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交换环上的素子模 基础数学专业 研究生尹华玉指导教师王芳贵 本文主要通过 算子的技巧，运用模理论的方法，对素子模进行了系统的 研究在每一章中的第一节，都给出了素子模或素w - 子模的一些刻画首先， 通过索子模的基本性质与结论，讨论了模上的主理想定理对于s m 整环上的 投射模，给出了其p i t 成立的等价刻画即证明了任意投射甩模有p i t 当且仅 当硝2 】有p n j 当且仅当对r 中任意高度为l 的素理想p ，岛是赋值环，当且仅当 对r 中任意高度为1 的素理想p ，岛是离散赋值环同时，给出了唯一分解整环中g v 理想的等价刻画，证明了在唯一分解整环r 中，= 鼢l + + a 0 ，l o v ( 冗) 当 且仅当n = r ( n l ，) 是f = r 2 ) 的秩为1 的素子模，当且仅当= r ( a l ，) 是f = r 2 ) 的具有秩为l 的极大子模其次，定义了”模 中子模的廿根，讨论了其基本性质作为所得结果的应用分别对l a s k c r i a n 模、 乘法模与有限生成自由模上的w - 根进行了研究证明了若m 是有限型的乘 法t l ，模，是同i q 仆理想，则w - t a d j m = 、j m 讨论了子模的直和的廿根，得到 若 噍l r ) 是一簇t l 卜模，魁a r ) 是必的子模，且m = o 坛，n = o 胍， t w , 则w - r a d m n = o w - r a d m 。川特别地，证明了若f = 肿) ，n = 鼢妄f ， 且口f ，则a t # - r a d f 当且仅当【q ，o t l ，1 t 伽- r a d r 【o ，d 1 ，o 稍t ，其 中l t m i n m + 1 ，n 关键词：素子模* w - 模s m 整环g v - 理想t c 卜根l a s k e r i a n 模乘法模 第i 页，共3 6 页 p r i m es u b m o d u l e so v e rc o m m u t a t i v e r i n g s b a s i cm a t h e m a t l c s p o s t g r a d u a t e ：y i nh t m y us u p e r v i s o r ：w a n gf a n g g n i i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ep r i m es u b m o d u l e ss y s t e m a t i c a l l y 坶戚n gt h e w - o p e r a t i o na n du t i l i z i n gt h em o d u l et h e o r ym e t h o d i nt h ef i r s tp a r to fe a c h c h a p t e r w eg i v es o m e b a s i cc h a r a c t e r i z a t i o n so fp r i m es u b m o d u l e so rp r i m et 俨 s u b m o d u l e s f i r s t w ed i s c u s st h ep r i n c i p a li d e a lt h e o r e mf o rm o d n l 鹤t h r o u g h b a s i cp r o p e r t i e sa n dc o n c l u s i o n so fp r i m es u b m o d u l e s s o m ee q u i v a l e n td e s c r i p - t i o n s8 g i v e nf o rt h ep i tt ob eh o l df o rp r o j e c t i v em o d u l e so v e rs md o m a i n s i ti sp r o v e dt h a tt h ep i th o l d sf o re v e r yp r o j e c t i v er - m o d u l ei fa n do n l yi f t h ep i th o l d sf o r 科2 ) ，i fa n do n l yi ft h el o c a lr i n g 风i sav a l u a t i o nr i n gf o r e v e r yh e i g h t1p r i m ei d e a lpo f 冠i fa n do n l yi ft h el o c a lr i n g 岛i sad i s c r e t e v a l u a t i o nz i n gf o re v e r yh e i g h t1p r i m ei d e a lpo fr m e a n w h i l e ，w eg i v es o m e e q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n so fg v - i d e a l so v e ru n i q u ef a c t o r i z a t i o nd o m a i n s l e t rb eau n i q u ef a c t o r i z a t i o nd o m a i n ，t h e ni = r a l + + r c v ( 鳓i fa n d o n l yi fn = r ( a a ，a n ) i sap r i m es u b m o d u l eo f f = r c n ) ( 行2 ) s u c ht h a t r a n k ( n ) = 1 ，i f a n d o n l y i f n = r ( a a ，) i s a s u b m o d u l e o f f = 搿耐2 ) w h i c hi sm s a i m a lo fr a n k c n ) = 1 s e c o n d l y , w ed 醯n et h ec o n c e p to fw - r a d i c a l o fam a b m o d u l eo f8 w - m o d u l e ，a n dd i s c u s si t sb a s i cp r o p e r t i e s a s8 p p l i c a t i o n s o ft h eo b t a i n e dr e s u l t s ，职s t u d yt h ew - r a d i c a l so v e rl a s k e r i a nm o d u l e s m u l t i - p l i c a t i v em o d u l 瞄a n df i n i t e l yg e n e r a t e df r e em o d u l e sr e s p e c t i v e l y i ti sp r o v e d t h a ti fmi saf i n i t et y p em n l t i p l i c a t i v ew - m o d u l ea n d1i saw - i d e a lo fr t h e n w - t a d i m = 、f i m i t i s d i s c u s s e d t h e w - r a d i c a l o f t h e d i r e c ts u n l o f s u b m o d u l e s a n dp r o v e dt h a ti ft 磊ii r a r eaf a m i l yo fw - m o d u l e s ，j 吒a r ) w et h es u b - m o d u l e so f 尬，a n dm = o 尬，n = o 肌，t h e nw - r a d m n = o w - r a d m t 趣 lt f n m o r e o v e r ，i ti sp r o v e dt h a ti ff = 剜n ) ，n = 冗瓯fa n d 口f ，t h e n 口w - t a d f ni fa n do n l yi f 陋，q 1 ，- 一，o m l t w - r a d r p ，m ，码n 】tf o ra u 1 t m i n m + 1 ，n ， k e y w o r d s ：p r i m es u b m o d u i e ； w - r o o d u l e ；s md o m a i n ；g v 二i d e a l ；w - r a d i c a l ；。 l a s k e r i a nm o d u l e ；m u l t i p l i c a t i v em o d u l e 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 到喜 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师王羞贵熬攫指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而弓 起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有 学位论文的部分使用权，即：1 ) 己获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版 和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作 为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名： 年月 日 刖置 众所周知，小算子和亡- 算子是两个常用的星型算子，它们在理想理论中 起着重要的作用，但它们对模范畴几乎没有什么刻画王芳贵教授和r k m c c a s l a n d - j ：1 9 9 7 年建立了一个新的星型算子弘算子，它不仅对整环的理想理 论有如俨算子和扛算子一样的刻画，而且对模范畴的研究也有丰富的结果；席文 主要运用铲算子的技巧，利用模理论的方法，对素子横进行了一些细致的研究 1 9 9 4 年，s m g e o r g e ，r l m c o a s l a n d 和p f s m i t h 在文【1 0 】中研究 t n o e t h e r 整环上模的p i t ( p r i n c i p a li d e a lt h e o r e m ) 成立的条件在第一章：利用 模的p i t 成立的条件，我们讨论了局部唯一分解整环的w - k n 2 1 维数，得到若尼黾 局部唯一分解整环，且每个有限型模都有p i t ，则埘一d i m ( n ) = 1 由于s m 整环 有着与n o e t h e r 整环类似的性质及结论，我们也运用蚋算子研究了s m 整环上 投射模的p i t 成立的条件，证明了任意投射品模有p i t 当且仅当崩2 ) 有p r r 。当 且仅当对冗中任意高度为1 的素理想p ，r ，是赋值环，当且仅当对兄中任意高度 为1 的素理想p ，岛是离散赋值环此外，通过对最大公园子整环中素子模舶研 究，给出了唯一分解整环中g v - 理想的等价刻画证明了在唯一分解整环r 中 i = j k l + + r q v ( 固当且仅当n = r ( a l ，) 是f = 冗2 ) 的 秩为i 的素子模，当且仅当n = r ( a 1 ，) 是f = 兄2 ) 的具有秩为1 的 极大子模 1 9 8 6 年，r l m c c a 8 l a n d 和m e m o o r e 在文【1 9 】中定义了予模的m - 根 设m 是皿模，是m 的子模，若不包含在m 的任何素予模中。规定t a dn = m 否则，规定r a d n = n p l p 且p 是m 的紊子模 称t a d n 为在m 中的m _ 根通过素 子模，我们在第二章定义了弘模中子模的t 卜根设肘是肚模， 是m 的子模若不包含在m 的任何素廿子模中，规定w - r a d m n = m 否 则规定 w - r a d m n = n p i 只且尹是掰的素明子模 = n plp 是m 的上的极小素伽予模) ， 称w - t a d mn 为在m 中的廿根，简记为w - t a dn 在对抄根进行研究时，我们通 第1 页，共3 6 页 前言 过t l 整环的相关结论举例说明了本文定义的 根与文【1 9 】中定义的m _ 根是两个 不同的根，但得到了其与m 一根有类似的结论在研究子模的p 根之前，有必要对 模的素廿子模进行研究，所以我们在第二章的第一节讨论了模的素舡子模得 到若m 是有限型的廿模，是m 的子模，且( ：m ) = m ，则是m 的极大廿子模 当且仅当m 是r 的极大铲理想，且是m 的m 极大子模在第二节，给出了廿根 的一些基本性质及结论证明了若，m 2 是弘模，m 是 五的子模，飓是m 2 的 子模，且胍m 2 ，l k 则w - r a d m 。l w - r a d m 2 吧作为所得结果的 应用，本文在第三节分别讨论了l a s k e r i a n 模与乘法模上的咖根对于有限生成 的l a s k e r i a n 模m 及m 的子模n ，证明了若m 是弘模，则、硒：硒= ( w - r a dn ： m ) ；若m 是w - 模，且w - r a d n 是m 的p - 素子模，则h 。r p n m 是m 的匪素予模 对于乘法弘模m 及m 的子模，厶有伽r a d ( n l ) = t o - t a d n n z o - r a d l 对于 有限型的乘法 模m 及m 的真廿子模，证明了若m 是s m 模，则w - t a dn 是肘的 有限个素t c ，- 子模的交；若p 是m 的子模，则p 是上的极小素铲子模当且仅当( p ： m ) 是( ：m ) 上的极小素理想 最后，我们对有限生成自由模上的素予模与肛根进行了深入的研究在 第三章的第一节，给出了有限生成自由模上的素子模的一些刻画在第二 节，首先讨论了子模的直和的”根，得到若 必i i n 是一簇 模，川“ r ) 是尬的子模，且m = o 坛，n = o 肌，则廿r a d f n = o w - r a d m , 批其 次，讨论了唯一分解整环上有限生成自由模中循环子模的i o - 根特别地，充 分利用行列式的技巧，对有限生成自由模中有限生成子模的 根进行了刻 画，证明了若f = 胪) ，n = 胍冬f ，且a f ，则口w - t a d ，n 当且仅 当陋，q 1 ，o 概k w - t a d g 【o ，口l ，a m 】t ，其中1 t m i n m + l ，n h y y i n 5 2 0 1 6 3 c o r n 第2 页，共3 6 页 毕业论文 第一章素子模 本文恒设扁黾具有单位元的交换环设m 是皿模，是吖的子模，记f ： 掰) = p r l r m 若鑫f ，且对任何r r ，m ，由恬 r 能推出r ( ：m ) ，或者$ ，则称是m 的素子模记( ：m ) = p 也称是m 的p 一素子模由【2 ，t h e o r e m1 】，n 是m 的素子模当且仅当( ： j l d = p 是r 的素理想，且m 胁是无挠r p 一模1 9 9 5 年，w a n gf a n g g u i 和r l m c c a s l a n d 在文【3 】中研究了具有秩为t 的极大子模2 0 0 3 年，p ：y d f i e k 在文f 4 1 中 研究了交换整环上有限生成自由模的素子模本章通过对最大公因子整环中素 子模的研究，给出了唯一分解整环中g v - 理想的等价刻画即证明了在唯一分 解整环冗中，= 砌l + + 融；g vq 硒当且仅当n = r ( a l ，) 是f = 兄2 ) 的秩为1 的素子模，当且仅当n = r ( a l ，) 是f = r 2 ) 的 具有秩为1 的极大子模 1 1 素子模的一些刻画 设尼黾整环，k 是同拘商域，记a _ 1 = 忙k i 。a 兄 设，是同拘有限生成 理想，如果j _ 1 = r ，则称，为周 q g l a z - v 缸c o n o e l 理想( 简称g v _ 理想) ，记作， c v ( 固设m 是无挠品模，定义 砧= 伽k 圆m l 存在j c v ( 冗) ，使得如 m ) ，称之为m 的廿包络若m ，= m ，则称m 为廿模当m 是r 的理想时，称之 为置的w - 理想，显然，若j g v ( 只) ，则有无= r 。在文中我们用弘s p 耐霆j 表 示引i 勺素廿理想的集合，用w - m a x ( 固表示兄的极大弘理想的集合所谓无挠 模m 是有限型的，是指m 存在某个有限生成子模，使得a 缸= m ， 引理1 1 1 设m 是无挠兄- 模，a 是m 的t 班子模若m = 似：肘) 是嗣挣陵大弘 理想。则j 4 是时的素子模 证明设肛a ，其中r r t l i ，z m 由于m 是r l 趴l 爱大恤理想 故( 册+ m k = r 于是存在j g v ( r ) ，使彳寻，肼+ m ，从而有如 ( 勋+ m k = r r x + m z a 由于a 是廿模，故有o a 第3 页，共3 6 页 1 1 素子模的一些刻画 命题1 1 2 设尼黾唯一分解整环，m 是”一模，m 是r 的极大廿理想，则有m m = m ，或者m m 是m 的素廿子模 证明m 5 ，p r o p o s i t i o n2 6 】与 6 ，定理2 】，有( m 肘) 。一m 朋0 = r a m 由【5 ， l e m m a1 2 】，；i f ( r a m ：m ) 是吲 勺仆理想由于mg ( m m ：m ) r ，_ r m w - m a x ( 固，故有( r a m ：m ) = r ，或者( r a m ：m ) = 1 1 于是m m = m 。或 者m m 是m 的素p 子模 命题1 1 3 设m 是有限型品模，j 是r 的弘理想若以= i ，则( i m ：m ) = i 证明令= 虬，其中n = p , x l + + 鼢。是m 的有限生成子模 设r 肼i m ，则有r r m j m ，m 。= j 心( ，) 。于是存 在j = ( b l ，k ) g v ( 固，使得j r n i n 由【7 ，t h e o r e m7 5 l ，对每 - - i ( 1 i n ) ，都存在欢i ，使得( 慨力”+ 鼽) = 0 由是无挠模， 有( 6 r ) ”+ 弘= 0 ，故( b i t ) ”i 因此，b i r v 7 ；1 ，从而有打j 由j 是伽理 想，有r j ，于是得到( z m ：m ) j 由命题1 1 3 我们不难得到如下推论 推论1 1 4 设p 是周移削寝型的素仆理想，则( p 2 ：p ) = p 推论1 1 ，5 设p 是闭j 勺有限型的素廿理想，则以下各条等价： ( 1 ) p 2 是冗的p 一准索理想； ( 2 ) p 2 是p 的p - 准素子模； ( 3 ) p 2 是p 的p - 素子模 推论1 1 6 设兄是唯一分解整环，m 是有限型的廿模，则对任何极大廿理 想m ，有m m 是m 的素铲子模 定理1 1 7 设r 是唯一分解整环，m 是有限型的廿模，p 是r 的素铲理想， 则m 必存在p 素子模 证明由命题1 _ 1 3 ，( p m ：m ) = p 由【5 ，t h e o r e m4 1 1 1 ，；f f p m = ，n 胍是p m 的准素弘子模的准素分解而( p m ：m ) ，= n ( 魁：m ) ，于是存 在，( 1 ，n ) ，使得( 飓：m ) = p 此时，鹏便是m 的p - 索子模 h y y i n 5 2 0 0 1 6 3 c o m 第4 页，共3 6 页毕业论文 1 1 素子援的一些刻画 设r 是整环，s = r 一0 ，k = r s 是r 的商域对任何皿模m ，m s = 耳圆m 是k 向量空间定义r a n k ( m ) = d i m k ( k 圆蚴，称为m 的秩 rr 命题1 1 8 设只是整环，s = r 一0 着m 是无挠模，是m 的子模， 且r a n k ( n ) r 孤k ( m ) ，则以下各条等价： ( 1 ) 是m 的素子模； ( 2 ) 是m 的准素子模； ( 3 ) = s n m 证明由于剐黾整环，m a n k ( n ) r a n k ( m ) ，故 四面= ( n ：m ) = 0 ( 1 ) 争( 2 ) 显然 ( 1 ) 寺( 3 ) 设是m 的素子模，则是m 的o _ 素子模设z s n m ，则存 在8 s = r 一0 ，使得犯故z n ，即有船n 盯n ( 3 ) = ( 1 ) 设n = n m 假若不是m 的素子模，则存在r r 一0 。 z m 一，使得r z n 因此，z = 竿s n m ，从而得到z n ，矛盾 命题1 1 9 设是黾整环，s = r 一0 设m 是无挠模，二，是材的子模，且二= 帆nm 若r 觚k ( ) r a n k ( ，则厶邑m 的素子模。 证明由于= n s n m s = n s ，故有r a l l l 【( d = r a n k ( v ) r a n k ( m ) 又工= l snm ，由命题1 1 8 ，有工是m 的素子模 定理1 1 1 0 设r 是整环，s = r o 。设m 是无挠模，是m 的子模， 且r a n k ( m ) = t l ，呲k ( ) = i n 则对任意了，其中i j i 由q ：d i m k ( n s ) = r a m k ( n ) = i ， 教存在z l ，戤，使得 早，乎) 是帆的基底于是存在耳上的线性无关 组 警，竿) ，其中沈，跏t m ，使得 警，- 7 ，警，牛) 在耳上 线性无关令a = 风n m ，其中b ；( l ，矗，讥，协一t ) 则有a ， r r 血k ( a ) = d i m k ( a s ) = d i m r ( b s ) = j 由命题1 - 1 8 ，有a 是m 的素子模 第5 页，共3 6 页毕业论文 1 1 素子模的一些刻画 所谓无挠模m 是n - y 数有限型的，是指m 存在某个可数有限生成子模，使 得吮= 心 定理1 1 1 1 设肘是可数有限型的 模，a 黾m 的所有非可数有限型廿子模 中的极大元。n a 是m 的素子模 证明用反证法假若a 不是掰的素子模，则存在r r 一：材) ， m a 使得r 工a 令 b = z m i 他a ) 于是+ r m ) 。与b 真包含a ，从而都是可数有限型的记 ( a + r m ) 。= ( 口1 + l j 9 1 。，a n + r x n ，) 。，啦a ，双m ， 及 b = ( b l ，k ) 。，b b 对任意a a ，有8 + r m ) ”于是存在j = ( d 1 ，西) c v ( r ) ，使 得儿( 口l + 啊，a n + r x ，- ) 则有 如= 阳h + 恤) = 缸母+ r 砘，其中r ，t = 1 ，f t篁l=l i = l k 记执= 8 i t z i ，则r y t = 五n e8 n 幽a ，故有y t b 因此存在 g y ( 而， 使得对任何t ， y t 吼，k ，) 于是有 以如g ( a l ，r 6 l ，r k ，) 从而得到 a = 0 l ，r b x ，r 6 m ，) 口， 放a 是m 的可数有限型叫一子模，矛盾因此，a 是m 的素子模 定理1 l 1 2 设m 是皿模，a 是m 的子模则a 黾m 的p 素子模当且仅 当a x j 睦m l 的p 罔一素子模 证明先证明( a 】：m p q ) = ( a ：m ) 闻设让= 以x 似：m ) 】， f a l o ，= b m x q ，其中r 似：肘) ，b m 则n b a ，从而辄， a 闲因此，( a ：【弼m 区】j 4 冈，即有( a ：肘) 冈似】：m 】) h y y i n 5 2 0 1 6 3 c o r n 第6 页，共3 6 页 毕业论文 1 2 横上的主理想定理 另一方面，设t = n x 吲：m 畔1 ) ，其中r er 则对任意bem ， 有曲( a x 】：m 】) m p q a 陋】，从而啪a 因此，r ( a ：m ) ，即 有i x 】：m i x ) ( a ：m ) l x l 设a 是m 的p 素子模，则有似陋】：m i x l ) = ( a ：m ) 】= p 】设u = n 膏只l x l 一p 闭，= b m x l ，让，a p q ，其中r i r p ， 屯m 则有c 似，) a ，即n 如a ，其中i = 0 ，j = 0 ，m 于 是a ，即有f a 因此，a j 是m 】的p i x - 素子模 反之，设a 陋】是m p q 的p l 硎一素子模，则：m ) 】= ( a i x 】：m 陇】) = p 圈，从而有( a ：m ) = p 设r r p ，善m ，馏a 显然，r r i x 】一p 【x 】， r 茁a i x 】于是零a i x l ，故有a i x l n m = a 因此，a 是m 的p 素子模 1 2 模上的主理想定理 设m 是屠模，是m 的子模，p 是m 的包含的素子模若与尸之间无其他 的素子模，则称尸是上的极小素子模设p 是m 的素子模，我们称 r c r 一1 c cp l c p o = p 是m 中长度为n 的素子模链，其中只是m 的素子模，i = 0 ，1 ，n 这样的n 的上 确界称为素子模p 的高度，记为h t 尸若在模m 上主理想定理成立，即m 的任何 非零循环真子模上的极小素子模的高度不超过1 。则我们称肘有p i t ( p r i n c i p a l i d e a lt h e o r e m ) 在文中我们用t ( r ) 表示由用 勺所有单位组成的集合设r 是最大公因子整环， a i r ( 1 i n ) ，用g c d ( a l ，o ，1 ) 表示口1 ，n f i 的最大公因子 命题1 2 1 设r 是整环，m 是无挠模 ( 1 ) m 有p i t 当且仅当m 的每个非零素子模都可表为高度为1 的素子模的并 ( 2 ) 若( r ，m ) 是局部环，则m 有p i t 当且仅当坛。有p i t 证明( 1 ) 设m 有p n 设a 是m 的非零素子模，霉a - 0 f a i i ，p r o p o s i t i o n 1 】，存在r z _ i ：的极小素子模p ，使得r x p a 此时，h tp = 1 ，故a 是这类素 子模的并 h y y i n 5 2 0 1 6 3 c o m第7 页，共3 6 页 毕业论文 1 2 模上曲主理想定理 反之，设m 的每个非零素子模都可表为高度为l 的素子模的并设。m 一0 a 是m 的鼢上的极小素子模由条件，存在m 的素子模p ，使得z pca ， 且h t p = 1 由a 的极小性，有p = a 故h t a = 1 ，即有p i t ( 2 ) 由【l o ，l e m m a1 0 】即得 命题1 2 2 设冗是整环，则以下各条等价： ( 1 ) 任意冗- 模有p i t ； ( 2 ) 任意无挠模有p i t ； ( 3 ) 任意仆模有p i t ； ( 4 ) 任意平坦模有p i t ； ( 5 ) r 是域 证明( 1 ) j ( 2 ) 净( 3 ) 号( 4 ) 显然 ( 4 ) 辛( 5 ) 设a r 一0 ，若n 不是单位，则在r a 上必存在极小索理想p 令m = k o r ，a = k o p ，则a 是m 的p - 索子模设。= ( 1 ，d ) m ，则r x a e e i i ，p r o p o s i t i o n1 l ，存在如上的极小素子模p ，使得如p a 显然， o ( 吉，1 ) = ( 1 ，= 霉p 且( 吉，1 ) 譬a ，则( 占，1 ) gp ，从而有n ( p ：m ) ， 故r 口( p ：蚴：m ) = p 由p 的极小性，( p ：m ) ；p 于是a = p m p ， 故有a = p 是鼢上的极小素子模r a m 是平坦模，有h t a 1 注意到oc k 0 0ca 是m 的素子模链，从而有h t a 2 ，矛盾因此，口是单位，故r 是域 ( 5 ) 辛( 1 ) 设魄晶模，a 是膨的非零循环真子模由于r 是域，故任意品模 都是无挠模，从而m 的任意真子模都是m 的o - 素子模因此，a 自身即为a 上的极 小素子模。且有h t a 1 ，即m 有p i t 引理1 2 3 设m 是戽模，厶是m 的子模，且l ，则是m 的p 素子模当 且仅当工是m l 的p - 索子模 证明显然，( n ：= ( j v l ：m l ) ，m n 笙( m l ) ( n l ) 由【2 ， t h e o r e m1 a p 得 引理1 2 4 设尼黾整环，口，6 足p 是肠+ 劢上的极小素理想若每个有限 型模都有p i t ，则h t p 1 h y y i a 5 2 0 1 6 3 t o m 第8 页共3 6 页 毕业论文 1 2 模上的主理想定理 证明首先证明( r a ：劢) + ( r 6 ：r a ) gp 若不然，由( r a ：r b ) + ( r b ： r a ) p ，有口，b p 令f = 冗【4 ) ，口= ( 口，6 0 ，0 ) 只只= ( z ，暑，0 ，o ) f i 叫= k 由【l o ，l e r a m a4 】，有p l 是f 的r u 上的极小索子模，1 t ( b ：f ) = 0 令岛= “o ，0 ，磊t ) f l a t = k ，同理，尼也是f 的素子模，且( 岛：f ) = 0 令三= b o b ，则二也是f 的素子模，从而有f 的素子模链0crc 工cp ， 令t ，= ( 口，0 ，0 ，o ) ，贝p f 是f l u + r v + t 1 上的极小素子模事实上，假设存 在f 的素子模 使得r u + r v + 马s p f 则有( ：f ) ( p f ：f ) = p ， 且a ( x ，0 ，0 ，0 ) = t ，由1g “有( 1 ，0 ，0 ，o ) g p f ，从而也有( 1 ，0 ，0 ，0 ) g 因 此，口( ：f ) 由6 ( o ，1 ，0 ，0 ) = ( 0 ，6 ，0 ，o ) = 缸一t ，n ，同理可得6 ( ：一 因此，舭+ r b s ( ：f ) 由p 的极小性，有( ：f ) = 乳故n = t j f 令m = f 只由于r 是f 的o - 素子模，故 f 是无挠尼模，从而也是有限型的 由引理1 2 3 ，有p f 只是m 的( r u + r v + 马) p l = 伤上的极小素子模由于每 个有限型模都有p r r ，故有h t ( p f 只) 1 注意到0c 马cp f p l 是m 的素 孑模链，从而有h t ( p 可b ) 2 ，矛盾于是我们得到( 觑：硒) + ( 硒：勖) gp ， 故有( r 口：删彗“或者( 励_ ：r gp 现不妨设( j k ：劢) 茗p 则存在c 冗一p ，使得西舶，设q s p e c ( 固，使 得鼢q 1 3 ，则有西q 由于c 碧q ，放6 q 此时，m + 励q 由p 的极小 性，有q = “即p 是如上的极小素理想由于r 是有限型的，故h t p 1 设冗是整环，若对尉 q 任意素理想p ，r p 是唯一分解整环，则称兄是局部唯一 分解整环。我们用 w - d i m ( 固= s u p h t m i m 廿m a x ( r ) 表示整环周掏- k n l l l 维数 定理1 2 5 设尼黾局部唯一分解整环，若每个有限型模都有p i t ，+ 则铲 d i m ( 丑) = 1 证明假设存在m w - m x ( r ) ，使得h t m 2 由条件。冠l i 是唯一分解整 环设罢是m 中的索元，其中口r ，c r m ，则有j k 口= 风。( 鲁) 是的素 理想，且冠口m 若局n o = m 凡，则m 是让的极小素理想，从而m 是置让 b y y m 5 2 0 0 1 6 3 c o i n 第9 页，共3 6 页 毕业论文 1 2 模上的主理想定理 的极小素理想由于每个有限型模都有p i t ，故有h t m = 1 ，矛盾因此。存 在b r ，使得b m j k 一冠一显然，b l t l ，故存在p s p e c ( 兄) ，使得p m ， g p 是砌+ r b _ k 的极小素理想由引理1 2 4 ，有h t p 1 ，从 f f h t p k 1 注意 n 0cj k ocp 是的素理想链，故h t p r r 。2 ，矛盾因此，t l 瑚j m ( r ) = 1 设冗是整巧，是p 模如果m 有关于铲子模的升链条件，即m 的任何抄 子模的升链是稳定的，则m 叫做一个s m 模如果r 自身是一个s m 模，则臁 为s m 整环( s t r o n gm o i ld o m a i n ) 众所周知，s m 模是有限型的i j - 模，而s m 整环有 着与n o e t h e r 环类似的性质及结论( 参见文【5 1 与f 1 5 】) 1 9 9 4 年，s m g e o r g e ，r l m c c a s l a n d 和p f s m i t h 在文f 1 0 1 中研究了n o e t h e r 整环上模的p r r 成立的条件 同样地，我们可以得到在s m 整环上也有类似的p i t 成立的条件 引理1 2 6 设只是s m 整环，p k r 中高度为2 的素理想则存在口，b r 一0 ，使 得p 是砌+ 硒上的极小素理想 证明设ocp cp 是r 的素理想链取nep p ，由【5 ，t h e o r e m4 9 】， m 上只有有限个极小素理想p 1 ，p 。由【1 5 ，c o r o l l a r y1 1 l 】 有pg 轨，其 nn 中i = 1 ，2 ， i ，于是pguk 任取6 p um ，则p 必是r o + r b 上的极小 i l li f f i l 素理想若不然，存在刷均素理想q ，使得r a + r b qcp 由r 口q 及h t p = 2 ， 有q p 1 ，p 。，故b q u 轧，矛盾 每l 由f 1 5 ，c o r o l l a r y1 1 1 ，s m 整环满足p i t 但从下面的命题我们能够看到 在s m 整环上存在有限型模不满足p i t 命题1 2 7 设r 是s m 整环，d i m ( r ) 2 则对任意正整数n ，存在有限型 模m 及其子模p ，使得p 是某个循环子模上的极小素子模，且h tp n 证明设p s p ( r ) ，且h t p = 2 由引理1 2 6 ，存在8 ，b r 一0 ，使 得p 是m + 励上的极小素理想设f = r ( 刎，对任意 【1 i ，令 只= ( z l ，霉2 f i ) f i 蕊一1 6 = ：r 2 a ，且= o ( j 2 i 一1 ，2 t ) ) 由【1 0 ，l e m m a4 】，有f 的素子模链 o c r c 只。易c cp i o o r cp f h y y i a 5 2 0 1 6 3 锄 第l o 页，共3 6 页毕业论文 1 2 横上的圭理想定理 令“= ( o ，b ，0 ，o ) ，t ，= ( n ，0 ，0 ，0 ) f ，m = f 最，p = p f 只类似于 引理1 2 4 的证明，我们得到尸是有限型模m 的( r u + r v + 只) p 1 = 扁- 上的极小 素子模，且 0c ( 只o b ) 只c c ( 只o o r ) 只cp f p l 是m 的素予模链，即有h t p ， 定理1 2 8 设r _ 黾s m 整环，则以下各条等价： ( 1 ) 任意投射犀模有p i t ； ( 2 ) 尉2 ) 有p i t ； ( 3 ) 对r 中任意商度为1 的素理想p ，r p 是赋值环； ( 4 ) 对r 中任意高度为l 的素理想p 琊是离散赋值环 证明( 1 ) 号( 2 ) 显然 ( 2 ) 辛( 3 ) 由 1 0 ，, e m m a1 2 ( 3 ) 辛( 4 ) m 1 ，例9 7 2 】与【1 ，定理9 7 1 4 】 ( 4 ) 辛( 1 ) 由【l o ，l e r a x m1 5 ，我们只需证明对任意正整数豇，f = r ( 毗有p i t 即可当，l = l 时，由f 1 5 ，c o r o l l a r y1 1 1 b p 得下设n 2 设u = ( 口l ，a n ) f 一0 ，n 是f 的r u 上的极小素子模，其中o l ，a n r 令 p = 1 ，z 。) f i 而吩= x j 口( 1 ，j n ) i 封 1 0 ，l e m _ n m6 】，有n = p 或者n = p f , 其中p 是鼢l + + 砥上的极小素理 想若n = 户，由【1 0 ，l e m m a7 】，有h t n = i 现设p ，则n = p f ，从而有( ：f ) = p i 刍 1 0 ，l e m m a1 0 ，不妨 设( r ，p ) 是局部环i 扫 1 0 ，l e m m a4 】，p 也是f 的r u _ i = 的极小素子模，故有pgn 于是存在某个啦( 1 i n ) ，使得( r 电：觚) gp 否则，对任意( z l ，) p 可推得缸( 风：r 啦) “从而( z l ，) p f = n ，即有p ， 矛盾因此，( r 啦：r 啦) = r ，故有风冗啦于是p 是r 以上的极小素理 想f l q 1 5 ，c o r o l l a r y1 1 1 】，h tp = 1 ，故局是离散赋值环，从而也是唯一分解整环 f h 1 0 ，l e m m a ，1 6 】，h tn = 1 h y y i n 5 2 0 1 6 3 c o m第1 1 页共3 6 页毕业论文 1 3g v - 理想与素子模 定理1 2 9 设尼黾整环，m 是有限生成无挠模，是m 的o - 素子模，则h tn l 当且仅当r a n k ( n ) = 1 证明由( ：m ) = 0 ，有r a n k ( n ) r s _ n k ( m ) 设h t = 1 ，则n 0 设霉n 一0 ，l = r s z n m 由命题1 1 9 ，工是m 的素子模由命题1 1 8 ， l v s f i l m = n 由于h t = 1 ，故有n = 厶从而r a n l 【( ) = r a n k ( l ) = m m k l s = d i r n k r s x = 1 反之，设r a a k ( n ) = 1 设a