 耳 1 + 等+ 等一卜， 证明( 参见文献1 1 】定理1 1 7 ) 第六章关于一些无穷级数的性质 6 2 3定理的证明 现在我们来开始定理的证明首先我们来证明定理6 5 由文献f 4 j ，我们可以 推出如下性质： 地，b ，( o ，6 ) = 1 号( 瓯( n ) ，鼠( 6 ) ) = 1 由d i r i c h l e t 除数函数仃( n ) 的性质，我们可以知道复合数论函数盯( 瓯( 礼) ) 为一 个可乘函数，并且 薹踹= 9 1 + 黜+ 踹+ 嬲+ 】 = 叽萎七嬲+ 甚嬲+ 2 七鑫3 七跚+ j = 9 卜萎七等+ 七+ 羡2 七等+ 2 后悉3 七等+ i p il l 七 ， 七+ l s z 2 七 ， 2 后+ 1 z 3 七 ， l = u 1 + 学+ 等学+ 坐警地+ = 9 等搿 刈s s 叫耳 1 + 等+ 学一学 显然上式右端在满足条件r e s 2 时绝对收敛，并且在r e s 2 时发散 由此我们完成了定理6 5 的证明 同理，利用定理6 5 的证明方法我们可以完成定理6 6 的证明 现在我们来证明定理6 7 由文献【4 】及m 6 b i u s 函数p ( 佗) 的性质，我们也可 以推出复合数论函数p ( 鼠( n ) ) 是一个可乘函数，且 薹黜= 旷黜+ 勰+ 踹+ = p = p h 知踹+ 甚黜+ 2 知怎3 踹+ 1 + 1 萎詹警+ 。+ 羡2 知譬+ 2 七塞3 詹譬+ 西北大学硕士学位论文 = n p = p 爿 显然上式右端在满足条件r e s 1 时绝对收敛，并且在冗e s 1 时发散 由此我们完成了定理6 7 的证明 同理，利用定理6 7 的证明方法我们可以完成定理6 8 与定理6 9 的证明 醚分 斗 一1 i j l o 第七章小结与展望 第七章小结与展望 在o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o 璐一书中，罗马尼亚著名数论专 家f s m a r a n d a c h e 教授提出了许多有待解决的数论问题本论文主要研究了 其中的一些特殊数列及函数的均值，用初等方法和解析的方法得出了一些较好 的结果然而该书中还有许多问题期待我们去解决，需要我们进一步研究的问题 有： 定理4 1 的误差项显然不够精确，是否能得到更好的误差项是一个有待于 进一步研究的课题 这些是作者继续研究的对象彻底解决或者作出实质性的进展将是我们最终 的目标1 2 4 西北大学硕士学位论文 参考文献 【1 】t m a p o s t o l ，i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y ，n e wy 0 r k ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 6 2 1t m a p o s t o l ，m o d u l a rf u n c t i o n sa n dd i r i c h l e ts e r i e si nn u m b e rt h e o 吼 n e w y o r k ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 6 【3 】f s m a r a n d a u c h e ，o n l yp r o b l e m s ，n 0 ts o l u t i o 璐，c h i c a 9 0 ，x i q u a np u b l i s h i n g h o u s e 1 9 9 3 【4 】i b s t e d t ，s u m n i n go nt h eo c e a no fn u m b e 卜af e l ws m a r a