（基础数学专业论文）wlr正规纯正群并半群.pdf

摘要 a b s t r a c t * - ! o 刖菁 目录 幽f lripfljrl llrl jpififi l l l lr l l lllllp 18 810 7 8 1 预备知识 3 1 1 基本概念 3 1 2 常用记号一5 2 三皿正规带 7 2 1 l 屉正规带的分步推广 7 2 2w l r - 正规带的某些刻画1 0 3w l r - 正规纯正群并半群1 2 3 1 若干准备1 2 3 2 主要结论1 3 结语 。 1 9 参考文献 2 0 攻读硕士学位期间发表的学术论文 2 2 。- l 致 谢 u 2 3 西南大学硕士学位论文摘要 w l r - 正规纯正群并半群 基础数学专业硕士研究生郑上华 指导老师郭聿琦教授 摘要 完全正则半群的研究已成为半群代数理论中一个十分活跃的领域和其他代 数一样，对某些半群类的推广是半群代数理论的一个主要任务本文定义并研究了 一类新的正规纯正群并半群，即w l r - 正规纯正群并半群，此类半群是郭聿琦等 人提出的己尼正规纯正群并半群的一个推广首先，给出了这类半群的一些性质 和结构刻画其次，利用正规密码群并半群以及正规纯正群并半群的性质和结构证 明了w l r - 正规纯正群并半群与w l r - 正规密码群并半群是等价的 全文共分三章： 第一章预备知识 第二章己尼正规带 第三章w l r 正规纯正群并半群 关键词：w l r - 正规带；w l r - 正规纯正群并半群；w l r - 正规密码群并半群 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t w l r - n o r m a lo r t h o g r o u p s m a j o r ：a l g e b r a i ct h e o r yo fs e m i g r o u p s n a m e ：z h e n gs h a n g h u a s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rg u oy u q i a b s t r a c t t h es t u d yo fc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p sh a sf o r m e dav e r ya c t i v ef i e l di n t h ea l g e b r a i ct h e o r yo fs e m i g r o u p s l i k eo t h e ra l g e b r a i ct h e o r i e s ，i ti sam a i nt h e m e t os t u d yt h eg e n e r a l i z a t i o n so fs o m ec l a s s e so fs e m i g r o u p si nt h ea l g e b r a i ct h e o r yo f s e m i g r o u p s i nt h i st h e s i s ，an e wk i n do fn o r m a lo r t h o g r o u p s ，n a m e l y , t h ew l r - n o r m a lo r t h o g r o u p s ，w h i c ha r ee x t e n s i o n so fl r - n o r m a lo r t h o g r o u p sp r o p o s e db y g u oy u q ie t c ，i sd e f i n e da n di n v e s t i g a t e d f i r s t l y , s o m ep r o p e r t i e so ft h o s es e m i g r o u p sa r eg i v e na n dt h e s t r u c t u r e so ft h e s eo r t h o g r o u p sa r ec h a r a c t e r i z e d s e c o n d l y , w ep r o v et h a tt h ew l r - n o r m a lo r t h o g r o u p sa n dt h ew l r - n o r m a lc r y p t o g r o u p sa r e e q u i v a l e n tb yu s i n go ft h ep r o p e r t i e sa n ds t r u c t u r e so fn o r m a lo r t h o g r o u p sa n dn o r m a lc r y p t o g r o u p s t h e r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h i st h e s i s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eg i v es o m ep r e p a r a t i o n s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ew l r - n o r m a lb a n d s l a s t l y , w ed i s c u s st h ew l r - n o r m a lo r t h o g r o u p s k e y w o r d s ：w l r - n o r m a lb a n d s ；w l r - n o r m a lo r t h o g r o u p s ；w l r - n o r m a l c r y p t o g r o u p s 1 1 西南大学硕+ 学位论文前言 - - j 一 日l j吾 “半群代数理论”在数学内部( 组合数学，图论，符号动力学等) 和外部( 理论 计算机科学，信息科学，生物技术等) 的推动下，系统地研究了近六十年，己形成为 代数学中的一个从研究对象、研究课题到研究方法都颇具特色的独立的学科分 支它与“群论”的关系类似于“环论”与“域论”的关系( 在m a t h e m a t i c a l r e v i e w 的s u b j e c t c l a s s i f i c a t i o n 里，“半群( 2 0 m ) ”归于“群论( 2 0 ) ”是历史的惯性所致) ，是 一个有着宽广的理论背景和应用前景的基础学科，其研究在国际上方兴未艾 回顾整个半群代数理论发展的历史，正则半群一直占据主导地位完全正则半 群作为一类重要的正则半群，它的研究成为半群代数理论中一个相当活跃的领域 和其他代数一样，对某些半群类的推广是半群代数理论的一个主要任务逆半群是 幂等元集成半格的一类正则半群，在正则半群范罔内对逆半群进行推广，一般足通 过弱化其幂等元集的性质，如将幂等元集成半格弱化为幂等元集成子半群，便得到 了纯正半群，如果纯正半群还满足e f e g e = e f g e ，又得到了拟逆半群，当然不管是纯 正半群，还是拟逆半群，其本身都会缺少一些逆半群所特有的性质本文也是通过弱 化幂等元集的性质，将郭聿琦等人在文献【1 】中提出的l 皿正规纯正群并半群在完全 正则半群范围内做进一步推广 众所周知，华罗庚定理是一个非常著名的定理，对华罗庚定理的进一步研究 和推广已成为一个热门的研究课题在半群上，也有相应的华罗庚定理，即所谓 的h u a - l i k e 定理1 9 5 1 年，g t h i e r r i n 给出了半群上的h u a - l i k e 定理1 ，即 c z u 冗z = s s i ( v ：d b s ) “。6 = c d _ 口= c ，。r6 = 以” 1 9 6 3 年，许绍楠在文献2 1 中给出了h u a - l i k e 定理2 c 9u7 已g ： s 。5 4 j e s ) ( v a s ) e = 口，。re 。= n ” il ( v a s ) ( 3 a 7 s ) “a p o = e ，o f a a 7 = e ”l 1 9 7 8 年，r e i s ，c m 和s h y r ，h j 在文献f 3 1 中给出了自由半群上的h u a - l i k e 定理3 令x 是一个非空集合，x + 是一个由x 生成的自由半群则 e n d ( x + ) ua e n d ( x + ) = ，7 ( x + ) i ( v a ，b x + ) “f ( a b ) = ，( n ) ，( 6 ) ，o r ，( 6 ) 厂( n ) ” 基于左零半群和右零半群的等价条件，郭聿琦等人在文献【4 】给出了一个类似 于g t h i e r r i n 定理的h u a - l i k e 定理，即 c zut t z = s s i ( v a s ) “p a = l s ，o r 入口= l s ”) 1 b 西南大学硕士学位论文前言 同时基于左群和右群的等价条件，又给出了许多类似于h u a - l i k e 定理2 的定理特 别地，基于左正规纯正群并半群和右正规纯正群并半群，郭聿琦等人在文献【4 】给 出了下面的定理，我们称之为h u a - l i k e 定理4 ： f ，1s 是左正则密码群并半群或是右正则密码群并半群1 厂p u t c a f o = s 删( v e e ( s ) ) “( v ，g e ( s ) ) e f g = e g 【l或( v ，g e ( s ) ) g f e = f g e j 本文也正是在这个定理的基础上开展研究的近年来，许多学者对h u a - l i k e 定理进 行了研究例如，2 0 0 2 年，郭聿琦，王正攀，岑嘉评在文献 4 】中给出了t h i e r r i n 定 理的一种非常简洁的证明方法，并给出了关于左群或右群的，类似与t h i e r r i n 定理 的h u a - l i k e 定理2 0 0 4 年，s e n ，m k ，g h o s h ，s 和p a i ，s 在文献 5 1 中对左正则 纯正群并半群和右正则纯正群并半群进行了研究，在此基础上定义并研究了l 皿 正则纯正群并半群，特别地，给出了此类半群的次直积结构2 0 0 5 年，郭聿琦，岑嘉 评，s e n ，m k 在文献【1 】中，给出了左正则纯正群并半群和右正则纯正群并半群 在正则纯正群并半群范围的一个公共的推广，在定义了l r - 正则带以后，借助c 纯正群并半群”的概念，建立了l 尼正则纯正群并半群的概念同时在文献【1 】中， 作者还定义了一种新的带，即l 皿正规带，借助c 纯正群并半群”的概念，定义 了三体正规纯正群并半群，并且给出了这类半群的一些刻画另外，作者还引进了 l 犀正规纯正群并半群的啮合结构2 0 0 8 年，张健刚，宋光天和刘国新在文献【6 】 中，推广了l 肛正则纯正群并半群，得到了w l r - 正则纯正群并半群，并给出这类 半群的一些结构刻画 本文是在文献【1 】的基础上，分两步对上，皿正规带进行推广，在进行第一步 推广时，得到了一种新的正规带，我们称之为w 1 l r - 正规带，但经过论证后发现 ml 皿正规带和l r 正规带刚好是等价的因此，我们又进行了第二步推广，此 时，便得到了w l r - 正规带接着，我们研究了这类半群的一些性质，给出了这类 半群的一些刻画然后我们将w l r - 正规带推广到一般的正则纯正群并半群上， 便得到了w l r - 正规纯正群并半群最后，我们研究了此类半群的一些性质和结 构刻画 2 西南大学硕士学位论文 第1 章预备知识 1预备知识 本章将介绍半群的相关概念及本文常用的一些记号 1 1 基本概念 令s 是一个非空集合称二元组( s ，) 为一个半群，如果“ 是s 上的一个满 足结合律 ( v a ，b ，c s ) ( o b ) c = a ( b c ) 的二元运算在不引起混淆时，我们简称s 为半群，对于任意a ，b s ，将a b 简记 为口6 1 s 称为s 的幺元( 或单位元) ，如果 ( v s s ) l s = s l = 8 易证，一个半群至多含有一个幺元( 或单位元) 称三元组( m ，1 ) ( 或简称m ) 为 一个幺半群，如果( m ，) 是一个含有幺元1 的半群 一 如果s 没有幺元，在su 1 ) 上规定1 1 = 1 ，且 ( v s s ) i s = s l = 8 则su 1 ) 成为一个幺半群，1 为其幺元于是，我们总可以用s 1 表示如下幺半群 q 1 一j s若s 含有幺元； u 一1su 1 ) 若s 不含幺元 【su 1 ) 若 不含幺元 称s 中满足a 2 = a 的元素a 为幂等元若a s ，则记a 中的幂等元集为 e ( a ) 称半群s 为带，如果s 中每个元素都是幂等元 z s 称为s 的左零元【右零元】，如果 ( v s s ) z s = zf 8 z = z 】 若半群s 中的元素都是左零元【右零元】，则称其为左零半群【右零半群】特别地，用 三2 兄】表示两个元素的左零半群 右零半群】 令a 与b 是半群s 的两个子集我们用a b 表示 a bia a ，b b ) 容易验 证 ( v a ，b ，c 冬s ) ( a b ) c = a ( b c ) 3 西南大学硕士学位论文1 1 基本概念 通常情况下，我们也写a 6 作a 6 ，写 o ) b 作a b 若s 没有幺元，a s ，则通常 情况下s o 中未必含有a 我们分别用s 1 a ，a s l ，s 1 a s l 表示如下三个集合 s ou o ) ，a su n ) ，s a sus aua s u o ) 令a a ( a 譬) 是s ( s 1 ) 上由n s 诱导的内左平移，风( 毋) 是s ( s 1 ) 上由口s 诱导的内右平移 令s 是一半群则s 上的格林关系定义如下： a2b 兮s l a = s 1 b a b a 纺b 令a s l = b s la b a 夕b 错s 1 a s l = s 1 b s l a ，b 另外，澎= 髟n 刀，9 = 髟v 露 称半群s 上的二元关系p 为左相容的，如果 ( c a ，b ，c s ) opb 号c a pc b ； 类似地，称p 为右相容的，如果 ( v a ，b ，c s ) apb 令a cpb c ； 称p 为相容的，如果 ( v a ，b ，c ，d s ) apb ，cpd 兮a cpb d ； s 上的 左，右】相容的等价关系称为【左，右】同余 称半群s 中元素a 为一正则元，如果存在z s ，使得a x a = a 称半群s 为一正则半群，如果s 中任何元素都是正则元若a s ，且存在s ，使得 a a 7 a = a ，a a a 7 = a t ，则称为a 的一个逆元容易验证，每个正则元都存在逆元 称半群s 中元素a 为一完全正则元，如果存在a 7 s 使得a a 7 a = a ，a 7 0 = a d 称半群s 为一完全正则半群，如果s 中每个元素都是完全正则元 在正则半群s 上，定义一二元关系“”： a b 营存在e ，e ( s ) ，使得a = e b = b f ，( a ，b s ) 容易验证“”是s 上的偏序关系我们把用这种方式定义的偏序关系叫做自然偏 序关系 用矽( s ) 记s 上的所有等价关系的全体令p 罗( s ) ，a ，b ，c s 称s 是p 优 化的，如果a b ，a c ，bpc ，蕴含b = c 4 西南大学硕士学位论文 1 2 常用记号 定理1 1 ( f 7 】定理( c l i f f o r d ) i i 1 4 ) 令s 是一半群则s 是完全正则半群当 且仅当s 的每个绕9 类是一子群 令s 是完全正则半群，a s h d 表示a 所在的笏类，a - 1 表示a 在群h 口中 的逆元，o o 表示群h o 的单位元显然有，s 是完全正则半群当且仅当s 中的每个元 都属于s 的某一子群众所周知，s 是完全正则半群当且仅当s 是完全单半群的半 格，即s = s ( y ；瓯) ，其中& 是完全单半群下面我们给出文献【3 1 中的强半格定 义 定义1 2 令y 是一半格， & ：口y ) 是一族两两不交的半群假定关于任 意的q ，卢y ，q 卢，都存在一同态映射九，卢：_ 昂，使得： ( s 1 ) ( va y ) 矽q ，a = l s o ； ( s 2 ) 关于任意的q ，卢，y y ，若q 卢，y ，则丸，卢咖，7 = 九，7 成立 在s = u a y & 上定义一个乘法运算“o 如下：关于任意的z ，y 昂，有 zoy = 丸，卵) 匆妇，卵) 则( s ，o ) 构成一半群，称它为半群族 ：q y ) 的强半格记作 s = s y ；& ，九，d 所谓一个丁一代数簇指的是一个关于子代数封闭，同态像封闭和直积封闭的 丁一代数簇1 9 9 9 年，p e t r i c h 和r e i l l y 在文献【7 】中证明了( 2 ，1 ) 一代数类v 成簇当 且仅当1 夕满足一类等式受两个华罗庚定理( 见文献 2 】，【3 】和【4 】，后者给出它们 简化的证明) 启发，在郭聿琦老师的国家自然基金项目【# 1 0 8 7 1 1 6 1 】中的一个课题 上，就设置了一个关于一类特殊的遗传类 关于子半群封闭】的研究探索( 从概念到 方法) 的子课题，在郭等的工作【1 】的基础上，张建刚，刘国新和宋光天，杜爱花和刘 云，张爱平和李刚等人也开展了些工作，见文献 6 】，和 8 1 4 称完全正则半群是纯正的，如果它的幂等元集形成带令c 是一个带簇称正 则纯正群并半群s 是c 型纯正群并半群，如果e ( s ) c 记纯正群并半群簇为d 称完全正则半群是密码群并半群，如果它的形关系为同余称密码群并半群s 是 c 型密码群并半群，如果s 乡汐c 记密码群并半群簇为绍够 1 2常用记号 本节我们介绍一些常用的c 型带此处沿用文献 1 5 】中的记号记 ( 1 ) 半格为：5 = 【e ，= ，e 】； ( 2 ) 左零带为：z = 【e f = e 】； 5 西南大学硕士学位论文 1 2 常用记号 ( 3 ) 右零带为：冗z = 【e = f 】； ( 4 ) 左正规带为：眦= 【e f g = e g y 】； ( 5 ) 右正规带为：冗 厂b = 【g f e = f g e 】； ( 6 ) 左正则带为：z _ r b = fe f e = e 】； ( 7 ) 右正则带为：r r b = 【e f e = f e 】； ( 8 ) 矩形带为：r b = e f e = e 】； ( 9 ) 正规带为：8 = 【e f g e = e g f e 】； ( 1 0 ) 左拟正规带为：加= 【e f g = e f e 9 1 ； ( 1 1 ) 右拟正规带为：冗= 【g f e = g e f e 】； ( 1 2 ) 正则带为：冗e 召= 【e f e g e = e f g e 6 两南大学硕士学位论文第2 章w l r - 正规带 2 w l r 正规带 首先我们介绍了l r 正规带的概念，然后分两步对l r 正规带进行了推广， 在进行第一步推广时，得到一种新的正规带，我们称之为w i l r - 正规带，但经过论 证后发现w 1 l r - 正规带和己r - 正规带刚好是等价的因此，我们又进行了第二步 推广，此时，便得到了w l r - 正规带接着，我们研究了w l r - 正规带的一些基本 性质，然后给出了这种带的结构刻画 2 1 l 肛正规带的分步推广 定义2 1 ( 【1 】定义3 1 ) 称带b 是一个l r 正规带，如果对于任意的e b ， 下列两款至少有一款成立： ( i ) ( v ，g b ) e f g = e g f ； ( i i ) ( v ，9 b ) g y e = s g e 定义2 2 称带b 是一个w 1 l r - 正规带，如果对于任意的e ，b ，下列两款 至少有一款成立： ( i ) ( vg b ) e f g = e g f ； ( 虹) ( vg b ) g s e = f g e 定义2 3 ( 1 】定义2 1 ) 称带b 是一个l 尼正则带，如果对于任意的e b ， 下列两款至少有一款成立： ( i ) ( v ，b ) e f e = e ，； ( i i ) ( v ，b ) e f e = f e 下面我们证明，l r - 正规带和w x l r - 正规带是等价的 定理2 4 令b 是一个带则下列几款等价 ( i ) b 是三r 正规带i ( i i ) b 是蹦l 兄正规带i ( i i i ) b 是l r 正则带，且b 是正规带 证明( i ) 号( i i ) 显然 ( i i ) 令( i i i ) 令e b 取，= e ，则关于任意的9 b ，有e g = e g e 或关于任意 的夕b ，g e = e g e ，即b 为己尼正则带令e ，f b 若关于任意的9 b ，有 e f g = e g s ，则e f g e = e g f e 若关于任意的g b ，有g s e = f g e ，则e f g e = e g f e 于是，关于任意的e ，夕b ，总有e f g e = e g f e ( i i i ) 令( i ) 令e b 如果关于任意的，b ，有e f e = e f ，那么关于任意的 h ，g b ，有e h g e = e h g 因为b 是正规带，所以 e h g = e h g e = e g h e = e g h 如果关于任意的，b ，有e = ，e ，那么关于任意的h ，夕b ，有e g h e = g h e ， 于是 # h e = e g h e = e h g e = h g e 7 西南大学硕七学位论文 2 1 l 皿正规带的分步推广 口 由定理2 4 可知，l 尼正规带一定是l 尼正则带，但反之未必，下面就是一个 例子 例2 5 ( 【1 】例2 9 ) 令b = e ，9 ，九，i ，o ，c a y l e y 表 给出了b 上的一个二元运算可以验证b 是一个l r 一正则带，但它不是l r 正 规带，这是因为 e h i e = h i i h = e i h e 因此，b 不是正规带，由定理2 4 知，它不是l r 正规带 定义2 6 ( 8 】定义2 1 ) 称带b 是一个w l r - 带，如果对于任意的e ， b ，e y e = e y 或e r e = i e 成立如果b 还是一个正则带，那么称b 是一个w l r - 正则带 显然，l r 正则带是w l r - 正则带，反之未必，下面就是一个例子 例2 7 ( 8 】例2 3 ) 令b = e ，g ， ，c a y l e y 表 给出了b 上的一个二元运算容易b 验证是一个w l r 正则带，但它不是l r 正 则带，这是因为 e y e = e ，= y e ，e g e = g e = h g = e g 定义2 8 称带b 是一个w l r - 正规带，如果对于任意的e ，g b ，e y g = e 9 ，或g y e = y g e 成立 显然，l 尼正规带是w l r - 正规带，反之未必，下面就是一个例子 8 西南大学硕士学位论文 2 1 l r - 正规带的分步推广 例2 9 ( 【1 】例2 6 ) 令y = q ，卢，y ) 是一个半格，乘法为，y = 口p = 触显 然，y q ，7 卢x 4 - l a = e l ，e 2 ) 和l 1 = 【9 1 ，夕2 ) 是两个左零带，如= ，如 是一个右零带定义强半格同态如下： 丸，1 ：l a _ l 1 ，e t g l ；如，1 ：如- - 4l 1 ， 一9 2 ，i = 1 ，2 于是得到了一个正规带，它是矩形带厶的强半格b = 【y ；l 6 ，妣。】容易验证b 是 一个w l 冗正规带但b 不是l r 正规带，这是因为 厶f l = 厶= f l f 2 ，f l e l = 陇仇夕2 = 9 2 g l = g i 9 2 = e l 易证w l r 正规带是w 三兄正则带，反之未必例如，例2 5 是w 三r 正则 带，但它不是w 三r 正规带，这是因为 e h i = h i = 主h = i h = e i h ，h i e = i e = t h = h e = i h e 显然，左 右】正规带一定是l r 正规带，反之未必例如 例2 1 0 ( 【1 】例2 2 ) 令b = e 1 ，e 2 , ，f 2 ，9 ) ，c a y l e y 表 色le 2 f 2g e 1e 1e 2夕 夕9 e 2e 1e 29夕9 ggf l f l g ，2ggf 2f 2g gg9gg9 给出了b 上的一个二元运算，容易验证b 是工r 正规带，但它既不是左正规带， 也不是右正规带，这是因为 e , e 2 e l = e l e 2 = e l e l e 2 ，f l 如 = 如= 厶f l 我们记l 皿正规带类为c 冗一b ，w 三r 正规带类为w c 冗一8 ，l b 正 则带类为c 冗一冗召，w l r - 正则带类为w c 冗一冗召，w l r - 带类为w 冗一召 据上面的讨论，以及文献【l 】， 6 】和【8 】，我们可以得到下面几种带之间的一些包 含关系： ( i ) 冗一们霎c 7 已一：r b ，w 冗一人倍篓w 冗一：r b 妄w c 冗一召； ( i i ) 召u 灭们篓c 7 已一人倍篓w c 冗一a b ； ( i i i ) 7 己bu7 已7 已召sc 7 已一r bsw c 冗一冗b 引理2 1 1 ( 7 】推论2 9 ) 令b 是一个带则下列几款等价 ( i ) b 是一个正规带i ( i i ) b 是一个局部半格i ( i i i ) b 满足9 优化； ( i v ) b 是矩形带的强半格i ( v ) b 是左正规带与右正规带的织积 9 西南大学硕十学位论文 2 2w l r - 正规带的某些刻画 2 2w l r - 正规带的某些刻画 下面给出本章的主要结论 定理2 1 2 令b 是一个带则下列几款等价 ( i ) b 是一个三r 一正规带i ( i i ) 关于任意的e ，9 b ，e y e = e f 或e y e = y e 若e f = ，e ，则e g y = 向e j ( i i i ) 关于任意的e ， 9 b ，e f e g e = e g e f e ，且d e = l e 或d ei - 亿j ( i v ) t l 然偏序是相容的，且关于任意的e ，b ，有e y _ 彩f e 或e l 留f e ； ( v ) 口是矩形带的强半格，其中半格分解中的矩形带要么是左零带，要么是右 零带，即b = 【y ；，芦】，其中= 厶或& = a a j ) b = u a yl xa a ，是左正规带l 与右正规带r 的织积，其中l = 【y ；厶，九，卢】，r = y ；a 口，札，卢】令o t ，卢，7 y ，6 = q 卢，y 关于任意的如妇，i 7 ，a 卢，有i t 3 c 多t 3 ，6 = i , r 以，6 或知咖，6 = 饥，6 证明( i ) 令( i i ) 由假设易知，b 是正规带关于任意的e ，g b ，如果 e f = r e ，那么 e g l = e g f l = e f g f = f e g | = y g e l = i g f e = j g e 显然有e l e = e l 或e y e = i e ( i i ) 令( i i i ) 关于任意的e ，9 b ，因为e f e e = e e f e ，所以e f e g e = e g e f e 对于任意的h d e ，如果e l e = e l ，那么e = e h e = e h 于是h 彤e h = e ，即 h l 。，d e = l e 如果e l e = y e ，那么e - me h e = h e 于是 叨h e = e ，即 h 见，眈= 见 ( i i i ) 兮( i v ) 令e ，b 假设e ，则e l = i e = ，关于任意的h b ，由假 设易知， e h e y e = e 1 e h e ，e h l = y h e 关于任意的夕b ，有 e g f 9 = f g e 9 = f e g e 9 = y e g = f g 于是e 9 ，夕同理易得9 e 夕厂，即自然偏序是相容的由假设易知，e ，z _ 厂e ，e l 勿y e ( i v ) 兮( v ) 由假设易知，b = ( y ；& ) 任取q ，卢y ，令q 卢任取e & ，昂，又令e ，假设又存在9 昂，使得e 9 则夕，夕，9 夕，于是 9 = g | g = | g = g = i g f = 1 即& o e d , 于等于e 的元素是唯一的定义映射 ，卢：一品，e e o 1 0 西南大学硕士学位论文 2 2w 皿正规带的某些刻画 其中e p 表示昂中唯一使得e 0 e 的元素容易验证w a ，芦是强半格同态因此， b = 【y ；& ，u a ，芦】任取e ，& ，如果e f l f e ，那么 e = e r e = ef f e = e f 于是是左零带如果e f 劈f e ，那么 e = e r e = e f f e = f e 于是& 是右零带 ( v ) 今( i ) 关于任意的e ，g b ，令e 鼠，昂，夕岛，占= a # , - 如果岛 是左零带，那么 e f g = e ，6 f w a ，6 夕似y ，6 。e 6 = e ，6 9 似_ r ，6 f w a ，6 = e g f 如果岛是右零带，那么 9 f e = g w r ，d o , a ，占e ，6 2e u n 6 = l 巾b 蠢g u l 毒e 仪5 = y g e ( v ) 兮) 由引理2 1 1 知，b 是矩形带的强半格，即b = 【y ；，胡的充分 必要条件是b 是左正规带l 与右正规带r 的织积，其中l = 【y ；厶，九，卢】，r = y ；a 口，讥，卢】任取e = ( i 口，h ) & ，f = ( 如，知) 昂，g = ( i 7 ，) 岛，令 6 = q 卢7 如果e f g = e a r ，那么 e r a = ( i 口，k ) ( 妇，知) ( i 1 ，) = ( i o , 九，6 i 卢咖，6 主1 “，d ，k 札，6 如咖，6 入7 叽，6 ) = ( 如丸，占，叽，6 ) 同理e a i = ( t a 九，6 ，入卢咖，占) 故入卢咖，6 = 叽，6 如果a y e = i g e ，那么砧加，6 = 主，y 饥，6 ( v i ) 冷( i ) 易证 口 1 1 西南大学硕士学位论文第3 章w l r 正规纯正群并半群 3 1若干准备 3w l r - 正规纯正群并半群 令s 是一个完全正则半群称s 是w l r - 正规纯正群并半群，如果e ( s ) 是 w l r - 正规带称s 是密码群并半群，如果形是一个同余，如果s 澎还是一个 w l r - 正规带，就称s 是w l r - 正规密码群并半群称s 是w l r - 纯正群并半 群，如果e ( s ) 是w l 尼带 众所周知，纯正群并半群是矩形群的半格正规纯正群并半群是矩形群的强半 格，左【右】正规纯正群并半群是左【右】群的强半格当然，左【右】正规纯正群并半 群都是正规纯正群并半群的特殊子类，那么，是否存在一类特殊的正规纯正群并半 群，它是矩形群的强半格，其中每个矩形群要么是左群，要么是右群昵? 在本章，我 们给出了这个问题的肯定回答我们知道正规纯正群并半群一定是正规密码群并 半群，反之不成立但是本节最后，利用正规纯正群并半群和正规密码群并半群的 重要性质，证明了w l r - 正规密码群并半群和三犀正规纯正群并半群是等价的 上一章研究了w l r - 正规带的性质和结构，下面我们给出l b 正规纯正群 并半群的相关引理和正规纯正群并半群的_ 些重要性质 引理3 1 ( f 7 】定理i i 5 3 ) 令s 是一个完全正则半群则下列几款等价 ( i ) s 是纯正群并半群； ( i i ) 关于任意q v 鼠是纯正的 引理3 2 ( 7 】命题i i i 5 9 ) 令s 是一个半群则下列几款等价 ( i ) s 是左群j ( i i ) s 是完全正则的，关于任意的a ，z s ，有a = a x o i ( i i i ) s 笺lxg ，其中l 是左零半群，g 是群 由以上两个引理，我们有 推论3 3 令s = ( y ；鼠) 则下列几款等价 ( i ) s 是l r 纯正群并半群i ( i i ) 关于任意的a ，z 鼠，a = a t , o 或a = z o a 陋y ，j ( i i i ) 鼠= 厶g q 或= g q a a ( o l y ) 证明( i ) 号( i i ) 由假设可知，e ( s ) 是w l r - 带关于任意的a ，z ，若 a o = a o x o a o = a o x 0 ，贝! ja x 0 = a a o z o = a a o x 0 a o = a 若a o = a o x o a o = ；t o a o ，贝 | x o a = a o x o a o a = a ( i i ) 令( i ) 关于任意的e ，厂e ( ) ，由假设易知，e f = e 或r e = e 因此，& 是纯正的，由引理3 1 知，s 是纯正的关于任意的e ，e ( s ) ，令e ，e 岛由 假设知，若e l f e = e y ，则e y e = e i 若y e e i = e i ，则i e f = e y ，从而e l e = i e 因 此，e ( s ) 是w l r - 带 1 2 西南大学硕士学位论文3 2 主要结论 ( i ) 甘( i i i ) 由引理3 2 及其对偶易得 口 引理3 4 ( 7 】定理i i 8 5 ) 令s 是一个完全正则半群则下列几款等价 ( i ) s 是纯正密码群并半群i ( i i ) 关于任意的a ，b s ，s 满足口o b o = ( 0 6 ) o 引理3 5 ( f 7 1 定理i v 2 7 ) 令s 是一个完全正则半群则下列几款等价 ( i ) s 是正规纯正群并半群i ( i i ) s 是正规纯正密码群并半群i ( i i i ) s 是矩形群的强半格； ( i v ) s 是左正规带，a # y o r d 半群和右正规带的织积体直积，； ( v ) 关于任意的a ，z ，y s ，s 满足a x y o a = a y o z 口 3 2主要结论 下面我们证明w l r - 正规密码群并半群与w l r - 正规纯正群并半群是等价 的，同时，我们给出w l r - 正规纯正群并半群的结构刻画 定理3 6 令s 是一个完全正则半群则下列几款等价 ( i ) s 是l r 正规纯正群并半群i ( i i ) s 是l r 一正规密码群并半群； ( i i i ) s 是w l r 纯正群并半群，且e ( s ) 是正规带i ( i v ) s 是矩形群的强半格，其中半格分解中的矩形群要么是左群，要么是右群， 即s = i f ；& ，卢】，其中= l g 口或& = g a a a ( q y ) i ( v ) 关于任意的a ，z ，! ，s ，s 满足a x y o = a y o z 或y o x a = x y o 口j ( 、r i ) s 是左正规带三，c l i f f o r d 半群g 和右正规带r 的织积体直积，其中 = i f ；厶，九，卢】，g = 【y ；g o ，卢】，r = 【y ；a n ，札乒】令q ，p ，y v6 = q 卢，y 关 于任意的i a 厶，k a q ，绉如，知a 卢，主7 l ，a ，y ，有心九，占= 铂咖，占= q “，6 或入n 札，6 = 入卢咖，6 = 入，y 叽，6 证明( i ) 兮( i i ) 由假设可知，e ( s ) 是w l r - 正规带又由定理2 1 2 易知，e ( s ) 是正规带，因此，s 是正规纯正群并半群由引理3 5 知，s 是正规纯正密码群并 半群关于任意的。形，6 形，c 澎s 彤因为。形g o ，b ：形b o ，c 劈 c o ，且e ( s ) 是 w l r - 正规带，所以n 0 6 0 c o = a o c o b o 或c o b o a o = b o c 0 a 0 因此，如果a o b o c o = a o c 0 6 0 ， 那么 曲c a 纩o o b o c 0 ：a o c 0 6 0 乡纩口c 6 如果c 0 6 0 a 0 = 6 0 c o o o ，那么 c b a y g c o b o a 0 ：b o c o a 0 绕c 口 即酬澎是w l r - 正规带 ( i i ) 兮( i i i ) 关于任意的e ，e ( ) ，( e 形) 釉澎( ，形) 由假设可知，彤形 是w l r - 正规带由定理2 1 2 知，关于任意的n 形s 澎，d 掰= l 口第或 1 3 西南大学硕士学位论文3 2 主要结论 d o a r = r “形对于( e 3 9 矽) 酬乡纩，若d 彬= l e 劈，则 ，澎d 。第= l e o , e ，( ，澎) 嚣膨( e 形) 于是e 澎，彤= e 澎，e ，澎e 从而 ( e ，) o 篪9 e ，( e 1 ) o = e ，e l = ( e ，) o ，= ( e ，) o 因此，e ，e ( ) 若d e 澎= 见，则 ，形= ，( ，澎) 黝澎( e 形) 于是e 形，形= ，形，e f 3 g f 从而 ( e ，) o 乡纩，( e ，) o = ，e f = e ( e f ) o = ( e ，) o 因此，e ，e ( & ) ，即是纯正的，由引理3 1 知，s 也是纯正的关于任意的 e ，f ，g e ( s ) ，因为酬形是w l r - 正规带，由定理2 1 2 知，e f e , 形 e f 或e f e , 多f f f e 所以e r e = e f 或e f e = y e 于是e ( s ) 是w l r - 带，即s 是w l 皿纯正群并半 群又因为酬形是正规带，所以e f g e o 笼口e g f e ，即e f g e = e g f e ( i i i ) 兮( i v ) 因为e ( s ) 是正规带，所以由引理3 5 知，s 是矩形群的强半格令 s = f y ；& ，d 又因为s 是w l r - 纯正群并半群，由推论3 3 可知，= l g n 或& = g r 口a a ( a y ) ( i v ) 号( v ) 由假设可知，s 是正规纯正群并半群由引理3 5 可得，s 是正规纯 正密码群并半群，且关于任意的0 1 ，z 1 ，y 1 s ，总有 a l x l y o a l2a l y o x l a l ( 3 1 ) 关于任意的a ，z ，y s ，令a ，z 昂，y 岛，6 = 口所若岛是左群，则由 a y x & ，及引理3 2 知 a x y o = a x y o