（基础数学专业论文）atiyahsinger指标定理的一个嵌入证明.pdf

摘要 摘要 本文利用w i t t e n 形变思想和b i s m u t l e b e a u 的解析局部化方法，给出了扭 化d i r a c 算子的a t i y a h - s i n g e r 指标定理的一个嵌入证明。 关键词旋流形，扭化d i r a c 算子，直接极限，w i t t e n 形变，解析局部化 i a b s t r a c t ab s t r a c t i nt h i sp a p e r ，b yu s i n gw i t t e nd e f o r m a t i o ni d e aa n db i s n m t l e b e a ua n a l y t i c l o c a l i z a t i o nt e c h n i q u e s ，w ep r e s e n ta ne m b e d d i n gp r o o fo ft h ea t i y a h - s i n g e ri n d e x t h e o r e mf o rt w i s t e dd i r a co p e r a t o r so ne v e nd i m e n s i o n a ls p i nm a n i f o l d s k e yw o r d ss p i nm a n i f o l d ，t w i s t e dd i r a co p e r a t o r ，d i r e c ti m a g e ，w i t t e n d e f o r m a t i o ni d e a ，a n a l y t i cl o c a l i z a t i o n i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的韵前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：孝启南 瑚8 年乡月夕j 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 日 ，p 月 手罗 晟年彦； 锄 矿 签者作文论位学 第一章引言 第一章引言 1 9 6 3 年a t i y a h 和s i n g e r 证明了后来以他们的名字命名的定理，即著名的 a t i y a h s i n g e r 指标定理。在此之前，人们已经知道并证明了g a u s s b o n n e t c h e r n 定理、h i r z e b r u c h 符号差定理、h i r z e b r u c h r i e m a n n - r o c h 定理等，这些大定理在 微分几何、拓扑学及代数几何学中有着非常重要的地位。这些结果看似孤立，但 在a t i y a h - s i n g e r 指标定理证明后，却都成了其中的特例，并被很好地统一了起 来。a t i y a h s i n g e r 指标定理现在已被公认为二十世纪最重要的数学成就之一。著 名数学家f h i r z e b r u c h 认为a t i y a h - s i n g e r 指标定理是数学中最深刻和最困难的 结果之一，可能在拓扑和分析中比其他单个的结果有更广的运用。而美国著名的 数学家h a l m o s 在其综述报告数学的进展慢下来了吗? 中曾评论a t i y a l l s i n g e r 指标定理道“这项工作的成果是最深刻和最广泛的，对作为报告人的我来说，它 是这份报告中最铁的部分，它们不仅是一个定理，而且是一种理论，一个领域，一 种观点，这种观点进入数学的许多部分，同时也受它们的影响。 7 近半个世纪以来，有关这方面的研究一直是国际核心数学的主流之一，并且 ? 已经形成了一套系统的理论，即所谓的a t i y a h - s i n g e r 指标理论。该理论现已成 为核心数学的基础理论，在数学的众多分支乃至理论物理中有着多方面的深刻应 用。上世纪八十年代以来，由于来自数学物理特别是受著名物理学家w i t t e n 的 工作的深刻影响，a t i y a h - s i n g e r 指标理论又进一步向着更深、更广的方面发展， 目前这方面的研究热点纷呈，方兴未艾。 以下我们只就自旋流形的情形给出a t i y a h - s i n g e r 指标定理一个简要的描述。 设y 是一个光滑的礼维定向闭黎曼流形。令吖为流形y 的切向量丛。用 g t y 记y 上的黎曼度量。则在吖上由9 吖确定了唯一一个无挠且保持度量 口吖的联络v 吖，即所谓的l e v i - c i v i t a 联络。 如果y 是自旋的( s p i n ) ，即y 的第二个s t i e f e l - w h i t n e y 示性类w 2 ( 玎) 为 零，则在y 上可构造一个旋量丛s ( t y ) ，它是一个h e r m i t e 向量丛。此时切丛 吖上的l e v i c i v i t a 联络v t r 可自然提升成旋量丛s ( t y ) 上的一个h e r m i t e 联络v s ( t y ) 。设肚是y 上的一个h e r m i t e 向量丛，设v 肛是p 上的一个h e r m i t e 第一章引言 联络。那么张量积s ( t r ) op 也是一个h e r m i t e 向量丛，而 v s ( 吖) 。p = v s ( 吖) ol + 1o v 。 ( 1 1 ) 定义了s ( t y ) op 上的一个h e r m i t e 联络。 利用上述数据，1 9 6 3 年a t i y a h 和s i n g e r 在扭化旋量丛s ( t y ) 圆p 上构造 了一个在几何及数学物理中十分重要的扭化d i r a c 算子 d p ：r ( s ( t r ) p ) _ r ( s ( t y ) op ) ( 1 2 ) 设e 1 ，e 2 ，e 竹是吖的一个( 局部) 规范正交基，则上述扭化d i r a c 算子d p 可 以表示为 d r = c ( e i ) v 嚣吖) 靴， ( 1 3 ) z ， 、7 。t i = l 这里c ( z ) 表示由向量场x r ( ) 确定的在s ( t y ) 圆p 上的c l i f f o r d 作用。 容易证明扭化d i r a c 算子d r 是定义在流形y 上的一个一阶形式自伴的椭圆微 分算子。由椭圆算子的基本理论可知，d p 是一个f r e d h o l m 算子。 当流形y 的维数佗是偶数时，旋量丛s ( t y ) 中有一个自然的z 2 一分次： s ( t y ) = 耳( 吖) o ( ) 注意到c l i f f o r d 作用c ( z ) 满足： c ( x ) ：& ( 吖) _ 肆( 盯) ， 而另一方面，v s ( 何) 鲫保持s ( t y ) 中的z 2 分次，所以有 d 竺：r ( ，鞋( t y ) o 卢) _ r ( ，肆( t r ) o p ) 令迷分别记d 肛在& ( t y ) o 弘上的限制，则有 d p = d 兰+ d 竺， 且算子d 竺和d 竺互为形式伴随。现在对于f r e d h o l m 算子 d 竿：r ( 4 ( 吖) op ) 一r ( s _ ( t y ) op ) 可以定义其( 解析) 指标为 i n d ( d 耸_ ) = d i m ( k e r d 竿) 一d i m ( c o k e r d _ 竿) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 第一章引言 因为d 兰是d 竺的形式伴随，我们也有 i n d ( d ：_ ) = d i m ( k e r d 车) 一d i m ( k e r d _ ) ( 1 1 0 ) 由f r e d h o l m 算子的指标理论可知，i n d ( d 竿) 是一个拓扑不变量。 早在1 9 6 0 年左右，g e l f a n d 在研究流形上一般椭圆算子的指标理论时就认 识到闭流形上的椭圆算子的指标是一个拓扑不变量。进而他提出了一个问题，即 著名的g e l f a n d 问题：椭圆算子的指标是否可用流形已知的拓扑不变量，如流形 上向量丛的示性类来表示? 1 9 6 3 年a t i y a h 和s i n g e r 解决了这个问题，这就是后 来以他们的名字命名的a t i y a h s i n g e r 指标定理。 为给出扭化d i r a c 算子d 芏指标的一个精确的形式，我们先介绍一些有关的 示性类及其c h e r n w e i l 表示。 令r t y = ( v t y ) 2 记l e v i - c i v i t a 联络v t y 的曲率。则h i r z e b r u c h 的a 示 性微分形式a ( t y jv t y ) 定义为： a ( 咒v t y ) = 拼= f r t y ) ( 1 1 1 ) 我们用a ( t y ) 记a ( t vv t v ) 在日箫n ( y c ) 中所代表的示性类。此时流形y 的h i r z e b r u c ha 亏格由下式给出： a ( y ) = = f i ( t y , v 吖) ( 1 1 2 ) 令r l , = ( v p ) 2 记h e r m i t e 联络v p 的曲率。则复向量丛p 的c h e r n 特征 微分形式定义为： c h ( p ，v p ) = 一r t e 盟2 * m j ( 1 1 3 ) 我们用c h ( p ) 记c h e r n 特征形式c h ( u ，v p ) 在日鬻n 似c ) 中所代表的示性类。 此时关于扭化d i r a c 算子d p 的著名的a t i y a h s i n g e r 指标定理为： 定理1 1 ( a t i y a h s i n g e r ，1 9 6 3 ) i n d ( d 华) = = a ( t v t y ) c h ( # ，v p ) ( 1 1 4 ) 值得指出的是若在上述定理中取p = c ，则有 i n d ( d c + ) = a ( y ) ， ( 1 1 5 ) 第一章弓l 言 从而给出了一个闭的、定向自旋光滑流形y 的a ( y ) 亏格整性的一个直接的解 释。早在1 9 5 8 年b o r e l 与h i r z e b r u c h 就证明了一个闭的、定向自旋光滑流形y 的a ( y 1 亏格一定是一个整数，而a t i y a h 和s i n g e r 正是为了寻找该结论的一个 直接的解释而发现了d i r a c 算子并得到了他们的指标定理。 a t i y a h - s i n g e r 指标定理主要有三种证明。第一个证明是a t i y a h 和s i n g e r 在1 9 6 3 年给出的配边证明( 见 a s l ) 。而在1 9 6 8 年a t i y a h 和s i n g e r 又 给出了他们的第二个证明，即利用k 一理论方法及b o t t 周期性定理的嵌入证 明( 见( a s 2 】) 。第三个证明是所谓的热方程证明。该证明基于著名印度数学 家m i n a k s h i s u n d a r a m 和p l e i j e l 关于椭圆算子热核的渐近展开。热方程的证明 方法与微分几何和数学物理有着更为紧密的联系，有很多数学家如m c k e a n 和 s i n g e r ，p a t o d i ，g i l k e y ，a t i y a h 和b o t t ，b e r l i n e 和v e r g n e ，g e t z l e r ，虞言 林，b i s m u t 等人在这方面做出了重要贡献。 鉴于与本文所讨论的问题的关系，这里我们只就扭化d i r a c 算子d p 的情形， 简要地介绍一下a t i y a h - s i n g e r 指标定理的原始嵌入证明。 我们知道存在充分大的自然数k 及一个r i e m a n n 流形y 到球面s 2 知的等 距嵌入： i ：y _ s 驰 ( 1 1 6 ) 为简单起见，我们总可适当改变球面s 2 七上的度量，使得上述嵌入是全测地的。 因为s 2 k 是一旋流形，所以当y 是旋流形时，则y 在s 2 知中的法向量丛是 一个旋向量丛。a t i y a h 和h i r z e b r u c h 在证明他们的可微的r i e m a n n - r o c h 定理 时，利用旋向量丛，对y 上的h e r m i t e 向量丛肛构造了一个所谓的“直接极 限”( d i r e c ti m a g e ) i ! p 霞( 铲七) ，其中表示霞( 铲七) 的约化k 理论( 见【a h 】) 在r ( s 2 免) 中i ! p 可表示为 i ! p = 鼻一壬，( 1 1 7 ) 其中缸是定义在s 2 忌上的两个h e r m i t e 向量丛。令 f = 鼻o ， ( 1 1 8 ) 它是s 2 k 上的一个z 2 分次的向量丛，或称为s 2 k 上的一个超向量丛。考虑s 2 七 上的扭化张量积丛s ( t s 2 知) 圆专，它是一个超h e r m i t e 向量丛，其中 ( s ( t s 2 詹) 园亭) + = 外( t s 2 知) 圆鼻os _ ( t s 2 七) 圆善一，( 1 1 9 ) 4 第一章引言 ( s ( t s 2 七) 囟) 一= s + ( t s 2 七) o 一os 一( t s 2 七) + ( 1 2 0 ) 在s ( t s 2 七) 圆上可以类似地定义扭化d i r a c 算子 d ：r ( s ( t s 2 知) 园) 一r ( s ( t s 2 k ) 囟) ( 1 2 1 ) 同样地我们有 d ：r ( ( s ( t s 2 七) 园) 土) _ f ( ( s ( t s 2 豇) 囟) 千) ( 1 2 2 ) 记 d 晕：r ( ( s ( t s 2 忌) 圆) + ) _ f ( ( s ( t s 2 七) 囟) 一) ( 1 2 3 ) 利用b o t t 周期性定理及k 理论中的漂亮计算，a t i y a h 和s i n g e r 在1 9 6 8 年证 明了关于指标的如下解析的r i e m a n n - r o c h 型性质( 见【a s 2 】) ： 定理1 2 ( a t i y a h - s i n g e r ) i n d ( 磷) ：( 一1 ) 坠掣i n d ( d 妒) ( 1 2 4 ) 另一方面，舭i y a h 和h i r z e b r u c h 在1 9 5 9 年证明了如下的几何的r i e m a n n r o e h 型性质见 a h 】) ： 定理1 3 ( a t i y a h - h i r z e b r u c h ) ( a ( t y ) c ) ， y 】) = - - 1 ) 丛竽( 五( t 萨奄) c h ( i ! 肛) ，i s 2 惫】) ( 1 2 5 ) 从而只要对球面s 2 七这一特殊情形验证a t i y a h - s i n g e r 指标定理成立，则前述关 于扭化d i r a c 算子d p 的a t i y a h - s i n g e r 指标定理自然也就成立了。利用b o t t 周 期性定及简单的计算，球面s 2 知情形的验证可容易得到，本文不多累赘。 注记：在此要指出的是，a t i y a h 和s i n g e r1 9 6 8 年的证明包含了大量关于流 形上拟微分算子的理论。利用w i t t e n 形变思想和b i s m u t 与l e b e a u 发展起来的 解析局部化方法，我们可以给出a t i y a h - s i n g e r 指标定理一个“相对初等”的、直 接的嵌入证明，其中b o t t 周期性定理、k 理论计算及流形上拟微分算子的理论 等不再需要。 下面我们简要地介绍w i t t e n 形变思想。1 9 8 2 年w i t t e n 在其著名的文章 “s u p e r s y m m e t r ya n dm o r s et h e o r y ”中，在超对称拓扑量子场论的框架下，讨论 第一章引言 了m o r s e 不等式、经典的h o p f 指标定理等在数学上极其重要的定理。特别是他 在该文中提出了一个后来对许多数学分支产生了深远影响的思想，即w i t t e n 的 形变思想( 见【、硼) 。该思想的核心是利用流形y 上某个整体定义的对象y ，对 流形上的某种椭圆算子d 做适当形变，得到了一簇依赖于参数t r 的椭圆算 子d u t 当t = 0 时有d v o = d 这种形变保持算子d 的主象征不变。由于算 子d 的指标i n d ( d ) 是y 的一个同伦不变的拓扑量，所以i n d ( d v t ) 是一个常 数。w i t t e n 考虑了算子d 阢t 当t _ o o 时的行为，发现在某些情形下，】厂上的 拓扑不变量i n d ( d ) 将“凝聚”在y 的奇点集附近，即i n d ( d ) 可由y 在其奇点 集上给出的某种局部量组合地表示出来。粗略地讲，等式 。l i m 。i n d ( d v , t ) = 胸i n d ( d v , t ) ( 1 2 4 ) _ 【，u_ w 把流形y 的整体拓扑不变量i n d ( d ) 与y 的奇点集的局部量解析地联系了起来， 从而给出了一个整体与局部之间的关系式。w i t t e n 的想法一方面给出了y 上某 种无奇点的截面的存在的拓扑阻碍( i n d ( d ) ) ，另一方面又解析地给出了计算拓 扑量i n d ( d ) 的一个组合的计数公式。上面提到的极限l i m t 。o 。i n d ( d k t ) 在文 献中常称为所谓的“半经典极限”。 为了进一步发展w i t t e n 的想法及其推理方法，使其完全纳入数学的框架并 合乎数学的严谨性的要求，许多数学家如h e l f f e r 、s j 5 s t r a n d 、b i s m u t 、l e b e a u 等 人在这方面做了大量的研究( 见 h s i ， h s 2 ， b l 】) ，取得了很多重要的研究成 果，特别是b i s m u t 和l e b e a u 还发展出了一整套系统的解析局部化技术。目前 b i s m u t 和l e b e a u 的解析局部化技术已被有效地用到了许多问题的研究中，得到 了大量的重要研究成果。 为了能够较深刻地理解w i t t e n 形变思想并较系统地学习和掌握b i s m u t 和 l e b e a u 的解析局部化技术，作为一篇学习报告，本文我们将利用w i t t e n 形变思 想和b i s m u t l e b e a u 的解析局部化技术，给出关于闭、偶数维旋流形y 上的扭化 d i r a c 算子d p 的a t i y a h - s i n g e r 指标定理一个嵌入证明。在此作者特别强调指出 的是早在2 0 0 0 年戴先哲和张伟平教授( 参见 d z ) 就利用该方法给出了带边流 形上著名的a t i y a h - p a t o d i - s i n g e r 指标定理一个嵌入证明。而a t i y a h - s i n g e r 指 标定理是a t i y a h - p a t o d i - s i n g e r 指标定理中当流形的边界为空集时的特殊情形， 所以本文并没有给出a t i y a h - s i n g e r 指标定理任何新的意义下的证明，而只是将 对于专家而言熟知的相关细节写得更为详细了一些，同时也是为以后进一步研习 包括a t i y a h - p a t o d i ：s i n g e r 指标定理及其戴一张的嵌入证明在内的a t i y a h - s i n g e r 6 第一章引言 指标理论打下一个良好的基础。 本文安排如下。在本文第二节我们介绍超空间、超迹及q u i l l e n 的超联络的 定义；在第三节我们将给出扭化d i r a c 算子的定义：在第四节我们简要地介绍管 状邻域及其上的法坐标系统；在第五节我们给出向量丛直接极限的一个几何构造； 第六节我们利用w i t t e n 形变思想和b i s m u t l e b e a u 的解析局部化方法，给出定 义在闭的偶数维旋流形y 上的扭化d i r a c 算子d p 的a t i y a h - s i n g e r 指标定理的 嵌入证明。 7 第二章超空问和超迹 第二章超空间和超迹 本节我们简要地复习有关超空间、超迹及q u i l l e n 的超联络的定义。 定义2 1 ( e ：7 ) 为称一个超向量空间，如果e 是一个向量空间，7 ee n d ( e ) 满足7 - 2 = i d 。 令e 士记7 - 的特征值- 4 - 1 的特征子空间，则向量空间e 有直和分解 e=e+oe 一， ( 2 1 ) 此时我们也称对合映射丁给出了e 中一个z 2 分次。其中，e + 及e 一中的元素 分别称为具有偶次及奇次的。 定义2 2 称为一个超代数，如果作为向量空间是z 2 分次的，即有g = e + o 一，且占中的乘法满足 占士土c + 士千c 一 设e = e + oe 一是一个超向量空间，则e n d ( e ) 亦是一个超向量空间 ( 2 2 ) e n d ( e ) = e n d + ( e ) oe n d 一( e ) ， ( 2 3 ) 其中对任何a e n d ( e ) ， a e n d + ( e ) 争a ( e 士) ce 士， 易证 a e n d 一( e ) a ( e 士) ce 芊 ( 2 4 ) ( 2 5 ) e n d ( e ) 士e n d ( e ) 士ce n d ( e ) + ，e n d ( e ) 士e n d ( e ) 千ce n d ( e ) 一。 ( 2 6 ) 从而e n d ( e ) 是一个超代数。 设( e ，他) ，( e t f ) 是两个超向量空间，则t e 圆t f 给出了e o f 上一个自然 的z 2 分次： ( e f ) + = e + 圆f + oe qf 一，( eof ) 一= e + 圆f oe qf + ( 2 7 ) 第二章超空间和超迹 在这种分次下，我们记e of 为e 园f 。若进一步( e ，他) 和( f , 1 - f ) 还是两个超 代数，则e 圆f 关于其上的z 2 分次也构成一个超代数，其中的乘法定义为 ( 0 1 圆6 1 ) ( 0 2 园6 2 ) = ( 一1 ) l 口。i i h i ( a l a 2 ) 圆( 6 1 b 2 ) ，( 2 8 ) 这里a 1 ，a 2 e ，b 1 ，b 2 f ；且若a e ( 相应地b f ) 为偶元时，定义l a i = 0 ( 相 应地i b l = o ) ；若a ( 相应地6 ) 为奇元时，定义i a i = 1 ( 相应地i b l = 1 ) 。 现在，我们定义超代数e n d ( e ，7 ) 上的超迹运算。对v a e n d ( e ) ，定义： s t r 阻】= t r t a ， ( 2 9 ) 其中，t r 是一般向量空间上线形变换的求迹运算。 引理2 1 对任意a e n d 一( e ) ，有s t r a = 0 在超代数e n d ( e ) 中可定义两个线形映射a ，b e n d ( e ) 之间的超交换子 运算： 陋，b 】。= a b 一( 一1 ) i a | i b i b a ，( 2 1 0 ) 这里，如果a e n d + ( e ) ，则有l a i = o ；如果a e n d _ ( e ) ，则有i a i = 1 引理2 2 对任意a ，b e n d ( e ) ，有s t r ( a ，矧。) = 0 超空间的概念可自然推广到流形上的向量丛的情形。 定义2 3 流形m 上的一个向量丛e 称为一个超向量丛，如果在e 中有一 个指定的z 2 分次 e=e+o e 一， ( 2 1 1 ) 这里e 士是e 的两个子丛。如果超向量丛e 本身还是m 上的一个代数丛，且 满足 e 士e 士ce + ，e 士e 千ce 一， ( 2 1 2 ) 则e 称为m 上的一个超代数丛。 若e = e + o e 一是一个超向量丛，则类似于单个向量空间的情形，在e n d ( e ) 中有一个自然的z 2 分次 e n d ( e ) = e n d + ( e ) oe n d _ ( e ) ， ( 2 1 3 ) 从而e n d ( e ) 成为流形m 上的二个超向量丛，它同时也是m 上的一个超代数 丛。 第二章超空间和超迹 此时上述定义的超迹运算可以逐个纤维地自然推广到超代数丛e n d ( e ) 的情 形，即我们自然地可定义下列映射 s t r ：f ( e n d ( e ) ) _ c 。( m ) ( 2 1 4 ) 进一步，超迹运算还可以扩展到q ( m ) 囟r ( e n d ( e ) ) = a ( m ，e n d ( e ) ) 上，即 可自然定义映射： s t r ：q ( 必e n d ( e ) ) 一q ( m ) ，( 2 1 5 ) 这里对任意的o l f l ( m ) ，a r ( e n d ( e ) ) ，有 s t r a a 】= a s t r a ( 2 1 6 ) 下面我们给出q u i l l e n 的超联络的定义( 见 q 】，【m q ) 定义2 4 设e = e + oe 一是流形m 上一超向量丛。e 上的一个超联络是 一个奇次一阶微分算子 a ：q 士( m ，e ) _ q 千( m ，e ) ，( 2 1 7 ) 且满足z 2 分次意义下的l e i b n i z 法则：v 血g t ( m ) ，9 f l ( m ，e ) ，有 a ( 口ap ) = ( d a ) a8 + ( 一1 ) d e g ( 口) 口aa 矽( 2 1 8 ) 注意e 上保分次的普通联络v e 同时也是q u i l l e n 意义下的一个超联络。 关于超联络我们有如下重要的引理： 引理2 3 设a 是超向量丛e 上的一个超联络。对于任意q q ( m ，e n d ( e ) ) ， d ( s t r ( a ) ) = s t r ( a ，位】。) ( 2 1 9 ) 利用上述引理及显然的b i a n c h i 恒等式 a ，a 2 1 = 0 ，我们可以类似地建立超 向量丛上示性类的c h e r n - w e f l 理论。 设i ：y _ x 是两个闭、定向、旋、r i e m a n n 流形y 到x 的一个全测地 嵌入。设9 吖，夕t x 分别是其上的p d e m a n n 度量，设v t y 及v t x 是相对应的 l e v i - c i v i t a 联络，设r t y 及r t x 是相对应的r i e m a n n 曲率。又设肛一y 是 y 上的一个h e r m i t e 向量丛，v p 是其上的一个h e r m i t e 联络。令i ! p = 鼻一一 记肛的一个几何直接极限( 其构造见本文第5 节) ，则= 鼻o 一是x 上一 1 0 第二章超空间和超迹 个超h e r m i t e 向量丛，且带有一个保分次的h e r m i t e 联络v f 则利用m a t h a i 和q u i l l e n 发展的方法( 见 m q 】) ，可以直接证明下述的a t i y a h h i r z e b r u c h 的 r i e m a n n - r o c h 型公式( 一个详细的证明见【z ) ： 定理2 1 f i ( t y , v t y ) c h ( # ，v p ) = ( 一1 ) 掣f i ( t x ，v t x ) c h ( ，v ) ( 2 2 0 ) 第三章扭化d i r a c 算子 第三章扭化d i r a c 算子 本节我们简要介绍旋流形及其上扭化d i r a c 算子的基本概念。为此我们首先 介绍c l i f f o r d 代数有关的知识。 设y 是一扎维e u c l i d 向量空间。则c l i f f o r d 代数c l ( v ) 是由元素c ( x ) ，x y 生成的代数，其中生成元满足的关系式为： c ( x ) c ( r ) + c ( y ) c ( x ) = - - 2 ， v x ，y v ( 3 1 ) 设 e 1 ，) 是v 的一组幺正基，则c l i f f o r d 代数c l ( v ) 可表示为： 令 c t ( v ) =o r c ( 锄，) c ( e t 。) c ( e “) ) ( 3 2 ) 1 i l i 2 氟n ，0 一 k s 礼 c l + ( y ) =o低 c ( e n ) c ( e 。) c ( e 魄) ) ， 1 _ i l t 2 i 2 k 他，o k n 2 c l 一( y ) =or c ( 勖。) c ( e t ：) c ( e 幻。+ 。) ) 1 i 1 i 2 1 ，则同态 p ：s p i n ( n ) _ s o ( n )( 3 1 5 ) 是一个l i e 群的二重覆盖映射。 注意定理3 1 中的l i e 群同态p 自然诱导了一个如下的l i e 代数同构( 具体 细节参见【b g v ，【m l 】，【y u 】) ： p 。：s p i n ( n ) _ s o ( n ) ( 3 1 6 ) 关于c l i f f o r d 代数c l ( v ) 有如下重要的表示定理( 见 b g v ， m l ， y u 】) ： 1 3 第三章扭化d i r a c 算子 定理3 2 如果v 是一个维数为2 n 的定向e u c l i d e a n 向量空间，则存在唯一 的z 2 一分次复向量空间s = & o ，使得 c l ( v ) 圆c 笺e n d ( s ) ，( 3 1 7 ) 并且对任意的x v ，有 c ( x ) ：_ 肆( 3 1 8 ) 特别还有d i m ( s ) = 2 n ，d i m ( s 土) = 2 1 这里，超向量空间s 称为旋量空间，其中的元素称为旋量；而中的元素 称为正旋量与负旋量。可以证明在旋量空间s 上总存在一个h e r m i t e 内积，) 使得& 关于此内积相互正交，且对于任意v v ，s 1 ，8 2 s 有 ( c ( v ) s l ，8 2 ) = - ( s l ，c ( v ) s 2 ( 3 1 9 ) 设m 是一个2 n 维定向r i e m a n n 流形，其上的r i e m a n n 度量记为9 删， 其中t m 是m 的切丛，它是m 上的一个e u c l i d 向量丛从而在m 上就有 一个c l i f f o r d 代数丛c l ( t m ) ，其中每个纤维c i ( t 霉m ) 是由e u c l i d 向量空间 ( 乃m ，产m ) 生成的c l i f f o r d 代数。 这里一个自然的问题是流形m 上是否相应地存在一个旋量丛s ( t m ) 使得 代数丛c l ( t m ) 与e n d ( s ( t m ) ) 自然同构? 利用向量丛的局部平凡性，这在局部 上总能做到，但旋量丛s ( t m ) 的整体存在性有一拓扑阻碍，即取决于切丛t m 的第二个s t i e f e l - w h i t n e y 类w 2 ( t m ) 是否为零。一般地，对于m 上任何定向实 向量丛e ，若其第二个s t i e f e l - w h i t n e y 类凹2 ( e ) 为零，则称该向量丛是自旋的。 特别地若流形m 的切丛t m 是自旋的，我们称该流形m 是一个旋流形。( 见 f l m 】) 。 设e 是m 上一秩为妣的自旋定向e u c l i d 向量丛，s o ( e ) 记e 的定向正 交标架构成的s o ( 2 k ) 主丛由于e 是自旋的，则m 上存在一个s p i n ( 2 k ) 主 丛s p i n ( e ) 及一个主丛的二重覆盖映射 使得 ：s p i n ( e ) _ s o ( e ) ( 3 2 0 ) 0 匆) = 毒) p ( 9 ) ，g s p i n ( 2 k ) ，p s p i n ( e ) ， ( 3 2 1 ) 1 4 第三章扭化d i r a ( _ 算子 其中p ：s p i n ( 2 k ) _ s o ( 2 k ) 足定理3 1 中的双重覆盖映射( 见 l m ) 。 我们通常称( s p i n ( e ) ) 为e 上的一个自旋结构设e 1 ，e 2 e 3 是m 上的 三个偶数秩定向e u c l i d 向量丛，且有 e 1 = e 2ee 3 ( 3 2 2 ) 此时若它们中任意两个是自旋的，则第三个也是自旋的，并且其中任意两个丛上 的自旋结构自然决定了第三个丛上的一个自旋结构。 现在给定e 上的一个自旋结构( s p i n ( e ) ，) ，我们就可以构造m 上一个旋 量丛： s ( e ) = s p i n ( e ) 跚n ( 2 知) s ，( 3 2 3 ) 其中s 是由标准e u c l i d 空间r 2 知生成的c l i f f o r d 代数c t ( r 2 南) 确定的旋量空间。 旋量丛s ( e ) 是一个h e r m i t e 超向量丛s ( e ) = ，鼻( e ) o 卫( e ) ，且& ( e ) 关于 s ( e ) 上的h e r m i t e 内积相互垂直。 设v e 是e 上的一个e u c l i d 联络，则对e 的任意一个局部幺正标架盯，联 络v e 关于仃就确定了一个取值于s o ( 2 k ) 的l i e 代数s o ( 2 k ) 中的一个微分形 式u 盯注意到幺正标架口其实是主丛s o ( e ) 的一个局部截面，从而所有的数据 ( 盯，u 盯) ) 就给出了主丛s o ( e ) 上的一个联络。利用该联络及前述的l i e 代数的 同构服和主丛之间的二重覆盖映射映射，我们就得到了主丛s p i n ( e ) 上一个取 ：值于l i e 代数s p i n ( 2 k ) 中的提升联络，从而也就自然地给出了配丛s ( e ) 上的一 个联络v b ( e ) 该联络称为s ( e 1 上由e 上的e u c l i d 联络提升得到的旋联络。设 盯= e l ，e 2 k 是e 的一个局部幺正标架，则s ( e ) 上的提升联络可以局部上 写为 1 2 k v 邸) _ d + 去 c ( e t ) c ( 勺) ( 3 2 4 ) 4 ， ”、j7 、7 i ，j = 1 注意此时提升联络v s ( e ) 是一个h e r m i t e 联络，且与c z ( e ) 在s ( e ) 上的c l i f f o r d 作用相容，即对任意的z r ( e ) ，我们有 【v s ( 勘，c ( z ) 】- c ( v e z ) ( 3 2 5 ) 关于以上内容所涉及的详细计算请参见本文参考文献 b g v 及 y u o 有了上述准备，本文引言中提到的2 m 维闭、定向旋r i e m a n n 流形y 上的 扭化d i r a c 算子 d p ：r ( s ( t y ) op ) _ r ( s ( t y ) op )( 3 2 6 ) 1 5 第三章扭化d i r a c 算子 及 三咩：r ( 珥( 吖) q p ) _ r ( n ( ) 圆p )( 3 2 7 ) 的定义就明确了。 现在我们再来定义一个超扭化d i r a c 算子。设x 是一个2 佗维闭、定向 旋r i e m a n n 流形，其上的r i e m a n n 度量及其决定的l e v i - c i v i t a 联络分别记为 9 似和v t x 。此时x 上就存在一个旋量丛s ( t x ) ，它是一个h e r m i t e 超向量丛 s ( t x ) = 4 ( t x ) on ( t x ) ，其上有由t x 上的l e v i - c i v i t a 联络v t x 提升得 到的联络v s ( 缎) 。注意该联络是一个h e r m i t e 联络，保持中s ( t x ) 的z 2 分次， 且与c i ( t x ) 在s ( t x ) 上的c l i f f o r d 作用相容 设= 鼻o 一是x 上的一个h e r m i t e 超向量丛，其h e r m i t e 度量记为夕f 。 设v 专为上的一个h e r m i t e 联络。考虑x 上的扭化张量积向量丛s ( t x ) 囟， 其上有一自然的z 2 分次 s ( t x ) 园专= ( s ( t x ) 园) + o ( s ( t x ) 囟) 一，( 3 2 8 ) 其中 ( s ( t x ) 囟) + = ( 4 ( t x ) o 鼻) o ( s _ ( t x ) o ) ，( 3 2 9 ) ( s ( 蹦) 园) 一= ( 肆( t x ) o ) o ( s _ ( t x ) 鼻) ( 3 3 0 ) 此时s ( 7 ) 圆带有自然的h e r m i t e 度量，( 以) 欲，所有子丛& ( t x ) o 缸关于 9 s ( 似) 雠相互正交。令 v s ( 缎) 觏= v s ( t x ) 囟i + 1 园v 喜，( 3 3 1 ) 其为s ( 似) 园上的一个自然的h e r m i t e 联络，该联络保持中s ( t x ) 圆中的z 2 分次，且与c l ( t x ) 在s ( 似) 圆专上的c l i f f o r d 作用相容，注意此时c ( e ) ( e t x ) 在s ( 暇) 园上的c l i f f o r d 作用为c ( e ) 园l 。 任取切丛t x 上的一个局部幺正基 e 1 ，e 2 ，e 2 他) ，注意到一阶微分算子 鍪1c ( e ；) v 导以) 觏的定义与局部幺正基 e 1 ，e 2 ，e 2 n ) 的选取无关，因此 d = ce i ) v 嚣缎园：r ( s ( t x ) 囟车) 一r ( s ( 鳓f ) 园) ( 3 3 2 ) i 是一个整体良好定义的微分算子。该算子d f 称为x 上的一个超扭化算子。容易 证明d 关于r ( s ( 似) 囟) 上的l 2 内积 ( s 1 ，8 - 2 ) = g s ( t x ) 融d a x ，v s l ，s 2 r ( s ( 似) 文) ( 3 3 3 ) jx 1 6 第三章扭化d i r a c 算子 是一个一阶形式自伴的椭圆微分算子，从而也是一个f r e d f o l m 算子。由于v s ( t x ) 。e 保持超向量丛s ( t x ) 5 的z 2 分次，而c l i f f o r d 作用c ( e ) ( e t x ) 交换该分 次，我们有 d ( r ( ( s ( t x ) 圆) 士) ) cf ( ( s ( t x ) 6 0 千) ( 3 3 4 ) 令 d 坌= d ( ( s ( 似) 亩 ) 士) ( 3 3 5 ) 则有 d 呈：r ( ( s ( t x ) 园) 士) _ r (