（基础数学专业论文）moorepenrose逆在期权定价中的应用研究.pdf

摘要 自从1 9 7 3 年b l a c k 和s c h o l e s 1 的开创性论文以来，未定权益的定价理 论得到了迅猛发展，其中以无套利定价理论最为突出粗略的讲，该理论 表明市场无套利假设等价于存在鞅测度如果市场是完全的，则无套利 假设等价于存在唯一的鞅测度，从而，对于完全市场中的任何未定权益，都 有唯一的无套利价格然而在不完全市场中，存在许多鞅测度，对不可复 制的未定权益，也就有许多无套利价格这样，仅仅利用无套利理论无法 得出未定权益唯一的价格大量实证结果表明，实际市场是不完全的，因 此研究不完全市场中未定权益的定价更加具有实际意义 本文在利用随机过程的m p 逆求解一类线性随机方程的基础上，对 不完全市场中的等价鞅测度进行了较为深入的研究，主要研究内容和结 果如下 在绪论中，主要对金融数学的发展历史，特别是对期权定价理论的研 究内容、成果及目前研究热点进行了较为详尽的介绍 第二章，首先通过把i _ z v y 过程分解为两个独立过程之和，将e s s c h e r 变换由单参数推广到双参数，从而得到簇( 双参数) 概率测度我们给出 了这簇概率测度是等价鞅测度的充要条件其次，在几何l e v y 过程模型 中，利用均值修正方法构造了一个概率测度q 咖我们证明了q 咖为等价 鞅测度的充要条件是“v v 过程具有b r o w n i a n 运动部分，并且给出了此时 q 啪关于市场概率测度的导数表达式。对于纯跳过程，我们证明了此时 q 咖与市场概率测度不可能等价，但在q m o 下计算出来的欧式看涨期权 价格却是无套利的 第三章，d z h a p a r i d z e 和s p r e i j 2 l 证明了任意r 4 值，可料的局部平方可 积鞅的二次变差过程的m p 逆保持可料性受此启发，我们首先证明了任 意r 撒n 值，可料随机过程的m p 逆仍然可料，从而推广了d z h a p a r i d z e 和 s p r e i j 2 的结果在此基础之上，我们进一步讨论了一类线性随机方程可 料解的性质及可料解的结构 第四章，利用第三章的结论，在扩散系数矩阵不必几乎处处满秩的条 件下重新讨论了扩散模型我们利用扩散系数矩阵的m p 逆刻画出了全 体等价鞅测度，给出了扩散模型中一些等价鞅测度的具体表达式 第五章，以m p 逆的形式给出了半鞅模型中的最小鞅测度的一般表达 式，并得到了扩散模型，跳扩散模型以及几何l d v y 过程模型的最小鞅测 度 关键词：期权定价，m p 逆，等价鞅测度，线性随机方程组，半鞅 a b s t r c t s i n c et h ec r e a t i v es t u d yo fb l a c ka n ds c h o l e s 1 】i n1 9 7 3 ，t h e o r yo fc o n t i n g e n t p r i c i n gh a sb e e nd e v e l o p e dr a p i d l y ，e s p e c i a l l yi na r b i t r a g e f r e ep r i c i n gt h e o r y t h i s t h e o r ys h o w st h a tt h ea r b i t r a g e - f r e em a r k e th y p o t h e s i si se q u i v a l e n tt ot h ee x i s t e n c eo f m a r t i n g a l em e a s u r e s i ft h em a r k e ti sc o m p l e t e ，t h ea r b i t r a g e f r e em a r k e th y p o t h e s i s i se q u i v a l e n tt ot h ee x i s t e n c eo fu n i q u em a r t i n g a l em e a s u r e t h e r e b y , a n yc o n t i n g e n t o fc o m p l e t em a r k e tm u s th a v eau n i q u ea r b i t r a g e f r e ep r i c e h o w e v e r , i ft h em a r k e ti s i n c o m p l e t e ，t h e r em a y e x i s tm a n ye q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e s ，a n dm a n yd i f f e r e n t a r b i t r a g ep r i c es y s t e m s 。t h e r e f o r e ，t h ev a l u a t i o na n dh e d g i n gi s s u e sa r en o td e f i n i t e i nt h i ss i t u a t i o n m a n ye m p i r i c a lr e s u l t ss h o wt h a ta c t u a lm a r k e ti si n c o m p l e t e ，s o s t u d y i n go no p t i o np r i c i n gi ni n c o m p l e t ei sm u c hm o r ep r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e i nt h i sp a p e r , w es o l v eak i n do fl i n e a rs t o c h a s t i ce q u a t i o n sb ym pi n v e r s eo f s t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，a n ds t u d ye q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e si ni n c o m p l e t em a r k e t t h er e s e a r c hc o n t e n t sa n dr e s u l t sa sf o l l o w i ni n t r o d u c t i o n ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo fm a t h e m a t i c a lf i n a n c e ，e s p e c i a l l yt h e m a i nr e s e a r c hc o n t e n t s ，r e s u l t sa n dh o tt o p i c so fo p t i o np r i c i n gt h e o r y i nc h a p t e r2 ，f i r s t l y ，w ee x t e n de s s c h e rt r a n s f o r mt ot w o - p a r a m e t e r sb yd e c o m 。 p o s i n gk v yp r o c e s s e sa st h es u mo ft w oi n d e p e n d e n tp r o c e s s e s ，a n dw eg e tac l u s t e r o f ( t w op a r a m e t e r s ) p r o b a b i l i t ym e a s u r e s w h a t sm o r e ，an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt w o p a r a m e t e r se s s c h e rt r a n s f o r mm e a s u r e st ob ee q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e n - s u r e si sg i v e n s e c o n d l y , ap r o b a b i l i t ym e a s u r eq m 0i sc o n s t r u c t e db ym e a nc o r r e c t i n g t r a n s f o r mf o rg e o m e t r i cl d v yp r o c e s sm o d e l t h i sp a p e rp r o v e sq m 0i sa ne q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r ei fa n do n l yi fl d v yp r o c e s s e sh a sb r o w n i a np a r t ，a n dg i v e s r a d o n n i k o d y mf o r m u l a a l t h o u g hq 啪c a nn o tb ee q u i v a l e n t t op h y s i c a lm e a s u r ef o r ap u r ej u m pl d v yp r o c e s s w es h o wt h a tae u r o p e a nc a l lo p t i o np r i c eu n d e rq 蛳i ss t i l l a r b i t r a g ef r e e i nc h a p t e r3 ，w ee x m n dt h ec o n c l u s i o no fd z h a p a r i d z ea n ds p r e i j 2 】w h i c hs a y s t t l em pi n v e r s eo fa n yr dv a l u e p r e d i c t a b l e ，l o c a l l ys q u a r ei n t e g r a b l em a r t i n g a l ei s p r e d i c t a b l e a n dw ep r o v et h a tt h em pi n v e r s e o fa n yr d 加v a l u e ，p r e d i c t a b l es t o c h a s t i cp r o c e s si sp r e d i c t a b l e f u r t h e r , t h ep r o p e r t ya n dc o n s t r u c t i o no fp r e d i c t a b l es o l u t i o n o fl i n e a rs t o c h a s t i ce q u a t i o na r ed i s c u s s e d i l l i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h ed i f f u s i o nm o d e lu n d e r t h ec o n d i t i o nw h i c h d i s 口e r s i o n m a t r l xi sn o ta l w a y sf u l lr a n ko n c ea g a i n a l le q u i v a l e n t m a r t i n g a l em e a s u r e si nt h e d l t t u s i o nm o d e la l ed e p i c t e da n dt h ec o n c r e t ef o r m u l ao fs o m ee q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a 5 u f e sa l eg i v e nb yu s i n go ft h em pi n v e r s eo f d i s p e r s i o nm a t r i x i nc h a p t e r 5 ，b yu s i n go fm pi n v e r s e w e ，w ed e r i v eg e n e r a lf b n n u l ao ft h em i n i m a lm a n i n g a l em e a s u r e si ns e m i m a t i n g a l e m o d e l ，e s p e c i a l l yi nd i f f u s i o nm o d e l ，j u m p d i f f u s i o nm o d e la n dg e o m e t r yl 叠v vm o d e l 。 k e yw o r d s ：o p t i o np r i c i n g ，m pi n v e l s e ，e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e ，l i n e a r s t o c h a s t i ce q u a t i o n s ，s e m i m a r t i n g a l e i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：年月日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本 人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 、 本学位论文属于 1 保密口，在 2 不保密口 作者签名：乡，陬莒乏氏 臀轹鞠砌寺 吖列飞少矽f 8 9 年解密后适用本授权书 7 勺勺年厂月加日 历的年舌月卢日 m o o r e p e n r o s e 逆在期权定价中的应用研究 1 绪论 数理金融学，又称金融数学、数学金融学、分析金融学，是一门利用数 学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求 找到金融学内在规律并用以指导实践的学科数理金融学是- - i - i 新兴的 交叉学科，是目前十分活跃的前沿学科之一数理金融学研究的核心问题 是不确定条件下的证券组合选择和资产定价套利、最优和均衡是其中 三个主要概念，现代证券组合理论、资本资产定价模型、套利定价理论、 期权定价理论和资产结构理论在现代数理金融理论中占据重要地位本 章简要回顾数理金融研究，特别是期权定价研究的历史与现状，由此提出 本文的主要研究内容 1 1 数理金融研究的意义与必要性 众所周知，金融业是现代经济的核心，任何国家、公司、企业都离不 开金融市场随着固定汇率制度在上个世纪7 0 年代早期被浮动汇率制度 代替，金融全球化的迸一步发展以及其他许许多多的因素，使得金融市场 更加变化莫测金融风险真正使人感到无处不在，无时不有，而且其破坏 性也越来越大下面是一些西方主要的金融风险暴露事件 1 9 9 5 年2 月2 6 日，新加坡巴林公司期货经理尼克里森投资日经2 2 5 股指 期货失利，导致巴林银行遭受巨额损失，合计损失达1 4 亿美元，最终无力继 续经营而宣布破产 1 9 9 5 年9 月，日本大和银行纽约分行员工井口俊英账外买卖美国联邦 债券，造成1l 亿美元的巨额亏损 1 9 9 6 年6 月，日本住友商社有色金属交易部部长首席交易商滨中泰男 未经授权参与期铜交易，造成2 6 亿美元的巨额亏损 2 0 0 1 年l o , q ，美国安然公司首席执行官j e f f r e ys k i l l i n g 由于作假帐，从事 关联交易和操纵加州的能源市场，亏损6 3 0 亿美元，最终导致安然公司破 产 2 0 0 5 年l o 月，美国王嵩富公司欺骗投资者损失4 3 亿美元 湖南师范大学博士学位论文 2 0 0 6 年9 月，美国对冲基金a m a r a n t h 公司损失6 8 亿美元 2 0 0 8 年1 月，法国兴业银行损失7 2 亿美元 次贷危机仍不见底 在我国，也不平静 1 9 9 5 年4 月1 7 日至1 9 9 7 年7 月，湖南省株洲冶炼厂违反国家规定，未经批 准擅自从事境外期货交易，造成1 7 5 8 亿美元损失 2 0 0 4 年1 2 月1 日，中国航油( 新加坡) 股份有限公司发布消息：公司因石 油衍生产品交易，总计亏损5 5 亿美元 2 0 0 5 年，中国储备棉管理总公司，因“炒棉 巨额亏损至少6 亿元 2 0 0 5 年，中国国家储备局从事铜期货交易亏损5 4 5 亿美元 这些国内外重大金融事件，让人们认识到驾驭金融市场的重要性如 果没有定量研究的思想方法，要真正驾驭金融市场是不可能的然而，定 量研究的思想直接依赖于数学现在，数学化的思想和方法，结合计算机 技术的飞速发展，已经广泛地应用到金融的研究过程中，并且起到越来 越重要的作用 金融市场中一个重要的工具是金融衍生工具所谓金融衍生工具是 指基于或衍生于金融基础产品( 如货币、汇率、利率、股票指数等) 的金 融工具与其他金融工具不同的是，衍生工具自身并不具有价值，其价格 是从可以运用衍生工具进行买卖的货币、汇率、证券等的价值衍生出 来的这种衍生性给予创新工具以广阔的运用空间和灵活多样的交易形 式目前，在国际金融市场上最为普遍运用的衍生工具有金融期货( f i n a n c i a l f u t u r e ) 、期权( o p t i o n ) 和互换( s w a p ) 通过各种派生技术进行组合设计，市 场中已出现了数量庞大、特性各异的衍生产品据美国幸福杂志 在2 0 0 0 年报道，国际金融市场上已知的金融衍生工具将近2 0 0 0 余种由于 金融衍生工具在运作时多采用财务杠杆方式，即采用交纳保证金的方式 进入市场交易这样市场的参与者只需动用少量资金，就可控制资金量 巨大的交易合约期货交易的保证金和期权交易中的期权费就是一个典 型的例子财务杠杆作用无疑可显著提高资金利用率和经济效益，但是 另方面也不可避免地带来巨大风险上面列举的一些国际大机构在衍 生工具的交易方面失利，很大程度上与这种杠杆的“放大 作用有关 2 m o o r e p e n r o s e 逆在期权定价中的应用研究 据统计，2 0 0 0 年年底全球虚拟经济的总量已达1 6 0 万亿美元，而当年全球国 民生产总值的总和只有约3 0 万亿美元，即虚拟经济的规模已达实体经济 的5 倍其中，股票市值和债券余额约为6 5 万亿美元，而金融衍生工具柜台 交易额为近9 5 万亿美元，几乎占了总份额的6 0 因此，开展金融衍生产品 的定价问题的研究，有着举足轻重的理论价值和社会实践意义 我国金融市场起步较晚，尚处在新生发展阶段，市场条件未完全成熟 对现代金融学理论和方法的研究相对落后，特别是金融实际问题的理论 和应用研究更是如此随着市场经济的进一步推进，我国的金融市场逐渐 融入到国际金融大市场中，计划经济体制下的固定利率和固定汇率将逐 步被更加自由灵活的市场利率和浮动汇率所取代，投资者将有更多的资 产保值和风险管理的需要另外，国家高度关注金融市场的发展十七大 胡锦涛总书记报告提到：深化财税、金融等体制改革，完善宏观调控体 系推进金融体制改革，发展各类金融市场，形成多种所有制和多种经营 形式、结构合理、功能完善、高效安全的现代金融体系加强和改进金 融监管，防范和化解金融风险创造条件让更多群众拥有资产性收入国 家“十一五规划纲要”明确要求健全风险调控机制科技部启动了国家 重点基础研究发展计划9 7 3 项目“金融风险的定量分析和计算等所有 这些足以说明我国的金融市场必将有一个大的发展而要保证我国金融 市场的健康发展，就必然要加强对金融市场发展规律的研究 1 2 数理金融研究的历史与现状 金融市场中有许多数学问题，主要包括金融信息分析和数据挖掘、最 优投资消费问题、期权定价问题、金融风险度量和计算、保险精算学等 本文主要考虑期权定价问题为了探讨这个问题，我们先简单回顾数学金 融学( 主要是期权定价) 的发展历史与现状 早在1 9 0 0 年，l o u i sb a c h e l i e r 在其博士论文投机理论中用布朗运动 来刻画股票的价格变化，这实际上宣告了数学金融学的诞生 3 1 投机 理论第一次给出了布朗运动的数学定义，比人们熟知的a l b e r te i n s t e i n 1 9 0 5 年的有关布朗运动的研究还要早尤其是，b a c h e l i e r 实质上已开始 研究期权定价理论，而b l a c k s c h o l e s m e r t o n 的工作其实都是在p a u la n t h o n y s a m u e l s o n 的影响下，延续了b a c h e l i e r 的工作【4 】 3 湖南师范大学博士学位论文 1 9 5 3 年，k e n n e t hj a r r o w 发表了现代金融学的第一篇论文证券在风 险承担的最优配置中的作用接着，g e r a r dd e b r e u 发展了a r r o w 的思想然 而他们的理论实际上掩盖了金融市场的不确定性本质新的用数学来架 构的现代金融学被认为是两次“华尔街革命 的产物第一次“华尔街革 命”是指1 9 5 2 年m a r k o w i t z 发表的论文【5 】在这篇论文中，他把投资组合的 的收益率当成随机变量，以其均值衡量收益，以方差衡量风险主要思想 是给定风险水平使得均值收益最大，或者给定均值收益水平使得风险最 小，即为一个带约束的最优化问题【5 】的基本结论是：在证券允许卖空的 条件下，组合前沿是一条双曲线的支：在证券不允许卖空的条件下，组 合前沿是若干段双曲线段的拼接对于有效前沿上的证券组合来说，不 存在收益和风险两方面都优于它的证券组合这对于投资者的决策来说 有很重要的参考价值后来，s h a r p e 6 1 ，l i n t n e r 7 进一步拓展了m a r k o w i t z 的 工作，提出了资本资产定价模型( c a p i t a la s s e t p r i c i n gm o d e l ) 对于上述的最优 化问题，他们的结论是每个股票的持有量可以由该股票的平均回报率和 该股票与市场的相关系数来确定 第二次“华尔街革命 是指1 9 7 3 年b l a c k 和s c h o l e s 【l 】的工作他们在股 票价格过程服从几何布朗运动，以及收益率、波动率、无风险利率都为常 数的假设下，得到了欧式期权价格的显式表达式( 即著名的b l a c k s c h o l e s 公 式) 稍后，m e r t o n 8 给出了b l a c k s c h o l e s 公式的另一种推导方法，并且作了 推广此后，期权定价研究得到了长足的发展r o s s 9 提出了比资本资产 定价模型更具一般性的套利定价理论( a r b i t r a g ep r i c i n gt h e o r y ) c o x 和 r o s s t o l 首先提出了无套利定价的鞅方法c o x ，r o s s 和r u b i n s t e i n 1 l 】建 立了二叉树模型k r e p s 1 2 提出了无套利定价的均衡方法h a r r i s o n 和 k r e p s 1 3 ，h a r r i s o n 和p l i s k a 1 4 ，t a q q u 和w i l l i n g e r 1 5 系统的建立了资产定 价基本定理p a r d o u x 和彭实戈【1 6 】提出了倒向随机微分方程的一般形 式，并且证明了作为其理论基础的解的存在唯一性定理p a r d o u x 和彭实 戈的理论在随机分析、金融数学等领域已经产生了广泛的影响 资产定价基本定理刻画了金融市场无套利假设与存在等价鞅测度 之间的关系在有限概率空间下，d a l a n g ，m o r t o n 和w i l l i n g e r 1 7 ，d e l b a e n 1 8 ， l a k n e r 1 9 l 等证明了金融市场无套利等价于存在等价鞅测度读者可以 参阅何声武，李建军和夏建明【2 0 】关于这方面的论述然而，当资产个数 4 m o o r e p e n r o s e 逆在期权定价中的应用研究 无限或交易时刻无限时，这个结论并不成立( s c h a c h e r m a y e r 【2 l 】，b a c k 和 p l i s k a 2 2 分别就这两种情形给出了反例) 一般情形下戒们只能说无套 利假设本质上等价于存在等价鞅测度很多文献都探讨了等价鞅测度与 无套利假设的关系，如b a c k 2 3 , d e l b a e n 2 4 ，h e a t h 和j a l t o w 2 5 ，m u l l e r 2 6 ， r o g e r s 2 7 等 数学金融学的另外一个重大进展发生在风险度量方面所谓金融风 险就是指金融市场的交易者在金融活动中对未来结果不确定性的暴露 从数学的观点来看，金融风险就是一个随机变量风险度量就是建立一 个规则，使得任何一个可能的风险头寸都对应一个数值，即风险度量大小 的值这样，风险度量本质上就是一个从随机变量集合映射到实数域上的 泛函 a r t z n e r , d e l b a e n ，e b e r 和h e a t h 的两篇开创性论文f 2 8 】， 2 9 1 标志着现代风 险度量研究的开始他们提出了相容性风险度量( c o h e r e n tr i s km e a s u r e ) ，并 指出v a r 等不是相容的不足的是，这两篇论文都要求研究的样本空间是 有限的随后，f f i l l m e r 和s c h i e d 3 0 在此基础上给出了凸风险度量( c o n v e x m e a s u r e o f r i s k ) 的概念1 9 9 7 年，山东大学彭实戈院士 3 1 1 引入了g 一期望的 概念，并对其做了大量的系统理论研究和应用研究g i a n i n 3 2 1 指出：在一 定条件下，个动态相容的风险度量一定可以用一个由 3 1 1 云j l 入的g 一期 望来表示，即对一个动态相容的风险度量，总是存在一个生成元g ，使得这 个风险度量可由该生成元的b s d e 的解来表示 期权是类非常重要的金融衍生证券所谓期权，是指在未来一定时 期可以买卖的权利，是买方向卖方支付一定数量的金额( 称权利金或期权 费) 后拥有的在未来一段时间内( 美式期权) 或未来某一特定日期( 欧式期 权) 以事先规定好的价格( 履约价格) 向卖方购买或出售一定数量的特定 标的物的权利，但不负有必须买进或卖出的义务期权交易实质上是这种 权利的交易买方有执行的权利也有不执行的权利，完全可以灵活选择按 照基础资产的买卖来分，期权分为看涨期权和看跌期权按期权行使的 有效期来分，可以分为欧式期权和美式期权放交易场所来分，期权分场外 期权和场内期权还有一类称为奇异期权，如亚式期权，俄式期权，百慕大 期权等研究期权的一个核心问题就是如何确定期权费( 即期权定价) ，才 能使得对期权的买卖双方都公平 5 湖南师范大学博士学位论文 期权定价的一个首要问题是要给基础资产建立一个合适的模型期 权定价理论经过几十年的发展，主要建立了如下模型： 1 ) b l a c k s c h o l e s 模型 b l a c k 和s c h o l e s 1 假定资产价格运动过程服从如下随机微分方程 d s ( t ) = u s ( t ) d t + a s ( t ) d b ( t ) ， 其中，s ( t ) 是资产价格，b ( ) 是一维标准布朗运动，肛，盯为常数，分别表示 收益率和波动率在此基础之上，他们得到了著名的b l a c k s c h o l e s 期权定价 公式后来，人们对该模型进行了许多修正刘道百【3 3 】考虑了有交易费时 的期权定价h u l l 矛l l w h i t e 3 4 给出了随机波动率情形下的期权定价公式 a m i n 和j a r r o w 3 5 讨论了无风险利率r 为随机时的期权定价 2 ) 离散模型 1 9 7 9 年，c o x ，r o s s 和r u b i n s t e i n 1 1 建立了二叉树模型后续的研究者 对该离散模型进行了推广t a q q u 和w i l l i n g e r 1 5 1 以及s c h e r m a y e r 3 6 分 别利用鞅方法研究了有限和无限状态下的一般离散模型其他一些学者 h e 3 7 ，a d m i n 3 8 等研究了离散时间模型到连续时间模型的收敛问题 3 ) 几何“v y 过程模型 大量的实证结果表明，基础资产价格的对数收益率呈现尖峰厚尾等 特征，并不服从正态分布另外，一些突发性的重大事件，比如国家政策调 整，自然灾害，战争等显然对基础资产价格有巨大影响所有这些都说明 b l a c k s c h o l e s 模型不足以刻画基础资产价格的运动过程解决这个问题 的方法有两种，一是对b l a c k s c h o l e s 模型进行修正；另外一种方法是将资 产价格服从对数正态分布的假设放弃，寻找新模型来模拟这样几何l d v y 过程模型应运而生由于几何l d v y 过程模型是不完全模型，期权定价问 题复杂了很多m e r t o n 3 9 1 首先引入了跳扩散模型c h a n 4 0 1 详细地讨论 了几何l e v y 过程模型下的等价鞅测度f u j i w a r a 和m i y a h a r a 4 1 在几何 l 叠v y 过程模型中给出了最小熵鞅测度存在的条件j e a n b l a n c ，k l o p p e l 和 m i y a h a r a 4 2 讨论了口最优鞅测度 4 ) 一般半鞅模型 这个模型太一般化，很难得到具体的结果但最近几年也出来了一些 成果k a l l s e n 和s h i r y a e v1 4 3 1 讨论了半鞅模型中的e s s c h e r 变换b e r g e n t h u m 6 m o o r e p e n r o s e 逆在期权定价中的应用研究 和r i s c h e n d o r f l 4 4 比较了期权价格k a r a t z a s 和k a r d a r a s 4 5 1 研究了币值 组合问题 5 ) 分数布朗运动模型 前面提到的模型都是半鞅，但分数布朗运动不是半鞅正因为如此，我 们比较熟悉的极其丰富的半较随机积分理论不能直接应用，而需要建立 套与之相符的随机积分理论目前，胡耀忠，o k s e n d a l ，b e n d e r , e l i i o t t 等建 立了关于分数布朗运动的新的随机积分的一些基本理论如对应的i t 6 公 式及g i r n a s o v 公式等关于分数布朗运动模型中期权定价，可以参考r o s t e k 4 6 1 ，闰海峰，翟永会，刘三阳 4 7 1 或刘韶跃的博士毕业论文【4 8 】相对来 说，这方面的文献比较少 1 3 选题依据及研究的主要内容 考虑一个一般b l a c k s c h o l e s 模型场中有d + 1 种资产一种资产，称为 债券，其价格过程在时间区间 o ，t 】内满足如下微分方程 d s o ( t ) = r ( t ) s o ( t ) d t ，s o ( o ) = l ，0st 茎l( 1 一1 ) 其余d 种资产的价格过程为 嘏 ) = 吼 溉 膨帕 ) 暑似幻d w j ( d 一( 1 - 2 ) 【& ( o ) = 最，i = 1 ，d ，0st t 这里，w = 彤( ) = ( ( ) ，( ) ，( ) ) 7 ，舅；0 tst 是标准布朗运 动，平均收益率过程和扩散过程 q ( ) = ( a l ( t ) ，n 2 ( t ) ，n d ( t ) ) 7 ，盯( t ) = ( 口巧( t ) ) 1 d ，l j n 以及短期利率，( f ) 都为可料的随机过程在该模型中，我们知道求等价鞅 测度的问题归结为求解如下的风险溢价方程 盯( ) x ( f ) = a ( t ) 一r ( ) r ( 1 3 ) 如果随机过程护( ) r n 满足上面的方程且可料，则称其为风险溢价过程若 风险溢价过程口( 啪蔚足所谓的n o v i k o v 条件，按照标准方法，可以定义概率 测度q 。 器f 舅= e x p - - t o 一新i e | | 2 d u ( 1 - 4 ) 湖南师范大学博士学位论文 贝, t j q 。是等价鞅测度 为了求出一个具体的风险溢价过程，许多文献都假定仃( t ) 几乎处处满 秩实际上，方程( 1 3 ) 是一类线性随机方程如果仃( ) 不满足几乎处处满秩， 那么我们如何求出其可料解? 这类问题在金融数学以及其它领域研究中 经常遇到 回顾高等代数中求解线性方程组 a z = b 我们知道，在线性方程组有解的条件下，它的所有解可以用系数矩阵a 的 广义逆表示出来一个自然的想法是，随机方程( 1 3 ) 是否也可以用广义逆 来求解昵? 由于随机方程( 1 3 ) 的系数矩阵和常数矩阵都是可料的随机过 程，问题自然要复杂许多而且满足随机方程( 1 3 ) 的随机过程并不一定可 料这样我们必须区分随机方程( 1 3 ) 的可料解与非可料解 如果随机方程( 1 3 ) 的系数矩阵o - ( t ) 的某个广义逆可料，那么我们就可 以借鉴高等代数中的方法，把方程( 1 3 ) 的所有可料解求出来在【2 】中，d z h a p a r i d z e 和s p r e i j 证明了当盯( ) 是某个可料的局部平方可积鞅的二次变差过 程时，盯( t ) 的m p 逆是可料的一个自然的推广是，是否任意的跏值可料 随机过程的m p 逆还保持可料性呢? 本文的主要工作如下： 1 ) 将e s s c h e r 鞅测度推广到双参数的e s s c h e r 鞅测度，得到了无穷多个等 价鞅测度一般地，只需额外给定一个条件，就可确定一个相应的等价鞅 测度这样就方便我们找到其他等价鞅测度，也有利于我们刻画某些等 价鞅测度之间的内在关系 2 ) 在几何l e v y 过程模型中，利用均值修正方法构造了一个概率测度 q 啪证明了q m n 为等价鞅测度的充要条件是l e v y 过程具有b r o w n i a n 运 动部分，并且给出了此时q m o 关于市场概率测度的导数表达式对于纯 跳过程，证明了此时q m o 与市场概率测度不可能等价，但必存在一个等价 鞅测度q 7 ，使得在q 椭与q 7 下计算的欧式看涨期权的价格一致，即尽管 q 啪不是等价鞅测度，但在q m o 下计算出来的欧式看涨期权价格却是无 套利的 3 ) 证明了任意取值于r d x n , 可料随机过程的m p 逆仍然是可料的，这实 际上推广了d z h a p a r i d z e 和s p r e i j 【2 】的结果在此基础之上，进一步讨论了一 8 m o o r e p e n r o s e 逆在期权定价中的应用研究 类线性随机方程可料解的结构 4 ) 利用3 ) 的结论，应用m p 逆详细讨论了不完全市场，特别是扩散模型 中的等价鞅测度另外在第五章中，应用m ，p 逆先给出了半鞅模型中的最 小鞅测度，然后就扩散模型，跳扩散模型以及几何l d v y 过程模型分别给出 了具体的对应最小鞅测度 1 4 预备知识 本节介绍与本文研究有关的随机过程以及随机分析中的一些基本 概念和基本定理主要内容可以参考k a r a t z a s 和s h r e v e 4 9 ，严加安，彭实 戈，方诗赞和吴黎明 5 0 j ，何声武，汪嘉冈，严加安1 5 1 1 ，k a l l e n b e r g 5 2 ，p r o t t e r 5 3 1 ，王梓坤，杨向群【5 4 】等文献 定义1 1 ( p r o t t e r1 5 3 ，通常条件) 称概率空间( q ，箩，f ，p ) 满足通常条件，如果 1 ) 概率空间( q ，莎，f ，p ) 是完备的： 2 ) 民包含了莎中的所有p 零集： 3 ) 滤子流f 是右连续的，即 玩= f - 1 u 玩，v i 0 在本论文中，总假定所考虑的概率空间满足通常条件 定义1 2 ( 钱敏平，龚光鲁 5 5 1 ，随机过程) 设，为指标集，x ：f x ( ，) ；t 1 t 是概率空间( q ，罗，p ) 上的一簇随机 变量，形式地，我们称x 是一个参数取值于，的随机过程 通常，代表时间，它可取值于实数集r ，非负实数r + ，整数集z 或非 负整数z + 等当，为r r 十或为区间时，称x 是连续参数的随机过程；当， 为z ，z + 时，称x 是离散参数的随机过程如果，取值为，z n ( 他2 ) ，则 称x 为随机场本文考虑的，取值于区间【0 ，t 1 定义1 3 ( 何声武，汪嘉冈，严加安 5 1 1 ，适应过程等) 映射x ：r + q - r 称为适应的，如果对任意t r + ，映射u _ x ( f ：u ) 是只可测的称x 为连续( 右连续，左连续) 的，如果对几乎所有的。 9 湖南师范大学博士学位论文 q ，映射u - x ( t ，u ) 是连续( 右连续，左连续) 的如果x 是右连续的且存在左 极限的过程，则简称x 为右连左极过程，记为r c l l 类似的，左连右极过程 记为l c r l 定义1 4 ( 何声武，汪嘉冈，严加安 5 1 1 ，可测过程及循序可测过程) 设x = ( x ( ) ) t 0 为一随机过程，称x 为可测过程。如果作为( u ，t ) 的函 数，x ( t ，u ) 为夕留( r + ) 可测：称x 为循序可测过程，如果对v t - r + ，x 限 于q 【0 ，】为舅留( o ，】) 可测 显然，循序可测过程为可测过程且是适应的，但逆命题一般不成立 引理1 1 ( 何声武，汪嘉冈，严加安 5 1 1 ) 右连续( 左连续) 的适应过程为循序可测过程 定义1 5 ( 何声武，汪嘉冈，严加安 5 1 1 ，可选盯代数等) q r + 上由全体右连左极适应过程产生的仃代数称为可选盯代数，记 为汐f 2 r + 上由全体左连续适应过程产生的盯代数称为可料盯代数，记 为汐一随机集或随机过程称为可选的( 可料的) ，如果它是汐( 汐) 可测的 由于可选过程和可料过程都是循序可测过程，故由由引理1 i ，可选过 程和可料过程都是适应过程设x = ( 义( ) ) 踟是一个右连左极适应的过 程，可以证明，此时的左极限过程x 一= ( x ( t 一) ) 伽是可料过程 定义1 6 ( p r o t t e r 5 3 1 ，增过程，有限变差过程) 设a 是右连左极过程称a 是增过程，如果对几乎所有的u q ，映射a ： t 一a ( t ，u ) 是非降的如果对几乎所有的轨道，4 在 o ，+ 。) 的每个紧子集上 都具有有限变差，则称a 是有限变差过程 增过程和有限变差过程之间有着密切的联系，可以证明，有限变差过 程总可以分解为两个增过程的差 定义1 7 ( a p p l e b a u m 5 6 1 ，l e v y 过程) 设x = ( x ( t ) ) 脚是定义在概率空间( q ，罗，尸) 上的随机过程，称x 为l e v y 过程，如果 1 ) x ( o ) = 0a s ； 2 ) x 具有独立平稳增量： 1 0 3 ) x 是随机连续的，即抛 0 ，s 芝0 ， i i m - p ( i x ( t ) 一x ( s ) l a ) = 0 + s l 色v y 过程具有无穷可分性，它的分布由x ( 1 ) 决定， 引理1 2 ( a p p l e b a u m 5 6 ) 设x ：( x ( ) ) 。o 是取值于r d 的l v y 过程则对2o ，u r d , 有 e 拶u ，x ( ) 】_ e t o ( 训， 其中， 咖)