（基础数学专业论文）关于超空间拓扑和连续选择函数.pdf

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一“i ? ) ：o i o ) ，填。| 】v 是空 i i j x 上的有限开集族，v 我们假定对j ：v s 厂( ) ，d ( s ，纠2 + m 定义1 2 0 叫度赞空问f d ) 的超空州上的h a u s d o r f f 拓扑足i | f 剁形式定 山求人学颅十学也论文 义的h a u s d o r f r 度量诱导出来的，简记为l ( d ) ： 胃( d ) ( j ，t ) = s u p d ( s ，石) + d ( 五，) ：工j u l s ，t e 芦( ) 定义1 2 1 1 0 l 我们称定义在，( x ) 上的拓扑为w i j s m a r t 拓扑，简记为毛， 如果任意的距离函数矗( t ) ：厂( x ) j 冗，v x e x 对于这个拓扑都是连续函数 定义1 2 2 我们称定义在，( x ) 上的拓扑为d 一球逼近拓扑，简记为五跗) ， 如果它的基是由下列元素构成的： ( v ) = 爿芦( 并) ：爿亡u = 巧，爿n 巧，4 斑( 4 ，u ：= 。_ ) o ，其中y 是空间 x 上的有限开集族，形v ，并j & x u t = ，i 可以表示成( x ，d ) 中有限个闭球的并 w i j s m a n 拓扑是上述拓扑中最“粗”的拓扑根据上面的定义，可以很知道 在空间x 是紧致空恻的情况下，瓦与，巧( 扪及死h ) 等价并且有 瓦( d ) c 8 ( d ) 亡桕) c 毛( d l n 互- 定理1 2 3 ”1 对于鼻上的任何完全的非阿基米德度量d ，( ) 上存在毛。 一连续选择函数f 特别地，f 关于乃和五连续 这个定理推广了e n g e l k i n g ，h e a t h ，m i c h a e 1 8 和c h o b a n 1 9 的结果，因为 毒维的完全度量空间上都有一个完全的非阿基米德度量另外，在无理数集p 上存在个相容的完全度量d ，使得在超空间s ( p 1 上不存在任何的t 。( a ) - - 连续 选择函数下面的定理部分地推广了定理l ，2 3 定理12 4 ”训( x ，d ) 是可分地完全度量空间，d 是非阿基米德度量，则在 ，( ) 上存在瓦删、一连续选择函数 下面b e r t a c c h i 和c o s t a n t i n i 证明的定理说明类似的结论在w i j s m a n 拓扑下不 成立 定理1 2 5 舯1 设( x ，d ) 是可分地完全度量空问，d 是非阿基米德度量则在 z ( x ) ，i ：存在( 州一连续选择函数当且仅当( ，( 并) ，毛( 。) ) 是完全不连通的 他们还证明了存在满足条件的呵分完全度量空问( ，d ) ，( 厂( ) ，乃) 是连 涵的 g u t e v 和n o g u r a 总结了这方而的结果 定义1 2 6 ”。l 设是拓扑空问d s ( x ) ，令q ( d ) = u v ：口曼，d j ，其 山东大学坝f 学位论文 中d 。是有限集在，( z ) 上定义类v i e t o r i s 拓扑，简记为乃，如果它的基是由 下列形式的元素构成的：( v ) = s ，( x ) ：s c u v 且对于v v , e 隋s n y ， 其中v 是中的有限开集族，且x u v q ( d ) 定义1 2 6 是对前面定义的超空间上的拓扑抽象出来的概念，下面的定理1 2 8 说明在度量空间中只要选取适合的口，我们就可以得到上面定义的拓扑 定义1 2 7 【0 1 ( x ，d ) 是度量空间，a 为j 中的子集，a 称为d 一既开且闭的， 如果d i s t ( a ，x a 1 0 a 称为d 一强既开且闭的，如果a 中存在一个有限子集 f ，使得对于v x f ，都存在正数d ( x ) d i s t ( x ，a ) ，并且u 。吃( ) = a 其中易0 ) 表示以工为中心的以d ( x ) 为半径的闭球 定理1 2 8 ”伽设( x ，d ) 为度量空间，则 ( 1 ) 若口为( x ，d ) 中d 一既开且闭子集组成的集族，则( 。1 c 瓦 ( 2 ) 若d 为( x ，d ) 中d 一强既开且闭子集组成的集族，则f 。) c 瓦 ( 3 ) 若口为( z ，d ) 中所有紧子集组成的集族，则c 互 定义1 2 9 1 ”1 设日是拓扑空间的一组基，口7 ( x ) 我们说b 是口序化的， 如果对于任意的置，b ，存在鼠s 最使得u 鼠= u 包，且在履上存在一个良序 “ 。”使得对于任意的且3 都有u b 履：口 。且 q ( 口) 定理1 3 0 j 设x 是个完全的度量空间，并且存在d ，( x ) ，有组既 开且闭的d 序化的基，则在，( ) 上存在一连续选择函数 定理1 3 0 是对定理1 2 3 和定理1 2 4 的总结，并且是现在得到的对连续选 择函数的存在性最一般的结果 山东大学顶卜学位论文 第二章空间连通性与( 弱) 连续选择函数 在引入了连续选择函数之后，许多拓扑学家们通过利用连续选择函数和弱连 续选择函数来刻画空间性质其中空间的连通性作为一类重要的拓扑性质得到了 广泛的研究本章将综述空间连通性和( 弱) 连续选择函数之间的关系，并证明 一个相关的定理 我们约定在这一章里面所说的( 弱) 连续选择函数是指正一( 弱) 连续选 择函数 设为弱连续选择函数，则我们在z 上定义由诱导的类序关系s ，： x ，y 当且仅当 s o ，y ) = x 上面定义的类序关系不定是一个真正的序关系，因为传递律不一定成立下面 的定理说明了在x 为连通空间的条件下，由，诱导的上述关系是个序关系 定理2 1 ”4 1 若j 为连通空间，若存在弱连续选择函数厂：五( x ) 专x 则： ( 1 ) , i g - t v x z ，l ( 工) = f ：f ，2 工 与，( j ) = f ：f ，x 在x 中为开集 ( 2 ) 由，定义的类序关系是真正的序关系，并且序拓扑比原来的拓扑要 “粗”，即正c t ( 3 ) 存在且只存在一个不同的弱连续选择函数g ，且g 满足下面的条件： g ( ) = x ，g ( ) ；r i y 材( k y ”= y 若厂( x ，y ) = x 事实上，上述定理中的结论( 3 ) 当厂是整个超空间上的连续选择函数时，也 是成立的 定理2 2 旺”设拓扑空间z 为连通空间，且厂为定义在，( x ) 上的连续选择 函数，n x 中存在一点p ，使得厂。( p ) = s ，( ) ：p s ，且若，( x ) 上存在 一个不同于厂的连续选择函数g ，则g “( p ) = p 特别地，( z ) 上至多存在 两个不同的连续选择函数 s g a r c i a p e r r i r a ，v g u t e v ，w n o g u r a ，m s a n c h i 和a t o m i t a 在 2 1 中发 山东大学颅i ：学位论文 展了e m i c h a e l 上述的经舆结果 定义2 3 f ，l 我们称连续选择函数，：，( ) 斗x 是点最大化的，如果对于j 中的某点j p ，有厂“( p ) = s ，( x ) ：p s 定理2 4 cz t l 若拓扑空间x 至少包含两个元，且在于( x ) 上存在连续选择函 数，则下列条件等价： ( 1 ) ，( 爿) 上的任意连续选择函数对于x 中的某点p 为点最大化的 ( 2 ) 中有一个连通分割 墨，墨 ，其中五均为连通空间，且均有且仅有一 个，( 置) 上的连续选择函数 ( 3 ) x 中有一个分割 五，五 ，其中对于( i = 0 , 1 ) ，均有且仅有一个，( 墨) 上的连续选择函数 根据f 2 2 】，我们可以知道定理2 4 中的( 2 ) 等价于：，( ) 上有且仅有两个 连续选择函数，则我们易知下面的推论 推论2 5 1 2 1 1 拓扑空间x 为正空间，( x ) 上存在一个连续选择函数，则