（基础数学专业论文）二阶脉冲微分方程和具拟导数高阶微分方程的振动性.pdf

摘要 摘要 l 【y ( t ) + p u ( t r ) 1 + 口y ( z 一伊) = 0 ，t t 七 a ( f f ( t k ) + ( “一丁) ) + q l y ( t k 一口) = 0 【矿( “) = 暑a y ( t k ) q 0 ，q l 0 ，p 0 ， 7 - 0 ，p 0 ，t 0a n d 仃 0 i nc h a p t e ri i i ，w ew i l lc o n s i d e rt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o ro s c i l l a t i o no ft h ee v e no r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n v o l v i n gq u a s i d e r i v a t i v e s l 扎z ( ) + q ( t ) x 1 ( z ) = 0 ，n i s e v e n ， w h e r eq ( t ) c ( t o ，o o ) ，r + ) ，yi st h eq u o t i e n to fo d dp o s i t i v ei n t e g e r s k e yw o r d s ：o s c i l l a t i o n ；i m p u l s i v e ；s u p e r l i n e a r ；s u b l i n e a r ；q u a s i d e r i v a t i v e s 2 亡 = ， 矿 q 呵 一 r 盯从 一 仉盼” + 叮 一 ， 川 七八v 丁 如训讹删 “ ， _ 从+ 旦级 p ) ： 却埘 ： 幻矿坛 陟 厦i 大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成果，均 在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生 的权利和责任 责任人( 签名) ：彳余更 砌8 年6 月= ；b 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进人学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编 人有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ( 请在以上相应括号内打”) 作者签名：徐复日期：泖孑年6 月乡日 导师签名：榴、 日期：巩g 年- , e j 岁日 第一章引言 3 第一章引言 振动性定理是微分方程定性性质最早的研究方向之一，它是从s t u r m 和k n e s e r 的研究工作开始的，后来对它的研究引起了更多数学家的关注 现在振动性定理更是有了突飞猛进的发展，特别是在1 9 7 0 年后开始的对 时滞微分方程振动性的研究及1 9 8 0 年后对中立型微分方程振动性的研 究这部分的主要工作是由g s l a d d e ，v l a k s h m i k a n t h a m ，b g z h a n g ( 1 9 8 7 ) ， i g y s r i ，g l a d a s ( 1 9 9 1 ) ，d p m i s h e v ( 1 9 9 1 ) 及l h e r b e ，q k o n g 完成的 在论文【3 4 】中，s j b i l c h e v ，m k g r a m m a t i k o p o u l o s ，及i p s t a v r o u l a k i s 证 明了如下定理： 二阶中立型微分方程 嘉 c 功+ 莩舭c t 一乃) + 萋瓠坤一吼，= 。 的解振动当且仅当其特征方程 a 2 + a 2 p i e 。n + q k e 。盯k0 无实根 其中，和为自然数的有限集合，p 1 ，兀，q k ，仅r ，i ，k k 近年来，对脉冲微分方程的研究受到了越来越多数学家的关注，它 最早是由k g o p a l s a m y 和b g z h a n g 在论文【1 9 】中开始研究的近几年中 d d b a i n o v 和p s s i m e o n o v 对各种脉冲微分方程的振动性问题都作过研 究1 9 9 1 年出版的文献【1 6 】是无脉冲微分方程的一部专著，其中创造了 许多著名的证明方法，某些方法经过适当的改动，可以用来证明脉冲微 分方程振动性定理从文献f 1 6 】知，可用特征方程来刻画微分方程解振 动的充要条件1 9 9 8 年出版的文献【1 1 】是第一部系统的研究时滞脉冲微 分方程的专著，其中建立了某些一阶线性常系数时滞脉冲微分方程解振 动的充要条件，如方程 iz 他) + p x ( t 一7 ) = 0 ，t t k ia x ( t k ) + p o z ( t k 一7 - ) = 0 第一章引言 4 的任意正则解振动，当且仅当其特征方程 一仇 h ( a ) 兰- - a + p e x rl1 一堡al = 0 p 在( 0 ，景) 内无实根 但是对二阶甚至是高阶时滞脉冲微分方程没有任何结果，因此，如何 利用二阶甚至是高阶时滞脉冲微分方程的特征方程来建立其解振动的充 要条件，就成为一个公开的尚未解决的重要问题在本文的第二章中，我 们将用特征方程来解决一类二阶时滞脉冲微分方程解振动的充要条件 长久以来，对于高阶微分方程解振动的充要条件的建立和证明一直 有较大的困难，特别是具有拟导数的高阶微分方程，在这些方面的结果 并不是很多事实上，近来m a r k o v an t 和s i m e o n o vp s 【2 2 ，2 3 ，g r a c es r 和l a l l ib s 【2 8 1 ，k i t a m u r ay 【s s ，e t i i a n d a p a n i 和i m a r o c k i a s a m y 【1 5 ，j e l e n am a n o j o v i c 和t o m q v u k it a n i g a w a 【1 8 】都对这方面作过讨论，我们也 可以在p h i l o sc h g 2 5 1 ，w a l t m a np 【3 1 】，w o n g ，j s w 【3 0 】中看到一些关 于这方面的结果，但是我们发现，他们大部分都只是建立了方程振动的 充分条件，给出必要性的文献很少，在本文的第三章中，我们将建立具 有拟导数的偶数阶微分方程解的振动性的充要条件 第二章一类二阶中立型脉；中微分方程的振动性 5 第二章一类二阶中立型脉；中微分方程的振动性 隧荣慧：嚣善“ 0 t l 0 ，l ，= 0 ，1 ，2 ，j i mu ( ) ( ) = o o ，= 0 ，1 ，2 o c a v ( t , ) 0 ，a v 他七) 0 ( 6 ) ( c )当( 5 ) 时成立时，有p 0 ， a v ( t k ) = q l y ( t k 一口) o ；( 7 ) 知( ) 严格单调上升，故或者 1 i r a ( t ) = ( 8 ) l o c 第二章一类二阶中立型脉冲微分方程的振动性 7 或者 。l i mj ( t ) = j o 。 ( 9 ) l o c 显然若( 8 ) 式成立则( 6 ) 式亦成立下证若( 9 ) 式成立，则( 5 ) 式成立首 先，我们将证明f _ 0 事实上，从t o 到t 对( 7 ) 式积分并令t _ 0 0 ，有 h 静0 ) ：口肛刊蚪篆撕a 故有 f 小刊d s 0 第二章一类二阶中立型脉冲微分方程的振动性8 故有 t ，( ) 0 ，l ，= 0 ，1 ，2 ，1 i m 埘比z ) = 0 ，= 0 ，1 t o c a w ( t k ) o ；( 1 2 ) 同时对任意函数w + ，满足 ( p ) ( t ) 0 ，= 0 ，1 ，2 ，j i mu 【p ) ( t ) = o o ，= 0 ，1 ，2 f o c a w ( t k ) 0 ，a w 印七) 0 ( 1 3 ) 进一步的，有 w ( t ) w 一号- - w ( t ) + p w ( t 一丁) 】w 一 且 w ( t ) w + 兮- - w ( t ) + p w ( t 一7 - ) 】w + 因此若w 1 ，w 2 w 一( 或彬+ ) 且n ，b 0 ，则有a w l + b w 2 w 一( 或彤+ ) 第二章一类二阶中立型脉冲微分方程的振动性 l o 2 3 无界解的振动性 首先，假设w 一= 0 ( 即w + 0 ) 本节利用中立型脉冲微分方程( 1 ) 的特征系统根的情况来研究其解的 振动性，其中 q 0 ， 口1 0 ，p 0 ， r 0 ，这个特征系统等价于 弘：坐入 f c 入，三入2 + p 入2 e a r ( 1 + 鼍；入) n 1 + 口e 一 盯( 1 + 百q l 入) n 2 = 。 c 1 5 ， 方程( 1 5 ) 称为方程( 1 ) 相应的特征方程 定理1 ：若条件( h 2 1 1 ) ( h 2 1 3 ) 成立则以下论断等价： ( a ) 方程( 1 ) 的任意无界正则解均振动 ( b ) 方程( 1 ) 的特征方程( 1 5 ) 无实根 第二章一类二阶中立型脉冲微分方程的振动性 1 l ( a ) 兮( 6 ) 的证明是显然的事实上，假设方程( 1 5 ) 有实根a 0 ，有 p = 警a 0 ，因此函数 ( z ) = e ( 1 + p ) i 【o ，) 即为方程( 1 ) 的无界正解 ( b ) 令( n ) 的证明将通过下面一系列引理得出 在这部分证明中，我们将假设( 2 ) 式成立，且方程( 1 5 ) 无实根，为了 得到矛盾，假设方程( 1 ) 有无界最终正解鲈( ) 引理2 ：( d ) 盯 0 ，与 特征方程f ( 入) = 0 无正实根矛盾，假设错误 ( b ) 显然，f ( o ) = q 0 ，f ( o o ) = 0 0 故f ( a ) 0 成立，对a 之0 故存在一个正常数m 使得 f ( a ) m ， 对任意a 0 成立故引理2 得证 口 对任意函数t t ，+ 定义集合 a c 埘，= o 证明：( d ) 由( t ) o ，( t 七) 0 及( 1 0 ) 式知， l n o ( t 一下) + q w ( t 一仃) o a w ( 如) + 詈喇 0 可得 州一( ) + 兰f n 邮巾训如。三一n 娜炒。， 再由t t ，邻一o t ) 0 ，a w 他七) 0 ，有 彬) + ；q 硼( z - a + ( t o r ) ) o 再从t p 到t 对上式积分，其中p 06 - ： 泖m ( 刚) + 圯彬( s - - o r + ( ) ) d s 一。篆一卢撕) 。， 第二章一类二阶中立型脉冲微分方程的振动性1 3 冉由t t ( t p ) 0 ，a w ( t k ) 0 且( ) 0 ，得 w c t ) + ；q p 加( t 一( q + p ) + ( 7 - 一盯) ) o ， 令q = p = ( 丁一o r ) 0 ，则 泖) + ；q 下( r - o ) 2 埘( 孚) 。， 即 ( h 孚) 0 下面令k n 使得一口( 警) k ，则由( 1 8 ) 式及切( t ) 单调递增，可得 呻刊彬( z + 孚七) a 彬( t + t t - - o 旷1 ) ) 0 可得 叫( t ) 加( z ) 一加( t p ) = 卜q a v ( s q a ) d s + 珊( 如) j t p t 一方五 q a f v ( t o t p 一仃) ( t ) = 呻一盯) 得 埘 可式 i 则 q 叭 及 口i 0 一 ， f i ” p 0 f l 由 q令 第二章一类二阶中立型脉冲微分方程的振动性 i = l y 个仕栗百 l 埘j 里，用仕恧w w 。 即a ( w ) 有正数界7 ，对任意t t ，w + f c l 合 妒( t ) = e 一( 1 + 詈a - i o , t ) w ( t ) ， ( t ) = 一a e 一( 1 + 詈a - i o , t ) 加( z ) + e 一( 1 + i q la ) - i o , t ) 埘7 ( t ) = e 一( 1 + 詈a ) 一峨( ( t ) 一a 埘( t ) ) ， 妒c 如，= ( e 一( 1 + 詈a ) 。i n 坟) 埘c 如，+ e 一( 1 + 百q l 入) - i o , t ) a 3 c 芒七， = e 一t ( 1 + i q l 入) 一鸭嘻( 埘c z 奄，一詈a 训c “，) ， 妒( t ) = e 一( 1 + 詈入) 一p j ( 伽( t ) - 2 a w ( t ) + 入2 叫( ) ) ， 妒7 ( 如) = ( e 一t ( 1 + 詈a ) 一【o j 曲) ( 彬7 ( 亡七) 一入叫( t 七) ) + e a “( 1 + 詈a ) 一【0 2 毒( 叫，( t 七) 一a 珊( “) ) = e - x t k ( 一号入) ( 1 + 号入) 一p j 者( 暑埘( 芒七) 一a 叫( 如) ) q _ e - x t k ( 1 + 警a ) 一【0 嘻( 叫( “) 一入( t 七) ) = e 一t ( 1 + 警a ) 一n “( 埘7 ( 良) 一2 入聊( “) + a 2 警埘( t 七) ) ， 故有 妒( t ) + 2 a ( ) = e 一舭( 1 + i q l 入) 一i n n ( 叫( t ) 一入2 埘( ) ) 。， ( 2 1 ) 妒，( t 七) + 2 a a 妒( 如) ：e a “( 1 + 百q l 入) 一【0 j 如( 叫( t 七) 一入z 百q l 叫( 如) ) 。( 2 2 ) 1 4 第二章一类二阶中立型脉冲微分方程的振动性 1 5 故可得( t ) e 2 为一个非减函数假设( c ) 结论不成立，则 ( ) 0 ，a ：i o ( t k ) 0 ( 2 3 ) 由( 2 1 ) ，( 2 2 ) 及( 2 3 ) 式，可知 ( ) o 再由假设 ( t ) 一a 2 w ( t ) 0 鲥) 卅詈埘m ) 2 0 ， 可得 w ( t ) 一a w 他) 0 a w 印七) 一a a w ( t k ) 0 令 “( ) = 一【w 7 ( 考) 一入位( ) 】 乱) = 一帅沪圳蛐】_ 一陪酬埘一圳埘 则u ( t ) 即为方程( 1 ) 的解，再由( 2 3 ) ，( 2 4 ) 及( 2 5 ) 式，可得 ( t ) 0 钍他) 0 ，a u ( t ) 0 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 现在在( 3 ) 3 式用i t 替换y 再由假设w 一= 彩，如同( 6 ) 6 式的证明，有 t l i m 一( u ( ) + 础( t 一7 - ) ) 1 ：o 。 但是由( 2 6 ) 式可推出。l i m u ( t ) 为有限数，矛盾引理3 得证 口 第二章一类二阶中立型脉冲微分方程的振动性 1 6 一a w ，( t 七) 一p a w ，( t 七一r ) = 0 ， 七“功i 卜一) - m 9 皿s 十幻囊删。州) ( 2 7 ) 口卜( s ) d s + 幻点? 州埘， 卜u c + 口w ( s ) d s + q l w ( t k ) 彤+ ， 引理4 ：令馏w + 且爻a ( w ) 令 肚下下砑专i 币而刈 其中常数m 为引理2 ( b ) 所定义，且常数，y 为引理3 ( b ) 所定义则 ( a 2 + ) 专a ( z ) ， 其中， 雄) - - ( 泖) + 御叫m z卜口删s+詈atotk o ( 3 0 ) 再由( 2 9 ) 式，可得 ( t ) = q w ( t 一口) + a 埘( 一口) ( q + 入2 ) w c t 一口)( 3 1 ) z ，( 政) = ( 乏孝) 一z ，( ) = g t 硼( 弦一口) + a 协( 坟一) ( 9 1 + q g a ) 。2 ) 彬( 颤一力， 从t o 到t 对( 3 0 ) 式积 o 彬 叫 a 厂埘 - ，t o ，2 afw ，f o r j t o 分，可得 一a w ( t k ) 一，(埘to t k t 1 吣) d s - 坯认蛳t l 讣久i 厂t 扣莎删s + 。 篆一矿秘溺，t o f 七 l 一口t “ f 一矿y 目 刊+ a 卜蚺幻三一矿却郎a 厂删s + 。篆一口渺d ( 3 2 ) 令 ( 1 + 百q l 入) 徊， 则 矿( ) = a o ( t ) a o ( t 七) - 塑口a o ( t 七) ， 从t 到t 一盯对上式积分，有 刊州= a f t t - e r 0 ( s ) 斛。s 三口釉 再由w ( t ) ，汐单调增，目 o t t 一7 - t o r ， s s d d 、l，、l， s s ，fl 第二章一类二阶中立型脉冲微分方程的振动性 如引理3 ( c ) 中证明，令 妒c t ，= 埘c t ，e k ( 1 + 詈a ) 一【o ， 司知妒( t ) 是个非减函数故有 入卜口邮肼毽三口渺七， = a 2 一叮妒( s ) 口( s ) a t + 。s “ 。一口号入妒( 七) p ( 七) 蚓，( a ，t - o ( s ) d s + 。篆一盯却南) ) ， = 妒( z 一伊) ( o ( t o r ) 一日( t ) ) 令 c 1 = 一( a 2 + ) 坠q ， 由( 2 9 ) ，( 3 1 ) ，( 3 2 ) ，( 3 3 ) 式再由w ( t 1 ，单调增日 有 ( 亡) 一( a 2 + n ) z ( t ) 0 t t 一7 0 引理4 证毕 下面考虑函数列 口 础) = _ ( 枷) + p z n - 1 ( h ) ) + k 厂删s + t o t k t - a 喇+ 竽 t t = 1 ，2 ， 其中z o ( t ) 由( 2 9 ) 式所定义，a o 为3 ( a ) 所定义， 且 肚孑下葡蠢i 网如， a n ：( 入：一1 + ) 互1 ， c n = 一( 乏( o + 盯) 4 - p ( o + 伊一7 ) ) ， 重复引理4 的步骤，知 显然 a n a ( z n 一1 ) l o tn = 1 ，2 ， l i m 入n = 。， ，l 第二章一类二阶中立型脉冲微分方程的振动性 2 l 这与在引理3 ( b ) 证明的 入ns ，y f o rt i , = 1 ，2 ， 矛盾 至此定理1 证明完毕 2 3 有界解的振动性 在2 2 中，我们完成了w 一= d 的情况下面我们要考虑形一彩的 情况下方程的振动性，即考虑方程( 1 ) 有界解的振动性由引理1 ( c ) 知， p 0 为常数 将( 3 4 ) 式代入方程( 1 ) 1 ，如同2 2 一般，可得方程( 1 ) 的特征方程为： f c a ，三a 2 + p a 2 e x , ( 1 一号a ) i 1 1 + 口e b ( ，一q - 口 a ) m = 。， c 3 5 ， 其中 i t ，t r ) = 7 t l ，i t ，t 一仃) = n 2 定理2t 令条件( h 2 1 1 ) 一( h 2 1 3 ) 成立则下述论断等价： ( a ) 方程( 1 ) 的任意有界正则解均振动 ( 6 ) 特征方程( 3 5 ) 在1 0 ，杀l 内无实根 ( n ) 今( 6 ) 的证明是显然的事实上，假设特征方程( 3 5 ) 在1 0 ，暑l 内有 实根a ，有p = 普a 0 ，0 。， 故存在正常数m 使得 f ( 入) m ，卯口f f 入 o ，盖 - 引理6 ：( a ) 令w w 一且l n 使得- l r 7 一o r 则， 砧( 南) a ( 毗 ( b ) 令w w 一且a a ( w ) 贝4 ， ( ) - t - a w ( t ) 0 a w ( t 七) + 塑a 切( k ) s0 ( c ) h ( w ) 有正界入2 ，对任意w w 一 证明：( a ) 令f n 使得- i t 7 一仃成立，对w w 一有 第二章一类二阶中立型脉冲微分方程的振动性 2 3 故 即 由于 故 即 则 令 则 ( b ) 令 一( w ( t ) + p ( t 一7 ) ) 0 ， w ( t ) 一p w ( t r ) o 彬也七) + 万q ll t ，( t 七+ ( r 一盯) ) o ， 一南川) 。i 一驯。 撕沪詈( 赤埘m ，) 。， ( 酽q 卜 矽( 丢) = 缈7 ( ) + a w ( t ) 帅扣詈彬) + 州埘， 砂7 ( t ) 一a 妒( t ) = w t ( t ) 一a 2 w ( t ) 0 砂( t t ) 一詈a 矽( “) = 山( 七) 一詈a 2 叫( 坟) 。， 绯e 粕( 1 一秽j ， 仳7 ( z ) = e 一( 1 一詈a ) n ( 砂7 ( t ) 一a 砂( t ) ) 。 ( 3 6 ) 第二章一类二阶中立型脉冲微分方程的振动性 2 4 让c t ，= e 一- ( 1 一詈a ) 甜o “( 砂c z ，一号a 砂c t 七，) 。， 故函数u ( t ) 非减 由 l i mu ( t 1 = 0 + 。c 可得u ( t ) 0 ，故此 砂( ) 0 ，矽( 改) 0 ( c ) 若否，则存在某些1 l ，w 一，有 a 2 三兰? n ( 一p ) a ( 伽) 则由( b ) 知 埘( t ) + a 2 埘( z ) 0 ， 故函数埘( t ) e 拗非增，故 叫( t ) e a 2 w ( t r ) e a 2 0 一引， 即 w ( t ) w ( t r ) e a 2 f = 一p m ( t 一7 i ) ， 这与( 3 3 ) 式矛盾引理6 得证 引理7 ：令t u w 一，a = s u v a ( w ) 令 肚了f 万丽百未；矿万i 下订知 其中m 为引理5 所定义之常数则 ( a 2 + ) i 1 a ( z ) ， 其中，t 0 ， 却) = 9 ，。) + 硝。吖) + 口代燃+ 口，坩三9 。d 口 第二章一类二阶中立型脉中微分方程的振动性 2 5 榭仁9 州2 詈。薹t 如a 且 g ( t ) = ( ) 一a w 他) 证明：显然，z ( t ) 为w 一中元素，令 砂( z ) = e ( 1 一百q l a ) 一敝n ( 一夕( t ) ) 。 啜| l ( t ) = e ( 1 一百q l 入) 一旺( 一伽( 4 ( t ) + 入2 埘( 亡) ) 。， 一9 ，( t ) = e 一( 1 一百q l 入) 【0 痧( t ) ， 一9 ( “) = 一百q l9 ，( t 七) = q a 口e a “( 1 一号a ) i 陲坟痧( 如) 一砒( 一科0 扪， 则 矿( t ) = - x o ( t ) a o ( t 扣一愀) ， 对( 4 0 ) 式两边从t 到t - 求积分，有 o ( t 1 ) 叫归一a 卜( f ) 武一a o ( t 成 j l t t k t l 令t 趋向于有 叫归一a 。0 眯肛怒d ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 4 0 ) ( 4 1 ) 第二章一类二阶中立型脉7 中微分方程的振动性 再对( 3 8 ) 式两边从t 到0 0 积分，有 即 9 = z e k ( 1 一百q l a ) 和舶绯肛驴 = o o e - k ( 1 一詈a ) 可0 。咖c ，吠+ 詈篆e 一机( 1 一百q l a i o , t k ) c t 七， 鲥主，+ 詈驴七) ) = 去砂( t ，e 一( 1 一百q la ) f 0 ” 9 ( 亡) + 入9 ( t ) 0 ( 4 2 ) 再对( 4 2 ) 式两边从t 到o 。积分，有 哆那搬肌等a 驴七) 枷m z 9 武+ 詈a 驴七， = 新卅a 仁水) 武+ 詈a 。薹r 如小af r 熊) 必一詈入。一荟 。必a 再由( 4 1 ) 式，有 9 印m 2 仁t 玳赋+ 鄹 9 印) + 入2 9 ( f ) d + 等a 2 芝二9 ( 如) ，t q 芑z 个 鲥( 丁搬肼一夏? 溆) 鲥f t 知嗽肼一乏 0 ，7 - 0 ，( t ) 兰1 l n 的域d ( l n ) 定义为：使得l k x ( t ) ，k = 1 ，n 在区间【t o ，+ o 。) j 存 在且连续的所有函数z ：t + o 。) _ r 的集合 假设 l 阳蔫= + 。i o r i = 1 , - - - , n - 1 且，对任意的i = 1 ，3 ，n 一1 ，有 厶一1 ( t ，n ；r 1 ，r 2 ，n 一1 ，r n 一1 ，r n 一2 ，r i ) = 厶一l ( t ，n ；r n 一1 ，r 1 ) 显然，当i = 1 时，有厶一1 ( ，n ；r n - 1 ，r 1 ) = 厶一l ( t ，n ；r n - 1 ，r 1 ) ；当i = 礼一l 时，有厶一i ( t ，o ；r n - 1 一，r 1 ) = 厶一l ( t ，n ；r l ，r n 一1 ) 当方程的某个解有任意大零点时，习惯上称这个解是振动的，否则称 这个解为不振动的 若7 1 则方程( 4 5 ) 称为严格超线性；若0 7 0 ，使得 厂厶一，1 7 n - l , j l l ( st ；r n r 1 ) q ( s ) d s 0 成立 ( c ) 若0 0 ，j = 1 ，2 ， 易证，歹= 1 ，2 ，死一1 b ( t ，s ；扔，p 1 ) = ( 一1 ) b ( s ，t ；p l ，殇) ， 驰 s 耵叩) = 2 丽1 铀 ；耵p 2 ) d u ，易( 。，s ；乃，p 1 ) 2 ，瓦丽易一1 ( ， ；功， ， 等s ；驴叩t ) = 丽1 铀蚴“p 1 ) 瓤s ；功, - - - p 1 ) 一高w ，s 旷耐 ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 5 0 ) ( 5 1 ) ( 5 2 ) 我们需要以下引理 s c h a u d e r 不动点定理设e 是局部凸空间( 如赋范空间) x 中的完备凸集 第三章一类具有拟导数的偶数阶微分方程的振动性3 2 如果连续映射，：e 叶e 使i ( e ) 是相对紧集，则，有不动点 引理8 1 2 4 , p 4 s s l令殇c ( z ( 0 ，+ o o ) ) ，j = l ，2 ，ast t 1 则： ( 1 ) b ( u ，t ；t h ，助) l l ( u ，t ；p j ) b 一1 0 , ，t ；p a ，乃一1 ) ，tst t | ； ( 2 ) 函数鸽测在区间t i t , u ) 非增； 淞麓产，t 纵u ； ( 4 ) 易( t ，丁；p t ，乃) 丢鼍弓器易( u ，? ；n ，p j ) ，丁 t - ； ( 5 ) r 赤忡，s m 州蛇装器驰胁，删， t t 0 ，i = k ，k + 1 ，n ( 2 ) 下面不等式成立 厶( ，t o ；r k - v + l ，仉) l + 1 ( ，t o ；“咄，飞) i l k 一材z ( ) l 。 l l k - - l t - - 1 z ( ) i 对t t o t k 及t ，= 0 ，1 ，七一1 ( 8 ) 若( 4 6 ) 式成立，下证方程( 4 5 ) 有一不振动的解显然，若z ( z ) 满 足方程 ， z ( t ) = 1 一厶一1 ( s ，孟；”，r 1 ) q ( s ) z 7 ( s ) d s ， ，t 则x ( t ) 为方程( 4 5 ) 的解，且为方程的有界不振动解故只需证明方程 z ( 孟) = 1 一0 0 厶一t ( s ，t ；r n 一，r ) 口( s ) z 1 ( s ) d s 有解，选择充分大t t 使得不等式 m a x 歹厶一- c s ，t ；r n t ，r ，口c s ，d 5 ，2 7 歹i _ l ( s , t ；m - i , , r 1 ) q ( s ) d s 互1 成立 考虑函数集 ，= x6c ( t , o e ) ，r ) ：百1 z ( t ) 1 ， 定义算子s ：i l l _ c ( m 。) ，r ) 如下： ，0 0 s z ( t ) = 一1 一厶一1 ( 8 ，t ；r n _ 1 ，r 1 ) q ( s ) x 7 ( s ) d s 显然z ( t ) 7 1 且由( 5 1 ) 式知厶一1 ( s ，t ；r n “，r 1 ) 关于t 单调减，故 ( 圳1 一“( s 妇，g ( s ) d s 1 一h ( s 丁；，g ( s ) d s三 第三章一类具有拟导数的偶数阶微分方程的振动性 3 4 对t t 成立 又( s x ) ( t ) 1 ，故s ：i ，_ i ，下证s 为i ，上的紧集令( x ) = 矿，对 x l ，x 2 ( ，1 ) ，有 但是 故 i z 7 一z ；l = l ，( ) l l z l 一z 2 i ，w h e r ef ( r a i n x 1 ，x 2 ，l l l a x x 1 ，z 2 ) ) 旷i 一| 侣1 f 洲7 1 , 1 旧捌l 2 7 i x - - x 2 l ，卯球( 丢，1 ) 令z ，彬 ，贝l j 对扎n ，有 l ( s z ) ( t ) 一( s 叫) ( z ) l - - - f 一( s ，t ；一t ，r ) 口( s ) l z 7 ( s ) 一伽7 ( s ) l d s 2 7 厶一t ( s ，z ；r n t ，r ) q ( s ) l z ( s ) 一叫( s ) i d s s2 7 l i z ( s ) 一叫( s ) 1 1 厶一，( s ，t ；r n 一，r t ) 口( s ) d s 2 7 “z ( s ) 一埘( 5 ) l lf 厶一t ( s ，丁；r n 一，r - ) 口( s ) d s 1 专i i z 一叫l i 因此 l l s z s 叫| i 言l l z 一切i i 二 故s 为a ，上的紧集。有不动点定理知s 即为方程( 4 5 ) 的有界不振动解 ( a ) 部分证毕 ( b ) 只需证其充分性 令7 1 假设( 4 7 ) 式成立，下证方程( 4 5 ) 的任意解振动若否，假 设方程( 4 5 ) 有一不振动解。( ) 不失一般性，假设x ( t ) 0 ，对t t o 由 第三章一类具有拟导数的偶数阶微分方程的振动性 引理1 0 知，存在奇数七1 ，n 一1 ，及t k t o 使得 z ( t ) i z ( t ) 0 ，i = 0 ，1 ，k ， ( 一1 ) 七一x ( t ) l i x ( t ) 0 ，i = k ，七- 4 - 1 ，n 下面分两种情况讨论：情况1 ：当七= 1 时，即： x ( t ) 0 ，l l x ( t ) 0 ，l 2 x ( t ) 0 ，l n x ( t ) t s ，t ；吩，r 2 ) l j x ( s ) + ( - 1 ) p 1 8 h ( 州；札h ，如( “) 砒 厶一2 ( u ，t ；r n - 1 ，r 2 ) q ( u ) x 1 ( u ) d u 8h ( ” 札l 一，嘲咖) 砒州巩 己，z ( z ) 。0 厶一2 ( “，t ；r n t ，r z ) 口( 让) d z 1 ( t ) ， l 静2l 靠l 咖) 如1 西忡， + n 一1 ，r 2 ) q ( u ) d u x 7 ( ) 厶一2 ( “，t ；r n - 1 ，r 2 ) q ( u ) d u d t t ；r n - 1 ，r 2 ) d t 酬砒f f l1 西厶一2 ( 乱，乩，r 2 ) 疵 口( “) 如f f , 1 西厶一2 ( ”，；r n