（基础数学专业论文）一类cartanhartogs域的极值问题.pdf

摘要 多复变函数论中的核心问题之一就是在双全纯映照下域的分类问题在单复变 的情形下，经典的r i e m a n 映照定理证明，对于扩充复平面c o 。上单连通的边界多于 一点的域刃，一定存在个双全纯映照厂将刁映为单位圆盘但是在多复变的理论 中，有许多单连通区域是彼此不全纯等价的，而证明两个域全纯等价就需要采取某 种合适的方法极值问题是s c h w a r z 弓l 理在高维的一个推广，通过极值问题的研究， 我们可以得到把一个域映为单位圆盘的极值映照，并能得到极值距离“，利用极值 距离“，我们可以来衡量两个域是否双全纯等价 本文讨论了第二类、第三类c a r t o n h a r t o g s 域与单位超球间的极值问题，其主 要结果是得到了参数0 k 1 时第二类c a f t a n h a r t o g s 域和参数0 k 2 时第 三类c a f t a n h a f t o g s 域的最大内切椭球，以及它们到单位超球的c a r a t h 4 0 d o r y 极值 映照，并得到 c a x a t h d o d o r y 极值和极值距离的计算公式这说明我们可以在第二 类、第三类c a f t a n h a r t o g s 域上研究极值问题，并能得到一些比较好的结果，从而 进一步发展完善了c a r t a n - h a r t o g s 域的研究 1 9 9 8 年，殷慰萍构造了四类c a f t a n h a n o g s 域其中第二类、第三类c a f t a n - h a r t o g s 域的形式如下： y h ( n ，p ，k ) ：= ”c ，z 睨，j ( p ) ：j | 叫1 1 2 k d e t ( i z 享) ) h ，( ，g ，k ) ：= 伽c ，z 咒，( g ) ：1 i 叫1 1 2 k o 时从单位超球b n + m 到域玢j ( ，p ，) 、y i h ( n ，g ，) 的c 一极值映照、c 一极 值和g 极值距离本文得到的当0 k 1 时从单位超球b + m 到域，( v ，p ，k ) 以 及当0 k 2 时从单位超球b + m 到域m t r ( n ，q ，k ) 的c 一极值映照、c 一极值和c 一极 值距离如下： ( 1 ) 以下映照是从单位超球b + m 到域y x r ( n ，p ，k ) 、y m ( n ，q ，k ) 的c 一极值映 照： g ：b + m y a ( n ，p ，k ) 毋( m ，z ) ) = 酊5 1 屿 i = 1 ，2 ， 跏( ( 叫，z ) ) = b o i z p p ，u = 1 ，2 ，t 这里，当o k 1 ，a = ，t = p 时，印= 蔫畿，b o = 而n + k m 当o k 2 ，4 = ，j ，亡= g 时，0 0 = 2 - k j v ( 2 毒n 一+ 1 k ( m + ) 丽奄，b o = k 2 n + + k k m m ( 2 ) 从单位超球b + m 到域玢j ( ，p ，) 、m ，( ，g ，k ) 的。极值分别是1 f 蛙拦登e 型二；i 面 ( o k 1 ) 和而器拳斋( o k 2 ) ( 3 ) 从单位超球b + a f - 与y t i ( n ，p ，) 、y m ( n ，q ，k ) 的c - 极值距离分别是 b g 岂案筹鲨业( 。 k 1 ) 和 b g 瞪a ( a - - 焉l 、舄n i 2 - 笋k ) ( 0 k 2 ) 关键词：c a r a t h 6 0 d o r y 极值c a r t a n h a r t o g s 域最大内切h e r m i t i a n 椭球 j 堕垄一一一一i i i a b s t r a c t o n eo ft h ek e yi s s u e si nt h et h e o r yo fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e si st h ec l a s s i f i - c a t i o no ft h ed o m a i ni nt h eb i h o l o m o r p h i er e f l e c t i o n i nt h et h e o r yo fo n ec o m p l e x v a r i a b l e ，r i e m a n nm a p p i n gt h e o r e mh a sr e s o l v e dt h ep r o b l e ma b o u ts i m p l yc o d n e c t e dd o m a i n sw i t ha tl e a s to n eb o u n d a r yp o i n t si nt h ec o m p l e xp l a n edw i l lb e m a p p e do n t ot h eu n i td i s kb yb i h o l o m o r p h i cf u n c t i o n s | ，b u ti nt h et h e o r yo fs e v o e r a lc o m p l e xv a r i a b l e ，m a n yo ft h es i m p l yc o n n e c t e dd o m a i n sa r en o th o l o m o r p h i c e q u i v a l e n t w en e e dt op r o v et h e i re q u i v a l e n c ew i t hs o m es u i t a b l em e t h o d s e x - t r e m a lp r o b l e mi st h ep r o m o t i o no fs c h w a r zl e m m ai nah i g h - d i m e n s i o n a l t h r o u g h t h es t u d yo fe x t r e m a lp r o b l e m w ec a ng e tt h ee x t r e m mm a p p i n gw h i c hm a p sad o - m a i no n t ot h eu n i td i s k ，a n dw ec a l lg e te x t r e m a ld i s t a n c ep ，u s i n ge x t r e m a ld i s t a n c e p ，w ec a l lm e a s u r ew h e t h e rt h et w od o m a i n sa x eb i h o l o m o r p h i ce q u i v a l e n t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x t r e m a lp r o b l e mb e t w e e nt h ec a r t a n - h a x t o g sd o m a i no ft h es e c o n dt y p ea n dt h eu n i th y p e r b a l l w ea l s os t u d yt h ee x t r e m mp r o b l e m b e t w e e nt h ec a z t a n - h a r t o g sd o m a i no ft h et h i r dt y p ea n dt h eu n i th y p e r b a l l w e g e tt h em a x i m a li n s c r i b e dh e r m i t i a ne l l i p s o i d so ft h ec a r t a n - h a r t o g sd o m a i no f t h es e c o n dt y p ea n dt h et h i r dt y p e t h e nw eo b t a i nt h ec a r a t h 6 0 d o r ye x t r e m a l m a p p i n g s ，t h ec a r a t h 6 0 d o r ye x t r e m a l ，t h ee x t r e m a ld i s t a n c e s t h e s er e s u l t ss h o w t h a tw ec a ns t u d ye x t r e m a lp r o b l e m si nt h ec a r t a n - h a r t o g sd o m a i no ft h es e c o n d t y p ea n dt h et h i r dt y p e ，t h e r e b yt h e yi m p r o v et h ed e v e l o p m e n to fc a x t a n - h a r t o g s d o m a i nr e s e a r c h i n1 9 9 8 ，y i nw e i p i n gs t r u c t u r e df o u rt y p e so fc a r t a n - h a r t o g sd o m a i n s h e r e t h ec a r t a n - h a r t o g sd o m a i no ft h es e c o n da n dt h et h i r dt y p ea r ef o l l o w i n g ： h ，( ，p ，k ) ： 叫c n , z 睨，j p ) ：1 1 伽1 1 2 k d e t ( i 一痃) ) 玢f f ( ，g ，k ) ：；【t i j c n ，z 孵j ( g ) ：1 1 叫1 1 2 k d e t ( i z 旁) ) i v摘要 h e r e 泥，0 ) ，验t n ( q ) d e n o t e sr e s p e c t i v e l yt h ec a r t a nd o m a i no ft h es e c o n dt y p ei n t h es e n s eo fl k h u aw i t hzas y m m e t r i c a lm a t r i xo fo r d e rpm a dc a f t a nd o m a i no f t h et h i r dt y p ei nt h es e n s eo fl k h u aw i t hzas k e w - s y m m e t r i c a lm a t r i xo fo r d e r q ，z 。d e n o t e st h et r a n s p o s e do fz ，一zd e n o t e st h ec o n j u g a t eo fz ，d e td e n o t e st h e d e t e r m i n a n to fas q u a r em a t r i x ，ni sap o s i t i v ei n t e g e r ，a n dki sap o s i t i v er e a l n u m b e r w en o t er e s p e c t i v e l yt h ec a f t a n h a r t o g sd o m a i no ft h es e c o n da n dt h e t h i r dt y p ey n ( n ，p ，k ) a n d j ，( ，q ，k ) i no r d e rt of i n dt h es p e c i f i cf o r m so ft h em a x i m a li n s c r i b e dh e r m i t i a ne l l i p s o i d o f ，( ，p ，k ) a n d 所，j ( ，q ，k ) ，f i r s tw ef i n dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n - d i t i o nf o rt h eh e r m i t i a ne l l i p s o i ds ( a ，6 ) b e i n gt h em a x i m a li n s c r i b e dh e r m i t i a n e l l i p s o i do fy n ( n ，p ，k ) a n d ( ，q ，k ) ，w ec a l lg e taf u n c t i o n ( p ) b yg e n e r a l f o r mo fy n ( n ，p ，k ) a n d j ，( ，g ，k ) ，a n dt h e ni na c c o r d a n c ew i t ht h em a x i m a l i n s c r i b e dh e r m i t i a ne l l i p s o i dd e f i n i t i o n ，w ef i n dw h e ns ( a ，b ) i st h em a x i m a li n - s c r i b e dh e r m i t i a ne l l i p s o i do fy n ( n ，p ，k ) a n dy n , ( n ，g ，k ) ，t h i sf u n c t i o n ( p ) r e q u i r e dt om e e ts o m ec o n d i t i o n s c o m b i n i n gw i t ht h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n - d i t i o n sf o rs ( a ，b ) b e i n gt h em a x i m a li n s c r i b e dh e r m i t i a ne l l i p s o i do fy n ( n ，p ，k ) a n dy n x ( n ，g ，k ) ，w eo b t a i nt h es p e c i f i cf o r m so ft h em a x i m a li n s c r i b e dh e r m i t i a n e l l i p s o i di nt h ef o r mo ft h r e es i t u a t i o n sa f t e rs o m ed i s c u s s i o na n dc a l c u l a t i o n t h e n a c c o r d i n gt ot h es p e c i f i cf o r mo ft h en m x i m a li n s c r i b e dh e r m i t i a ne l l i p s o i d ，w eo b - t a l nt h ec a r a t h 4 0 d o r ye x t r e m a lm a p p i n g ，t h ec a r a t h 6 0 d o r ye x t r e m a lv a l u ea n dt h e c a 工a t h 4 0 d o r ye x t r e m a ld i s t a n c e w er e c e i v et h ec a r a t m o d o r ye x t r e m a lm a p p i n g ， t h ec a r a t h 4 0 d o r ye x t r e m a lw l u ea n dt h ec a r a t h 6 0 d o r ye x t r e m a ld i s t a n c eb e t w e e n b + ma n dy n ( n ，p ，k ) i f0 k 1 a n dt h ec o r r e s p o n d i n gc o n c h t i o n sb e t w e e n b + fa n dm ，( 、r ，q ，k ) i f0 k 2 ： ( 1 ) t h ec a r a t m o d o r ye x t r e m a lm a p p i n g so fy n ( n ，p ，k ) a n dy t n ( n ，g ，k ) 摘要 t h ef o l l o w i n g ： g ：b + m 叫y a ( n ，p ，k ) l 刃( ( 叫，z ) ) = a 0 1 屿江1 ，2 ， l 钆u ( ( 叫，z ) ) = b o 孑p 。肛，v = 1 ，2 ，t v 2 n + k m k n + k m 。 ( 2 ) t h ec a r a t h 4 0 d o r ye x t r e m a lv a l u e so fy h ( n ，p ，k ) a n dh j ，( ，q ，k ) a r e l o g ( 0 k 1 ) a n d( 0 k 2 ) 。 ( 3 ) t h ec a r a t h 4 0 d p r ye 吼r e m a ld i s t a n c e so fy i z ( n ，p ，k ) a n dm ，( ，q ，k ) 龇e ( 0 1 ) a n d ；l o g ( 0 k 2 ) k e yw o r d s ：c a r a t h 6 0 d o r ye 妣r e m a l ，c a f t a n h a r t o g sd o m a i n ，t h em a x i m a l i i l s c r i b e dh e r m i t i a ne l l i p s o i d ， 蒜慧 邗 唧 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 夏擦 1 日期：二哟年钥4 目 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将 学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名： 曼翊于 e t 期：细眸期明 序言 自从殷慰萍1 9 9 8 年提出华罗庚域的概念以来，对华罗庚域的各种度量的研究 已经取得了不少成果例如，证明了其上的b e r g m a n 度量s h k o b a y a s h i 度量的比较 定到l 一4 】：首次给出了非齐性域上的完备e i n s t e i n k j l h l e r 度量的显表达式 5 9 】；研 究t b e r g r n a n 度量和e i n s t e i n k ；& l e r 度量的等价问题【1 0 1 等等对于华罗庚域的特殊 类型c a r t a n h a r t o g s 域，它既不是齐性域，也不是r e i n h a r d t 域殷慰萍、苏简兵把 经典的极值问题推广到第一类c a f t a n h a r t o g s 域上，得到了极值距离肛f 1 1 12 1 在估 计轳上的域的k o b a y a s h i 度量、c a r a t h 6 0 d o r y 度量、s i b o n y 度量并d e i s e n m a n 体积形 式的研究中，极值距离肛是一个有力的工具借助于极值问题来研究度量，也是一个 研究度量的思路 我们知道单复变s c h w a r z 弓l是：设，( z ) 是单位圆d = z ： 内的解析 函数，若f ( 0 ) = 0 a l f ( z ) i 1 ，则在d r 有：( 1 ) j ，( z ) i ；( 2 ) i ，7 ( o ) i 1 经典的 极值问题可以认为是s c h w a r z 弓 理一个类似【1 3 】，也可以认为是s c h w a , r z 弓 理在高维的 一个推广【1 4 】：设m 是c “中的一个域，p m ，称( m ，力为“点域”，且记( m ，p ) 为屿 对于两个点域坞和，：, 2 h o l ( m p ，) 为由所有将m 映入，且将点p 映为点q 的全 纯映照所组成的集合对于一个映照，h o l ( 坞，) ，如果成立 d e td f ( p ) l = s u p ld e td 9 0 ) 1 g h o l ( 鸠，h ) ) 则称，为c a r a t h 4 0 d o r y 极值映照，而称jd e td f 白) i 为c a r a t h 白d o r y 极值，分别简称为g 极值映照与g 极值 由此我们知道，解决中的两个域之间的c a r a t h 4 0 d o r y 极值问题，其核心是要 找到这两个域问的c 极值映照和g 极值的计算公式c a r a t h 4 0 d o r y 首先研究了这 个问题，并于1 9 3 2 年得到了从多圆柱到单位超球b n 的c - 极值 i s l k u b o t a 利用级数 展开的方法得r u t 从c a x t a a 域到单位超球b “的g 极值【l e ，并进一步对有界对称域 上的这类问题做了讨论【1 7 1 m ad a o w e i 给出了复椭球与b ”间的g 极值映照与g 极 值【1 4 1 2 序吉 m ad a o w e i 在文 1 4 】中还考虑了另外一类极值问题： 记q 。为所有点域( m ，p ) 组成的集合，这里m 是一个n 维复流形，设晦，“q 。， 如果存在双全纯映照厂h o i ( 嗨，q ) ，我们称和q 是双全纯等价，记作嗨一口 显然，一是一个等价关系根据c 极值映照可以定义两个“点域”问的极值距离： p ( n ，g ) ：一l o g d e td ( g 。，) 0 ) i = i n f 一t a g fd e t d ( g o 似p ”厂h a l ( 峰，心j ，g r q o t ( n q ，蛑) 这样就能得到一个度量空i _ 自j ( 露，p ) 【1 4 】，其中，死是所有点t a u t 流形所组成的集 合，它是q 。的一个子集，死= 瓦一 m ad e m w e i 得到了复椭球与日- f 1 4 7 ，强拟凸域与b n f i 7 ；问的极值距离但一般来 说，要解决以上两种极值问题是相当困难的，有时甚至是不可能的，因为我们很难 求得极值映照和极值的精确公式， 1 9 9 8 年，殷慰萍构造了四类c 盯t a n h a f 的酗域它们是： ( ；m ，n ；k ) ：= w c ，z 睨，n ) ：i i w i l 2 k o ) ， y r z ( n , p ，定) ：= f c 。z 驻函： t w t 2 耳 o ， ，j ( ，q ，k ) ：= w c ，z 睨( g ) ：1 1 w i l 2 k o ) ， y ( ，k ) ：= c ，孑睨f y ( n ) ：i i 1 1 2 k o ， 这里r a ，= ，i i ，i i i ，j r 矿，代表华罗庚意义下的第一二，三，四类c a x t a n 域 殷慰萍、苏简兵给出了第一类c a r t a n - h a r t o g s 域的最大内切椭球，解决了第 一类c a r t a n - h a r t o g s 域到单位超球b ”的c 一极值映照和d 极值及这两个域问的极值 距离【1 1 】王安、赵听、刘知音给出了当影1 时m ，( ，p ，) 的最大内切椭球以 及k 2 1 t 时y m ( n ，q ，k ) 的最大内切椭球并解决了相应的极值问题1 1 8 1 本文运用 一种新的方法求出t o k l 时y , x ( n ，a 聊和0 k ( 2 时，f ( ，g jk ) 的最 大内切椭球并解决了相应的极值问题在此基础上，我们用同样的思路方法求得 了k 1 时，( ，p ，k ) 和k 2 时y m ( n ，口，k ) 的最大内切椭球并解决了相应的极 值问题，而此时这些结论与文j 】8 1 的结论是一致的 第一章准备知识 在这一部分，我们先给出t c a r a t h 4 0 d o r y 极值、极值距离矛i h e r m i t i a n 椭球的定 义，然后给出一个域的最大内切椭球的特性及有关的些命题 定义1 对于两个点域坞。，cc n ，定义仇m 现面d d r 浓值p 极值j 如下： 。( 坞，) ：= s u p ld e t d g ( p 1 ) i ：g h o l ( 坞。，) ) 记q 。为所有点域( m ，p ) 组成的集合，设蛑。，q 。，若存在双全纯映照， h o l ( 屿。，) ，则称屿。和是双全纯等价，且记为屿。一显然，一是一个等 价关系为了以后叙述的方便，我们令q 。= q 。一，m = 驯一，n = n 一下面 我们给f l jc a r a t h 6 0 d o r y 极值距离定义 定义2 定义映照p ：q 。q 。一【一0 0 ，+ o o 】为 p ( 鸩。，) = i n f - l o g ，0 ) 1 ：，h o l ( 屿。，) ，g h o l ( n 船，屿。) ) ， 这里磁为c 叫，的两个域，以 ) ：= d e t d r ( p ) ，我们称p ( 瓦。，瓦) 为从域瓦。到 域弦的仇化冼g d d d 碱值距离f ，c 搬值距离户 在不致于引起混淆的情况下，我们分别记磁，弦为坞。，如果m ，都包 含原点，则： p ( ，n o ) = 一1 0 9 ( ，0 ) 卫( 0 ，m o ) 1 命题1 若d 1 d 2 是c 叫，的两个完全圆形域，d 2 是一个全纯域，则对任一全纯 映照，h o l ( ( d 1 ，o ) ，( d 2 ，o ) ) ，必有彤( o ) ( d 1 ) cd 2 证明见参考文献【1 4 】 由命题1 可知两个完全圆形域的c a r a t h 4 0 d o r y 极值有如下结果： k ( d 1 ，d 2 ) = s u p i d e t i i ：z g l ( n ，c ) ，f ( d 1 ) cd 2 下面我们给出h e r m i t i a a 椭球的定义和体积形式 4第一章准备知识 定义3 中的h e r m i t i a n 椭球是指如下形式的域： z c ”：z a 旁 1 ) ， 或写为： z c n ：ea j k z j - 三k 1 ) ， 互k = l 这里a = ( k ) 是一个正定的日e r 仇讹o n 矩降 命题2c ”的h e r m i t i 口椭球s = z c n ：a j 乃玩 0 证明见参考文献 1 8 】 命题8 ( ，q ，k ) 最小外切和最大内切符e j r m 依帆椭球都有如下形式： s ( a ) = ( 加，z ) c + m ：( 凹，z ) a ( 面，_ ) 0 , b 0 ， 或写为： s ( a ，的= ( 加，孑) c + f ：a l l , w l l 2 + b l l z l l 2 0 ，b 0 6第一章准备矢口识 证明见参考文献 1 8 】 下面我们给几个在后续章节中经常用的引理和注记 弓l 理l 设a ，b 是两个n 阶正定6 勺h e r m i t i a n 矩阵，如果 则a = b 孑c ”：z a y 1 ) = z c ”：z b 1 ) ， 证明见参考文献 1 1 】 引理2 设8 1 ，a 2 ，a n 一1 ，且所有非零数的符号相同，则我们有： ( 1 + 口1 ) ( 1 + a 2 ) ( 1 + a n ) 1 + a l + a 24 - + 0 n 注记1 设z = ( 葫) 1 9 ，p 是p 阶对称阵，其中 f 1 轳 歹= 后， j i 后 将矩阵z 中元素以如下顺序排成c m 中的一个向量： - 臣l l z l l 2 = t r ( z 男) z = ( z 1 1 ，名1 2 ，z l p ，z 2 2 ，z 2 p ，2 而) ， 注记2 记z = ( 铆) 1 白，叮是g 阶反对称阵，将z 中元素按如下顺序排成c m 中的 一个向量： z = ( z 1 2 ，z 1 3 ，z l 鼋，z 2 3 ，z 2 9 ，z q , q - 1 ) ， 贝 11 1 z l l 2 ：缸z 可) 注记3二类c a f t a n h a r t o g s 域y h ( n ，p ，k ) = 凹c ，z 既t t ( p ) ：i l 叫i | 2 k d e t ( i 一痃) ) 的边界为： 第一章准备知识 7 a ，( ，p ，k ) ： 加c - c n ，z 晚，( p ) ：1 1 叫1 1 2 k = a e t ( i z 旁) ) u 【硼= 0 c ，zea 验j j ) ) 。 第三类g o r t n n h a r t o g s l 戋y ；，( ，q ，k ) = 叫c ，z 泥l l l ( q ) ：l i 州| 1 2 耳 0 z = c 厂。( 荨詈；曼) 以 a ；+ + 碍) = q 【( 1 一a ；) ( 1 一a p 2 胪1 - b ( 1 + ( 一入；) ) + 6 。 ( 1 一狲( 1 一 第一二章 玢，( n ，p ，k ) 的磁人内切h e r m i t i a n 椭球 9 这罩p = ( 1 一a i ) ( 1 一a ；) ，p 0 ，1 】 为了以后叙述方便，我们令 ( 口，6 ) ( p ) = a p 专一吼+ 6 得到这样一个函数后，下 面我们以一个引理的形式给出了m j ( ，p ，k ) 与5 ( n ，6 ) 相切的充要条件： 1 引理4 如果5 ( 。，6 ) 是m ，( ，p ，) 的最大内切肌r m i 纰礼椭球，当且仅当晨器】 ( p ) = 证明：台：v ( 甜，z ) o y r r ( n ，p ，k ) ，即| f | f 2 k = d e t ( i z 2 。) ，p 0 ，l j ，有 口2 删z j r 仲r a i n l 】州= 1 则二= u t ( q ? 0 弦；0 ；0 ) 纱， 贶圳卜牛 1 。假设眉职】九( p ) 1 u e o ，1 】 1 0 第二帝 h j ( n ，p ，k ) 的最人内剀h e r m i t i a n 椭球 v ( w ，z ) a m j ( ，p ，k ) ，有a l l w l l 2 + b l l z i l 2 m i n , e i o 1 1h ( u ) 1 这与已知 的s ( o ，6 ) 是y j i ( n ，p ，k ) 的最大内t j h e r m i t i a n 椭球矛盾 下面我们分0 k 1 三种情况来给出y i i ( n ，p ，耳) 的最大内 切h e r m i t i m a 椭球 情况一：当0 k 1 时。 在这种情况下，我们先以一个引理的形式给出s ( 口，6 ) 是y h ( n ，p ，k ) 的最大内 七) j h e r m i t i a n 椭球的充要条件，再结合m ，( ，p ，k ) a s ( 口，6 ) 相切的充要条件即眉器l ( p ) = 1 ，从而进一步求得最大内切h e r m i t i a n 椭球的具体形式 仅当卜= k ( 1 一k ) 戡嘉( ) 簪。拗 i i a 21 1 k b 证明：m h ( u ) = a p 斋一6 p + 6 知： ( p ) = 景p 壶一1 一b ， ( p ) = 耳al 耳1 1 ) p 专一2 = a 繁p 专一令 7 ( p ) = 0 ，可解得脚= ( 警) 南，当o k 0 ，所 以 ( p ) 在点取得最小值本文中我们得到的函数 ( 定义在f 。，1 】，所以我们对脚分 两种情况讨论： 1 0 当n k 6 时 这时肋1 ，而p f 0 ，1 】，由引理4 p m m i n j h ( 。，6 ) ( p ) = ( 伽) = 五( 1 ) = 。= 1 ： 2 0 当a 6 时 这时o 细1 ，由引理4 并把蝴的值代入得：。m i n ， ( d ，6 ) ( p ) = ( 。，6 ) ( p o ) = p l u ，i l 。( 等) 由一6 ( 等) 南+ 6 = 一1 ) 6 ( 等) 禹+ 6 = 1 对这个等式进行计算化简 即8 ：k ( 1 一k ) 毕6 壶( 6 1 ) 簪证毕 在此引理的基础上，我们得n t 当o k 1 时坼j ( ，p ，k ) 的最大内切椭球的 具体形式的一个定理： 定理1 当0 k l o 寸，5 ( 口，6 ) 是玢j ( ，p ，k ) 的最$ 1 $ h e r m i t i a n ) 瞒球是 s ( 印，6 0 ) = ( 伽，z ) c + m ：凸o l l w l l 2 + 6 0 l l z l l 2 1 ) 笙一二童兰! ! 盟翌! 丝2 堕墨叁堕型望竺里些! 兰呈丝壁 l l ，一一 其中印= 卫i r 幽- i ( n 生+ m ) ，6 0 = 黼筠 证明：对应于引理5 ，我们分以下两种情况讨论： l u 当8 k 6 时。 由引理5 知，此时口：1 ，b 丢，由命题2 ，函数y ( n ，6 ) = a - n b m u + m 最大值 。嘶m a c 吾啉6 ) = 眦牙1 ) = k m 0 3 n 4 _ m 2 0 当o k b 由引理5 知，此时o ：k o k ) 学6 壶( 6 1 ) 簪，由命题2 ，y ( a ，b ) = a - n b 一膨蝴+ m = k 一( 卜k ) 学6 型产( 6 1 ) 止产：，( 6 ) ， 令p ：k 一( 1 一x ) 华，贝j j f ( b ) ：p 6 蔓学( 6 1 ) 学，厂7 ( 6 ) = p 半( 6 1 ) 峄一- 6 华+ p ( 一半) 6 一半一- ( 6 1 ) 半= p 6 华毕( 蝶一 n 十x m 、 k b j 令，( 6 ) = 0 ，得：6 1 = 0 ，b 2 = 1 ，b o = 嗣n + k m 因为o k 1 由引理3 ，扫i , b l = o 舍去；又显然广( 1 ) 三 0 ，所以，( 6 ) 不可能在6 2 = l l 强g k y l f l 可以验证厂( 6 ) 在6 ；0 = 番揣取最大值，事实 上，当1 b 0 从而，( 6 ) 在6 0 = 耳2 n + + k m m 一 蝎一 大值 由引理5 ，将6 0 代入a = k ( 1 一k ) 半6 壶( 6 1 ) 譬，得：n o = 景兰笨筹 所以椭球体积函数y ( 口，6 ) = 口一6 一m u + m 最大值嬲y ( 。，= y ( a o ，6 0 ) 2 町蛞m 0 3 n + m 1 k m n 望( 半n + m ) n + m 一( 黔) 下面我们找出两种情况下体积的最大值 设夕0 ) = ( 1 + z ) 1 + ；，则夕( z ) 在( o ，+ o 。) 是递增函数事实上，9 ，( z ) = ( 1 + z ) 争，比( 0 ，+ 。o ) ，幻) 0 ，。9 ( z ) 在( o ，+ o o ) 是递增函数 当o 0 ，m g ( x ) 7 f e ( o ，+ o o ) 是递增函数知： ( 器) 1 2 第二章 坼j ( m p ，k ) 的最人内切h e r m i t i a 椭球 即m f ( ，p ，k ) 的最大内切h e r m i t i a n 椭球是 s ( a o ，b o ) = ( 叫，z ) c + m ：a o l l w t l 2 + b o l l z l l 2 i 时y i i ( n ，bk ) 的最大内切椭球 的形式，这两