（基础数学专业论文）几个包含smarandache函数的方程的求解.pdf

摘要 数论，在数学学科中占据了非常重要的地位而著名的s m a r a n d a c h e 问题是 数论研究中十分重要的问题，它是由美籍罗马尼亚数学家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授首先提出的他在1 9 9 3 年出版了只有问题，没有解答! 一书，书中提 出了1 0 5 个关于数论函数和序列的问题和猜想毫无疑问，s m a r a n d a c h e 的领域 是非常迷人的，尽管从数论的角度来看，有时这个领域的结构非常简单，但这并 不影响它的深奥、神秘和有趣! 追随着s m a r a n d a c h e 的精神，f e l i c er u s s o 教授在“as e to f n e ws m a r a n d a c h e f u n c t i o n s ，s e q u e n c e sa n dc o n j e c t u r e si nn u m b e rt h e o r y ”一书中提出了一些新的s m a r a n d a c h e 函数和一些已经解决和未解决的问题针对书中的一些问题，本学位 论文进行了研究并做出了解答具体说来，主要成果包括以下两个方面： 1 在研究s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 和欧拉函数矽( 刀) 的基础上，用初等方 法研究了方程矽( 万) = s ( n 2 ) 和矿( 珂) = s ( n 3 ) ，并给出了它们的所有正整数解 2 在研究伪s m a r a n d a c h e 无平方因子函数z w ( n ) 和伪s m a r a n d a c h e 函数 z ( n ) 的基础上，给出了相关方程和不等式的解 关键词 s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) ，欧拉函数( ) ，伪s m a r a n d a c h e 无平方因子函数 z w ( n ) ，伪s m a r a n d a c h e 函数z ( 门) ，正整数解 a b s t r a c t ( 英文摘要) n u m b e rt h e o r y , a m o n gt h em a t h e m a t i c a ld i s c i p l i n e s ，o c c u p i e sa ni m p o r t a n tp o s i t i o n t h ef a m o u ss m a r a n d a c h ep r o b l e m sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h e s t u d yo fn u m b e rt h e o r y ，i tw a sf i r s ti n t r o d u c e db ya m e r i c a n r o m a n i a nn u m b e r t h e o r i s tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h e i n19 9 3 ，h ep u b l i s h e dab o o ke n t i t l e d “o n l y p r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ”i nt h i sb o o k ，h ep r e s e n t e d10 5u n s o l v e da r i t h m e t i c a l p r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e sa b o u tt h e s ef u n c t i o n sa n ds e q u e n c e s t h es m a r a n d a c h e su n i v e r s ei su n d o u b t e d l yv e r yf a s c i n a t i n g e v e nt h o u g hs o m e t i m et h i su n i v - e r s eh a sav e r ys i m p l es t r u c t u r ef r o mn u m b e rt h e o r ys t a n d p o i n t ，i td o e s n tc e a s e t ob ed e e p l ym y s t e r i o u sa n di n t e r e s t i n g f o l l o w i n gt h es m a r a n d a c h es p i r i t ，f e l i c er u s s op r e s e n t ss o m en e w s m a r a n d - a c h ef u n c t i o n sa n ds o l v e da n du n s o l v e dp r o b l e m si nt h eb o o ko f “as e to fn e w s m a r a n d a c h ef u n c t i o n s ，s e q u e n c e sa n dc o n j e c t u r e si nn u m b e rt h e o r y i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，w es t u d i e ds o m ep r o b l e m so ft h i sb o o ka n dg a v et h ea n s w e r t h e m a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 o nt h eb a s i so ft h es m a r a n d a c h ef u n c t i o ns ( 聆) a n de u l e rf u n c t i o n # ( n ) ， w es t u d i e dt h ee q u a t i o n 矽( n ) = s ( n 2 ) a n d 矽( n ) = s ( n 3 ) a n ds o l v e dt h e mb yu s i n g t h ee l e m e n t a r ym e t h o d s 2 o nt h eb a s i so ft h ep s e u d o s m a r a n d a c h e s q u a r e f r e ef u n c t i o nz w ( n ) a n d p s e u d o - s m a r a n d a c h ef u n c t i o nz ( 刀) ，w es t u d i e ds o m ee q u a t i o n sa n ds o l v e d t h e mc o m p l e t e l yb yu s i n gt h ee l e m e n t a r ym e t h o d s k e y w o r d s s m a r a n d a c h ef u n c t i o ns ( 刀) ，e u l e rf u n c t i o n ( 刀) ，p s e u d o - s m a r a n d a c h e s q u a r e f - t e ef u n c t i oz w ( n ) ，p s e u d o s m a r a n d a c h ef u n c t i o nz ( ，z ) ，p o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：羔主圭指导教师签名： 兹细经 2 0 o 罗年岁月岁日酝砰年争月勿日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签名：美文吉 劲。尸年f 月，日 西北大学硕上学位论文 1 1 研究背景与课题意义 第一章绪论 数学是一门研究客观物质世界的数量关系和空间形式的科学，数学的“大家 庭”中包含着各式各样的“成员”研究数( 特别是自然数) 的规律的数论就是众多 “成员”之二它是一个历史悠久的数学分支，是研究整数的性质及关系的一门学 问对于数学家来说，它如同“数学王子”高斯所认为的那样，是整个数学王国中的 “数学皇后”这一迷人的数学领域有许多富于刺激性的难题，丰富而辉煌，堪称数 学家的金矿高斯曾把数论描绘成“一座仓库，贮藏着用之不尽的，能引起人们兴 趣的真理” 数论函数是数论中特有的函数，它既是数论的重点研究对象，又是重要的研 究工具关于一些特殊函数的算术性质的研究一直以来都在数论研究中占有十分 重要的位置，许多著名的数论难题都与之密切相关因而在这一领域取得任何实 质性进展都必将对初等数论及解析数论的发展起到重要的推动作用! 美籍罗马尼 亚著名数论专家f l o r e n t i ns m a r a n d a e h e 教授曾提出了许多关于算术函数的问题与 猜想1 9 9 3 年，他在美国研究出版社出版了只有问题，没有解答! 一书该书 中，f s m a r a n d a e h e 教授提出了1 0 5 个关于特殊序列、算术函数等未解决的数学问题 及猜想，随着这些问题的提出，许多学者对此进行了深入的研究，并获得了不少具 有重要理论价值的研究成果而另一位加拿大数论专家r k g u y 所著的 数论中 未解决的问题一书中的诸多问题也引起了数论爱好者的研究兴趣 基于对以上问题的兴趣，本论文应用初等数论的知识对s m a r a n d a e h e 函数 s ( 聆) 的一些性质进行了研究，结合研究与其有关的其他函数的性质，揭示了这些 函数之间的内在联系并给出了一些相关方程的解数 1 2 主要成果和内容组织 基于对e s m a r a n d a c h e 函数的兴趣，本文应用初等数论、解析数论等知识对一 些特殊函数的性质进行了研究，主要分布在第三、四章具体来说，本文的主要成 果包括以下两个方面： 第一章绪论 1 用初等方法研究了包含s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 和欧拉函数) 的方程 矽0 ) = s ( n 2 ) 和矽0 ) = s ( n 3 ) ，并给出了它们的所有正整数解 2 在研究伪s m a r a n d a c h e 无平方因子函数z w ( n ) 和伪s m a r a n d a c h e 函数z ( n ) 的 基础上，给出了相关方程和不等式的解 2 西北人学硕士学位论文 2 1 数论的发展概况 第二章数论发展史 数论，这门古老而又常新的学科既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应 用的新“应用数学 它的产生很早，成熟也早，但至今仍是一门活跃而年轻， 的学科由于它研究的问题简单易懂，因此，它比任何一个其它数学分支更能引起 人们的注意数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅 用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事 因而有人说： “用以发现天才：在初等数学中再也没有比数论更好的课程了 许多业余数学爱 好者都是从这里起步，通过对数论中的一些问题的探讨，获得了从事数学研究的 信心 数是最基本的数学概念之一，通常包括自然数、整数、有理数、实数、复数以 及在它们的基础上形成的其他概念数的概念以及数学符号与数学运算方法，都 是随着人类社会的生产、生活与科学技术的发展，根据数学运算的实际需要，逐步 地发展并人为地创造出来的在人类早期数学知识积累过程中，由于记事和分配 生活用品等方面的需要，产生了自然数；随着生产实践的发展，逐渐形成了运算， 导致算术的产生；由于计量实物的需要，产生了简单的几何；随着农业、建筑业、 手工业及天文观测的发展，逐渐积累了有关这些的基本性质和相互关系的经验知 识，于是几何学萌芽了；由于商业计算、工程计算、天文的需要，在算术计算技巧 的基础上，逐渐积累起代数学基本知识但是，在这个阶段，直到公元前6 世纪， 无论如何也找不到我们今天所谓的“理性的数学 ，而只是一种初级的“经验的 数学”由此可见，数的概念最初不论在哪个地区都是由l 、2 、3 、4 这样的自 然数开始的，自然数是人类对数的认识的起源很难想象，如果没有计数能力人类 将会是什么样子据史料记载，早在公元前5 7 0 0 年，古苏美尔人就已经有了历法， 因此，他们的算术理论必定具备了一定的规模当古代文明发展到一定程度，提供 给人们闲暇时间去深思，一些人开始推测数的本质，好奇心带领人们进入神秘的 数字世界直到今天，某些数字比如3 ，7 ，1 l ，1 3 等还被某些地域的人赋予了吉利或 不吉利的意义 自然数也称为正整数，是人类经过长期实践最早接触到的数由于人类实践 3 第二章数论发展史 的发展，认识的深化，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前 进和后退，需要用负数表示这样的量，因此又产生了负数正整数、负整数和零， 统称为整数再加上正分数和负分数，人们对数的认识便从自然数发展到了有理数： 公元前2 5 0 0 年，毕达哥拉斯在研究1 与2 的比例项时发现了很多不能用两整数之 比写出来的数，如圆周率就是最重要的一个，人们就把这些数称作无理数有理数 和无理数一起统称为实数 在人们将“数”作为一个系统研究对象研究之前，它主要被用来做商业交易记 录，长达5 0 0 0 年之久! 对整数的系统科学地研究，也就是数论的起源，一般认为 要追溯到古希腊时代希腊人能够最先创造出演绎式的数学，当然还可能与当时 希腊高度发达的奴隶制度所提供的社会条件有关希腊人在数学方面比在任何其 他学科有着更惊人的进步他们不仅在数学的各个部分中做出了显著的不朽的贡 献，而且还为它们以后的发展奠定了永久的基础大约公元前6 0 0 年，p y t h a g o r a s 和他的弟子们对整数的性质做出了详尽的研究，把整数进行了不同的分类，提出 了质数、合数i 约数、倍数等一系列概念大约公元前3 3 0 年，亚里士多德的弟子 欧德摩斯精心编纂了一本从最初起始的希腊几何学史，这就是人们常常提到的欧 德摩斯摘要随后的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡 献，逐步完善了数论的基本理论 2 2 数论的基本内容 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力 它在数学产生之初就产生了数论问题吸引力极强，似乎很容易，但“易进不易出”， 因为它要求的技巧性很高，不易出成果先后发生在1 7 世纪末和1 8 世纪初的世界 三大难题：费马问题、哥德巴赫问题、华林问题，使数论发展成为一门独立的数学 学科研究数论的方法也应运而生按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析 数论、代数数论和几何数论四个部分 初等数论是使用不超过实分析的初等方法来研究整数性质的分支早在古希 腊时期，欧几里得的几何原本一书中就有素数的个数、完全数等许多初等数论 内容中国古代也研究了许多数论问题，有中国剩余定理这种光辉篇章，尤以不定 方程求解最为著名 解析数论是数论的一个分支，除了数论特有的方法外，它本质上是利用数学 4 西北大学硕士学位论文 中的解析工具来研究数论，用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学 家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献解析数论是解决数论中艰深问题的强有 力的工具数论中许多重要的研究( 如哥德巴赫猜想) 就依赖于解析工具 代数数论是研究代数数域( 即有理数域的有限次扩域) 和代数整数的一门学问， 是用代数工具来研究数论问题代数数论可溯源于高斯( 1 7 7 7 1 8 5 5 ，德国) 1 9 世 纪初的一些研究，以后经狄利克雷( 1 8 0 5 18 5 9 ，德国) 、克罗内克( 18 2 3 18 9 1 ，德 国) 和希尔伯特( 1 8 6 2 1 9 4 3 ，德国) 等人充分发展起来 2 0 世纪初，德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人把格和凸集等几何概念引 进了数论，取得了不少新的成果，这一分支就称为数的几何或几何数论 2 3 数论在数学中的地位 数学作为一门基础学科，向来被认为是基础的基础数论，它的研究对象始于 最简单不过的整数，却有着最丰富不过的内涵到近代的几个世纪，整数的理论往 往吸引着许多伟大的数学家，诸如费马，欧拉，高斯，黎曼，狄利克雷等，他们的 贡献使数论成为数学中最有魅力的一个分支著名的难题如哥德巴赫猜想，费马 问题以及黎曼猜测等，已成为数百年来许多大数学家所殚精竭虑的焦点 提到数论在数学中的地位，不得不说的是“数学王子”高斯曾经说过的一句话： “数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”因此，数学家都喜欢把数论中一些悬 而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取” 中国传统数学源远流长，有其自身特有的思想体系与发展途径在许多数论 问题的研究中，我国都处于领先地位像闻名于世的孙子定理( 又称中国剩余定理) ， 它不仅是初等数论中的一条精美定理，而且在计算科学、通讯理论等现代科学技术 领域中也得到了相当广泛的应用在我国近代的数学家中，华罗庚、柯召、闵嗣鹤 等老一辈数论学者曾取得过辉煌成就，其中华罗庚教授在解析数论上的工作是举 世公认的6 0 年代以来，我国数学家王元、陈景润、潘承洞等在筛法与“哥德巴赫 猜想”等问题上取得了国际上领先的结果，在国际数学界引起了强烈的反响! 第三章包含s m a r a n d a c h e 函数的方程 第三章包含s m a r a n d a c h e 函数的方程 3 1 引言 对任意正整数n ，著名的s m a r a n d a c h e 函数s ( 刀) 定义为使h i m ! 的最小正整数 m ，即s ( n ) = m i n m ：疗i 肌! ，m e n 由s ( 刀) 的定义容易推出 s o ) = 1 ，s ( 2 ) = 2 ，s ( 3 ) = 3 ，s ( 4 ) = 4 ，s ( 5 ) = 5 ，s ( 6 ) = 3 ，s ( 7 ) = 7 ，s ( 8 ) = 4 ，s ( 9 ) = 6 ， s ( 1 0 ) = 5s o1 ) = 11 ，s ( 1 2 ) = 4 ，s ( 1 3 ) = 1 3 ，s 0 4 ) 曩7 ，s 0 5 ) = 5 ，关于s ( 疗) 的算术性 质，许多学者进行了研究，并获得了许多有重要理论价值的研究成果例如王永兴 在文献1 1 中研究了s ( n ) 的均值性质，并证明了渐近公式： s = 吾熹+ d ( 未) a i v i c 在文献【2 1 中应用解析方法证明了更一般的结论，也就是对任意给定的正整数 ，及忌，我们有渐近公式： 趴加矿1争旦haxn s ( 咱) + s ( ) + + s ( ，吼) 同时，又存在无穷多组正整数( ，) 满足不等式 s ( + m 2 + + ，气) 1 且p 。4 ，则有 s ( p 4 ) 4 ，故上式无解 ( i i i ) 令口= 3 如果p = 2 ，贝j j s ( n 2 ) = s ( 2 6 ) = 8 = 矽( 刀) = 4 ( 2 1 ) 矽( ，气) ， 解得( 伟) = 2 ，惕= 3 即刀= 2 3 3 = 2 4 是方程的解 如果p = 3 ，n s ( n 2 ) = s ( 3 6 ) = 1 5 = 矽( 聍) = 3 2 ( 3 一1 ) 矽( 强) ，此式无解 如果p = 5 ，则s ( n 2 ) = s ( 5 6 ) = 2 5 = 矽( 玎) = 5 2 ( 5 - d 矽( r h ) ，此式无解 如果p = 7 ，则s ( n 2 ) = s ( 7 6 ) = 4 2 = 矽( 刀) = 7 7 ( 7 一1 ) 矽( 啊) ，此式无解 如果p 7 ，贝l j s ( n 2 ) = s ( p 6 ) = 6 p = 矽( ，2 ) = p 2 ( p 一1 ) 矽( 啊) ， 由于p 一1 6 ，所以此式无解 ( i v ) 令口= 4 如果p = 2 ，则s ( n 2 ) = s ( 2 8 ) = 1 0 = 矽( ”) = 2 3 ( 2 一1 ) ( 惕) ，此式无解 如果p 3 ，由引理可得s ( p 8 ) 8 p ， 由矽 ) = p 3 ( p - 1 ) c ( n 1 ) 和p 3 8 p 可得矽( 疗) 8 p ，故此式无解 ( v ) 令口= 5 如果p = 2 ，则s ( n 2 ) = s ( 2 m ) = 1 2 = ( 刀) = 2 4 ( 2 1 ) 矽( ) ，此式无解 第三章包含s m a r a n d a e h e 函数的方程 如果p - 3 ，由引理可得s ( p 1 0 ) 1 0 p ， 由) = p 4 ( p 一1 ) ( 强) 和p 4 l o p 可得加) l o p ，故此式无解 ( 访) 令口6 如果p 2 ，由引理可得s ( p 2 7 ) 2 a p ， 由( 玎) = p 扩1 ( p 一1 ) 痧( ) 和p p l 2 p a 可得矽( 疗) 2 p e t ，故此式无解 结合以上的( i ) ( 访) ，我们可得方程矽( 刀) = s ( n 2 ) 有且仅有四个解 ”= 1 ，2 4 ，2 5 ，5 0 这就证明了定理3 1 1 用同样的方法我们可以证明定理3 1 2 下面给出解的结构： ( i ) 显然”= 1 是方程( 行) = s ( n 3 ) 的解 ( i i ) 口= 2 ，p = 7 ，m = l ，即，l = 7 2 l = 4 9 ( i i i ) 口= 2 ，p = 7 ，= 2 ，即，= 7 2 2 = 9 8 ( i v ) 口= 4 ，p = 2 ，n t = 3 ，即珂= 2 4 3 = 4 8 ( v ) 口= 5 ，p = 2 ，m = 1 ，即刀= 2 5 l = 3 2 1 2 西北大学硕士学位论文 4 1 引言 第四章包含伪s m a r a n d a c h e 函数的方程 对任意正整数万，著名的伪s m a r a n d a c h e 无平方因子函数z w ( n ) 定义为最小的正 整数班，满足以m ”，即z w ( 以) = i i l i nm ：肌n ，聆l 聊” 关于函数z w ( 胛) 的研究是数论 中非常重要和有意义的课题，许多学者研究了它的性质，并得出了有意义的结论 乐茂华教授在文献1 8 1 中证明了z w ( 玎) = h p ，其中p 为玎的素因子从这个公 巾 式，我们很容易得到z w ( n ) 的值如z w o ) = 1 ，z w ( 2 ) = 2 ，z w ( 3 ) = 3 ，z w ( 4 ) = 2 ， z w ( 5 ) = 5 ，z w ( 6 ) = 6 ，z w ( 7 ) = 7 ，z w ( 8 ) = 2 ，z w ( 9 ) = 3 ，z w ( 1 0 ) = 1 0 ，很容易看出， 如果以为一个无平方因子数，贝l j z w ( n ) = n ；如果，l 为素数p ，则z w ( p ) = p 同时 他也证明了级数 志，口尺，口 o 智( z = w ( ，2 ) ) o 。 是发散的 此外，刘华宁在文献【1 9 1 中研究了该函数的均值性质并获得了两个有意义的结果他 证明了：对任意实数口，s 且满足o 一口) 1 及a o ，有 喜等= 甓幽- 2 a ) 耳l k 一南pp 鲁( n 5 )f ( 2 s7。+ 口j 其中f ( s ) 是m e m a nz e 协函数，兀表示对所有的素因子求积 对任意实数a 0 及x 1 ，有 善酬加器焉耳 t 一志 + 。p 对于任意给定的正整数以，著名的伪s m a r a n d a c h e 函数z ( n ) 定义为最小的正整 数删，使得力卜+ 一所= 掣棚 1 3 第四章包含伪s m a r a n d a c h e 函数的方程 z c 班呼n 掰：肌h 翠i - m 7 1 由此公式可知z o ) = l ，z ( 2 ) = 3 ，z ( 3 ) = 2 ，z ( 4 ) = 7 ，z ( 5 ) = 4 ，z ( 6 ) = 3 ， z ( 7 ) = 6 ，z ( 8 ) = 1 5 ，z ( 9 ) = 8 ，z ( 1 0 ) = 4 ，该函数是k a s h i h a r a 在文献f 2 0 】中提出的 k a s h i h a r a 和i b s t e d t 研究了它的性质并获得了一系列有趣的结果 f e l i c er u s s o 在文献【2 0 1 中提出了关于函数z w ( n ) 、s ( ，1 ) 以及z ( 刀) 的几个问题， 即就是下面的： 问题4 1 1 求解方程z w ( n ) = z w ( n + 1 ) z w ( n + 2 )( 4 1 ) 问题4 1 2 求解方程z w ( n ) z w ( n + 1 ) = z w ( n + 2 )( 4 2 ) 问题4 1 3 求解方程z w ( n ) z w ( n + 1 ) = z w ( n + 2 ) z w ( n + 3 )( 4 3 ) 问题4 1 4 求解方程s ( n ) = z w ( n )( 4 4 ) 问题4 1 5 求解方程z w ( z ( 玎) ) 一z ( z w ( n ) ) = 0( 4 5 ) 问题4 1 6 求解不等式z w ( z ( 玎) ) 一z ( z w ( n ) ) 0( 4 7 ) 本文在大量研究的基础上，利用初等方法解决了以上问题，即证明了以下定理和推论： 定理4 1 1以下三个方程无正整数解 z w ( n ) = z w ( n + 1 ) z w ( n + 2 ) z w ( n ) z w ( n + 1 ) = z w ( n + 2 ) z w ( n ) z w ( n + 1 ) = z w ( i l + 2 ) z w ( n + 3 ) 定理4 1 2 方程s ( n ) = z w ( n ) 有无穷多个正整数解，其中s ( n ) 为s m a r a n d a c h e 函数，其定义为： s ( n ) = m i n m ：h i m ! ，m en 定理4 1 3 方程z r w ( z ) ) 一z ( z w ( n ) ) = 0 有无穷多个正整数解 推论4 1 1 不等式z w ( z ( 刀) ) 一z ( z w ( n ) ) 0 有无穷多个正整数解 4 2 几个引理 引理4 2 3 若刀为任意自然数，且昙为比2 大的奇数，则 7 “、阻若4 阻， 及力2 口弗耽 这些引理的证明，参阅文献【2 1 】 4 3 定理的证明 z ( ) = 若3 陪耽 詈，砉3 陪耽 首先我们完成定理4 1 1 的证明 显然刀= 1 不是方程的解事实上，如果，= 1 ，则 1 = z w o ) 2 3 = z w ( 2 ) z w ( 3 ) 如果刀 1 ，假设方程( 4 1 ) 有一个正整数解i - n o ，则有 z w ( n o ) = z w ( n o + 1 ) z w ( n o + 2 ) 对于刀= n o 的任何素因子p ，显然p l z w ( n o ) 由式子 z w ( n o ) = z w ( n o + 1 ) z w ( n o + 2 ) 1 5 第四章包含伪s m a r a a d a c h e 函数的方程 由式子 z w ( n o ) = z w ( n o + 1 ) z w ( n o + 2 ) 可得p l z w ( 甩o + 1 ) z w ( n o + 2 ) 即就是p l z w ( n o + 1 ) 或p l z w ( n o + 2 ) ( i ) 如果1 , l z w ( 忍o + 1 ) ，则p l ( ，z o + 1 ) ，结合p l n o 我们可得p l ( ，z o + 1 一n o ) = l ，这 显然是一个矛盾 ( i i ) 如果p l z w ( 咒o + 2 ) ，则p l ( 丹o + 2 ) ，结合p l 我们可得p l ( o + 2 - n o ) = 2 ，由 此可得n o = p = 2 由方程( 4 1 ) 我们可知 2 = z w ( 2 ) 3 2 = z w ( 3 ) z w ( 4 ) 于是方程( 4 1 ) 没有正整数解 用同样的方法，我们可以证明方程( 4 2 ) 与力程( 4 3 ) 也没有正整数解 这就完成了定理4 1 1 的证明 下面我们利用引理3 2 1 和引理3 2 4 来证明定理4 1 2 显然，所有素数p 都是方程s ( n ) = z w ( n ) 的解 下面我们考虑刀为复数的情况假设刀有如下形式 刀= a 仍a l n 吼， 其中p j 为互不相同的素数，且p k a k = 局乜”p k _ 1 由s ( 以) 与z w ( n ) 的定义可 得 s ( n ) = a 仍“p k l p k ， z w ( n ) = p l p 2 n l p k 于是，所有形如 以= p t p 2 一p k l p k ( 其中b 为互不相同的素数，且仇 吼= p t p 2 一p k 1 ) 的复数都是方程 s ( n ) = z w ( n ) 的解注意到k 为任意正整数，且素数有无穷多个，因此方程 s ( n ) = z w ( n ) 有无穷多个正整数解 1 6 西北大学硕士学位论文 显然当r t = 1 时，z w ( z ( 1 ) ) 一z ( z w ( 1 ) ) = 0 ，以下来讨论刀 1 时的情形： 刀= p 2 时，由引理4 2 1 知 若方程( 4 5 ) 成立，则 z w ( z ( 丹) ) = z w ( z ( p ) ) = z w ( p - 1 ) ； z ( z w ( 门) ) = z ( z w ( p d = z ( p ) = p - 1 z w ( p 一1 ) = p 一1 显然当p - 1 为无平方因子数时，上式成立所以刀= p 2 且p 一1 为无平方 因子数为方程( 4 5 ) 的解 ( i i )当刀= p ”，p 2 ，m n 。且m 1 时，由引理4 2 2 知 若方程( 4 5 ) 成立，则 z w ( z ( ，z ) ) = z w ( z ( p 衙) ) = z w ( p 肼- 1 ) ， z ( z w ( ，2 ) ) = z ( z w ( p 册) ) = z ( p ) = p - 1 z w ( p 册- 1 ) = p - 1 解得p = 3 ，m = 2 即刀= 9 为方程( 5 ) 的解 ( i i i ) 当刀= 2 ”，m n 时，由引理4 2 3 知 z w ( z ( n ) ) = z w ( z ( 2 册) ) = z w ( 2 册+ 1 1 ) ， z ( z 伽( 刀) ) = z ( z w ( 2 m ) ) = z ( 2 ) = 3 若方程( 4 5 ) 成立，则z w ( 2 肿1 1 ) = 3 故 解得m = 1 ，刀= 2 为方程( 4 5 ) 的解 ( i v ) 当聆= 2 a p 2 p k ，只 2 ( i = 1 ，2 后) 为不同的素数时，由引理4 2 1 知 z ( 疗) ：p l 仍风一l ， l p i p 2 ”p k ， 若4 i p i p 2 p k - 1 若4 l 局仍既+ 1 那，= 盛篓p t “, p 2见_ 。j 瓣= 嚣la ” 有q l a 仍一见+ i 1 7 第四章包含伪s m a r a n d a c h e 函数的方程 别z w ( n ) ) = z ( 2 p l p 2 p k ) = f 。p l 仍p 2 p 1 ：p a k _ 1 萋三譬竺：竺： i 仍。 ， 有q i a 岛一见+ l 所以当刀= 2 p i p 2 见且4 i p i 见见+ 1 时，方程( 4 5 ) 成立 ( v ) 当刀= 3 p ，p 5 时，由引理4 2 4 知 砸膨，= p 就：i z w ( n ) = z w ( 3 p ) = 3 p 故 狮) 1 撕z w ( p 却- d , ，靴：- ， z c 酬m 加p 若割3 1 p 川- 1 所以当疗= 3 p ，p 5h 3 p + l 时，方程( 4 5 ) 成立显然存在无穷多个素数p 使得 3 i r p + 1 ， 因而方程( 4 5 ) 有无穷多个正整数解 综合以上( i ) - ( v ) ，得到方程( 4 5 ) 有无穷多个正整数解 这就完成了定理4 。1 3 的证明 4 4 推论的证明 下面来证明推论4 1 1 和推论4 1 2 ： 1 由定理4 1 3 证明中的第( i ) 种情况知： 当刀= p 2 且p 一1 含平方因子数时， z 协( z ( 刀) ) = z w ( p - 1 ) p - 1 = z ( z r w ( 刀) ) 所以 驯z ( 力) ) 一z ( z w ( n ) ) 0 由定理4 1 1 证明中的第( i v ) 种情况知： 当刀= 2 p i p 2 p k 且4 1 p , p 2 p k - 1 时， 即 a 仍p k - - 1 = 2 2 ，n z w ( z ( 刀) ) = z w ( p l p 2 p k1 ) = z w ( 2 2 f ) 2 2 ， 1 8 西北人学硕士学位论文 即 p , p 2 p k 1 = 2 2 ，n z 以z ( 胛) ) = z w ( p , p , 以- z ) = z w ( 2 2 ，) 3 ， 而此时 z ( z 以力”= z ( z w ( 2 肘) ) = z ( 2 ) = 3 所以z 坝z ( 刀”一z ( z w ( n ) ) 0 这就证明了推论4 1 2 1 9 小结与展耀 小结与展望 毫无疑问，s m a r a n d a c h e 函数是数论中一个非常迷人的领域e s m a x a n d a c h e 教授在 ( o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) ) 一书中，提出了许多有待解决的数论问题本论文用初 等方法研究了s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 和伪s m a r a n d a c h e 无平方因子函数z w ( n ) 以及伪 s m a r a n d a c h e 函数z ( 刀) 的相关内容，回答了f e l i e e r u s s o 在as e to fn e ws m a r a n