（基础数学专业论文）关于矩阵行列式的不等式.pdf

摘要 矩阵行列式是矩阵论中的一个非常重要的概念，它在线性代数中 有相当重要的地位。本文借助于矩阵理论和线性代数的知识，并利用 分析的技巧，建立了f a nk y 不等式的一个新的改进，并给出了它的反 向形式；同时，推广了m i n k o w s k i 矩阵行列式不等式。作为应用，利 用g r a m 矩阵的正定性，建立了m i n k o w s k i 解析不等式、h a r d y 不等式 和h e i s e n b e r g 不等式的推广和改进。具体如下： 第一章介绍全文的研究目的、背景、方法和结果。 第二章给出f a nk y 不等式的一个新改进。 第三章给出了m i n k o w s k i 矩阵行列式不等式的推广。 第四章利用g r a m 矩阵的正定性，建立了m i n k o w s k i 解析不等式、 h a r d y 不等式和h e i s e n b e r g 不等式的推广和改进。 关键词：矩阵行列式；正定矩阵；g r a m 矩阵；特征根；f a nk y 不等 式；m i n k o w s k i 不等式 a b s t r a c t t h ed e t e r m i n a n to fam a t r i xi sab a s i cc o n c e p ti nm a t r i xt h e o r y i ti s p o s s e s s e do fa ni m p o r t a n tp o s i t i o ni nl i n e a ra l g e b r a an e wr e f i n e m e n to f f a nk y si n e q u a l i t yi se s t a b l i s h e db ym e a n so ft h em a t r i xt h e o r ya n dt h e k n o w l e d g eo nl i n e a ra l g e b r aa n db ya p p l y i n gt h et e c h n i q u eo fa n a l y s i s a n di t sr e v e r s ef o r mi sa l s oy i e l d e d a tt h es a m et i m e ，m i n k o w s k i s i n e q u a l i t yo fd e t e r m i n a n to fm a t r i c e si sg e n e r a l i z e d a sa p p l i c a t i o n so ft h e p o s i t i v e d e f i n i t e n e s so fg r a m m a t r i x ，s o m eg e n e r a l i z a t i o n s a n d i m p r o v e m e n t s o ft h e a n a l y t i ci n e q u a l i t y o fm i n k o w s k i ，t h eh a r d y i n e q u a l i t ya n dt h eh e i s e n b e r gi n e q u a l i t ya r eb u i l t t h ed i s s e r t a t i o ni s o r g a n i z e da st h ef o l l o w i n g ： c h a p t e r1 t h ep u r p o s e ，b a c k g r o u n d , m e t h o d s a n dr e s u l t so ft h e d i s s e r t a t i o na r ei n t r o d u c e d c h a p t e r 2 a r e f i n e m e n to ff a nk y si n e q u a l i t yi sg i v e n c h a p t e r 3 ag e n e r a l i z a t i o no fm i n k o w s k i si n e q u a l i t yo f d e t e r - m i n a n to fm a t r i c e si so b t a i n e d c h a p t e r 4 a sa p p l i c a t i o n so ft h ep o s i t i v ed e f i n i t e n e s so fg r a mm a t r i x ， s o m eg e n e r a l i z a t i o n sa n d i m p r o v e m e n t so ft h e a n a l y t i ci n e q u a l i t yo f m i n k o w s k i ，t h eh a r d yi n e q u a l i t ya n dt h eh e i s e n b e r gi n e q u a l i t ya r e i i i e s t a b l i s h e d k e yw o r d s ：d e t e r m i n a n to fam a t r i x ；p o s i t i v e d e f i n i t em a t r i x ：g r a m m a t r i x ；c h a r a c t e r i s t i cr o o tf a nk y si n e q u a l i t y ；m i n k o w s k i si n e q u a l i t y i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 瑶，跋彻罗年1 1 月27 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密吼 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：瑶、砍日期：腑1 1 月2 7 日 导师签名：多聋芬襞日期：彩严，月7 日 关于矩阵行列式的不等式 第一章引言 设a ，b 为n 阶正定矩阵，0 五1 那么 i a i 五i b | 1 一五i , z a + ( 1 - 2 ) b l ， ( 1 1 ) i 么+ b l l l 么i l + i b i ， ( 1 2 ) 其中吲表示，z 阶矩阵x 的行列式( 1 1 ) 是著名的樊畿( f a nk y ) 不等式，而( 1 2 ) 是著名的闵可夫斯基( m i n k o w s k i ) 不等式( 见 1 】) 鉴于它们在理论研究和实际应用中的重要性，多年来，有许多数学家 对这两个不等式进行了各种推广和改进本文的目的是力图用矩阵和 线性代数的理论结合分析的理论和方法给出( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的改进 并利用g r a m 矩阵和分析的技巧，建立m i n k o w s l d 解析不等式、h a r d y 不等式和h e i s e n b e r g 不等式的改进 由于这些内容和方法各具本身的特色，所以分成三章分别进行研 究 第二章关于f a nk y 不等式的改进 利用矩阵理论和内积空间理论及线性代数的有关知识，通过引入 单位可变向量建立了c a u c h y 不等式的一个改进，进一步再利用分析方 法的技巧，得到了h 6 1 d e r 不等式的一个较强的结果主要方法是采用 正定矩阵理论和引入单位可变向量的概念据此，创建了f a nk y 不等 式的一个新的改进，并且推广了所得的结果，然后利用反向h 6 1 d e r 不 等式，建立了反向f a nk y 不等式当a ，b 为，z 阶非奇异矩阵时，给出 了反向f a nk y 不等式的推广 1 高校教师在职硕士学位论文 第三章m i n k o w s k i 矩阵行列式不等式的推广 矩阵的行列式是矩阵论中的一个重要概念，它在行列式、方程组和 矩阵的特征值等方面有相当重要的地位人们对于有关正定矩阵的行列 式不等式已经得到了一些漂亮的结果m i n k o w s k i 不等式是矩阵论中的 个非常重要的不等式，引起了不少数学家的关注，在很多文献中，可 以看到它的各种推广和改进，如文献 1 中所列的若干文献及文 1 8 一 2 1 缝 寸 本章将给出m i n k o w s k i 矩阵行列式不等式的一般形式，适于更广 泛的一类矩阵 文 2 0 讨论了复正定矩阵的m i n k o w s k i 不等式及推广本章的结 论可以看作它们的推广 第四章应用 利用g r a m 矩阵正定性理论，给出了在解析不等式中的若干应用： 建立了m i n k o w s k i 解析不等式( 包括离散型和积分型) 的新的改进；得到 了h a r d y 不等式( 包括离散型和积分型) 的较强的结果；推广了经典的 h e i s e n b e r g 不等式 关于矩阵行列式的不等式 第二章f a nk y 不等式的改进 近年来，已有若干文献研究f a nk y 不等式( 如 2 】- 7 等) 本章的 目的是利用h e r m i t e 矩阵和内积空间的理论给出( 1 1 ) 的一个新的改 进，并且推广所得的结果，然后建立它的一个反向不等式 2 1 主要结果的叙述 定理2 1 设4 ，b ，c 为，z 阶正定矩阵，且l c l = 万”，o a 1 那么 wi b l l 。a 1 那么 i 么ri b i 卜五 l 五彳+ ( 1 一力) b i ， ( 2 3 ) 不等式( 2 3 ) 称为反向f a ni 匆不等式 如果a 为玎阶非奇异矩阵，那么彳彳，是，2 阶正定矩阵( 见引理2 4 ) ， 高校教师在职硕士学位论文 且i 州i = a 1 2 ，由定理2 2 ，我们马上得到反向f a nk y 不等式的一个推 广 推论2 2 设a ，b 为甩阶非奇异矩阵，允 1 那么 酽坩卜 l 允州+ ( 1 2 ) b b 1 ( 2 - 4 ) 2 2 主要结果的证明 为方便起见，设厂( x ) ，g ( x ) o ( x ( o ，+ ) ) 我们先介绍一些符 号： ( 刖) = h 烈舳，| | 驴i i 盼叫拳闸l j1 1 ：1 1 2 = l l f l l 0 0 ， s ( ，办) = ( 厂量，h ) l l ：l l ：， 1 t ：+ g l l l t f + g l l ，：( 焉。厂( x ) + g ( x ) l ， 吾， ，= l 且厂( x ) + g ( x ) l ，l ， 一， 其中， 1 ，h 是可变单位向量在通常情况下，适当选取h 可使要讨 论的问题得以简化特别厂主与五正交时，母( 厂，办) = o 为证明我们的主要结果，我们需要下列引理 引理2 1 设五，恐，l 吒为一酉( u n i t a r y ) 空间u 的向量，( x ，y ) 为 两向量x ，y 的内积，且( x ，y ) = 而j ，则称 g ( 五，恐，l ，矗) = ( 玉，五)( 毛，恐) l( 五，) ( 恐，五) ( 恐，恐) l ( 屯，毛) mmm ( 吒，五) ( 吒，屯) l( 毛，) 为向量五，屯，l 吒的g r a m 矩阵，又称 i ( 葺，x 2 ，l ) = d e tg ( 葺，x 2 ，lx n ) 为向量而，x 2 ，l 吒的g r a m 的行列式，则有g r a m 不等式 r ( 五，弓，l 毛) 0 ， ( 2 5 ) 关于矩阵行列式的不等式 等号成立当且仅当向量五，x 2 ，lx n 线性相关 证明若向量五，x 2 ，l 线性相关，即存在不全为零的以。，口：l 吼使下 式成立： 口l 毛+ 口2 屯+ l + 盘n x n = 0 ， 因此对任意的k ( k = 1 ，2 ，l ，万) ， a i ( 五，x k ) + 口2 ( 吃，x d + l + a n ( 吒，x k ) = 0 ， ( 2 6 ) ( 2 7 ) 即说，( 2 5 ) 等号成立( 即r ( _ ，x 2 ，l 吒) = o ) 反之若r ( 五，x 2 ，l ) = 0 ，则 ( 2 - 7 ) 有非平凡解吒( k = 1 ，2 ，l ，刀) 现在来证明对数值吼，( 2 - 6 ) 成立因为( 2 。7 ) 可写成 ( a 1 ( 五，以) + a 2 ( x 2 ，x k ) + l + 口。( 吒，) ) = 0 ， 两边乘以乏，有瓦( 口。( 五，x k ) + a ：( 屯，耳) + l + ( 矗，x a ) = 0 ，此即 k = 1 因此( 2 6 ) 成立 ( q 毛+ l + 口。，a 1 五+ 口2 恐+ l + 口。吒) = 0 下面证明r ( 而，x 2 ，l ) 0 当五，x 2 ，lx n 线性无关时，设 2 五 g ( 乇，l ，一一1 ) m x r i ( ，五) l ( ，t 1 ) 有关上式最后一列行列式形式表示，则 ( y ，t ) = g ( 五，l ，- 1 ) ( x r ，而) l ( 五，t ) m ( 墨- l ，气) ( ，一一。)( ，) 易见，当s 0 ，即r ( ，屯) 0 由归纳法即可推出 r ( 五，x 2 ，l 毛) 0 我们指出：不等式( 2 5 ) 有许多证明方法，如文 8 9 等 引理2 2 设厂( x ) ，g ( x ) o ( x ( o ，+ 。) ) ，专+ 号= 1kp 1 如果 o l l ：l l ， + 且o l l g l l 。 1 因古+ 寺= 1 ，于 是我们有p 2 令彳= 号，b = 吉，那么击+ - = 1 由h s l d e r 不等式， 得 ( 厂，g ) = 少( x ) g ( x ) 应 = 甄厂( x ) ( g ( x ) ) “，) ( g ( x ) ) 1 - “，出 翼厂( x ) ( g ( x ) ) 9 ，) 一出) v 4 了 ( g c 工，) l g ，) 口出) v 丑 = ( 厂p 2 ，g q 2 ) 纠，0 9 0 ：1 2 7 p ( 2 14 ) 不等式( 2 1 4 ) 中等式成立当且仅当f p 2 与g 们线性相关事实上，( 2 1 4 ) 中等式成立当且仅当对任何正整数k ，存在正数c l ，使得 ( 厂g 咖) r = q ( 9 1 g p ) q 化简得厂彬= q g 非 利用( 2 - 1 3 ) 可得 ( 厂p 胆，9 9 2 ) 2 9 厂ki l g 喝( 1 一，- ) ， ( 2 - 1 5 ) 其中，= ( ( 厂，办) 一s q ( g ，办) ) 2 不等式( 2 1 5 ) 中等式成立当且仅当f p l 2 与 g 栌线性相关；或者h 是厂舻和g 非的线性组合把( 2 1 5 ) 代入( 2 1 4 ) q b ，化 简后即得 ( f ，g ) i l s l l p0 9 l l g ( 1 一，) 古， ( 2 - 1 6 ) 不等式( 2 - 16 ) d p 等式成立当且仅当f p 2 与g q 2 线性相关；或者h 是厂州z 和 高校教师在职硕士学位论文 g 们的线性组合注意np 与g 的对称性，因此不等式( 2 1 1 ) 成立 引理2 2 的证明方法较多，可参看文 9 _ 11 等 引理2 3 若d 是一个n 阶正定矩阵，那么存在n 阶正交矩阵 q ，使得q d q 是对角形矩阵，其中对角线上的元素是d 的全部特征 根，且全部是正根 证明当n - - l 时，命题显然成立由于d 是一个k 阶正定矩阵， 假设n - k 时，令足县日= q ，q 为正交矩阵有 足l 罡号础。p ：l 只= ( 足lp 2 p o d ( p k l 最墨) = q d g = 使得q k d q 。是对角形矩阵，而且a ，如，l 五 o 成立 则当n = k + 1 时，对q k dq ：k 进行行变换气。和列变换气。，令 兄。l 罡e = q ，q 为正交矩阵，则有下式 丑q k d q k 置+ j = ( 瓦。g ) d ( 。g ) = q d q = 因为d 是一个k + 1 阶正定矩阵，则d e t ( q d q ) o ，由假设a ，五，l 疋 o 得以+ 。 o 因此，结论成立 引理2 4如果彳为7 z 阶非奇异实矩阵，那么州7 是n 阶正定 矩阵 证明由于彳为n 阶非奇异矩阵，则d e t ( a ) = d e t ( a ) o ，又 r o o m k k k m o 0 五m k a o m 0 o o m k k k m 0 0 五m k a o m o 关于矩阵行列式的不等式 d e tr 州) = d e t ( a ) d e t ( a ) = ( d e t ( a ) ) 2 o ，令a a 书则s 是一个实对称矩 阵，所以存在实可逆矩阵p 使得 p s p = 所以州7 是n 阶正定矩阵 引理2 5 设d 为刀阶正定矩阵，那么 m e x p ( - 删出= 耐， ( 2 _ 1 7 ) 其中x = ( 五，恐，x n ) ，表示x 的转置，出= 啦呶d _ x 。 证明因为d 为n 阶正定矩阵，由引理2 3 知：存在正交矩阵q ，使得 q d q = 纰 五，五，以 ，其中以 o ( f = 1 ，2 ，咒) 是d 的全部特征根于是 我们有 j j e x p ( - x d x 7 ) 出= f - ，e x p ( - y q d q y ) 咖 = f ，e x p ( - y d i a g ( r a ，如，以) 砂 = ( 去) ? 注意到i d i = a 如乃，因此，( 2 - 1 7 ) 式成立 定理2 1 的证明 证明当五= 0 ，1 时，不等式( 2 1 ) 显然成立因此我们只需要考虑 0 o 或例 o ； 2 r a r l l ( ( 他一b a ) 1 由此有，如果a ，b c “若a ，b 满足下列条件之一，则它们可广义 同时非负上三角化 1 、a ，b 为h e r m i t e 正定矩阵； 1 1 高校教师在职硕士学位论文 2 、h o ，a - i b 的特征根为非负实数； 3 、r a n k ( a b b a ) l ，且a ，b 的特征根为非负实数 进一步还会有：v a ，b c “”若a ，b 可广义同时非负上三角化，则 有 1 、g 彳，g b 可广义同时非负上三角化，其中g 彳表示4 的k 级 复合矩阵； 2 、4 0 c 与b o d 可广义同时非负上三角化，其中c ，d c ”可广 义同时非负上三角化 3 1 主要结果的叙述 定理3 1设a ，b 可广义同时非负上三角化，则有 1 1 - 1 - i + f i b ；， i = 1i = li f f i l 等号成立当且仅当下列条件之一成立： ( 1 ) 3 i ：i e 1 ，咒】，使得口f = 6 f = 0 ； ( 2 ) q = 0v i 【1 ，力 ； ( 3 ) 包= 0 ，v i 【1 ，n ； ( 4 ) j ：三，q o ，2 j i o ，a _ 。a ：c ，c 为固定常数 忍现 ( 3 。1 ) 证明考虑h 5 1 d e r 不等式的推广形式( 见 1 ) 如果口驴 o ，墨 o ， h 1 ，则 等号成立当且仅当 一 q = 1 ， f t l 一，h，n 兀( 呀) 丑兀( ) 而， 车吐：车l ， f ， 1 ，m ( 3 2 ) 矗 。 7 一ko t lk f f i l 不等式( 3 1 ) 显然是其特例下证等号成立的条件：显然上面四种情 况的任一种都能保证等号成立反之，如果( 3 1 ) 等号成立，则有 1 如果j f 使得q = o ，则兀( 口，+ 岛) 5 = 丌露+ 兀筇，假设v f ，q 兰包= o i f f i li - ii l l 不成立，则矛盾，所以，影，使得口j = b j = o ； 一 弦 善争善净 高校教师在职硕士学位论文 况； 2 如果对v i ，口，= o 则得到第二种情况，由对称性也有第三种情 3 - 如果v i , a j 0 , 三，6 ：f 。，自( 3 - 3 ) 钒此时s n = l 毒2 再a 1 ， 即s ：三，q o ，岛 o ，孚= c ，c 为固定常数 n魏 引理3 2 设a f 0 ，6 f o ，托n ，o o ，6 f 0 的情况即证 兀口；5 + 兀岛5。 。 珂 2 1 一柑j 皇f 生l 一= t i # + t i ( 1 一五) 5 了( x ) ，x = ( j c l ，屯，l ，毛) 兀( q + 6 f ) 5 扛1 信1 这里工= ( 五，x 2 ，l ，吒) ，t = j 毛由f ；l = 0 的唯一稳定点为 a ：+ b ： ；= ( 丢，l ，丢) ，疋( ；) = s ( s - 1 ) 2 3 一，f # x j ( _ ) = s 2 2 3 一( 吲) 令彳= 【疋，( - ) 】棚，可求得矩阵4 的特征值为 2 3 - = ( s n 一1 ) s ，- 2 3 一埘j ( 咒一1 重) ，。 所以，当s 栉 i a + r l u ：r i ( 4 + 巧) 5 ) = i a l 5 ( 1 + p b l ) 。 i = 1 j = l 2 i a i 。+ i b i ， 等号成立当且仅 v a ：= o 且引理3 1 中的( 1 ) 一( 4 ) 之一成立，由( 3 ) 成立 得v a ；= o ，u i = o ，6 f = o ，即( 4 - 1 占) “= 0 ，由( 4 ) 成立得j = ，口，= l = 口r = o ， h + r u 。= l = 吩= 砰= l = 配 2 、i 么+ b i 。 - - 1 4 ( 1 - i ( 1 + u ；) + r i ( 1 + + 巧) 5 ) - i a i 2m w 卜1 ( 1 + 兀“，5 兀( + 巧) 5 ) = ：2 5 肼+ 一1i a l 5 + i b l 5 等号成立当且仅当v a ；= o ，l = u ，= 砰，即v f ，q = o ，( 订一彳一1 b ) ”= 0 的解为 1 ，f ，一f 于是，定理被证明 1 8 关于矩阵行列式的不等式 第四章g r a m 矩阵正定性的若干应用 在第二章中，我们利用g r a m 矩阵正定性建立了一个非常有用收 不等式( 2 1 1 ) 因为我们是在内积空间中建立的，所以对离散的情 形也成立为方便起见，我们引入下列记号： ( 口i ) = 喜噬，忙i i ，= ( 砉口：) 沙，特别：= i 口l i ， 母( 口，y ) = ( 口帕，y ) h 7 啦， ， 、 口+ 6 l l r 2 l 善1 + 吃1 7j 。n 宣l 其中口= ( q ，口：，) 是实数序列，t 2 和y 都是内积空间中的元素厂 1 ，y 是可变单位向量在通常情况下，适当选取y 可使要讨论的问题得以 简化特别口羞与y 正交时，s r ( 口，y ) = o 由此我们有与( 2 1 1 ) 相类似的结果 引理4 1 设口刀，吃0 ( g = 1 ，2 ，) ，7 1 + 吉= 1 且p 1 如果 0 l l a l l ， + 妣o l l b u ， 1 如果o p + 且o b i i p 1 设o i ：1 。 + 和 0 。 1 如果o 1 1 口i l p + 且o 1 1 6 l i p + o o ，那 么 0 a + b l l ，- 1 设o l i 厂l l ， + o o , 矛no lg l l ， + ， 那么 0 厂+ 9 0 p - 1 1 ：1 1 p ( 1 - r ( f ) ) m + l l g l i p ( 1 一，( g ) ) ”， ( 4 - 5 ) 其中拂= i i 血 古，1 - - 上p ， 关丁矩阵行列式的不等式 ( ( 厂+ g ) 朋，办) = ( 厂( x ) + g ( x ) ) 州2 办( x ) 出，h 是一个可变单位向量，即 r 。、v 2 = 弘2 ( x ) 出 = 1 不等式( 4 - 5 ) 中取等号的充分必要条件是：厂考和 g 号线性相关，或向量乃是厂弓和g 暑及u + g ) 呈的线性组合 定理4 1 的证明 设聊= 血n 古，1 一哥，陋+ 6 忆= i ( + 吃) ，1 由引理4 1 可得 厂、l ， ( a n + 玩) p 1 忙忆l ( + 屯) ，i (1-r(a)、l-1p ”( 4 - 6 ) 砷砷 n = l n = i 不等式( 4 6 ) 中取等号的充分必要条件是口号与( 口+ 6 ) 导线性相关，或 者向量c 是口号与( 口+ 6 ) 号的线性组合 同理可得 瓦( a n + 玩) p 1 眵0 ，i a n + 吃) 尹l ( 1 - r ( b ) ) ” ( 4 - 7 ) ，、l l ， 不等式( 4 7 ) 中取等号的充分必要条件是：萨与( 口+ 6 ) 号线性相关， 或者向量c 是6 号与( 口+ 6 ) 呈的线性组合， 舯= 管一譬铲 2 m 严一= 和吖。，而 c 是一个可变单位向量 把( 4 6 ) 和( 4 7 ) 加起来，经过化简之后可得( 4 4 ) 不等式( 4 4 ) 中取等号的充分必要条件是口号和萨线性相关，或向量 c 是口呈，6 呈和 + 6 ) 暑的线性组合，定理被证明 令，：m i n r ( a ) ，( 6 ) 从( 4 4 ) 便可得到下列不等式 高校教师在职硕士学位论文 l l a + b o p ( 1 a l i p + 0 6 8 ，) ( 1 一，) ” ( 4 1 8 ) 不等式( 4 4 ) 和( 4 8 ) 显然都是( 4 2 ) 一个改进 注1 可变单位向量c 的选取有很大的灵活性我们可以根据需要 适当进行选取如果我们选取这样的单位向量c ，使得它的第i 个分量 是1 ，而其余的分量是零，即c = ( 0 ，0 ，0 ，0 ，) ，那么 小，2 潞一群 ， 因此，不等式( 4 4 ) 具有一般性 定理4 2 的证明类似于定理4 1 的证明，这里从略 令，- = m i n r ( 厂) ，r ( g ) ) ，那么从不等式( 4 5 ) 可得 i i s + g l p - 1 那么 关于矩阵行列式的不等式 喜群 1 如果呲a 佃，那么 p o ，吒o 。= 2 ，3 ，) ，尾2 吉荟吼如果 + ， 那么 1 1 1 1 1 如果 x 一p q 0 0 s l l 。 佃，那么 高校教师在职硕士学位论文 其中 么：e b 恬i i p - b l l g l l ； 胆) 2 ，而m = m i n 专，1 一爿， 厂譬) a t ，= fr e - , ( ( t ) d t b g 量( t ) d t 厂亏， = 特别，当p = 2 时，我们有下列结果 ( 4 1 4 ) 推论4 2 设厂( x ) o ，g ( x ) = 三e 厂( f ) 出如果o 栩，那么 l l g l l 2 i f ( 1 一r ) 壬， 其中r = ( 1 l n - 1r 厂( r ) 防一恬i i 。1f g ( ，) 西) 2 定理4 3 的证明 我们应用h a r d y 的技巧来估计兰群首先我们估计下列两项之差 群一告群一1 = 群一告( 船尾一( 玎一1 ) 孱一。) 群一1 p lp l 。 = 群( t 一嚣) + 等儿 = 群( 一罱 + 訾( ( 群) 川雠。) 专 ( 4 小， 利用算几平均值不等式估计( 4 1 5 ) 的右边的第二项可得 百( n - 1 ) p 川船) 专如一1 ) 群峭) 从( 4 1 5 ) 和( 4 1 6 ) 可得 群一寺群4 群( 一寺) + 面n - 1 ( ( p 一，) 群+ 雕，) = 面1 ( ( p 一1 ) 雠t 一万刖 对上面的不等式关于玎求和，可得 ( 4 1 6 ) 从而 n = l 关丁二矩阵行列式的不等式 一j p 一1 鲁掌，b 。p _ i 。_ 一 p l j ( 联) 。 群寺喜群。1 雕 n = 1 令一o o ，我们得到 一p c o 群一 p 一1 鲁。 ” 利用不等式( 4 1 ) ，从( 4 1 7 ) 得到 因此， 群刍喜嘴1 南陛胞( ) 9 广 p = ：一 p 一1陛胞群) l ( 一肾 p ( 寺m 卅扩 ( 一趵” ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) 剩下来只要确定( 4 18 ) 中的；f 根据( 4 1 ) 中的，的表达式，可得 实数由下式定义： 灶( 讳( 口，c ) 一& ( ，c ) ) 2 ( 4 1 9 ) 我们选取序列c = 巳l c l = 1 ，q = o ( 后= 2 州3 ) 显然，l i c = 1 容易算出： ( 口朋，c ) = 群肛，( ( 川q 2 , c ) = 群胆，忪川f 胆= 忪川8 _ 2 因此，从( 4 1 9 ) 可得 灶劬形2 一2 ( 4 2 0 ) 因为口，p 。1 和c 线性无关，所以( 4 1 8 ) 不可能取等式于是定理被证 定理4 4 的证明 利用分部积分，我们有 ；2 b，(舳2考(厂，g川)0 ， ( 4 2 1 ) 群 删 脚 高校教师在职硕士学位论文 利用不等式( 2 - 11 ) 估计( 4 - 2 1 ) 的右边的内积如f ： ( ，g p 一1 ) - 1 ，而五是一个可变的单位向量，即 pg 肛| f = ( p 降产l 定理4 5 如上所设，那么 e i 厂( r ) 1 2 衍2 ( e l 矿( r ) l ，出) 咖( e i 厂v ) 1 9 衍) 怕( 1 一r ) ”， ( 4 2 7 ) 其中尺= ( s ( ，i h l ) 一名( g ，i h l ) ) 2 ，厅( f ) = ( 板而) 一，f - o o ，+ ) 定理4 6设“：t f ( t ) 0 ，1 ，：厂( f ) 0 ，一1 + 一1 ：1 且p 1 如果 “f f o 佃) ，1 ，口( o ，佃) ，习b 么 r 2 ( f ) 出2 pi i v l | g ( 1 一r ) m ， 其中 p = ( r ( 矿) p 出) 咖，帆1 1 = ( r ( ，( f 炉破) 蜘 高校教师在职硕士学位论文 r = ( t ( “，9 ) 一岛( v ，伊) ) 2 ，伊( ，) = ( 4 刀) 班p 一止te o ，+ o 。) 当r = 0 ，p = 2 时，就是经典的w e y l 定理 定理4 5 的证明 由分部积分法，可得 c i f ( 0 1 2 衍= f ( t ) - 而) d t = 一e f f ) 而+ 饨) 而) 衍 - 2 e l , m ( , ) l l s ( t ) i d t ( 4 2 9 ) 由不等式( 2 11 ) ，我们有 亡l 矿( r ) l l 厂7 ( z ) l 出( 亡l 矿( r ) l p 魂) 咖( e j 厂电) 1 9 冼) 伽( 1 一r ) m ， ( 4 3 。) 其中尺= & ( ，i h l ) 一& ( g ，) 2 ，而f = l o ( t ) l ， g = l 厂( f ) l 且= 1 我们 取 砸) = ( 瓜石) 一 r m o o ，+ o 。) 显然忡1 1 2 = e l ( 托i 而) 。1 1 2 出= l ，即= 1 由( 4 2 9 ) ，( 4 3 。) 知不 等式( 4 2 7 ) 成立定理证毕 当p = q 时，由不等式( 4 2 7 ) 可以得到不等式( 4 2 5 ) ，因此， 不等式( 4 2 7 ) 是( 4 2 4 ) 与( 4 2 5 ) 的推广 定理4 6 的证明 显然，我们有 f i 伊i i = 渺矿p 一州啦_ 1 此定理的证明类似于定理4 5 的证明，故从略 关丁- 矩阵行列式的不等式 在( 4 2 8 ) 中，如果p = q ，且r 用0 代替，则立即可以得到w e y l 不等式( 见 1 ，p 5 5 3 ) 即 r 厂2 ( r ) 衍2 ( r r 2 厂2 ( r ) 衍) 啦( f ( 厂u ) ) 2 出) v 2 ( 4 31 ) 显然不等式( 4 2 8 ) 是w e y l 不等式的一个推广 关于矩阵行列式的不等式 结语 g r a m 矩阵的正定性的应用非常广泛，我们在本文中主要是利用 它建立了两个非常重要的不等式( 2 1 1 ) 和( 4 1 ) 利用这些结果， 我们改进了著名的m i n k o w s k i 不等式、h a r d y 不等式和h e i s e n b e r g 不 等式。熟悉的读者一眼就可以看出：它的应用远远不止这些，比如著 名的h i l b e r t 不等式，显然可用上述方法