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关于r 集函数 中文摘要 关于r 一集函数 中文摘要 集函数r 是d a v i dp b e l l a m y 引入的本文包含三个方面的内容第一对集函数 r 的某些性质作了研究，给出集函数r 可加性，对称性的一些结果；第二导出与集函 数r 的连续性有关的一些结果，给出集函数r 总是上半连续的，且在集函数f 连续 的条件下，集族 r ( z ) ) i z x ) 构成一个上半连续分解；第三研究了集函数r 的一 些应用，给出一个连续统不可缩的充分条件 关键词：连续统，可加性，r 一对称，点r 一对称，上半连续，不可缩 作者：顾益林 指导老师；周友成( 教授) 关于f 集函数 a b s t r a c t a b o u tt h es e tf u n c t i o nf a b s t r a c t t h es e tf u n c t i o nfi si n t r o d u c e db yd a v i dp b e l l a m y t h i sp a p e ri n c l u d e st h r e e a s p e c t s t h ef i r s ti s t h es t u d yo fs o m ep r o p e r t i e so ft h es e tf u n c t i o nr ，g i v i n gs o m e r e s u l t so ft h ea d d i t i v i t y , s y m m e t r yo ft h es e tf u n c t i o nr ：t h es e c o n do b t a i n ss o m e r e s u l t so nt h ec o n t i n u i t yo fs e tf u n c t i o nf ，g i v i n gt h a ts e tf u n c t i o nri sa l w a y sb eu p p e r s e m i c o n t i n u o u sa n du n d e rt h ec o n d i t i o no ft h ec o n t i n u i t yo fs e tf u n c t i o nr ，t h ef a m i l y r ( z ) ) i z x ) r e s e m b l e sa l lu p p e rs e m i c o n t i n u o u sd e c o m p o s i t i o n ；t h et h i r dp r e s e n t s s e v e r a la p p l i c a t i o n so fs e tf u n c t i o nr ，g i v i n gas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rac o n t i n u u mt h a t i sn o tc o n t r a c t i b l e k e y w o r d s ：c o n t i n u u m ；a d d i t i v i t y ；r s y m m e t r i c ；u p p e rs e m i c o n t i n u o u s ；c o n 。 t r a c t i b l e w r i t t e nb yg uy i l i n s u p e r v i s e db yp r o f z h o uy o u c h e n g i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人承 担本声明的法律责任 研究生签名；羿煎鎏盈驾日期：他 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部，中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致，除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名： 导师签名： 日期： 日期： 第一章引言 连续统是连通紧致度量空间 定义：给定紧致度量空间x ，x 的幂集p ( x ) = a i a x ) x 的超空间2 x = a xia 是闭集且非空) 给2 x 以指数拓扑，成为闭子集空间一些集值函数的研究为连续统理论提供了 很好的工具，其中集函数t 尤为显著t 函数定义如下： x 是紧致度量空间，定义： t ：p ( x ) _ p ( x ) t ( a ) = z xi 对x 的每个子连续统w ，满足z h z t ( w ) ，有w a a d ) r 一函数是d a v i dp b e l l a m y 引入的定义： f ：p ( x ) _ p ( x ) r ( a ) = 【z xi 对x 的每个分支至多可数的闭子集w ，满足x i n t ( w ) ， 有wna 仍) 一般来说我们经常考虑它的另一面即： r ( a ) = x 一 z xi 存在x 的一个分支至多可数的闭子集w ，满足z x n t ( w ) ，w n a = 0 ) 对任意的a 2 x ，z 哥( a ) ，则存在x 的分支至多可数的闭子集w ，满足z i n t ( w ) ，wna = d 任意的y ，戚( ) ，w 为包含y 的分支至多可数的闭集，则 y e - f ( a ) 即r ( a ) 2 x 从而f ：2 x 一2 x 是有定义的 多数集函数的研究已经相当充分，但集函数r 的研究尚少文献【3 】， 4 对r 一函 数做了一些研究，本文在其基础上做进一步的研究，将从r 一函数的基本性质，连续 性，应用三个方面展开 根据定义，易知：对任意的a p ( x ) ，a r ( a ) t ( a ) 下面例子说明： r ( a ) s 丁( a ) 例：x 是调和序列 o ) u 击) 甚1 上的悬挂序列( 见图1 ) ，端点为n ，b 注意到 v x x ，r ( z ) ) = z ) ，r ( o ，6 ) ) = o ，6 ) 而t ( o ，6 ) ) = a ，b 之间的线段r ( o ，6 ) ) 三 t ( n ，6 ) ) 基于这种联系，本文会用到t 函数的一些知识 图1 1 皴 第二章预备知识 2 。1基本缀念 在本节中，我们先给出一些基本概念 定义2 1 1 ( 【1 ) ：度量空间x 称为可缩；如果x 上的单位映射，1 x ，同伦于常值映 定义2 1 2 ( 【3 】) ：连续统x 称为r 一对称，如果对x 的每对闭子集a ，b anr ( b ) = 仍兮bnr ( a ) = 0 定义2 1 3 ( 闻) ：连续统x 称为r 一可娜：如果x 的每对闭子集a ，b 满足 r ( aub ) = r ( a ) ur ( b ) 定义2 1 4 ：f ：x 哼z 是连续映射称f 是f x z - - 连续，如果对每个a 尹( x ) ， f r x ( a ) 冬f z f ( a ) 。或等价地，对每个b 尹( z ) ，f 。r z ( b ) 鎏r x f 。( b ) 定义2 1 。5 ：连续统x 称为点r 一对称，如果对每对点p , q ， p er ( 窖 ) 铆q er ( p ) 。 定义2 1 6 ( 7 】) ：设x ，y 是度量空间令9 ，f ：x _ y 为两个连续映射称，同 伦于g ，如果存在一个连续映射g ：xx 【o ，l 】_ e 满足对任意x x ，g ( ( z ，o ) ) = ，( 露) ，g ( ( 。，王) ) = 譬( 。) 。g 称为，和g 闻的河伦映射。 定义2 1 7 ( 【8 】) ：设u ，v 是全集x 的开子集，称u ，v 被分离，如果c l ( u ) nv = 0 ，门c z ( v ) = 毋。 定义2 1 8 ( 8 】) ：设x 是连续统，a ，b 为x 的非空互不相交的子集x 的子集c 称为是a 和b 的分离子，如果x c = uuu 满足以y 被分离，且a 曼仉b y 定义2 1 。g ( 【翻) ：设x 是度墓空闻，孚是x 的一个分解称多是上半连续分解， 如果对每个g 够，及x 的每个开子集u 满足g u ，都存在一个开子集v ，满足 g k 且如果g 7 9 ，g nv d ，则g 篁u 2 关节r 集函数第二章预备知识 2 2 基本弓| 理 本节我们给出一些在本文中有重要意义的事实和定理 孳| 瑾2 2 。l ( l e b e s g u e 孳l 理) ( 【2 】) ：令a 是度量空麓x ，d ) 的一个开覆盖。若x 紧 致，则存在5 0 ，使x 的每个麓径小予毒豹子集都包含在a 中翡莱一元素中数喜 称为开覆盖4 的一个l e b e s g u e 数 罢l 莲2 2 ，2 j ) ：设x ，y 是连续统，：x _ y 楚连续满浃射，则对任意的露篓y ， 有r y ( b ) 篓，氏，雪) 。 连续。 引理2 2 3 ( 【4 】) ：设x 是r 一对称连续统，则x 是f 一可加的， 暑l 瑾2 2 。4 圈) ：设x 是连续统，涮t ( o ) 一番。 引理2 2 5 ( 8 】) ：设x ，y 为紧致度量空间，：x _ y 为连续开满映射，则( ，) 引理2 2 6 ( t h ec u tw i r et h e o r e m ) ( s ) ：设x 是紧致度量空间，a ，j e i 为x 的闭 子集。如果没有x 的连通子集与a ，b 都相交，则存在x 的两个互不相交的闭子集 墨，玛，瀵足点sx t ，b 篓x 2 ，x = 墨u 恐 引理2 2 7 ( 边界碰撞定理) ( 【l8 ) ：设x 是连续统，u 是x 的真开子集如果k 是 c l ( u ) 的分支，则耳n b d ( u ) 仍 琴l 瑾2 2 。8 ( 王锑) ：设x 是连续统，则2 x 是弧连通连续统 引理2 2 9 ( f 1 9 】) ：设x ，y 为紧致度量空间，f ：x 叫y 为连续映射，则2 ，连续 3 第三章主要结果 3 1基本性质 本节中我先给出一些r 函数的基本性质 命题3 1 1 ：设x 是连续统，w 是子连续统，r ( ) 则是x 的子连续统 证明：首先r ( w ) 闭于x 若r ( w ) 不连通，则存在x 的两个不相交的闭子集a ，b ，满足r ( w ) = a u b 因 为w 连通，所以，不失一般性，a 因为x 是度量空间，则存在x 的一个开子集 u 满足a 阢c z ( u ) nb = d 注意到b d ( u ) nr ( w ) = 0 ，因此，对每个z b d ( u ) ， 存在分支至多可数的闭集致，满足 z i n t ( 也) g 犯x w 因为b d ( u ) 是紧集，所以j z l ，z n b d ( u ) ，满足b d ( u ) u t = 1 致；，则u 警1 i 有 至多可数个分支令 v = u ( u 墨1 配；) ，y = x v = ( x u ) u ( u i l 托。) ， 则y 是闭集由于b d ( x u ) = b d ( u ) u 墨l 琏。，根据边界碰撞定理，知y 有至多 可数个分支由于 j e i x c l ( u ) sx uck 因此，b j 僦( y ) 因为彤冬a 阢所以x u 冬x 又 u 銎1 致。x 彬 所以y x w 即对任意的b b ，b i n t ( y ) y x 彬又y 有至多可数个分 支，所以b x r ( w ) 从而b 垦x r ( w ) 这与r ( w ) = aub 矛盾所以r ( w ) 连 通即r ( w ) 是子连续统 命题3 1 2 ：设x 是连续统如果对每个x x 以及任意两个分支至多可数 的闭集肌，满足x i n t ( ) ，j 1 ，2 ) ，都存在分支至多可数的闭集w 3 满足 x i n t ( w 3 ) w 3 nw 2 ，则x 是r 可加的 证明：令a 1 ，a 2 为x 的闭集，x x ( f ( a 1 ) ur ( a 2 ) ) ，则x x r ( a 1 ) 且 z x r ( a 2 ) ，所以存在x 的分支至多可数的闭集肌，w 2 ，满足z i n t ( ) ，嵋 x a j ，j 1 ，2 ) 由假设，存在z 的分支至多可数的闭集眠满足z i n t ( ) w 3 肌n 鹏，贝0w 3 w j x 4 ，j 1 ，2 ) ，因此 z i n t ( w 3 ) 巩x ( a 1ua 2 ) 4 关于r 集函数 第三章主要结果 因此， 即： 另一方面 所以 x x r ( a lua 2 ) r ( a 1u a 2 ) r ( a 1 ) u r ( a 2 ) r ( a 1 ) uf ( a 2 ) r ( a 1u a 2 ) ， r ( a 1u a 2 ) = r ( a 1 ) u r ( a 2 ) 引理3 1 3 ：设x 是紧致度量空间，a ，b 为x 的非空闭子集则下列条件等价： ( 1 ) f ( a ) nb = d ； ( 2 ) 存在x 的两个闭集m ，n ，满足a i n t ( m ) ，b i n t ( n ) ，r ( m ) nn = 0 证明：( 2 ) = 号( 1 ) ：由a m ，贝0r ( a ) r ( m ) 又b n ，f ( m ) nn = d ，所以 r ( a ) nb = 谚； ( 1 ) 苷( 2 ) ：对每一个b x r ) ，存在b 的分支至多可数闭集w b 满足 z i n t ( w b ) w bcx a 因为b 紧致，所以存在b 1 ，k b ，满足 j e i 冬u 墨1 n t ( w b 。) cu 警1 w b , x a ， 则u 翟。为分支至多可数的闭集则a 冬x u 警l 眠由于x 是度量空间，存在两 个开集u ，v ，满足 a u c z ( u ) x u 墨1 仉_ ，b ycc t ( v ) u 警1 i n t ( w b 。) 令m = e l ( u ) ，n = c z ( v ) ，从而 所以 满足： u 銎1 i n t ( w b 。) u 鍪1 。x m r ( m ) nn = 0 推论3 1 4 ：设x 是连续统，a 是x 的闭子集，如果x x r ( a ) ，则存在开集u ， a uz x r ( u ) 命题3 1 5 ：连续统x 是r 一对称辛x 是点r 一对称和r 一可加的 证明：= 令x 是r 一对称连续统，由引理2 2 3 知，x 是r 一可加，显然x 是点 5 关于r 集函数第三章主要结果 r 一对称； 仁若x 是点r 一对称且r 一可加令a ，b 为x 的闭子集，若a n f ( b ) = d ，且 b a f ( a ) 0 ，取z b a f ( a ) ，注意到x x a 若不然，则z a a b a n f ( b ) = d ， 矛盾因为x 是r 一可加的，所以f ( a ) = u 口a r ( n ) ) 因此存在a a 满足z r ( 【o ) ) 由于x 是点r 一对称，所以a r ( z ) ) 因此，a r ( 【z ) ) r ( b ) 所以a a n t ( b ) ， 与假设矛盾所以bnf ( a ) = 0 ，即x 是r 一对称 命题3 1 6 ：设x 是连续统，r 幂等，z 是x 的闭子集，r ( z ) = aob ，a ，b 为x 的非空闭子集，则f ( aub ) = f ( a ) ur ( b ) = au b 证明： r ( z ) = a ub f ( a ) uf ( b ) f ( aub ) = r 2 ( z ) = r ( z ) 引理3 1 7 ：设x 是紧致度量空间，a 是闭子集，则 p x r ) 号存在p 的分支至多可数的闭子集w 以及x 的开子集q 满足p i n t ( w ) nq ，b d ( q ) nf ( a ) = d ，wna oq = d 证明：争p x r ( a ) ，则存在p 的分支至多可数的闭子集w ，满足 p i n t ( w ) w x a 由于x 是度量空间，存在x 的开子集q ，满足 p q c i ( q ) i n t ( w ) 因此， b d ( q ) nf ( a ) = d 且 wnanq = d ： 仁现假定存在p 的分支至多可数的闭子集w ，x 的开子集q ，满足 p i n t ( w ) nq ，b d ( q ) nr ( a ) = 毋，wna nq = 谚 由于b d ( v ) 是紧集，b d ( q ) n r ( a ) = d ，则存在一个有限族，啊，为x 的分支 至多可数的闭集，满足 b d ( q ) v 各j n ( 嵋) sv 筹1 x a 则l 1 w j 有至多可数个分支如果w 冬v ，则na = 仍，从而p x r ( a ) 如 果w q d ，由边界碰撞定理知，wnq 的每个分支的闭包必与某个相交因为 b d ( q ) u 努- 嵋，所以 h = ( w nv ) u ( 崾，) 6 关于r - 集函数 第三章主要结果 有至多可数个分支，且h 为闭集又 所以p x r ( a ) p i n t ( w ) oq h 冬x a 定理3 1 8 ：设x 是紧致度量空间，a 是x 的子集如果f ( a ) = mun ，m ，n 为 互不相交的闭子集，则r ( anm ) = m ur ( d ) 证明：假定p r ( anm ) ( mur ( d ) ) ，由于p x r ( d ) ，存在p 的分支至多可 数的闭集w ，满足p i n t ( w ) 由假定，店m ，p r ( anm ) r ( a ) = m un ，所以 p n 由于x 是度量空间，mn = d ，从而存在开集q ，满足q ，c i ( q ) a m = 0 注意到 p i n t ( w ) nq ， 且 b d ( q ) nr ( anm ) b d ( q ) nr ( a ) = 0 又 w n ( a nm ) nq qnm = 0 由上述引理知 p x r ( a n m ) 与假设矛盾所以 r ( anm ) 冬m ur ( d ) ； 假定p ( m o r ( d ) ) r ( a n m ) ，由于p x r ( a n m ) ，存在p 的分支至多可数 的闭集w ，p i n t ( w ) w x ( anm ) ，所以p e r ( o ) ，因此p m 因为x 是度量 空间，mnn = d ，所以存在开集q ，满足m q ，c i ( q ) nn = d 注意到 p i n t ( w ) n q ，b d ( q ) n r ( a ) = d 由于 q nn = d ，wnanq = w n ( a nm ) = 0 ， 因此由上述引理 p x r ( a ) x m ， 矛盾所以 mur ( o ) r ( anm ) 7 关于r - 集函数 第三章主要结果 即 r ( a n m ) = m u r ( 仍) 命题3 1 9 ：设x 是连续统，则r ( o ) = d 证明：由引理2 2 4 ，r ( o ) t ( 0 ) = d 推论3 1 1 0 ：设x 是连续统，m ，w 2 为x 的子连续统如果r ( 胍uw 2 ) r ( m ) ur ( ) ，则r ( mu ) 为连续统 证明：假设r ( w 1uw 2 ) 不连通，则存在两个互不相交的闭集a ，b ，满足r ( w iu ) = a ub ，由3 1 8 知 r ( ( 眦uw 2 ) na ) = a ur ( o ) = a ，r ( ( 肌u ) nb ) = b 假定肌a ，如果a ，则 a = r ( ( 肌uw 2 ) na ) = r ( 啊u1 4 1 2 ) ， 与假设矛盾，因此w 2 b 从而 r ( 肌) = r ( ( 啊na ) u ( w 2na ) ) = r ( ( 肌uw 2 ) na ) = a 同理r ( ) = b 即r ( m uw 2 ) = r ( 肌) ur ( ) ， 与条件矛盾，所以r ( 肌u ) 连通 推论3 1 1 1 ：设x 是连续统，p ，q x ，满足r ( 仞，g ) ) r ( d ) ) or ( g ) ，则 r ( _ 【p ，口) ) 是连续统 8 关于r 一集函数 第三章主要结果 3 。2 连续性 r 总是上半连续的 命题3 。2 1 ：设x 是连续统，如果u 是x 的开子集，贝l “= 众2 义lr ( a ) gu ， 开于2 x 。 证明：令u 是x 的开子集，“= a 2 x lr ( a ) u 令b c t 2 x ( 2 x 甜) 则 存在2 义“中的序列 鼠) 黯1 收敛于b 注意到对每个n n ，r ( b n ) n ( x u ) 仍 取x n r ( 玩) n ( x ) 不失一般性，假定 z 。) 悬l 收敛于x 巾一点o ，注意刭 o x 移激言x f ) 假设髫x r p ) ，则存在x 的分支至多可数的翅集w ， 满足x i n t ( w ) w 冬x b 因为 玩) 箍1 收敛于b ， z n ) 黯1 收敛于x ，所以 存在n 毯n 满足对每个他n ，鼠x w ，且x 竹i n t ( w ) 令n n ，则 。拜i n t ( w ) w x 鼠。这说明x f ( 鼠) 这与舅拜的取法矛盾因此 茹r ( b ) q ( x ) 。所以b 2 x 甜。所以2 x 葭闭予2 x 。嚣羹醪开予2 x 。 命题3 2 2 ：设x ，z 是连续统，r x 连续，如果，：x * z 是r x z 一连续开满映 射，则f z 连续。 证瞬：由弓| 理2 2 。2 ，对每个b 专尹( z ) ，r z ( b ) f r x f 越( 艿) 因为f 是f x z 连 续，则 f r x f - 1 ( b ) sr z y ( f - 1 ( b ) ) 一r z ( 8 ) ， 所以f r x f q ( 8 ) = r z ( b ) 。因此f z 一2 y or xog ( 歹) 因鸯f 连续开映射，塞霉l 理 2 2 5 和2 2 9 ，g ( ，) ，2 s 连续即r z 为互个连续映射的合成，所以如连续 下面定理说明连续统x ，如果k 连续，则集族 f ( z ) ) i z x 构成一个上半 连续分解 定理3 2 3 ：设x 是连续统，其上度量为d ，f 连续如果u 为x 的开子集，至( 为 x 的闭子集，则： ( 1 ) a = 茹xlr ( 。) ) u ) 开于x ； ( 2 ) b = 鬈x | f g ) nu g 开予x ； ( 3 ) c = 搿x | r ( 茹) ) nk 仍 闭于x ； ( 4 ) d = _ ( z xr ( z ) 瑟k 闭于x 证明：( 1 ) 令z a ，则r ( z ) 阢且存在e 0 ，满足谚( r ( z ) ) ) 璧u 因 为x 是连续统，由弓| 理2 。2 。8 知2 x 连续统，所以r 一致连续取艿药褶对子的 l e b e s g u e - 数令。谤( 茁) 则如 蟛( z ) 因此氕( r ( 扣) ) ，r ( z ) ) 0 满足w ( 弘) 冬u 由r 一 9 关于r 集函数第三章主要结果 致连续，取5 0 势相对予的l e b e s g u e - 数令z 谤扛) ，劂 。 g 谬( 髫 ) 。因戴， 咒( r ( 0 ) ) r ( ( z ，) ) ) k 匿为z i 豫h o 。r ( 茹馆) = f ( 。 ) ，k 是闭集，所以r ( z ) ) k 因此，z d 所以d 是闭集 1 0 关于i 、- 集函数 第三章主要结果 3 3f 的应用 本节将要研究r 函数的一些应用 定理3 3 1 ：设x 是连续统，a p ( x ) ，则a 和r ( a ) 中某个点的每个分离子都 与f ( a ) 相交 证明：假设结论不成立则存在a 与f ( a ) 的某个点p 的闭分离子b ，满足： x b = h ok ，a h ，p k ， 其中h ，k 为x 的互不相交的开子集，且bnf ( a ) = 0 因此，对每个b b ，存在x 的分支至多可数的闭集w b 满足 b i n t ( w b ) w b x a 由于b 紧致，存在6 1 ，b n b ，满足b u 务1 i n t ( w b j ) 因为c i ( k ) k b ，由边 界碰撞定理，y = ku ( u 凳1 岷) 有至多可数个分支因为 c l ( k ) k bc o _ u 努1 岷y 所以y 是x 的闭子集因为p k ，k y ，所以p i n t ( y ) 又y x a ，所以 p x r ( a ) 与假设矛盾，所以bnf ( a ) o 推论3 3 2 ：设x 是连续统，a p ( x ) ，则f ( a ) 的每个分支都与c i ( a ) 相交 证明：假设结论不成立则存在f ( a ) 的一个分支c 满足cnc l ( a ) = o 由引 理2 2 6 ，存在f ( a ) 的两个互不相交的闭子集h ，k ，满足 f ( a ) = h uk ，c i ( a ) sh ，c k 因为x 是度量空间，所以存在x 的两个互不相交的开集u ，v ，满足日uk y 令b = x ( u uy ) ，则b 是a 和c 的一个闭分离子，且bnr ( a ) d 与3 3 1 矛 盾所以假设不成立 r 函数可以用来说明连续统不可缩首先给出下面的引理： 引理3 3 3 ：设x 是连续统，a 是x 的闭子集，r f x ( a ) 如果h ：x 【0 ，1 】讳x 是一个同伦映射，满足对每个z x ，日( ( z ，o ) ) = x ，及日( ( r ，1 ) ) x f x ( a ) ，则对某 个t 【0 ，1 1 ，日( ( 7 ，t ) ) a 证明：令，：x x ，s ( x ) = 日( ( z ，1 ) ) 假设结论不成立则h - 1 ( a ) n ( r ) 【0 ，1 ) = 仍因此，存在x 的开子集u 满足r 以h _ 1 ( a ) n ( c l ( v ) 【0 ，1 ) = 仍因 1 1 关于r 、- 集函数 第三章主要结果 为y ( r ) = 嚣( ( t 王) ) x r x ( a ) ，所以存在x 中分支至多可数的闭集w 满足( r ) i n t ( w ) sw x a 令v = u ny - 1 q n t ( w ) ) ，则 r vh _ 1 ( a ) n ( c l ( v ) 【0 ，l 】) = 仍，( g z ( y ) ) 曼形 令l = ( x o ) u ( c l ( v ) x 0 ，l 】) ，则l 是xxp ，l 】的子连续统考虑不交并 三uw ，k 是己u 形的商空间，其中将( 移，1 ) a ( y ) 0 ，1 】和( v ) 捏合为一点，令 q ：luw 州k 为商映射 定义g ：k x g c q c u ，= ，翥羹：茎z ； 更lg 定义良好。因为对每个z x ，g ( g ( ( 茁，o ) ) ) 一。，所以g 是满映射。由弓l 理 2 2 2 ，r x ( a ) g f k g 一1 ( 么) 特另地，r g f z ) = 口( 杌o ) ) ) ， 所以g - 1 ( r ) m i n t g ( j ) 由q ( a o ) ) nj = 谚，q ( a o ) = g “( a ) ，得到g 以( r ) nr g “( a ) = 口与前面矛 盾。所以存在t 【0 ，1 】满足嚣( ) ) a 下面的定理给出一个连续统不可缩的充分条件 定理3 3 。4 ：设x 是连续统，a ，b 为x 的闭子集，满足 盖q r x ( b ) = 丞，f x ( a ) qb = 谚，r x ( a ) q r x ( b ) 罾， 则x 不可缩 证明；假设x 可缩则存在一个同伦映射：xx 【o ，1 】螂x 满足：对每 1 2 关于r 一集函数第三章主要结果 个z x ，某点p x ，日( ( z ，o ) ) = z ，日( ( z ，1 ) ) = p 不失一般性，假定p a 令r f x ( a ) nr x ( b ) 因为日( ( r ，1 ) ) a ，而anf x ( b ) = 0 ，所以日( ( n1 ) ) x r x ( b ) ，由上述引理，存在t 【0 ，1 】，满足日( ( r ，t ) ) b 令t a ，t b 为 o ，1 】中满足 日( ( r ，t a ) ) a ，日( ( r ，t b ) ) b 的最小元素因为a n b = d ，所以t a = t b 不可能从 而t a t b 如果t a t b ，对hf x f 0 , t a l 应用上述引理，得到元素t t b ，对hl x o ，t 日】应用上 述引理，得到元素t ” t a ，满足日( ( r 门) a ，与“的最小性矛盾所以x 不可缩 1 3 参考文献 【1 】j a m e sr m u n k r e s ，t o p o l o g y , c h i n am a c h i n ep r e s s ，2 0 0 4 2 】j a nv a nm i l l ，t h ei n f i n i t 净d i m e n s i o n a lt o p o l o g yo ff u n c t i o ns p a c e s ，e l s e v i e r ，2 0 0 1 3 】周友成，连续统与集函数r ，数学杂志，1 9 9 0 ，v 0 1 1 0 ，4 6 9 - 4 7 2 4 】周友成，连续统与集函数r ( i i ) ，数学年刊，1 9 9 0 ，v 0 1 33 3 9 3 4 3 5 】熊金城，点集拓扑讲义，人民教育出版社，1 9 8 1 【6 】高国士，拓扑空间论，科学出版社，2 0 0 0 【7 】尤承业，基础拓扑学讲义，北京大学出版社，1 9 9 7 8 】s e r g i om a c i a s ，t o p i c so nc o n t i n u a ，2 0 0 5 9 】d a v i d ，p b e l l a m y , s o m et o p i c si nm o d e r nc o n t i n u at h e o r y , 1 9 8 0 ，1 1 2 【1 0 】m i c h e a l ，e ，t o p o l o g i e s o ns p a c e so fs u b s e t s ，t r a n s a m e r m a t h s o c ，1 9 5 1 ，v 0 1 7 1 ， 1 5 2 1 8 2 【11 】b e l l a m y , d p ，s o m et o p i c s i nm o d e r nc o n t i n u at h e o r y , c o n t i n u a ，d e c o m p o s i t i o n s ， m a n i f o l d s ，1 9 8 0 ，1 2 6 【1 2 】l f m c a u l e y , m m r a o ，g e n e r a lt o p o l o g ya n dm o d e r na n a l y s i s ，a c a d e m i cp r e s s ，1 9 8 1 1 3