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徐峰三次多项式微分系统的反射函数 摘要 众所周知，客观世界中许多物体的运动可归结为微分系统 x = x ( t ，功，f r ，x = ( 五，x 2 ，矗) r r ” 的形式，因此为了研究它们的运动规律只需要研究系统( 的解的性态如果 x ( r + 2 ，x ) = x ( t ，砷( 国是正的常数) ，为了研究解的性态，我们借助文【7 】介绍的 p o i n c a r 口映射但是对于一些不可积的系统来说，寻找p o i n c a r z 映射显得很困难 在上个世纪八十年代，前苏联数学家m i r o n e n k o 在文【9 】中首先建立了反射函数的 理论它利用微分系统对几个变量的对称性，特别是时间变量的对称，把t 换成 o ，来研究解的性态自此，有了一种较新的方法来研究系统( 的的性态 假设x ( t ，x ) 是定义在r r ”上的连续可微函数，满足解对初值的存在唯一性 x = y ( t ；t o ，x o ) 是系统( 的一个解，且满足x ) = x o ，则系统的反射函数可定义为： f ( t ，z ) = 矿( - f ；f ，x ) 当系统( 的为2 m 一周期系统时，它的p o i n c a r 誊映射为： r ( 功= f ( - d o ，x ) ，因此对于系统( 时的任意一定义在区间 一c o ，国】上的解x ( f ) ，它为 2 k c o 一周期解的充要条件：j 芦工( 以缈) 是方程f ( 勘，力= 了的解借助反射函数来 研究周期系统解的性态是一个崭新的课题，有许多问题值得研究 本文主要研究了三次变系数多项式微分系统 一= a 0 ( t ) + a 1 ( t ) x + a 2 ( t ) y + a j ( t ) x 2 + a 4 ( t ) x y + a s ( t ) y 2 + 吒( f ) ，+ 岛( f 弦2 y + a s ( t ) x y 2 ，= 6 0 ( r ) + 6 l ( f ) x + 岛( r ) j ，+ 玩( f ) 矿+ b 4 ( t ) x y + b s ( t ) y 2 + b 6 ( t ) x 3 + b t ( t ) x 2 y + b s ( t ) x y 2 + b g ( t ) y 3 扬州大学硕士学位论文 2 ( 其中 q ( ，) ，b , c t ) 为连续可微函数，t r ) 的反射函数为 f ( t ，薯j ，) = ( x ，f r t ，x ，y ) ) 7 时，f r t ，工，j ，) 的具体的表达式，并得出了 f d t ，x ，y ) = 厶( f ，x ) + 厶( ，x ) y 的好结果应用该结果，我们给出了该三次多项式微 分系统具有形如f ( t ，x ，y ) = 厶( ，功+ 五。( ，力y ) 7 的反射函数的充要条件，同时得 出了，在该三次多项式微分系统为2 r a 一周期系统时的p o i n c a r d 映射及其周期解的 性态本文推广了文献 1 8 】【2 2 】中有关二次多项式微分系统研究的相关结论最后本 文列举了若干例子，验证上述结论是正确的相关结论在生物数学和控制理论方面 都有着广泛的应用 关键词：反射函数：微分系统：周期解 徐峰三次多项式微分系统的反射函数 3 a b s t r a c t a si sw e l lk n o w n , i nt h eo b j e c t i v ew o r l dt h em o t i o no fm a n yo b j e c t s 啪b e ，= x ( f ，d ，t er ，x = ( 五，而，矗) 7 r 4 ( 半) t h es t u d yo ft h er e g u l a r i t yo ft h i sm o t i o nn e c d so n l yt od i s c u s st h ep r o p e r t yo ft h e s e l u t i o n so f s y s t e m ( 木) i f x ( t + 2 0 ) ，功= x ( t ，工) ( i sa p o s i t i v ec o n s t a n t ) ，t os t u d y t h es o l u t i o n sb e h a v i o ro fs y s t e m ( * ) ，w ec o u l du ，a si n 枷u c e di n 【刀，p o i n c a r d m a p p i n g b u ti ti sv e r yd i f f i c u l tt os e e kp o i n c a r dm a p p i n gf o rm a n ys y s t e m sw h i c ht i t l e n o ti n t e g r a t e di nf i n i t et e r m s i n1 9 8 0 st h er u s s i a nm a t h e m a t i c i a nm i r o n e n k o 【9 】f i r s t e s t a b l i s h e dt h et h e o r yo fr e f l e c t i v ef u n c t i o n ( r f ) i tp e r m i t so n et of i n da n du s e s y m m e t r i e so fd i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hr e s p e c tt os e v e r a lv a r i a b l e s ( i np a r t i c u l a r , t i m e s y m m e t r i e sr e l a t e dw i t ht h er e p l a c e m e mo ftb y - t ) s i n c et h e naq u i t en e w m e t h o dt o s t u d ys y s t e m ( 的h a sb e e ne s t a b l i s h e d a s s u m et h a tx ( t ，x ) i sac o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a lf u n c t i o no n r x r ”，a n dt h a t e x i s t sau n i q u es o l u t i o nf o rt h ei n i t i a lp r o b l e mo fs y s t e m ( 帕i fx = j ，o ( t ；t o ，而) i sa s o l u t i o no fs y s t e m ( 宰) s a t i s f y i n g x ( t o ) = x o ，t h e ni t sr e f l e c t i v ef a n o nc a l lb ed e f i n e d b y f ( t ，工) = 妒( f ；f ，石) h e n c ei f x ( t + 2 c o ，工) = x ( t ，x ) ，t h e nt h ep o i n c a r dm a p p i n go f s y s t e m ( 哟e a rb ee x p r e s s e db y 9 】：丁( 功= f ( - t o ，功s oi f a na r b i t r a r ys o l u t i o n x ( t ) o f s y s t e m ( 宰) e x i s t so ni n l 洲叫一国，缈】，i tw i l lb e2 | i 脚一p e f i o d i cs o l u t i o n , i f a n do n l yi f , 扬州大学硕士学位论文4 w h e n ，：= j ( 一k c o ) i sas o l u t i o no f e q u a t i o n f ( - k c o ，力= x i t i san e w t a s k t oa p p l y t h e r e f l e c t i v ef u n c t i o nt os t u d yt h ep r o p e r t yo f t h es o l u t i o n so f t h ep e r i o d i cs y s t e m ，a n dt h e r e a 托m a n yp r o b l e m st ob es t u d i e d i n t h i s p a p e r ， w e s t u d y t h e e x p r e s s i o n o f f d t ，x ，y ) w h e n f ( t ，x ，y ) = ( x ，f 2 c t ，x ，j ，) ) ，i st h er e f l e c t i v ef u n c t i o no ft h ec u b i cv a r i a b l ec o e f f i c i e n t f 一= ( ，) + q ( ，n + 吃( f ) y + 吗( f ) 并2 + a 4 ( t ) x y + a s ( t ) y 2 + 口6 ( f ) ，+ a 7 ( t ) x 2 y + c k ( t ) x y 2 i 【少= 6 0 ( ，) + 6 l ( f ) 工+ 如( f ) y + 6 3 ( f ) 工2 + 屯( f ) j 吵+ 如o ) ) ，2 + 6 6 ( f ) ，+ 6 7 ( f ) j 2 y + 屯( ，) 习，2 + b g ( t ) y 3 ( w h e r eq ( r ) ，6 ( f ) a r cc o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n sf o rf r ) a n dw e f ( t ，工，) ，) = ( x ，f 2 ( t ，x ，j ，) ) 7 o fm cs y s t e m w ea l s og e tt l 他2 珊一p e r i o d i cs y s t e m s 徐峰三次多项式微分系统的反射函数 5 1 引言 我们知道，客观世界中的一些物体的运动规律，常常可归结为研究微分 x = 石( f ，x ) ，t r ，x = ( ，而，矗) 7 r “ ( 1 1 ) 解的性态特别是该系统周期解的存在性、个数及稳定性是一个很重要的问题 p o i n c a r d 曾说过：“这些周期解的重大意义在于，它是唯一缺口，通过它我们 方可步入那些被认为不可到达的领域【8 】” 当x ( t + 2 c o ，j ) = x ( r ，x ) 时，在研究周期系统( 1 1 ) 的周期解的过程中， p o i n c a r d 映射举足轻重【l - 8 】通过它，我们可知道系统( 1 1 ) 的解何时为周期解 由此寻找周期系统( 1 1 ) 的p o i n c a r d 映射显得尤为重要设妒( f ；f ，善) 为过( 1 1 ) 过 ( f ，f ) 的通解，则周期系统( 1 1 ) 的p o i n c a r d 映射可定义为 r ) = 烈f + 2 ；f ，工) ，( v f r ) 从它的定义来看，只有在( 1 1 ) 的通解表达式已 知的情况下，方可找到其p o i n c a r d 映射这在实际操作中比较困难，因为若 ( 1 1 ) 的通解表达式已知，我们直接利用它的通解表达式来研究其周期解的性 态，没有必要借助p o i n c a r d 映射如果在系统( 1 1 ) 的通解未知的情况下，能找 到其p o i n c a r d 映射，这就具有了很大的现实意义，但在一般情况下，寻找 p o i n c a r d 映射是很困难的如何解决这一问题呢? 1 9 8 1 年前苏联数学家m i r o n e n k o 在文 9 中，首先提出了反射函数的概 扬州大学硕士学位论文 6 念，借助反射函数这一最新工具来寻找系统( 1 1 ) 的p o i n c a r d 映射，以进一步研 究系统周期解的性态，并于1 9 8 6 年出版了第一部反射函数理论通著利用反射 函数理论研究微分系统解的性态是一个崭新课题，是常微分方程的又一分支， 在我国涉足这一领域的人尚不多我的导师周正新教授曾师从m i r o n e n k o ，多 年来从事反射函数理论的研究，取得了许多重要成果 1 6 - 2 5 我现在周教授的 指导下进行反射函数方面的研究 本论文主要考虑三次多项式微分系统的反射函数，在第一分量不依赖第二 变量的情况下，给出了反射函数的表达式，并借此来研究微分系统的周期解的 性态 徐峰三次多项式微分系统的反射函数 7 2 预备知识 考虑微分系统 ，= x ( r ，x ) ，f r ，x = ( 葺，屯，毛) r “ ( 2 1 ) 满足下列条件 ( i ) x ( t ，x ) 连续可微，且对v ( t ，r ) r “”，其c a u c h y 问题具有唯一解 t 口，o ；f ，力，t i c r ( i i ) x ( t + 2 国，x ) = x ( t ，d ，m 为正的常数 定义1 映射敢，。) ：工卜妒( ；口，x ) 称为通过微分系统( 2 1 ) 解的映射 定义2 映射绶m 。) ：x 卜伊( a + 2 c o ；a ，力，口r ，称为微分系统( 2 1 ) 的 定理1 微分系统( 2 1 ) 在【口，口+ 2 c 0 上有定义的解伊( f ；口，x ) 为2 珊一周期解 的充要条件为x 是p o i n c a r d 映射吼。) 的不动点 定理2 微分系统( 2 1 ) 的周期解妒( f ；口，功在l y a p u n o v 意义下为稳定( 渐 扬州大学硕士学位论文 8 近稳定) ，当且仅当，微分系统( 2 1 ) 的p o i n c a r d 映射馈。+ ：。，) 的不动点x 为稳 定( 渐近稳定) 2 2 反射函数及其性质 在微分系统( 2 1 ) ( 不必为t 的周期系统) 中，若x ( t ，毒) 在r r ”上连续可 微，且保证其c a u c h y 问题的解存在唯一 i ，表示其解伊( f ；o ，x ) 的存在区间 记= f i - f ) ；d = ( f ，x ) l z r “，“i l n ) 定义3 称连续可微函数 f ( t ，x ) = o ( - t ；t ，x ) ，( f ，x ) d ， 为微分系统( 2 1 ) 的反射函数 反射函数具有如下性质 ( i ) 对微分系统的任一解x ( t ) ，t i ，0 i ，有 f ( t ，x o ) ) e 叫- t ) ； ( 啦对任一微分系统的反射函数f ( t ，x ) 有恒等式 f ( - t ，f ( t ，x ) ) 三f ( o ，x ) 三x 定理3 可微函数r ( t ，工) ：d r ”为微分系统( 2 1 ) 的反射函数，当且 仅当它为偏微分方程 徐蜂三次多项式微分系统的反射函数 9 if a t ，x ) + f a t ，x ) x ( t ，j ) + x ( 一t ，( f ，x ) ) = 0 i y ( o ，的= x 的解，我们称( 2 2 ) 式为关于反射函数的基本关系式 ( 2 2 ) 2 3 反射函数与p o i n c a r d 映射的关系 定理4 若x ( t + 2 c a ，曲= x ( f ，x ) ，且( 2 1 ) 的解由其初值唯一确定，f ( t ，x ) 为其反射函数，则系统( 2 1 ) 的p o i n c a r # 映射可定义为 r ( x ) = f ( - a ，工) = 伊( 国；一国，力， 从而系统( 2 1 ) 在【一国，】上有定义的解伊( f ；一，功为2 一周期，当且仅当x 为 方程，( 国，z ) = x 的解 定理5 1 9 i n 微分系统( 2 1 ) 的所有解均为2 缈一周期解，且由初值唯一 确定，则微分系统( 2 1 ) 的反射函数v ( t ，x ) 也是t 的2 一周期函数 注：一般地说，该定理的逆命题不成立 定理8 1 9 t 6 若：x ( t + 2 a j ，曲= x ( t ，功，微分系统( 2 1 ) 的解在【一国，彩】上有 定义，并由初值唯一确定，其反射函数f ( t ，力是t 的2 国一周期函数，则( 2 1 ) 的 所有解是，的4 m 一周期函数 扬州大学硕士学位论文 1 0 3 主要结论 考虑微分系统 其中 x = a o + a l x + a 2 y + a 3 x 2 + a 4 x y + a s y 2 + a 6 x 3 + a t x 2 y + a s x y 2 号晶+ p i y + p 2 y 2 号p ( f ，毛y ) - p( 3 1 ) ) ，= b o + 6 l x + 如) ，+ 6 3 x 2 + 6 4 】沙+ 岛y 2 + 瓦，+ 6 7 x 2 y + b s x y 2 + b 9 y 3 = ：q o + q l j ，+ 易，+ q 3 j ，3 = ：q ( f ，毛力= ：q a 1 - q ( f ) ，f = o l 8 ；q # b j ( t ) ，= o ，1 ，9 q ( f ) ，6 f ( f ) 为连续可微函数，t r ， 昂= 0 + a i x + a 3 x 2 + 矿，q o = 6 0 + 岛x + 6 3 x 2 十6 6 矿， 日= 口2 + a 4 x + a t x 2 ，q j = b 2 十6 4 工+ 6 7 工2 ， 忍= a 5 + a s x ，q = 6 5 + 魂x ， q = 岛 当该系统的反射函数的第一分量为x 时，其第二分量具有何种形式? 设系统( 3 1 ) 的具有反射函数 f ( t ，x ，) ，) = ( f z ( t ，五y ) ，e ( ，而y ) ) 7 每( e ，e ) 7 引理1 若e ( r ，x ，力= x ，则 口f ( o ) = 0 ，( i = 0 , 1 ，8 ) ( 3 2 ) 徐峰三次多项式微分系统的反射函数 1 1 证明：若五( ，j ，p = 善，则由定理3 有 ( 差， + 【芝，乏】( 5 + ( 美：笔习= ( 习， 由第一分量可得 尸+ 瓦+ 磊j + 乏e + 瓦x 2 + 瓦蝇+ 瓦五2 + 瓦矿+ 弓x 2 五+ 瓦碣2 = o ， 即 a o + a l e + a 2 e 2 = 0 ， 其中 a o = a o ( f ，x ，y ) = p + 昂， a 1 = a l ( f ，x ) = 丑， a 2 = a 2 ( f ，x ) = 丘， 这里 霉= 只( - f ，功，i = 0 , 1 ，2 令t = o ，则有 ( 3 3 ) 2 a o ( 0 ) + q ( o ) “0 ) + 呸( o ) y ( o ) + 码( o ) x 2 ( o ) + 吼( o ) “0 ) “o ) + 岛( o ) y 2 ( o ) + 9 1 6 x 3 ( o ) + 口7 ( o ) x 2 ( 0 ) 以o ) + 筇o ) “o ) y 2 ( o ) 1 = o ， 由于“0 ) ，“o ) 的任意性得 q ( o ) = 0 ( i = o ，1 ，8 ) 在下文中，我们总假设条件( 3 2 ) 成立 记a ( t ) 0 表示在t 0 的某去心邻域里成立 引理2 若f l ( t ，z ，p = 工，吨2 ( f ) + 2 ( ，) = - 0 ，a 2 2 0 ) + 口4 2 ( f ) + q 2 ( f ) 0 扬州大学硕士学位论文 1 2 则e ( ，x ，y ) = l o ( t ，功+ ( f ，x ) y ，其e e t o ( t ，力，( f ，工) 为连续可微函数，t r 证明：若f l ( t ，x ，少= x ，则由( 3 3 ) 可得 a o + a 1 e = 0 ， 而 口2 2 ( ，) + 口4 2 ( f ) + 口7 2 ( f ) 0 ， 由此可得 二e = 一鲁= 一! j 巳豆二丝 掣一a 2 - ba4rx-b a t x 2 y ， 4只只 。 最( f ，j ，) 2 l o ( t ，x ) + ( f ，x ) y 引理3 若f l ( t ，x ，p = x ，砰( f ) + 吼2 ( ，) 0 ，则如果 蛳每存在，j 黻l 。i m p o 忍+ _ p o l 。i r a p i 昱+ p i - o ，l 。i m 昱p _ - 垒2 = “ 这里 霉= ( _ f ，x ) ，i - o ，i ，2 证明：当e ( f ，x ，力= z 时，则由( 3 3 ) 可得 e o + p j y + p 2 y 2 + 露+ 露五+ 互五2 = 0 ， 警幛y 嘻聃百p 2 y 2 埘= o ， 只、最只“只。 由反射函数基本关系式( 2 2 ) 得 则 脚e5 脚e ( ， j ，) 2 y ， l 。i r a p o 最+ p o - + 嘞( 鲁+ 每”嘞( 扣卢o ， h o 只，一o 、只只“，一o 、只 “ 徐峰三次多项式微分系统的反射函数 1 3 由对任意y 等式都成立，故若姆暑存在，那么 i h 堡堕：0 1 i r a 生些：0 。t i m 量：一1 f 4 只 。f o 只f o 只 定理7 若五( r 五p = x ，吩2 ( f ) + d 1 2 ( f ) o ，且i , i i i i - o 皇p 存在， d 昙哔一- ，互易= 尬，2 最q 叫易，则 。 e ( f ，工，j ，) = 毛( f ，x ) + l t ( t ，x ) y 其中l o ( t ，x ) ，( f ，x ) 为连续可微函数，t r 证明：当巧o ，算，p = x 对弱由( 3 3 ) 式可得 a o + a 1 e + a 2 e 2 = 0 只：一鱼生墨，( 3 4 ) 见 班一气丝磊= 等+ 与笋五， ( 3 s 4 。 以2丘2 “ 只4 ：a o z + 2 a o a i f - 2 + a t 一2 f 2 2 以2 = 譬产+ 半e 6 ， 对( 3 3 ) 微分得 ( 如+ 4 ，+ 4 ，q ) + ( 4 ，+ 4 ，p ) e + ( 4 ，+ a z ；p ) e 2 - ( 4 + 2 a 2 f z ) q ( - t ，工，e ) = 0 ， 扬州大学硕士学位论文 1 4 ( 如+ 4 ，p + 4 ，q ) + ( 4 ，+ 4 ，- - 4 0 , - 2 4 0 0 ) 6 4 磊+ ( 如+ 4 ，p - 4 磊- 2 4 0 , ) e 2 一( 4 磊+ 2 4 磊) e 3 2 4 磊e 4 = 0 ， 将( 3 4 ) 、( 3 5 ) 、( 3 6 ) 代入上式可得 其中 q + 愿e = 0 ， e = 且( f ，五y ) = 呜2 ( 4 ，+ 4 ，p + a o y - q ) ( 3 7 ) 一4 4 ( 以+ 4 ，) 一4 4 2 磊+ 2 4 4 2 磊一4 4 鸣磊 ， 一以( 2 4 4 4 2 ) 易= 尽，o ，工沙。， ( 3 8 ) b = b 2 ( t ，x ，y ) = 4 2 ( 以+ 4 ，p ) 一4 4 ( 4 。+ 鸣，尸) + 4 4 2 磊一2 a 2 3 q o + 鸣( 2 4 呜一4 2 ) 磊 6 4 ( 3 乓4 4 2 ) 磊= 且o ，x 沙7 ， ，o 1 ) 若垦o ，则由( 3 7 ) 可得 p 鼍， 将( 3 1 0 ) 代入( 3 3 ) 可得 即 鸽等+ 簪一o ， - , q 犀2 = 盈( 名岛一4 骂) ， ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 堡竖三姿童堕茎丝坌墨竺丝垦墅里墼 ! ! - - i _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ 。_ _ _ _ _ - _ _ - - _ 。_ 。一 据此得 马尽 ( 岛，4 尽2 ，垦f 4 7 b ，墨2 若岛骂，则岛蜀2 ，这与已推出的垦b 1 2 矛盾 故马蜀) 结合( 3 8 ) 、( 3 9 ) 得 p 焉， 而 b 2 b i ， 7 最( f ，x ，力= l o ( t ，x ) + ，x ) y 2 ) 若岛= - 0 ，则由( 3 7 ) 可知置；0 ，即有 e = 豆：d ( 晶+ 磊+ e y + 马y 2 ) 一亏乏2 磊一磊( 晶+ 磊+ e y + b y 2 ) d 乏 + 2 最2 ( 晶+ 露+ 墨y + 马y 2 ) 磊一再豆( 晶+ 磊+ 丑y + b _ y 2 ) 磊 + 坪( 只+ 磊+ p l y + p 2 y 2 ) 磊一2 曩( e o + p o + e , y + e ：y 2 ) 2 磊；o ， 由2 互磊= 3 i 磊，得 丢c 争一o ， 苏、只7 由 昱珐= 最磊，得 芸c 争o ，出、只 扬州大学硕士学位论文 1 6 再靛懿件昙( 学一， 由此，比较等式两边y 的同次幂的系数可得 墨2 d ( 昂+ 昂) 一最( 异+ 昂) z ) 另+ 最2 暑q + 2 昱2 ( 弓+ 晶) 蜴一暑昱2 q 一日最( 晶+ 昂) q 2 + 日2 ( 晶+ 晶) 奶一2 8 ( p o + 己) 2 q 3 = 0 ； ( 3 1 1 ) 昱2 i ) 日+ 墨最2 9 + 2 昱最2 q o 一丑足d b + 2 丑b 2q i e 只最q 2 + 丑丑2 q 一4 只马( 昂+ 晶) q 3 = 0 ； ( 3 1 2 ) e 2 d 足+ 日e 2 q 2 + 2 p 2 p 2 2 9 - 8 8 d 8 + 2 p 2 p 2 2q l 一点最最q 2 + 舅2 最q 3 4 p 2 8 ( p o + 只) 易一2 p , 2 罡q = 0 ；( 3 1 3 ) 舅p ；珐+ 2 b b 2 q 2 4 p , 8 8 q , = 0 ； ( 3 1 4 ) 2 b b 2 9 - 2 8 2 昱q = 0 ， ( 3 1 5 ) 岛= 互2 蹦一再豆d 磊一2 互3 磊+ 露豆2 磊+ 2 豆2 ( 晶+ 磊+ 五y + 最) ，2 ) 磊 一只2 互磊一3 露最( 晶+ 昂+ 异y + e j ) ，2 ) 磊+ 耳磊z 0 同上比较等式两边y 的同次幂的系数可得 乏2 磷一再互磁一2 乏3 磊+ 霉互2 磊+ 2 丘2 ( 最+ 磊) 磊 一五2 豆磊一3 霹豆( r + 磊) 磊+ 露3 磊= o ； 2 暑互2 磊一3 暑嚣乏磊= o ； 2 罡磊2 磊一3 露只豆磊= o 由( 3 1 1 ) 得 丘2 d ( p o + 露) 一互( 昂+ 磊) d 豆= 露置2 磊一互2 只蜴一2 最2 ( 昂+ 磊) 磊 + 再互( 晶+ 磊) 磊一再2 ( 昂+ 磊) 磊+ 2 乏( 晶+ 露) 2 磊= 0 ； 即。警= 毒哦2 磊坷日蜴2 取昂圃磊 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) + 露互( 昂+ 露) 磊一露2 ( p o + p o ) q s + 2 磊( p o + 磊) 2 易】， ( 3 1 9 ) 徐峰三次多项式微分系统的反射函数 由( 3 1 2 ) 得 豆2 d 只一只乏d 互= 2 最霞2 q o 一只豆2q l - 2 毋p 2 2 磊+ 墨亏最磊 一日再2 磊+ 4 只互( 晶+ 耳) 磊； 即 。鲁2 毒卜2 b 豆2 蜴一只磊2 蜴- 2 丑互2 磊+ 只露互磊 由( 3 1 3 ) 得 一墨露2 磊+ 4 鼻豆( 昂+ 露) 磊】， b 互d 乏一互2 d 最= 2 b 置2q i + 2 最互2 磊+ 丑互2 q 一再b 互磊 + 早置磊- 4 e 互( 晶+ 露) 磊一2 舅2 互磊； 即。笔2 彘m 黝+ 2 瞬磊+ 职珐一职磁 由( 3 1 6 ) 得 ( 3 2 0 ) + 再2 最磊一4 p 2 p ：( p e + 露) 磊一2 丑2 最磊】，( 3 2 1 ) 互2 z 珥一露乏d 乏= 2 磊3 磊一露丘2 磊一2 乏2 ( e o + 豆) 磊 + 丑。只q 2 + 3 丑最( 晶+ 昂) 幺一丑q 3 ； d 1 即d 詈= 可【z 呓- 3 磊露互2 磊一2 互2 ( 昂+ 乏) 磊 + 露2 豆磊+ 3 露豆( 晶+ 磊) 磊一彳磊】， 由 互q 3 = 最磊， i 磊= 鲁q ， 由2 只q ，= 3 异a ， ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 立型堑塑主兰堡鲨壅 ! ! q 22 差q 3 ， - 磊2 蓦磊= 蓦毒q = 差q c ，彩， 考虑 a o + e + a 2 e = o ， = 4 2 4 4 4 = 露2 4 五( 晶+ 露) = - 4 嗄l v 2 + 耖警一去， 记肚( 扣( 警矗心j = t 2 + ( 驴詈一4 警 l bj 。l 最4 b 互虿【万j 百一斗彳 2 烈黟毒啊4 学， 胛= 。糍净睁4 警， + 聪+ 詈。专埘。毒+ 2 毒。考枷半， 。瓦b 1 2 b 乏2 q l + 2 b 豆2 磊+ 暑丘2 磊+ 暑乏z q 一露e 霞磊+ 再：最磊 - 4 骢蝴耻2 相豇矿嘶矿+ i i 籍g 一圭务磊姥一孳乎纷竽岛 2 矗【2 脚弘+ 2 断强怕翘。乒幻：嵋脚：q 2 + 舶：磊 却2 晟( 尸o + 凰辨2 p 2 嘲肛2 q 甲1 2 专矗形 嘲嚏磊+ 皇q 2 - 鲁q 2 + 容一掣磊 徐峰三次多项式微分系统的反射函数 1 9 这里 一矗磊上2 哼蕞矽 = k ( t ，x ) w ， 配归磊+ i p l 均- - 噎易 绞嘻驴4 ( p o 吒+ p o ) 百3 一丽2 p , 2 q 一土形+ 三量 22b b 为连续可微函数 由题设姆鲁存在，则由引理3 有l 。h n p o 最+ _ 1 o = o ，瓣考2 1 故 w ( o ，曲= 0 ， 由一阶线性偏微分方程的问题解的唯一性得 w ( t ，；0 ， 目j t i f f ( 3 3 ) 式得 p 磊一旦2 鄹医e 2 序 = l & q ，曲+ t l q ，而y ， 综合1 ) 、2 ) 可知定理结论成立 定理8 着2 ( f ) + 2 ( f ) o ，微分系统( 3 1 ) 的反射函数 f ( t ，x ，) ，) = o ，9 0 0 ) + 蜀( ，弦+ ( f ) 力7 ，则必有 啪卜老一2 a ，一i o 压a s ， 扬州大学硕士学位论文 啪卜去告抟， 础) _ 心， 笠：晏 a 8 a s ( i i ) l i m a 2 + a 2 ：0 。l i m 堡生：0 ，l i i i l 垒：一i 0 a 一57 “瓦4 ，o 磊 其中g 。( f ) ，g l ( f ) ，9 2 ( r ) 为连续可微函数 证明：若a 5 2 ( t ) + a s 2 0 ) 0 ，f ( t ，x ，y ) = ( 工，g o ( r ) + 蜀( r 弦+ 9 2 ( f ) y ) 为微分 系统( 3 1 ) 的詹射函数硎南j 安射函数的基本关系式得 p ( t ，x ，y ) + 尸( - f ，x ，g o ( t ) + g l ( r ) x + 9 2 0 ) j ，) = 0 ， g o ，( f ) + 蜀，( t ) x + 9 2 ，o ) y + g l ( f ) p ( f ，j ，) + 9 2 ( t ) q ( t ，x ，y ) + q ( 叫，石，g o ( ，) + 岛( f ) x + 9 2 ( f ) y ) = 0 ， g o ( o ) = o ，g l ( o ) = 0 ，9 2 ( 0 ) = 1 ， 化简( 3 2 6 ) ，比较同类项的系数得 + 瓦+ 磊g o + 五s 9 0 2 = 0 ， q + 磊+ a 2 9 l + 瓦g o + 2 a s g o g l + 瓦s 9 0 2 = 0 ， 吒+ 砭9 2 + 2 d s g 0 9 2 = 0 ， 色+ 瓦+ 瓦g l + 弓g o + a s g , 2 + 2 瓦9 0 蜀= o ， 口4 + 瓦9 2 + 2 a s g 0 9 2 + 2 磊g 1 9 2 = 0 ， a 5 + 瓦9 2 。= 0 ， 咏+ 瓦+ 西g l + 瓦9 1 2 = o ， 呜+ 弓9 2 + 2 瓦g 1 9 2 = o ， 嘞+ 瓦9 2 2 = o 由( 3 3 4 ) ，( 3 3 7 ) 可得 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) 徐峰三次多项式微分系统的反射函数 2 1 由( 3 2 8 ) ，结合岛( f ) ，f = 0 , 1 ，2 即得 l i m a 2 + a 2 ：0 1 i m a 7 + a 7 ：0 。l i m 竺生：一1 h ” 瓦 ”o 瓦。”o 瓦 ( 3 3 s ) 定理9 若如2 ( f ) + 2 ( r ) o ，微分系统( 3 1 ) 为2 国一周期系统，且其反射 函数f ( f ，x ，j ，) = ( x ，g o ( f ) + 9 1 ( f ) x + 9 2 ( f ) y ) r ，贝0 当g o ( - o j ) = g l ( 一彩) = o ， ( 一o j ) = l 时。微分周期系统( 3 1 ) 在卜，m 】上有定义的解皆为2 一周期解 证明：若f ( t ，x ，y ) = ( x ，g o ( f ) + g i ( ，) x + 9 2 ( f ) y ) r ，则 f c 一，x ，力= ( 岛。一国，+ 蜀。二x + 。一国，y 当 岛( 一咖= 蜀( 一c o ) = 0 ，( 一曲= l 时， ，( 咄x ，力； k y ) 由定理4 可知微分周期系统( 3 1 ) 在 一印，缈】上有定义的解皆为2 一周期解 气吨 气气 f f 旦 旦凌 一唯i i 吼 ， l | i 呜 耳_ 略压毛f隅瓦酉儒西酉 = = 目 l l 目 = 呜气 聃 钆 酗 呜气 圳 啪 啪 础 入 入 许 计 粥 鲳 n b 将 将 扬州大学硕士学位论文 推论1 0 若a ，2 ) + 2 ( ，) = o ，岛2 ) + 2 + 方( f ) o ，微分系统( 3 。1 ) 的反射函数为 f ( t ，x ，力= ( 五g o ( f ) + g i ( f ) x + 9 2 ( r ) y ) r ， 贝u 必有 ( i ) g 。( f ) ：一a o 一+ a o ， 屹 g d t ) ：一a 6 _ + = 一a 6 ， “1 9 2 ( t ) ：一拿， 1 a _ z 2 ：生 口7西7 ( i i ) l i r a 鱼堕：0 ，l i m 生坠：0 ，i i m 生：一1 f o 瓦 。f _ o 互r - - - o 磊 证明：与定理8 同理可证 推论”若口，2 ( t ) + a s 2 ( f ) ；o ，审( d + q 2 ( f ) + 吗2 ( f ) o ，微分系统( 3 1 ) 为2 0 一周期系统，且其反射函数f ( f x ，j ，) = ( x ，g 。o ) + 9 1 ( f h + 9 2 ( f ) y ) 7 ，则当 g o ( 一国) = 蜀( 埘) = 0 ，9 2 ( 一) = l ， 时，周期系统( 3 1 ) 在卜，国】上有定义的解皆为2 c o - 周期解， 证明：与定理9 同理可证 推论1 2 在定理7 的条件下，e o ，x ，y ) 由( 3 3 ) 式确定，且满足 徐峰三次多项式微分系统的反射函数 2 3 五( o ，力= ，则讹而力= 阮互以与y 矿为微分系统( 3 】) 的反射函数：若微 分系统( 3 1 ) 为2 埘一周期系统，则微分系统( 3 1 ) 在【一由，国】上有定义的解为 4 国一周期解：若e ( - 旗砖力= j ，则微分系统( 3 1 ) 的所有在卜奶口】上有定 义的解为2 口一周期解 证明：由定理的条件知，e ( ，x ，_ ) ，) 由( 3 3 ) 式所确定， f ( t ，x ，y ) = 最以x ，j ，) ) 7 满足反射函数的基本关系式，则它为微分系统 ( 3 1 ) 的反射函数；若微分系统( 3 1 ) 为2 国一周期系统，所有定义在卜m ，国】 上的系数函数为2 脚一周期函数，则e ( f ，) ，) 也是t 的2 脚一周期函数，由定理6 得，此时微分系统( 3 1 ) 在【一国，】上有定义的解为f 的4 国一周期；若 e ( ，x ，力= y ，则 f ( _ 国，j ，) = ( x ，五( _ 脚，五j ，) ) 7 = ，y ) 7 ， 此时由定理4 得，微分系统( 3 1 ) 所有在上【一，m 】有定义的解为2 m 一周期解 扬州大学硕士学位论文 四应用举例 例3 1 微分系统 ，= s i n t e “+ 云1s i i l 2 t x 2 + a l ( t ) s i n f 口“砂 ) ，= 口：( t ) e - m _ + ( “r ) - c o s t ) y + “f ) x 2 - - 吾s i n 2 缈嘞( f ) s i i l 矿矿 具有期r 阴反射幽毅 即，堋= ( x ，赤 s i n t e a t x 2 + ( 1 一e f t ( t ) 工) e 2 i m t y 】) r ， 其中 q 8 ) = i t i 1 s m 2 f ， a 4 ( t ) = z 1a ，- ，) s i i l f 一圭c o s f - q ( f ) 嘞( f ) 】p 一， a 2 ( t ) ，钙( f ) 是任意连续可微函数 例32 徽俞系统 一= s i n t e y + l ( s i n 2 t - s 谊2 2 f ) 工2 + q ( f ) s i i l t - e m t 砂 _ y = ( f ) e - r e x + ( o ) - c o s t ) y + 瓯( f ) x 2 一j 3 ( s i n 2 t - s i n 2 2 r ) 砂 - a i ( t ) s i n t e “y 2 其中州，) _ 一i 1s i n 五十去s i n 4 f ， 口：( r ) ，o ) 为任意连续可微的奇函数，t r ， 徐峰三次多项式微分系统的反射函数 2 5 吼( ，) = 三2 e 一血虹4 ( c 0 s 2 t - - 1 ) ( c o s f 一呜( r ) s i i l f 一8 s i n 2 t c o s f 一2 a l ( t ) c t 2 ( t ) ， 具有如下形式的反射函数 f ( f ，x ，y ) = o ，丁二：杀【s i n f ( 1 - 4 c o s 2 t ) x 2 + ( 1 + 口- ( f ) 功e m t y p “) 7 ， 着口2 ( r + 2 石) = 口2 ( f ) ，a 3 ( t + 2 x ) = a 3 c t ) ，则f ( _ 万，薯力= o ，y ) 7 ，由定理4 得 微分系统所有在卜石，万】上有定义的解为2 万一周期解 例3 3 微分系统 具有如下形式的反射函数 f ( t ，x ，y ) = ( x ，e 2 鼬y ) 7 ， 由于f ( 一万，x ，力= ，j ，) 7 ，则由定理4 得微分系统所有在【一石，r 】上有定义的解 为2 石一周期解 矿 叠哦 啪嗽以 ：蓦啦一 誊一 觚甜呵篙 ，哺 、 扬州大学硕士学位论文 参考文献 【1 】张芷芬、丁同仁等微分方程定性理论，北京：科技出版社，1 9 8 1 年 【2 】张锦炎常微分方程几何理论与分支问题，北京：北京大学出版社，1 9 8 1 年 【3 】许凇庆常微分方程稳定性理论，上海：上海科学出版社，1 9 6 2 年 【4 】廖晓听稳定性理论、方法和应用，武汉：华中师范大学出版社，2 0 0 1 年 【5 】马知恩、周义仓常微分方程定性与稳定性方法，北京：科技出版社，2 0 0 0 年 【6 1l y a p u n o va m t h eg e n e r a lp r o b l e m so n t h es t a b i l i t yo f m o t i o n p h y s i c s ，1 9 5 9 忉a r n o dv i o r d h r yd