（基础数学专业论文）量子纠缠态的可分性.pdf

摘要 本文首先对f r o b e n i u s 范数i f a b o d o e h f 进行讨论，这里a ，b ，d ，e 均是h e r m l t i a n 矩阵，得到了它取得最小值的条件；然后将空间日1o t l 2 上的 h e r m i t i a n 矩阵的张量积分解的两种方法推广到空间皿o 2o o k 上的 h e r m i t i a n 矩阵，通过讨论可分指标s ( a ) ，从而得到量子混合态可分的条件 判断个量子态是否可分，实际上等价于判断它对应的密度矩阵是否可以 分解成多个密度矩阵的张量积 在本文第一部分给出了量子可分的定义，然后着重讨论一个h e r m i t l a n 矩 阵如何分解成三个h e r m i t i a n 矩阵张量积的问题 本文的第二部分是在将h e r m i t i a n 矩阵转化为密度矩阵，从而引入可分指 标s ( a ) ，进步讨论三部和多部量子纠缠态的可分条件 关键词t t e r m i t i a n 复矩阵；张量积分解；f r o b e n i u s 范数 a b s t r a c t i n t h i s p a p e r ，w e d i s c u s s t h e f r o b e n i u s n o r m i i a b o d o e i f ，w h e r e a ，b ，d ，e a r eh e r m i t i a nm a t r i x i o s ，a n do b t a i nt h ec o n d i t i o nw h e n | i a b o d e i f i se q u a lt o t h e m i n i n u m v a l u e ；t h e e a r a t w o d i f f e r e n t m c t h o d s o f t e n s o r p r o d u c t d e c o m p o s i t i o n o fh e r m i t i n um a t r i c e so ns p a c e 10 晚，i nf a c t ，w ec a p p l yt h et w om e t h o d so f t e n s o rp r o d u c td e c o m p o s i t i o no i lh e r m i t i a nm a t r i c e so ns p a c e 研0 凰o o 凰 b ys t u d i e dt h es e p a r a b i l i t yi n d i c a t o rs ( a ) ，w eo b t a i nt h ec o n d i t i o no fs 印缸a b m t y o fe n t a n g l e m e n tq u a n t u m h o wt oj “g eaq u a n t u ms t a t ew h e t h e rt os e p a r a t ei se q u a lt oj u d g ei t sd e n s i t y m a t r i xw h e t h e rt oe x p r e s st e n s o rp r o d u c to fd e n s i t ym a t r i c e s i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，s e p a t a b i l i t yo fq u a n t u ms t a t ei sd e f i n i t e d ，t h e nw e p u te m p h a s i so nh o wt od e c o m p o s i t et h eh e r m i t i a nm a t r i xt ot h et e n s o rp r o d u c to f t h r e eh e r m i t i a nm a t r i c e s i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，h e r m i t i a nm a t r i xi st r a n s f o r m e dt od e n s i t y m a t r i x ，t h e r e f o r ，t h es e p a r a b i l i t yi n d i c a t o rs ( a ) i sd e f r u i t e d ，t h e nw eo b t a i nt h e c o n d i t i o no fm u l t i p a r t i t ee n t a n g l e m e n ts t a t e s k e yw o r d sh e r m i t i a nc o m p l e xm a t r i x ，；t e n s o np r o d u c td e c o m p o s i t i o n ；p r o b e n i n s 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：1 良蝴冯、 日期：勿刁年月j 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本：学校有权保存学位 论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允许采用影 印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文：在不以赢利为目的的前提 下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守此 规定) 论文作者签名：撇哆、 签名日期：钟月妇 导师签名： 签名日期2 | 严多月7 日 第一章序言 第一章序言 近年来量子纠缠态已经得到了广泛的应用，并成为量子信息领域的一个 重要的研究对象历史可以追溯到e i n s t e i n ，p o d o k k y 和f 1 】，以及b e u 【2 1 的早期的那些著名的论文在量子纠缠方面，关于量子远距传物，量子密码 员，量子稠密编码和平行计算【4 ，5 ，6 】的研究已经获得了大量的成果，尽管它很 重要，但到目前为止还没有形成一套完整的量子纠缠理论，它的数学结构和物 理特征也不够完善，甚至对一个量子态是否是纠缠的，或经过一些复杂的量 子过程后是否保持纠缠也不完全知道若皿，凰分别足m 维和n 维的h i l b e r t 空问，i j ) ，j = 1 ，2 ，m ，旧，= 1 ，2 ，t l ，分别是它们的一组正交基我们说 个二部混合态是可分的，如果它的密度矩阵满足下面的关系 帅= 肌力。谚 ( 1 1 ) 其中0 m ( m ( b i ) c i ) m ( d i ，) m ( m ( m ( c i ) b i ) d i ) m ( m ( c i ) b i ) m ( d i ) s ( a ) g ( a ) e m ( m ( c i ) m ( d i ) b i ) + m ( b i ) m ( o i ) m ( d i ) 一m ( m c b d m ( c d d , ) = ；( i m ( 晟) m ( g ) l ( m ( 功) 一m ( 现) ) 一i m ( c o - t ( d d i ( 肘( 岛) 一m ( 马) ) i = li f f i l rrr + m ( 晟) m ( g ) m ( d ) 一肘( d i ) m ( 晟) m ( a ) + 2 m ) m ( 岛) m ( 觑) ) ( 3 3 1 0 ) 由于a l o o 2 0 s ( 1 + t ，1 ) ( 1 + 竹) ( 1 + 七) ， ( m ( d i ) 。l - m ( m ( d i ) n 1 ) k ) ) 。口2 。厶( 1 + m ) 2 ( 1 + n ) ， j 矗 ( m ( m ( d i ) 。1 ) d 2 一m ( m ( m ( 上x ) 口1 ) n 2 ) 厶) ) 。厶( 1 + n ) 2 ( 1 + m ) k 。( m ( 最) 口2 一m ( m ( 马) d 2 ) 厶) 圆幻( 1 + n ) 2 ( 1 + ) ， k 固厶固 f m ( g ) n k 固厶o m ( m ( b d n 2 ) a a - m ( m ( m ( b i ) d 2 ) a 3 ) i k l ( 1 + ) 2 ( 1 + n ) ， m ( m ( c d d l ) k 1 。厶。8 3 ( 1 + 价) 2 ( 1 + 功， m ( m ( c i ) n 1 ) n 3 一m ( m ( m ( g ) 。1 ) a 3 ) i k l ( 1 + 女) 2 ( 1 + m ) m ( g ) m ( d i ) d 1o 厶。矗( 1 + m ) n k 第三章多部混合态的可分性 m ( 最) r e ( d o kon 2 0 厶( 1 + n ) m k ， m ( 岛) m ( g ) n o 厶0 0 4 s ( 1 + k ) m n 所以， m ( a ) ( ( 1 + m ) ( 1 + ，1 ) ( 1 + 七) + ( 1 + m ) 2 ( 1 + n ) + ( 1 + 礼) 2 ( 1 + m ) + ( 1 + n ) 2 ( 1 + 七) + ( 1 + 七) 2 ( 1 + n ) + ( 1 + t ，1 ) 2 ( 1 + 七) + ( 1 + 七) 2 ( 1 + m ) + ( 1 + m ) n k + ( 1 + n ) m k + ( 1 + k ) m n ) 0b i 删c ：洲d i0 + 口( a ) ( 3 3 3 ) 式成立证毕 定理3 3 2 若p 住 是空问皿。凰o o 矾上的k - p a r t i t e 混合态，a 是 其密度矩阵，且a 有h e r m i t i a n 矩阵的张量积分解a = ：l 磅o b o o 研， 则a 可分当且仅当s ( a ) 0 并且 s ( a ) m ( a ) 证明必要性的证明z 若a 可分，下面用数学归纳法证明 当k = 2 时，由引理2 知，结论成立 假设k f n - 1 时成立，若a 在h 1 0 - 2 0 o 巩一l o 风上可分，由引理3 3 1 ， 则a 在( 8 1 西日2 0 风一1 ) o 以上可分，那么 a = 霹2 一1 。聊， ( 3 3 1 1 ) i 这里研2 一1 和曰分别是h i o h 2 o 风一1 和上的正定的h e r m i t i a n 矩阵由归纳假设，s ( 研2 ”1 ) 0 ，若研2 一一1 是可分的，设其分解形式为 磁2 “= 已固。呵1 + s ( 研2 ”1 ) i d l 。i d 2 。固j 厶- 1 ( 3 3 1 2 ) 这里埘l ，一1 分别是皿，飓，巩一1 上的单位矩阵m ( 砚) = m ( c 弓) = = m ( 呵1 ) = 0 将( 3 3 1 2 ) 式代入( 3 3 1 1 ) 式， a = ( 。呵1 + s ( 霹2 1 ) 埘l 。i d 2 。一1 ) 。钟 i j 】9 湖北大学硕士学位论文 = 。够_ 1 。( 霹一m ( b d x 矗) j + 。叼- 1 。m ( 霹) j + ，d l 固i d 2 。，厶一l 。( s ( 珥2 “) 砑一m ( s ( 甚2 “) b d i d n ) + m ( s ( 研2 州) 聊) 砧1 。尬。一l 。 ( 3 3 x 3 ) t s ( a ) 口( a ) = m ( s ( 斟2 , n - - i ) 聊) + m ( m ( m ( m ( 霹) ) 铝) ) 口( 研2 ”1 ) m ( 掣) + m ( 霹) m ( 铅) m ( - 1 ) 0 充分性的证明t 若s ( a ) 0 ，由于a 的张量积分解不一定唯一，所以q ( a ) 随分解的不同 而不同，但存在某一个张量积分解，使得q ( a ) 得到最大值s ( a ) ，设此时 ( 3 3 1 4 ) a = ：l 磁。霹o o 毋+ s ( a ) 埘l p 地o o ，蟊一x l d n ， ( 3 3 1 5 ) 这里m ( 研) = = m ( b ? ) = 0 ，由于8 ( a ) 20 ，( 3 3 1 5 ) 式显然就是a 的一 个分解，故a 可分证毕 参考文献 参考文献 【1 1 1a e i n s t e i n ，b ，p o d o l s k ya n dn r 0 6 e i l ，q u a n t u md i s s i p a t i o ni n d u c e du o i l c o l i l l n u - t a t i v eg e o m e t r yp h y s r e v 4 7 ，7 7 7 ( 1 9 3 5 ) 2 le , h r & l i n g 口，n a t n w i s s s 出m q u a n t u mm e m o r yf o ri n d i v i d u a lp o l a r i z a - t i o np h o t o n2 3 ，s o z 0 9 3 s ) f 3 】j p r e s k i l l ，t h e t h e o r y o f q u a n t u m i n f o r m a t i o n a n d q u a n t u m c o m p u t a t i o n ，c a l i f o r n i a i n s t o ft e c h 2 0 0 0 ，h t t p ：w w w t h e o r y c a l t e c h e d u p e o p l e p r e s k i l l p h 2 2 9 【4 】m a n i e l s e na n di l c h u a n g ，q u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u mh f o r m a - t i o n ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，2 0 0 0 【5 】d b o u w m e e s t e r ，a e k e r ta n da z e i l i n g e r ( e d s ) ，t h ep h y s i c so fq u o r u m i n f o r - m a t i o u ：q u a n t u mc r y p t o g r a p h y , q u a n t u mc m o p u t a t i o n ，s p r i n g e r ，n e wy o r k ， 2 0 0 0 【6 】m h o r o d e c k ia n dp h o r o d e c k i ，a d d i t i v i t yo fe n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o no ft w o t h r e s - l e v e l - a n t i s y m m e t t i cs t a t e sp h y s r e v a5 9 ，4 2 0 9 ( 1 9 9 9 ) 吲n j c e r f , c a d a m ia n dr m g h g r i c h ，r e q u i r e m e n t sf o rc o m p a t i b i l i t yb e t w e e n l o c a la n dm u l t i p a r t i t eq u a n t u ms t a t e sp h y s r e v a6 0 ，8 9 8 ( 1 9 9 9 ) f 8 】m h o r o d e d d ，e h o r o d e c k ia n dr h o r o d e c k i ，f a n d a m e n t a l so f q u a n t u mi n f o r n m - t i o nt h e o r yp h y 8 l e t t a2 2 3 ，1 ( 1 9 9 6 ) 【9 lb t e r h a l ，u n s t a b l es y s t e m sa n dq u a n t u mz e n op h e n o m e n a i nq u a n t u mf i e l dt h e - o r yp h y s l e t t a2 7 1 ，3 1 9 ( 2 0 0 0 ) 【1 0 】m l e w e a s t e i n ，b k r a u s ，j i c i r a ca n dp h o r o d e c k i ，aq u a n t u mn e u r a ln e t w o r k c o m p u t e se n t a n g l e m e n tp h y s r e v a6 2 ，0 5 2 3 1 0 ( 2 0 0 0 ) 【1 1 】s j w u ，x m c h e na n dy d z h a n g ，aq u a n t u mp e e t t as t o n e f o ri n t e r f e r o m e - t r yp h y s l e t t a2 7 5 ，2 4 4 ( 2 0 0 0 ) 【1 2 p x c h e n ，l m l i a n g ，c z l ia n dm q h u a n g ，u n i v e r s a lq u a n t u ml o g i cf r o m z e e m a na n da n i s o t r o p i ee x c h a n g ei n t e r a c t i o n sp h y s r e v a6 3 ，0 5 2 3 0 6 ( 2 0 0 1 ) 1 1 3 】o r u d o l p h ，f u r t h e rr e s u l t so i lt h e i l o r n lc r i t e r i o nf o rs e p a r a b i l i t yq u a n t - 2 1 湖北大学硕士学位论文 【1 4 k c h e na n dl a w u ，t h r e e - p a r t i c l ee n t a n g l e m e n tv e r s u st h r e e - p a r t i c l en o n l o - c a l i t yq u a n t i n f c o m p u t 3 ，1 9 3 ( 2 0 0 3 ) 【1 5 】k c h e