（基础数学专业论文）非线性常微分方程的周期边值问题.pdf

山东师范大学硕士学位论文 非线性常微分方程的周期边值问题 张明 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 近年来，在数学、物理、化学、生物学、医学、经济学、工程学和控制论等许多 科学领域出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线| 生问题的过程中，逐渐产 生了现代分析数学中非常重要的方法和理论，主要包括：半序方法、拓扑度方法、 锥理论和变分方法等，成为当今解决科技领域中层出不穷的非线性问题所需的富有 成效的理论工具 本文主要利用锥理论和拓扑度方法研究非线性微分方程周期边值问题的解的 存在性有关微分方程边值问题解的存在性、正解的存在性和唯性在二十世纪八 十年代以来得到了广泛的研究( 如文 2 0 一 3 2 】) 在此基础上，本文进一步研究了微 分方程周期边值问题解的存在性 第一章讨论了脉冲周期边值问题 ， lz ”一p x 7 + 矿z = ( t ，z ) ， o e t ( 0 ，2 7 r ) ； ja x 拄如= 厶( z ( 南) ) ； la x 仇：如= 巧( z ( 屯) ) ，i = 1 ，2 ，后； iz ( o ) = z ( 2 7 r ) ， z 7 ( o ) = z 7 ( 2 7 r ) 1 t 1 互1 多个正解的存在性，其中p ( - - ，, 3 - ，去) ，：j r _ r + ，r + = 【0 ，+ o 。) ，r 一= ( - - c o ，o 】，0 = t o t l t 2 t k t k + l = 2 丌，厶c r ，r + 】，譬c r ，r 一】毛e 文 【1 】- 【8 】中，研究此问题的方法为上下解与单调迭代技巧在文【9 】中，采用的是拓扑 度方法而在这些文章中，非线性项，均为连续函数本章在这些文章的基础上， 假设非线性项，为c a r a t h 芭o d o r y 函数，构造了一个特殊的锥，利用锥拉伸和锥压 缩不动点定理得到方程存在2 n 1 个正解，改进了文 1 0 】中的结果 第二章讨论了奇异混合型周期边值问题 ， l 乱“( t ) + k u ( t ) = 厂( t ，乱( t ) ，( ) ，k u ( t ) ，s 乱( t ) ) ，t ( 0 ，2 7 r ) ； iu ( o ) = 弘( 2 7 r ) ， 乱7 ( o ) = u 7 ( 2 丌) 1 在b a n a c h 空间中正解的存在性其中0 k 为常数，在t = 0 ，t = 2 7 r 和 u = 口处有奇异性，c ( 0 2 7 r ) xp 口) xe xp xp ，p 】近年来，许多学者对此 问题进行了研究( 文【1 3 一【1 8 】) ，使用的方法均为上下解与单调迭代技巧，使用不动点 山东师范大学硕士学位论文 定理研究此问题的还比较少见本章在这些文章的基础上，通过构造一个特殊的凸 闭集，利用m 6 n c h 不动点定理在抽象空间中得到了方程正解的存在条件 第三章讨论了耦合系统周期边值问题 iz ”( z ) + k x ( t ) = y ( t ，z ( t ) ，秒( t ) ) ，j ； ly ”( t ) + k y ( t ) = g ( t ，z ( t ) ，( t ) ) ，t j ； lz ( o ) = x ( t ) ，z ，( 0 ) = x t ( t ) ；- i 可( o ) = y ( t ) ，y l ( o ) = y l ( t ) 多个非平凡解的存在性，其中j = 【o ，t 】，0 k 0 为常数文【2 1 卜 2 6 1 均是对微分系统两点或三点边值问题进行研究，据 我们所知，对周期边值系统研究的还很少见本章利用拓扑度的同伦不变性和缺方 向性，得到了方程多个非平凡解的存在性，改善了文【2 7 1 中的结果 第四章讨论了具有偏差变元的二阶中立型泛函微分方程 舶 ：鼍k ( t ) 一k x ( t 一丁( t ) ) 】= ，( z ( t ) ) z 7 ( t ) + g ( t ，z ( z ( t ) ) ) + p ( t ) 多个非平凡周期解的存在性，文【2 9 】，【3 0 1 研究中立型泛函微分方程( n f d e ) 周期解 的存在性的前提是时滞项丁为常数文 3 i 】把r 变为关于t 的函数，利用叠合度的 连续性定理研究了上述中立型泛函微分方程，获得了周期解的存在性结果本章在 前面文章的基础上，利用叠合度的缺方向性和可加性，得到了方程至少存在两个非 平凡周期解的充分条件 关键词：锥；b a n a c h 空间；周期边值问题； 拓扑度；叠合度；多重解 分类号： 0 1 7 5 8 2 山东师范大学硕士学位论文 p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fn o n l i n e a ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s z h a n gm i n g i n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nl a s tf e wy e a r s ，a l ls o r t so fn o l i n e a rp r o b l e m sh a v er e s u l t e df r o mm a t h e m a t i c s ， p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , m e d i c i n e ，e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，s y b e r n e t i c sa n ds oo n w i t hs o l v i n gt h e s ep r o b l e m s ，m a n yi m p o r t a n tm e t h o d sa n dt h e o r ys u c ha u sp a r t i a lo r d e r - i n gm e t h o d ，t o p o l o g i c a ld e g r e em e t h o d ，t h et h e o r yo fc o n ea n dt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d h a v eb e e nd e v e l o p e dg r a d u a l l y t h e yb e c o m eav e r ye f f e c t i v et h e o r e t i c a lt o o lt os o l v e m a n yn o n l i n e a rp r o b l e m si nt h ef i e l d so ft h es c i e n c ea n dt e c h n o l o g y t h i sp a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so fn o l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yu s i n gt h et h e o r yo fc o n ea n dt o p o l o g i c a ld e - g r e em e t h o d t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h a v eb e e nc o n s i d e r e de x t e n s i v e l ys i n c et w e n t yy e a r sa g o ( 2 0 一i s 2 ) t h i sp a p e rd i s c u s s e s t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sm o r eg e n e r a l l yo nt h e b a s i so fa b ( w er e f e r e n c e s c h a p t e r1i n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o ri m p u l s i v e p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m iz ”一p x 7 + p 2 z = ，( t ，z ) ， n e t ( 0 ，2 7 r ) ； j z b 。= 五( z ( 岛) ) ， ia x ，f t ：如= e ( z ( 岛) ) ，i = 1 州2 一，k ； iz ( o ) = z ( 2 丌) ， z ，( 0 ) = z ，( 2 霄) w h e r e 户( 竺，击) ，：j r _ r + ，r + = f 0 ，+ o o ) ，r 一= ( 一o 。，o j o = 如 孟1 t 2 t k t k + l = 2 1 r ，厶c r ，r + 】，口c r ，r 一】i nt h ep a p e r s 【l 】一 8 】，t h ew r i t e r i n v e s t i g a t e dt h i sp r o b l e mb yu s i n gl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n sa n dm o n o t o n ei t e r a t i v e t e c h n i q u e i nt h ep a p e r 【9 】，t h ew r i t e rc o n s i d e r e dt h i sp r o b l e mb yu s i n gt o p o l o g i c a ld e g r e e m e t h o d h o w e v e r ，t h en o n l i n e a rfw a sc o n t i n u o u sf u n c t i o ni nt h e s ep a p e r s i nt h i sp a p e r ， fi sac a r a t h d o d o r yf u n c t i o n ，t h e nw eg a i n2 n 一1p o s i t i v es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o nb y c o n s t r u c t i n gas p e c i a lc o n ea n du s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e mo fc o n ee x p a n s i o na n d c o m p r e s s i o n ，i m p r o v et h er u s e l ti np a p e r 【1 0 3 山东师范大学硕士学位论文 c h a p t e r2i n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o rs i n g u l a ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a l p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nb a n a c hs p a c e ju ”( t ) + k u ( t ) = ， ，乱o ) ，u 7 ( 亡) ，k u ( t ) ，吼( 亡) ) ，t ( o ，2 7 r ) ； i 让( o ) = u ( 2 7 r ) ， ( o ) = t 正7 ( 2 7 r ) w h e r e0 七 云，i ss i n g u l a ra tt = 0 ，t = 2 1 ra n du = p ，c 【( o ，2 7 r ) p p ) e p p ip 】i nl a s tf e wy e a r s ，m a n yw r i t e r sc o n s i d e r e dt h i sp r o b l e mb yu s i n gl o w e ra n d u p p e rs o l u t i o n sa n dm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e a sf a ra sw ek n o w ，c o n s i d e r i n gt h i s p r o b l e mb yu s i n gf i x e dp o i n tt h e o r e mi sr a r e t h i sp a p e rg a i n st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v e s o l u t i o no ft h ee q u a t i o nb yc o n s t r u c t i n gas p e c i a lc l o s e dc o n v e xs u b s e ta n du s i n gm s n c h f i x e dp o i n tt h e o r e mi na b s t r a c ts p a c e c h a p t e r3i n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l en o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rp e r i o d i c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fac o u p l e ds y s t e m iz ”( 亡) + k x ( t ) = ， ，z ( t ) ，秒( t ) ) ，亡j ； j 可”( t ) + k v ( t ) = 夕( t ，z ( ) ，( t ) ) ，t j ； iz ( o ) = z ( t ) ，。，( 0 ) = z 7 ( t ) ； i 可( o ) 亍y ( t ) ，矿( o ) = 矿( t ) w h e r ej = 0 ，t i ，0 k 0 i nt h ep a p e r s 2 1 1 一 2 6 j ， w r i t e r si n v e s t i g a t e dt h et w o - p o i n to rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fd i f f e r e n t i a l s y s t e m a sf a ra sw ek n o w ，c o n s i d e r i n gt h ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u es y s t e mi sr a r e t h i s p a p e rg a i n st h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l en o n t r i v i a ls o l u t i o n sb yu s i n gt h el a c ko fd i r e c t i o n p r o p e r t ya n dh o m o t o p yi n v a r i a n c eo ft o p o l o g i c a ld e g r e e ，i m p r o v e st h er e s u l ti np a p e r 【2 7 】 c h a p t e r4i n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l en o n t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o n sf o ra c l a s so fs e c o n do r d e rn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t has t a t e m e n t - d e p e n d e n t d e v i a t i o nv a r i a b l e 舶 云k ( t ) 一七z ( 一7 ( ) ) 】= ，o ( ) ) z 7 ( t ) + 夕( t ，z p ( t ) ) ) + p ( ) i nt h ep a p e r s 【2 9 3 0 ，a l lr e s u l t so ft h er e s e a r c h e so nt h es e c o n do r d e rn f d ea r ed e r i v e d u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a td e l a y7 i sac o n s t a n t i nt h ep a p e r 3 1 ，w r i t e rc h a n g e d7 - i n t oaf u n c t i o na b o u tta n dg a i n e dt h ee x i s t e n c eo fo n ep e r i o d i cs o l u t i o nb yu s i n gt h e c o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e e t h i sp a p e rg a i n st w on o n t r i v i a lp e r i o d i c s o l u t i o n sb yu s i n gt h el a c ko fd i r e c t i o np r o p e r t ya n da d d i t i v i t yo fc o i n c i d e n c ed e g r e e k e yw o r d s ：c o n e ；b a n a c hs p a c e ；p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；t o p o - l o g i c a ld e g r e e ；c o i n c i d e n c ed e g r e e ；m u l t i p l es o l u t i o n s c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 8 4 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注；如没有其他需要特 别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名。献目月 导师签字：映憝嚆 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授 权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用 本授权书) 学位论文作者签名：张阉 签字日期：2 0 0 9 年午月胡 导师签字：哮髻、许导师签字：絮、芹 签字日期：2 0 0 9 年牛月妇 山东师范大学硕士学位论文 第一章二阶非线性脉冲周期边值问题多个正解的存在性 1 1引言及预备知识 脉冲微分方程理论是微分方程理论中重要的新分支，它是有深刻的物理背景 和实际意义的数学模型近年来，对于脉冲周期边值问题，许多文章讨论了其可解 性( 参见文【1 】- i s ) ，但大都采用上下解方法与单调迭代技巧得到了一个正解的存在 性，另外，文( 【9 】) 用拓扑度理论研究此问题得到了一个正解的存在性；而在以上这 些文章( 1 】【9 】) 中，均假设非线性项为连续函数本文在前面文章的基础上，假设 非线性项为c a r a t h 4 0 d o r y 函数，建立了一个特殊的锥，利用锥拉压不动点定理得 到方程具有2 n - 1 个正解的存在性，改进和推广了文( 【l o 】) 中的结果 本章考虑如下二阶脉冲周期边值问题 iz ”一p x 7 + 矿z = f ( t ，z ) ，o e t ( 0 ，2 丌) ； z b 2 五( z ( 姚 ( 1 1 1 ) i z 化：如= 譬( z ( 如) ) ，i = 1 ，2 ，k ； iz ( o ) = z ( 2 7 r ) ， z ( o ) = z ( 2 7 r ) 1 n 毒1 其中j = 0 2 7 r 】，p ( ，去) ，：- ，冗一冗+ ，r 十= 【0 ，+ o o ) ，r 一= ( 一0 0 ，o l ， z i 拄如= z ( 如+ 0 ) 一z ( 如一o ) ，0 = t o t l t 2 t k 0 ，都存在h q l 1 ( 以r + ) ，使得对于a e t z 有 if ( t ，z ) i h q ( ) ，izi sq ( 1 1 2 ) 以下均假设，是一个l 1 一c a r a t h d o d o r y 函数 定义1 1 2 称函数z p c ( j ) 为p b v p ( 1 1 1 ) 的正解，如果x ( t ) 0 ，x ( t ) 不恒 等于0 ，t j 且z 满足( 1 1 1 ) 5 山东师范大学硕士学位论文 引理1 1 1 ( i n ) 设q 是实b a n a c h 空间e 中的一个锥，q l ，q 2 是e 中有界 开集，口f l l ，一f t icq 2 ，a ：qn ( _ 2 q 1 ) _ q 全连续，如果满足下列条件之一： ( 1 )0a xi i 1 iz | i ，vz qna q 2 ( 2 )0a xl i 1 iz0 ，vz qna q 2 ；0a xi | 0z | i ，vx qna q l 那么，4 在q n ( _ 2 q 1 ) 中必具有不动点 在p c ( j ) 中定义算子a ： r 2 1 r ( a x ) ( t ) = a l ( t ，8 ) f ( s ，x ( s ) ) d s + e k i = l 【- g l ( t ，t i ) f f ( x ( t i ) ) + g 2 ( t ，如) 厶( z ( 如) ) 】( 1 i 3 ) j o 降竺型吲兰丝! = 竺型! 二竺! 【笺丝二剑，o 二s 2 霄； l 、3 p ( e p 丌+ e p 丌一2 c 0 8 ( v 晰) ) 7 一一一 7 陋竺竺型窆【兰坐= 型! 二! 筌笺2 1 1 三二竺趔! ，o 亡 s 2 丌 l 钜p ( e p 丌+ e - p t r 一2 c o s ( 、3 j d 丌) ) 一一一 f 二鲨竺二：坠型墅! 兰! 二! 型二墨l ! 二型型兰丝二业驰 s ； l 3 ( e _ p ，r + e - p r e 一2 c 0 8 ( v 锄) ) 7 i 二鲨! 竺：竺丝! 霉坐二尘二墨上! 二：掣霉丝! 二兰塑塑! ，z s 1 怕( - t - e 一一2 c d s ( 怕) ) 7 一 且 点 令 6 z = ：弓熟g ，( t ，s ) 了南= ：z 2 ，v t , sej ( 1 1 4 ) p p 弧 i g 2 ( t , s ) 怪瓦南丽爿如， yt , sej o 工印 2 1 r g i ( 如) d s = 刍 引理1 1 2 ( 1 2 1 ) z p c ( j ) 为p b v p ( 1 1 1 ) 的解当且仅当z 为算子a 的不动 一m m 1 1 1 2 业掣鲁笺铲) ( 1 ) e 胪+ e 一 一2 c d s ( 、3 肼) 。、 山东师范大学硕士学位论文 其中，l l ，1 2 如( 1 1 4 ) 中所述，则0 o 和 z 啦) c z n ) 满足 i ia x m a x | | 印，i = 1 ，2 ， 由于 a x 。) 相对紧，故存在 a z 。 的子列收敛于某z p c ( j ) ，不失一般性，仍 设1 i r a a x m = 名，即1 蜘i fa x n ；一zi i = 0 ，这样可得z = a x ，矛盾，故( 1 i 1 3 ) 式成立，即a 连续 综上，a 在研上全连续 8 山东师范大学硕士学位论文 1 2 主要结果及应用 下面给出，在处为次线性情形下的主要结果： 定理1 2 1 假设条件( h 1 1 ) 成立，此外假设下列条件满足： ( h 1 2 ) 存在j ocz 使得m e s j o = o ，1 五百兰业兰= 0 关于t j j o 一致成立， t 宰，一、 f l b - - - ut 山 并且l i m 生型= 0 ，i ：1 ，2 ，k ( h 1 3 ) 存在正整数歹且1 j k 及r 0 满足 乃( z ) z z ，z 【q r ，r 】，其中z = a ( c o 二1 【一- - 1 3 ) ( h ，4 ) 存在 cz 使得m e s = 。，i l i i m 丛字= 。关于t j j 1 一致成 立，并且l i m 望盟：o ，i ：1 ，2 ，七 z + 十0 0 z 则p b v p ( 1 1 1 ) 在p c ( j ) 中至少存在两个正解 证明首先证明存在正数c r 满足 a xl i s z ，vz 秒q c【l 由( h a 2 ) 可知，存在e ( o ，了l 丙) 和c ( o ，冗) 满足 百+ k 1 2 + - 二 f ( t ，z ) e z ，一譬( z ) z ，vt j 而，z 【0 ，c 】，i = 1 ，2 ，k 则 r 2 1 r ( a x ) ( t ) = g l ( t ，s ) f ( s ，x ( s ) ) d s + 叁1 一g l ( t ，如) 露( z ( 如) ) + g 2 ( t ，如) 五( z ( 岛) ) 1 ，0 r 2 7 r， c g 1 ( t , s ) d s 0+ 坠1 ( z 2 + 导c o ) ( 一譬( z ( 如) ) )， 爹“( f 2 + 扣 = ( 专+ k 1 2 + k c 0 1 - - 垒3 ) e c r 满足 f ia z | i l izl i ，vz a q d zi l ，vt j ( 1 2 3 ) 由( h 1 4 ) 可知，存在一( 0 ，石南和三 0 使得 f ( t ，z ) 0 ，h l 1 ( j ) 及龟冗+ ，i = 1 ，2 ，k 满足 f ( t ，z ) 危( t ) ， vt zz 【0 ，r 】 一譬( z ) e t z ，z 【a r ，r 】 且 ： 学z 加g 。( 抽) ( s ) d s 【1 一整。( 磊t 3 ) 旬1 1 冗璞擎上g 1 ( 亡，s ) ( s ) d s z z 二； z 其中z 同( h t 5 ) 中所述 则p b v p ( 1 1 1 ) 在p c ( j ) 中至少存在两个正解 证明首先证明存在正数c 1 izi i ，vx o q c( 1 2 4 ) 由( h 1 5 ) 成立可知，存在9 7 ( o ，可葫三面) 及o 一 c ，= l izi i ， vt j 1 1 山东师范大学硕士学位论文 故当( h 1 5 ) 成立时，在a q e 上没有不动点且( 1 2 4 ) 式成立 其次证明 0a x | l i izi i ，vz o q r ( 1 2 5 ) 对vz a q r ，由( h 1 6 ) 可得 f 2 1 r ( a x ) ( t ) = g l ( t ，s ) f ( s ，z ( s ) ) 如+ e i k = 1 - a s ( t ，t i ) i ；( x ( t i ) ) + a z ( t ，t i ) i i ( x ( t i ) ) 】 j og 1 ( 。，s ) 危( s ) d s + 冬1 ( 。2 + 若) ( 一譬( z ( 岛) ) )叼 r ，当z 孑时有 b ( x ) ( z e ”) z 取d = 兰，则对vz o q d ，有 ( a x ) ( t ) = g 1 ( 厶3 ) f ( s ，z ( s ) ) 幽+ e l k = 1 卜g 1 ( t ，t i ) i ( x ( t i ) ) - t - g 2 ( t ，t i ) i i ( x ( t i ) ) 】 整1 ( c o l l 1 3 ) i i ( x ( t i ) ) ， ( c o l l 1 3 ) i j ( x ( t j ) ) ( c o l l 一z 3 ) ( z 一”) z ( ) ( c o l l 一z 3 ) ( z e ”) a d d = 0 。i i ，vt j 即在o q d 上没有不动点且( 1 2 6 ) 式成立 由引理1 1 1 可得算子a 至少有两个不动点z 1 铂蕊，x 2 q r q - ：。，即p b v p ( 1 1 1 ) 在p c ( j ) 中至少存在两个正解z 1 和x 2 推论1 2 2假设( h 1 1 ) 和( h 1 6 ) 满足，并设( h 1 5 ) 和( h 1 7 ) 中的一个成立， 则p b v p ( 1 1 1 ) 在p c ( j ) 中至少存在一个正解 1 2 定理1 2 3设( h 1 1 ) 成立，再设存在h ，r ： 0 r l r 1 r 2 r 2 r n 碥 山东师范大学硕士学位论文 满足 和 詈 “7“”一 m o = ( e 南+ 1 ) 4 4 0 0 0 0 2 1 n 2 0 0 则p b v p ( 1 2 7 ) 至少存在两个正解 证明p b v p ( 1 2 7 ) 可以看成( 1 1 1 ) 的形式，其中 p 2 焘，m ，z ) = ( t 2 一t + 2 ) m i n 3 2 2 3 ，3 2 1 i n x 2 1 经过计算可得 c 02 丽1【e 渤( e 焘+ 1 ) 2 + l 】 c o i l ( x ) 0 从而( h 1 】) 成立，由f 及”( z ) 的定义易验证f h ，1 f h ，4 1 成立 取肚2 0 0 当征【志，2 0 。 狮) _ ( e 焘+ 1 ) a x 2 _ ( e 焘+ 1 ) 4 ( 毒炒而两1 2 0 0 一 1 丽0b z i e 2 、3 +l 二u 、l u l 一3 ， u 【二l 一3 ， 由此即得( h 1 3 ) 成立 综上所述，由定理1 2 1 可知。p b v p ( 1 2 7 ) 至少存在两个正锯 1 j i u1 2 2 考。虑卜歹up b v p ： p ( t ) 一办z 他) + 击z ( 亡) = ( t 2 一t + 2 ) l s i n x i ，呲t ( o ，2 7 r ) j z b 2 ( z ( 挑 i 酣b 2 日( z ( 籼 【z ( o ) = z ( 2 7 r ) ，z 7 ( o ) = z 7 ( 2 7 r ) 其中 一片0 ) = 1 2 0 0 x z 2 0 ； 一旦竽z + 2 8 7 9 6 ， 2 0 z 1 2 0 ； l x ，1 2 0 z 1 5 0 0 ； 半z 一3 5 9 9 5 0 0 ，1 5 0 0 z 3 0 0 0 ； 1 2 0 0 x ，z 3 0 0 0 ( z ) = 壶( 一贯( z ) ) 则p b v p ( 1 2 8 ) 至少存在两个正解 证明经计算c o 1 2 ，故由，及一e ( z ) ， ( z ) 的定义可知条件( h 1 1 ) 自动满 足 z ：呈一：9 5 5 7 1 0 0 2 o f ( c 0 1 - - 1 3 ) 2 h b b 。 l u 故易验证条件( h 1 5 ) 及( h 1 7 ) 成立 令r = 1 5 0 0 ，h ( t ) = t 2 + 2 ，e l = 百1 ， 1 4 一 坐查塑蔓奎堂堡主堂垡垒窒 一一一_ _ _ _ _ _ _ - 。_ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - - - _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ 。_ _ _ _ i _ 。_ 。- _ 。- 。i _ - 。- - 。_ 。_ 。一 计算可知g ( t ，s ) 4 z 2 + c 0 1 3 4 3 5 则 f ( t ，z ) t 2 + 2 = ( t ) 一i t ( z ( 硼石1 z ，1 2 0 q r z ( z 1 ) r = 1 5 0 0 且 max(2丌g，s)h(s)d542丌(s2+2)ds381(1435丢)15。=412tej 5 m a x zg 1 ( t ，s ) h ( s ) d 5 4 上( s 2 + 2 ) d s 3 8 1 ( 1 4 吉) 1 5 0 0 与 故条件( h 1 6 ) 成立 因此，由定理1 2 2 可知，p b v p ( 1 2 8 ) 至少存在两个正解 山东师范大学硕士学位论文 第二章二阶非线性奇异混合型周期边值问题正解的存在性 2 1引言及预备知识 由于积分一微分方程周期边值问题在物理学，天文学，生物工程诸领域有着广 泛的应用，近年来，许多作者做了深入的研究( 【1 3 】- f 1 8 】) ，其研究方法大多使用的 是上下解与单调迭代技巧，本章在这些文章的基础上，构造了一个特殊的凸闭集， 利用m 6 n c h 不动点定理，在b a n a c h 空间中研究了方程( 2 1 1 ) 正解的存在性，改进 了已有的结果 ( 芒) + 后让( ) = f ( t ，u ( t ) ，( t ) ，k 让( t ) ，乳( ) ) ，2 ( o ，2 7 r ) ；( 2 1 1 ) i 让( o ) = 让( 2 7 r ) ， ( o ) = ( 2 丌) 其中0 k 0 ( t j ) 满足( 2 1 1 ) ，则称 乱为p b v p ( 2 1 1 ) 的正解 为了后面的应用，先列出下列引理： 引理2 1 1 ( 1 9 】) 若hcc i ，q 一致有界且等度连续，则q ( 日( t ) ) 在i 上连续 且 口c ( 日) = m 。a 。xa ( h ( t ) ) 这里i = 【a ，6 】，h ( t ) = 【z ( t ) ：z 日) ，t i 引理2 1 2 ( 【1 9 】) 设y =