（基础数学专业论文）任意四边形单元和各向异性单元的若干问题研究.pdf

摘要 四边形单元与三角形单元相比，具有网格简单、刚度矩阵带宽小、汁算量小等优点， 而矩形单元对求解区域的边界的近似有一定的局限性，因此将任意四边形单元用于求解问 题更有理论意义和实际价值。 g a c o s t a ，r d u r 五n 在文献f l 】中指出弱角条件兄d j d ( ，妒) 似乎是最弱的网格条件， 并证明了在此条件下凸四边形单元k 上q ，等参元在h 1 模下的最优插值误差估计，即 r d p ( ，妒) 是凸四边形单元k 上q 。等参元在日1 模下取得最优插值误差估计的充分条 件但是否是必要条件呢? 他们将它作为一个悬而未决的问题z z h a n g 在【69 】中推测它 是必要的然而，本文通过一个反例证明了弱角条件r d p ( ，砂) 不是凸四边形单元k 上 q 1 等参元在日1 模下取得最优插值误差估计的必要条件，从而圆满解决了这一问题 对于s t o k e 8 问题，本文构造了两个新的低阶非协调任意四边形单元新单元与以前用 于讨论相同问题的单元相比兼有构造简单；使用方便；形函数空间的基函数的次数低；能 较好的逼近求解区域边界等优势由于新单元不含任何协调部分，误差估计比较困难，通过 采用更加简洁的证明方法得到了最优误差估计特别指出的是，其中一个单元在矩形网格 下，还是个l o c k i n p f r e e 元，可用于平面弹性问题另外，本文通过引入变网格思想又将 该单元用于非定常s t o k e s 问题得到了最优误差估计 众所周知，在构造有限元时，单元自由度和形函数空间应当匹配，一方面使有限元空间 中的函数在跨越单元边界时，具有某种积分意义下的连续性，同时自由度又是有限元离散 方程的未知量，应取得简单，使整体自由度尽量的少同时具备这两个性质的自由度的选取 往往是很困难的陈绍春教授和石钟慈院士提出了构造有限元的双参数法恰好解决了这一 矛盾，并由此构造了许多有价值的双参数有限元( 见 5 4 ，7 0 ，7 1 l 等) 但有关双参数有限元方 法用于变分不等式问题的研究还不多因此本文将一个1 2 参双参数矩形板元用于四阶位移 障碍变分不等式问题，同时通过引入与已有文献不同的新技巧给出了与常规有限元相同的 最优误差估计值得一提的是，我们的结论对几乎所有已知的非协调元都成立。 各向异性有限元方法的研究是目前有限元领域内的亮点和难点之一由于在各向异性 网格剖分下，传统的s o b o l e v 插值理论不能直接利用虽然t a p e l 墨8 l 给出了一个检验单 元能否应用于各向异性网格的标准，但应用起来很不方便陈绍春教授和石东洋教授概括 了ta p e l 的结果并提出了一个便于操作的插值定理并将其广泛应用于二阶问题和四阶问 题中的许多著名的单元( 见( 2 0 ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 l 等) 在实际工程计算中，有限元的超逼近和超 收敛分析占有非常重要的地位，她一直是数值分析家们研究的热点问题之一以林群院士 为首的科研小组利用积分恒等式技巧对许多单元作了研究并得到了很好的结果。但几乎所 有关于这些单元的超收敛性结果都要求网格满足正则性假设和拟一致假设f “ 有关各向异 性网格下非协调元的超逼近和整体超收敛分析的文献还不多见 本文首先将一个低阶的具有各向异性特征的非协调四边形单元( 仅有三个独立的自由 度) 用于求解s t o k e s 方程并给出了一个组合加罚方法，它不仅可以在罚因子较大时得到与 传统有限元加罚法中罚因子较小时同样的精度，而且对同一级别的罚因子其收敛阶是传统 方法的二倍，这是f a l k 等人提出的加罚外推法所不能得到的结果，该方法还可以应用于 n a v i e r _ s t o k e s 方程 其次，我们将各向异性有限元用于耦合问题，利用具有各向异性特征的双线性元和双 二次元构造了一个非协调m o r t a r 元，利用积分恒等式技巧得到了与传统方法完全相同的超 逼近结果需要指出的是，本文所提供的思想具有一般性，可用于其它类型有限元的研究 最后我们将改进的五节点矩形元用于二阶问题，利用其自身独有的特点，在各向异性 网格下研究了它的超逼近和超收敛性质数值检验的结果与我们的理论分析是相吻合的 这对进一步发展二阶问题数值解的后验误差估计方法和设计自适应算法是很有帮助的 关键词：任意四边形；各向异性；s t o l 。e s 问题；超收敛；双参数有限元法 l l a b s t r a c t s i i l c eq u a d r i l a t c r a le l e m e i i t sh a es o m em e r i t 8s u c ha ss j m p l eg r i d s s m a l l c rb a n ( 1w i ( 1 协 o fs t 龌n e 锚i l l a t r i xa i l de c o n o m i cc o m p u 乞a t i o na n ds oo nc o m p a r e ( 1w i t h i a i l g l cc l 。i l l t ，s ， a n dh a v eb e t t e ra p p r o 础m a t i o nt ot l l eb o u n d a r yo ft h ed o m a i nc o n l p a r e dw i t i li ( ：( 1 t u l g u l ! i e l e m e n t s i ti sv e r yi m p o r t a n tt oa p p l yq u a d r i l a t e r a le l e m e n t st oh n d so fp r o b l e n l sf r o i i it h ( ： p o i n t so ft h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lv i e w s g a c o s t a ，r d 1 l r 矗n ( s i a m n u m e r a n a l 2 0 0 1 ) t h o u 血tt h a tr d p ( ，妒) s e e m st ob e t h ew e a k e s tm e s hc o n d i t i o nu pt on o wa 以dp r o v 甜t h a tr d p ( ，妒) i sas u m c i e n tc o n d i t i o n 8 u c ht h a tt h eo p t i l n a l i n t e r p o l a t i o ne r r o re s t a m a t eu n d e rt h en o r mo f 日1f o rq 1i s o p a r a m e t r i c e l e m e n t 0 n em a ya s kw h e t h e ro rn o tt h ec o n d i t i o n 且d p ( ，妒) i sa 1 8 0n e c e s s a r y ? a c o s t a a n dd u r 矗n 1 】p u ti t 嬲a no p e np m b l e m z z h a n gc o n j e c t u r e dt h a ti t i sa l s oi i e c e s a r r y c o n d i t i o n 【6 圳i nt h i sp a p e r ，w es h o wt h a t 兄d p ( ，妒) i 8n o tn e c e s s a 珂b yac o n t e r e x a n l p l e t h ec o i e r g e n c ea n a l y s i so ft w on e wl o w e ro r d e rn o n c o n f o r m i n ga r b i t r 跗yc o n v e xq u a d r l _ 1 a t e r a le l e m e n t sf o r8 0 m i l gs t o k e se q u a t i o n si 8s t u 出e di nt h i sp a p e r t h ea p p r o x i m a t i o n s p a c e st ot h ep r e s s l l r ea n dv e l o c i t ya r ep i e c e w i s ec o l l s t a n ta n dt h ed e 口e e 8o ff r e e d o mw i t h i n t e g r a iv a l u e sr e s p e 毗i v e l y t h e 七w on e we i e m e t sn o to n l yh a v et h es i m p l ec o n s t r u c t i o n a n dc o m 7 e n i e n c ei np r a c t i c e ，b u ta l s oh a v et h ea d v a n t a g eo fb e t t e ra p p r o 妇n a t i o nt ot h e b o u n d a r yo ft h ed o m a i n w ep o i n to u tt h a to n eo fh r 0e l e m e n t si sal o d d n g f r e ee l e m e n ta n d c a nb e 印p l i e dt ot h ep l a n a re l a s t i c i t yp r o b l e mu n d e rr e c t a n g l l l 躲g r i d ；m e a n w h i l e ，i t sa p _ p r o x i m a t es c h e m e s 砸t hm o v i n g 鲈l df o rs o l v i n gn 毗a t i o n a qs t o l 啷e q u a t i o n si sp r e s e n t e d i nt h i sp a p e ra n dt h eo p t i i i l a ie r r o re s t i m a t e sa 舱o b t a i n e d i ti sw e l l 1 ( 1 l a w nt h a tt h ed r g r e e so ff r e e d o ma n dt h eb a s eo f8 h a p ef u n c t i o ns p a c es h o u l d m a t c hi nt h ec o n s t r u c t i o no f 矗n i t ee l e m e n t o t h eo i l eh a n d ，t h em n c t i o o ff i n i t ee l e m e n t s p a c eh a v ec o u l l t i n u o u sw i t hs o m ek i n d sm e a nv a l u e s ，o nt h eo t h e rh a n d ，t h ed r g r e e so f f r e e d o ma r ea l s ot h ev a r i a b l eo ft h e 出s c r e t ee q u a t i o n ，t h e ys h o u l db es e l e c t e ds i m p l ya n d t h et o t a ld e g r e e so ff r e e d o ms h o m db ea ss m a l la sp o s s i b l e a su s u a l ，i ti 8d i 廿c u l tt os a t i f y t h ea b o v et w or e q m r e m e n t s i no r d e rt oo v e r c o m et h ea b o v ed i 雁c u l t i e s ，t h e “( 1 0 u b l es e t 1 1 l p a i _ l i n e t e rn l ( j t h o d ”w i sp r e s e i l t e db yi ) r o f e s s o rc h e ns h a o d l u na n da c a d e n l i c i a j ls h iz h u n 乎 c ia n dn l a n y l u a b l ee l e m e n “a r ep r o p o s e da n ( is t u d i c d ( s e e 5 4 7 0 ，7 1 ) h o v e v e r ，t h e r ei si l o s t u d y ( ) nv a r i a t i o n a li 上l e q l l a l i t yp r o b l e m s i nt h i sp a p e r ，、v ew i l la p p l ya1 2 一p a r e n l e t e rd 0 1 l b l e s e t1 ) h a m e t e rr e c t a n 9 1 1 1 a rp l a t ef i n i t ee l e m e n tt ( ) af o 、1 r t ho r d e rv a r i a t i o n a li i l e q u 甜i t yw i t h ( 1 i s p l a c e n l p n to b s t a c l e t h eo p t i i j l a le s t i i l l a t eo i ( 1 e ro ( ，。) i so b t a j n e dw h i c hl st l l es 甜i l oa s 恤a to ft h ec o n v e n t i o n a li i l l i t ee l e i n e n t sb yi n t r o d u ( ：i n gs o m en e wt e c h n i q u e sa n dt h ea b o v e r e s u l “a r ea l s ov a i i df o ra l m 8 tk n a w nn o n c o n f o r m i n gp l a t ef i n i t ee l e m e n t s o nt h eo n eh a n d ，t h es t u d yo na n i s o t r o p l c 矗n i t ee l e m e h t sh a sb e e no n eo fh i g h l i g h t d n c t i o 工l sr e c e n t l fi t i sv o i dt ou s et h ec o n v e n t i o n a is o b o l e vi n t e r p o i a t i o nt h e o r yl l n d e r a n i s o t r o p i c l e s h e s t a p e l 3 8 】p r e s e i l t e dat e s t1 n e t h o dt h a tc a nc h e c kw h e t h e ro n ed e m e n t b eu s e du n d e ra n i s o t r o p i cm e s h e 8o ri 旧t b u tt h i sm e t h o di si n c o i l v e n 妇l ti np r a c t i c e p r o f e s s o rs c c h e na n dd y s h ip r e s e n t e da ni m p r o v e do n ea n da p p l i e di tt os o m ef a m o u s e l e m e n t sf o rm a r l yp r o b l e m ss u c ha st h es e c o n da n dt h ef o u r t hp r o b l e m s ( s e e f 2 0 6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 】) o nt h eo t h e rh a n d ，t h es t u d yo nt h es u p e r c l o s ea n ds u p e r c o n v e g e n c eo f6 n i t ee l e m e n t s i s 出w a y sh i g h l i g h ti nn u m e r i c a la n a l y s i sa n dc o m p u t a t i o n q l i na n dh i sg r o u ph a e s h i d i e dm a n ye l e m 印t sb yu s i n gt h ei n t e f a ii d e n t i t i e st e 幽q u e s h o w e v e r ，t 0m yb e s t k n o w i e d g e ，a uo ft h ew o r k sw e r ev i r t u a 工l yr e l i e do nt h er e s t r i c t i o n 8o fc l a s s i c a lr e g u l a r i t y a s s u m p t i o no rq u a s i u n i f o r ma s s u m p t i o n ，t h ea n a l ”i so ft h es u p e r c l 0 8 e 舡ms u p e r c o m e r g e n c e o fn o n c o n f o r m i n ge l e m e n t so na n i s o t r o p i cm 船h e sh a ss e l d o mb e e ns e e ni nt h ep r e v l o u s l i t e r a t u r e s i nt h i sp 印e r ，t h ec o n v e r g e n c ea n 蝴i so fal o w e ra n i s o t m p i cn o n c o n f o r m i n gq u a d r i - l a t e r a le l e m e n 主w i t hp e n 出t ym e t h o df o r8 0 m i 培s t o k e 8e ( 1 u a t i o n si sp f e s e n t e df l t s t l y i 七i 8 s h t h a tt l l i sm e t h o dw i t ha1 a r g e rp e n a l t yp a r a m e t e rc a na c ! 址e v et h es a m ea c c u r a c ya s t h es t a 玎d a r dm e t h o dw i t has m a | l e rp e n a l 毋p a r a m e t e r t h ec o n v e g e n c er a t eo f0 1 1 rp e n a l t y i i l e t h o di st w ot i m e sc o m p a r e d 们t ht h es t 8 i l 出正dm e t h o dw h e nl l s i n g 曲旧s a 棚eo r d e rp e n a i t y p a r a m e t e rw h i l et h ee ) 【t r a p o l a t i o nm e t h o dp r o p o s e db yf h l ke ta lc a nn o ty i e | dt h ea b o v e r e s u l t s s e ( ：o n d l y ，n o n c o n f o r m i n gm o r t a rf i n i t ee l e m e n ti ss t u d i e dw i t h o u tc o n s i d e r i l 唱t h er e g m l a r i t yc o n d i t i o no rq u a s i u n i f o r m l ya s s u m p t i o ni nt h eg l o b a ld o m a i n m c 1 w h i l e ，t l l es u p e i - 一 c l o s or e s u l tc o i n c i d e sw i t hc o n v e i l t i o n a ln l e t h o d si so b t a l n e db ，rm e a l l so fi n t e g la 1i d e n t i t l t e c l l i l i q e s w cp o i n to u tt h a tt h ei d e a so ft h i sp l p e rc a nb ea f ) p e e dt o ( ) t 1 1 e r 啦p ( 粥o ff j t e e l e l l l c n t s f j n a 】i ，it h es l l f ，e r c l o s ca n dg l o ) a ls u p e r c o n v e r g e n c eo fe 1 1 em o d i f i c ( ih v ep a r a r j l e t e rc i ( 。 n l e n to na n i s o t r o p i cm e s h e s8 r e8 t u d i e db yu s j n gs o m e a d v a n t a g e so ft h ee i e m e n t n 1 i m e r j c a l e x a m p l e sa r e 出s og i v e nt ov e r i 匆t h ev a l i d i t yo fo u rt h e o r e t i c a ia n 出y s i sa n dt h ee l e m e n t s p e r t o r m a n c e m o 陀o v e r ，o u ra n a l y s i s 谢1 lb ev e 。yh e l p f 【1 1i nd e v e l o p i n gp o s t e r i o r ie s t i m a t e s m e t h o da n dd e s i g n i n gs o m ea d a p t i v ea 1 9 0 r i t h m so fn 眦e r i c a is o l u t i o n sf o rt l l es e c o n do r d e r p r o b l e m s k e y w o r d s ： a r b i e t r a 哪q u a d r i l a t r e a l ；a n i s o t r o p i c i t y ；s t o k e sp r o b l 哪；s u p e r c o n v e r g e n c e ； d o u b l es e tp a r 砌e t e r ： v 郑重声明 y 9 i ；8 37 2 本人的学位论文是在导师指导下独立完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等 违反学术道德的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法 律后果，特此郑重声明 学位论文作者：夏罾趣 2 0 0 5 年7 月 前言 有限元方法足当前求偏微分方程数值解的一个重要方法，广泛应用于解决物理现象、 工程问题及科学计算等领域中有限元方法是古典变分方法( r i t z ga l e l 、k i n 方法) 和分片插 值多项式结合的产物，其离散化思想最早由c o t l r a n t 于1 9 4 3 年首先提出的，他考虑了基于 三角形网格剖分的d i r i c h l e t 问题的分片线性逼近我国数学家冯康先生独立于西方发明了 这种方法从2 0 世纪6 0 年代至今，经过4 0 多年的研究和发展，有限元方法已成为一门理 论完善、应用广泛的数值计算方法有限元方法是数学、物理、力学、工程界和科学计算( 尤 其是大规模计算) 的主流方向该方法广泛应用于各类具有很强背景的实际问题，比如椭圆 问题、抛物问题、双曲问题、变分不等式问题、流体力学中的s t o k e s 问题、平面弹性问题 等目前，该领域的研究非常活跃，计算数学方面的大部分科研成果都与此有关随着该学 科的发展，有限元空间的构造、理论分析和数值计算都出现了许多新的亮点和难点为了提 高计算效率和精度，又产生了多重网格方法、区域分解方法、高精度方法等新的研究方向 任意四边形单元与矩形单元相比，具有较好的逼近求解区域边界的优势，这就使所求问 题的近似解的精度更高尽管三角形单元也能较好的逼近求解区域的边界，但四边形单元与 三角形单元相比，具有网格简单，刚度矩阵带宽小，计算经济等优点因此对任意四边形单元 的研究是目前国内外学者正在关注的前沿问题之一，给出了许多结果( 见 1 ，2 ，6 ，8 ，l o ，1 1 ，1 3 1 等) 本文主要将任意四边形单元作为研究对象，采用了一些低阶非协调任意四边形单元分 别对s t o k e 8 问题等作了收敛性分析，得到了最优误差估计 g a c o s t a ，r d u r n 于2 0 0 1 年在s i a m n u m e r a a i 1 j 中指出：到目前为止，弱角 条件r d p ( ，妒) 似乎是最弱的网格条件并证明了在此条件下凸四边形单元k 上q 。等参 元在日1 模下的最优插值误差估计，即弱角条件r d p ( ，妒) 是凸四边形单元k 上q ，等 参元在h 1 模下取得最优插值误差估计的充分条件但是否是必要条件呢? 他们把它作为 一个悬而未决的问题 z z h a g 在【6 9 】中认为它是必要的本文通过一个反例证明了弱角 条件r d 尸( ，砂) 不是凸四边形单元k 上q 1 等参元在日1 模下取得最优插值误差估计的 必要条件 s t 【，l 啷问题是标准的混合元问题通常情形下，用有限元方法近似求解s t o k e s 方程，速 度的近似空问和压力空间应当匹配，这就是著名的b a b u s k a _ b r e z z i 条件，简称b b 条件 对于协调元，这种匹配关系不易做到采用非协调有限元方法在一定程度上克服了这些不 足这种单元，具有构造简单，计算经济等优点c r o u z e i x 和t c ，a n l f l 6 j 先后提出用非 协调的三角形元组成速度的近似空间以此非协调元解s t o k e s 方程及n a v i e p s t o k e s 方程， 得到了丰满的误差估计四边形单元与三角形单元相比，具有网格简单，刚度矩阵带宽小 等优点，一直被工程界所看好文献 17 】设计了压力取分片常数，速度采用五个自由度的 非协调矩形元并得到了最优估计该单元对求解区域的边界的近似具有一定的局限性文 献f 1 8 1 通过适当的约束构造了一类非协调任意四边形单元，但构造比较复杂，使用起来不 方便而且机理不清晰考虑到这些不足，本文给出了两个新的低阶非协调任意四边形单元 并将其用于s t o k e s 问题，得到了最优误差估计，需要指出的是，其中一个单元在矩形网格 下，还是一个l o 出n g _ f r e e 元，可用于平面弹性问题，另外，我们通过引入变网格思想将该 单元用于非定常s t o k e s 问题，得到了最优误差估计 众所周知，在构造有限元时，单元自由度和形函数空间应当匹配，一方面使有限元空 间中的函数在跨越单元边界时，具有某种积分意义下的连续性，同时自由度又是有限元离 散方程的未知量，应取得简单，使整体自由度尽量的少选取同时满足这两个性质的自由 度往往是很困难的例如，z i e n k i e 祈c z 元的自由度简单，但其收敛性受剖分形式的限制； v e a b e k e 元的收敛性不受剖分形式的限制，却自由度复杂，总体未知量多。文献【5 4 1 提出了 构造有限元的双参数法恰好解决了这一矛盾并由此构造了许多有价值的双参数有限元( 见 5 4 ，7 0 ，7 1 】等) 但有关双参数有限元方法用于变分不等式问题的研究还不多因此本文将一 个1 2 参双参数矩形板元用于四阶位移障碍变分不等式问题，同时通过引入与已有文献不同 的新技巧给出了与常规有限元相同的最优误差估计值得一提的是，我们的结论对几乎所 有已知的非协调元都成立 无论协调元、非协调元还是混合元，传统的有限元方法，都要求对求解区域的剖分满足 正则性条件或拟一致假设【，即簪c 或；c ，这里k 是剖分单元k 的直径，触为 k 的最大内切圆直径， = m a x kk ， = m i n 危k ，e 是与网格剖分无关的常数但最近 的一些研究成果表明( 见f 3 ，2 0 ，3 6 ，3 7 ，3 8 ，6 3 ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 】) ，这种假设对一些窄边有限元和各向 异性元并非是必要的一方面，有些问题定义在窄边区域，如电机中转子与定子之间的间 隙，关节处的软骨组织、由复台材料做成的薄板等在对此类问题计算时，如果采用正则性 剖分，计算量将非常大；另一方面，有些椭圆边值问题的解呈现各向异性，即沿某个方向的 2 解变化非常剧烈，而沿另外方向的解变化平缓例如：奇异摄动问题、对流扩散问题等( 其 解出现边界层) 因此，从理论分析和实际应用的观点来说，正则性假设或拟一致假设成为有 限元方法的一个基本的制约条件采用各向异性剖分单元是克服上述制约条件的一个很好 方法，因此也成为目前有限元领域内的亮点之一由于在各向异性剖分下，传统的s o b o l e v 插值理论不能直接利用，f 3 8 1 给出了一个检验单元能否应用于各向异性网格的标准，但是 应用起来很不方便文献f 3 6 ，3 8 ，6 3 1 等对各向异性有限元方法的研究偏重于分析二阶椭圆边 值问题的协调l a g r a n g e 型元，而对非协调元以及其他问题讨论较少 2 0 概括了 3 8 ，6 3 的结果并提出了一个使用方便的一般插值定理并将其应用于二维w i l s o n 元另外， 6 4 1 把 【6 5 的结果推广到了三维，【6 6 】和【6 7 】还分别研究了各向异性c 盯e y 三角形元的收敛性及 各向异性五节点c m u z e 酵r a v i a r t 型矩形元在单元中心点的超收敛性 在实际工程计算中，有限元的超逼近和超收敛分析占有非常重要的地位，她一直是数 值分析家们研究的热点问题之一以林群院士为首的科研小组利甩积分恒等式技巧对许多 单元作了研究并得到了很好的结果但几乎所有关于这些单元的超收敛性结果都要求网格 满足正则性假设和拟一致假设在各向异性网格下有关非协调元的超逼近和整体超收敛分 析的文献还不是太多 本文首先将一个低阶的具有各向异性特征的非协调四边形单元( 仅有三个独立的自由 度) 用于求解s t o k e 8 方程并给出了一个组合加罚方法，它不仅可以在罚因子较大时得到与 传统有限元加罚法中罚因子较小时同样的精度，而且对同一级别的罚因子其收敛阶是传统 方法的两倍，得到了超收敛结果，这是f k 等人提出的加罚外推法所不能得到的结果，该 方法还可以应用于n a v i e r - s t o k e 8 方程 其次，我们将各向异性有限元用于耦合问题，利用具有各向异性特征的双线性元和双二 次元构造了非协调m o r t a r 有限元空间，利用积分恒等式技巧给出了与传统方法完全相同的 超逼近结果需要指出的是，本文提供的思想具有一般性，可用于其它类型有限元的研究 最后我们将改进的五节点矩形元用于二阶问题，利用其自身独有的特点，在各向异性 网格下研究了它的超逼近和超收敛性质数值检验的结果与我们的理论分析是相吻合的 这对进一步发展二阶问题数值解的后验误差估计方法和设计自适应算法是很有帮助的 本文的写作安排如下： 第一章：主要介绍预备知识，列举本文所用到的记号、引理和定理，对文中用到的有 3 限元知识进行归纳 第二章：本章通过一个反例，解决了g a c o s t a ，r d u r d n 于2 0 0 1 年在s i a mj i i l m l n l e r a n a l 中提出的悬而未决的问题 第三章：本章构造了两个新的非协调任意凸四边形单元并将它用于s t o h s 问题，对其 进行了收敛性分析，得到了最优误差估计，其中之一还是一个l o c k i n g _ f r e e 元，在矩形网格 下可用于平面弹性问题 第四章：通过引入变网格思想将第三章中的其中一个新单元用于非定常s t o k e s 问题得 到了最优误差估计 第五章：将一个低阶具有各向异性特征的非协调四边形单元用于求解s t o k e s 方程，提 出了一个组合算法，得到了超收敛结果 第六章t 利用具有各向异性特征的双线性元和双二次元构造了非协调m o r t a r 元并将它 用于二阶椭圆问题利用积分恒等式技巧给出了与传统方法完全相同的超收敛结果 第七章：将1 2 参双参数矩形板元用于位移障碍下四阶变分不等式问题，通过引入与以 往文献不同的新技巧给出与常规有限元相同的最优误差估计 第八章：在各向异性网格下，将改进的五节点矩形元用于二阶椭圆边值问题，得到了 超逼近和整体超收敛结果算例表明数值结果与理论分析是相吻合的 4 第一章预备知识 1 1s o b o l e v 空间及一些记号 设彤表示实n 维e u c l i d 空间，x = ( 。1 ，z 2 ，r 。1 表示舻中的点。令nc 用 7 = ( m ， 2 ，) 是一多重指标，其每一分量都是非负整数，且记 ，的长度为 混合偏导数记为 川= m ， l l ” 眺= 瓣参砸 s o b o l e v 空间 5 7 j 定义为 “9 ( q ) = ，护) l 口，l p ( q ) ，川sm ) 空间w “，( q ) 的范数和半范分别记为 ；”9 ( q ) | | = 厶i d i d x 】1 ，p m “9 ( q ) i = 【f 、| d ，训栅p j 州= m 。l o 或 。n = 厶i ”l d 圈， 1 1 1 0 ，使双线性泛函n ( ，) 满 足； n ( u ，”) l 冬订j i 钍i f ”l i ”i i h ，讹，”日， 则称。( ，) 是连续的或有界的，m 称为o ( t ，) 在日上的连续常数 定义1 2 ，2 f 2 q 设日为h i l b e r t 空间，如果存在一个正常数q 0 ，使 1 8 ( ，”) 2 a 打， 则称o ( ，| ) 在日上是强制的，a 称为o ( ，) 在日上的强制常数 实践证明，大量的数学物理问题可以表示成形如( 1 1 ) 的变分问题，关于变分问题( 1 1 ) 的解存在性，我们有 l a x - m i l f 锄引理【2 目设日是h i l b e r t 空间，o ( ，) 是定义在日日上的连续和强制的 双线性泛函，h ，则存在唯一的u 日，使 口( t ，口) = ，( 口) ，只 其中日7 为日的共轭空间 对变分问题( 1 1 ) 的解存在性，l a x m i l g r a m 引理虽然给出了明确的答案，但如何求出 这一精确解，从此引理中却难以找出答案事实上，实际问题中只有少数非常简单的数学 6 物理问题才能用解析的方法找出精确解，更多的问题是利用g a i e r k i n 方法找到问题的近似 解g a l c r k i n 方法的基本思想是：用有限维空间去逼近无穷维空间y ，将连续性的变分 问题( 1 1 ) 化为对应的离散问题：求“ u ，使得 n ( n h ) = ，( “) ， v t 抚坛，( 12 ) 关于离散型的变分问题( 1 2 ) 解的存在唯一性，只须验证有限元空间坛是h m ) e i t 空间，双 线性泛函n ( ，- ) 在k 上有定义，线性泛函，在k 上有定义，并且满足l a 挣m i l g r a i n 引 理的条件根据l a x - m i l g r a m 引理立即可知离散型的变分问题( 1 2 ) 在在k 上有唯一解 在有限维空间k 上，可以通过构造分片多项式插值的方法求得问题的近似解 误差估计是有限元分析中一个重要环节，b r a m b l e - h i l b e r t 引理在误差估计中起着非常 重要的作用，下面我们给出这个引理 b r a 玎出l 昏h i l b e r t 引理陋2 3 l 设qc 矗2 是有界区域，a n 分段光滑，( w 2 扎9 ( n ) ) ，其 中七o ，p ( 1 ，。) 若v 札r ( n ) 有，( t ) = o ，则存在常数g ( n ) ，使对v 彤。扎9 ( q ) ， 有 l ，( ) l e ( n ) l l ，l i ；+ 1 ，n ”l e + l ，n ( 1 3 ) 其中r 为惫次多项式空间， l i ，l | 备t p ，n = 。善咒蹴- 用有限元方法求解问题时，首先要对求解区域q 进行剖分为简单起见，设f 2 是有 界的凸多边形区域，对每一个 ，用 表示对q 的三角形、矩形或任意四边形剖分，即 n = ，- uk ，这里h 表示每个单元k 的直径，h = 辨举 k 厶中两个单元要么不相 he lj h 邻，要么有一条公共边或公共顶点下面首先给出有限元中的几个基本概念 定义1 2 3 【1 4 】设以是q 的族剖分，v k ，当剖分为三角形单元时，若存在一个与剖 分尺寸h 无关的正常数g ，满足 堕 g 。 p k 其中触为k 的最大内接球直径 或 当剖分为四边形单元时，k 的四个顶点坐标分别是m ( 如，玑) ，i = l ，2 ，3 4 它的四个 子三角形记为五，其顶点为尬一1 ，1 l 磊，尬+ 1 ( im o d4 ) 若存在一个与剖分尺寸n 无关的正 7 常数g 使得 丛 o 时，对0si m 和，日”( k ) ，则存在与m ，n ，h k p k 有关的常数 g 使得 l 一坛训t ，k e 嚣一。l 训。， 其中乍m 一1 是次数不超过m 一1 的n 元多项式集合，h k 是k 的直径，肌是含于k 内 最大球的直径 对整体插值的误差有： 定理1 2 2 | 1 4 i 设以= 甄， ， ) 是多面体区域qcr “的非退化剖分族 ( 丘，声，) 是对某些f ，m 满足定理( 1 2 1 ) 条件的一个有限元若对v k ，有限元 ( ，p ，) 与( 霞，户，) 仿射插值等价，( 霞，声，) 称为参考元则存在与参考元? ，m ，似 9 及定理( 1 2 1 1 中的g 有关的正常数c 1 使得，对0 曼s 曼m 和j h ”( 【! ) 有 l ” k j h 1 3 各向异性单元的插值理论 以下我们给出有关各向异性单元的某些已知的结果( 主要来源于文献 2 0 ) 为了完整起 见，这里