（基础数学专业论文）算子代数上的幂等算子及保幂等的线性映射.pdf

中文摘要 中文摘要 设x 是数域f ( f 为实数域r 或复数域c ) 上的b a n a c h 空间， f f 是无限维h i b e r t 空间，本文讨论了x 上幂等算子的表示形式及日 上幂等算子与投影算子之间的相似性 设b ( x ) 是x 上有界线性算子全体所成的b a n a c h 代数，f ( x ) 是b ( x ) 中所有有限秩算子的集合，本文讨论了f ( x ) 上保幂等线性映 射，得到了由p ( x ) 到数域f 上代数a 的保幂等线性映射与j o r d a n 同态映射的等价关系，并由此得到了r ( x ) 上保幂等线性映射的形式刻 画还将此结论推广到s ( x ) 及b ( h ) 上，分别得到了两空间上的保幂 等线性映射的刻画。 关键词：无限维算子代数幂等算子保幂等j o r d a n 同态 英文摘要 a b s t r a c t l e txb eab a n a c hs p a c eo v e rfw h e r efi se i t h e rt h ef i e l d o f r e a ln u m b e r s 月o rt h ef i e l do fc o m p l e xn u m b e r sc hb ea ni n f i n i t e d i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e i n 如i sp a p e rw es t u d yt h ef o r mo fi d e m p o t e n t o v e rxa n dt h es i m i l a g i t yo fi d e m p o t e n t sa n dp r o j e c t i o n s l e te ( x 1d e n o t et h ea l g e b r ao fa l lb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r so nx ， a n df ( x ) t h ea l g e b r ao fa a lf i n i t er a n ko p e r a t o r si nb ( x ) i nt h i sp a p e r ， w es t u d yt h el i n e a rm a p p i n g so fv ( x ) w h i c hp r e s e r v ei d e m p o t e n t s w e g e tt h ee q u i v a l e n c eo ft h el i n e a rm a p p i n g so ff ( x ) w h i c hp r e s e r v ei d e m p o t e n t so n t ot h ea l g e b r aa o v e rfa n dt h ej o r d a nh o m o r p h i s m s a p p l y i n g t h i st h e o r e mw eg e tt h ef o r mo fl i n e a rm a p p i n g so ff ( x ) w h i c hp r e s e r v e i d e m p o t e n t sf u r t h e r m o r e ，w ea l s og e tt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so nb ( x ) a n d 口f ) k e y w o r d s ：i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e i d e m p o t e n to p e r a t o r s i d e m p o t e n c e - p r e s e r v i n gm a p p i n g s j o r d a nh o m o r p h i s m s i i 一些符号和术语 一些符号和术语 本文中，我们用x 表示数域f ( f 为实数域r 或复数域c ) 上 的b a n a c h 空间，b ( x ) 表示x 上有界线性算子全体所成的b a n a c h 代 数，f ( x ) 是b ( x ) 中所有有限秩算子的集合，日表示无限维h i l b e r t 空间，h ( h ) 表示日上的有界线性算子全体组成的b a n a c h 代数，s ( h ) 表示h 上的对称算子全体。 称| p 是x 上幂等算子，若满足p 2 = p 成立 令。是算子代数a 上线性映射，若把每个幂等算子映为4 上幂 等算子，则称妒是保幂等线性映射 设，是域，我们用a 霸( f ) 表示f 上的7 tx 扎全矩阵加群 设“，u 是数域f 上的向量空间，r ：f f 为非零环同态( 即， t 可加且可乘) 如果可加映射a ：一k 满足a ( , k x ) = 下( ) 、) 4 z 对所 有的a f 和z m 都成立，则称4 是7 一拟线性的 对任意的x x 一 o ) ，f x + 一 o ) ，我们用张量积z 圆- 厂定义x 上的一秩算子如下 z f ：“h x ，v u x i v 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题研究的意义 1 1 1 幂等算子的研究 算子理沦当前已成为现代数学中一个起重要作用的热门分支，它与 量子力学、微分几何、线性系统和控制理论都有着出人意料的联系和相 互渗透。 p e a r c y 和d t o p p i n g 在文献 2 】中证得无限维复h i l b e r t 空间日上 每个线性有界算子都可表成五个幂等算子的和于是幂等算子如同秩一 算子作为b ( h ) 中生成元具有极其重要的意义研究幂等算子的相关性 质对于无限维算子代数理论的探索起到了核心作用 1 1 2 算子代数上线性保持问题的研究 线性保持问题巳成为近四十年来现代数学中十分活跃的领域一方 面是因为它的理论价值；另一方面是因为许多问题在微分方程、系统控 制、数理统计等领域有着广泛的实际应用背景。 例如，在解答微分方程时，为简化问题，人们喜欢在解答它之前应 用某些变换，这个变换最好是简单的并且拥有某些好的性质，象在解线 性微分方程组时可能需要应用线性变换，并且希望这个线性变换保持这 个方程组的特征值或稳定性，这自然地就涉及到了“矩阵代数”上的线 性保持问题；在研究泛函分析中的b a n a c h 空间时，要知道如何构造其 上的线性等距，这就涉及到了“算子代数”上的线性保持问题 算子代数上的线性保持研究不仅丰富了算子代数理论的研究，而且 黑龙江大学硕士学位论文 作为副产品，刺激了算子理论中新结果的创建进而，其成果往往从另 一角度揭示了算子代数的固有性质以及与其上线性映射的联系。 算子代数上线性保持问题研究的最终目的之一是利用线性手段探 讨和解决拓扑代数的问题，即通过刻画保持代数元某种特征不变的线性 映射反馈算子代数的整体结构性质，从新的角度提供算子代数分类的信 息 1 2 国内、外同类课题的研究现状及发展趋势 1 2 1 幂等算子的研究 对于幂等算子的研究是从研究有限维复空间上的矩阵代数尬。( g ) 上的幂等矩阵开始的，有如下定理： ，l0 、 定理a 设a 是一个秩r 的n 扎幂等矩阵，则a l 。) t j0 近些年来，人们开始关注对无限维算子代数上的幂等算子的相关性 质的研究，如在1 9 6 7 年p e a r c y 和d t o p p i n g 在文献 2 】中对无限维复 空间中幂等算子表示长度进行了研究，并得出如下定理； 定理b 无限维复h i l b e r t 空间上每个线性有界算子都可表成五个 幂等算子的和 近几年来，对于幂等算子的研究主要集中在对幂等算子的范数的研 究上，如2 0 0 0 年i j k o l i h a 和v r a k o e e v i d 在文献 3 】对于e + 一代数上 幂等算子的范数进行了研究，得到如下定理： 定理c 若 是眇一代数a 上一幂等算子，则 2 一 第1 章绪论 这方面其它相关结果可参考文献f 1 9 2 1 ，2 4 】 1 2 2 矩阵代数上保持问题的研究 对于线性保持问题的研究，最早的工作是1 8 9 7 年f m b e n i u s 给出的 保行列式的线性变换的刻画在1 8 9 7 年，g f r o b e n i u s 在文献【4 ，9 9 4 1 0 1 5 1 中证明了如下定理： 定理d 线性映射审： 矗) 斗j l 靠( g ) 保谱当且仅当存在可逆算 子丁a 靠( g ) ，使得t ) 5 具有形式( ) = 丁t ( ) 丁。或咖( - ) = 丁( ) ”t ，即 咖是自同构或反自同构其中a ”代表a 的转置矩阵 1 9 4 9 年，j d i e u d o n n d 8 把这个结论推广到m 。( g ) 上保可逆的线 性满射1 9 5 9 年，美国矩阵论专家m m a r c u s 和r p u r v e s 9 证明了 a 厶( e ) 上保奇异性的线性映射也具有相同的结构在m m a r c u s 研究了 秩一保持这一“核心问题”后，关于线性保持的成果才大批出现 1 9 8 9 年，曹重光在黑龙江大学自然科学学报上发表“局部环上矩阵模的保幂 等自同态【5 1 ”一文，在国内引发了线性保持问题的研究几年来出现了 一大批成果如王路群刻画了保秩一的线性映射【6 】，刘绍武刻画了对称 矩阵空间上的保秩算子【7 ，而对于主理想整环上保幂等矩阵的线性算子 的刻画问题，刘绍武在文献【1 】中给出了如下结论： 定理e 设只是一个主理想整环，fri 2 ，t 是m 。( 兄) 上的保幂 等的线性算子。若t 0 ，则t 必为下列形式之一： ( i ) 7 1 = i f ， ( i i ) t = 弗， ( i i i ) t = i p t 珥，c h r = 2 时， ( i v ) t = i p + t 兄。，c h r = 2 时， ( v ) t = i ；+ t r 。，c h r = 2 时， ( v i ) t = i p l o ，n = 2 且c h r = 2 时， 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 ( v i i ) t = i t l o ，n = 2 且c h r = 2 时， 其中i p ：xh p 。xp i v x 螈( r ) ， i ；： xh p _ x 了、p v x ( _ r ) ， t r ，：xhl r ( x ) d i a g ( i r ，0 。一r ) ，惯( r ) ， p g l 。( r ) ， 弘：( ：) h ( 。言。h db 、 v 【cd ) 删2 ( r ) ，咖锄 这方面其它相关结果可参考文献【1 1 1 8 】 19 9 1 年，m o m l a d i e 和p s e m r l 在“s p e c t r u m p r e s e r v i n ga d d i t i v e m a p s 2 2 ”中，用“加法算子”代替“线性算子”，开始了“加法保持问 题”的研究，并于1 9 9 3 年在“a d d i t i v em a p p i n g sp r e s e r v i n go p e r a t o r so f r a n ko n e 23 】”一文中得到了复矩阵秩一保持的结果这之后1 9 9 6 年，曹 重光和张显在l i n m g a p p l 上发表“a d d i t i v eo p e r a t o r sp r e s e r v i n g i d e m p o t e n tm a t r i c e so v e rf i e l d sa n da p p l i c a t i o n s i l o ”，将“加法保持问 题”的研究引向更一般的矩阵得到如下结论： 定理f ，是尬；( f ) 上的保幂等的加法算子当且仅当，是如下形 式之一： ( i )f ( x ) = 口( 打x ) ，v x a 靠( f ) ， 其中口：f 一n 矗( f ) 是o ( 1 ) = 0 的加群同态 ( i i )f ( x ) = 尸( x 7 + 盯( 打x ) 尸，v x = ( x l j ) 螈( f ) ， 其中p g l 。( f ) ，x 7 = ( r ( ) ) ，一同( i ) 中定义，7 - 是f 的域单同态。 ( i i i ) f ( x ) = 尸 ( x 7 ) 丁+ c r x ) p ，i x = ( x i j ) 靠( f ) ， 其中p ，x 7 ，盯和t 同( i i ) 中定义 近几年来，这个领域的研究也取得了一些成果，主要包括幂等保持， 第1 章绪论 逆及广义逆保持，秩一保持及伴随保持等相关结果可参考文献f 2 5 2 8 1 “加法保持问题”的研究是一个崭新的领域，选择新的更加有意义、 有背景的不变量，寻找各种不变量保持的内在联系，寻求更有效的一般 化的处理方法以及特殊技巧等等都是尚待研究的课题 早在1 9 6 9 年mj o d e i t 和t y l a m 2 9 】就对矩阵半群的可乘映射作 了相当深入的讨论，1 9 9 4 年，s hh o c h w a l d 发表了文章“m u l t i p l i c a t i v e m a p so nl l l a | r i c e st h a tp r e s e r v et h es p e c t r u m ”，该文讨论了矩阵代 数鸠。上保谱可乘映射的刻画问题，证明了如果可乘映射：慨_ 几靠 保持矩阵的特征值，则一定存在可逆矩阵a ，使得对所有t 尬；都有 ( 丁) = a t a 。成立，即是自同构这篇文章首次把可乘映射的研究 与保持问题相结合，为研究可乘映射的保持问题做出了示范，激发了后 人研究可乘映射的热情如侯晋川给出了尬。( f ) 上秩不增的可乘映 射的刻画，进而得出了矩阵代数上保谱及保正规性可乘映射的刻画近 几年来，可乘映射的研究也取得了一些成果，但相对于矩阵代数上的线 性映射的情形比较，矩阵代数上的可乘映射方面的成果并不够丰富 1 2 3 无限维算子代数上的线性保持问题的研究 近十几年来，人们对无限维算子代数上线性保持问题的研究展开了 普遍关注并得到了快速发展，对这方面问题的研究所用的方法与有限维 情形也不同。用- 8 ( x ) 表示复b a n a e h 空间x 上有界线性算子全体作成 的b a n a c h 代数，f ( x ) 表示b ( x ) 中所有有限秩算子的集合算子代数 一般是指v o nn e u m a n n 代数，伊代数，更一般的就是b a n a c h 代数对 于b a n a c h 代数上的线性映射的研究似乎是从导算子6 ( 丁) = a t 一丁a 开始的，近年来，有些学者开始讨论b ( x ) 上某些抽象线性映射的表示 问题由于算子代数上线性或可加映射的保持问题在很多情形可转化到 保秩一或秩一不增的情形，因而，算子秩不变或秩不增的线性和可加映 5 一 黑龙江大学硕士学位论文 射的刻画就显得尤其重要1 9 8 9 年，侯晋川在f 3 2 ，9 2 9 9 4 0 j 中解决 了算子秩不增的线性映射的刻画问题证明了下述两个定理： 定理g 1 设咖是a ( x ) 上弱连续线性映射，把一秩算子映为最多 一秩的算子，则必为下列形式之一； ( i ) 存在a b ( x ) ，b b ( x ) 使得 咖( t ) = a t b ； ( i i ) 存在a b ( x _ x ) ，和b 8 ( x _ x + ) 使得 ( 丁) = a t + 口； ( i i i ) 存在弱一弱连续线性映射6 ( ) ：b ( x ) jx 以及矗x 使得 咖( t ) = a ( r ) 圆矗； ( i v ) 存在弱一弱+ 连续线性映射a ( ) ：b ( x ) 叶x + 以及。o x 使 得 妒( r ) = s o oa ( t ) 定理g 2 设是b ( x ) 上弱连续线性映射，则西为保秩映射的充 要条件是妒必为下列形式之一： ( i ) 存在单射算子a b ) ，和稠值域算子b b ( x ) 使得 妒( 丁) = a t b ； ( i i ) 存在单射算子a b ( x + 。x ) ，和稠值域算子beb ( x - ) 使得 ( 丁) = a t 4 b 。 2 0 0 3 年，张国栋在文献【3 4 】给出了s ( h ) 上的保秩线性映射的刻 画，得到了定理： 一6 一 第1 章绪论 定理h 设l 为s ( h ) 上的弱连续实线性映射，则l 是保秩的充要 条件是l 必为下列形式之一： ( i ) 存在e 1 ，一1 ) ，单射算子a b ( 日) ，使得对任意的t s ( h ) 有 l ( t ) = s a t a + ； ( i i ) 存在日上单射有界共轭线性算子a 及 l ，一1 ) ，使得对任 意的t s ( h ) 有 l ( t ) = e a t a + 借助于保秩问题的结果，文献 3 2 ，9 2 9 9 4 0 】给出了b ( x ) 上保 正线性映射、保谱线性映射的刻画；文献( 3 3 i 给出了b ( x ) 上傈逆线性 映射的刻画；关于b a n a c h 代数与c + 代数上线性保持的其它结果可参 看文献f 3 5 4 4 近年来，有一些文献讨论了算子代数上可加性保持的问题，并得到了 许多深刻的结果如1 9 9 3 年，m o m a d i 6 和p s e m r l 在文献f 2 3 ，2 3 9 2 5 6 中首先亥崾6 了双边保秩一的可加满射给出如下定理： 定理i 令x 为数域f 上b a n a c h 空间，：f ( x ) 斗f ( x ) 为双 边保秩一的可加满射则下列陈述之一成立： ( 1 ) 存在环自同构7 _ ：f - f 以及r 一拟线性双射a ：x - x 和 c ：x + 一x + 使得( zo f ) = a xog r ，对所有z x 及厂x + 都成 立 ( 2 ) 存在环自同构r ：fof 以及r 一拟线性双射a ：x 4 斗x 和 c ：义_ x + 使得西扛 ，) = a f 圆c x 对所有x x 及，x + 都成 立 2 0 0 2 年，b k u z m a 4 5 ，1 7 5 , - 一1 8 7 在讨论秩一不增可加满射的基础 上又得到了如下结论； 一7 黑龙江大学硕士学位论文 定理j 设庐：f ( x ) _ l ，。或：f ( x ) _ 丑是保一秩算子线性张 的可加映射进而，设d i m s p a n ( r n g ( ) ) 2 则存在环同态7 _ ：f - - f 使得硇是r 一拟线性的，且具有下列4 种不同形式之一： ( 1 ) 妒扛圆，) = a z c f ，其中a ：x - x 和c ：x + _ x + 都是 r 一拟线性的； ( 2 ) d ( z f ) = a foc x ，其中a ：x + - x 和c ：肖_ x 都是 r 一拟线性的； ( 3 ) 妒 f ) = 湘 o ( x ，) ，其中0 ：f ( x ) - x 4 是r 一拟线性 的； ( 4 ) 西( 。 f ) = 妒( zo ，) og o ，其中妒：f ( x ) _ x 是r 一拟线性 的 此外，文献f 3 1 ，4 5 6 1 1 刻画了保秩一幂等性、秩一幂零性的可加 映射；文献【2 2 ，6 2 7 2 给出了b ( x ) 上保谱可加满射的刻画；h o u 在【4 6 ，2 3 8 8 2 3 9 2 中刻画了双边保零积的可加映射 1 9 9 6 年，l m o l n a r 4 ”刻画了b ( h ) 上双边保算子正交性的可加双 射( 日是无限维可分h i l b e r t 空间) 2 0 0 2 年，白朝芳和侯晋川【4 8 j 对更一 般的情形进行了讨论，得出了b ( h ) 上“保正交性的可加映射”和“与 ) ， 2 交换的可加映射”的刻画其中日是无限维复h i l b e r t 空间关于 其它结果可参考文献 4 9 ，5 0 ，5 l ，5 2 】因为可加映射的研究要比线性映射 的研究更困难，从而，相对于线性保持来说，可加保持方面的问题很多 但成果很少 1 9 9 4 年，h o c h w a l d 在文章【3 0 ，3 3 9 3 5 1 】中证明了矩阵代数上的 保谱可乘映射是自同构进而推测当对映射加上满射性条件时此结论对 无限维的情形也应当成立1 9 9 8 年，h o uf 5 3 ，3 3 7 3 4 5 刻画了使某 个一秩算子秩不增且满足条件曲 f ) = a 曲( ) 的可乘映射的构造得到 如下定理： 一8 一 第1 章绪论 定理k 设咖：b ( x ) - 9 b ( y ) 是满足条件( 口，) = ( j ) 对任一 标量n 都成立的可乘映射如果毋把某个一秩算子映为秩不大于一的算 子，且如果子集 y ：存在一秩算子t ，使得y r ( ( r ) ) ) 张成的闭线性 子空间m 有补子空间，则存在 ( i ) 可逆有界线性算子a ：x _ m ， ( i i ) 把每个一秩算子都映成零的可乘映射o ：b ( x ) _ b ( ) ， ( 满足方程 西1 2 ( t ) = a t a a o + 曲1 2 ( t ) p o 的映射咖1 2 ：b ( x ) _ b ( n ，m ) ，其中a o = 机2 ( ，) ，p o = 庐o ( ，) ，a o 局= 0 ， 使得按空间分解x = m o n 对所有t b ( x ) 都有 卵) = ( a i 。1 嬲) 并在此定理的基础上获得了保谱、保谱半径、保数值域、保数值半径、 保正规性、保正性等可乘满射的具体刻画从而肯定的回答了h o c h w a l d 的上述猜测而l m o l n a r 在 5 4 ，1 1 3 ，【5 5 ，1 8 9 2 0 6 】中对b ( h ) 上 的可乘映射进行了讨论，并证明了如下结果： 定理l 设妒：日( 日) - - + b ( h ) 是保秩的连续可乘映射，其中日是 维数不小于3 的可分h i l b e r t 空间，则存在有界线性算子或有界共轭线 性算子t ，s ：日寸h 使得咖( a ) = t a s 对所有a b ( h ) 都成立 有关可乘保持问题的一些结果可参看文献【5 6 ，5 7 ，5 8 】值得注意的 是许多对线性映射有意义的保持问题对可乘映射却是平凡的，如保幂零 元问题、保交换性问题等等 论。 1 2 4 无限维算子代数上的保幂等线性映射的研究 关于无限维算子代数上保幂等线性映射，近年来也有一些文献讨 一9 一 黑龙江大学硕士学位论文 侯晋川推广了mb r e a r 和p s e m r l 5 9 1 相应的结果，得到了保秩 一幂等性线性映射的刻画，给出了以下定理： 定理m 设咖：f ( x ) 时f ( y ) 为线性映射，如果把一秩幂等算 子映为一秩幂等算子，且每个一秩幂等算子都属于西的值域，则咖必为 f 列形式之一： ( i ) 存在可逆算子a b ( x ，y ) 使得对v t f ) ，有 咖( t ) = a t a _ 1 ； ( i i ) 存在可逆算子a b ( x + ，y ) 使得对v t f ( x ) ，有 庐口) = a t + a 一 且在此情形x 和y 是自反的 1 9 9 8 年，m b r e a r 和p s e m r l 在文献 6 0 】中给出了如下定理： 定理n 设a 是一b a n a c h 代数，b 是b a n a c h 空间x 上的标准 算子代数，设：a _ b 是保可逆的线性满射，则咖保幂等 2 0 0 0 年，b a u p e t i t 在文献 3 5 】中刻画了保谱线性映射，给出了如 下定理： 定理。设a ，b 是两个半单b a n a c h ( 或j o r d a n b a n a c h ) 代数， 设西：a _ 十b 是保谱的线性映射，则保幂等 2 0 0 2 年，崔健莲和侯晋川在文献 6 1 1 中刻画了b ( h ) 上的保幂等 映射，给出了如下定理： 定理p 设日是一无限维复h i l b e r t 空间，p 是b ( h ) 上所有 幂等算子的集合设毋：b ( h ) - 4 b ( h ) 为满射，那么对每一个a 一l ，l ，2 ，3 ，i 1 ，j 和任意a ，b b ( ) 都有 a a b p 车 ( a ) 一a ( b ) p 一1 0 第1 章绪论 成立，当且仅当存在日上的一连续可逆线性或共轭线性算子t ，使得对 v a b ( h ) ，有西( t ) = a t a _ 1 或对v a b ( h ) ，有( t ) = a t + a 套代数是一类最重要的非白伴算子代数，它的有限维模型就是上三 角块矩阵代数由于非平凡的套代数不是半单的b a n a c h 代数，这使 得其上的线性保持问题的研究变得更为困难，崔建连和侯晋川在文献 f 3 1 ，2 6 7 2 8 2 1 中刻画了套代数上的保幂等线性映射，给出了相应的刻 画形式。 1 3 本章小结 在本章中，我们首先介绍了幂等算子的研究意义和研究现状，我们 还了解了什么是线性保持问题；保持问题的研究意义；介绍了国内外在 保持问题方面研究的概况、现状以及最新进展；并列举了一些重要结论 同时，特别介绍了无限维算子代数上保幂等线性映射的研究现状及发展 趋势。 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章算子代数上幂等算子及保幂等线性映射 本章中，我们将讨论无限维算子代数上幂等算子及保幂等线性映 射、给出幂等算子的性质和保幂等线性映射所具有的形式从而推广刘 绍武老师文献 1 】的结论 2 1 幂等算子的性质 定理1 1 秩为n 的幂等算子可表示为礼个相互正交的秩一幂等算 子的和 证明设尸= y i o 肌，其中 y d t ：1 和 g d t = ，是两线性无关组 若p 2 = 尸， 则有 y i 。g i = ( 饥。吼) 2 i = li = 1 nnnn = 9 i ( 鳓) ( 饥。劬) = ( 蛳 9 ：( y j ) g j ) # 1j = li = 1 j = l 则y i ( g i ( y j ) g j g i ) = 0 z 一1 j 二l 有肌( 协) m = 皿 j = l 可得g i ( y i ) = 1 ，g l ( y j ) = o ( i j ) 即y 。 9 i i = 1 ，2 ，扎是佗个相互正交的幂等元 此结论的特殊情形，即对有限维情形，我们有下面结果： 结论1 2 秩n 的幂等矩阵可表示为n 个相互正交的秩一幂等阵的 和 推论1 3 设p q 是两有限秩正交幂等算子，则 r a n k ( p + q ) = r a n k p + r a n k q 第2 章算子代数上幂等算子及保幂等线性映射 证明 由定理1 1 ， q = y j o g j ，= 1 f i ( z i ) = 1 ，f | f ( x j ) = 0 0 j ) g i ( y i ) = 1 ，g ( y j ) = o ( i j ) 由 尸。二i = 1 j = i ( 珊) ( 。野) = o ， n 即3 2 z l ( f i ( y j ) g j ) = 0 得 ( 弘) = 0 同理由 q p = 0 ，可得 9 j ( x 。) = 0 任取 珊) ，j = l ，2 ，m ，若 n 九如+ 珊：o t = 1 分别有 k = 1 ，2 ，一，n 贝0 分另0 得至u a 。= 0 ，i = 1 ，2 ，礼 则= 0 于是 n x 2 ，z 。，- ，) 是一线性无关组 则有r a n k ( p + q ) = r a n k p + r a n k q 引理1 4 设a 为h i l b e r t 空间h 上的一幂等算子，r 为a 的值 域空间，k 为0 的核空间，则日= r ok 证明先证= 冗+ k ，日 由z = a x + f 一a ) z 又由a x r ，( ，a ) x k ， 贝4h = r + k 若y r nk ，则f = a y = 0 于是r nk = f 0 ) 1 3 茁 。h = 尸 没得 o | | 蜥 十z， 1 时， 先证n = 2 时a n 没a = z f + g g 其中z ，y 线性无关且f ，g 线性无关 由l 的结论，可得若证a q ，只需证 西( z o ，) 西( 可圆9 ) + 庐( 圆目) 曲( z o ，) = 西【( z o ，) ( 0 9 ) + ( 0 9 ) ( z o ，) ( ) 由对称性，只需考虑下面三种情形 ( i ) ，( z ) 0 ，g ( y ) 0 ， ( a ) 若f ( y ) = 0 ，g ( x ) = 0 ， 则南o f 与盎0 9 是两正交幂等元- 则由引理2 1 ，得a n ( b ) 若f ( y ) 0 ，9 ( x ) = 0 ， 则由( a ) ，得z ( ，一裂9 ) + y g q 则有 m 灿圆卅m 鲫m 舻器眦嘞) 砌。卅砌 洲( 姻鲥 第2 章算子代数上幂等算子及保幂等线性映射 州哟，) ( ”圆卅( g 蚓( 删一器州姻烈。卅( ( 哟训 又由1 ，得x g + y g q 则( * ) 式成立 则a n ( c ) 若f ( y ) 0 ，g ( x ) 0 ， 则存在h x + ，使 ( z ) = g ( x ) ，h ( y ) = 0 则由( b ) ，得z f4 - 圆( g h ) q 于是有 曲扛p ，) 妒( p 9 ) + ( 圆g ) 庐 o ，) 一忙o ，) ( o ) + 匆o ) 曲o ，) j 妒 扛 ，) ( 9 0 9 ) + 悖 g ) 扛o ，) 1 一毋 ( z o ，) h ) + ( y o ) 扛固f ) 又由( b ) ，得z 。，+ y 。( 簧骞，一九) q ， 则有 器z 。，) 帕圆，) 制y 鲫m 。，) 州( 姻刖( 栅( 啪( 帼川 = 器州饱，) ( 。，) 怕鲫( ，) 刊( ，) ( 渊怕( 哟，) 由1 ，得z f + y 圆f q 则( * ) 式成立 则q ( i i ) f ( x ) 0 9 ( 9 ) = 0 ， 则存在h x8 ，使h ( v ) 0 由( i ) ，得zo f + y ( a h + g ) qv a f o ) 有忙o ，+ y og ) + a o h q 由引理23 ，得a q 1 7 黑龙江大学硕士学位论文 ( i i i ) f ( x ) = 0 ，g b ) = 0 ， 则存在h x + ，使h ( x ) 0 ， 由( i ) ，得z ( ，+ a h ) 十口og q ，v a f o ， 有( 寥o ，+ 0 9 ) + a z o n 由引理2 3 ，得a q 综上，得r a n k a = 2 时a q 当，a n k a 3 时， 假设r a n k a 1 ， 则p 必为幂等元，且由定理1 1 ，得p = y i g i ， 其中玑 9 i ，i = l ，2 ，n 是n 个相互正交幂等元 由定理2 5 ，得毋为单射则咖为双射且。保幂等 则o f = 西“( p ) = 西。( 佻 g i ) i = 1 n 则由引理2l 及推论1 3 ，得r a n k ( x o f ) = 庐- 1 ( y i 0 9 i ) 1 ，矛盾 则西保秩一幂等 下证保秩一 由保秩一幂等，则若f ( x ) 0 ，有西 o ，) 是秩一的 若f ( x ) = o ，取y o x 使f ( y o ) = 1 ， 令y l = y o + z ，y 2 = y o x ， 由f ( y i ) = j ，i = l j2 ， 故存在x ，9 。x + 有( 玑o f ) = u i 圆g i 一2 1 黑龙江大学硕士学位论文 于是西( ( l + y 2 ) ，) = u l g l + “2o g z 又由咖( ( 9 l + y 2 ) 圆f ) = 2 咖( 9 0 ，) 为秩一算子， 则札i 与“2 线性无关或9 i 与耽相关 于是西( z o f ) = ；西( ( 9 1 一y 2 ) o ，) 的秩为一 则曲保秩一 定理2 8 若线性满射声：r ( x ) 斗r ( y ) 是j o r d a n 同态，则西必 为下列形式之一： ( i ) 存在可逆算子a b ( x ，y ) ，使得对v t ，有毋口) = a t a 。； ( i i ) 存在可逆算子a b + ，y ) ，使得对v t ，有( t ) = a t a ， 在此情形下，x 和y 是自反的 证明由定理2 7 ，得保秩一，于是庐必为下列形式之一： ( 1 ) 存在线性单射a ：x 一xc ：x + 叶x + 使 p ，) = a x q c f ( 2 ) 存在线性单射a ：x + - + xc ：x 叶x + 使西( z o f ) = a f c x 由砂保秩一幂等性，则 若，( z ) 0 有南o ，幂等 则a 君写o g ，或a f g 南幂等， 则v f ( a x ) = ，( z ) 或c x ( a f ) = f ( x ) 若f ( x ) = 0 ，则存在g x + 使g ( x ) 0 则c ( a x ) = 【c ( f + 9 ) ( a z ) 一c g ( a z ) = ( f + 9 ) ( z ) 一9 ( z ) = _ r 扛) 同理或c z ( a f ) = f ( x ) 于是有c f ( a x ) = ，( z ) 对y x xf x + 成立 或c 。( a f ) = ，( 。) 对v x xf x + 成立 显然a ，c 都可逆，则无论哪种情形都有c = ( a 一) + ， 由a “是闭算子，而e 处处有定义，则由闭图定理得a ，g 均有界 第2 章算子代数上幂等算子及保幂等线性映射 设庐具有形式( 1 ) ，取v z ，y x ，x ，则 ( 西( z ，) ) ( ) = ( a x o c f ) ( y ) = c f ( y ) a x = f ( a 一1 y ) a x = ( a ( x 圆f ) a 一1 ) g 故f i ) 得证 若妒具有形式( 2 ) ，则对v x x ，x + 有 咖( zo ，) = a ( ， x ) a = a ( x ，) + a ， 下证x 的自反性 对v g x 且9 0 取y x 使9 ( y ) = 1 贝0y g r n g ( 妒) 即存在t o f ( x ) 使a a _ 1 = y 圆9 ，则嚣= a 一1 9oa + 9 则a 8 9 k x ，其中k ：x - - + x ”是自然嵌入 即r r t g ( a + 、ck x 由a 4 的可逆性，有 女x = x ” 则x 自反 综上，得证结论 定理2 9 令j l ：r ( x ) _ f ( y ) 是线性满射，则下列命题等价 ( j ) 咖保幂等 ( 2 ) 西是j o r d a n 同态 ( 3 ) 妒必为卜列形式之一； ( i ) 存在可逆算予a b ( x ，y ) ，使对v t ，有庐( t ) = a t a _ 1 ； ( i i ) 存在可逆算子a u ( x + ，y ) ，使对v t ，有o ( t ) = a t + a ， 且在此情形下，x 和y 自反 ( 4 ) 西是同构或反同构 证明可由定理2 4 及定理2 8 立得 引理2 1 0 设p 是b ( x ) 上一幂等算子，则存在b ( x ) 中一秩一 幂等算子q ，使p 口= q = q p 一2 3 黑龙江大学硕士学位论文 证明取，x + 满足p + ，= f ，任取x l x 且满足，( z 1 ) = l ， 则f ( p x l ) = ( p + ，) ( 2 c 1 ) = ，( 。1 ) = 1 令z = p x l ，于是有p x = o 令 q = 国| ， 则p q = ( p x ) ，= zq f = q = x 圆( p + f ) = q p 定理2 1 1 若线性满射妒：b ( x ) _ b ( z ) 是j o r d a n 同态，则西在 f ( x ) 的限制曲h x ) 保秩一 证明由e l f ( x ) 是j o r d a n 同态，则据定理2 6 ，得e l f ( x ) 为单射 先证西i f ( x 、保秩一幂等 设茹 ，为秩一幂等元，则o ，) 必为幂等元 令p = 咖( 茁 ，) ， 若r a n k p 】， 由引理2 1 0 ，得存在异于p 的秩一幂等算子q 1 满足p q l = q 1 = q 1 p 设9 2 = p q l ，则p = q l + q 2 且q t q 2 = q 2 q 1 = 0 且9 2 亦幂等 令p = 西。慨) ，i = l ，2 ，则zo f = p 1 + p 2 且最p 2 = p 2p 1 = o 此与z ，为秩一算子矛盾，则r a n k ( xo ，) = 1 即西k x ) 保秩一幂等，于是同定理2 7 的保秩一的证明方法， 可得e l f ( x ) 保秩一 定理2 1 2 若线性满射妒：b ( x ) _ b ( y ) 是j o r d a n 同态，则币在 f ( x ) 的限制e l f ( x ) 必为下列形式之一： ( i ) 存在可逆算子a b ( x ，y ) ，使对v t f ( x ) ，有币( t ) = a t a ； ( i i ) 存在可逆算子a 8 ( x + ，y ) ，使对v t f ) ，有( 丁) = a t 4 a ， 且在此情形下，x 和y 自反 证明由定理2 1 1 ，得纠f ( x ) 将f ) 映为f ( y ) 于是，由定理2 9 可得证结论 定理2 1 3 令：b ( x ) _ b ( y ) 是弱连续的线性满射，则下列命 2 4 第2 章算子代数上幂等算子及保幂等线性映射 题等价 ( 1 ) 西保幂等 ( 2 ) 驴是j o r d a n 同态 f 3 ) 9 必为下列形式之一； ( i ) 存在可逆算子a b ( x ，y ) ，使对v t ，有( t ) = a t a 。； ( i i ) 存在可逆算子a b ( x + ，y ) ，使对v t ，有西口) = a t 4 a - 。， 且在此情形下，x 和y 自反 ( 4 ) 6 是同构或反同构 证明由于有限秩算子全体在b ( x ) 中弱稠及定理2 1 2 立得 引理2 1 4 设a 是数域f ( f = r 或e ) 上的一代数，咖：b ( x ) - - ) a 是保幂等的线性映射，则对于b ( x ) 上的任一幂等元p 及秩一算子a ， 若p a = o = a p ，贝4 西( n ) 西( p ) = 妒( o ) = 妒( p ) ( n ) 证明将秩一算子a 分情形讨论 ( i ) 若a = a qq 是秩一幂等算子，则p q = q = q p 则p q 和q 是两相互正交的幂等算子 则( 尸一q ) ( 口) = 西( q ) 庐( | p q ) = 0 贝4 西( p ) 西( q ) = ( 口) = ( g ) ( p ) 于是毋( 尸) 曲( n ) = ( o ) = 曲( n ) 咖( p ) 得证结论 ( i j ) 若a = z f 是一个非零幂等元且p z = x ，p + f = ， 由0 f = p + f ，则存在z x 使y ( z ) = 1 且p z = z 令只= 陋+ z ) o ，玛= # o f 则有n = 只一尼 由n ，尸2 为两秩一幂等算子且满足p p l = 只= 只p ，i = 1 2 ， 由( i ) ，得妒( j d ) 庐( 只) = ( 只) = ( 只) 西( 尸) ，i = 1 ，2 因止e 毋( ，) ) 妒( n ) = 咖( n ) = ( 。) 妒( p ) 得证 定理2 1 5 若线性满射：b ( x ) 寸b ( y ) 是保幂等的，p 为b ( x ) 中所有幂等算子的线性生成空间( 尸= t i n p s ( z ) t p 2 = p ) ) ，则西在 2 5 黑龙江大