（基础数学专业论文）r24空间中类时曲线的光锥高斯映射及其奇点分类.pdf

摘要 在这篇文章中，我们考虑的是磁空间中类时曲线的问题建立了硝空间中曲 线的局部理论，特别地，我们考虑了类时曲线中的一些特殊曲线定义了该曲线的 母砩值光锥高斯映射和高度函数，应用奇点理论的方法对曲线的奇点进行了分 类，并应用函数的开折理论讨论建立了在l o r e n z i a n 群作用下的类时曲线的几何不 变量同这些奇点之间的关系 关键词：四维伪欧氏空间；类时曲线；研砩值光锥高斯映射；光锥高度函 数；奇点 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e r e dt h ep r o b l e mo ft h et i m e l i k ec u r v ei nr ! w ee s t a b l i s h e dt h el o c a lt h e o r i e so ft h ec u r v e sw h i c ha r ei nt h es e m i e u c l i d e a n4 一s p a c e ， e s p e c i a u y ，w ec o n s i d e r e ds o m es p e c i a lo n e so ft h et i m e l i k ec u r v e w ed e 矗n e dt h e 研s - v a l u e d1 i g h t c o n eg a u s sm a pa n dh e i g h tf h n c t i o n ，t h e nw i t ht h et h e o r i e so f t h es i n g u l a r i t yw ec l a s s i f i e dt h es i n g u l a r i t i e so ft h ec u r v e s o r e o v e r ，w ed i s c u s s e d t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h eg e o m e t r i ci n v a r i a n t s o ft h et i m e l i k ec u r v ea n dt h es i n g u l a t i “e su n d e rt h ea c t i o no fl o r e n t zg r o u pa sa na p p l i c a t i o no fu n f 6 1 d i n gt h e o r y o fn l n c “o n s k e yw o r d s ： s e m i e u c l i d e a n4 一s p a c e c o n eg a u s sm a p ； l i g h t c o n eh e i g h t t i m e l i k e c u r v e ；s s j v a l u e dl i g h t f u n c t i o n ；s i n g u l a r i t i e s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：肆堡&同期：兰查! ：驾 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盘q 查尽 日 期：逊。：驾 指导教师签名：镌彳、汤 同期：t f 毋 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：i 坠i ：圣生主! 当二宝 通讯地址： 电话： 邮编： 引言 奇点理论做为分析学中的一个分支，是处于分析、微分拓扑、微分几何、交换代 数与李群以及微分方程等数学学科交汇的一门学问，又在诸多领域，如微分方程、 振荡积分、动力系统、分歧理论、突变理论、几何光学与波动光学等学科中有广阔 的应用 1 9 5 5 年h w h i t n e y 发表了论文把平面映到平面的映射，他的这篇论文奠定 了奇点理论的基础在实际生活中，光滑曲面到平面上的光滑映射处处可见，事实 上我们周围大多数物体的边界都是光滑曲面，物体的可见轮廓就是其边界在眼睛的 视网膜上的投影通过考察周围的物体，譬如人的面部，我们就可以发现可见轮廓的 奇点w h i t n e y 发现平面到平面的映射只有两种奇点，一种称为折叠型奇点，一种 称为尖点型奇点这两种奇点是稳定的，即在微小的扰动下不会消失也不会改变类 型，而其它复杂的奇点经扰动后都能转化为这两种形式的奇点 在本篇论文中，我们将起点理论的知识运用到了几何中，研究了特殊空间中曲 线的奇点分类问题，其主要的理论依据便是微分几何的知识微分几何作为几何学 的一门分科，主要以光滑曲线、曲面为研究对象，且以数学分析、微分方程为研究 工具，研究曲线、曲面在一点邻近处的几何性质在力学和一些工程问题( 如弹性 薄壳结构、齿轮等方面) 中有广泛应用十九世纪开始展开了高维空间微分几何的 研究二十世纪以来，由于力学、微分方程、理论物理、多复变函数等方面的需要， 进而研究具有各种几何结构的微分流形，并着重讨论流形的整体性质微分几何这 门学科不仅历史悠久，而且由于它在发展过程中不断更新，至今仍是一个十分活跃 的领域近年来微分几何已渗透到数学的各个分支，对许多其他学科产生了重要影 响 曲线是微分几何中最重要的研究对象之一为处处存在切向量的曲线例如，直 线r 1 中的一开区间( 口加) 到欧氏空间r 3 的连续可微映射f ：l ( z ( t ) ，g ( t ) ，z ( t ) ) 称为连续可微曲线，简称曲线，记作c 有时亦称映射f 的像集为曲线若曲线可 微，且切向量簪k o ，则称如为曲线的正则点，若曲线在每一点正则，就称 为正则曲线曲线的奇点为曲线寸= 7 ( t ) 上切向量退化的点，即使得鲁= o 的 点在古典微分几何中我们对曲线的研究通常从两个角度入手，一个是研究曲线上 的具体的每一个点的性质，一个是研究曲线上某一些点与其他点的不同，其区别在 哪对于前一个角度，我们通常是建立伏雷内标架( n e n e tf r a m e ) ，亦称“活动标 架”，在曲线的任意一点处，都会对应下面的每一个概念，单位切向量、主法向量、 副法向量、密切平面、从切平面、法平面对于后一角度，我们常常利用曲线的单 位切向量得到一个从曲线到单位球面的映射对于正则曲线c ；寸= ( t ) ，则 妒( ) = r ( t ) | r 。( t ) i 定义了开区间到球面s 2 的可微映射妒，称为曲线c 的切映射， 其像称为切线像直线的切线像是一点曲线的曲率等于切线像与原像的弧长微分 之比的绝对值若c 是平面闭曲线，则其切线像必为大圆或其一部分依此方法， 我们也定义了曲面上各点与单位球面上的点的映射我们称该映射为高斯映射，该 映射定义如下：在曲面的各点作它的单位法向量，然后把这向量平移到坐标原点， 那么它的端点就决定了单位球面上的一点为方便我们将这两种映射统称为高斯映 射，在本篇文章中我们也将在四维伪欧氏空间中建立类时曲线的特殊的高斯映射， 寻找类似单位圆和单位球的单位流形研霹应用高斯映射我们会对曲线的奇点问 题进行很好的说明，譬如在c u s p so fg a u s sm a p p i n g s 一书中，t b 等人给出了一个 求平面曲线奇点的简单说明设x ( t ) ( 。 t o ，( x ，x ) = o ，( x ，x ) o ， ( ( ) ，( t ) ) = 0 ，( ( t ) ，( ) ) 0 时，曲线，y 分别叫做类空曲线，类光曲线和类时曲 线记6 ( 7 ( ) ) = s i 9 n ( ( t ) ) 设7 ：，r l ，y ( t ) = ( z l ( t ) ，。2 ( t ) ，。3 ( t ) ，。4 ( t ) ) 是瑚内一条正则曲线，且 v t ，( ，y ( t ) ，( ) ) k 类奇点；如果在s = s o 点处，( p ) ( s o ) = o ，( + 1 ) ( s o ) o ，1 p ，p 为整数，则称，具有九类奇点 定义s z 我们用产1 c 差。，= 薹嘞表示偏导数差的c * 叫一截断，如 果由系数构成的( 一1 ) r 阶矩阵( 口j t ) 的秩为女一1 ( 一1 r ) ，则称f 是，的p 通 用开折 定义3 3 设跏= ( s ，z ) 筹( s ，z ) = 0 ，称为开折f 的奇点集 定义3 4 设b f = ( z 形l 存在s ，使得箬( s ，。) = 等( s ，z ) = 。 ，称b f 为 开折f 的分支集 定义3 4 设f ：硝r 是浸入映射，并且7 ：，+ 磺是类时曲线若函数 9 ( t ) = fo ，y ( t ) ，满足9 ( t o ) = 9 ( t o ) = 9 ”( t o ) 一= 9 ( 一1 ) ( t o ) = 0 ，并且9 ( 2 ) ( t o ) 0 ， 则称7 和f - 1 ( o ) 在点t = t o 处有女点切触 定理3 1 设f ：( r r 7 ，( s o ，z o ) r ) 是在点s = s o 处具有m 类奇点的，的 r 参数0 ，) 通用开折，那么 ( 1 ) 如果k = 2 ，则日f 与 o ) _ r 1 局部微分同胚 ( 2 ) 如果= 3 ，则b f 与e r 2 局部微分同胚 定理3 2 设7 ：j _ 硝，( 一o ) 是单位速度类时曲线，日：，霹研r 是曲线，y 的洛仑兹类时高度函数，如果 ( s ) = 风。( s ) 在点s o 处有凡类奇点( k = 2 ，3 ) ， 则日是h 的( p ) 通有开折 证明t1 ：j _ 硝，( 1 ”o ) 是单位速度类时曲线， 令日：j 工四 r ，日( s ，u ) = ， s j ，u 工g 其中， ，y ( s ) = ( z l ( s ) ，$ 2 ( s ) ，z 3 ( s ) ，z 4 ( s ) ) ，u = ( t l ，铆，u 3 ，t 正4 ) u l 四， 故 = o ，且“l ，u 2 ，“3 ，u 4 不全为零，不妨设u 2 o ，则可得到 “2 = 士( 一“ + u ；+ “i ) 1 2 故 日( 8 ，) = 一z l “l 0 2 u 2 + z 3 “3 + 0 4 u 4 = 一z l u l 千2 ( 一“；+ “；+ “i ) 1 2 + z 3 u 3 + 。4 u 4 鬻= 啊刊圳( - “+ u ：) l 2 z z = 一z 1 士 札l ( 一牡 + u ；+ u i ) 1 2 ) z 2 = 一。1 + ( “l “2 ) 。2 同理骗筹锄卟。心胁，筹 故它们在s o 处的相应的3 阶截断分别是： 一( z ：s + ；：s 2 + 。：s 3 ) + ( u l u 2 ) ( z ：s + z ：s 2 + 。：s 3 ) ， ( 。：s + ；z ：s 2 + z ：s 3 ) 一( u 3 “2 ) ( z ：s + ；z ：s 2 + z ：s 3 ) ， ( 。：s + ；z ：s 2 + 。：s 3 ) 一( 钍a u 。) ( z ：s + z ：s 2 + 。：s 3 ) ， 显然，日= 豆( s ，u ) i ，。s 。s j ( 1 ) 在s o 处有a 2 类奇点，即当“o = ( ”2 j n 3 ) ( s o ) ，k 2 ( s o ) o 时，我们现须证 1 3 阶矩阵( 一z j + ( “- u 2 ) 。；，z ：一( u 3 “2 ) z ：，z ：一( u 4 “2 ) z ：) 的秩为l ，这个结论是 显然的事实上当2 ( s o ) o 时，3 3 阶矩阵 一z ：+ ( “l u 2 ) z ：) 2 一z ：+ ( 珏1 “2 ) z ：7 ) 6 z ：一( u 3 加2 ) z ：) 2 。：一( “3 “2 ) 。：；，) 6 ( u 4 “2 ) 。：) 2 ( u 4 “2 ) z ：7 ) ) 6 的秩为3 ，则该矩阵的第一行中的三个元素中至少有一个不为零，从而l 3 阶矩 阵( 一z j + ( u ，“z ) z ：，z ；一( u s 加。) 。：，z ：一( “t “。) z ：) 的秩为l 下面我们具体说明此 3 3 阶矩阵的秩为3 一。j + ( u 1 “2 ) z j 一z ：+ ( “1 加2 ) 。：) 2 ( 一z ：+ ( “l 肛2 ) z ：；，) 6 z j 一( u 3 u 2 ) z j 。：一( u 3 u 2 ) z ：) 2 。：一( u 3 u 2 ) z ：7 ) 6 。盎i 霎蚕耋| 一丧j 耋 = 盎旧z ：。：i 一丧h z 20 3 z 40 1 又有7 ，y ” 7 ”= 一七 七2 凡3 ，即 1 4 z ：一( u t u 2 ) z ：) z ：一( u t u 2 ) z ：) ) 2 z ：一( 珏4 让2 ) 。：) ) 6 、 哉 一 ，。川q，现。现，q。q卅q 茜 + ，孔。川q，。卅 一e le 2e 3 z 1$ 2z 3 茁l0 2茁3 0 1茁2z 3 进而我们得到下面的关系式： z ：。：i l $ ： 茁： 。：l = 岛 南2 n 3 l ， z 23z 4 f o l髫2z 4f z ：。：z ：l = 一k 乜n 3 3 z 1z 2 z 4 从而行列式 一z ：+ ( 钍l u 2 ) 。： ( 一z ：+ ( t 1 u 2 ) z ：) 2 一。：7 + ( “l u 2 ) 正：) 6 z ：一( t 3 t 2 ) z ： z ：一( u 3 “2 ) 。：) 2 ( z ：一( u 3 u 2 ) z 羚6 = 一砰2 n 3 2 七：一( t 上4 t 2 ) z ：) 。：一( u t u 2 ) 。：) ) 2 z ：一( “t t 上。) 。：) ) 6 = i 詈b ( k 2 n 3 1 ) 一击( 一k 2 n 3 2 ) + 靠( 一k 2 n 3 3 ) 一i 卷i ( 2 n 3 4 ) = 一舞 已知n ( s o ) o ，乜( 5 0 ) o ，“o = ( ”2 。”3 ) ( s o ) ，则 o ，在s o 点处， 一z i + ( u 1 2 ) 。； 一z ：+ ( t 工l “2 ) z ：) 2 一。：+ ( u 1 u 2 ) z ：；，) 6 z ：一( “3 “2 ) z ： 。：一( 1 正3 u 2 ) z ：) 2 z ：一( t 3 u 2 ) z ：7 ) 6 。：一( 珏4 u 2 ) z ：) 工：一( u a u z ) 。：) ) 2 z ：一( u