（基础数学专业论文）半线性duffing方程的碰撞周期解.pdf

摘要 4 。 裂纛篡 周期解的存在性当9 0 ) 满足半线性条件 0 o ； 。 x ( t ) o ； lz ( 坛) = 0 = 一( ；) = 一a e ( t o ) a s s u m et h a t9 0 ) s a t i s 6 t h es e m i l i n e a rc o n d i t i o n o q ( ) ； z ( ) q ( ) ；( 1 1 ) iz ( 亡0 ) = q ( t , o ) = 一( t 击) = 一( 石) + 2 q ，( t 0 ) ， 这里f ( t ，甄一) 是连续函数，关于变量t 是2 周期的，q ( t ) 伊( 研是2 周期的连 续函数这个方程可以用来描述一个被非线性弹簧束缚的粒子与一个阻碍物发生完 全弹性碰撞的运动情况，阻碍物的位置由q ( t ) 确定双台球运动及f e r m i 加速器的 运动均与( 1 1 ) 有关由于碰撞振动系统在物理和工程中有很重要的应用，很多学 者研究了( 1 1 ) 周期鳃的存在性和多解性，取得了很多研究结果1 3 ，4 ，5 ，7 ，9 ，i o l ， 下面给出方程( 1 1 ) 碰撞解的定义 定义1 1 若连续函数z ：r r 满足下面的条件， ( 1 ) 对任意t r ，z ( t ) 口( t ) ； ( 2 ) 集合w = ( t ：z ( ) = q ( ) 是非空的离散点集； ( 3 ) 对任意t o w ，一( 缮) = - z ( t o ) + 2 q 7 ) ； ( 4 ) 对任意给定区问f ，若f n w = 口，则z c z ( ，国且z ( ) 是方程( 1 1 ) 的一个 古典解， 则称z ( t ) 为方程( 1 1 ) 的一个碰撞解 l a z e r 和m c k e x m a 【1 1 1 首先研究了系统 i + 6 x + 6 2 = 1 + 印( t ) ，x ( t ) o ； z ( ) 2o ； ( 1 2 ) ix ( t o ) = 0 净一( 吉) = 一一( 石) ， 撕碰撞周期解的存在性，这里6 = ( e ) ，n ( e ) 0 ，l i m 。( f ) = 0 记满足边值问题 i + b 2 x = 1 ， 【z ( o ) = 0 = ( 2 ) ，z 7 ( o ) = 一一( 2 ) ， 的正解为期( z ) 令 ( 口) = j e d t ) p ( t n ) 出当； 6 0 ，对任意蚓印，系统( 1 2 ) 至少存在个2 ”周期解，并 且在i o ，2 ”) 时间内发生一次碰撞钱定边1 2 】进步研究了系统( 1 2 ) 碰撞周期解的 2 存在性当 o ； z ( ) 眦 ( 1 3 ) 【z ( o ) = 0 号z 印手) = 一z ( 石) ， 和渐进线性系统 i + d ( ) z + 9 c t ，$ ) = p ( ) ， z 0 ) o ； z ( t ) o ； ( 1 4 ) 【( o ) = 0 = 一( 付) = - x ( t o ) ， 的2 m t r 碰撞周期解的存在性，其中n ( ，p ( t ) 是连续的2 百一周期函数当p ( ) 满足 条件 ( h 1 ) v te r , p 。且哥= 去序d f 2 m 丽i 时，系统( 1 3 ) 至少存在一个2 m l r 碰撞周期解，并且周期解在一个周期内发生n 次碰撞另外，当g c t ，。) 满足条件 l i m5 圳塑兰! o ； z ( ) o ； ( 1 5 ) i 。( o ) = 0 = 一( t 吉) = 一一( 石) ， 这里g ：徊，2 r r l 肘一r ，对任意z r + ，9 ( - ，z ) 是可测的，对t 【0 ，2 1 ，g ( t ，- ) 是几乎 处处连续的，且函数g 有界，即存在h 驴( o ，2 ”) ，对妇r ，t i o ，2 】，lg ( t ，z ) l h ( t ) 当a 譬，a 0 ，他们证明了系统有一个连续的2 w 周期解当a = 譬，定义 。1 i m + 。i n fg ( 。，) = t + ( ) ：里：5 t 巾9 ( ，z ) = r + ( ) 对任意满足t + ( ) p + ( t ) r + ( t ) ，t i o ，2 ”| 的p + ( t ) ，若函数 圣；矿( p ) = 0 知p + ( t ) i 。o s i k ( + 圳出 3 只有简单零点，而且在f o ，譬】区问上零点个数不等于2 ，他们证明了系统存在一个允 许的2 ”周期解 本文将研究系统 i + 9 ( 。) = p ( ) ，x ( t ) o ； x ( t ) o ； ( 1 6 ) 【x ( t o ) = 0 jz 他j ) = 一z 似i ) ， 碰撞周期解的存在性同题，其中9 ( 动是连续函数，p ( ) 是2 w 周期的连续函数设 g ( x ) 满足半线性条件 ( ) 0 d 坚坚2 卢 + o o ，( r + ) 正 定理1 1假设条件( h i ) ，( 如) 成立，则对任意巩m n ，当n ) 2 m 、，万时， 系统( 1 6 ) 至少存在一个2 m z 碰撞周期解。且在个周期内发生”次碰撞 一般地，当p ( t ) o ，t r ，庐 o 的解记f 是。( 毛r ”) 下一次碰撞的时问因为满足弹性碰撞条 件，所以有o = 一9 7 ( 亍i l 以若。是正数，则映射s ：r 置+ 一r + 是有定义的 单映射定义 s ( l 口) = p o ) 下面引入一些记号记 铲( r ，”) = ( p ( l ) ，矿( _ ) ) 铲= f ”( ，”) ，铲= 扩( 0 t ，) i i n ( 酽( 丁 ) ) = 铲，n 2 ( s ” ) ) = 俨 本节将证明后继映射s 的扭转性质引理2 1 证明当初速度” l 时，后 继映射s 是有定义的单映射引理2 2 在初速度v 1 的条件下，证明下一次 碰撞的速度。也很小引理2 3 在初速度口 o 解的性质，同时估计时问( 丐一寸) 引理2 7 在初速 度”充分大时，对时间( l ( 伊( l ”) ) 一r ) 进行估计 引理2 1 若条件( h 1 ) 成立，则当初速度” 0 ，故 = 一9 ( x ) + p ( t ) 0 5 0 因此，一( t ) 单调递减进而一( ) z 竹) = 口当t ( r t r + 2 ) ，积分得$ ( ) 一$ ( r ) 2 u 又。( r ) = 0 ，故有0 z ( t ) 0 ，由于f 0 ， 0 若o ( v ) 0 ，由于芦 0 ， 1 ，故存在f ( f ，r + 2 ) ，使得z ( f ；r 口) = 0 又 因为矿= 一g ( ) + p ( t ) 0 ，存在十 r ，使 得z ( f ；r ，u ) = 0 ，即后继映射s 对( r ，u ) r x r + 都有定义 引理2 2 假设条件( h 1 ) ，( f 2 ) 成立，则。t i m 。+ 。( r ，”) = 0 ，r l o , 2 ”) 证明由引理2 1 的证明过程可知当初速度” 0 充分小时，存在 ( t r + 4 ”) 使得 m a 。xx ( t ；7 ，小。o ( ”) ，口。o + - ( 2 1 ) 采用反证法，假设存在序列h ) ， ，i o , 2 ”) ，墨盟20 使得 0 ( ，) 6 从两存在t 。，f ( k ，”。) ) 满足z 砸。；，) = 一；当s 【t n , f ( ，v n ) l 时，有 。，( s ；h ，u n ) s 一 当充分小时，由( 2 1 ) 式可得h t m s f a m x ，x ( 幻h ，u n ) = o ( n ) 不 妨设 。鳟m a ( x ) x ( ”n ) 0 ，存在 0 ，当( o ，】，t 【r ，f n j 时，有 iz c t ；l u ) i v o 假设存在c 0 ，6 0 ，使得当t p o 一2 5 , r o + 2 0 3 时，有p c t ) s c ，则当口 1 ， r e 【r 0 一g , 1 o + 田时，有 产一f 6 ( 2 3 ) 事实上， ；j i 一伊一1 i = 1z ( 亍j ；r ，”) 一z 7 ( 一；u ) 卜 b 扛( s ；r ，”) ) 一p ( s ) ) 幽 由条件( 砚) 及芝黔。( t 1 r ，u ) = d ( ) ，fe n r + 4 ”) 可知当- 1 ，亍j l c h 一2 5 , r o + 2 6 时，有 i 护一- 1i ( o ( ) + c ) c # j 一亍j 一1 ) 兰( 一扣- 1 ) 即 ： f j 一扣一1s ：2 l 一护一1 | ：4 | i f 故当口 1 ，7 【r o 一瓦r 0 + 卅时，有 p t - - 1 ：妻 正 c 2 4 ) 。j = l 下面证明口 1 时，后继映射s 的扭转性质 引理2 3 假设条件( h 1 ) ，( 日2 ) 成立，且当 0 ，勺【0 2 7 r 】使 得当t h 一2 9 , r o + 2 0 l 时，有v ( t ) 一c 由上述分析可知当u 1 ，r 一6 ，o + 6 1 时，有f “( r ，v ) 一r 6 即 1 i t ( s ”( r ，口) ) 一r 矗 ( 2 5 ) ， 当r + 6 ，2 7 r + t 0 6 ) 时，若p 2 7 r4 - t o j ，则有 f “( r ，u ) 一r ( 撕一甑 ( 2 6 ) 若存在t ( 扣- t ，) f 3 i 2 + 伯一6 , 2 7 r + r 0j u = l ，2 ，n ) 因为当u l 时，有 ；( ) l 护一l 关 因此。 乎j 一一一1 兰 进而， 又因为 p 一亍j = ( 伊一亍铲1 ) + ( 亍n 一亍n 一2 ) + + ( 亍j + l 一乒) n n - 3 6 - _ n - f 1 t ( 2 7 ) 所以 亍n - r = ( 矿一乒) + ( 一一t ) + ( 亡一r ) i n - 1 6 + ：+ 2 丌+ 一( 啊+ = 2 玑( 2 8 ) 由( 2 ，5 ) 一( 2 8 ) 可知当初速度” 0 的解z ( t ；l ) 满 足下列不等式 “小雨p ) e - 似t 粉叱咖) + 两p 0 使得 。 n 2 m ( 万+ 口) ( 2 1 0 ) 取6 = ；i 赤；一勿i 记d = i p 当z i p 时，有 ig ( x ) 一p ( t ) i s 触+ p = z ( 芦+ ) z ( 卢+ 盯) - 引理2 5 令z ( t ；r u ) 是方程( 1 6 ) 满足条件x ( r ；v ， ) = 0 ，一( r ；r t 口) = 口 0 的 解则对于上述给定的d ，6 和d ，存在w 0 1 当 w 时，存在付，百 r ，使 9 碍z ( 学；，= d ，一( t ；t 0 ，一( 虿；l o ；当t n 口) 时，$ 拉一 d 且 i 寸一r i 6 ，l 百一r i 百使得l 手一百i 6 ，z ( f ；r ， ) = 0 当 一充分小时，有； 咭 2 n 证明假设不存在t o ( r ，r + 1 ) ，使得x ( t o ；r ，u ) = d 则当t ( l r4 - 1 ) 时，有 0 、一( ；r 。+ ( $ ( t ；丁，u ) ) 2 川) 扣+ 寿矿”一南 故 抛删) ( ”+ 雨p - 扩虬寿一正 ( 2 1 1 ) 。砧；，”) ( 口+ 雨) e 一”一南一正 ( 2 1 1 ) 对上述不等式两边在f r ，r + 1 ) 上积分，可以知道只要”充分大，就有 m + l ，删) ( ”+ 而p ) e - p + 1 ) 一南一d d 。( 7 + 1 ；删) ( 口+ 而) 一南一d d 与假设矛盾，因此存在才，使得z ( 寸；u ) = d 由于当 0 s t ，一 ( 卧两pj l ) e 岍i ) ( 和) 一南“ptp 1 - 所以 枷”) ( 而p ) e 帆l 埘一r ) 一寿一d璁t ) ( 而) e 棚“分砷一南一d ( ”+ 而p ) e _ 2 删+ 1 ) 一南“ 不等式两边积分得 d = 厂以叩，汕 + 寿f 2 如+ 1 ) 一南训口叫 因此，当”充分大时，l t r l 5 由极坐标变换= r c o s o ，”= r s i n o 可得 = 一s i n 2 口+ = 1 ( 一9 扛) + p ( t ) ) c 0 8 口 1 0 由条件( h 2 ) 可知 积分得 即有 一s i n 2 0 + ! ( 一q r c o s o + p ( ) ) c o s 口一s i n 2 0 一口c 。6 2 0 r 百志二击 l 百一水击 下面证明f 的存在性假设当t ( 百，百+ 1 ) 时，z ( 百；口) = d 一( 百；r ，口) 0 0 ( z ( ；下， ) 正殛i 万孤刁丽 = r c t ) ( 啊) + 两p ) e - ( m ) 一南 i c 啊) + 南矿叭”一寿矗 即有 z 一【( r ( 百) + 两- , ) e 一肚”一南一d 】 一d 下面比较r ( 丐) 与”的大小关系由引理2 4 知 r ( 百) + 而p ( 丽p ) e 一( 删百 即 r ( 百) 2 扣+ 而p ) e - c a + 1 ) ( 百一r ) 一南 由于 故 进而 百一r i 击， r 0 7 ) 孙+ 南rf - 垆+ l 臻一南 r 2 ( 两) e 1 ”u 而一南 一 - l ( ”南) e - ”唔“l 南一川 不等式两边积分叫得 瓴+ 1 圳) 一d _ f ( ”+ 南) e 郴+ l “静一南q 因此。当v 充分大时，有 - z ( 百4 - 1 川一( 而p ) e 一删素+ 1 + 丽p + 2 d o z ( 百 1 ) 一( 而) 8 1 刖万+ 丽+ 2 d o + 所以存在于，使得。( ；r ，”) = 0 ，一( 亍i ) 0 又因为 小撕d s - 【( ”+ 而p ) e - 1 咕+ 1 一南州卜矾 所以当”充分大时，有i f 一百i 6 最后，证明当口充分大时，； 寸 ( 研) 8 一卅 当口充分大时有 如( ”+ 而p ) e 邓+ 1 ) 5 一d 一两p ； 综上却有； 咭 0 的解用f ( 妒) 表示和在r 之后的第个零 点由引理2 5 知f ( 妒) 存在，且 。f ( 妒) 一r 。了丽7 r 事实上，令z = r o o s o ，= r s i n o 则 0 = - s 砰口+ ；( 一妒( ，z ) 。) c o s 口一s i n 2 口一( 3 + 口) c 0 6 2 口 积分可得 伽) 一r 南 引理2 6 令( 幻- ， ) 是方程+ l p ( ，z ) = 0 满足条件( r ；r ，”) = 0 ，z ：( r ；r ，”) = 0 的勰，则存在 0 ，当u 蛳时，存在寸，百，使得( 口；r ，口) = d ， 吒( 才；r ，”) = 咭 0 ，( 百；一”) = 叮 了i 证明应用证明引理2 4 和引理2 5 的方法可以证明引理2 4 和引理2 5 的结论 对于方程矿+ 妒( ，z ) z = 0 也成立下面证明当口充分大时，有 由引理2 5 可知 因此， 百一才 丽7 r f ( 妒) 一百 0 的饵从点( d ，咭) 运动到点( d ，町) 的时间大 1 3 于渤又存在，当” 蛳时，有i 口一r i l 时，后继映射s 的扭转性质 由引理2 4 可得 ( ”+ 丽p ) e - 州外+ 而p ) 外+ 寿) e 州 假设i ( s ”( f ，口) ) 一rs2 i ，贝q 1 1 l ( 9 + 1 n 口) ) 一n l ( 机口) ) s2 m f ，“= 0 ，i ，i 一1 ) 故 ( n 。( 吼”) ) + 两p ) e 删删2 ( 烈删+ 两p ( n 2 ( ) ) + 两p ) e ( 川 由上式可知对于一个给定的时 0 ，存在t 穗矗 0 使得若v t t 。，n l ( 铲( ”m r 2 m ，则 2 ( 9 ( r 们) t 才，a = 0 ，1 n 1 ) ( 2 1 4 ) 引理2 7 假设条件( h i ) ，( h 2 ) 成立，若n 2 m 、- 万，( m ，n i v ) ，则存在砖。 0 使得当 砣。 0 ，r i o ，2 丌1 时，有l ( s 4 ( l ) ) 一r 2 m r r 证明由( 2 1 3 ) 式可知存在珊 0 ，当口 饰 o ，r i o , 2 州时，有f f 赤 即 。 n l ( 跏，州一兰赤 ( 2 1 5 ) 由系统的周期性，得 进而 z ( ；r ， ) = z 0 ；r + 2 丌，u ) ，z 0 ；9 - , ) = z ( 亡；r + 2 丌，u ) = u 0 s ( t + 2 丌，口) = s ( r 口) + ( 2 ，r ，o ) 1 4 因此，函数，( r ) = i i k s ( r , v ) ) 一r 是2 1 r 周期的所以( 2 1 5 ) 式对所有的r r 都 成立取( 2 1 4 ) 式中的t t 赢 0 ，当u 咭。，则或者n l ( 铲仉 ) ) 一r 2 t a x 成立， 或者n k s ”( l ) ) 一rs2 m t r 成立若后者成立，由( 2 1 4 ) 式可得1 1 2 ( s i ( r ，口) ) 对， 0 = 0 ，1 n 1 ) 取对= 枷，当 乏w ，r 【0 ，2 1 r ) 时，由( 2 1 5 ) 式可得 n l ( s + 1 ( r ，”) ) 一i i l ( s ( r ，u ) ) i j 声7 = r ：i 言 因此 n 1 ( 铲( r ，) 一r n 赤 故当n 2 m v 仍，由( 2 1 0 ) 式可得1 ( 铲( r w ) ) 一r 2 m l r 1 5 第三章碰撞周期解的存在性 o r t e g a m 借助后继映射，证明了线性碰撞振子所有解的有界性问题钱定边和 p ，j t o r r e s 【1 3 l 同样借助后继映射研究过一些有奇点的碰撞振子碰撞周期解问题钱 定边1 1 1 在研究线性和渐进线性碰撞振子周期解的存在性问题时也是借助后继映射 完成的我们也将借助后继映射，应用p o i n c a r & b i r k h o f f 扭转定理证明系统( 1 6 ) 的 碰撞周期解的存在性 以下的p o i n c a r & b i r k h o f f 扭转定理是基于f r a n k s 1 5 j 和d i n g 7 的定理 令a ，口是两个环域 a ：= s 1 妇l ，n 2 j ，8 ：= s 1 l 以，6 2 l ， 其中0 ( b l 口l 2 k + ，映射，：a b 有一个提升，：r 扣i ，0 2 l r ( b t ，6 2 l ， 矿= 0 + h ( o ，p ) ，p l = g ( o ，p ) ， 其中h ，9 对日都是2 ”周期的连续函数，若，满足边界扭转条件，即有 h ( o ，( 1 1 ) - h ( o ，0 2 ) 0 ，0 i o ，2 丌j 定理2 1 映射，：a 一口是个保面积映射，f ( a ) n o ( b ) = o ，有一个提 升映射，满足边界扭转条件，并且f ( a ) 在b 中的位置关系与a 在b 中的是一样 的，则，至少有两个相异的不动点，慨，a ) ，o = 1 2 ) ，满足 ，m ) = 0 “= 1 2 ) - 此定理证明参见【t 1 我们把p o i n c a r & b i r k h o f f 扭转定理应用到后继映射s 上，由第二章的讨论，我们 知后继映射s ：( r ，u ) 一( f ，o ) 是有定义的单映射。n r x r + ，满足s ( r + 2 ，t ，) = s ( r ，”) + ( 2 ”，o ) ，把一u 用极坐标的形式表示，后继映射s 是s 1xr + 上的一个同 胚嵌入，则对于任意n ，m ，映射妒( l ”) 一( 2 m ”，0 ) 的一个不动点就对应于方程 ( 1 6 ) 的一个2 m ”碰撞周期解，且在一个周期内发生叩欢碰撞 下面的引理在1 中已经给予证明 引理2 1 后继映射s 是一个保面积映射，对于a c b c 8 1 r + ，s ( a ) c b o ， 则s ( a ) 含于b 中的位置关系与a 含于b 中的位置关系相同 则由定理2 1 可知后继映射s 至少有两个相异的不动点 在定理1 1 的条件下，由引理2 3 和引理2 7 ，我们选择记 0 充分小和矿 0 充 分大时，( a ) cb 0 ，则，是保面积映射，且满足边界扭转条件，定理ll 的结论 成立 1 7 1 2 参考文献 d i n g b i a nq i a na n dp e d r oj t o r r e s p e r i o d i cm o t i o 璐o fl i n e a ri m p a c to s c i l - l a t d r sv i at h es u c c e s s o rm a p d i n g b i a nq i a n ，l a r g ea m p l i t u d e p e r i o d i cb o u c i n gf o ri m p a c to s c i l l a t o r sw i t h d a m p i n g ，p r o c a m s c n b a p a t ，p e r i d i cm o t i o n so fa l li m p a c to s c i l l a t o r ，z s o u n dv i b r a t i o n 2 0 9 ( 1 9 9 8 ) ，4 3 - 6 0 l b r i n d e u ，s t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i cm o t i o n so ft h ev i b r o - i m p a c ts y s t e m s ， c h a o ss o t i t i o n sf r a e t a l s1 1 ( 2 0 0 0 ) ，2 4 9 3 - 2 5 0 3 5 k c z o l c z y n s k ia n dt k a p i t a n i a k ，i n f l u e n c eo ft h em a s sa n ds t i f f n e s sr a t i oo n ap e r i o d i cm o t i o no ft w oi m p a c t i n go s c i l m ，c 田ss o l i t o n sf r a c t a l s 1 7 ( 2 0 0 3 ) ，1 - 1 0 w d i n g ，ag e n e r a l i z a t i o no ft h ep o i n c a r & b i r k h o f ft h e o r e m ，p r o e a m e r m a t h s o c 8 8 ( 1 9 8 3 ) ，3 4 1 3 4 6 7 w f a n ga n dj a w i e k e r t ，r e s p o n s e o fap e r i o d i c a l l yd r i v e ni m p a c to s c i l l a t o r ， j 8 0 u n dv i b r a t i o n1 7 0 ( 1 9 9 4 ) ，3 9 7 - 4 0 9 8 ， j e r a n k s ，g e n e r a l i z a i o n so ft h ep o i n c a r & b i r k h o f ft h e o r e m ，a n n o fm a t h ， t 2 8 ( m s 8 ) 1 3 9 - 1 5 1 9 1 0 t k a p i t a n i a ka n dm w i e r c i g r o c h d y n a m i c so fi m p a c ts y s t e m s ，c h a o s 跏“ t i o n sf r a e t a l s1 1 ( 2 0 0 0 ) ，2 4 1 1 2 4 1 2 s a k e m b e ra n dv i b a b i t s k y , e x c i t a t i o no fv i b r o - i m p a c ts y s t e m sb yp e r i d i c i m p u l e a e s ，j s o u n dv i b r a t i o n2 2 r 0 9 9 9 ) ，4 2 7 - 4 4 7 1 1 a l a z e ra n dp m c k e n n a ，p e r i d i cb o u e i n gf o raf o r c e dl i e a xs p r i n gw i t ho b s t a - c l e ，d i f f e r e n t i a la n d 捌鲫谢e q