（基础数学专业论文）关于数论函数均值估计和smarandache问题.pdf

西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了熊学校有关保护知谚 产权的撬定，i p ：研究生在校攻 凑学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家裔关部门或视构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和偌阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 津述行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究澡题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：；坠垫i指导教师签名：刻垃! 蟛 瓣；年f 月7 同彩年矽月g 日 f 西j 乏大学学位论文猹镧 熏声瞬 本人声臻：联呈交翡学位论文怒本夫在譬烬撂导下述厅豹萋暑究王 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方努，本论文不惫含其毽人已经发袭戥撰写过藐磋究裁暴，也不包含 为获得西北大学豉其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 臻工作黪同志对本疆究所徽的经俺贡献均已存论文中作，稽确麓 说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 跏f 年 7 砖垤 摘要 算术函数的均值估计问题在解析数论的研究中占有十分重要的位置，许多著 名数学难题皆与之相关因此，在这一1 领域的任何实质进展都必然对解析数论的 发展起到重要作用著名的美籍罗马尼亚数学家f l o r e n t i ns m a r a n d 8 c h e 一生中 引入了许多十分有趣数列和数论函数，并提出了许多的问题和猜想他在1 9 9 1 年发表的o n l yp r o b l e m s n o ts o l u t i o n s ! 一书中提出了1 0 5 个关于数论函数和序 列的问题和猜想，很多学者都在研究这些问题和猜想，并且有些已经得到了一些 十分重要的结果 本文研究了一些数论函数函数的均值估计问题，以及一些和s m a r a n d a c h e 末解决问题相关的方面，用p e r r o n 公式给出了能被n 整除的素数p 的最大 幂印( n ) 这个数论函数的均值和混合均值的估计；给出了两个新的数论函数的均 值估计；给出了一些和s m a r a n d a c h e 未解决问题有关的说明 1 本文引入了两个新的数论函数微分函数d ( n ) 和积分函数，( n ) ，并给出 了这两个函数的均值性质 2 p 为素数，唧( n ) 定义为能被n 整除的素数p 的最大幂，本文研究了序 列e ，( n ) 的性质，并给出了e 罗m ) 的均值公式，以及e p ( n ) 妒m ) 的均值公式 n l ，以下渐避公式成立j 蒹啉删一照( ，一；+ 掣一掣) + o ( 舟e ) ， 器s o 口8 j 掣q o 扩。 、 式申表示对鼗有满足p 。整除m 但矿+ l 不整涂m 的素数幂求积j 力任 矿 “ 意铪定的点数 定理2 - 2 对任意实数z l 及给定的正赘数m 1 ，以下渐近佘式成立 州n # 蔓g 。茁熙卜；+ ( “+ 壶) p 6 + 跏+ p ( 声e ) 2 2几个引理 引瓒2 1 【2 j 骰定，( n ) n 1 在半平面口 + 如采，怒可乘函数，则育 耋掣2 擘( t + 等+ 等一 氏， 并且如果，是完全可乘的函数，则有 喜掣= 摹南嘉唧n 引理2 2 【1 】设 并设存在递增函数盯( n ) 及口( “) 使得 l n ( n ) 1 日( n ) ， 张熹l ：2 瞰n ) 旷。口( 叮x 一 ， = 1 则对任意的s o = 盯。十 f o 及 。o ，当6 o 、6 0 咖+ 6 ，f 1 及之l 时，存 1 ) 蛰茹正熬数，则 蒹巾矿“= 熹霹帅s ，等如+ 。( 驾掣) + 。( 产嘲。徊n ( 1 莘) ) + 。( 。1 邓汹涵赢) ) 式中为离。最避的整数( 当z 为半奇数时取一。一 ) ：峥i = l 一z 2 ) 著z = ( 正整数) ，则 十新胪。= 熹篇s ， ? 1 ) 麦绘定歪整数曦函数d ( ( 托，m ) ) 楚积眭懿，毽不是完全 积性的对任意复数s ( r es 1 ) ，设 。= 议礅) ) 嚣， 由引理2 1e u l e r 积公式可得 ，c s ，= 吣掣十掣学+ ) + 嘉+ t ) - + 挲+ 旷1 ( 嘉+ 赤+) ) = 照) 黑( z + 刍喀+ + 睾察+ ( ，一 = - ( ，一罪( ，+ 等+ 学卜+ 型等型) 刈s ，罪( ，斗等+ 孚+ t + 型等鲨) 式中( ( s ) 为r i e 班搬l l bz e t a 蕊数。著在s = l 处舂l 除投点、蚤数为1 函 数，( s ) 警在8 = l 处有1 阶极点，留数 黔叫弛，等= 。繇。( 1 ；+ 蝌s 1 ) 弛) 2 一i1 1 ；+ ( a + 1 )( 蕈( 如一1 ) 2 p2 p 2 上产旦妒l 矿2 矿 又 曩加h 帅 | 1 i d ( ( 礼 1 ) ) lsd ( 。) ， 差嗽删n 一蚓m ) 量n i = i 糕l 所以，若在引理2 2 中取唧一o ，6 = ；，? 2 及 0 0 日( “) ；j p ( m ) ，b 陋) = d ( m ) 姹一； n 监1 剜存 p 删= 熹z 孙，知。( 掌) 薹联e 龟蝴一照( 卜；+ 掣一掣) o 矿”m ， 掣矿 + 熹z m ，知。怿) 黧( 卜；+ 掣一掣) + 。( l 镌i t ) l 高出) + 。( 毋- e ) 一罪( ，一；十掣一掣) + 。( 疹e ) 2 ) 定躞2 2 的证明 当们( m 1 ) 为给定的正整数时，函数州n 1 ) ) 也是秘性的，俎不是完全秋 缝弱+ 列经慧菱数8 r e s i 竣 9 由e l l l e r 戢公式可褥 g ( s ) = 照( ，+ 刍+ 嘉十十嘉+ ) 罪( z 十参瑶+ 鑫+ 茄( 嘉十南) ) 刈s ，暴( t + ( 刍+ ( 譬一譬) + 十( 景等) 嘉) 函数鲠s ) 警在s l 处有l 阶极点，密数为 。冕( 。一郸+ 卜+ 熹) p 一( i + x 三) ) 可褥 汪毕 类似丁定理2 1 的证明，在引理22 中取印一o ，6 = 2 ，r 2 及 日红) = ，( m ) ，b 妇) 一j 澈) n i n 盎1 圣州删一黔h 卜+ 击) p 蔓z 矿”懈 、。 一( t + ；+ ； + 主) ，+ 。( 搿e + ) 3 ) 开放性问题 平| _ 】式口( ”) 和，( 脚的均值问题还有待躺决 n on 3 1 引言 第三章e p ( 礼) 的均值性质 若p 为素数唧( n ) 定义为能被止整数整除的p 的罐人次幂在0 n l v p r o b l e m s ，n o ts o l i l t i o n 81 的问题6 8 ，f s m a r a n d a c l l e 教授要求研究序列e 。( ? z ) 的 性质，该间题与州的分解密切相关目前好像还没有人对这个问题进行研究 至少迄今没有发现与该问题相关的论文本章用初等和解析的方法研究了序 列e ，( n ) 及e 罗( n ) 的性质给出了e 孑扣) 的渐近公式，研究了序列唧( n ) ( n ) n o 的件质并给h 1 了唧( n ) 十) 的渐近公式 3 2 幂的均值 1 ) 定理及推论 定理3 1 设p 是一个素数，7 n 0 是整数那幺对任意的实数z 1 ，有渐 近公式 芝删2 孚制别。( 1 0 9 m + 其中n 。( m ) 是一个可计算的常数 在定理中取m 一1 ，2 ，3 时，可以得到r 面的结论 推论3 1 对任意的实数t 1 有以下渐近公式 推论3 1 对任意的实数t 1 有以下渐近公式 e 州2 击z + d ( 1 。9 2 z ) n z 1 1 令 2 1 定理的证明 薹e ；2 尚。+ d ( 1 0 9 e 洳)尝z + o ( 1 。酽z ) ( p 1 ) 3 ”“6 本节我们完成定理3 1 的证明，事实上由勺协) 的定义可得 矿= 。”， p “如篡坚：。鬻 “拳 ( u ，p ) 2 l ” ( ，舻l = 。墓扩( 字嘉删) 。学。蠢( 。)p 。基矿。磊 则唧沏) 是一个可计冀的常数，显然我们w 得 且自 铀+ 。( 南幢掣) ) 铀协。( z 。( ( 鬻) “薹嘉叫鬻) 一1 霎) ) = 唧( m ) + o ( 一1 l o g m + 1 i )( 3 1 ) = 嗲 疃 坚矿 嘲 | 哟畎 坚矿 墙 坚矿 眦 坐矿 赣 0 b m ) 由留1 ) 式和( 3 。2 ) 楚可褥 = ( ) ( 1 。g 卅1 z ) 字( 唧( m ) + o ( z - 1 l 妒z ) ) + d 旧州。) = 孚咖) 甜。( 1 0 9 衙h 。) 这就完成了定理3 1 的证明对于唧( m ) ，容易算出 并且满足 ，= 耋刍= 击 n = i + 一 p ，唧( m ) 一l = 魄+ 1 ) ” 妒 n p ( m ) + 岛唧( t n 一1 ) + ，+ 哪“唧( 1 ) + 嘞( o ) 掰鞋可褥到递接式 f 32 1 n ，( m ) = 石鲁( c 磊唧( m 一1 ) + ( 焉唧( ，n 一2 ) + + ( 焉二1 唧( 1 ) 唧( 0 ) + 1 ) 由上式易纂囊序列m ) 黪夔 t ) = 南；z ) = 磐。) = 篙 存由定理3 1 即可榴到推论 | 眵 峨 一矿 瞄 旦矿 瞄 曙 + 孚 瞄 嚷 + 坚妒 戚 3 3与( n ) 的混合均值 1 ) 定理叙述 定理3 2 设p 是一个素数，西( n ) 怒舰如r 函数，那么对任意的实数搿兰1 有渐近公式 e ，( n ) ( n ) = 南z 2 + d ( z 2 + ) n 1由咖( r 1 ) 的可乘性及引理2 1 ，可得 等2 瑟三警 “ q 却t 7 0 1 1 4 h 嚣0 + 善 群 兰圳一西 | | 毒 器 啦矿 瀑 = 埘 繁 褥 2 娶( ，+ 字十等十字) = 飘( - + 害( ，+ 嘉+ 刍扣) ) 一1 ) p 3 一p e ( s )p 5 一l 其中e ( s ) 是r i e m a n nz e t a 函数在引理2 2 中取s 0 = o ，丁= 6 ； 可 为估计烹颈 熹z 等错籍2 7 r i ，一i 甲 c ( s )p 3 18 褥积分线从s = l 走l f 移垒s = l 士i ，。嚣么函数 舔，= 紫籍警 在s 一2 处有一个极点，留数越茄所以有 熹( 名= + z + 名+ 名) 斜籍知= 毒斋 注意到 熹以：i + 名+ i i ) 等茅筹警幽净 ；泓一丁岛。 竖旷科弦羽 土觚熊舻 纂 由以上儿式，可得到渐近公式 引理3 2 设p 楚一个素数，为任意给定的整数，那么对任意的实数z l 有滋近公式 堇。墨2 南+ o 啷) 。怎矿( p 。1 ) 2 一r “。叫 。基参= 志+ 。( z 嘲螂) 谨嚷：鸯等毙级数的缝蕨，可褥 。墓参2 砉争。墓； = 喜主一高喜掣 = 霎( 。一( 粤+ 砉嘉) ) = 志+ ( ) 扛_ l 。g 嚣) ， ( p 一1 ) 2 一。、”， 蠡鲁= 砉嘉一。毫器 勺r 0护 萨斋 | 理明征就这 这就证明了引理3 。2 3 ) 定理3 2 的证明 2 喜嘉一南砉掣 2 爷。( 。呜( 粤+ 喜嘉) ) 2 茫；+ 。( z 嘲昭z ) 由引理3 1 和引理3 2 可得 唧( n ) 曲( n ) n o ，( z 2 一。l 0 9 8 十l 0 9 2 n ) o 知 塑 。， d z 所以9 ( g ) 足单调增函数于足， 囊 i 瓣，g ( 。) g ( 1 ) = g ，囱( 4 ；2 ) 式知，( 。) 犟谲灌，歹) 苁1 ) 一识 当o 茹1 时，9 ( 茁) 9 ( 1 ) 一o ，由( 4 2 ) 式知，( 。) 单调减，( z ) ，( 】) = o 当z 。时，9 o ，熬o ，若于未知量蛳荦增； 当霉 。薅，萝 。，豢 o ，蓑予未籍量飘零壤； 当筑一z 。时，g = o ，躲一o ，关于未知量龇取最小菹 所以有 歹是，；支；。：- ，矗，：。；一= “= 五，：。一一。一l 一0 踟方程有唯一解观= 茹2 一= 。，。= 1 2 1 当“ o 时，原方程化为 去( 一驴1 吲8 + 恚一 严吲。+ 一 去( 一l j 8 协p = 一”嘲 ( 董4 j 所以r 。z l ，2 ，n 不为无理数设站町j 域既约分数簧由丁负数不能丌 平方所以分母肌为奇数义由式z 1 。2 。一1 ，得p l p 2 肌一吼啦所 2 3 妒r ， 庐 竺磅 以吼均为奇数于是，式( 44 ) 中( 一1 ) m = 一1 以下阀情况1 ) 的讨论 综合情况1 ) 和情况2 ) ，这就证明了定理42 参考文献 l 潜承淘，潘承藏，瓣掇数论基稿，季喜学基羧社，弱衷，1 9 9 9 f 2 】1 n o mm a p o s t o l ，i n t r o d u c t i o nt oa n a l ，w t i cn i l m b e rt h e o r y ，s p r i n g e r _ v e r l a g ， b e r l i n 1 9 7 6 阁肇罗庚，数论导引，科学出版社，北京1 9 7 9 f 4 】h a r o i dd a v e n p o r t ，m u l t i 西i e a t i v en u m b e rt h e o r y is p r i n g e 卜v b r l a 歌b e r l n ， 2 o 瀚0 s c 8 rz 撕纛i ，p 强r f es 凇珏e l ，e 锄硼m 选i v ea 】g 南r a 、强1 ) ，s p 砖n g e 矗鳝， b e r l 扭，1 9 9 1 6 1 冯克勤，代数数论，科举出版社，北京，2 0 0 0 f 7 1 潘承洞，潘承彪，初等数论，北京大学出版社，北京，1 9 9 2 潞承洞，于秀源，阶的储计，山东科学技术出版社，济南，1 9 8 3 。 强薹( 鼹n e t hl r e l 躲d + 嫩i 点黼lr o s e 珏、a 镄a 豁i e 氇ll 驺毒r 。d u e t i 锄t o 溅o d e r 鞋n u m b e l t l l o e r 弘s 掣i n g e r v 酹l 醒，b l i 珏，2 0 g 3 。 f 1 0 】潘承洞，潘承彪，甜德巴赫猜想，辩学出版被，北京，1 9 8 l + 1 l 】8 e r g el a n g ，a l g e b r 赫cn u m b e rt h e o r y 8 p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，2 0 0 3 f 1 2 1 陆洪文，李云峰，模形式讲义，北京大学出版社，北京，1 9 9 9 l 戮f l o r n t i ns m a r 8 n d 氇c h e ，o n 圭yp r o b l e m s ，n o ts o i u t i o n s ! ，x i q t l a np u b l i s l l i n g 差o u s e ，g h 至c & 辫o ，1 9 3 1 4 1j a ，e | 【a 珏托，l 毡n gl i u ，d r 通9 0 8c o 璐t 毗i n e 8 c u ，s m a a n d a 娃l en o t i o n s ( b o o k 8 撕e s ，v 0 1 1 3 la m e r i c 舭1r e s e a r c hp r 鹪8 l u p t o nu s a ，2 0 0 2 f l5 1d s m i t r i n o v i c ，b a r s t i c i ，h 舡l d b o o ko fn u m b e rt h o e r y ，k 1 u w e ra c a d e m i c p u b l i s h e r s ，n e t h e r l 8 n d 8 ，1 9 9 6 阻6 1 华罗庚：堆垒素数论，举 学出版社：北京，1 9 5 7 l 钢a m 淞n a t h 辩珏r t 如钱嚣圭e sa s 酶赫e r 、g 黼e r 疆l 溉畦p 8 r t i t 童。挂s 勰dn e w ( 1 e 鑫s 。0 拄瓣u i h b e rt h e 占 y 氇狂ds m 8 f 秘d 蠢es e q 凇娃c 龉，珏e x 呈s ，p b o e h i x ，2 0 0 5 。 【18 jd a v i dm b u r t o n ，e l e m e n t a r yn u m b 甜t h o e r y ( 6 n de d i t i o n ) ，m c g r a w h i l l m a t hp u b l i s h e r 2 0 0 5 1 9 1f b l i c er u s s o as e to fn e ws m a r a n d a c h ef i l l n c t i o n s s e q u e n c e 8a n dc o n l e c t u r e si nn u m b e rt h e o r v ，a h l e r i c a nr e 8 e a r c hp r e s s ，l u p t o nu s a 2 0 0 2 2 0 lm - l p e r e z ，ka t a t a s s o v d e 蠡n i t i o n s 、c o 埔e c t u r e s ，u l 措o l v c dp ( 】b e m so l l s 翔豁a 珏d a d l en o t o 魅8 。a 辩e f i e a 珏r e s e 8 ，r e l lp l e s s ；l u p t o nu s a 。1 9 9 9 。 f 2 引董 r 8 8 s 泌l 担t a a n a 8 8 ，0 ns o m eo ft h es 珏i 矬r a n d a e b e sp r 。b i e i n 8 + a m e r i e a n 抽s e 8 r r hp r e s s l u n t o na zu s a 1 9 9 9 2 2 1s m a l 8 n d a c h en o t i o l l sj o u r n a l ( v o l1 0 n o ，1 2 3 ) n 1 1 m b e rt h f j ( ) n - a s s o ( ：_ i a 一 t i o no ft 1 1 eu n i 、t e r s i o fc 喇o 、a1 9 0 9 2 5 f 2 3 1s m 甜d a c h en o t i o n sj o u r l l a l ( v 0 1 1 4 ) ，u n i v e r 8 i t yc 0 1 1 e g ec o r k ，2 0 0 4 1 2 4 t h ef b r e n t i i l es m a r 勰d a e h es p e c 融( j ( 难e c t l ( m ，u n i v e r 8 t y 。f 鼍奴淞a t a u s 豫l ，u s a ，1 9 9 5 2 5 1a m a r n a t hm u r t h “e ) p l o r i n gs o m en e wi d e 测o ns m a r a n d a c h et y p es e t s ， f u n c t i o n sa n ds e q u e n c e s8 m a r a n d h en o t i o n sj 0 u r n a l ( v o l 。u ，n o 1 2 3 ) 2 0 0 0 。 f 2 6 1z h a n g 7 e n p e n g ，a na r i t h m e t i cf u n c t i o na n dt h ep r i m i t i 、佩n u n l b e r0 fp o w e r p ，r e 8 e a r c ho n8 m a r a n d a c h ep r o b l e m 8i nn u m b e rt h e o r y h e x i s ，2 0 0 4 ，l 一4 f 2 司f l o r e n t i ns m a a l l d a c h e ，e o l l e e t e dp a p e r s ( v b l i i ) ，u n i v 醇r s t yo fk i s l 王i n g v ， 1 9 9 7 【2 8 】z h a n gw e n p e n g ，0 nae q u a t i o no fs m a r a n d 8 以h ea n di t 8i n t e g e r8 0 l u t i o n s m a r a 皿d a c h en o t i o n s ( v b l 1 3 ) ，a m e r i c 8 nr e s e 跗c hp r e s 8 ，2 0 0 2 ，1 7 6 1 7 8 2 盛王( e n i 穗i r 。x a s h 主h 雒a ，c o m m e 撼s 舀魏d 两秘c so 珏s m a a n d a 西en o t i c n s8 n d 。 。p r o b l e m s ，e r h u 8u n i v e r s i t vp r e s s ，v a i l ，1 9 9 6 【3 0 ls y l v e 8 t e rs m i t h ，as e to fg o n j e c t u r e 8o ns m a r 妣d a c l l es e q u e n c e 8 ，b u l l e t i n o fp u r ea n da p p l 磷s c i e n ，b 。m b 馘i n d 斌v 0 1 1 5 ，1 9 9 6 ，1 0 l 1 0 7 沼1 1c ，d u 瞄t r e s c u ，v s e l e 聪u ，s o r n en o 七i o 珏sa n dq u e 8 t i o n si nn u i n b e rt h e o 强 e r h u 8u n i v e r 8 i t vp r e s s ，g l 帆d a l e ，a r i z o n a ，1 9 9 4 f 3 2 r ，k ，g u y ，u n 8 0 l 、碍dp r o b l e m si nn u i n b e rt h e o r y ( 2 n de d i t i o n ) ，s p r i n g e r 一 、v e r l 馘，辩e 箨y o 妇，l 4 3 3 】h a n s r a jg u p t a ，s e l e c t e d p i c si nn 1 1 m b e rt h e o r y la b a c u 8p r e s 8 ，k e l l t ，e n 争 1 a n d 1 9 8 0 | 3 4 lg ，珏+ 糙缸d 甄e + 麓，w r 逗致，a 珏l 珏t 建 】i 。at o 霉魏et 圭王e 。 y 艇n u m b e 疆，0 f o r du n i v e r s i 锣p r e s 8 ，1 9 8 1 f 3 5 l i uh o n g y a n ，z h a n gw e n p e n g ：an u m b e rt h e o r e t i cf t l n c t i o na n di t 8 i e a n v 8 l u ep r o p e r 锄s m a r a n d h en o t i o n 8j o u r n 8 l ( v 0 1 1 3 ) ，2 0 0 2 ，1 5 5 1 5 9 i 3 6 z h a j 。j i a n t a n g ，a na r i t 圭l h l e t i e a lf u l l e t i o n s8 n d r h e 王 一f u l ln u m b e rs e q u e n c e s ， r e s e a r c h0 ns m a r a l l d a c h ep r o b l e m 8i nn u m b e rt h e o r y ( v 0 1 2 ) h e x i s ，p h o e n i xa z ，2 0 0 5 ，1 3 0 - 1 3 4 3 司s e e l 谴趣m 8 9 n 基( v o l 。l ，冀9 。1 ) ，n o r t h w e s tu 珏i v 群s t 藓x i 8 靛、p r 。g 珏i 魏a j2 0 0 5 ， 3 8 1a i v i c m e a n 、，a l u e so ft h er i e m a 肌nz e t af u n c t i o n 8 ，n a r o s ap u b l i s h i n g 。 。h o u 8 e ，n e wd e l h i ，i n d i a 1 9 9 1 3 9 t h e 瓣o e 撼扭s 掇斛勰d 8 c h ep 蠢p e r ss p e c 滋e 蠖l e c i o 珏，a r i z o 珏鑫u l l i v e r s i 娥 t e m p e ，a zv 8 a ，1 9 9 1 致谢 1 9 9 9 年我从黄河入海口来到了美丽的古城西安，成为两北大学数学系数学 与巍矮数学戆一名本辩生，努掰了琶年蘩张稀充实豹大学生活后，2 s 年我有 幸被免试推荐为本系的硕士研究生，跟随导师张