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中山大学硕士学位论文 摘要 从g a u s s b o n n e t 定理内外蕴证明到陈类 专业：基础数学 硕士生：刘洋 导师：陈兵龙教授 摘要 g a u s s b o n n e t 定理是联系流形的局部几何性质和整体的拓扑特征的 重要定理。a l l e n d o e f e r 和w e i l 运用局部嵌入的方法( 即外蕴方法) 证明 了对一般的闭的黎曼流形成立的推广的g a u s s b o n n e t 定理。随后陈省身 给出了推广的g a u s s b o n n e t 定理的内蕴证明，开创了大范围内蕴几何的 新篇章。他运用活动标架方法描写联络和曲率，把所有的因素都放到标架 丛来考虑，并运用切球丛上的内蕴地联系着底流形的微分形式，把对于底 流形上的微分形式的积分转化到切球丛上的。这种内蕴证明的方法对微分 几何的发展产生了深远的影响。g a u s s b o n n e t 定理的内蕴证明是后来继 续发展的“超渡”方法的源泉，它把底流形上的微分形式提升到标架丛上 来考虑，运用到球丛上的内蕴地联系着底流形的微分形式。内蕴证明是微 分几何发展史上的一个里程碑，把整体拓扑与整体内蕴几何联系了起来。 陈省身随后又由此发现了复纤维从上的拓扑不变量陈类，它是一种重 要的示性类，因为在复纤维上考虑的示性类比其它的示性类更简洁，而且 中山大学硕士学位论文 摘要 其它的示性类( 比如p o n t o a g i n 类) 也可由陈类更简单地表示出来。本文 简要介绍了a l l e n d o e f e r 和w e i l 关于g a u s s b o n n e t 定理的外蕴证明( 局部 嵌入方法) ，总结和解释了陈省身的内蕴证明方法，并介绍陈类这一重要 理论的出现。g a u s s b o n n e t 定理的内蕴证明是十分简洁而漂亮的，本文 分析了内蕴证明对微分几何所产生的重要影响，以及运用切球丛方法的重 要意义，阐明了g a u s s b o n n e t 定理中的被积项与陈类的关系。 关键词：微分几何，g a u s s b o n n e t 定理，陈类，内蕴证明，h e r m i t i a n 流形 i l 中山大学硕士学位论文英文摘要 f r o mt h ei n t r i n s i ca n de x t r i n s i cp r o o f s o fg a u s s b o n n e t t h e o r e mt oc h e mc l a s s e s m 旬o r ：p u r em a t h e m a t i c s n a m e ：l i u y a n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rb i n g l o n gc h e n t h eg a u s s b o n n e tt h e o r e mi sa ni m p o r t a n tt h e o r e mt h a tr e l a t e st h el o c a l g e o m e t r yn a t u r et ot h eg l o b a lt o p o l o g yo fm a n i f o l d s a 1 l e n d o e f e ra n dw e i l u s e dl o c a le m b e d d i n gm e t h o d ( n a m e l ye x t r i n s i cm e t h o d ) t og e n e r a l i z et h e g a u s s b o n n e tt h e o r e mt o h i g h e r d i m e n s i o n a lm a n i f o l d s l a t e ro n ， s i f t i n g s h e nc h e mg a v ea ni n t r i n s i cp r o o ft ot h eg a u s s - b o n n e tt h e o r e m ， w h i c hh a dap r o f o u n di n f l u e n c eo nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y h eu s e dt h em o v i n g f l a m em e t h o dt os t u d yc o n n e c t i o n sa n dc u r v a t u r e sa n dp u te v e r y t h i n go nt h e f r a m eb u n d l e si nt e r m so ft h et a n g e n ts p h e r eb u n d l e s ，t h i sm e t h o dc a l li n t e r p r e t a n dr e w r i t et h ei n t e g r a l so fd i f f e r e n t i a lf o r m so nt h eb o t t o mm a n i f o l d st ot h a t o nt h et a n g e n ts p h e r eb u n d l e s a n dt h i si st h e o r i g i no ft h et h o u g h to f “t r a n s g r e s s i o n ”c h e m sa r g u m e n t sh a v em a d et h ep r o m o t e dd e v e l o p m e n tf o r d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y t h i sp r o o fi sa l li m p o r t a n tm i l e s t o n ei nt h eh i s t o r yo f l i i 中山大学硕士学位论文英文摘要 d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , s h i i n g s h e nc h e md i s c o v e r e dt h ei m p o r t a n tt o p o l o g i c a l i n v a r i a n t s ，c h e mc l a s s e s ，w h i c ha r ei m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i cc l a s s e s ，a n do t h e r c h a r a c t e r i s t i cc l a s s e s ，s u c ha sp o n t r j a g i nc l a s s e s ，c a nb e e x p r e s s e dm o r e s i m p l yb yt h e m t h i sa r t i c l em a i n l ys u m m a r i z e sa n de x p l a i n sa l l e n d o e f e ra n d w e i l sl o c a le m b e d d i n gm e t h o do i lt h ee x t r i n s i cp r o o fo ft h eg a u s s b o n n e t t h e o r e ma n ds h i i n g - s h e nc h e m si n t r i n s i cp r o o fm e t h o do ft h eg a u s s - b o n n e t t h e o r e m ，a n di n t r o d u c e sc h e mc l a s s e sa n da p p l i c a t i o n s t h ei n t r i n s i cp r o o fo f g a u s s - b o n n e tt h e o r e mi se x t r e m e l yi m p o r t a n ta n db e a u t i f u l i nt h i sa r t i c l ei a l s oa n a l y z es o m ei m p o r t a n ti n f l u e n c eo ft h ei n t r i n s i cp r o o la n dt h em e t h o do f t a n g e n ts p h e r eb u n d l e s ，a sw e l la sc h e m c l a s s e s k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , g a u s s b o n n e tt h e o r e m ，c h e m c l a s s e s ，i n t r i n s i cp r o o f , h e r m i t i a nm a n i f o l d s 中山大学硕士学位论文 第一章g a u s s b o n n e t 定理和外蕴证明的简要介绍 第一章g a u s s - b o n n e t 定理和外蕴证明的简要介绍 对于紧致的的奇数维的流形m ，运用p o i n c a r 6 对偶( 参见 1 3 ) 或通过 计算m 上m o r s e 函数在其临界点的指标( 参见【1 1 ) 可知，z ( 肼) 一0 ，因此 这类流形有很强的拓扑限制。 推广的g a u s s - b o n n e t 定理对于紧致的的偶数维( n 。2 p ) 的可定向流形 m ，则有： 其中 j = ，q 。z ) ， q 4 南。墨，剐q 卜n n ， q ? 是m 上的曲率形式。 经典的二维曲面的g a u s s - b o n n e t 定理被越1 e n d o e f c r 在 1 】和f r e n c h e l 在 8 中各自独立地推广到高维，证明了任何能够嵌入到欧氏空间的的流形的 g a u s s b o n n e t 公式成立。在内蕴证明之前，a l l e n d o e f e r 和w e i l 证明了适用于 黎曼多面体( r i e m a n n i a np o l y h e d r o n ) l 拘推广的g a u s s b o n n e t 定理，根据c a f t a n 的一个嵌入定理( 2 】中脚注) ，他们采用的方法是通过把黎曼多面体的划分 为可嵌入到欧氏空间的局部小块。任何黎曼多面体存在一个好的划分，使划 分后的小块可解析地等距地嵌入到欧氏空间中去( 当时还不知道黎曼流形是 否可以整体等距地嵌入到欧氏空问中，到后来n a s h 才证明了紧致的黎曼流形 可以整体等距地嵌入到高维欧氏空间中，参见【1 4 】) ，在此基础上证明了把局 中山大学硕士学位论文 第一章g a u s s b o n n e t 定理和外蕴证明的简要介绍 部的曲率张量积分与e u l e r p o i n c a r 6 示性数的关系式，再利用一个可加性得到 整个黎曼流形上的结果。 a l l e n d o e f e r 和w e i l 在【1 】中先把角的概念推广到任意维( 可用内积或点的 相对位置来定义) ，定义角的维数、对偶角等等，角是研究凸胞腔( c o n v e xc e l l ) 和黎曼多边形的基本概念。然后他们定义凸胞腔。划分中同维凸胞腔的个数 与e u l e r - p o i n c a r 6 示性数有直接的关系，黎曼多面体就是被划分成凸胞腔来研 究的。另外，曲胞腔( c u r v e dc c l l l 是在凸胞腔上配备一个到高维欧氏空间的映 射，这个映射诱导了凸胞腔上的正定二次型，实际上给了凸胞腔一个黎曼几 何结构。 黎曼多面体的边界是黎曼多边g 臣( r i e m a n n i a np o l y h e d r a ) ，黎曼多边形的开 覆盖中的每个开集可同胚于欧氏空间中的凸角或欧氏空间，和现在我们经常 接触到的微分流形的定义一样，它也是根据不同的开集问转换函数的可微阶 数来定义它的微分结构，并且可以在它上面根据局部坐标定义正定二次型， 这跟现在我们经常接触到的黎曼度量是一样的。根据s s c a i r n s 的一个结论 任何微分多面体都容许一个胞腔划分，只需证明每个胞腔上的相关公式 成立。a l l e n d o e f e r 和w e i l 先证明了关于可嵌入到欧氏空间( 它上面的黎曼几 何结构是由从它到欧氏空间的映射来定义的) 的带边界的胞腔的 e u l e r - p o i n c a r 6 示性数与曲率张量积分关系式。由b u r s t i n j a n e t c a r t a n 定理， 解析胞腔( 它上面可以定义解析函数) 中任意一点都存在一个小邻域可以等 距嵌入到欧氏空间里，因此可把一个解析胞腔划分成足够小的凸胞腔，使得 中山大学硕士学位论文第一章g a u s s b o n n e t 定理和外蕴证明的简要介绍 每个小的凸胞腔都可以嵌入到欧氏空间。对于可嵌入到欧氏空间的胞腔，运 用管状邻域( t u b e ) 方法，应用h w e y l 的一个公式( 参见【1 6 ) 可以计算曲率 张量在它上面( 包括边界) 的积分，从而说明e u l e r - p o i n c a r 6 特征数与曲率张 量积分关系式成立。对于一个任意胞腔，运用w h i t n e y 的一个一致逼近定理 ( 参见 1 9 】) ，在它的划分中的凸胞腔上定义的函数可由解析函数逼近， a l l e n d o e f e r 和w e l l 证明了对于一般的紧的黎曼流形成立的推广的 g a u s s b o n n e t 定理( 又称a l l e n d o e f e r - w e i l 公式) ，被积项是l i p s c h i t z k i l l i n g 形式的曲率( 参见第二章) 。我们把整个过程用一个图简单地表示为： i 辫析胞腔中的小邻城 ， 解析胞腔 任意胞腔 黎曼多面体 中山大学硕士学位论文第二章内蕴证明 2 1 内蕴证明总结 第二章内蕴证明 内蕴证明主要用到了标架丛( f r a m eb u n d l e ) 、横微分式( h o r i z o n t a l d i f f e r e n t i a lf o r m ) 、球z 呔( t a n g e n ts p h e r eb u n d l e s ) 等重要概念，以及构造微分式 和考虑流形上的单位向量场( u n i tv e c t o rf i e l d s ) 等技巧，用活动标架去描述联 络和曲率，把所有的影响因素都放到标架丛这样一个大的空间里来考虑。下 面将逐步给以介绍，并对一些内蕴证明过程中的一些重要步骤( 引自【3 】，【1 7 】 和导师的讲授) 给以详细的或者另外方法的证明。 为了研究流形的局部性质，我们先要描述一下局部标架上的联络和曲率。 设k ，l 2 ) 个环面的连通和m t 。 中山大学硕士学位论文第二章内蕴证明 因为根据【2 1 】，可定向紧曲面只有以上三种拓扑类。 另外，值得一提的是西是曲率形式的充要条件是石满足 l 磊。铆) ，( 参见 1 5 ) 。 中山大学硕士学位论文 第三章h e r m i t i a n 流形上的陈类 第三章h e r m i t i a n 流形上的陈类 3 1由曲率形式定义的陈类 在证明命题1 的过程中，我们容易发现q 是流形上的一类拓扑不变量， 因为q 与标架场的选取无关，而且进一步的探索能够发现q 是实的黎曼流形 的标架场上的特征类，这是在复向量丛上考虑特征类一陈类( c h e r nc l a s s e s ) 的 思想源泉。 陈类可从不同的角度给出它的定义，当我们给复流形以h e r m i t i a n 度量 ( h e r m i t i a nm e t r i c ) 和h e r m i t i a n 容许联络时，陈类就可以用曲率形式的外积 即不变的微分形式来表示，我们可以更具体地看到陈类的样子，也使我们能 够对陈类作各种形式的计算，用微分形式来定义陈类对几何与现代物理的发 展有着极其重要的影响。我们可用它来计算流形的其它拓扑量。另一方面， 由于陈类是拓扑不变量，它可以纯粹地从拓扑的角度( 包括s c h u b e r t 类 f s c h u b e r tv a r i e t i e s ) 等方法) 来定义它，不关系到几何特征度量和曲率。 在后来的代数几何中，陈类也有很自然的定义方式。 陈类是在复流形上定义的，下面我们来看看复微分几何中的h e r m i t i a n 流 形上的陈类的定义过程( 主要参考 6 】和【4 】) 。( 注：在复向量丛上都可以定义 陈类) 为了定义陈类，要说明它是d er h a m 上同调中的类，有三点需要说明 中山大学硕士学位论文第三章h e r m i t i a n 流形上的陈类 1 、它是闭的不变的微分形式 2 、它是不依赖于联络的选取 3 、它是实值的微分形式。 本文第二章开始可看成是实向量丛上的联络和曲率在不同的局部架下所 满足的关系，不难看出，这些关系式在p 维复流形的切m 盘( t a n g e n tv e c t o r b u n d l e s ) j 2 也同样成立，只不过这里切向量丛的结构群是复数域上的一般线形 群( g e n e r a ll i n e a rg r o u p ) 。 对于一般的h e r m i t i a n 流形，是在复流形的切向量丛上给一个h e r m i t i a n 结构日( 芋，叩) ，它关于局部的切空间里的自然标架所对应的是h e r m i t i a n 矩阵 记为 h 。( ) ，这里a 日( 专，害_ ) 。 根据局部坐标系h e r m i t i a n 度量可表示为 掰2 磊膻。 我们需要对称的不变多项式的一些概念，因为不变多项式能为研究流形建 立局部和整体之间的关系( 参见【6 】) 。 设一是复矩阵，展开d e t ( ，+ 去4 ) 并且把含有爿中元素的乘积次数相同的 放到一起得 d e t ( “去5 。薹，q ( 3 1 ) 类似于第二章命题1 下的推导过程，可知c j ) 是关于爿的不变多项式， 即对于任意的x e g l 0 ，c ) ，q 0 ) = q ( x 1 a x ) 。 中山大学硕士学位论文第三章h e r m i t i a n 流形上的陈类 因此q ( q ) 是大范围定义的微分形式。 由b i n a c h i 恒等式可以得到，c k 口) 是闭微分式( 参见【1 0 】) 。 自然标架上的联络形式记为；( 耐) 。于是联络d 可表示为 。专= 乏砉叫。把争把 紧接着我们要说明q ( q ) 所决定的类与联络的选取无关。 定理不同联络下的q ( q ) 只相差一个恰当形式。 这个定理的证明有一些技巧性，需要构造一族联络，对应一族曲率形式，对 它们求导再积分得到一个恰当形式( 参见【6 】) 。 有了这个定理，可知若q ( q ) 是d er h a m 上同调中的元，则不同联络所对应 的气( q ) 是在同一类。 要使得q ( q ) 是实值的微分形式，我们需要给复切向量丛以h e r m i t i a n 结 构h ( 亭，叩) 。下面需要介绍复向量丛上的h e r m i t i a n 几何中的联络和曲率的几 个公式。 具有h e r m i t i a n 结构的复向量丛上有h e r m i t i a n 容许联络( 指的是与度量 的相容性) 。与黎曼联络和度量的相容性类似( 参见【1 8 】) ，h e r m i t i a n 容许联 络d 应满足： d h ( 亭，7 ) ；h ( d 亭，叩) + 月( 亭，铆) 。 取占= 砉，叩一专得 d 日c 刍，专，= h p 专，寺+ h c 专，d 专， 即 中山大学硕士学位论文 第三章h e r m i t i a n 流形上的陈类 于是 写成矩阵的形式得 因为 因此 册专，寺叫善专破，寺删专，；专珊 。；毹+ 军k 霹。 d h ；d h + h 面 d 2 h 。d ma h 一d h + d h 历+ 删面 ；d m h 一 ( f o 日+ 日历) + ( h + 回a 面+ 月d 面 = 堪d g o tan 】 、h + h ( d 面+ 面 固 d 叫+ 军衅 叫j q o d ( ) 卜罩( z ( ；d 叫一莩叫 叫 # d 叫+ 叫 叫 a ( 口) ? ， 我们想说明c i ( q ) 是实值的 q 7 日+ h q = o 。 州+ 去q ) = d e t u 一击西) _ d e t ( ，+ 去鲫r ) - d c t ( ，+ 去科) = d e t ( 1 + q ) 凹 所以q ( q ) 是实值的微分形式，它决定了d er h a m 中的上同调类。 中山大学硕士学位论文第三章h e r m i t i a n 流形上的陈类 经过上面的准备工作后，这样就可以定义陈类了。 我们可以具体地把气( q ) 的表达式写出来 朗 q ( q ) 西1 【刁i i 。篆，蛳_ ，f 加( 舢，j ，磁 n q o ， ( 3 2 ) ( 前面有系数击是因为后面求和时的重数) 这就是给了h e 肋i t i a i l 结构的复向 量丛上的第k 个陈类的曲率的外积形式的表达式。 陈省身在论文“c l a s s e so fh e r m i t i a nm a n i f o l d s ”中，为复流形的复切向量 定义了示性类，它是实向量丛上的示性类s t i e f e l - w h i t n e y 类的推广。在 陈省身的“c l a s s e so fh e r m i t i a nm a n i f o l d s ”的前面部分，这些定义都是从纯拓 扑的角度出发给出的。后面部分引入了具有h e r r n i t i a n 度量的h e r m i t i a n 流形， 主要研究了它上的h e r m i t i a n 度量所决定的特征类的表达形式，在d er h a m 上同调类意义下它可用外微分式( 参见【4 ) 来表示，具有h e r m i t i a n 流形的 微分形式是由h e r m i t i a n 度量的局部结构来决定，可是这些用微分形式表示的 特征类又是整体不变量。局部的h e r m i t i a n 度量能够给出特征类的关于曲率形 式的表达式( ( 3 2 ) 式) 。 陈类在一些经典的公式的证明中有着重要的应用，比如关于复投影空间的 c a f t a n 公式和w i r t i n g e r 公式等( 参见【4 】) ，这些经典的公式可被看作是陈类 取特殊情形，从这里可以看出陈类是具有重要意义的。陈类作为示性类是从 实向量丛到复向量丛的推广，陈类的出现使其它示性类( 如p o n t q a g i n 类) 的定 义和表示形式更简单。在示性类的研究和计算实向量丛的p o n t r j a g i n 类时， 中山大学硕士学位论文第三章h e r m i t i a n 流形上的陈类 可以通过其复化的陈类来加以研究和计算。陈类在以酉群为结构群的纤维丛 的分类中等都有十分重要的应用，它对复向量丛的研究非常重要，能够增进 我们对流形的拓扑性质的了解。陈类建立了代数拓扑和微分几何的联系，推 动了整体几何学的发展。特别是用微分形式定义陈类对几何学与现代物理有 极为重要的影响( 参考 2 2 ) 。自从陈类出现以后，陈类不仅是微分几何领 域的一个重要理论，而且陈类的相关理论也在其它领域中建立和发展起来。 陈类不仅在几何学有非常重要的应用，而且促使了物理学上的经典的量子场 论到的大范围量子场论拓扑分析的发展( 参见【9 】) 。 3 2 曲率形式外积的迹 我们知道 c ( q ) = d e f t + q ) 血 = c o ( q ) + c 1 ( q ) + + 巳( q ) 称为总陈类。 为了用曲率矩阵的外积的迹来表示各陈类，根据( 3 2 ) 我们来计算它 们( 主要参考【9 】) c o ( q ) 一1 ， c l ( q ) 2 去乏s 州，) q 扣去m 中山大学硕士学位论文 第三章h e r m i t i a n 流形上的陈类 若 则 c z ( q ) = 嘲2 五1i 荔，啦咖叫) q ；一q ： 壶z n q ；一q “q ： = ( t r ( q q ) 一t r o d t r y ) ， 玎 c 3 ( q ) = ( 寺3 击( 叫n q ；一q ：一q “q ：一q ：一q ：一噶一q 2 一q ：nq ； q ：+ q ? q ： q ：+ q ：一q ：nq ：) j 一去( t r f 2 a f r q t r y 2 - 3 t r ( q a q ) 打q + 2 t r ( f 2 a q q ) ) 。 4 8 z 。 7 枣章f 鞔们对矩阵运笪 b 昌 o d e t ( e x p b ) = d e t o 驴t0 ；e 1 + + k ；e x p ( t r b ) 。 容易看出当b 是j o r d a n 标准型时，仍有 d e t ( e x p b ) = e x p ( t r b ) ， 这是因为上三角矩阵的乘积还是上三角矩阵。 由于任意矩阵百都与某个j o r d a n 标准型丑相似，则有西；s - 1 b s 。 3 2 主些奎兰堡主兰垡笙奎 蔓三童! ! 型竺塑堡兰盟! ! 鉴 十是 d c t ( c x pb ) ；d c t ( e x ps 一1 嬲、 哦t ( 荟去( s 。1 b s ) ) 础t ( 荟壶眺) = d e t ( s “( e x p b ) s ) = d e t ( e x p b ) 一e x p ) = e x p ( t r 雪) 。 因此对于任意矩阵a ，有 d e t ( 1 + 爿) 一d e t ( e x p ( 1 n ( 1 + 4 ) ) ) ；e x p ( t r ( a 一百m 2 + 了m 3 一) ) 。1 + 印一等+ 等一) + l t r ( a 百m 2 + 了m 3 一) 】2 + 丢时口一等+ 了h 3 一) 1 3 + - 去 t r ( a i a 2 + 了h 3 一) 】4 + = 1 + 棚+ l ( t r a ) 一鲥2 】+ 丢【( 鲥) 3 3 鲥鲥2 + 删3 + 丢m ) 4 6 ( t r a ) 2 州2 + 3 ( i r a 2 ) 2 + 8 t r a t r a 3 6 比4 4 + 。 把爿换成圭q ，有 扭 d c c ( ，+ 去q ) = 1 + 去护q _ 断r ( t r q ) 2 _ t r y 2 】一赤q ) 3 一新q f ，q 2 协q 3 】+ 夏杀陋q ) 4 6 ( t r y ) 2 f r q 2 + 3 p f z 2 ) 2 + 8 护q f r q 3 一1 5 护q 4 】+ 。 ( 3 2 ) 式是一个很对称的表达式，虽然陈类的上面这个表达式比原表达式显 得更复杂，但是我们可以看到陈类可以只与曲率矩阵或曲率矩阵外积的迹有 关。 中山大学硕士学位论文第三章h e r m i t i a n 流形上的陈类 顺便提一下，根据陈类的性质和第四章的结论，以及通过构造m o r s e 函数 ( m 上的m o r s e 函数和上的m o r s e 函数之和可以作为m 上的m o r s e 函数) ，可知：m ，是两个偶数维的紧致可定向的黎曼流形，则 l ，q w q 。z 拓( ) ， 其中q _ ! i f 和q ，分别是形如( 1 1 ) 式所定义的m 和n 上的微分式。 证明：设f ( x ) 和g ( y ) 分别是紧致可定向的m 维m 和紧致可定向的n 维流形 上的m o r s e 函数，易知 h ( x ，y ) = ，0 ) + g ( y ) 是mx n 上的m o r s e 函数。 再设。 ( ，) ，气( g ) 和q ) 分别是，0 ) ，g ( y ) 和 ) ，) 的指标为 ，屯和a 的 临界点的个数。 因为m o r s e 函数在其临界点的指标是临界点的切空间中的使得该函数的 h e s s i a n 为负的最大子空间的维数。 可以得到 荟( 一1 ) x c x ( 6 ) 2 篆( 一1 ) 1 ( c o ( ，a ( g ) + c - ( ，) c a ，( g ) + + c ( ，) c o ( 占) ) 2 磊磊( 一妒c - ( ，) ( 一旷1 气 ( g ) 2 磊( 一峨( ，) 磊( 一垆气( g ) 。 由【1 1 】中定理1 2 6 知 中山大学硕士学位论文 第三章h e r m i t i a n 流形上的陈类 z ( m x n ) = 罗( 一矿c a b ) 呻 2 磊( - 妒c ( ，) 磊( _ 旷c 水) 2 “m ) z ( ) 。 易知m x n 上形如第二章( 2 3