（基础数学专业论文）α调和函数：函数论观点下的weinstein方程.pdf

摘要 本文讨论w e i a s _ _ t e i n 方程的一些函数论特性我们较系统地研 究了n 塑塑亘錾，即科中单位球b 上煎圈型堡丝坌立狸 ( 喜骞+ 南套z 。尝+ 一2 c ￥( n - 2 - 2 0 0 u ：。) 仃的解的性质 从另一个角度看，常义调和函数和双曲调和函数虽然有许多相 似的性质，关于它们的研究却有着各自不同的方法我们希望藉对 “调和函数的研究，给出前述两个函数类的统一处理 我们从。调和与a 次调和函数的广义m s b i u s 不变性和不变均 值性质出发，得到了关于n 调和与a 次调和函数如增长估计，分 布刻画和对满足适当增长条件的o t 次调和函数的r i e s z 分解定理等 诸多结果对o c 调和函数，我们还证明了一个a h e r n f l o r e s r u d i n 型定理 一h a r m o n i cf u n c t i o n s ： af u n c t i o nt h e o r e t i cp o i n to fv i e w t ot h ew e i n s t e i ne q u a t i o n a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t hs o m ef u a c t i o n - - t h e o r e t i ca s p e c t so ft h ew e i n - s t e i ne q u a t i o n w eg i v eaf a m yd e t a i l e ds t u d yo fo h a r m o n i cf u n c t i o n s t h a ti s ，s o l u t i o n so ft h ee l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n 娄警+ 南妻i = l z z 老+ 等u o ， c o n s i d e r e do nt h eu n i tb a l lbo f 融 p r o ma n o t h e rp o i n to fv i e w e v e nt h o u g hh a r m o n i cf u n c t i o n sa n d h y p e r b o l i c a l l yh a r m o n i cf u n c t i o n se n j o ys o m e s i m i l a rf e a t u r e s ，t h et e c h n i q u e su s e do ne a c hc a s ea r ed i f f e r e n t i ti so u ra i mt og i v eau n i f i e d v e r s i o no ft h e s et w ot h e o r i e s s t a r t i n g w i t ht h e g e n e r a l i z e d m 6 b i u si n v a r i a n c ea n di n v a r i a n t m e a nv a l u e p r o p e r t y w e o b t a i nv a r i o u sr e s u l t sa b o u tn h a r m o n i c a n da s u b h a r m o n i cf u n c t i o n ss u c ha s g r o w t he s t i m a t e s d i s t r i b u t i o n a l c h a r a c t e r i z a t i o n a na n a l o g u eo fr i e s zd e c o m p o s i t i o nt h e o r e mf o ro - s u b h a r m o n i cf u n c t i o n ss a t i s f y i n gt h ea p p r o p r i a t eg r o w t hc o n d i t i o n sa n d s oo n f o ro 一h a r m o n i cf u n c t i o n s ac o n v e r s em e a nv a l u et h e o r e mo ft h e s a m et y p ea st h a ti n a f r 9 3 】i sa l s op r e s e n t e d 致谢 首先向我敬爱的导师史济怀教授表示我诚挚的感谢我感谢他接受我做他的 学生，使我摆脱了作为一个三流程序员难堪的俗世生活；感谢他五年来对我学业 上的悉心指导和心智上的积极影响；我尤其要感谢的是他在贵体欠安住院期间审 阅了本文全稿本文的工作中倾注了他的心血 也要感谢刘太顺教授在我远离数学的那段时间里他给过我热情的鼓励和帮 助，回到科大后的五年中仍承蒙他的关心和指教本文的工作在讨论班报告时也 得到他许多有益的指点 我从与师兄任广斌博士的交谈与合作中获益良多另两位师兄罗罗博士和胡 鹏彦博士也给予本文的写作以热情的鼓励和中肯的意见我非常高兴有这个机会 表达对他们的谢意 科大多复变课题组的其他成员也提供了不少帮助，在此一并致谢 引言 对这个方程的研究发端于aw e i n s t e i n1 9 5 3 年的一篇论文【w e i 5 3 ，这也正是它 现在这个名称的由来其后这个方程得到了大量的研究，并且在应用数学领域 找到了重要的应用这里我们仅提及大量文献中与本文兴趣相关的几篇论文： h u b 5 4 ， h u b 5 5 ， b b 7 2 我们还应该指出，这个方程相当于r i e m a n n 度量 d s 2 = z 驴伽1 d x ； 下的l a p l a c e b e l t r a m i 方程 本文真正的出发点实际上是上述方程在科中单位球b 上的变体 娄骞一芒辞壹i奶塑+掣“一o=1 o z i 1 差ja z l j z l 2 厶4 2 l j zj 2 “一“ 通过一个标准的m s b i u s 变换t ：b _ + 避，。卜： 驴南，( 1 一1 2 以 保证凡。( 1 ) 是有限的) 命题1 31 给出了这些超几何函数的基本性质 为了简化重复出现的若干繁琐的计算，我们在第一章中还引入了不变测度和 不变卷积这两个概念是与 u 1 1 8 1 和 u 1 1 8 5 中使用相同术语的两个概念分别对 应的 第二章从。调和函数的广义m 6 b i u s 不变性( 定理2 2 1 ) 和不变均值性质 ( 2 3 2 ) 开始这两个结果在文献 l e u 8 7 b 和 a l 9 4 】中已作过讨论，但我们给出了 新的证明而且做得更多 然后我们研究单位球上关于a l a p l a c i a n 的d i r i c h l e t 问题除用a p o i s s o n 积 分给出的解答( 定理2 42 ) 外，我们还给出d i r i c h l e t 问题的级数解( 定理2 4 5 ) 后者是方便用来讨论正则性的由于当a 0 时氏是一个以单位球面为蜕化面 的蜕化椭圆算子，它在正则性方面表现出与一致椭圆算子的明显不同：若。不 是非负整数，即使数据在单位球面上是g ”的，关于。的d i r i c h l e t 问题的解也 ( 一定) 不是闭单位球上的g o 。函数这是定理2 4 6 的内容那里实际上证明了 。为非负整数对得到闭单位球上g 。的解是一个充要条件 中国科学技术大学博士学位论文 在2 6 中，我们考虑a 调和函数的增长估计定理2 62 是关于。调和函数 的梯度的局部估计，它的重要是毋庸多言的命题2 6 1 0 给出了。调和函数的欧 氏l a p l a c i a n 的局部估计，也是一个有趣的结果作为它一个的直接推论，命题 2 6 1 1 表明了欧氏l a p l a c i a n 作为不同参数和不同权的b e r g m a n 空间之间的算子 的有界性我们还考虑了两个h a r d y l i t t l e w o o d 型结果定理2 6 5 是关于。调 和函数与其偏导数的积分平均增长的阶的比较命题2 6 8 虽然是一个小结果， 但证明却显示了。调和性与伸缩变换的关系的用处( 尽管适用的场合是非常有限 的) 这些对进一步的考察尤其是。调和函数空间的研究都是基本的准备 在第三章中，我们给出。次调和函数的定义并研究其性质o 次调和性也 是广义m s b i u s 不变的( 命题3 14 ) 对。次调和函数也有与古典情形类似的极大 值原理( 定理3 2 1 ) 定理3 3 1 表明一个满足p 次积分平均有界( 1 p 。) 的连 续n 次调和函数必有一个由l 9 函数( 当p = 1 时，b o r e l 测度) 的n p o i s s o n 积分 给出的。调和强函数特别地，这给出了a 调和h a r d y 空间中函数的p o i s s o n 积 分公式 在3 5 中，我们给出了。次调和函数的分布刻画( 定理3 5 3 ) 并定义了n 次调和函数的r i e s z 测度在接下来的一节中我们导出了与。相关的g r e e n 函 数，并且将古典的b 6 c h e r 定理推广为关于a 次调和函数的相应结果，它刻画了 非负n 调和函数在孤立奇点附近的性态 最终我们在3 8 中证明了关于那些有n 调和强函数的n 次调和函数的r i e s z 分解定理( 推论3 8 3 ) 在此基础上，接下来研究相对这里的g r e e n 函数的不变 g r e e n 位势是非常自然的，可以说我们已经做好了一切必需的准备但由于时间 的关系，这方面的研究还未及展开 第四章中讨论的是一个特别的论题 和性的问题我们最终回答了这个问题 即体积型不变均值性质能否刻画。调 这是一个a h e r n f l o r e s r u d i n 型结果 1 9 9 3 年，p a h e m ，m f l o r e s 和w r u d i n 在a f r 9 3 1 中证明了一个令人惊 奇的结果在多复变数的场合，对单位球上的可积函数，体积型均值性质是否蕴 涵m 调和性的问题的回答依赖于空间的维数：当空间的维数n 1 1 时回答是肯 定的，而当n21 2 时是否定的其后a k o r a n y i 将这个结果推广到所有的( 实 的，复的，四元数的，八元数的) 双曲空间，甚至更进一步推广到一类调和空间 ( k o r 9 5 ) 我们对a 调和函数考虑类似的问题，发现对一个可积函数，加权的体积型 不变均值性质丑f = f 当且仅当m l l 时能够刻画其a 调和性( 定理4 1 2 ) 其中m 是使得m 一1 2 孵的元素记 作z ：( z h 一，z 。) ，y = ( y ”一，y n ) ，( 尽管为方便起见我们采用这样的记号， 当与矩阵运算时向量均按列向量理解) 对3 7 ，y 础，z y 表示z 与y 的内积，即 x y = ：。x k y k ，z 的欧氏范数= 撕函对开球和球面我们用如下的记号：设 x 科及r 0 ， b ( z ，r ) = 妒：l y zj r ) ， s ( 。，r ) = 妒：f y 一。f = r ) 特别地，b = b ( o ，1 ) 和s = s ( o ，1 ) 分别表示中以原点为心的开单位球和单 位球面，且简记r b = b ( o ，r ) ，r s = s ( o ，r ) 我们用通常的记号如表示黔上l e b e s g u e 体积测度，d s 表示般中( n 一1 ) 维曲面上的面积元素为方便起见，我们经常使用正规化测度，y 表示础上正 规化l e b e s g u e 测度，即如乘以适当的正常数使得v ( b ) = 1 ，而a 表示s 上正规 化面积测度( 使得一( s ) = 1 ) 熟知二者均是旋转不变的 一般m s b i u s 群g m ( 融) 是由所有相似变换和相对球面的反射生成的群我 们用g 川( b ) 记g m ( 触) 保持单位球不动的子群o ( n ) 记渺上的正交群 命题1 1 1 ( j a m s l ，p 2 1 】) 若皿9 m ( b ) 且皿( o ) = 0 ，则皿必是一个旋转( 即 皿( 。) = k x ，对某个k d ( n ) ) ， 我们用m ( z ) 表示映照皿在z 的j a c o b i 矩阵，而i 皿( 。) j = m a x i 皿7 ( z ) o | _ m s b i u s 变换均是共形映照，故( z ) j 皿( z ) i 0 ( n ) 本文中经常用到形如 坼) = 生当等掣 ( 1 ) 的m 6 b i u s 变换显然有宠( 。) = 0 ，矗( o ) = a 与【a h l 8 1 ，p 2 5 中的典则映照比 较，这里的兜= 一虽然这个m s b u s 变换不总是保定向的( 视空间维数的奇偶 而定) ，但它却是一个对合变换事实上，若令皿= 磊。磊，则由( o ) = 0 可知 是一个正交变换；另一方面， ( o ) = 毫( n ) 宅( o ) = 砭( o ) z ( o ) = i 6 一 第一章若干预备结果7 则= ，从而露1 = 兜这一点将在许多场合( 例如后面定义不变测度和不变卷 积时) 方便我们的处理 由于咒和瓦的简单关系，只要与【a h l 8 1 ，p2 4 2 8 中关于死的相应结果对 照即得： 命题1 1 2 ( i ) 任一皿g m ( b ) ，皿，均有典则表示= k 立，其中n ： 一1 ( 0 ) ，k o ( n ) ( i i ) 对任何皿昏 4 ( b ) ，z 百，b ， 磊( 吣) ) _ 黼吼) ( 1 1 2 ) ( i i j ) 设o 曰恒等式 1 定( 。) i = 再嘉 ，一 2 = 剖端 ( 1 1 3 ) f 1 1 4 ) 对任何t b 成立 我们还需要说明一下在矗之下的积分换元公式由于m 6 b i u s 变换是共形 映照， 竞( z ) f 磊( 圳o ( n ) 在我们做换元y = 立( z ) 时，回忆v 是旋转不变 的，容易看出d v ( y ) = f 矗( 。) f “d 矿( 。) ；而在球面上做换元q = 矗( ) 时，同样显然 如( _ ) = 悫( ( ) j n - 1 如( ) 我们用标准的记号 3 百再+ 一+ 否磊 表示欧氏l a p l a c i a n 下文中我们将用到a 在球坐标下的表示( h e l 8 4 ，p1 6 ) ： = 嘉+ 孚未+ 1 ， ( 1 ) 其中b 是s 上的l a p l a c e b e l t r a m i 算子事实上，如在球坐标下有具体的表达 ( h u a 8 1 ，p1 5 ) ： ，0 2 1a 2l a 2 ， 三5 2 研+ s i n 2 0 1 0 0 2 2 + + 盈百i i 而i 瓦+ ( “ + ( n - 3 ，、而c o t 0 2 獗0 扣+ 丽篝丽0 如果在单位球b 上考虑p o i n e a r 6 度量 掰= 南喜喇2 ， ， 8中国科学技术大学博士学位论文 则对应的l a p l a c e b e l t r a m i 算子为 五= 譬譬 + 群r ) ， ， 其中r = 暑。x j 杀是径向导数 五通常也称作不变l a p l a c i a n ，这是因为它在 m 6 b i u s 子群m ( b ) 的作用下是不变的，即对任何定义在b 上的函数，和任何 1 i ，。m ( b ) 有 a ( fo ) = ( a ) o ( 1 1 8 ) 方程，= 0 的解是在( b 上) 双曲度量( 11 6 ) 之下的调和函数，我们称之为双曲 调和函数 1 2 几个积分的计算 z p 如。，： ，墨鬻，若：有岛均为偶数，。， 10 ，否则 证明考虑积分 z = 。口e x p ( 一i x i 2 ) d y 扛) j r ” 被积函数显然等于兀兰1 毋e x p ( 一。；) 则由f u b i n i 定理可见 z 一，f if _ 。一。e x p ( - t 2 ) d t = 髀h 销雾聃黼数 引入极坐标计算该积分，我们得到 工= 焉z 1r l # l + n _ l e _ r 2 d r f 8m = 哿笋埘 比较( 1 22 ) 和( 1 2 3 ) 即得( 1 2 1 ) 下面两个公式我们将经常用到我们曾在 l s 】中给出过一个证明 们用简单得多的方法重新证明这两个公式 ( 1 2 2 ) ( 1 _ 2 3 ) 口 这里，我 第一章若干预备结果9 命题1 2 2 设x 口，且a ，e 是任意复数我们有 知 其中 d 盯( e ) = 飒( a ，a 一；+ 1 ；i n ；邮) ( 1 24 ) 丘f 2 等x 精丽2 删口( 1 一掣+ i z | 2 i 可i ) 1 “、“ ! 搿册( x ，- 一；+ - ；+ + e 证明不失一般性，我们可假设。= 一r e ，引入球坐标 a = c o so l ， 2 = s i n 口lc o s 0 2 s i n 岛s i n 一2c o s 如一1 s i n 日1 s i n 日n 一2s i n 日n 1 0s 如7 r ( 1 j n 一2 ) ，0 0 n - l 2 7 r 则球面的面积元素为 s i n “一2 日ls i n n 一3 日2 s i n o n - 2 d 0 1 础n l 回忆一是正规化面积测度，我们有 d 盯( e ) = f 0 7 r s i n n - 20 1 d 0 1 ) 。o ”殍姗 = 杀耘z ”而硼 = 册( 一；+ 1 i n ； 在最后一个等式中，我们用了公式( a 2 1 1 ) ( 1 25 ) 1 0中国科学技术大学博士学位论文 为证明( 1 25 ) ，我们用极坐标y = r e 则由恒等式( 1 2 4 ) 和( a 2 1 0 ) 得到 正f 筹器斋删 = 卜“ d 盯( 0 ， 坼) z 嘶( z ) z 1 0 9 # 评，一。， 【1 ， c 一；，则对k = 0 ，1 ，2 最，。( 0 ) = 1 ， 砌，= 卷黼 ( i i ) 当o l 一 时，对每个k ，f k ，。( t ) 在区间 0 ，1 ) 上恒正 ( i i i ) 昂n ( t ) 当o ( 一 ，o l u i l ，o c ) 时在区间 0 ，1 ) 上单调非减，而当。( 0 ，g 一1 ) 时单调非增 证明( i ) 由超几何函数的定义和公式( a2 8 ) 立得注意假定r e o l 一；保 证了以。( 1 ) 是有意义的 由( a 24 ) 可见 r 刖= ( 1 一t ) h 2 。矾( k + ；托l 悃+ ；t ) 回忆我们的假定a 一；，上式右边的超几何函数的参数均是正的，从而( i i ) 的结 论易见 要证明( i i i ) ，只须注意 知羽) = 型掣而- a + 1 , ；叫；t ) 且2 毋( 一n + 1 ，2 一o ；g + l ；t ) 在区间 o ，1 ) 上恒正 口 对o g c 和a 雪，令 0 ：( z ) ：= ( 1 2 x 。+ 钟”) 。“0 3 2 ) 以后我们会看到，这个函数与a 调和函数的m 6 b i u s 不变性密切相关 命题1 3 2 ( i ) 对任何。百和0 墨r 1 成立等式 b ：( r ( ) d d ( e ) = p o ，。( r 2 l a l 2 ) ( 1 3 3 ) ( i i ) 对任何z ，y 亩和n b ， b ：( 死( z ) ) b ：( z ) = b ：( 死( g ) ) b ：( g ) ( 13 4 ) 特别地， 呱蚴铽僦) _ l = d 基耘 ( 1 。s ) 1 2中国科学技术大学博士学位论文 证明( 1 33 ) 是命题1 2 2 的一个直接应用- 由连续性，只须对z ，g bi i i ：明( 1 3 4 ) 即可在( 1 1 2 ) 中取皿= 毫并相对 变元z 微分，可得 = 器宅( 删獬 ( 1 3 6 ) 从而 i 吃( ，) ( z ) l = l 宅( 毫( z ) ) jl 宅( z ) ( 137 ) 则由( 1 13 ) ， 1 一l 毫( g ) 1 2 l 一2 亢( ) z + i 矗( y ) 1 2 1 。1 2 再结合( 1 1 4 ) 即得( 1 3 4 ) 1 一i o l 21 一m 2 2f 瓦i 前。i 瓦瓦面爿而瓦衙 1 4 不变测度和不变卷积 为了处理频繁遇到的形如x 卜矗( 。) 的积分换元，我们定义如下的测度 口 d r ( 。) ：= ( 1 一i z | 2 ) 一2 2 。d y ( ) ( 1 4 1 ) 由于在以后的应用中不致混淆， 我们称测度r 为不变测度， 命题1 4 1 设a b ，则 我们略去了本应明确写出的角标a 是由于以下的 ( ，o 幺) b ：d r = ，o ：d r ( 1 4 2 ) j n j 咒( n ) 对b 的任何可测子集n 和任何可测函数，成立 证明应用( 1 3 5 ) 和( 1 1 4 ) ，立得 ，( 。) b ：( 。) d ，：，f ( t a ( 。) ) b ：( 矗( 。) ) ( 1 一j 竞( z ) n 。2 。2 。l 宅( z ) l ”a v ( z ) 瓦( n ) j n 、7 = z 胞，d 杀罱 ；! j ! 黼) 一2 2 。( i ! ：j i ) “a y c z ， = ，( 磊( 。) ) 吆( 。) d r ，n 第一章若干预备结果1 3 对b 的任何可测子集n 和任何可测函数，成立 口 当然这里所谓的不变测度并非真正意义上的事实上，在( 1 4 2 ) 中特别取 ，= ( b ：) ，可见 r ( 矗( q ) ) = b ：( 毫( z ) ) ) _ 1 b ：( z ) 打( 。) = 正( 两) n - - 2 - - 2 0 州n 除非。= g 一1 ，r ( 露( n ) ) = r ( n ) 一般不成立 为了方便以后的一些计算，我们还定义测度： d i ( z ) ：= f o ，。( i 。1 2 ) d t ( 。) ( 1 4 3 ) 这里同样略去了本应明确写出的角标o t 对0 p 0 0 ，l p ( d t ) 记b 上满足 ；= f ( y ) l d t 。 的可测函数的空间而三p o 。( b ) 记b 上局部p 次可积，即对b 的任何紧子集k 满足 | f ( y ) l d t 一i 1 ，p 1 ，+ ) 若，l p ( d r ) ，则 i i f + 9 m a x ( f o ，o ( 1 ) ，1 ) i i f ll p1 1 9 1 1 1( 1 4 5 ) 对所有径向函数g l 1 ( d r ) 成立 证明由于g l 1 ( d r ) 是径向函数，由积分的极坐标公式，结合( 1 3 3 ) ，可见 上9 ( w ) b ：( w ) 打( w ) = 正9 ( w ) f o 一2 2 ) 打( ”) 对任何。雪成立由命题1 3 1 ( i i ) ，( i i i ) 知上式中的f 0 ，。( h 2 2 ) 不超过c 。= 1 9 ( b ”) b ：( w ) 打( w ) l c 。| i g i l -1 1 4 中国科兰苎查查兰! 圭兰竺竺兰 设 ( 打) ，这里p ，为p 的共轭指数，即满足1 p + 1 p = 1 由不变卷积 的定义和t o n e l l i 定理， 厶 ( 洲，+ 洲) 打( 9 ) = 厶 ( ) 五，( w m 毛( w ) ) 必( ”) 打( ) ) 打( ) = 正，( w ) 厶 ( g ) 9 ( 毛( w ) ) b ；( ”) 打( ) ) 打( w ) 由( 1 14 ) i 于y ( w ) l = i 丘( g ) | _ 并注意g 是径向的和b ( ) = b 善( y ) ，我们有 h ( y ) g ( t y ( w ) ) b y a ( w ) d t ( y ) = 小( ) 9 ( 屯( ) ) b ：( ) d r ( g ) j b j 廿 r = r g ( g ) ( 死( g ) ) b 捌4 r ( g ) 连续两次应用h 6 1 d e r 不等式，我们得剑 姒，+ 9 ) 圳。( 。圳圳7 一丘i ，( 训 正叭) ll ( 霓( 枷l 等( ) 打( g ) ) “”打( ”) _ ( c 洲驯1 ) l l 州， 六五m 训瞰氏( 训i p r - 。w ( ) 打( ) 打( ”) ) v ” 同上由g 是径向的和r 是不变测度， 五五叭训f ( 丸( 川b ：( g ) 打( ) d r ( ”) = 以上1 9 ( 毛( 鲫i 眦训6 裂( ) 打( ) d 丁( ”) = 五， 五9 ( ) b 洳) 州”) ) d t ( 办 因此， l i ( f + g ) h l l l c 0 l p p ，- 至此，不等式( 1 4 5 ) 可由l p ( d r ) 和l p ( d r ) 之间的对偶关系得到 口 注记1 4 3 作为引理j # 2 的一个推论，若g 上 o 。( b ) 是径向函数且，l p o 。( b ) 则，+ g 在b 上几乎处处有定义 若上述引理中，也是径向函数，则由h s l d e r 不等式， m + 烈刮= 丘，( ”) 9 ( 悫( ”) ) b ：( ”) 打( ”) j 上1 ，( ”) 1 一b ：( 叫) d r ( ”) ) v 9 丘i 。( 毫( ”) ) i b ：( w ) 打( ”) ) v 9。 = 丘i ，( ”) l d ：( 叫) d r ( ”) ) 叫9 上g ( ”) jp ，b ：( ”) d r ( ”) ) v s m a x f o ，。( 1 ) ，1 ) l i f l l ，蚓i 第一章若干预备结果1 5 即| | ，+ 驯。m a x f o ，。( 1 ) ，1 ) f i l l 。吲l 。，对所有径向的gel p ( 打) 成立自然我 们猜测这个结果对一般的，b 。( d r ) 成立，但现在我们还不能证明它 命题1 4 4 若，x ，g l i ( d r ) 且) ( 是径向函数，则( ，+ x ) + g = ， ( x + 9 ) 证明设z ，yeb 因为( 怒( f ) 。毫。毛) ( o ) = 0 ，由命题1 1 1 ，龟( ”) 。它。0e o ( n ) ，故| 强( w ) l = i 毫( 毫( w ) ) l 在公式( 1 3 4 ) 中y 代以w ，。代以y ，并取n = z ， 则有 b ：“引( 叫) b 吾( 可) = b 基( 疋( 叫) ) b 三( 叫) ( 14 6 ) 仍由r 的不变性和x 是径向函数的假设，并结合( 146 ) ，我们有 从而 ( ) ( * 9 ) ( 竞b ) ) = f b g ( w ) x ( 箍( ，) ( ”) ) b ( ) ( w ) d r ( ”) = ( b 三国) ) 一1 9 ( ”) x ( 毫( 雹( ) ) ) b 差( b ( ) ) b 磊( 叫) d t ( w ) j b = ( b 三0 ) ) 一1 9 ( 立( ) ) x ( 毛( 加) ) b 差( 叫) b 盖( ) d t ( w ) j b ( ，+ ( x + g ) ) ( z ) = ，( ) ( ) ( + 9 ) ( 咒( 9 ) ) b ：( ) d r ( ) j b = 正，( g ) 五9 ( 立( w ) ) x ( 毛( w ) ) b g ( ”) 6 ：( ”) d r ( ”) ) d 丁( ) = 厶9 ( 毫( w ) ) 厶，( ) x ( 毛( 州b ：( ) d r ( ) ) 6 ：( w ) d r ( ”) = ( ( ，+ ) ( ) 9 ) ( o ) ， 命题得证 1 5 双曲不变度量 命题1 5 1a ( z ，) = l 毛( z ) i 定义了b 上一个度量 证明显然，唯一要证明的是d 满足三角不等式，即 l 丸( 。) l i 毛( z ) i + i 毛( ) l 对所有。，y ， eb 成立应用以下的简单不等式： 1 一( a + 卢) 2 ! ! 二辫，a ，卢 o ，1 口 ( 1 5 1 ) ( 1 5 2 ) 1 6中国科学拄术大学博士学位论文 我们得到 州酬) 2 等籍辫 ，( 1 一l 毛( z ) 2 ) ( 1 一i 岛( ”) 1 2 ) 2 l 一2 毫( z ) 毛( w ) + l 毛( 。) 1 2 l 毫( ”) 1 2 = l 一 强( 。) ( 毛( z ) ) i = 1 一j 毛( z ) 1 2 最后两个等式中我们分别应用了( 1 1 4 ) 和命题1 i2 ( i i ) 口 由命题1 12 ( i i ) 立见d ( 皿( z ) ，( y ) ) = d ( x ，y ) 对任何z ，y b 和任何 9 m ( b ) 成立就是说，度量d 在g m ( b ) 的作用下不变因此我们称d 是b 上 的一个双曲不变度量 对a b 和0 r 1 ，令 e ( a ，r ) = z b ：c 矗( 。) f r ( 1 5 3 ) 这是一个在双曲度量d 下的球由于露1 = 幺，显然e ( a ，r ) = 矗f i b ) 而由度量 d 的不变性也容易看出对任何皿g m ( b ) 总有e ( 皿( o ) ，r ) = 皿( e ( n ，r ) ) 固定e ，0 e 一i 1 时，( z ) = ( 1 一z ) 1 + 2 。而( 百n + 。，1 + d ；2 + 2 a ；l z ) 是 超几何方程偿j 圳的第二解它以z = 0 为奇点因此 “2 ( z ) ：( 1 一i z l 2 ) 1 + 2 。而f 芸+ 。，1 + n ；2 + 2 a ；1 一i x ) 2 ) 在b 0 ) 上。调和我们将这个函数乘以一个正规化常数，定义 “扣一筹鬻( 1 埘) 1 t 2 。2 f 1 ( ；托，悃2 仙；- 埘i s ) f 2 14 1 我们书看到这个9 。是。的基本解，即在本文中充当一个对应于古典位势理论 中g r e e n 函数的角色陋明见3 砂 不同于常义调和函数，当n 0 时，o l 调和函数的偏导数一般不再是。调和 函数( 甚至对另一参数o t 而言的) 这一点读者还可以比较 a c 9 2 ，l e m m a1 1 中 的关系邮，= 0 = = 。肛1 ( 藉) = 0 但由( 2 1 2 ) 容易看出工s 与。可交换，即 l s q = q l s 则可知一个a 调和函数u 的切向导数l s u 也是。调和的 命题2 1 3 设q 为任一复数若。t = 0 则有a 。一1 ( u ) = 0 证明经简单的直接计算可得 酥，( a u ) _ ( 如) + r 南q u ) + 南却 命题从而立见 口 注记2 1 4 命题2 j 3 表明一个缃对于参数a 的如调和函数的l a p l a c i a n 仍是 。调和函数饼目对于参数n l 的j 对任何非负整数k ，由命题2 j 3 归纳地可得：a 女“= 0 蕴涵+ 1 u = 0 这 里+ 1 = ( 两个算子和2 在记号形式上的相似不应引起混淆) 这说 明，当o = 是非负整数时，o 调和函数必是b 上k + 1 阶多调和函数 更特别地我们看到：当空间维数n 为偶数时，双曲调和函数一定是i n 阶多 调和的 、 一 第二章q 调和函数1 9 注记2 1 5 经简单的直接计算还可得到：若a 。“= 0 则有 a 一。( ( 1 一2 ) i - - 2 。a u ) = 0 但这个结果似乎没有多少趣味 定理2 i 6 ( g r e e n 公式) 设n 为b 的有c 1 边界的开子集，并设元为a n 的单 位外法向量则对任何“，v c 2 ( q ) ， 二( 咄如) 拈z 。( u 枭”煮) a 奎 ， 其中，测度d ( z ) = 4 ( 1 一2 ) 一2 2 0 如，而吲( ) = ( 1 一2 ) 一“d s 特别地，当 n = r b 时，我们有 ，。( u a a v - - v a a u ) d r = ! 二：二：学上 u ( r e ) r ”( r e ) 一”( r ( ) r “( r e ) ) d 。( ( ) ( 2 l6 ) 证明考虑光滑向量场w = ( 1 一h 2 ) 以。( v v u u v v ) 注意 d i v w = ( 1 一l z l 2 ) 一2 。( v a u u a v ) + 4 a ( 1 一l 。1 2 ) 一2 。一1 ( v r u u r v ) = 4 ( 1 一2 ) 一2 “( v a 。u 一“。 ) ， 而在a n 上， w 元= ( 1 - - | ( | 2 ) 2 。( u 丽o v 一”丽o u ) 则由散度定理立即给出( 2 1 5 ) 口 推论2 1 7 设n 是b 的一个开子集若，g c ；( q ) ，则 ，。g d r = g 。f d r ( 21 7 ) j nj n 文献【l e u 8 7 b 中考察了更一般的w e i n s t e i n 型方程 喜荔+ 芒静喜差+ 型带一矿篙平) u = 。c z - 剐 从我们现在的观点来看，这个方程的解正是算子。对应于本征值a 的本征函 数 下面的命题本质上是w e i n s t e i n 方程的对应原理 命题2 1 8 。u = 一卢( 1 + 2 a 一芦) t l 当且仅当。一p ( 1 一i z l 2 ) 一4 ，) = o 2 0中国科学技术大学博士学位论文 证明经直接的计算得到 。一口 ( 1 一l 。1 2 ) 一口“ = ( 1 一l z l 2 ) 一4 。“+ 卢( 1 + 2 a 一卢) u ) ， 命题结论立见 口 命题2 18 说明方程( 2 1 8 ) 的解不过是相对于一个适当参数的n 调和函数乘 以l 一川z 的一个适当的幂，无须进行专门的讨论尽管如此，为了方便以后引 用，我们给出关于。的本征函数的一些结果 我们用弧表示算子。对应于本征值a 的本征空间显然，x o 是n 调和 函数的全体 命题2 1 9 若卢与a 以 a = 一卢( 1 + 2 a 一卢)( 2 1 9 ) 相联系，则j 文包含如下径向函数g 口? 驰( z ) = ( 1 2 ) 4 岛p z ( j z l 2 ) 进一步，若一个径向函数“风则u = u ( o ) g z 推论2 1 1 0g 口= g t + 2 d 一口 证明设“x 则由命题2 1 8 可知。一口 ( 1 一川2 ) 一口“) = 0 从而函数 ( 1 一i x l 2 ) 一口“是一个相对于参数。一卢的径向。调和函数记( 1 一l x l 2 ) 一b u ( x ) = ( i x 2 ) ，例2 1 1 中的讨论表明这样的，满足( 2 1 3 ) 中参数。代以n 一卢所得的 超几何方程由于“是b 上的c 2 函数，是方程在z = 0 正则的解则 ，( r 2 ) = c 嘏( 一。+ 卢，；一1 一。+ 卢；) 其中c 为待定常数取r = 0 ，容易看出c = u ( o ) 从而得到 ( 1 一j z 2 ) 一口( 。) = f o ，。一口( f z l 2 ) “( o ) ， 这就证明了命题的结论 推论2 11 0 由此易见，因为( 2 1 9 ) 当卢换为l + 2 a 一卢时是不变的 口 2 2 广义m s b i u s 不变性 定理2 2 1 设q 为b 的一个开子集，u c 2 ( q ) 则在皿一1 ( q ) 中等式 n ( “o 皿) b ：) = ( 。u ) o 皿) b ：( 2 2 1 ) 对所有g m ( b ) 成立，其中a = 皿一1 ( 0 ) 第二章q 调和函数2 l 证明任取z 皿_ 1 ( n ) 经简单的计算可得 z + 两品v 呱牡嘶) ( 2 z2 ) 和 。b ：( z ) = q ( ；一l n ) ( 1 一l 皿( 。) 1 2 ) b ( 。) ( 223 ) 将。写作 。= 五+ ( 。一；+ 1 ) ( 1 一i z l 2 ) ( r 一。) 并且回忆五与m 6 b i u s 变换可交换( 见1 1 8 ) ，则 + 坠半竖v ( 。皿) ( 。) v b ：( 。) 一n ( 。一；+ 1 ) ( 1 一i x l 2 ) “( 皿扛) ) b ：( z ) = “( ( 茁) ) 。b 鲁( z ) + 五( “。皿) ( 。) b 墨( 。) + 坠害竖v ( 。皿) ( 。) v b ：( 。) + ( a i n + 1 ) ( 1 一阡) r ( u 。皿) ( z ) b ：( 。) = ( 五珏) ( 皿( 。) ) + 。( ；一1 一a ) ( 1 一i 皿( 。) 1 2 ) u ( 皿( z ) ) + ( o r - - n 21 ) ( 1 一2 ) m 。吲小豆( n ) 嗡z ) 从而只需验证 ( 1 一l z l 2 ) v ( “。皿) ( z ) 兜( o ) = ( 1 一l 皿( z ) 1 2 ) ( 兄“) ( 皿( z ) ) ( 22 4 ) 在命题1 1 2 ( i i ) 中命y = z ，z = a 即得， 立( n ) = 阿( z ) l ( i ( z ) ) 。皿( z ) 则( 2 24 ) 的左边等于 ( 1 一i 。i ：) ( 皿扛) ) + ( v u ) ( 皿( z ) ) ) i 皿( z ) i ( 皿扛) ) 一1 ( z ) ) ( 其中( 皿( z ) ) + 记矩阵( z ) 的转置) 这正是( 2 2 4 ) 的右边 口 2 2中国科学技术大学博士学位论文 注记2 2 2 由此，对b 上一个。调和函数，变元经过变换z 卜磊( z ) 后，函数 乘以0 ：所得函数( uo 磊) b ：仍是a 调和的这个事实已经被一些研究者如日 l e u t w i l e r 发现并使用r 见 l e u s t b , 弘l 9 4 ) 当q = 0 时的特款最早出现在华罗庚 的 h u a 8 1 ，在1 9 8 7 年又被h l e u t w i l e r 独立地重新证明似e u 8 7 a ，c o r o l l a r y2 剀 等式俾2j ，在o = 0 时的特款也在 h u a 8 1 和肛e u 8 7 a 中以 ( 1 i 号1 ( u 。) ) = i i ，| 号+ 1 ( “) 。 的形式给出而一般的等式俾2 j 就我们所知并没有在以往的文献中出现过 2 3 平均值定理 由公式( 21 1 ) ，我i f 得剑：对一个c 2 函数“， 。“( o ) = ：u ( o ) + 。( ；一1 n ) “( o ) 从而由( 2 2 1 ) ，若“伊( b ) ， 舢= ； ( u 。竞) b ：) ( o ) + n ( ；一l a ) u ( n 命题2 3 1 若u c 2 ( b ) ，则对所有x b ， n u ( z ) = ，h 。e 。+ - - 害。 zu ( 立( r ( ) ) b ：( r ( ) d 一( ( ) 一昂一r 2 ) “(