（基础数学专业论文）具有非幂条件子群的群结构研究.pdf

学科专业 研究方向 指导教师 研究生 基础数学 代数学 段泽勇教授 周伟 k 摘要 纪曼才乙 设g 是群，日为g 的子群我们称h 满足关于g 的幂条件，如果存在非负 整数m ，使得 日= g 否则，称日为g 的非幂条件子群 我们说群g 的元g 满足关于g 的幂条件，如果循环群 满足关于g 的幂 条件 本文证明了如下的主要结果t 定理3 1 不存在仅有一个非幂条件子群的群 定理3 2 不存在仅有两个非幂条件子群的群 定理3 3 以下命题等价 i ) g 为循环群； i i ) g 的所有子群均满足关于g 的幂条件； i i i ) g 的所有元均满足关于g 的幂条件 定理4 1g 中不满足关于g 的幂条件的子群个数为3 的充妥条件是g 掣玩z ： 或g 皇q 8 关键词d e d e k i n d 群，极大条件；极小条件，0 e r n i k o v 群，幂条件 5 1 引言 设g 是群，盯为g 的子群我们称日满足关于g 的幂条件，如果存在非负 整数m ，使得 日= g “ 在不引起混淆的情况下，我们称日满足幂条件否则，称日为g 的非幂条件子 群 f s z 缸：在文【l 】中对幂条件进行了研究，他证明了以下的定理，群g 为循环群 的充要条件是g 的所有子群都满足关于g 的幂条件 文【2 】，【3 】“4 】对f s z , ；4 z 的定理进行了推广。他们证明了以下的结论tg 为循环 群的充要条件为g 的每个循环子群满足关于g 的幂条件 由以上的文献，我们容易知道非循环群g 中，肯定存在不满足关于g 的幂条 件的子群那鏖g 的不满足关于g 的幂条件的子群的个数的下界是多少呢? 我们 将建立一些性质及定理，运用它们在4 中证明下界为3 循环群是我们非常熟悉的一类群对非循环群，其未知的东西就太多了，在群 论的研究中。人们常常借助于熟悉对象的一些特殊性质去推导非熟悉对象的某些特 征。从而达到对非熟悉对象有一个更深刻的了解此时我们就采用了这样的方法 借助于f s z , ；s z 对循环群的l 个刻划，我们探讨了非循环群的一些本质特征。从而 得到了一些非常有意义的研究结果在下面的工作中，我们不仅对群g 的子群是否 满足关于g 的幂条件作了研究，而且还对g 的元是否满足关于g 的幂条件也作了 研究 我们称群g 的元f 满足关于g 的幂条件，若子群 满足关于g 的幂条 件 在5 2 中，我们对群g 中满足幂条件的子群和元的性质作了讨论并为方便计， 还列举了后面证明过程中需要用到的引理 在5 3 中，我们首先证明了定理3 1 和定理3 2 即 定理3 1 不存在仅有一个非幂条件子群的群 定理3 2 不存在仅有两个非幂条件子群的群 通过讨论群的元是否满足幂条件，我们推广了f s z d a z 的定理即证明了 定理3 3 以下命题等价 2 i ) g 为循环群， i i ) g 的所有子群满足关于g 的幂条件， i i i ) g 的所有元满足关于g 的幂条件 在4 中我们给出了非循环g 中不满足关于g 的幂条件的子群个数的下确界， 即如下的 定理4 1 g 中不满足关于g 的幂条件的子群个数为3 的充要条件是g 竺z 2 z 2 或g 皇q 8 同时，在5 5 中，我们还给出了其它一些有关的例子 满足幂条件的子群的若干性质 下面我们考察群中满足幂条件的子群的一些基本性质，以及这些性质对整个群 的结构和性质的影响 性质2 1 若子群日满足关予群g 的幂条件，则h 璺g 证明；由定义，存在非负整数m ，使得h = g m 设g g ，则日a = ( g m ) g = ( 掣) ”= g “= h ，故h 璺g 性质2 2 若子群日满足关于g 的幂条件，则翼g ，且若ns h ，则_ ( = 日) 满足关于召( = g n ) 的幂条件 证明：因子群h 满足关于g 的幂条件，故存在非负整数t n ，使得h = g m 从而 耳= h n = g m = ( g i n ) m = 矿即百满足关于召的幂条件 由性质2 2 ，可立即得到以下的推论2 2 1 推论2 2 1 设g 一_ 且g 中有n 个子群不满足关于g 的幂条件，则百中至多 有n 个子群不满足关于召的幂条件 证明。因g 一召，则由同态基本定理，知道存在子群n 璺g ，使得g i n 兰- d 不 妨设g i n = 召设耳召，而万的原像为日则由性质2 2 知，若万不满足关于百 的幂条件，则耳也不满足关于g 的幂条件从而西中不满足关于否的幂条件的子 群个数至多为n 性质2 3 若g 中有非平凡的循环子群满足关于g 的幂条件，则g 或为无扭 群，或为幂指数有限的周期群 3 证明：设 为g 中满足关于g 的幂条件的非平凡循环子群，则由定义存在 非负整数m 。，满足 = g ，故均ec 1 ，存在整数。满足g ”一= z “因此若 i 。i = o o ，则igi = o o ( v g 矾1 ) ，即g 为无扭群如果l 。i * ，则igi sm 。izl ，g 为幂指数有限的周期群 下面的两个性质对满足日= g “中的整数m 作了研究 性质2 4 设日满足关于g 的幂条件， 数若还有日= g ，其中f 也为非负整数， 且设m 为使得日= g “的最小的非负整 则有m 证明t 显然m f 令( m ，f ) = n ，则存在整数r ，s ，满足r m + j l _ n 于是v ge g ， 有 g “= g r , “g “eg m g = h = g m 由此，伊g ”；另一方面，显然g n g ”( 因nlm ) 故g “= g m = 日，且nl m 由m 的极小性，知f l , = m ，故mif ( 因n 。i f ) i 根据以上性质，我们可对满足关于g 的幂条件的子群日定义其关于g 的方幂 指数，即。日关于g 的方幂指数为满足日= g m 的最小整数显然，子群1 关于 群g 的方幂指数为o ( 如果g 不是单位元群) ，群g 关于g 的方幂指数为l ( 如果群g 不是单位元群) 性质2 5 设g 为周期群，且素数p 簪- ( g ) ( 其中- ( g ) 为g 中元的阶的素因子 集合) ，则= g p - 。： 证明：显然，g 舯g ”下证g 舯 v geg ，令lfi _ n ，由条件( t 1 p ) = 1 ，故存在整数r ，- ，满足1 = r n + 印，于是 ，= 口n g ”= g p 从而g m = ，”eg 帅，故g 娜g ”结论成立 由此性质立刻得知t 只有属于* ( g ) 中的素数才会对g m 方幂后起作用，其他 的素数则不起作用 由上面的性质，我们可证明以下几个重要的结论 性质2 6 着g 中仅有有限个子群不满足关于g 的幂条件，则g 满足关于子群 的极大条件 证明：在g 中，令 风 玛 凰 ( 1 ) 为g 中的升链由于g 中不满足关于g 的幂条件的子群个数为有限，若这些不满 4 足关于g 的幂条件的子群均在链( 1 ) 中出现，则可以去掉它们，而不影响对极大条 件的讨论，因此可以假设链( 1 ) 中的子群甄均满足关于g 的幂条件令凰= g 玎“ 其中驰为甄关于g 的方幂指数我们证明驰+ ll 碱 事实上，令( r n + l ，佻) = n ，则存在整数r ，s ，满足r m t + 。m m = n 故对于任意 g g 。有 g “2g “i g 耐h 1 g “g “i + 1 故伊sg ”m + - ；另一方面，由，il 佻+ 1 ，显然有( 9 - g ”m ，因此甄+ 1 = g = g ” 由于m i + l 为凰+ l 关于g 的方幂指数，故有n = 帆+ 1 ，从而帆+ l ( = n ) 整除魄由 此，链( 1 ) 中的佻只能为m 的因子。从而只能为有限个故g 满足关于子群的极 大条件 性质2 7 设g 为周期群，且g 中仅有有限个共轭子群类不满足关于g 的幂条 件，则g 满足关于子群的极大条件 证明t 设g 中的升链为 日l 嚣2 丑k ( 1 ) 由于g 为周期群，故同一子群共轭类中不能有两个子群出现在( 1 ) 中，否则设日， h 2 ( 。g ) 出现在( 1 ) 中，且有h 以 ( 1 ) 5 为g 中的降链根据性质2 3 ，g 为幂指数有限的周期群，令其幂指数为e 由于g 为周期群，故链( 1 ) 中不能有两个子群同在一个共轭类否则设h 与 日2 ( z g ) 出现在链( 1 ) 中，且满足h h * 令i i = n ，于是h 俨日一 日一= h ，矛盾因此，可以去掉链( 1 ) 中的有限多个不满足关于g 的幂条 件的子群丽不改变对极小条件的讨论故我们可以假设链( 1 ) 中的子群均满足关 于g 的幂条件设甄= g “，其中删为甄关于g 的方幂指数 由性质2 6 的证明过程可知，m i ”m 而伊= 1 ，由性质2 4 ，可知m ie 因 此，链( 1 ) 只能为有限长，从而g 满足关于子群的极小条件 推论2 9 1 设g 为周期群若g 中仅有有限个子群不满足关于g 的幂条件，则 g 满足关于子群的极小条件 证明：若g 中的循环子群均不满足关于g 的幂条件，则由已知条件，g 中的 循环子群的个数有限，于是由下面作为引璎2 1 8 列出的结论可知，g 为有限群， 从而g 满足关于子群的极小条件反之，g 中必存在满足关于g 的幂条件的循环 子群，由上面的性质2 9 ，知g 也满足关于子群的极小条件 性质2 1 0 设g = d r l e ，a 着a 的子群日满足关于g 的幂条件，则日也满足 关于也的幂条件 证明；由条件，存在非负整数m ，使得h = g “= d r l ，卵因为日sa 故 a 7 = 1 ( t ，) 从而日= d r t e j 且r = a r 即h 满足关于a 的幂条件 下面的引理在我们后面的证明中起着重要的作用，因此，为方便计我们叙述如 下 引理2 1 1 1 5 1 若g 中的任意子群均为正规子群，则g 为如下两种情况。1 ) g 为阿贝尔群 2 ) g 型口。o e ，其中口8 = 。e 为初等阿贝尔2 群，o 为奇阶阿贝尔群 g 称为d e d e k i ：n d 群) 引理2 1 2 1 5 】元素阶全体有界的准索阿贝尔群可以分解为循环群的直积 引璎2 1 3 1 5 】有限生成的阿贝尔群可以分解为有限个循环群的直积且每个直 积因子或为无限循环群或为素数方幂阶循环群 引理z t 4 1 5 】g 满足极大条件的充要条件是g 的子群均是有限生成的 引理2 1 5 1 8 】矿阶初等阿贝尔群g 的矿( asr ) 阶子群的个数为 ( p 一1 ) 一1 1 ) ( p r 一4 1 1 ) ( 矿一1 ) ( p a 一1 1 ) ( p 1 ) 6 引理2 1 8 9 】设日5g ，p 为”( g ) 的最小者，且ig ：hl = p ，则日司g 引理2 t 7 1 5 】可解群g 满足极小条件当且仅当g 为e c r n 编 群 引理2 1 8 若g 的循环子群的个数有限，则g 为有限群 证明：首先，g 为周期群否则，设geg ，且igi = o q ，则 将为无穷多 个互不相同的循环群，矛盾 其次，因g 中的任意元g 均可生成一个循环群 ，由循环群的结构。能生 成 的元恰有咖( 1g1 ) 个( 其中，庐( 。) 为欧拉函数) 把g 中的所有循环子群 按照阶的大小顺序排列为t ih ii 1 日2i 1 月jl ，( h i = ) 从而g 的元的个数不超过e ( ig li ) lg i i ，即tg 有限 最后，我们根据性质2 8 和引理2 1 8 可得出如下的性质2 1 9 性质2 1 9 若g 中仅有有限个子群不满足关于g 的幂条件。则g 或为无扭群， 成为幂指数有限的周期群 证明若g 中存在循环子群满足关于g 的幂条件，则由性质2 3 ，结论成立，否 则，g 中的循环子群均不满足关于g 的幂条件，于是g 的循环子群的个数有限， 根据引理2 1 8 ，g 为有限群，结论也成立 3 主要结果 定理3 1 不存在仅有一个非幂条件子群的群 证明；设日为g 中唯一的不满足幂条件的子群下面推导得出矛盾 首先，我们证明g 是d e d e k m d 群先证h 旦g 否则存在g o g ，有日“h 由日的唯一性，知h g o 满足关于g 的幂条件，从而存在非负整数r t l ，有日舯= g “ 于是日= ( g m ) 石1 = ( g 9 9 1 p = g m ，矛盾故有h 璺g 再由性质2 1 ，知g 的其它 子群正规于g ，从而g 为d e d e k i n d 群 显然f g ，故取g 耳，有 满足关于g 的幂条件，根据性质2 3 ，g 或为无扭群，或为幂指数有限的周期群于是分为以下情况进行讨论 7 1 ) g 为幂指数有限的周期群又因为g 是d e d e k i n d 群，故g 或为幂指数有限 的周期阿贝尔群，或者g 型口8x e o i ) g 为幂指数有限的周期阿贝尔群令g = 兀，。( g ) q ，q 为g 的准素分支 显然l f ( g ) j o o 我们有存在素数p r ( g ) ，使得日 g p 否则，坳t ( g ) ，邻中的子群均满足 关于g 中的幂条件由性质2 1 0 ，g p 的子群也均满足关于g p 的幂条件由f “： 定理知锦为循环群，从而g 为循环群( 因i ”( g ) f m ) 显然矛盾于f s z 6 s z 定理 下设置 1 否则与f $ z a s z 定理矛盾予是存在l 只1 t 故有正整数佻 存在，满足只= 哆bp t x 掣x 器由此有t 节k1 ( i ，) ，从 而p 讹，但是这与p i = 耳”相矛盾 i i ) g 掣q 8 ex 0 对于q b 经过计算知t0 哥= 1 ，q 争1 = q 8 ，口：2 = ( ) ( 其中口8 = ) 由已给条件知， 或 将满足关于g 的幂条件，不妨设是 ，故存在非负整数m ，有 = g ”= 口竹l e m o 于 是e = o “= 1 但由( 。) 知tv n z ， 口；，矛盾 2 ) g 为无扭群因g 是d e d e k i n d 群，故g 为无扭阿贝尔群 根据性质2 6 ，g 满足关于子群的极大条件，由引理2 1 4 知g 是有限生成的，从 而，由引理2 1 3 知g 可分解为循环群的直积设g = a lx a 。( 其中a i = ， iqi = o 。 显然n 2 ，否则与f s z a s z 定理矛盾故存在a i ( 日) 满足关于g 的幂条 件，于是有非负整数m 使得a = g ”= 凹xa 7 从而a p = 1u ) ，这与 如为无限循环群相矛盾 综合1 ) 和2 ) 知定理成立 8 定理3 2 不存在仅有两个非幂条件子群的群 证明t 设群g 中仅有两个子群日z ，凰不满足关于g 的幂条件现对以下的两 种情况进行讨论，并且分别推出矛盾，从而完成定理的证明 情况1 ) h 1 和日2 均为g 中的正规子群显然，此时g 为d e d e k i n d 群再分 以下情形t 一 ( 1 ) g 为阿贝尔群由前面的性质知g 满足关于子群的极大条件。敌由引理 2 1 3 ，引瑗2 1 4 ，g 可分解为有限个循环予辞的直积再由性质2 1 9 知。g 为无扭群 或幂指数有限的周期群 首先，g 为无扭阿贝尔群将推出矛盾 事实上，令g = a 1x a 。其中a = ，i 口l = o o 显然n 2 如果存 在一个直积因子a 日1 ，日：，则a 满足关于g 的幂条件。故存在非负整数m ，使 得a i = a r xa p xa 0 进而有j 4 = 10 t ) 。这与山为无限循环群相矛 盾故n = 2 ，且盘为现或凰不妨设g = a 1xa 2 但是 皿，日2 ，故满足 关于g 的幂条件设非负整数毋使得 = g , n = a r a ，于是a 哥= 1 ，也 得出矛盾， 其次，我们证明g 为幂指数有限的周期阿贝尔群也将导致矛盾设g = d r p 。( a ) a ， 其中a p 为g 的准素分支，由前面的性质知l ，r ( g ) l o o 由于g 满足关于子群的 极大条件，故有岛均为有限生成的p 群，从而有a ，= ，1 岛，其中 b p j = 为p “阶循环群 i ) i7 r ( g ) i = 1 设g = a p = b p ，1x x 岛，其中b p ，= i6 p ，| = p “且 n i 1 ，a o q + 1 显然s p 2 如果存在曰“h ，h 2 ，则b p 满足关于g 的幂条件，故存在非负整数m 满足 b 州= g “= 蹄”躲”蹄，于是= 1 ( j i ) ，从而p im 但这叉与 b p i = 口嚣相矛盾因此，j p = 2 ，且岛j 或为日1 或为日2 不妨设g = 易1 b 岛，1 _ h 1 ，口p 2 = 吼 我们有fb i = p 否则，取岛，1 的p 阶子群c 1 于是q 满足关于g 的幂条 件，故存在非负整数m 满足c 1 = g ”= 口品曰品于是丑晶= 1 从而i 昂，2 im 但是lb “i s lb p 2 从而丑p ”, 1 = 1 ，矛盾故i 岛，1i = p 显然 日1 ，现，故 满足关于g 的幂条件。于是有非 负整数7 t t 使得 = g “= b ”m 鼢又因为i 如，1 k 。2 _ j6 p ，2 l i gi ， 9 故 1 设g = d r p 朗( o ) d r i 墨1 b p 如果 r ( g ) ，却= l ，则g 为循环 群，矛盾于是存在素数p 使。，2 如果存在口p j 日l ，日2 ，则岛。满足关于g 的幂条件，故有非负整数m 满足 易严= 毁。吩”一b p 山d p d 喀l 丑q “, j 于是= 1 ( i ) ，因此 plm ，而这与易# = 蹄矛盾故。p = 2 ，b p j 或为日i 或为日2 ，且= o ( g p ) 从 而l f ( g ) i = 1 ，矛盾 由此，对于阿贝尔群已经推出矛盾 ( 2 ) g 为非阿贝尔群由于g 是d e d d d n d 群，g = 口8 xexo 但，由( + ) 知 ， ， 均不满足关予g 的幂条件，矛盾 情况2 ) 矾，日2 中有一个在g 中不正规。不妨设为日1 于是v g ( t t l ) g ，从 而li f , ：1 9 0 ( i t l ) i 2 显然凰的共轭子群也将不满足关于g 的幂条件，故日，与 日2 为互相共轭的子群，且i g ： k ( i t l ) i = 2 故a ( 皿) 口g 又日l 不正规于g 故 日l g ( 凰) 司g 令j j r ，与j ；r 2 的交为i g ，易知n 日l ，嚣2 ，故n 满足关于g 的幂条件，从而为g 的正规子群若i g 1 ，考察- 0 = g 由推论2 2 1 ，百至多有2 个子群不满足 关于召的幂条件若召中不满足关于召的幂条件的子群个数少于两个，则由定理 3 1 及f s z 6 s z 定理知百为循环群，从而爵( = 皿n ) 璺舀，于是凰璺g ，矛盾故 召恰好有两个子群瓦。，瓦不满足关于舀的幂条件由此。我们不妨设日t 与日2 的 交为1 同前，由性质2 1 9 知，g 为无扭群或幂指数有限的周期群 ( 1 ) g 为无扭群显然存在h a 皿，h ：日2 ，且 1 7 l ， 岛，但是日1 皿又是p 群，矛盾) ，从而g 的s y l o w 子群都是 正规子群。故g 为幂零群 设g = r g 。f g ) g p ，其中g p 为g 的s y l o w 子群如果凰gg p ( i = 1 ，2 ) 则由性 质2 1 0 ，定理3 1 和e 缸z 定理知g p 为循环群，进而g 为循环群，矛盾由此， 必然存在p 霄( g ) ，有皿，飓郇而显然其余的s y l o w 子群g q ( g p ) 为循环群 故g = g p ，其中c 为p ，- 元 由性质2 1 0 ，g p 中至多有两个子群不满足关于g ，的幂条件若g p 中不满足 关于g ，的幂条件的子群的个数少于两个，则由定理3 1 知g ，为循环群，矛盾故 可设g 为p 群，且有两个非正规子群不满足关于g 的幂条件下面用归纳法证明 这样的群不存在 设 g i _ p 2 ，此时g 为阿贝尔群，其子群均正规，因此，结论成立假设i g i p a 时，也不存在仅有两个非正规子群不满足幂条件对予ig | _ 矿“，取h i h i ( = 1 ，2 ) ，且lkl = p 由于依前面的证明知此时日1 日2 为阿贝尔群，故 为p 阶 群于是 满足关于g 的幂条件，由此 寸g ，从而召( = g ) 的阶不超过矿，且其不满足关于召的幂条件的子群的个数不超过2 由归纳假设。 定理3 1 及f s z 6 s z 定理知，百为循环群显然 为g 的极小正规子群， 故在g 的中心里，从而g 为阿贝尔群，同样不具有非正规子群于是满足条件的 群不存在 综合情况1 ) ，2 ) ，可得定理成立 定理3 3 以下的命题等价 i ) g 为循环群i i i ) g 的所有子群均满足关于g 的幂条件j i i i ) g 的所有元均满足关于g 的幂条件 1 1 证明；显然只要证明i i i ) 毋i ) 即可 首先，g 为d e d e k i n d 群事实上，对耳 g ，若置在g 中不正规，则存在 g g 满足日。g 日，于是存在h 日使得h g 掣h 但是 满足关于g 的幂条 件，故为正规子群于是 。= h ，矛盾故g 中的所有子群均为正规子 群，即g 为d e d e k i n d 群 下面分两种情况进行讨论 情况1 ) g 为阿贝尔群 。 首先考察周期群由性质2 3 ，g 的幂指数有限，故i ，r ( g ) l 1 ， 则循环群a 1 满足关于g 中的幂条件，于是存在m 使得a t = g = a i a ”l ， 从而a = 10 1 ) ，矛盾于g 为无扭群故n = 1 ，从而g 为循环群 情况2 ) g 为非阿贝尔群于是，设g = 口e e 0 但口b 中的四阶元显然不 满足关于g 的幂条件，矛盾 综合1 ) ，2 ) 知g 为循环群 注t 文献【4 j 给出了i ) 与i i i ) 等价的证明，但我们此处给出的证明似乎更简洁明 了 4 关于非幂条件子群个数下界的讨论 由定理3 1 和定理3 2 我们知道非循环群g 中至少有3 个子群不满足关于g 1 2 的幂条件事实上0 s 和z 2 z 2 即为这样的例子更进一步，我们证明以下的定 理； 定理4 1 g 中恰有3 个子群为非幂条件子群的充要条件是g 望日8 或g 竺z 2 x 忍 证明t 只须证明必要性令皿，凰，玛为g 中不满足关于g 的幂条件的子群， 由性质2 1 9 ，g 或为无扭群或为幂指数看限的周期群 下分三种情形进行讨论 情形1 日l ，凰，凰分属于三个不同的共轭类此时甄司o ( i = 1 ，2 ，3 ) ，否则存 在g g 有j 5 曙风显然田毋0 ) ，故丑? 满足关于g 的幂条件，从而为g 的正规子群，这意味着凰也是g 的正规子群，矛盾故此时台为d e d e k l n d 群 1 ) g 为阿贝尔群我们证明g 岂汤z o 首先，g 不能为无扭群 事实上，由性质2 6 ，g 满足关于子群的极大条件，故g 可以表为循环群的直 积设g 皇a 1 a a 。，其中a = 为无限循环群显然n 2 否 则矛盾于f s z 6 * z 定理但是v m ， 均不满足关于g 的幂条件，与条件 矛盾故g 只能为幂指数有限的周期群 由g 满足关于子群的极大条件，故可设g = d r p 州a ) 如其中山为g 的准素分 支，r ( g ) ，且如为有限生成的把也分解为循环群的直积设山= d r 墨1 日0 。 其中= i ) if ( g ) i = 1 则g = 岛= 曰mx b 妒显然2 如果存在口讲日l 。凰，风，则它满足关于g 的幂条件，于是有非负整数m 满 足= g “= 口嚣叼刀茹，于是曰嚣= 1 o ) ，故有pim 但这与 曰一= 曰嚣矛盾于是。，3 ，且只能为2 或3 当= 3 时，占讲或为皿或为h 2 或为日3 故不妨设凰= 口一，i = 1 ，2 ，3 于是 g = 岛1 xb p 2x 曰如从而有g h a = g 岛3 垒丑mx 易2 由性质2 1 0 知g 日3 中至 多有两个子群不满足关于g 凰的幂条件由前面的定璎3 1 和定理3 2 知g 耳3 为循环群但显然口p 1 岛2 不是循环群，矛盾于是。，只能为2 由上面的讨论，不妨设岛l = 皿，毋2 _ 凰，g = 丑p 1x 易2 其中= 我们要求1 zi l6 p 。i 1 3 如果凰 占缸( i = 1 ，2 ) ，不妨设i t s 岛1 于是g 凰竺b p l t 1 3 b 2 由性 质2 2 知a t 1 3 中至多有两个子群不满足关于a h 3 的幂条件，故g t t 3 只能为循 环群但是b ，a 1 t 3xb p 2 显然不是循环群，矛盾故t l sg 口硝，v i 下面证明l6 p 1l - p 否则，取。b t ，且l 。l = p ，则 满足关于g 的幂条 件，于是存在非负整数m 使得 = g “= 口嚣曰嚣由此口品= 1 故有i6 p ：i m ， 从而曰嚣= 1 矛盾故i6 p li = p 令i6 p 2i - 如果n 2 2 ，则 ， 均为g 中的子群，且互不相 等事实上，若 = ，则存在整数m 满足6 p 1 嘞= ( 1 b p 2 ) ”= 嗡嗡 故m 毒1 ( m 叻) ，且m 三2 ( m o 劫) ，矛盾故 与 中至少有一个子群 满足关于g 的幂条件设它为 ，则有非负整数m 满足 = g m = 丑嚣船 又因为i 蚓6 p 2l g ，故plm 但是，此时有曰嚣= 1 ，于是 = 曰品，矛盾 因此n 2 2 ，即g 型z ，乃但因此时经验证易知g 中满足幂条件的子群仅 有g 和1 ，其p 阶子群均不满足幂条件根据引璎2 1 5 ，g 中p 阶子群的个数为 碧= p + 1 故耍想g 中仅有3 个非幂条件予群，则只有，= 2 从而g 掣z 2x 玩 i i ) i f ( g ) l 2 我们证明矛盾 若v p ，r ( g ) ，。，= 1 ，则g 为循环群；矛盾 设某如2 如果有昂皿，玛，凰，则同前一样，可得矛盾 于是皿，凰。风至多分属于两个分支当风全属于分支a p 时，根据性质2 1 0 ， 如中至多有三个子群不满足关于如的幂条件，故4 只能为循环群，或为z = xz 2 ， 而其余分支均为循环群当山为循环群时g 为循环群，矛盾当岛型玩z 2 时， g = d r 。p a 口为循环群( 性质2 1 0 及lf ( g ) l ) ，于是可设g 型历x 邑c ， 其中g 为奇阶循环群由l ，r ( g ) i 2 知c 不是平凡的，则z 2xg 显然不满足关 于g 的幂条件，矛盾于是风分属于两个准素分支如和如，且a p 与a 口的直积 因子均为凰于是可设a p = ix 岛2 ，a 口= b 口l ，日1 = 曰p 1 ，日2 = b p 2 ，t t 3 = b q l ，且 lb ，。i s lb ，2i 而g 的其余准素分支均为循环群，它们的直积也为循环群，故可把 g 进一步写为g = b p lx b p 2x 岛l e ，其中c 为 p ，g ) 循环群但是显然b p l b q l 也不满足关于g 的幂条件，矛盾 2 ) g 为非阿贝尔群我们证明g 掣0 8 显然g 型口x e 0 而0 8 中已有3 个子群不满足关于g 的幂条件着e 不 是平凡的，则存在非负整数m 有e = g ”= 口x 四“xo “于是q r = 1 ，故4 im ， 这与e = f m 矛盾，故刀为平凡的若o 存在，则由性质2 1 0 ，o 只能为奇阶循环 1 4 群令o = ，loi 为奇数取q 8 的符号同前，显然 日1 ，则显然甄司n a ( 日1 ) e 从而风玛风为g 的幂条件子 群，因此是g 的正规子群，于是g 皿玛玛将为循环群又风口：凰为初等阿贝 尔p 群故g 为可解群而g 又满足关于子群的极小条件。故g 为o e r n i k o v 群 由g 为幂指数有限的周期群，故g 为有限群与前面的证明一样可知g 为有限幂 零群同情形2 一样，可设g 为p 群。由ig ：n a ( 风) i = 3 知g 为3 群其余论 证仿情形2 2 ) 若( 日1 ) = 置l ，则由ig ：口( m ) i = 3 有igi = 3 p p 为素数如果p 3 则g r ( 日1 ) qg ( 引理2 1 6 ) ，于是h i = g r ( 风) 司g ，矛盾故p = 2 ，jgi = 6 于是， g 只能为尻或岛，直接计算可知矛盾 综上。定理得证 5 5 对非幂条件子群数的进一步讨论 显然，群g 的两个平凡子群均满足关于g 的幂条件，下面对不满足关于g 的 幂条件的子群的个数给出几个结论 1 6 结论5 1 设g 为无扭阿贝尔群，则g 的所有非平凡子群均不满足幂条件的充 要条件为g 是若干个同构的有理数加群的直和 证明先证明必要性v m n ，因m g 满足关于g 的幂条件，故m g = 1 或 m g = g 于是由g 为无扭群知g 为可除群故g 为同构的有理数加群的直和充 分性显然 结论5 2 设g 为周期阿贝尔加群，则g 的所有子群均不满足幂条件的充要条 件为g 是拟循环群的直和或初等阿贝尔p 群 证明t 只需证明必要性若g 不是拟循环群的直和，则它不是可除群，故存在 素数p ，满足p g g 故p g = 1 ，从而g 为初等阿贝尔p 群 由以上的两个结论，我们可有如下一般性的结果t 结论5 3 设g 为阿贝尔群，则g 的所有非平凡子群均不满足关于g 的幂条件 的充要条件为g 是可除群或初等阿贝尔p 群 另外，在本文的研究过程中，出现了以下的问题t 问题1 若群g 中有非平凡的幂条件子群，则这种子群数的下界是多少? 问题2 若群g 中的非幂条件子群有且仅有有限个，则群g 是否有限? 本文是在我的导师段泽勇教授精心指导与鼓励下完成的在此对导师数年来不 倦的教诲及辛勤的培养表示衷心的感谢! 同时对施武杰教授，张广样研究员。陈贵 云教授在我读书期间所给予的关心也深表谢意! 另外，文迪，吉磊，文军蒲伟。 王临红，马健，申光宏，朱波等同学在生活学习中给予了无私的帮助，在此，一并 表示衷心的谢意1 1 7 参考文献 【l 】f s g 缸z ，o nc y c l i cg r o u p s ，f u n d m a t h ，4 3 ( 1 9 5 6 ) ，2 3 8 2 4 0 【2 d l a bv ，o nc y c l i cg r o u p s ，c z e c h o s l o v a km a t h j 1 0 ：8 5 ( 1 9 6 0 ) 。2 2 4 - 2 5 4 【3 】d l a bv ，an o t eo np o w e ro fg r o u p s ，a c t a s c i m a t h ( s z e g e d ) ，2 5 ( 1 9 6 4 ) 1 7 7 - 1 7 8 【4 】z e l m m o nm e o ng r o u p sa l lo fw h o s es u b g r o u p s 矗ec y c l i c ， u s p e h i m a t h n a u k ，1 6 ( 9 0 1 ) ，n o 2 ( 9 8 ) ，1 0 9 - 1 1 3 【5 】r o b i n s o nd j s ac o u r s ei nt h et h e o r yo f g r o u p s ，n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 2 。 f 6 】r o b i n s o nd j s ，f i n i t e n e s sc o n t i d i o na n dg e n e r a t i o ns o l u t f l a b l eg r o u p s ， n e w y o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 2 【7 1 s c o t tw r ，g r o u pt h e o r y n e wj e r s e y ：p r i n t i c e - h a l li n c ，1 9 6 4 【8 】陈重穆，有限群基础，重庆t 重庆出版社，1 9 8 3 f 9 】张远达，有限群构造，北京t 科学出版社，1 9 8 2 、 a n i n v e s t i g a t i o no nt h es t r u c t u r eo fg r o u p sw i t hs u b g r o u p sn o ts a t i s f y i n gt h e e x p o n e n tc o n d i t i o n z h o u w e i a b s t r a c t l e tgb e8 g r o u p ，has u b g r o u po fg w es a