（基础数学专业论文）一、二维球面乘积的连通和的映射类群.pdf

x8 6 8 9 9 3 繁都耀范大学位论文撩鲷性簿躜 本大超重声蹦：掰量交静学位论文，是本久在导师的指簪下，独立进行研究 工作新取得的成栗。除交串已经波翡零i 用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出羹要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：俅耖j 、 曩戴：2 0 0 6 年0 4 是1 7 露 蓄耨帮范j ：学位论文鬣狡浚焉声弱 本入宠全了解首都筛范大学有关保留、使用学位论文的兢定，学校有权缣留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电予版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馏被套阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据摩进行检索。有权将学位论文的标题和摭要汇编出 版。保密的学位论文在解密瑶适用本规定。 学位论文作者签褒：i k 爰、 强搿：2 0 0 6 年0 4 旁1 7 蟊 硕士学位论文；一、二维球面乘积的连通和的映射类群 摘要 s 1 铲是素的有本质= 维球面的三维流形，是一种比较重要的三维 流形。本题目主要讨论s 1 s 2 的连通和的映射类群，它的群结构通过 这些研究我们可以更好的了解s 1x s 2 及其连通和的拓扑 s 1x s 2 的映射类群为磊。疡是早就证出的一个结果j h r u b i n s t e i n 已经把闭的、不可约的包含k l e i n 瓶并且基本群有限的这样一类三维流形 它们的映射类群各是什么样子都已给出了证明对于可约流形，d a r r y l m c c u l l o u g h 证明了这样一条定理z 假设m 是一紧致连通的可定向的三维 流形，则m 的任意保定向的自同胚均可由下面四种自同胚符合而成t 保连通和同胚，s 1 铲因子自旋。交换连通和同胚，滑动同胚要对 s 1 s 2 # s 1x s 2 的映射类群给出一个结果，一个自然的想法就是先计算这 四种自同胚的同痕类有几个，看看是否是子群，最后由d a r r y lm c c u n o u g h 的定理给出s 1 s 2 眵1 s 2 的映射类群。本文就是先对这四种自同胚作进 一步的研究，找出几何上比较简单的生成元，给出它们的关系及映射类 群结构，最后给出前三种自同胚的映射类子群结构 关键词：三维流形、连通和、映射类群、同痕类、滑动同胚 ：! ：熏三兰釜鎏塞：= ：三耋登塞叠耋璧兰要耋蹩璧墼塞矍 a b s t r a c t t h e3 - m a n i f o l ds 1xs 2i s8p r i m eo n e b u th a se s s e n t i a l2 - s p h e r e s i ti s 啦 i m p o r t a n t3 - m a n i f o l dt h a tw a ss t u d i e dm u c hm o r e i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h e g r o u ps t r u c t u r eo fm a p p i n gc l a s sg r o u po fc o n n e c t 8 ts u mo fs 1 擎f r o mt h e s e s t u d y i n g , w ec nu n d e r s t a n dm o r ea b o u tt h ec o n n e c t e ds u mo fs 1xs 2a n dt h e i r t o p o l o g i e s 髓em a p p i n gc l a s s 秘u po f 参i s 磊毋磊h a sa l r e a d yb e e no b t a i n e d ，0 h 。r u b i n s t e i nh a v eo b t a i n e dt h em a p p i n gc l a s sg r o u p so ft h ec l o s e d ，i r r e d u c i b l ea n d o r i e n t a b l e3 - m a n i f o l d sw h i c hc o n t a i nk l e i nb o t t l e sa n dh a v ef i a i t ef u n d a m e n t a lg r o u p s a n df o rt h er e d u c i b l e3 - m a n i f o l d s d a r r y lm c c u l l o u g hh a v ep r o v e dt h a t ；i f mi s8c o m p a c tc o n n e c t e do r i e n t a b l e3 - m a n i f o l d ，t h e na n yo r i e n t a t i o n - p r e s e r v i n gh o m e o m o r p h i s m mi si s o t o p i ct oac o m p o s i t eo ft h ef o l l o w i n gf o u rt y p e so fh o m e o m o r p h l s m s ：h o m e - o m o r p h i s m sp r e s e r v i n gs u m m a n d s ，i n t e r c h a n g e so fh o m e o m o r p h i cs u m m a n d s ，s p i n so f s 1 s 2s u m m a n d s ，s l i d eh o m e o m o r p h i s m s 。i nt h i sp a p e r ，w ew i l l 群珊8c a l c u l a t i o nt o t h em a p p i n gc l a s sg r o u po fs 1 铲l s l s 2a c 。：r d i n gt od a r r y lm c c u l l o u g h st h e o - r e i n w ed ot h ef u r t h e rs t u d yo nt h e s ef o u rt y p e so fh o m e o m o r p h i s m si nt h ec a s eo f s 1 s 2 # s 1 舻，l o o kf o rs o m es i m p l eg e n e r a t o r s ，a n dt r yt og i v et h er e l a t i o na n dt h e s t r u c t u r eo fm a p p i n gc l a s sg r o u po fs 1xs 2 & s 1 铲f i n a l l y , w ep r e s e n tt h eg r o u p s t r u c t u r eo fm a p p i n gc l a s ss u b g r o u p so fg e n e r a t e db yt h ef i r s tt h r e et y p e sh o m e o m o r - p h i s m s k e y n ) r d s ：3 - m a n i f o l d ，c o n n e c t e d 毹，m a p p i n gc l a s sg r o u p ，i s o t o p yc l a s s ， s l i d eh o m c o m o r p h i s m 硕士学位话盘。一、嚣维球面乘积的遗遭和的映射类群 3 引害 一个三维流形m 称为是豢的，如果m = 帆# ，则m a ，m 2 中至少有 一个丽嚣于三缝球嚣舻鑫k n e s e r f a 成o r i z a t i o n 理论淄，任意个紧歉静 三维流形都可以写成有限个索的三维流形的连通和的彤式在可定向的 壤浣下，不霹骚子懿连逶饔毽子在苓考虑次枣懿媾嚣下燕难一确建秘 4 】在不可定向的情况下，如果不可定向，由于# s 1 s 2 一# 弘爱s 2 。 熨不霹经手妒戆连遥孝龚逸予纛苓考虑次亭秘攮援下也是噻一骧定戆，其 中s 1 茁s 2 是s 1 上不可定向s 2 然m 是一个三维流形，s 是肘中一个二 续球霹，如果s 不是槲中一个实心球的边界，剥称s 是掰中戆本质二维 球面，若m 中没有本艨的二维球面就称m 是不可约的，否则，称埘燕可 约的。对于不可约流形和素流形有如下关系：不可约三维流形是素的，反 之，一个惩的w 定向的素三维流形或者不可约，或者简胚予s z s 2 f 3 1 。 所以研究好s 1x 铲及其连通和的拓扑可以更好的了解三维流形 萨xs 2 静沃翦类群是面国面楚早e 知道鹩结果。若三维流形酶蕊本 群是有限的，则它的映射类群已经计算出其结果1 1 j h r u b i n s t e i n 已 经把阏酶、不霹终静毽含k l e i n 瓶弗爨基本辩有限静这样一类三维流形 它们的映射类群是什么样子都已经给出了结粜。 辩于胃约滚夥，纛翔d m e c u i l o u g h 在蔺审鹫蠢美子三维滚形魏浚翦 类群的研究主要有以下几个方面 ( 1 ) 箨( 掰) 到0 蝣( # i ( 掰) ) 在鑫然麓态费一磊下鳇毙较， ( 2 ) 关于一些有限的几何定义的同胚的映射类的描述。 ( 3 ) 美予头射类群是鸯限静接遴：寿袋表褒及骞限生羧。 d m c c u l l o u g h 还诚明了下面一个定理：任一定向兰维流形的保向自 楚胚郝冒峦下嚣嚣秽鑫醒怒菠会瑟藏；穰连遘穗嚣耧，s 1x 轳医子塞 旋，交换连通和同胚，滑动同胚 设s 是嵌入在掰戆内部戆一个二维浆霹，舻f 是s 静一个黍援邻 域的坐标表示，令f 虮( s o ( 3 ) ，i d 肿) ，且r 不怒丌1 ( s o ( 3 ) ，t d 舻) 的单位冗， 4硕士学位论文：一、二维球面乘积的连通和的映射类群 冉：m m 定义如下； ( z ，t ) = ( r ( t ) ( z ) ，t ) ( 。，t ) s 2 x j ， ( 口) = yyg s 2 ， 则称 为关于s 的一个旋转。 人们已经得出h o m e o ( s 2x i r e l s 2 o i ) 有两个同痕类，一个同痕于恒 同映射，一个同痕于关于球面s 的旋转我们可以证明，s 1 s 2 姻1 s 2 的保连通和同胚可以由s 1 铲# s 1 s 2 的连通和因子印i 及簧i 做关 于上面定义的旋转复合而成又由h o m e o ( 铲i r e l 铲o i ) 有两个同痕类 的结果我们可以证明s 1 铲8 s 1 s 2 的保连通和同胚的同痕类组成的集 合是一个群，同构于z 2o z 2 。然后证明出s 1 s 2 l i s l s 2 的s 1 舻因子 自旋的同痕类组成的集合是伊s 2 4 s 1xs 2 的保连通和同胚的同痕类组 成的群的一个陪集，s 1 s 2 # s 1 妒的交换连通和同胚的同痕类组成的 集合是前面两个集合的并的陪集，最后得出这三种自同胚的同痕类构成 的映射类群的子群。 本文的主要内容是计算s 1 s 2 4 伊s 2 的映射类群，在s 1 s 2 # s 1 s 2 上对上面d m c c u u o u g h 的三个问题中的后两个问题做了回答，即；找出 了s 1 s 2 4 s 1 s 2 的前三种自同胚的同痕类在几何上比较简单的生成元， 以及这些生成元所生成的映射类子群。文章第一章简单介绍本文所能用 到的一些定义及定理第二章介绍了关于s 1xs 2 l s l s 2 的保连通和同 胚，s 1 s 2 因子自旋，交换连通和同胚，滑动同胚这四种自同胚的具体 定义并且讨论前三种自同胚的同痕类，找出几何上比较简单的生成元， 最后给出了前三种自同胚生成的映射娄子群结构。 硕士学位话搬t 一、= 维球曲乘积的避遗和的映射类群 - 5 ， 第一睾磺备知谖 窀义1 , 1 ( 兰维流辩) ( 羧第4 鼹) ；一个胃努瑟度撼空簿掰，鳓聚艇主静 每一熙都嗡一个开邻域同胚予兰维欧氏空间触竣r 罩一和彬：0 】， 爨穆越是一令三维蔑澎。 褒义1 2 ( 蓬逶牺( 臣蘩麓瑙) t 浚掰，强，璃是浚遴戆兰维 滚影，溉c 鑫蟊i * i ，2 ) ，翔暴移农嵌入块瓣瓤：鳆一f 婚溉一掰， 满足；h i ( m 1 一i n t b l ) nh 2 ( m 2 一i n t 翰) = h i ( o b i ) = h 2 ( o b 2 ) ，并且m = h i 旋i u t b i ) u 拖( 娥一x m b 2 ) 我弱辘转翦是城，蝎爨连遗鞠，记撑， m = 矗 耘。 宠义1 3 ( 素流黝1 3 ，第2 7 竭) ：膨是一个三维流形，糟m = 溉# 娼 砌m 1 ，鹏审必有一个是兰缳球蕊，粥称吖是一个索酶三雅流形。 囊溪1 1 洚，纂3 l 竭) t 茌塞一令蘩致懿三缝藏黟罄爵瓣萼残害袋 个素瓣三雅流形静涟邋糯酶璐式 定义1 4 ( 可约流艄：m 是一个三维流形，s 是m 中个二维球 嚣，热浆嚣苓蔗掰中燕心簿麓逮器，爨舔s 燕科孛瓣本霞= 绻豫嚣，若 掰孛澄骞零覆二维蘸蕊藏称掰是不霹约懿，否粼，舔掰蹙冒终戆。 滗毽1 2 不可翁曼绻巍影是索瀛澎，反之，一令游酶毒懋嶷懿索三缝 流形戏者不可约，或鬻同胚乎s 1x 舻 定义1 5 耢 羲蘩3 1 嚣) t 一个攀窒集奢g 澍予一串嘲袋涟秘莰数 运算采说作戚一个释，如果满足； ( i ) g 黠予乘法寒淡楚戆戆。 ( 2 ) 缭套律成立，口( 嘲* ( a b ) c 黠g 戆任意嚣索戳6 ，e 都戏立。 ( 3 ) 搿艇毒一个革悠元e ，使褥档一。黯g 鳃谯侮元。蘩藏立。 ( 4 ) 对g 照任意个元a ，在g 照有一个逆张a “使得。一o = e 。 定义1 6 ( - 7 - 墓懿( 鹣露6 1 璃) ；一个器g 秘一令子爨嚣鹾皴g 懿予赘， 鼗热辩黠乎露懿黎法索滋终纛一伞释。 6 硕士学位论文：一、二维球面乘积的连通和的映射类群 定理1 3 ( 子群判定定理) ( 【6 ，第6 2 页，定理1 】) ；一个群g 的一个不空 子集日作成g 的一个子群的充要条件是z ( 1 ) a ，b h = o b h ( 2 ) o 日辛。一1 h 证明；由( 1 ) 知日对于乘法来说是闭的。结合律在g 中成立，在h 中也 成立日非空，至少有一个元素n ，由( 2 ) a _ 1 h 。又由( 1 ) 得a - l a = e 日， e 就是单位元由( 2 ) 得日的任意元a 在日里有逆元a ，使得a - l a = e 。 口 定义1 7 ( 半直积) ( 【1 0 ，第2 5 冈) t 设群g i = g l 。 ，g 2 = 卯口) ，g 1 的 自同构群为a ( g 1 ) ，v a ( g i ) 如果存在一个把g 2 映为a ( g i ) 的同态映 射。 $ ：g 2 一a ( g 1 ) 9 2 p “u 8 则可以定义g 1 和g 2 的半直积群g ，g = g i ”tg 2 g 的元素乳口可 以唯一的写成站口= ( g l a 9 2 口) ，其中m 。，9 2 8 为有序的g 的乘法定义为 9 a 卢，= ( 9 1 。9 2 口) ( 9 1 口，9 2 ) = ( g l a v 9 2 口( g l o ) 卿9 2 ) 下面我们介绍一下自由群、生成元以及关系的定义。 s 是一个非空集合，设s = 。，6 ，c ) ，任意一个有限长的序列t l $ 2 甄其中z 1 ，x 2 ，s 称为一个字。令s 一1 = a ，b ，c _ ) ，s = s us 一w 是由s 的所有的 字组成的集合对于中任意一个字”= y x x z 我们可以把z ，x - 1 消去，得到”= y z 。如果”不能再做这种消去就称w 为简化的。我 们称中两个字”、w 是等价的，如果它们有相同的简化形式，记为 w w ，这是一个等价关系这样就把中的元素分成不同的等价类。 定义1 8 ( 自由群) ( 7 ，第2 1 9 页】) - 令f ( s ) 是由这些字的等价类组成的 集合，这个集合对于以中元素的组合作为运算构成一个群，这个群叫 做由s 生成的自由群 硕士学位话文：一、= 维率葫乘积的连通和的映射类群7 设f ( s ) 是由s 一 5 焉 生成毂塞出群，g 是一个群，任意一 个映射，：s g 可以唯一的扩充成一个瓣感态妒：f ( s ) 一8 。虫曩皋 ，( g ) 一面v s ，则妒亍巴s * 。，b ，b - 1 ， 的宰相应的映刘墨，再，蕞再， 中元素的乘积。 定义1 9 ( 生成元及关系) ( 【7 ，笫2 2 0 页】) ；如果从s 生成的自由群到一 个群g 的映射妒是满射。就说s 生成群g ，s 中的元素叫做生成元。这 时由第一简态定理( 1 2 】) 可得g 磐f ( 司k e r 妒，k e r 中的元素叫做g 的关系 一个集合咒= n ，r 2 ， 叫做定义关系，如果rck e r ，并且k e rc p 魁 包含捉的最小的难规子群。 下面我们介绍自同胚群的定义。我们以o m e o ( m ) 记的所有自同 强映射组成酌集龠。 宠理1 4 ：集合h a m e o ( m ) 以映射的凝合作为代数运算椅成一个群。 诳萌-( i ) 这个集合非奎，( 恒丽映射属于h o m e o ( m ) ) 。 ( i i ) h o m e o ( m ) 对予此代数运算封闭。由同胚映射的性质知若 、，2 为葡瓶映射，弼 。克仍为茼胚浃射 ( 竭代数运算满足结合樟；因为 。( ，2 。，3 ) ( ) 一a ( 2 ( 3 ( x ) ) ) ，( 。 南) 。盎( 。) 一1 ( 矗( ，3 ( 。) ) ) ，新戳有 o ( 矗。两) 一( 。，2 ) 。矗 ( i v ) 有单位元t ( 僵两浃莉邵为单位元) ( v ) 辩于h o m e o ( m ) 串任意的元素有道元t ( 即同胚映射的逆映射) 。 南群豹定义翔h o m e o ( m ) 是一个群。 口 意义1 1 0 ；上面的这个群就研傲肘的自阐碰群 下面我f f ) 介绍硝的傈定向商同陪群的定义。我们以h o m e o + ( m ) 记 掰的所有保定向裔同胚浚射组成的集合 纛瑾1 , 5 ：集合h o m e o + ( m ) 以映射的复合作为代数运算构成h o m e o ( m ) 的一个子群 禳磅t ( i ) 这个巢合菲空。( 恒同映射傈定向属于h o m e o + ( m ) ) ， ( i i ) 由同瓢浃射的住蔗知蓿 、，2 为保定向阉胚映射，剃 。，2 仍为 傈定尚蠢憝浃射帮t 矗，壳h o m e o + ( m ) 可以推出 。矗h o m e o + ( m ) 。 8 硕士擎位论文：一二维球面乘积的连通和的映射类群 ( i i i ) h o m e o + ( m ) 中任意的元素毒递炎。哭蔟涯骥若f h o m e o + ( m ) 粼 ，一1e h o m e o + ( m ) 。蹦为f - l f = d 掰薅f 与i 妇均为僳定向螅映射，所以 ，。也是保定向的映射，既f 一1 h o m e o + ( m ) 。 虫子群判定定理得h o r a e o + ( m ) 是一个群。 口 定义1 1 lt 上面这个群靛h 傲财的保定向囊月胚嚣。 定理1 6tm 的所鸯积恒同映射月痰的皇疑胚梅成一个群，这个群 熬h o m e o + ( m ) 的子群。 证明；( i ) 先证如果矗、焱均耱憾同映射l d 矗f 同痰，贝! l 是。是也与 i d u 同痕。 设 、，2 和憾同映射i d m 的嗣痕映射分别为f 、g ，即：f 如，0 ) = 轰、 f ( x ，1 ) = i d m 、g ( 0 ) = 如0 ) ，a ( x ，1 ) = t d f 。 令f ；g o f ，则费( z ，0 ) = 9 。，( ) 、j ；( 戤1 ) = g ，f 为g o f 到g 的同痕， 又g 与i d m 同痕，由同痕的传递性得g 。f 与i d u 同痕。 同理构造舀一f 。g ，可证f 。g 与i d m 同痕 ( i i ) h o m e o + ( m ) 中任意的元索有逆元。需诞若，与恒同映射i d m 同痕， 则f - 1 也与如同痕。设，到恒同映射i d m 的同痕为日。令嚣一h _ 。，贝4 青为f - 1 到i d m 的一个同痕映射。 由子群判定定理，这个群是h o m e o + ( m ) 的予群。 口 我们把这个群记为h o m e 咕( m ) 定理l ，7 ：h o m e 对( m ) 为h o m e o + ( m ) 的正规子群。 证明，坳h o m e o + ( 村) ，f h o m e 对( m ) ，则，与恒同映射i d m 同痕， 设同痕映射为h ，令膏。g h a ，则膏为从p 一1 剡确悼的同痕。所以 h o r n e o ( m ) 为h o m e o + ( m ) 的正规子群。 口 定义1 1 2 ( 映射类群) tm 的保定向自间胚群h o m e o + ( m ) 模去正规 予群h o m e o j ( m ) 所得到的商群h o m e o + ( m ) h o m e o + ( m ) 。叫做m 的映射 类群 下面介绍一个映射类群的等价定义。对予吖的保定向的自同脓 群h o m e o + ( m ) ，两瘾是其上个等价荧系，利用葡痕这个等价关系对 硕士学位诧文= 一、二罐球赫乘积的遗通和的映籽燕群 - 9 h o m e o + ( m ) 进行分类，即；蛰，与9 阉痕，则，与g 瘸子一个厨痰类，包 含，的同痕类我们记作国，即； 毋= g h o m e o + ( m ) 慝瘊予， 。 孳l 理1 1 一如果，与g 同痕，砌c l = 岛。即，闷痕于9 锌c l = 岛 谥胡a 设，同痕于9 ，v h 岛。刚9 同痕于h ，叉，同痕于h ，剜 ，掰痕予h ，所以h c s ，邵得tqs 四简理可得c s 所以有 c g = c 1 o i | 理1 2 ；籍果留，岛有公共元素h ，瓣c s = q 诚鹋；h 回，猁有，阍瘊子h 。h 岛，弼有9 简痕于h 。所以有 ，溺瘦予。群戳蠢弓l 耀1 1 有；c s = 岛， o 由弓| 壤i i ，萼 鬟1 2 ，玎h o m e o + ( 掰) ，瘸予盈廷属于一个阔痕 类+ 这撵我捐艘砖h o m e o + ( m ) 糖逑了一个新戆集合，记为t7 t ( m ) ，它静 元素为按怒痰分类毂每一个鹅痰类。 鑫题1 1 ：u ( m ) 为一个群，其中钱数运算必g 岛一。 渡弱；( 1 ) 这个集合非空。白。u ( m ) 。 ( 2 ) 代数运葵对予结合律戚立t 因为c f 岛魄) = c f h ，( g c g ) c hxo 氟， 厨以鸯毋( 岛瓯) 。( c s 岛) 晚， ( 3 ) 舂单位元tg 魏即戈单像元， ( 4 ) 吖q 毒遴元t 岛即势哆瓣避元。 虫群瓣定义，u ( m ) 势一个群。 蕊 会题1 2 t 7 ( m ) 与h o m e e + ( m ) h o m , e o + ( 挞) 露辏。 谨翡；姆逡映射； 妒：h o m e o + ( m ) 一艇( 艏) | 一c 盛然这个狭射是满莉，爻母( ，们一q 9 = q q = 毋( ，) 国) ，所班这个映 射是溺态。 1 0 硕士学位论支t 一、二维球面乘积的连通和的映射类群 又赶掰) 斡辈缆元为q d 。，为与憾蓠淡射弱瘢静等徐类，剩它在淡 射母对应的原像裁是冬蠖凌映魅麓痰静辑毒豹h o r n e o + ( m ) 懿元素，帮 = 魏妇。由第一丽悫宠理凑zh o m e o + ( m ) h o m e o 善耐) 垒裂( 膨) 。 所以妊( 掰) 也是艇戆映射类群 蟊 下瘫奔缓一下霹个s 1xs 2 连潺餮戆记号。令m s 1x 舻l 笋s 2 ， 是【3 】中对可约菠夥的襁遣( f 3 ，第9 瑚) 我嬲露蛔，艇露鸯三部努组 成，其中两部分m 1 ，蝎同麟于s 2 j 。不妨设冠脎的坐撼函数势； _ “l ：s 2 ，_ 胍，抛：s 2 j _ 飓。记冀j 皇m ( 8 2 x i ) ，躔i 垒舻2 ( 妒f ) ， 则m = 伊s 2 心1 s 2 = 霹i u w u 罐，其中w m 一( 簧i u 锈d 。 图形如下； 则艏的坐括表示必 筵串扣，y ，z ，t ) 铲j ，p 鸯w 孛的点。 为了方便，本文记$ i o 垒研x o ) ，韪1 皇研 l ，鲍。垒蹬 0 岛i 垒麓 l 5 鲈 ， 轳 w q “ “ 芦 p p ，fllill，_iliit 硕士学位论文t 一、：维球面乘积的连通和的映射类群 1 1 第二章铲s - 炉s 1 的映射类群 2 1 四种自同胚的定义 定义2 , 11 ( 保连通和同胚) 【2 ，第1 0 页 t ，h o m e o + ( m ) ，若，满足以 下条件，则称，为m 的保连通和同胚 ( i ) i ( w ) = w ， ( i i ) ，( ) = s qi = l ，2j = 0 ，1 我们把所有m 的保连通和同胚组成的集合记为l ，即t n 1 = ，h o m e o + ) l y ( w ) = 彬，( ) = s i ji = 1 ，2j = 0 ，1 ) 定义2 1 2 ( s 1x s 2 因子自旋) 【2 ，第1 0 网，h o m e o + ( m ) ，若，满足 以下条件，则称，为m 的s 1 s 2 因子自旋。 ( i ) ，( ) = w ， ( i i ) ，( o ) = 1 ，( & 1 ) = s i oi = 1 ，2 我们把所有m 的伊s 2 因子自旋组成的集合记为2 ，即： n 2 = ，h o m e o + ( m ) l f ( w ) = m ，( & o ) = 最l ，( s 1 ) = 鼠oi = 1 ，2 定义2 1 3 ( 交换连通和的同胚) 【2 ，第1 0 页 一，h o m e o + ( m ) ，若，满 足以下条件，则称，为m 的交换连通和的同胚 ( i ) i ( w ) = w ， ( i i ) f ( s f ) = s g ，( 岛j ) = s x i 。 我们把所有m 的交换连通和的同胚组成的集合记为3 ，即； 3 = ，h o m e o + ( m ) l ，( ) = 彬，( 研j ) = s g i ，( 岛d = s i ) 定义2 1 4 ( 滑动同1 t 丕) 1 8 ，第1 7 2 页】；s l o 是m 中一个本质的球面， 设o ：i m 为m 上一条道路，满足： 1 2 硕士学位论文，一、二维球面乘积的连通和的映射嶷群 ( i ) a ( ，) n 取。一 。( o ) ，a ( 1 ) ， ( i i ) v l ，0 2 j ，裁l t 2 ，则考a ( 1 ) a ( t 2 ) 。 在m 中选取a ( 砖u 最e 黪嚣令芟剥邻域，”，( n n “) ，裂 i n t ( n ”一n ) 由题郝分组成，这鼹郝分分别秘s 2 j 及t 2 j 围魅，把鹱一 个记为r ( $ 1 0 ，a ) ，设从t ( s l o ，a ) 到t 2 j 的坐标函数为；e ：t ( s 1 如a ) 一t 2 x i 。 合： ) ：卜1 ”鲡删当一。( 脚固醯a ) 时 l 。 其它 则此映射称为m 的一个滑动同胚，记为h ( s ，o ，o ) 。 2 2凡个有掰静定瓒 下匿套绍呵终三缀液澎懿三个定理。 定理2 2 1 ( 霹约三流形的曩殛分类定理) 鞠； 紧致遂运妁可定囊懿三绻漉澎耐翡浚瓣类释哥赉下蓄辩释鑫簿胚 躬鼷痕类生残t ( 1 ) 保连道巍麓题，2 ) s 1 s 2 嚣予叁疑，( 3 ) 交按连遴帮 的同胚，( 4 ) 潦动固胚。 定理2 2 + 2 3 l ：如果艇懿每个不可约分支的映射类难是寿隈生成群， 则m 的映射类骐也是鸯限生成的。 定理2 2 。3 引：w 的任意两个像定起黪羼黢都鼹痰，当显仅当宅弱对 的边界分支构成的集合诱导出糖同的置换。 2 3前兰种裔同胚的同疲类 一、铩连逶帮淹越静麓瘊黉 先介绍一个定义； 定义2 3 1 ( 关予球蕊s 的旋转) i 3 】 硕士学位论文：一、二维球面乘积的连通和的映射类群 1 3 设s 是嵌入在m 的内部的一个二维球面，s 2 f 是s 的一个乘积 邻域s ( s ) 的坐标表示，设坐标函数为p ，令r r l ( s d ( 3 ) ，i d r 3 ) ，且r 不是 ”1 ( s o ( 3 ) ，i d r a ) 的单位元， 定义如下。 l ( p ( z ，t ) ) = 肛( r ( t ) ( z ) ，t ) 肛( 。，t ) ( s ) i ( ) = yy 掣e ( s ) 则称 为关于s 的一个旋转。 引理2 3 1 1 2 】th o m e o ( s 2 i r e l s 2 以) 有两个同痕类，代表元分别是 i d s 。，以及关于s 2 的旋转 引理2 3 2 ，v ，l ，则3 9 h o m e o + ) ，使得g ( z ) = 。v x w ，且 ，9 同痕。 下面我们构造m 上的两个映射 ，凡t ，。：j n ( f ) ( 2 ，口，2 ) f t ) p l ( $ 口，z t ) 研， l 卢。( z ，。，t )肛2 ( z ，掣，；，t ) s 2 j 凡= 兰：二：，：l ! _ ：二2 二三! 二。， ：! ：竺主兰竺丝耋：= ：三竺堡苎墨窑丝耋垩耋竺喳墼叁登 由研的定义，嘶可由以下四个集合组成t 嘶1 = ，q i ，( z ) = zv x 霹j ，( 砰，) = 钾，i 钾j 不同痕于t 如 j ) i 2 = ，嘶l ，( 。) = zv 2 s x j ，( 鹾d = 锷x j ，l 磅。j 不同痕于证暗。， 叫3 = ，m i ，( g j ) = 砰，( 镑j ) = 磴，曲j 不同痕于 d s m ，l 罐， 不同痕于树踺。f ) 叫4 = ，州i ，( 蹬，) = 研xj ，( 罐，) = 踺j ，同痕于t d m ) g 嘶l 时，设 9 = p 2 ( z ，y ，z ，t ) 则g k 。f 不同痕于试i 岛j ，由引理2 3 1 ，g l 砰f 同痕于 i s x ， 设h 为从g i 霹。，到矗l 毋。，的同痕，令 则豆为从g 到 。的一个同痕，即g 同痕于 同理可证： 均州2 ，有9 同痕于允 v g 叫3 ，有9 同痕于 厶 由m 4 的定义知，v g 嘶2 ，则有9 同痕子i 如 所以对叫，必同痕于凡，岛、，t 。凡、i d m 其中之一 口 ： ；毛 p 0 矾， 蹦 ，lilj(1l-_【 l i h 硕士学位论文：一、：维球面乘积的连通和的映射类群 1 5 这个定理说明，保连通和同胚的同痕类有以下四个 ，= l ir l r l ( h o m e o + ( 钾) ，t 8 研) ，r 不同痕于记矸 c m = 知l i6 _ ，r l ( h o m e o + ( 岛) ，t 8 罐) ，5 不同痕于i 4 霹) ： c f ，l h = c | ，1 c h 、 倪如= ，n 1l ，同痕雨) 二、s 1x s 2 因子自旋的同痕类 引理2 3 3 9 j ：如， ：x y 均是连续映射，h 是从，o 到，1 的同 伦，选取x 中基点z ，0 ( 。) = y o ， ( 。) = y l ，r ( t ) = h ( z ，t ) 是从y o 到y 1 的道路，则下列图表可交换： 。l ( x ，。) 旦堡。l ( 如) 沁产 ( ，1 ) + l ( r y l ) 即哗。( 1 0 ) - = ( f 1 ) + 其中 ：7 r 1 ( x ，z ) 一 l ( r y ) 一【，o 司 哗：1 ，) _ 1 ( x ，。) 【7 一【r 7t 】 令n ：s 儿j w u 醴i 一研儿j u 趣 p 1 p 灿2 一z y ： z ，y ，2 ，t) 舰( 墨，y ，毛t ) 砖， 映射如下图：绕轴旋转1 8 0 度 口 1 6 硕士学位论文t 一、二维球面乘积的连通和的映射类群 妒2 ：钾x 儿j w u 镌x j 一研x ，u w u 踺， p l ( z ，y ，z ，t ) p l ( ，口，= ，t ) s xi p p 2 ( 一z ，y = ，1 一t ) p 2 ( z ，y ，。，t ) s 2 j 映射如下图，绕轴旋转1 8 0 度 旋转1 8 0 度 贝0 有l p l ，妒2 n 2 ，且l p ；= 鹤= i d m 引理2 3 4 ：饥，l p 2 与i d m 不同痕 证明t 反证，假设妒1 与i d m 同痕，则同伦，妒l 、i d m 分别诱导基 本群同态： ( 忱) + ：7 r 1 ( m ，z ) _ ，r l ( m ，$ ) 硕士学位论文t 一、二维球面乘积的连通和的映射类群 1 7 ( i d m ) + ：r l ( m ，$ ) - i ( m ，。) 其中z 是中一点并且满足妒1 ( z ) = z 设日：m j m 为从钆到i d m 的同伦，令：r ( t ) = h ( x ，t ) lb l ( 2 t ) 当0 t 1 2 时 l 6 0 ) = b 2 ( 4 t 一2 ) = ( o ，0 ，1 ，4 t 一2 ) 当1 2 t 3 4 时 l lb 3 ( 4 t 一3 ) 当3 4 t 1 时 其中0 1 为从z 到研，上点m ( o ，0 ，1 ，0 ) 的道路，a 3 为从m ( o ，o ，1 ，1 ) 到。的 道路，a 2 ( t ) s ，。b l 为从z 到鲤j 上点p 2 ( o ，o ，1 ，o ) 的道路，b 3 为从 p 2 ( o ，0 ，1 ，1 ) 到x 的道路，6 2 0 ) 磅，。 图形如下： 则丌1 ( m ，x ) 为由 a 油) 生成的一个自由群。由引理2 3 3 ，取定r ( t ) = 日( z ，t ) ，对 l q ( m ，z ) 都有【l p l0 7 = 【r ( i d m0 7 ) r ，不妨取m = a ( t ) ， 则： 1 8 - 硕士学位论文：一、= 维球面乘积的连通和的映射类群 妒t。，ct，=妒-。ct，=兰ii；：c。，。，sat，三；i!兰i 其中o i w 为从z 到p l ( o ，0 ，1 ，1 ) 的道路，由w 为单连通知n ；与o i l 定端同伦吐w 为从p l ( o ，0 ，1 ，0 ) 到z 的道路，与i 1 定端同伦，又因 为口；( 3 4 t ) = a 2 ( 1 一( 4 t 一2 ) ) ，所以o ；= 口i 1 ，所以_ p lo o 同伦于。一1 ，即： 旧1o0 3 = 【n 一1 j 。又【下一1t ( i d mo n ) t 1 = 卜一1 n f 】，所以【a - - 1 】= i 下一1n7 】， 因为”1 ( m ，z ) 为由( n ，6 ) 生成的一个自由群，r 7 r i ( m ，) 。所以r 可写成 n b j a 的形式，r 一1 = a - k b j a 一。又( o 一1 】= r 一1 a 丁1 ，所以等号两边 a ，b 的指数和应该相等。又左边a 的指数为一1 ，右边。的指数和为1 ，矛 盾，所以妒1 与i d m 不同痕 同理可证妒2 与i d m 不同痕口 引理2 3 5 ；f ，9 ，妒：m m ，若，9 同痕，则_ p o f ，妒0 9 同痕。 证明； 设t h ：m i m 为从，到g 的同痕，则膏( 霸t ) = _ po h ( x ，t ) 即为从妒o f 到妒o g 的同痕。 口 定理2 3 2t v ，n 2 ，则，必同痕予以下1 2 个同胚之一- 妒1 ，l p l ，n ，l p l 岛，妒l ，f l 凡， 垆2 ，l p 2 ，丁1 ，妒2 凡，妒2 矗1 岛， 妒1 妒2 ，妒l l p 2 厶，妒l 忱岛，妒l 妒2 如 证明： 由2 的定义，2 可由下面三个集合组成， 2 1 = f 2i f ( s l o ) = s n ，f ( 8 1 1 ) = s l o ，( 岛o ) = s 2 0 ，f ( s 2 1 ) = 岛1 ) 2 2 = ， bl f ( s 2 0 ) = & 1 ，( s 2 1 ) = s 2 0 ，( 研o ) = $ 1 0 ，( s 1 1 ) = s n n 2 3 = f l ，( 是o ) = s n ，f ( s n ) = s m ，( 岛o ) = 岛1 ，( 岛1 ) = 岛o ) 硕士学位建文；一、二臻簿函乘积妁连运和转疆毒 类群 1 8 对v ，腿，则妒l ，使得。，取l 互换，即妒1 ，舰l ，所以有妒l 胍2 l 。 叉对m 1 ，劐9 使得s l o ，岛l 蕊换，剜订1 9 l ，所戳有】p l n t 五2 1 ， 所以饥i 一2 1 。同理可诞：忱1 = n 2 2 ，妒l 妒2 n i = n 2 s 。 v g 2 1 ，剜j ，l ，s , t 9 = 妒l ，。又因为v f 1 ，列，必同痕于矗， 氏，矗：岛，i d m 其中之一，由引理2 。3 5 ，g 必同痕于妒l ，机矗，妒】岛， m 厶岛其中之一 同瑗，呵n 2 2 ，则，必同痰- 3 = 税，蜘岛，姐岛，镪是岛其中之 一。v ，n 2 3 ，则，必同痕于机m ，饥妒2 氏，吼搬如，张妒2 如其中之 一。定理褥证。 口 由此定理可得，争铲因子自旋有以下1 2 个同痕类 o - ，岛l ，t ，t 凡，c k 岛， o 岛，0 凶 ，q 。岛，。岛知， i 啦，t m 岛，t m 岛，冉，托 三、突换连遴裙嚣骚鳇蠢痰类 令7 ：钾儿j u 明j 一簧儿j u 砖x f ，它： 名，t ) 名，妨 p l ，# ，：，) 避f 弼7 3 ，铲= t d m 。 跌菇如下匿，乍使缮麓x f 与霹f 交换。 ：! ! ：璺主兰竺丝塞：= ：三堡堡耋耋坚竺兰兰耋竺些些叁茎 引理2 3 6 t7 与i d u 不同痕。 证明；同引理2 3 4 的证明 定理2 3 3 ：v ，3 ，则f 必同痕于以下i 6 个同胚之一 ，1 | m l k ；l t t k 1 妒1 ， 妒l ，n ，y 妒l 岛，7 妒1 ，n 如 中2 、译2 | n 。妒2 | 吨。1 申2 | q | n 妒1 妒2 ，y 垆1 妒2 ，毛，7 妒1 妒2 岛，1 妒l 妒2 厶如 口 证明：对v ，3 ，由3 及1 的定义知，7 “。，1un 2 = f 9 h o m e o + ( m ) | g ( w ) = w 目( 群j ) = 踯n ，即3 1 ( 1 u 2 ) 又对v g n 1 u n 2 可得坩n 3 ，所以有7 ( n , o n 2 ) 3 由定理2 3 1 及定理2 3 2 可得v ，l u 飓 则，必同痕于以下1 6 个同胚之一： i d m ，j n ，i q ；i n | n ， 妒1 ，妒l ，n ，l p l ，勺，妒l l 凡 妒2 ，忱h ，忱如，忱凡凡 妒1 妒2 ，妒1 仰 ，i p l 妒2 厶，妒1 忱厶如 硕士学位砖吏t 一、= 维摩面藏积的连遵和酌映瓣类群 - 2 l 又幽引理2 3 5 、引理2 3 6 阿得，v ，n s 则，必阍痕于以下1 6 个阍 菸之一； ， 冉l ，7 岛，7 矗岛， 7 妒1 ，w 1 矗，仰l 如，w l 知南， 坳，_ 鼢是，乍搬岛，7 妒2 岛岛， 7 妒1 够，7 妒l 忱厶，7 妒1 妒2 ，毛，w i 协，n 厶 嵇 由此定