（基础数学专业论文）l拓扑空间的几种超紧性.pdf

l 一拓扑空间的几种超紧性 基础数学吴玉梅指导老师马保国教授 摘要 在l 一拓扑空间中，a 一相关远域族是n 一远域族的推广，基于它建立的超紧性和i ， i i 超仿紧性的许多性质已经被详细地讨论和证明。但是，基于n 一相关远域族建立的可数 超紧性、i i i 超仿紧性、弱超仿紧性的研究并没有本文引入并讨论以上三种超紧性。 本文由四章组成，第一章为预备知识，主要是介绍一些常用的符号、记号以及给出 其它章所涉及的一些主要概念 第二章引入并研究可数超紧性。先给出可数超紧性的定义，并且证明它是闭遗传的、 弱同胚不变的、可数良紧的等然后借助于序列、开覆盖与l i n d e l f y 性质等对它的特征 进行刻划。 第三章引入并研究i i i 超仿紧性。首先给出i i i 超仿紧性的概念，并且说明它与i i i 强 f 仿紧性、i i 超仿紧性的关系。然后得出它是“l 一好的推广”、弱同胚不变的、闭遗传 的等结果。 第四章引入并研究了弱超仿紧性首先定义弱超仿紧性的概念；其次研究它的诸多 性质 关键词：l f u z z y 拓扑空间 i i i 超仿紧性 答辩日期：删铲1 , n 一相关远域族可数超紧性 弱超仿紧性 指导教啼签字；勿矽易7 钐l 指导教! l i 甄签字；，纠勿髟j ，j o n l t o p o l o g i c a ls p a c e s s e v e r a lk i n d so f u l t r a - f u z z yc o m p a c t n e s s a b s t r a c t ：i nl - t o p o l o g i c a ls p a c e s o r e l a t i v er - n e i g h b o r h o o df a m i l yi sg e n e r a l i z a t i o no f q r n e i g h b o r h o o df a m i l y ，b yw h i c hu l t r a - f u z z yc o m p a c t n e s sa n di , i iu l t r a p a r a c o m p a c t n e s sa r ed e f i n e d t h e i rp r o p e r t i e sh a v eb e e nd i s c u s s e da n dp r o v e d b u tn os t u d yh a s b e e nd o n eo nc o u n t a b l yu l t r a - f u z z yc o m p a c t n e s s i i iu l t r a - p a r a c o m p a c t h e s sa n dw e a k l y u l t r a - p a r a c o m p a c t n e s s ，w h i c ha r ed e f i n e db yo r e l a t i v er - n e i g h b o r h o o df a m i l y , i nt h i sp 孙 p e r ，t h r e ek i h d so fu l t r a - f u z z yc o m p a c t n e s sa r ei n t r o d u c e da n dd i s c u s s e d t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u r c h a p t e r s i nt h ef i r s tp r e k n o w l e d g ec h a p t e r ，s o m em a r k s a n ds y m b o l sa r er e g u l a r i z e da n ds o m ei m p o r t a n tc o n c e p t sw h i c hw i l lb eu s e di no t h e r c h a p t e r sa r ep r e s e n t e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，c o u n t a b l y u l t r a f u z z yc o m p a c t n e s si s i n t r o d u c e da n ds t u d i e d f i r s t l y , i ti sd e f i n e da n d t h er e s u l t st h a ti ti sh e r e d i t a r yw i t hr e s p e c tt oc l o s e ds u b s e t s ，a w e a k l yt o p o l o g i c a lp r o p e r t ya n d ac o u n t a b l yn c o m p a c t n e s sa r ep r o v e d s e c o n d l y i t ss o m e c h a r a c t e r i z a t i o n sa r ed i s c u s s e db ym e a n so ft h ec o n c e p t so ft h es e q u e n c e ，o p e nc o v e ra n d l i n d e l s fp r o p e r t y i nt h et h i r dc h a p t e r ，i i iu l t r a p a r a c o m p a c t n e s si si n t r o d u c e da n ds t u d i e d f i r s t l y ，i i i u l t r a p a r a c o m p a c t n e s s i sd e f i n e da n dt w or e l a t i o n sb e t w e e ni ta n di i is t r o n gf u z z yp a r a - c o m p a c t n e s s ，b e w e e ni ta n d i iu l t r a - p a r a c o m p a e t n e s sa r ep r o v e d f u r t h e r m o r e ，t h er e s u l t s t h a ti ti sh e r e d i t a r yw i t hr e s p e c tt oc l o s e ds u b s e t s ，aw e a k l yt o p o l o g i c a lp r o p e r t ya n da l g o o de x t e n s i o na r eo b t a i n e d i nt h ef o u r t h c h a p t e r ，w e a k l yu l t r a - p a r a c o m p a c t n e s s i si n t r o d u c e da n d s t u d i e d f i r s t l y i ti sd e f i n e d ；t h e ni t sp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d k e y w o r d s ：l - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e a - r e l a t i v er - n e i g h b o r h o o df a m i l y c o u n t a b l yu l t r a - f u z z yc o m p a c t n e s s i i iu l t r a - p a r a c o m p a c t n e s s w e a k l yu l t r a p a r a c o m p a c t n e s s w uy um e i ( p u r em a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f m ab a og u o 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得延安大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 量圣终 日期丕丝幺左。垄 关于论文使用授权的说明 本人完全了解延安大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属延安大学。本人保证毕业离校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为延安大学。学校有权保留送交论文的复印件， 允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。 本人签名 导师签名 臼期：丝芝幺z 。坦 日期 茹理名! ! z 生 l 一拓扑空间的几种超紧性 绪论 1 9 8 6 年，c l c h a n g 以l ，a z a d e h 的f u z z y 集理论【1 】为骨架，在 2 中引入了f u z z y 拓扑空间的概念，由于层次结构的特点，使f u z z y 拓扑具有不同于一般拓扑学的风格， 与完备格代数的紧密联系又赋予了它以新的活力，作为一门新兴的学科，它的理论框架 结构已经发展的较为完善，逐渐成为一门成熟的学科。 紧性是拓扑学中最重要的概念之一，由于l 一拓扑空间比一般拓扑空间多了一个层次 结构，所以就有不同的紧性、可数紧性、仿紧性和弱仿紧性近十年来许多学者对l 一拓 扑学中的各种紧性进行了较为深入的研究已经形成了一套较完善的理论体系如文 3 7 】 的紧性，文【8 1 4 】的可数紧性，文【1 5 2 1 的仿紧性。文 2 2 】的弱仿紧性。以上各种紧性 都是利用a 一远域族引入的。空间的超紧性是文 2 3 、【3 首先建立的，该超紧性以底 空间的紧性为前导概念，以致不便作出它的几何刻划。文 2 4 引入q 一相关远域族的概 念，它是n 一远域族的推广，在此基础上引入了超紧性，从而使该超紧性包括几何刻划 在内的种种刻划得以实现。继而，文 2 5 、【2 6 给出了子集超紧性的概念，并讨论了它 的若干特征及一系列重要性质。文【2 8 】、 2 9 分别建立了t 、i i 超仿紧 生的概念，讨论 了它们的性质，结果表明二者郡具有 3 j 中仿紧性的许多性质。但是基于一相关远域族 而引入的弱仿紧性的研究迄今我们并未见到。 鉴于此，由n 相关远域族而引入可数超紧性、i i i 超仿紧性和弱超仿紧性的概念 是非常有意义的，这样就更加完善和丰富了可数紧性、仿紧性和弱仿紧性的理论体系。 本文分为四章，第一章为预备知识，主要规定一些符号和记号以及给出第二、三、 四章所涉及的和所需要的概念 第二章引入并研究可数超紧性。首先给出可数超紧性的定义，并且讨论它的基本性 质，然后研究它的特征。 第三章引入并研究i i i 超仿紧性首先给出i i i 超仿紧性的概念；其次研究它的一系 列性质。 第四章引入并研究弱超仿紧性。首先引入弱超仿紧性的概念，之后研究它的性质。 墨= 堑i 窒回煎垦盐塑鉴壁 2 第一章预备知识 设l = ( l ，a ，v ) 是f u z z y 格，即具有逆序对合对应的完全分配格。x 为非空集 则x 上l f u z z y 集的全体集记作l x ，它点式地从l 诱导出格的运算使其成为f u z z y 格。 l x 中的最大元和最小元分别记作1 x 和0 x 。设d 为上l - f u z z y 拓扑，则( l x ，6 ) 称 为l f u z z y 拓扑空间。6 中元称作6 一开l f u z z y 集，5 中元称作6 一闭l f u z z y 集， 设( 三x ，6 ) 是l f 拓扑空间，m ( l ) 与m ( l x ) 分别表示l 与l x 中所有分子之 集。p ( l ) 表示l 中异于1 的全体素元之集v a m ( l ) ，p ( ) 表示d 的最大极 小集，_ 8 + ( o ) = 卢( o ) am ( l ) 表示“的标准极小集，对偶地是极大集，( n ) 表示。 的最大极大集，o ( 。) = a ( a ) a p ( l ) 。对v ael 。，a 。 = z x ：a ( x ) 。) ， f 。( a ) = z x ：a ( x ) 莲n ) 。记号2 峥) 表示集族西的一切有限子族所构成的集族。 定义1 1 1 2 5 1设( l x ，6 ) 是l f 拓扑空间，p d ，r m ( l ) ，xex ，若 p 叩( 。，) ，则称偶对( p ，r ) 为z 的相关远域。设a l x ，血em ( l ) ，集族圣= f ( 只，n ) ) 倒c xm ( l ) ，称作a 的。一相关远域族，若v x a ，j i ，使( 只，q ) 是上的相关远域，这里a 【a 】= ( z x ：a ( z ) 之q 。称雪是a 的d 一一相关远域族， 若3 re 卢4 ( ) 使圣为a 的r 一相关远域族。 当a = 1 x 时，若西是1 x 的。一相关远域族，则l ，西是1 x 的a 一相关远域 族，这时称西为1 x 的相关远域， 不难看出，若中= 只 吲是a 的。一远域族，则= ( 只，o ) ) 叫是a 的a 一相 关远域族。反之，显然不必成立，因此口一相关远域族的概念是o z 一远域族的自然推广。 定义112 1 筠1 设( l 。，6 ) 是l f 拓扑空间，a l x 如果a 的任一。一相关远域族 都有有限子族构成a 的a 一一相关远域族，则称a 为( l x ，6 ) 中的超紧集，当a = l x 时，称( 工爿，6 ) 为超紧空间。 定义1 1 3e 3 设( l x ，6 ) 与( l y ，p ) 是l f 拓扑空间。，：( l x ，d ) _ ( l y ，芦) 是l 值 z a d e h 型函数， ( i ) 如果v b p 有厂1 ( _ b ) 6 ，则称，是连续的； ( i i ) 如果v u 6 ) ，有f ( y ) 肛( 厂( a ) p ) ，剐称，是开( 闭) 的。 定义11 4 【3 】设( l x ，6 ) 与( ，) 是l f 拓扑空间，如果存在一一的满的l 值z a d e h 型函数，：( l x ，6 ) - ( l y ，p ) 且f 与，_ 1 都是连续的，则称( l x ，d ) 与( l y ，肛) 强同胚， 簦三童里塾垫墅焦 3 记作( l x ，6 ) 竺w ( 三y ，p ) ，f 称为强同胚陕射。被强同胚映射所保持的性质称为弱同胚不 变性质 定义1 1 5 设l 1 和如是两个f 格，x 和y 是两个非空分明集，p ：x - y 是分明映射，q ：l 1 。l 2 是序同态，由p ，q 按下列方式诱导出一个从三f 到 的映射 ，：fjl 参， ，( 4 ) ( ) = v q ( a ( 。) ) ：p ( z ) = y ，z x ) ，a l f ，y y 则称，为广义z a d e h 型函数，并记作f = p 9 容易验证，对于b l ，有厂1 ( 启) = q - 1 ob o p ，对于任意z a m + ( 工f ) ，有 ，( z ) = p ( z ) 譬( a ) 。 定义1 1 6 f 3 0 l 设( f ，与( 上 ，芦) 是l f 拓扑空间，= p 。：( f ，_ ( 萝，芦) 是 广义z a d e h 型函数， ( i ) 如果v b p 有f - t ( b ) 6 ，则称，是连续的； ( i i ) 如果v u d j ) ，有，( u ) ( ，) 芦) ，则称，是开( 闭) 的。 定义1 1 7 【3 1设( 工x ，6 ) 是l f 拓扑空间，如果v a 6 ，v r l ，) ( n ( d ) e6 ，则称 ( l x ，6 ) 为弱诱导空间。 第二章可数超紧性 2 1 可数超紧性的定义与基本性质 定义2 1 1设( l x ，d ) 是l f 拓扑空间，a l 爿，称a 是可数超紧集，如果对 v o m ( l ) 及a 的每个可数o t 一相关远域族都有有限子族构成a 的。一一相关远域族。 当1 x 是可数超紧集时，称( l x ，6 ) 是可数超紧的l f 拓扑空间 由定义2 1 1 直接可得 定理2 ，1 1 设a 是l f 拓扑空间( l x ，d ) 中的超紧集，则a 也是( l x ，6 ) 中的可数 超紧集， 定义2 1 2 n 设( l x ，6 ) 是l f 拓扑空间，a l x 称a 是可数良紧集，如果对 任意a m ( l ) 及a 的每个可数。一远域族西都有有限子族皿使是a 的a 一一远域 族。当1 x 是可数良紧集时，则称( l x ，5 ) 是可数良紧的l f 拓扑空间。 墨二堑盐窒间塑丛壁塑鉴壁 定理2 1 2 设( 上x ，j ) 是l f 拓扑空间，ael 。若a 是可数超紧集，则a 也是 可数良紧集。 证明：设圣是a 的任一可数。一远域族 m ( l ) ) ，则v x a q 】 j i ，只垂，r ， 卢+ ( 0 ：) ，使只q ( 茁n ) 于是 皿= ( 只，t i ) ：i ，) 是a 的可数n 一相关远域族。由条件a 是可数超紧集，有 巫0 _ ( 蜀k ，r i ) ：= l ，2 ，n ) 是皿的有限子族及r 卢+ ( a ) 使皿。是a 的r 一相关远域族。设 中o = ( 局：j = l ，2 ，m 这里v 南扎，p i k 皿o ， 且 巧s ，3 k n 使弓= r k 易见竹ls 嚣，且圣o 2 ( 引因为伊陋) 是定向集，所以取 v f 卢+ ( a ) 使f r ，庐r i k ，( k = 1 ，2 ，n ) ， 由a 旧 a 及田。是a 的r 一相关远域族知是a 的f 一远域族，故a 是可数良 紧集。 下面给出可数超紧集的一些基本性质。 定理2 1 3 设( l x ，d ) 是l f 拓扑空间，a l x 是可数超紧集，b d 7 ，则a b 是可数超紧集。 证明：设西= ( 只，r i ) ：i ，) 是c = a ab 的任一可数n 一相关远域族 ( a m ( l ) ) ，v x a m 有以下两种情形： ( i ) 当z c h 时，3 i i 使。ng 只； ( i i ) 当z a m g 嘲时，因c f o 】= 4 mn b f a 】，必有xgb m ，从而 x ( b 【a 】) = x ：b ( ) 芝a ) ， 所以z 。名b 取如卢+ ( q ) ，使x r 。甚b 。 令 皿= ( 只，囊) ) 诓，u ( b ，亿) ：。( b 【n 】) na 【0 1 ， 4 第二章可数超紧性 5 则是a 的可数口一相关远域族。于是存在皿。是皿的有限子族，以及r 卢+ ( n ) 使 皿。是a 的r 一相关远域族。易知 皿。茌 ( b ，) ：z ( b i l l ) 。n a 【a 】) ， 从而可设 皿o = ( b 。，r i k ) ；= l u ( 日，r x 。) ) 竺 n 0 ，z s ( b a 】) n a ，s = 1 ，2 ，m ) 取i 卢+ ( o ) 使i r ，i 芝( s = 1 ，m ) ，则由a v 】ca i r l 知皿。是a 的i 一相关远 域族。容易验证 = ( b k r i 女) ，k = 1 ，n ) 2 4 是c 的i 一的相关远域族。故c 是可数超紧集。 推论2 11 可数超紧l f 拓扑空间的任一闭子集都是可数超紧的。即可数超紧性是 闭遗传的。 定理2 1 4 设( l f ，6 ) 与( g ，曲是l f 拓扑空间，= p 4 ：( l f ，6 ) _ ( 谚，灿) 是连 续的广义z a d e h 型函数，q ：l l - - + l 2 是一一的满序同态，则当a 是( l f ，d ) 中的可数 超紧集时，f ( a ) 是( 工 ，p ) 中的可数超紧集。 证明：设q m ( l 2 ) ，则 垂= ( q j ，r j ) ：j e 厂) c 肛7 m ( l 2 ) 是，( a ) 的任一可数。一相关远域族。令a = q - 1 ( 。) ，因为q _ 1 是序同态，则a m ( l 1 ) 令 f - 1 ( 垂) = ( ，一1 ( q j ) ，b ) ：a ，= g 一1 ( q ) f ( 三1 ) ，j j ) ， 因为y = p ( x ) 且对v x a 有。 5a 。由，的保序性， ) f ( a ) 故 ，( z ) 2 p ( z ) g ( 口一1 ( q ) ) 2y a f ( a ) ， 即y ，( a ) 。由假设存在j j ，使 q j p 7 ，q m ( l 2 ) ，有y t j 基q j 从而可知， 厂1 ( 枞，) 基厂1 ( q ) ，即z q 基y - 1 ( 岛) 墨= 堑堑窒闻塑几种超紧性 。 一u 因此对 i x a ，3 j j ，使得 f - j ( 岛) ，a jem ( l 1 ) 有。gi - i ( 锄) ， 即，“( 西) 是a 的a 一相关远域族。 由a 是可数超紧集，可知存在垂的有限子族 = ( ( ，) ，i = 1 2 柚) 使得 厂1 ( 皿) = ( 厂1 ( q j 。) ，) ：a = q - t ( _ ) m ( l 。) ，江l ，n 是a 的a 一一相关远域族，即存在r _ 臼( ) 、) 使得 魄a i d ，象，。( ) 6 7 ，b = q - 1 ( 强) m ( l t ) 有 z a f - t ( q 矗) ， 令82 q ( r ) ，则e 卢+ ( a ) ，文1 3 0 1 引理1 1 ，有s 卢( o ) 使得e p ( 5 ) ，显然，皿是 f ( d ) 的8 一相关远域族。 对v y ，( a ) m ， ，( j 4 ) 扫) = vq ( a ( 。) ) 8 ， p 缸) ； 则存在z x ，p ( x ) = y ，使得g ( a ( z ) ) e = g ( r ) ，所以 r 兰g 一1 ( g ( a ( z ) ) jsa ( z j ，郎z _ f r j ， 那么存在i ，( ，- 1 ( q ) ，a ) ，一1 ( 皿) ，i = 1 ，2 ，n ，使得 ，q ) 以；2 g 一1 眩) m ( l t ) t 前垓g ，一】( ) 由可2p ( 石) ，研a ，得玑，( a ) ，即( ，( 删e 】，存在n ( q i 。，_ ) 皿，江 1 ，2 ，n ，使得 q 。p 7 ，r j i m ( l 2 ) 有y r j , 簦， 所以田是，( a ) 的e 一相关远域族，由e 卢+ ( s ) ，得皿是，( a ) 的8 - - - 相关远域族， s 卢+ ( q ) ，则田是s ( a ) 的一一相关远域族 一 筮三童里塾塑墅焦 7 推论2 1 2 设( 厶x ，6 ) 与( l y ，肛) 是l f 拓扑空间，：( l x ，6 ) - ( ，p ) 是连续的 l 值z a d e h 型函数，则当a 是( l x ，d ) 中的可数超紧集时，f ( a ) 是( l y ，且) 中的可数超 紧集。 推论2 1 3l f 拓扑空间的可数超紧 生是弱拓扑不变性。 定理2 15 设( 工x ，6 ) 与( l y ，p ) 是l f 拓扑空间，：( 三x ，6 ) _ ( 三7 ，p ) 是闭的l 值z a d e h 型函数，且v y ，m ( l y ) ，一1 ( * ) 是( l x ，6 ) 中的可数超紧集。若b 是( 上y ，p ) 的可数超紧集，则，_ 1 ( b ) 是( 工x ，6 ) 的可数超紧集。 证明：设b 是( l y ，肛) 中的可数超紧集，且 _ p = ( p t ，a t ) ：b 占，a t 。 彳( 工) ，t ，) ，( a m ( l ) ) 是f - 1 ( b ) 的可数一相关远域族。v y b ，y 。sb ，由，- 1 的保序性，f f l ( y 。) s 厂1 ( b ) ，知p 也是，- 1 ( y 。) 的可数理一相关远域族。由f _ 1 ( y 。) 的可数超紧性知p 有 有限子族 = ( 县，a t ，) ，j = l ，m 构成f - 1 ( y 。) 的n 一一相关远域族。令 b = 八p t ，= 八扎， j = 1j = l 。 则对v y ，( b ) 陋j ，有y a ，g ，( b ) a 否则，假设y a ，( 局) ，则，( b ) ( ) 2 ，于 是v r ( a ) ，v y ，( b ) r 存在x f - 1 ( ) 使得b ( 。) q ，即x r 。sb 。这与r 是，- 1 ( y 。) 的“一一相关远域族相矛盾! 从而 ( ，( b ) ，) ：y b m 是b 的n 一相关远域族。因为巧是p 的有限子族，所以“，( 蜀) ，) ：y b i l l 是b 的可数o t 一相关远域族。 由b 的可数超紧性知 ( ，( 马) ，) ：y b m ) 有有限子族 ( ，( 勺) ，a y i ) ：y 2 酬a 】，i = 1 ，2 ，n ) 构成b 的。一相关远域族，从而存在r p 4 ( 血) 使得“，( 巳) ，a 矿) ：y 2 b h ，i = 1 ，2 ，礼构成b 的r 一相关远域族令 垂= u ( 只， ，a v i ) ：y 4 b o 】，i = 1 ，2 ，n ) f 一 墨= 堑盐窒囹塑丛盐壑鉴壁 则中是p 的有限子族下面只需证圣是f - 1 ( b ) 的r 一相关远域族。 v 茁( ，- 1 ( b ) ) 【r 协s ，。( b ) 由m ) r = m r ) f f 一1 ( b ) sb 及m 勺z ) ，a 扩) ： y 4 b 【。 ，i = 1 ，礼 是b 的r 一相关远域族知，：i i 使得( ，( 气t ) ，a y i ) 是矿的相关远 域，即 ，( 气4 ) p 7 ，a 扩m ( l ) 有m a 矿) = m h 矿鐾，( 矽 当然z a 矿g b ，这表明( 气t ，a 扩) 是。的相关远域因此西是f - l ( b ) 的r 一相关远 域族，从而圣是f - 1 ( b ) 的一一相关远域族，故，- 1 ( 丑) 是( 。，6 ) 中的可数超紧集。 定理2 ，1 6 设( l x ，6 ) 与( ，p ) 是l f 拓扑空间，a 是( 三x ，d ) 中的超紧集，b 是 ( l x ，p ) 中的可数超紧集，则a b 是( l x ”，5 肛) 中的可数超紧集。 证明： 设m ( l ) ，( a 日) o 且 圣= ( 乃( 茁，) ，q ) ：j j ) 是a b 的可数。一相关远域族，则 v ( z ，) ( a b ) q 】，有。a q 】，r y b o 】 由中是a b 的可数a 一相关远域族知，v ( x ，y ) ( a b ) a ，劫z ( r j ( 。，g ) ，r j ) 中 有 弓( 。，y ) r 7 - ( ( z ，g ) 。) 这样( z ，y ) ( a 日) a j 有一形如 ( 尸1 ( m ( z ，) ) ，q ) v ( 巧1 ( ( 。，) ) ，r j ) 的相关远域满足 e i - 1 ( z ( z ，g ) ) v f 芗1 ( ( z ，) ) 2 ( 乃( z ，) ) 这里m ( z ，可) ，( 。，y ) 分别是( 上x ，6 ) 与( l y ，“) e e f g 闭集，且p 1 ，p 2 是射影映射。显然， m ( z ，) r i - ( 。q ) 且( z ，y ) r # - ( y 。) 。令 q = ( m c z ，) ，r s ) ：3 7 a f a j ) 则n 是a 的。一相关远域族。由a 的超紧性知q 有有限子族 = ( m ( z ( 毗g ) ，r j i ) ：z 州a 1 ，i = 1 ，2 ，m ( ) ) 8 签垄趟墨丝9 构成a 的。一一相关远域族，从而存在s 卢+ ( o ) 使得q 。= ( m ( z ( ) i , y ) ，r ，) ：z a m ，i = 1 ，2 ，m ( ) ) 构成a 的8 一相关远域族。令 m ( y ) m ( v ) 也2v ( z ( ) 删) ，r j ，= v 则卵一( y r i ) ，再令 a = ( ，r d ：y b 1 0 1 ) 则是b 的一相关远域族。由n ( x ，y ) 取法可知是可数族。因为b 是可数超紧集， 所以存在有限子族 = ( “，r j y n ) ：旷b m n = 1 2 t ，女) 构成b 的乜一相关远域族，s a n g - c ：r 卢4 ( a ) 使得皿= ( ”，n ) ：f “b a ，心= 1 ，2 ，) 构成b 的r 一相关远域族，令 r = ( 乃 ，班”，u n ) ：江1 ，2 ，m n = l 2 t 。 则r 是西的有限子族，下面只需证r 是a b 的。一一相关远域族。 由卢+ ( ) 是定向集知，取t 卢+ 江) ，使8 ，rst ，则有 ( a b ) 胡c ( a b ) r l ，( axj 吕) 【t c ( a b ) 【s 】 设( z ，y ) ( a b ) 则x 4 f 且y b t ，由皿是b 的r 一相关远域族知 妒荆，刍礼曼尼，( n y t 旷) # 6 i y t j 沪篷“ 这时 q 旷2 ( m ( z ( 旷) ”y ”) ，r 川：i “= l ，2 ，m ( y “) ，i = 1 2 ，m ( g ) ：z 是a 的s 一相关远域族，从而有俨m 向“) ，且 m ( 旷) 。j 旷2i ￥，o 矿，使得有。o 圹g 吖。国8 ) 。，9 “) 从而有 ( z ，3 ，。g p f l ( m ( z ( 圹) 删“) ) v 巧1 ( n ) 同时有 l 一拓扑空间的几种超紧性 p f l ( m ( z ( 扩) 删“) ) v 巧1 ( n ) 2p v l ( m ( z ( “) 。) ，y ”) v 。尸f 1 ( ( z ( “) ：，”) ) 毋扛白“) 。y “) 当然( 。，) t i 。f j ( z ( 旷) 。y ”) ，因此f 是a b 的a 一一相关远域族。 j 7 1 ” 综上可知a b 是可数超紧集 2 2 可数超紧性的特征 定义2 2 1 设( l x ，d ) 是l f 拓扑空间，u 6 ，r p ( l ) ，x x 若u ( z ) gr 则称偶对 ( r ) 是x 的相关邻域。设a l x ，aep ( l ) ，集族“= ( u t ，n ) ：t ，) c6 p ( l ) ， 称为a 的q 相关覆盖，若v x a f ，3 iei 使得( 己，n ) 是z 的相关邻域。这里 a a7 】= 。ex ：a ( z ) n ) ；称“是a 的+ 一相关覆盖，若3 r d + ( ) 使“是a 的r 一相关覆盖。 注22 1 当a = 1 x 时，若“是1 x 的n 一相关覆盖，则v a l ，甜是1 x 的a 一相 关覆盖，这时称“为1 x 的相关覆盖。 注2 2 2 若1 4 = 阢：t ，) 是a 的a 一覆盖，则“= ( 巩，a ) ：t ) 是a 的o l 一 相关覆盖。反之，显然不成立。因此。一相关覆盖的概念是f 3 1 】中“一覆盖的自然推广。 定理2 2 1 设( l x ，6 ) 是l f 拓扑空间，ael x 是可数超紧集当且仅当a 的每个 可数一相关覆盖所都有有限子族v 构成a 的o l + 一相关覆盖( 其中o p ( l ) ) 。 证明：设( l x ，6 ) 是l f 拓扑空间，甜= ( 阢，t i ) ：i j ) 是a 的可数。一相关覆 盖，这里p ( l ) 。令圣= “则圣是闭集族，且 v x a a ，】v i 有( 只，r ：) = ( 醒，r ：) 中， 对v z a 。， 】3 i i 使( 以，n ) 是x 的相关邻域，即 以( z ) r i 也就是r ：g 明( z ) = 只( z ) 从而可知，( 只，r ：) 是z 的相关远域，这表明圣是a 的可数a l 相关远域族。因为a 是 可数超紧集，“有有限子族v 使得皿= y 构成( o l ) 一一相关远域族，即存在8 卢+ ( 0 7 ) 1 0 筻三童亘墼堕鳖堡 1 1 使得v x a a ，了j ，j = 1 ，2 ，n ，有 ( k ，r j ) v 使。一吖 j 这等价于存在8 q + ( a ) = + ( o ) ) ，使 v xea a 】，习i ，( y j ，r j ) v 使得5 ( x ) r j ，( j = 1 ，2 ，礼) ， 从而可知“的有限子族v 是a 的“+ 一相关覆盖。 反之，设a 的每个可数d 一相关覆盖都有有限子族构成a 的。+ 一相关覆盖。设西是 a 的任一可数r 一相关远域族。令“= 垂，口= r 则由r 为分子知a p ( l ) 对比a r j 即。，sa ，3 i i ，有( 只，n ) 西使得x r 。只则t i 基只( z ) 所以p i7 ( 。) r i7 ，因此 西是a 的可数r l 相关覆盖，那么存在垂的有限子族皿使得f 是a 的( r ) + 一相关 覆盖。即存在s 矿( r ) ，使得7 是a 的8 1 一相关覆盖，对 v x 州s 】存在j ，( p i j , s i ，) 皿使得( 。) g8 ，u = 1 ，2 ，n ) 因此x 8 i ，基咒，( z ) ，所以兄，叩一( x 8 t ，) ，这表明皿是a 的s 一相关远域族，从而皿 是a 的r 一一的相关远域族。因此a 是可数超紧集。 定义2 2 2 设( l x ，6 ) 是l f 拓扑空间，a l x ，q m ( l ) 。称a 具有超( 强) 一l i n d e l 6 f 性质，如果a 的每个a 一相关远域族都有可数子族构成a 的n ( 一) 一相 关远域族。称a 具有l i n d e l 5 f 性质，如果v a m ( 三) ，a 皆有。一l i n d e l s f 性质。当 1 x 具有超( 强) l i n d e l 6 f 性质时，则称( ，d ) 为超( 强) l i n d e l s f 空间。 定理2 22 设( l x ，6 ) 是l f 拓扑空间，a el “，则a 是超紧集当且仅当a 是可 数超紧集且a 具有超( 强) l i n d e l 6 f 性质。 定义2 2 。3 ( i ) 设s = x “r ( 。、：n ) 是( l x ，6 ) 中的分子序列，其中v n n ，扩 x ，r ( n ) m ( 三) ，v c m ( l ) ，s c = z ：7 t ) 则称& 是s 的相似序列。 ( i i ) a l x ，s 是a 中的分子序列，。m + ) ，称s 聚于x 。，若v 尸7 7 ( z 。) ，n e ，2 n o n ，当竹o n 时，使。r n 。o 墨p ；称z 。为s 的可传a 一聚点，若s 聚于d ， 且v c m ( l ) ，与s 相似的常值c 一序列& 聚于z 。 定理2 2 3 设a 是x ，6 ) 的可数超紧集当且仅当a 中任一o l 一序列在a 中有可 传n 一聚点。 一一 墨= 垣e 奎塑盟丛登塑竖壁 证明；必要性，设 s = z ；。：n 是a 中的n 一序列，这里v n n ，z “x ，m ( l ) 假设s 在a 中没有可传q 一聚 点。令 y = z a ：s 聚于z 。 则v x 3 c ( x ) m ( l ) 使得与s 相似的常值c ( z ) 一序列s o ( 。) 不聚于x c ( 。) ，即 v z y ，j c ( z ) m ( l ) ，只q 一( z c ( z ) ) ，n ；n ，使得当n n 0 时，。& 。) b ( 2 1 ) 另外v x a a 】s 不聚于茁。，即 v x a q 】y ，3 q z r l - ( z n ) ，t i , ；n ，使得当n2 礼o t t ，时，z & 。) 曼q 。( 2 - 2 ) 此时，3 r 。卢+ ( q ) ，使得q z q ( 研( 。) ) 。令 圣= ( r ，c ( z ) ) ) 。t yu ( q 。，r ( 正) ) 。e a 。】y 则西是a 的可数。一相关远域族。由a 是可数超紧集，搿矿( ) 及西的有限子族 是a 的i 一相关远域族。不妨设 = ( 只，c ( 越) ) 罂lu ( q x j ) ，r x ，。m + k 件。( m ，女) 取r 卢+ ( q ) ，使 r2 f ，r r ( 茁j ) ，j = m + 1 ，m + r ， 则 西= ( ( 户奴，c ( 雹) ) ) 墨。u i ( q z j ，r ) m ：+ 。k 十1 是a 的r 一相关远域族。因为s 是n 一序列，所以对v r 卢+ ( a ) 有如下结论： j n ( r ) n ，使得当n n ( r ) 时，v ( 。；。) 取n 1 n 使n l n ( r ) 时，n i 礼：，i = 1 ，2 ( 2 - 2 ) 、( 2 - 3 ) 有 n 即z ；。z ，n ( 2 - 3 ) - ，m + k 则当礼1 时，由式( 2 - 1 ) 、 z 氘) r t ( 忙1 2 一，“+ ) ，且岛z r n ( n ) 茎q j ( j = 1 ，2 ，m + o ) ， 这说明当n n l 时，扩a i r 】在西中没有相关远域，与每是a 的r 一相关远域族相 矛盾! 故s 在a 中有可传q 一聚点。 1 2 第二章可数超紧性1 3 充分性：设a 中任一q 一序列在a 中有可传。一聚点，蕾= ( 只，n ) ，。 为a 的可数理一远域族，则 v 皿2 ( 引，r 矿( a ) ，3 x ”a 旧使中任一元都不是矿的相关远域( 2 4 ) 在此我们规定 v n l ，礼2 n ，当n l 札2 时，有r l 墨r 2 且皿lc 皿2 令s = 。? ：嚣) ，则s 是a 中的分子序列因为v r ，t p + 忸) ，芦+ ) 是定向集，当 n 礼l 时，v ( 。? ) = t r ，所以s 是a 的。一序列。由条件，设s 在a 中的可传。一 聚点为3 7 。因为中是a 的可数a 一相关远域族，所以| i ，( 只，n ) 垂使x r 。只，即 只田扛r ：) ，现设 皿o _ ( 局；，r i ，) j = 1 ，2 ，n ) 2 引， 任取s 3 + ( o ) 则当 n n o 时，有r s 且圣3 皿o ， 所以( r 。，q ，) 皿，由( 2 4 ) 式知z ? 只，这表明与s 相似的常值r i 一序列 s r 。= ( z ；：nen ) 最终在z ，。的远域只中，与z 。是s 的可传聚点矛盾! 所以圣有有限子族构成a 的。一一 相关远域族。故a 是可数超紧集。 下面，我们给出可数超紧性基于其导出分明拓扑的紧性的定义。 定义2 2 4设( l x ，6 ) 是l f 拓扑空间，如果分明拓扑空间( x ，f l ( 6 ) ) 是可数紧空 间，则称( l x ，j ) 是可数超紧空间。 注2 , 2 3 定理2 2 3 表明，( l x ，6 ) 的空间可数超紧