（基础数学专业论文）若干广义仿紧空间类的逆极限.pdf

摘要 广义仿紧空间的逆极限是国内外拓扑学者热门的研究课题，具有十分重要的 理论意义和应用价值本文对几乎次亚可膨胀空间、序列中紧空间、仃一e a r 一可膨 胀空间、点星形正紧空间和遗传仃一集体参正规空间的逆极限性质进行了系统的 研究主要结果如下： 设x = 陋 以，石；，人 ，五= | 人j ，每个投射死满足恰当的条件，如果x 是彳仿 紧的且每个丘是几乎次亚可膨胀空间( 序列中紧空间、盯一矿一可膨胀空间、点 星形正紧空间) ，则x 是几乎次亚可膨胀空间( 序列中紧空间、矿一c 厂一可膨胀空 间、点星形正紧空间) 关键i - 1 ：逆极限；几乎次亚可膨胀；序列中紧空间；仃一e f 一可膨胀；点星形 正紧空间；遗传伊- 集体萨正规空间 a b s t r ac t t h ei n v e r s el i m i t so ft h eg e n e r a l i z e dp a r a c o m p a c ts p a c ei sap o p u l a rr e s e a r c h s u b j e c tf o r t h ed o m e s t i ca n da b r o a dt o p o l o g i s t ，w h i c hh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c s i g n i f i c a n c ea n da p p l i c a t i o nv a l u e i nt h i sp a p e r ，w es y s t e m a t i c a l l yi n v e s t i g a t et h e i n v e r s el i m i t s p r o p e r t i e s o ft h en e a r l ys u b m e t a e x p a n d a b l e s p a c e s ，s e q u e n t i a ll y m e s o c o m p a c ts p a c e s ，o 一一e x p a n d a b l es p a c e s ，p o i n t w i s e s t a ro r t h o c o m p a c t s p a c e sa n dh e r e d i t a r i l y 盯一c o l l e c t i o n w i sa n o r m a ls p a c e s tt h em a i nr e s u k sa r ea s f o l l o w s ： l e tx = 匦 x 。，石；，人) ，五= l a ia n de a c h p r o j e c t i o n w i t hp r o p e rc o n d t i o n _ ( i sx - p a r a c o m p a c ta n de a c hx 。i sn e a r l y s u b m e t e x p a n d a b l es p a c e s ( s e q u e n t i a l l y m e s o c o r n p a c ts p a c e s ，仃一可一e x p a n d a b l e ，p o i n t w i s es t a ro r t h o c o m p a c ts p a c e s ) ， t h e nxi s n e a r l ys u b m e t e x p a n d a b l es p a c e s ( s e q u e n t i a l l ym e s o c o m p a e ts p a c e s ， 仃一可一e x p a n d a b l e ，p o m t w i s es t a ro r t h o c o m p a c ts p a c e s ) 。 k e y w o r d s ：i n v e r s e l i m i t s ；n e a r l ys u b m e t e x p a n d a b l es e q u e n t i a l l y m e s o c o m p a c ts p a c e s ；t l r 一一e x p a n d a b l e ；p o i n t w i s es t a ro r t h o c o m p a c ts p a c e s ； h e r e d i t a r i l ya - c o l l e c t i o n w i s n o r m a ls p a c e s i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：年月 日 导师签名： 签字日期：年月 日 若干广义仿紧空问类的逆极限 1 引言与预备知识 拓扑学中的乘性是f 分重要的拓扑性质，而逆极限是积空间的子空间，因此逆 极限的性质非常有趣另外逆极限在分形几何，l o c a l , 范畴( 如文【3 5 】) ，拓扑动力系统， 遍历理论( 如文【3 8 】) 等其他学科中具有重要的应用，而广义仿紧空间在一般拓扑 学和其他学科中也具有f 分重要的应用，因此研究广义仿紧空间的逆极限有着f 分重要的理论意义和实际价值，广义仿紧空间的逆极限也自然成为国内外拓扑学 者热门的研究课题也是难点问题 1 9 7 9 年至1 j 1 9 8 0 年，a h s t o n e 和y a o k i 分别在文【l 】i 、【2 】、【3 】中研究了紧空 间和正紧空间的逆极限性质后，1 9 9 0 年，k e i k oc h i b a 在文【4 】中证明了如下结果：设 x = 匦 以，群，a ) ，名- i a l 并且每个投射致是开满映射，如果x 是名一仿紧的且每 个兄是正规的( 仿紧，集体正规，亚紧，次亚紧，l i n d e l f , 仿l i n d e l f , 口仿l i n d e l f , 万一亚紧，可缩，性质b 的) ，则x 是正规的( 仿紧，集体正规，亚紧，次亚紧，! e l i n d e l f , 仿 l i n d e l f , t r 仿l i n d e f f , 仃亚紧，可缩，性质b 的) 随后在2 0 0 2 年和2 0 0 3 年k e i k oc h i b a 继续研究了一些广义仿紧空间的逆极限，并对1 9 9 0 年的某些结果作了一些改进在 国内，蒋继光，朱培勇，熊朝晖，赵斌，曹金文等也对广义仿紧空间的逆极限作了许多 研究，获得了不少有价值的结果目前，这方面的研究正在朝着纵深方向发展 尽管k e i k oc h i b a , 蒋继光，朱培勇，熊朝晖，赵斌，曹金文等对其中的一些广义 仿紧空间的逆极限做了详细的研究但仍有一些广义仿紧空间的逆极限问题尚未 涉及和解决本论文将对( 离散) 几乎次亚可膨胀空间，序列中紧空间、点星形正紧 空间、仃一矿一可膨胀( 仃一可膨胀) 等些广义仿紧空间的逆极限进行系统的 研究 本文用g ( z ) 表示拓扑空间x 的子空间g 中点x 的开邻域系；l a i 、c l a 分别 表示空间x 的子集a 的基数、闭包；c 1 表示子空问g 的子集a 在g 中的闭包： 咒( x ) 表示x 的紧子集的全体：c s ( x ) 表示x 内的收敛序列 见，办：。的全体( 其 中以寸p ( n 寸o o ) ) ：卯表示自然数集其余未提及的概念及符号见文献 4 5 和 4 6 为方便起见，本文所涉及的定义和和引理重述如下 1 江西师范大学硕士研究生学位论丈 定义1 1 1s = k ，衫：z ) 称为逆向系，如果s 满足下列条件： ( 1 ) ( ，) 是个定向集： ( 2 ) 对任意的仃，以是拓扑空间： ( 3 ) 对任意的仃，p ，p 盯，映射衫：以一x p 连续，且合于： ( 3 1 ) 对任意的万，衫= i d 磊； ( 3 2 ) 对任意的r ，p ，仃，若f p 盯，万f 。衫= 砰其中衫为结合映射 定义1 2 “6 1 设s = k ，露：) 是一个逆向系，( b ) 口e z 1 1 盯芭如称为”线”， 如果对任意的，p rp 仃，使得衫( b ) = x p 由s 的所有”线”作为兀仃k 的子空间，称为逆向系s = 以，衫：) 的极限，记为! 螂或陋 ，衫， ，即 1 i m x 口，刀菪，) = x = ( 工口) 仃e 芑兀仃e z x 仃：v ps 仃，万孑( b ) = b 让p 口：兀盯x 盯x 盯表投射，则= i ! 螂：l i r n sj 叫! 螂上的投射 注记：对任意的仃，p _ r p 仃，则必有衫。= 引理1 1 【4 1 设x = 蜘 疋，群，人 ，对任意的口人，：x 一是投射， 则下列各条成立： ( 1 ) 集族 砭1 ( u ) ：u 开于以，口a ) 是x 的一个基： ( 2 ) 如果每个是开满的，则每个筇是开满的 定义1 3 悱1 空间x 称为仿紧的，如果x 的每个开覆盖都有局部有限的开加 细 定义1 4 矧设f 是任一无限基数，空间x 称为r 一仿紧的，如果对x 的每个 势不超过r 的开覆盖有局部有限的开加细 引理1 2 b 1 空间x 是r 一仿紧的当且仅当对x 的扦覆盖= ：口人 其 中i a i - 鬈，存在义的局部有限的开覆盖矿= 吃：口a ) 使得对任意的 口a ，圪 引理1 3 “3 空间x 是名一仿紧的，人是定向集，且名= 1 人| 若矾：口人j 是 x 的定向上升的开覆盖，则存在x 的定向上升的开覆盖 吃：口a ，使得对任意 的口a ，e l 吃 引理1 4 陆1 设空间x 是见一仿紧的，人是一个定向集，且名= 1 人1 若 ：口人) 是x 的定向上升的开覆盖，则存在x 的局部有限开覆盖 圪：口人 ， 使得对任意口a ，e l 屹 定义1 5 洲善，叼是空间x 的丌覆盖，称刀是孝的甜有限加细，如果7 7 是f 的 j 7 l i 细，对任意的k c s ( x ) ，( ，7 ) 是有限集 定义1 。6 【蝴空间x 的子集族善称为紧( 岱) 有限的，如果对任意 k 咒( x ) ( d ( x ) ) ，都有i ( 孝) k i 缈 定义1 7 嘲空间x 是r 一可遮的，如果对x 的每个势不超过r 的开覆盖有沪 互不相交开加细 3 江西师范大学硕士研究生学位论文 2 几乎次亚可膨胀空间的逆极限性质 k e i k oc h i b a 在文 3 8 中对正规、仿紧、集体正规、集体万一正规、亚紧、 次亚紧、可膨胀、几乎口一可膨胀、可缩、万口一可加、w 一万8 一可加、w 嘶良可加等 空间的逆极限的性质进行了研究那么几乎次亚可膨胀空间是否也具有类似的 性质呢? 由于几乎次亚可膨胀空间与别的可膨胀空间类的结构上的差异使得不能 直接借用文 3 8 方法得到相应的结果，本节定理2 1 及定理2 2 将讨论几乎次亚 可膨胀空间的逆极限性质 定义2 1 嘲空间x 称为几乎次亚可膨胀的( 几乎离散次亚可膨胀的) ，如果x 的每个局部有限( 离散) 闭集族 疋：口人) ，存在x 的稠密子集d 和x 的开集族序 列 。鲫使得对于任意，功和口a ，有只c 并且对于 任意x d 存在力彩使得仇在x 是点有限的 定理2 1 设x = 陋 以，砟，a ) ，a = l a i 并且每个投射死是开满映射如果x 是积空间n 口a 以的开子空间，又是疋仿紧的，且每个丘是几乎次亚可膨胀的( 几 乎离散次亚可膨胀的) ，则x 是几乎次亚可膨胀的( 几乎离散次亚可膨胀的) 证明 设 e ：孝) 是x 中任意一个局部有限闭集族对于任意的口a ，令 = u ：u 是k 中开集且i g ：砭1 ( u ) ng o l 国 ， 则 嗄1 ( ) ：口人) 是x 中一个定向上升的开覆盖 事实上，设x x ，则存在w u ( x ) 使得 善：wn 9 ) 是一个有限集 由引理1 1 知，存在口a 和以的一个开集u 使得x 吒1 ) cw ，从而 i 孝：万二1 ( u ) n o l i 善：wn i 缈，所以uc u 。，故 石砭1 ( c ( 睨) 其次，对于任意口，a ，若口，对任意x 磙1 ( ) ，存在 的开集u ，使得x 死1 缈) 且l 偕：砭1 n 乓硎铴，故和= 劫( 磋) - 1 ( ，且 障：希( ( 露) _ 1 ( 硼n 乓叼l 国，又( 磋) - 1 ( u ) 开于和，从而( 磋) - 1 ( u ) c ， 所以x 巧1 ( ) ，即得瓦1 ( ) c 巧1 ( ) 因为x 是禾仿紧的，所以据引理1 4 知，存在x 的局部有限开覆盖 q ：口人 使得对于任意口人，瓯cc l qc 织1 ( ) 4 若干广叉仿紧空问类的逆极限 对于任意的口a ，令= c l 死( 疋) ：孝 ，则纯是以中的局部有限闭集 族 事实上，设屯以，则存在以的开集u 使得屹u ，瓦- ( 矗) c 筏，( u ) 且 死t ( u ) 与至多有限个相交，记= 善：n 靠t ( o ) ，则。是有限集，对 任意的7 7 。，c i i ( u ) = a ，则死( ) f lu = o 事实上，如果( ) f l u o ，则存在虼( ) n 【，存在z 使得( z ) = 虼u ，于是z 死t ( n 弓， 矛盾从而( ) n 【，= o ，因此c l ( 磊) f lu = a ，这说明纥是x 。中的局部有限 闭集族 因为以是几乎次亚可膨胀的，所以存在以的稠密子集见和以的一列开集 族 艇缈，使得对于任意刀和孝，d ( 乓) c 噬且对于任意 见，存在n ( x d 国使得仇( 矗净在屹是点有限的，即暂：吃吆b ) 善) 是有限 集 令d = ( r i 砌见) n x ，则c l d = d ( r i 雠a 见n x ) n x = d ( 1 1 烈见) f i x = x ， 故d 是x 的稠密子集 令 一，记= u a e a 【qn 瓦1 ( ) 】，由 的连续性知h , e 是x 中的开集，从而 聪甜是x 中的一列开集族 对于任意，国和善，有乓ch , e 事实上，设x 乓，存在口人使得工q ，因为屹= 磊呢幄) c d 呢曝) c 因此x qn 砭1 ( ) c u 。 【qn 瓦1 ( ) 】- 设工d ，因为 q ：口人 是局部有限的，从而是点有限的可设扛人：x q ) = 他，口：， 因为对任意的口人，呢( d ) = 死( m 见n c 见，所以对于任意的 i m ，有= c q ，故存在体彩使得哲：o ) 曝 是有限集， 所以g ：x ( ) ) 是有限集令刀= m a 】( “，也，刀朋 ，则 篮：x = 孝：x u 掰e a 【qn 1 ( ) 】) c ：x u 刍【n 刀。- 1 ( u 暴) 】 c u 墨。 善：石( ) ) 是有限集，故仇在x 处是点有限的，因此x 是几乎次亚 可膨胀的 几乎离散次亚可膨胀情形类似可证口 定理2 2 设x = l i _ m x 。，筇，人) ，名= l a f ，每个投射死是开满映射，如果g 是 5 江西师范大学硕士研究生学位论丈 x 的彳一仿紧的开f 窄问，且每个k 是遗传几乎次哑。口】膨胀的( 遗传几乎离散次亚 可膨胀的) ，则g 是几乎次亚可膨胀的( 几乎离散次亚可膨胀的) 证明设 疋：孝 是g 的任一局部有限闭集族，对任意的口a ，令 u d = u l u ：u 是一。中丌集，万：1 ( u ) cg 并f tl l ；：万：1 ( u ) n 乓a i 国 ， 则 瓦1 ( ) ：口a 是g 中一个定向上升开覆盖 因为g 是彳仿紧的，所以据引理1 4 知，存在g 的局部有限开覆盖 q ：口a 使得对仟意的口a ，qce l g qc 砭1 ( u 口) 对于任意的口a ，令纯= 眠nc l ( e ) ：f j ，则纥是吮中的局部有限 闭集族 显然纥是中闭集族，设屹，则存在x 口中的开集u 使得屯u ，筏1 缈) c g 且l 管z ：瓦1 ( u ) n 乓列 国，所以i ：u n 呢( 乓) 回i 国，所以i 孝： u n d ( 磊) 回l c o ，所以u ，而汐开于。且有l 甏：u n ( n d 砭( 冬) ) 回l 彩故是眈中的局部有限闭集族 因为五是遗传几乎次亚可膨胀的，所以眈是几乎次亚可膨胀的，因此存在 的稠密子集见和的一列开集族 蜒珊，使得对于任意 刀国和善，眈n d ( i ) c ，且 q x a 吃，存在以( 屯) 缈，使得仉( 屯净在矗是 点有限的，即偕：丘吆增) 是有限集 令d = ( 兀口e 皱) n g ，则d 是g 的稠密子集 事实上，设x g 。对于任意w g ( 戈) 因 疋：善 在g 中局部有限，所以存 在日n o ( x ) ，使得j 鹭：hn o ) i 国，则w nh g o ) ，因为g 是x 的 开集，故w nh n 、( 工) ，由引理1 1 知，存在呸，a ，存在k 的开集u ，使得 x 刀磊( u ) cw nhc zhc g ，于是l 善z 一- 。 ( u ) nt o ) l 使得 对任意的口人，qc c l qc 砭1 ( 圪) 对任意的口a ，记铭= 死( ) ：孝斟，则是以的开覆盖事实上，因是 开映射，易知是k 的开集族设屹以，因繇是满射，所以存在工x ，使得 ( x ) = 屹，因缈是x 的开覆盖，所以存在孝，使得x ，所以 如= 死( 力( ) 由于以是序列中紧的，因此以的开覆盖有俗有限开加细仫= 么：s 最) ， 即他加细，且对任意的如q ( 以) ，( ) 也是有限集。 令沙= 砭1 ( 圪j ) n0 0 ：墨& ，口人) ，则吵是缈的有限开加细 事实上，缈显然是x 的开集族设石x ，因 q ：口a 是x 的开覆盖，所以存 在口a ，使得工q ，则( x ) 以，因是x 。的开覆盖，所以存在s ，使得 ( 力吃，从而石1 ( 吃。) ，所以z 1 ( 圪，) nq 即是x 的开覆盖 对任意的倪人，s ，瓦1 ( 吃声) nq 少，1 ( 圪j ) n 吼c 吼c 1 ( 圪) ，由 圪的构造知，存在善使得砭1 ( 圪) c 睡，所以1 ( 吃，。) nqc 所以 c ，是伊的 加细 最后证明y 是岱有限的事实上，对任意的k c s ( ) ，因 q ：口a 是局 部有限的，据引理3 1 知是c s 有限的不妨设扛人：k nq 四= 哟，吃，) 对任意的i m ，由刀口，的连续性知，( k ) c s ( x 口i ) ，凶是岱有限的，所以 冬是：( 固n 芦囝是有限集从而p ：k a ( 吃) 囝 是有限集，所以 p ，口a ：足n 1 ( 圪芦) nq 囝 = i s ，a ：i m ，k c l ( 声) n c u 翟。p ：k n ( 圪一) o 是有限集 因此x 是序列中紧的 口 定理3 2 设x = l i m x 。，万；，人) ，五= ，每个投射足开满映射，如果石是遗 江西师范大学硕士研究生学位论文 传_ 一仿紧的，且每个苁是遗传j ：予列中紧的，则x 是遗传序列i f l 紧的 证明设g 是x 的任歼子空间，妒= u f ：孝 是g 的任一开覆盖对任 意的口人，孝，令吃 = u v 开于以且万二1 ( v ) cu ，吃= u ：善) ， 则 死1 ( 吃) ：口人 是g 的定向上升的开覆盖因g 是五一仿紧的，由引理1 4 知，存在 g 的局部有限开覆盖 q ：口a ，使得对任意的口a ，qcc l 吼c 砭1 ( 圪) 对任意的口人，记纥= 死( ) ：f ) ，则由死是开映射易知是呢( g ) 的开 集族设( g ) ，存在x g 使得屹= 呢，由于伊是g 的开覆盖，所以存在 孝，使得x 昵，所以屹= 死( x ) 死( ) 从而是死( g ) 的开覆盖 因五是遗传序列中紧的，所以死( 回是序列中紧的因此瓦( 回的开覆盖 有铅有限开加细= 吆j ：s & ) ，即加细，且对任意的 k 口c s ( 万口( g ) ) ，( 7 7 口) k 。是有限集 令沙= 1 ( 吸，) nq ：s ，口人 ，则吵是妒的c s 有限开加细 事实上，首先易知是g 开集族设x g ，因 q ：口人 是g 的开覆盖，所以 存在口人，使得x q ，则( 曲死( g ) 因是( g ) 的升覆盖，所以存在s & ， 使得( x ) 呒声，从而x 1 ( ，) ，所以x 1 ( ，) nq 即矿是g 的开覆盖 其次，对任意的口a ，s & ，1 ( 虼j ) n q 沙，砭1 ( 屹j ) c i o 口c qc ( 圪) ， 由圪的构造知，存在孝使得1 ( 吃) c ，所以死( j ) n qc 所以杪 是移的加细 最后证明y 是c s 有限的对任意的k c s ( g ) ，因 q ：岱a ) 在g 中是局部有 限的，据引理3 1 知是c s 有限的不妨设缸a ：k c l q o - 溉，吃oo 对任 意的i m ，由刀嘶的连续性知，( 目o ( 刀麓( g ) ) ，因在( g ) 中是c s 有限 的，所以秘：氏( k ) n o 是有限集从而p & ：k n ( ，) 回是有限 集，所以 i s s ，口人：kn 筏1 ( 既，) nq 囝) = p ，人：f ，l ，kn 1 ( ，) n o o ) c 峰。秘屯：k f l ( 声) o ；是有限集 因此g 是序列中紧的，由引理3 2 知x 是遗传序列中紧的 口 1 0 若干广义仿紧空间类的逆极限 4 厂旷一可膨胀空间的逆极限性质 文 i2 、 1 3 虽然对可膨胀空间类的逆极限的性质进行了研究，但并没有讨 论仃一c 厂一可膨胀空间的逆极限性质，本节就此空间的逆极限性质进行讨论，并 得到“减弱”形式的结果，特别地，本节讨论的拓扑空间均指兀空间 定义4 1 湖空间x 称为d r c 7 r 一可膨胀( 仃一可一可膨胀) 的，如果对x 内每个 局部有限闭集族皈：口a 存在x 的紧有限( c s 有限) 开集族序列 c v 孝 y n 厂( 固回是有限集，而i 厂1 ( y ) ：厂1 ( 矿) nk o l l y 孝：f 一1 ( y ) nk 囝) i ， 故f t ( 善) 是x 中的紧有限族 口 引理4 4x 是遗传仃一e f 一可膨胀( 叮一可一可膨胀) 的当且仅当x 的每个开 子空间是仃一矿一可膨胀( 盯一a f 一可膨胀) 的 证明 必要性显然，下面证明充分性设彳是x 的任一子空间，溉：窿a ) 是 a 中任一局部有限闭集族，于是对任意x 彳，存在以n a ( x ) ，使得 人。= o r 人：只nu ，o ) 是有限集，则对任意的a a 。，n 虬= o 因为虬 开于a ，所以存在x 的开集圪使得u = 屹na ，从而a = 易n kn a = 易n k ，因此 峨n 屹= o 令g = u 屹：石a ) ，则g 是x 的开集，且显然 c l 兄ng ：口a ) 江西师范大学硕士研究生学位论炙 是g 的局部有限闭集族，由假设知g 是口一c f 一可膨胀的，从而存在g 中的紧彳 限开集族序列 。鲫 使得 对 任意 口人，c l f an g c u 。i 。u 。令 蜒劳，对任意疗0 3 ， 任意的k 7 - t ( 彳) 从而k 7 - t ( g ) 因为对任意r 彩， l ( 理。) 膏i = l 口a ：( u 。n 4 ) c lk g i i 口人：u 。nk g l 国 ，所以 。鲫是a 中的紧有限开集族序列，且对任意口人，有 兄cc 屹na = c 屹n gna c ( u 。缈汐以) na = u 。；。( 。口n 彳) ，因此a 是仃一c f 一 可膨胀的对于盯一c 矿一可膨胀的情形类似可证 口 定理4 1 设x ：陋 以，石；，a ) ，允= i a i ，每个投射死是满映射，如果x 是彳一 仿紧的且每个x 。是仃一矿一可膨胀的( 口一可一可膨胀的) ，则x 是仃一矿一可膨 胀的( o - 一可一可膨胀的) 证明 设 瞑：善) 是x 中任意一个局部有限闭集族对于任意的口a ，令 虬= u u ：u 是x 口中开集且l ：砭1 ( u ) n 囝 l 功 ， 则砭1 ( ) 开于x ，慨1 ( ) ：口人 是石中一个定向上升的开覆盖 事实上，设工x ，则存在形( x ) 使得偕：形n 正g ) 是一个有限集由 引理1 1 知，存在口人和以的一个开集u 使得x 死1 缈) c 形，从而 i 孝：刀二1 ( u ) nt o l l 孝：形nt o l 缈，所以uc u 口，故 x 凹c ( ) 其次，对于任意口，夕a ，若醪，则有1 ( ) c 巧1 ( ) 因为x 是彳一仿紧的，所以据引理1 4 知，存在x 的局部有限开覆盖 q ：口使得对于任意口人，瓯cc 1 qc 瓦1 ( 虬) 对于任意的口人，令= c l 死( 乓) ：孝 ，则纯是以中的局部有限闭集 族 事实上，设屹以，则存在疋的开集u 使得心u ，t ( 屹) c 舷( u ) 且 ( 厂) 与至多有限个e 槲交，记l = 偕：疋f l 死l ( u ) o ) ，则。是有限集，对 任意的7 7 ，n - ( = a ，则( ) nu = g 事实上，如果( ) f l u o ，则存在虼( ) n u ，存在z 使得瓦( z ) = 此，于是z 1 ( n ， 矛盾从而呢( ) n u = o ，因此c l ( ) c lu = o ，这说明是k 中的局部有限 闭集族 因为是口一矿一可膨胀的，所以存在紧有限开集族序列 是x 的紧有限开集族 事实上，因 q ：口人 是局部有限开集族，据引理4 1 知， q ：口人 是紧 有限的，对任意k 巩( x ) ，可设缸人：k n q 回= 慨，吃， 因对任意 口a ，死连续，所以呢紧于疋而对任意岱人，对任意刀国， u 蒜：f 是以中的紧有限开集族，故l 孝：7 。( 足) nu 磊g i 彩，从而 i 偕：x g ) q r , , ( k ) n ) 四i 彩因kn - ( u 毒) c 靠1 ( ( k ) n ( ，磊) ，所以 l g ：k n t ( 幄) 刨 国，即瓴1 ( ) ：善 是x 的紧有限开集族因 善：knh 善o c u 竺1 善：kni e 叶- 1 ( u 善) a ，故 月k ：孝国) 是x 的紧 有限开集族 对任意的x 尼，则存在口a 使得x q ，又因为( x ) ( 名) cc l ( 名) c u ，所以存在以缈使得螺，因此工q n 础( 咯) c c u 鲫， 即尽cu 行舶从而x 是仃一矽一可膨胀的 仃一可一可膨胀情形类似可证 口 定理4 2 设x = 陋 以，石；，人) ，名= 1 人l ，如果x 是遗传升仿紧的且每个x 。 是遗传仃一盯一可膨胀的( 遗传仃一一可膨胀的) ，则x 是遗传盯一盯一可膨胀 的( 遗传口一c 矿一可膨i 张t r ) 证明设g 是x 的任一开子空间，由引理4 4 知，我们只须证明g 是d r 一叮一 可膨胀的 设 疋：孝7 - 4 为g 的任一局部有限闭集族，对任意的口人，令 虬= u 缈：u 是以中开集，1 ( u ) cg 并且l 鹭：砭1 ( u ) n h o l 缈 ， 则 瓦1 ( ) ：口人，是g 中一个定向上升开覆盖 因为g 是欠一仿紧的，所以据引理1 ，4 知，存在g 的局部有限开覆盖 q ：口a ) 使得对任意的口a ，qcc l g qc 吒1 ( ) 对于任意的口a ，令纯= 吒nc 1 死( t ) ：孝 ，则纯是吒中的局部有限 闭集族 显然是虬中闭集族，设屹，则存在丘中的开集c ，使得 江西师范大学硕士研究生学位论丈 屯u ，1 ( u ) cgl t l l f ：织1 ( u ) n 乓 i 彩，所以i 偕：u n 死( 乓) o i 彩，所以i 孝：unc l n 口( 足) o ) l 彩，所以屹u ，而u 开于h 有 i 偕：u n ( un c l 致( 最) ) 四i 国故纥是虬中的局部有限闭集族 因为瓦是遗传仃一可一可膨胀的，所以是盯一矿一可膨胀的，因此存在u “ 的紧有限开集族序列 是g 的紧有限开集族 对任意的x 以，则存在口a 使得x 吼c 繇1 ( ) ，从而 万口( z ) u 口i 17 l 口( 名) cu 口nc l 万口( 乓) cu 一鲫【厂磊，所以存在刀国使得 ( 力吆，因此x qn 靠1 ( ) c cu 。喜，即名cu 一 故g 是仃一c f 一可膨胀的 口一c s f 一可膨胀情形类似可证 口 1 4 若干广义仿紧空间类的逆极限 5 点星形正紧空间的逆极限性质 定义5 1 嘲空间x 称为点星形正紧的，如果对每个x 的开覆盖孝，都存在内 部保持开集族7 7 ，使得对任意的x x 。存在k 矿使得x v xcs t ( x ，f ) 引理5 1 嘲设7 7 是x 的开集族，则下列条件等价： ( 1 ) r l 是内部保持的； ( 2 ) 若r l c r l ，则n 叩是开集 引理5 2 删若孝，7 7 是x 内的内部保持开集族，则善 r = 缈nv ：u 善，v r 是x 内的内部保持开集族 引理5 3 每个局部有限开集族必为内部保持开集族 引理5 4 嘲设厂：x 专】，连续，集族在y 中是内部保持的，则 = 扩1 ( 功：v a 功在x 中是内部保持的 引理5 5x 是遗传点星形正紧的当且仅当x 的每个开子空间是点星形正紧 的 证明必要性显然，下证充分性设彳是x 的任一子空间，是a 的任一开覆 盖，对任意的u ，存在y ( u ) 开于x ，使得v ( u ) n 彳= u ，则= 矿( u ) ：u a ) 是x 的开集族且a u 少由于u 少是x 的开子空问，且是u 的开覆盖，由假设 知，u 沙存在内部保持开集族，使得对任意的x u ，存在w o ) ，有 x w o ) cs t ( x ，少) 令= anw ：w + 1 4 + ，则为a 中的开集设m 足 中的任一非空子族，则存在+ t g + 使得i l k t _ aaw + ：w + + j ，则 n m = n anw ：w + + ) = an ( n + ：w + 1 4 。) ) = an ( n w ) 山引理 5 1 知，n i t 。是u 的开集，从而开于x ，故an ( n w + ) 开于彳，再由引理5 1 知， 为a 中的内部保持开集族对任意的x acu ，从而存在w ( x ) 使得 石w + ( x ) cs t ( x ，) 故 x anw ( x ) cans t ( x ，) = an ( u v ( u ) ：x v ( u ) ，u ) = u a f l y ( ：x e y ( ，u 历口 = u u ：x u ，u a ) = s t ( x ，a t ) 故a 是点星形正紧的 口 定理5 1 设x = l 帅 心，巧，人) ，旯= 1 人i ，每个投射死是开满的，如果x 是旯一 江西师范大学硕士研究生学位论文 仿紧的，且每个以是点星形正紧的，则x 是点星形正紧的 证明 设矿= 呸：掌 足x 的任一开覆盖，对任意的口人，f ，令 ：= u 矿开于以且磙1 ( 矿) c 嚷 ，= u ：孝曷，则瓴1 ( ) ：口人 是x 中定向 上升的开覆盖 由于x 是工仿紧的，则存在x 的定向上升开覆盖= ：口a 使得对任意 的口人，c 1 砭1 ( ) 对任意的口a ，令乏= x 球( x c 1 ) 因是开映射，所以瓦闭于以且 肚_ e - ir 州# t - 刁t 1 t ，所以兄睨令巳= i n t z r ：1 ( 兀) ，则= q ：口人 是x 的开覆盖 事实上，设x x ，存在o t 人使得x 眩，故存在a ，存在x 口的开集u ，使 得工万否1 ( u ) ，取y a 且满足y 口，y 现在证明工q 为此，我们只须证 巧1 ( u ) 丐1 ( 弓) 事实上，若存在y = (