（基础数学专业论文）hamilton系统和动力系统的周期解.pdf

摘要 本论文分为两部分。第一部分主要研究一类非自治哈密 尔顿系统的周期解的存在性和次调和解的多重性。我们首 先通过构造局部环绕并利用鞍点定理证明超线性一阶哈密 尔顿系统的周期解的存在性，然后证明系统次调和解的多 重性。第 几 部分主要研究一类不定型三阶超线性微分系统 的存在性和多重性。我们利用 r a b i n o w it z的 巨 同调指标理 论证明系统存在无穷多个周期解。 在此作者对龙以明教授三年来在学业上的指导和生活上 的关心表示衷心的感谢。 关键词:h a m i l t o n系统，不定型微分系统，周期解，鞍点 定理，上同调指标定理。 pe r i o d i c s o l u t i o n s o f ha mi l t o n i a n s y s t e m s a n d d i f f e r e n t i a l s y s t e m s ma j o r : n o n l i n e a r f u n c t i o n a l a n a l y s i s au t h o r : x u x i a n 幻 i n a d v i s o r : p r o f e s s o r l o n g y i m i n g ab s t r a c t t h i s t h e s i s i s c o m p o s e d w i t h t w o p a r t s . i n t h e f i r s t p a rt w e m a i n l y d e a l w i t h t h e e x i s t e n c e o f p e r i o d i c s o l u t i o n s a n d t h e m u l t i p l e o f s u b - h a r mo n i c s o l u t i o n s o f a c l a s s o f no n - a u t o n o mo u s f i r s t o r d e r ha mi l t o n i a n s y s t e m s b y s o m e s a d d l e p o i n t t h e o r e m s . i n t h e s e c o n d p a r t w e s t u d y t h e e x i s t e n c e o f i n f i n i t e p e r i o d i c s o l u t i o n s o f i n d e f i n i t e s e c o n d o r d e r d i f f e r e n t i a l s y s t e m s u s i n g r a b i n o w i t z s c o h o m o l o g i c a l i n d e x t h e o ry t h e a u t h o r w o u l d l i k e t o e x p r e s s h i s s i n c e r e t h a n k s t o h i s a d v i s o r , p r o f e s s o r y i m i n g l o n g , f o r h i s c o n s t a n t e n c o u r a g e m e n t a n d h e l p f u l s u g g e s t i o n s i n t h e l a s t t h r e e y e a r s s t u 即 k e y w o r d s : h a l m i l t o n i a n s y s t e m , d i f f e r e n t ia l s y s t e m , p e r i o d i c s o l u t i o n , s a d d l e p o i n t t h e o r e m , c o h o m o l o g i c a l i n d e x t h e o r y 引言 本论文由 两部分内 容组成。 在第一部分中， 我们主要研究以下一阶非自 治h a i n i l t o n 系统 ( 以后简称系统( 1 ) )的周期解的存在性和次调和解的存在性和渐进性质。 - i i 一b ( t ) z =o h ( t , z ) ,: e r 2 n , t c r , 其中b ( 约为一t周期2 n 阵 ，h e c ( r x r 2 n , r ) x 2 n对称矩阵值连续函数 /0 j= l; 0 ， 设h满足以 下 条 件: ( h i ) h c ( 衡 x r z n , r ) ,斤 =r / ( t z ) , ( 1 i 2 ) 存在 常数w2 和: 。 使 得 0 r , t 一致成立， 2-t - a l i m a二 i* 二 h( t , : ) h ( t , : ) 则系统 ( 0 . 1 ) 在满足以下情形之一时存在一个非平凡的t 一 周期解: ( i ) 以下周期边值问题 一 j z =b ( t ) z , z ( 0 ) =z ( t ) 只有平凡解; 了 i 口存在常数p 0 使得h ( t , z ) 0域 h ( t , z ) 0 ) 对所有满足0 0 ， 使 得v h ( t , : ) 0 个 1 ，n 2 =n一n , 个 一 1 。 对于n , =n， 系统 ( 2 ) 为 二阶 h a m i l t o n系统， 相应的给定周期的 无穷多解在超二次条件下的存在性已 经得到。 韩振超 在 文! 1 6 中 提到l . n i r e n b e r g 教 授的 如下问 题: 在什么 条件 下 ， 对系 统( 0 . 2 ) 的 给定 周 期问 题存在无穷多个解? 我们证明了以下主要结果: t h e o r e m 0 . 3 设v e c ( r n ) 满 足: ( v i ) 存在 常 数u 2 使得0 0 ， 系 统( 0 . 2 ) 有一t周期解x ( t ) 满足 ix ( t ) i ? r . 如果a正定， 条件 r v 2 ) 不需要. t h e o r e m 0 . 4 设v c i ( r n ) 满 足 条 件( v i ) 和 了 v 3 ) 令11为r n到 算 子a的 负 定 子 空 间 的 投 影 算 子 . 设 存 在 常 数a 0 ， 使 得 ( i i x , o v ( x ) ) 一 。 v ( x ) 对充 分 大x i 成 立。 则定理 0 . 3 结论成立。 其中 定 理0 .4 推 广了 文【 1 6 中 的 结 果。 在 文【 1 6 中 ， 作 者要求v ( x ) 0 , s u p p o s e t h a t h s a t i s fi e s t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s : ( h 1 ) h e c ( s t x r 2 n , r ) , s t =r / ( t z ) , 阴到t h e r e a r e c o n s t a n t s u2 a n d r 0 s u c h t h a t 0 a 一 于 ， u n i f o r ml y i n t t h e n ( 1 . 1 ) h a s a n o n z e r o t - p e r i o d i c s o l u t i o n i n ( p ) 践。 b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m e a c h o f t h e f o l l o w i n g t w o c a s e s (ls) 一 i i =b 以 ) z , z ( 0 ) =z ( t ) , h a s o n l y t h e t r i v i a l s o l u t i o n . ( i i ) t h e r e， ，a c o n s t a n t p0 s u c h t h a t h( t , : ) 0 ( o r h ( t 二 ) 0 ) f o r a l l z s a t i s f y i n g 0 一 子f o r a l l t . s u c h k in d f u n c t io n s a s 0 a n d f e c ( s t , r ) s a t i s f y i n g a b o v e s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s o f o u r o r e m 1 . 1 ， b u t i s n o t c o n t a i n e d i n t h e a b o v e m e n t i o n e d p a p e r s . o u r t h e o r e m 1 .2 g e n e r a l iz e s t h e t h e o r e m 2 . 1 o f 5 , w h e r e 5 r e q u i r e s i v h ( t , z ) ip 1 . o n e m a y a l s o c o m p a r e o u r t h e o r e m s w i t h t h e o r e m 1 .4 o f i i . t h e n w e s t u d y t h e s u b h a r m o n i c s o l u t io n s ( i .e . k t - p e r i o d i c s o l u t i o n s ) f o r t h e h a m i l t o n i a n s y s t e m ( 1 . 1 ) . i n 1 l , r a b i n o w i t z fi r s t p r o v e d t h e e x i s t e n c e o f s u b h a r - m o n i c s o l u t i o n s f o r ( 1 . 1 ) u n d e r c e r t e r n c o n d i t i o n s . h e r e w e p r o v e t h e e x i s t e n c e o f s u b h a r m o n i c s o l u t i o n s f o r ( 1 . l ) u n d e r a d i ff e r e n t c o n d i t i o n ( h 4 ) , w h i c h m e a s u r e s t h e d i ff e r e n c e o f ( 1 . 1 ) f r o m t h e a u t o n o m o u s s y s t e m s . s u c h a c o n d i t i o n w a s fi r s t i n t r o d u c e d i n 4 a s f a r a s w e k n o w . w e a l s o s t u d y t h e a s y m p t o t i c b e h a v io r s o f s u b h a r mo n i c s o l u t i o n s . 1 . 1 pr o o f s o f th e o r e m 1 . 1 a n d th e o r e m 1 . 2 i n t h i s s e c t i o n , w e c o n s i d e r t h e h a m i l t o n i a n s y s t e m ( 1 . 1 ) . l e t x : = w1 / 2 2 ( 肠， r n ) b e t h e s o b o le v s p a c e o f t - p e r i o d i c r i n - v a lu e d f u n c t io n s w it h i 工、 n e i p r o d u c t ( ， - ) x a n d n o r m 、 lix . d e fi n e t w o s e l f a d j o n t o p e r a t o r s a , b e g ( x ) b n e x t e n d i n g t h e b i l i n e r f o r m s ( a x , y ) 一 t o ( 一 j i , y ) d t , ( b x , y ) 一 j o ( b ( t ) x , y ) d t , h .x , “ x . b y 3 a n d s t a n d a r d s p e c t r a l t h e o r y , b i s c o m p a c t o n x . d e n o t e t h e e i g e n v a l u e s o f . 4一bo nx 衍 ， 二 a _ 2 a _ , 0 ( = a o ) a l a 2 r o 卜3 0 去 ( v h ( t , : ): + 剐“ r 2 n 山f伊 .，一一一一一一一一一 00 qq 奋才il m o d if y i n g 8 ( c f . a p p e n d i x o f 8 ) , c h o o s e o e ( 0 , 1 ) ， s u c h t h a t y o2 , w e t r u n c a t e h a s f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n : p r o p o s i t i o n 1 . 1 a s s u m e c o n d i t i o n s ( h i ) , ( h 2 ) , t h e n t h e r e e x i s t t ac o s e q u e n c e s k) a n d 风 : 。 r a n d a s e q u e n c e o f f u n c t i o n s h) s u c h t h a t ( i ) 0k oi i k+ a , v ra e n, a n d i f - - o o , 。 n - i c c ， w h e r e k o= m a x 1 , r , a o lr o 0 l ; a n d k k ; v n e r . ( i i ) f o r a n y g i v e n t s t , h ( t , z ) e c ( r 2 , r ) , f o r e v e r y ， ; n . ( i i i) h( t , z )=h ( t , z ) , v: 】 风， f o r e v e r y 。 e n . ( i v ) h n ( t , : ) h+ a ( t , z ) h ( t , z ) , v ( t , z ) e 街 x r 2 . 侧 0 a 1z l一 b , v z e r 2 n f o r s o m e n - i n d e p e n d e n t c o n s t a n t s 。 a n d b . l e t q f, ( u ) =f o h ( t , u ) d t . d e fi n e a f u n c t io n a l 几: x- r rb y i i t; ， n ， 1 、 i n l u l= 2 j o t - j “ 一 。 、 ) “ ) n u t -j t h n (1,u )d in 一 合 (h u + ii2 i t i s w e l l k n o w n t h a t i e c , i ( x , r) 】 。 一 12 ) 一 y( u ) . a n d ( i . ( u ) , u )= (一 j zc， 一 b (t)u ) “ ， 一 fj t0 二 。 。 (， ) 二 、 ， 一 。 一 ， 。 ) 一( 4 s ( u ) , 。 声了加砂 a n d t 盆 b y h i s c o m p a c t. a s i n 1 3 . s o fi n d i n g t - p e r io d i c s o l u t i o n s o f ( 1 . 1 ) w i t h h r e p l a c e d i s e q u i v a l e n t t o fi n d i n g c r i t i c a l p o i n t s o f 几i n x we w i l l u s e t h e o r e m 1 .3 o f 5 1 t o p r o v e t h a t 1 h as c r i t i c a l p o i n t 、 ， w h i c h i s d i ff e r e n t f r o m 0 . s i m il a r ly t o t h e p r o o f o f 5 , i t i s e a s y t o s h o w i s a t i s fi e s ( i 2 ) , ( i 3 ) a n d ( i 4 ) i n t h e t h e o r e m 1 .3 o f ! d i ff e r e n t f r o m 5 , w e a l s o p r o v e ( i i ) w i t h o u t u s i n g ( 5 w i t h o u t t h a t t h e f u n c t i o n a l u s i n g ( i 1 4 ) o r ( h 5 ) h 4 ) o r ( h 5 ) a s t h e f o l l o w i n g . 引理 1 . 1 i n s a t i s f i e s ( p s ) 7 p r o o f . s u p p o s e 二 、 i s a s e q u e n c e i n x s u c h t h a t 。 、 x k , l ( u k ) 一一- v i a ( h 2 ) a n d t h e g r o w t h o f h a t i n fi n i t y . wr i t i n g 。 * =心+ 叮+ 嵘任 x 十 x - x 0 . b e c a u s e x o i s a fi n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e , it f o l l o w s ( 4 ) t h a t iiu kkk iix c 5 ( 1 + ilu k i1 x ) t a k i n g ” =u i n t h e i n e q u a l i t y i ( p k 1 , ( u k ) , v ) l ii v ll ( w h i c h h o l d s f o r l a r g e n ) , w e h a v e , t ilu k iix 一 if. v h . (t , u k ) u k d t l _ iia k iix u s i n g t h e h o l d e r i n e q u a l i t y a n d 】 。 】 : 。 。 hnil 洽 叶 uo, ii u k+ 日 。 。 十i u +k 日 x c . (. ) + (u a ) ii c i ( n ) ( 1 + ilu k iil v ) ii u k ii wol - 号iu k iil 。 、 iiu k 11% u k iix - i . e iiu k llx c , ( - ) ( i + ilu k lli - ) 5 c 2 ( n ) ( 1 + iiu k ii ( w 。 一 1 ) / p , x w h e r e c ; ( n ) s a r e c o n s t a n t s d e p e n d i n g o n n . s i mi l a r l y , f o r ， =u k w e h a v e iiu k ii x n a n d h , ( s , 。 二 ( 、 ) ) - - t 十 2 l e t 0 =m i n , e s t ,ix i 。 (二 ，二 一 小 ， 一 ，j卜 j 儿 ， h ,(s,u (s) dsdti) + i iq , h (a j ,un(an,j) + (j jq , + f fq a/ h ,一 ，“ “ e礼j班 叭外氏le 澎川了晰l们 q1= q z = q 3 = th e n w e h a v e i 士 h (t, u )dt s e 衅ilu n ( 5 ) 卜 n , h , ( s , “ 二 ( s ) ) 0 s e 衅 。 ， ( 、 ) ( b， 一q n , )2 + t a4 ， 、 t o l a o t l n 一 ” ) +丁 th u s we h a v e r矛九 。又川。 mz h( t , u) d t 全又( b , ， 一 a n ,.i ) ( 2 十 ta 4 ( a o 嵘 一b ) 十t / 3 j _ 2 于 ) / 吾 !毕 (a 01in 一 x h 沁) 0 对y c( i i , k+1 ) 。 令 h , , ( t , “ ) =x . ( iz l ) h ( t , z ) +( 1 一 、 , ( 1 = i) ) r i3使得 l)l幻3)封 1.r口lrlz户 sc 好+x ， 及f _。 在s 上， i )3 在a q 上， s与a q环绕. 则i 有一临界点x 。 且c =i ( x o ) 全a , r e ma r k 1 . 2引 理 1 . 2中 所得临界值 c 可由i 在相应集族上的极小极大值给出。 因为 口在 该集族中 ， 因 而c i n f u e s i ( u ) 。 定 理1 . 3 的 证明 首 先对坛验证引 理1 .2 的 条件。 令x , =-v + , x z =x0 (j x- i k ( u )= 2 (， 一 。 ) ， ) 一 rtj 0f 、 (， )“ 2 (,i _ + 1i2 一 1- 1 1” 一 kk h (2f). 如 文 献 1 3 定 理6 . 1 0 的 证明 知坛e c ( x , r ) 且坛满 足( i l ) ( i 3 ) 。 下 面验 证( 1 4 ) ， 如 文献1 构 造s=a b ， 门 x , ， 再 构造q及 与 之 无 关的i t 和 r 2 。 如 文献 1 1 定理1 . 4 证明 ， 令e e a b , n x , 和。 =u 0 +， 一 e x 2 ， 则有 “ ( + 二 ) - 一卜!一 j t h k (t,u )d tn : ， 有 ( s ) =占 2s一 。 3 8 + a 4 0( 1 . 5 如文 献 1 1 ) 取充 分大的r 2 : ， 。 ( b , , n x 2 ) 因而由引理 1 . 2知， 在 a q 上我们 有 斤 a x )0 由注 2 . 2 ， 我们有 s c l 0 s 。 我们只需对 ii- 川i c i 找一个与k无关的 上界既可 证明 定理结论. c , :使得 =双v ff h ( l , 。 ， ) ) ， 知第二个等式成立.由( h 勺知有与i t 无关常数 h i ( t , : ) h ( t , z ) a 一 t 十 2d lz i n 人 、 ( 。 。 卫(ls) 户1- ! ) . 对 ， ， 、 ( 、 ) f ( s ) 刀 “ ( 、 ， 。 二 ( s ) ) n和 h s ( 5 , u u ( s ) ) 从 一 奥 十 互 一12 令f ( s ) =h s 扣 ， 。 、 f ( s h k ( 0 , - , ( 0 ) ) h 1 4 令 =m i 1 1 s g s t , w 吾 。 (。 ) 、 (。 ) 二 、 (” ) + t h k (0 ，一 “ ， f ( s ) h k - ( 0 , u - ( 0 ) ) -t 十 + (f fe z + f f 3 ) f (s )dsd t 其中 q 1 = s e s t l l u x ( s ) l n , h s ( s , 。 二 ( s ) ) n , h , ( s , 。 二 ( s ) ) 0 , q 3 = s e外日 、 k ( s ) i 2 b (o ，一 (“ 一 0 ) + t h k (0 , 二 (“ )! 一 吾 (一 奋 + 2 ) 全 一 2 jib 一 、 .， t咨 2 r十 - 花 一( 二 + a) ( 一qi t2 ， ， 、 h t z a llu 、 日 邑 + 娜 十一 舀 一 由 于。 2 和备 + a 。 ， 有ilu llu 从. 。 、 为 系 统 ( 1 ) 一个t周期解.q . e .d . 下 面 我们 将 证明 系 统( 1 ) 有 无限 个次 调和 解 t h e o r e m 1 . 4在定理2 . 1 的 条 件下 ， 有一列自 然数( k ; ) cn, k , - -+ o o ， 系 统( 1 ) 有相 异的 k ; t周期解. 证明:证明 思 路来源 于【 1 1 的 定 理1 . 3 6 . 对任 一k n ， 做变 量替 换、 二k - t , 若: ( t ) 为系统( 1 ) 一个k t周期解， 则q ( s ) =z ( k s ) 满足 孪 一 、 j v h (k s , q ) 口 . s ( 1 . . 而k h 沐 s , z ) 满 足( h i ) ( h 4 ) ， 由 定 理2 . 1 给出 系 统( 4 ) 有一 个k t周 期 解，7k ( s ) ， 其 为以下泛函的临界点 i k ( 17 ) 一 2 ( ( a 一 b )77 , 77 ) 一 “ j n h j,-( k s , q )(i s , 其中i i 依赖 于k . 同 时g l ( k s ) 满 足系 统( 4 ) . 如果g 1 ( k s ) =q k ( -s ) ， 则 有c k =i k ( ?) k ) = k l i ( g l ) =k c l 下面 我们 证明c 、 有与k 无 关的 上 界 由 定 理2 . 1 证明 可知。 、 三r 子 ( 幻. 由 定 理2 . 1 证明可知参数: ， ( 幻由 式( 1 . 5 ) 决定， 即对所有s r , ( k ) 有 o k ( s ) =s 2 一k a 3 s +k a 4 三0 , 韧 因而有 ( ? 1 、 k-a3/ 1 / ( v -2 ) r l ( k ) 7 72 , 71 k ( s ) =71 。 1 k ) =77 以 ) =r 1 - ( t / r r a ) ， 则71 恤 、 ) 二， ) * ( 、 ) 及7 1 ( 7 n s ) =7 1( 、 ) 因而有 =几 ( 71 k ) =k l , ( 7 1 1 ) , c m=几( 7 ,n ) =-1 1 ( 7) i ) , 由于 c l q. e . d . c k 0 和 c 7 )上有界知只有有限多个 km 使得 7 k= 注意到我们的空间分解与文献【 川 不同. 我们可以 改进文献 q - .因此定理得证 1 1 定理 1 . 3 6 如下 t h e o r e m 1 . 5 设he c l ( 街/ r 2 n , r ) 满 足( h 1 ) 一 ( h 3 ) 和 ( h 5 ) 存 在 常 数c , d 0 使 得v h 仁 ， z ) l c v h 仁 ， : ) 二 + d , d z e r 2 fv 则定理 2 . 2 结论成立。 r e m a r k 1 . 3在 文 献j 1 1 中 。 作 者 要 求b 川 为 常 矩阵 且 其特征 值互异。 利用 我们 的空 间分解，我们去掉上述限制， 定理 2 . 3的证明同定理 2 . 1 和定理 2 . 2的证明。 文献冈 中 ， 作 者利 用 迭 代m a s l o v - 型指 标理 论及估计由 直接 变分所得临 界点的 m a s l o v - 型 指 标， 研究了 系 统( 1 ) 的 次 调 和解的 分布。 用 我们 的 条 件( h 4 ) 替 换文献2 的条件( h 4 ) ， 有以下 结果 t h e o r e m 1 . 6 设he c 2 ( 肠x r i n , r ) 满 足( h l ) ( h 4