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严格凸函数的图的稳定性 基础数学专业 研究生高朝邦指导教师李安民教授 赵国松教授 在第一章里，我们介绍了文章的研究背景和文章得到的主要结果第二章 则讲相对几何中的超曲面的相对度量，以及f u b i n i - p i c k 形式和p i c k 不变量 而在第三章，我们设z ：m a n “是定义在区域nc a n 上的某个严格凸函数 z 。+ - = ，( 轧，z 。) 的图，考虑相对度量 g _ 最如脚d x 在这章，我们主要就是计算这个严格凸函数的图的体积关于相对度量的第二 变分，并由此证明了抛物型仿射球是稳定的。 关键词：相对度量；变分；稳定性 s t a b i l i t yo f t h eg r a p ho fac o n v e xf u n c t i o n m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s g r a d u a t e ：c h b gg a os u p e r v i s o r ：p r o ll i a - m p r o f z h m ) g s a b s t r a c t ：i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ec o n t e x to ft h ep a p e ra n d d r a wt h ec o n c l u s i o n i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h er e l a t i v em e t r i co ft h e h y p e r s u r f a c ei nt h er e l a t i v ea f f i n ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r ) r w es t u d yt h ef u b i n i p i c kf o r ma n dp i c ki n v a r i a n t i nc h a p t e r3 ，l e tx ：m - “+ 1b et h eg r a p h o fs o m es t r i c t l yc o n v e xf u n c t i o n x n + 1 = ，( z l ，- - ，z n ) ，d e f i n e di n ad o m a i n qca “w ec o n s i d e rt h er e l a t i v em e t r i cg ，d e f i n e db y g = i i a f d x 岫 i nt h i sp a p e r w ec a l c u l a t et h es e c o n d v a r i a t i o no fa r e ai n t e g r 出w i t hr e s p e c tt t ) t h er e l a t i v em e t r i cg ，a n dw ec a np r o v et h a tt h ep a r a b o l i ca f f i n eh y p e r s p h e r e s a r es t a b l e k e y w o r d s ：r e l a t i v em e t r i c ；v a r i a t i o n ；s t a b i l i t y 致谢 本文是在导矮李安鼹教授的悉心攒瀑下完成鹣。李安是教授不仅学识渊媾， 科学作风严谨，而且为人谦逊和蔼。三年的学习浅将受益终身。在此谨向李老 师表示裟心的感谢。 作者诚挚地感谢赵圜松教授。在本文的完成过程中，赵老师不但提出许多 裔意义的建议，给予指导，帮助，而且程生活上给予关心，我才能够顺利的完 袋学监，我将终努难忘。 俸者非常感谢贾方、郑泉、李福渡三位老鄢。他们不僵在我论文完成的过 稷孛给予摇导、帮萌，聪基在三年嚣学习孛绘予缀多裁麓，我将永远记褥。 嗣辩，诺魏j 嚣会，两濯j | 簿菠学院懿翅益、攀缝篷、俺庭光等老f 幕销表示 墩心的感谢。感谢她们对我的关心和帮麟。 馋表衷。感漆器j | | 大学数学学院熊嚣位领导巍老耀以爱各接爆兄黠我豹关 心和帮助。 四川大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 研究背景 在数学研究的各个分支中，几何学自古以来一直被数学家们重视。其原因 在于；对自然界的探索是人类社会前进的动力，几何学研究的正是自然现象的 某种表现形式，而自然现象具有很真实的感觉，所以它们一直是数学家们灵感 的源泉。因此几何学和数学的其他分支有着极为密切的联系。当然几何学也是 由于其他相关学科的发展而得到推动。 几何学的重要部分是微分几何学微分几何最初是用代数和分析方法研究 几何特性的一门学科，其代数基础是代数运算，分析基础是拓扑结构。微分几 何的研究舞台是微分流形，流形的结构当然是最重要的。为此，在流形上构造 坐标系( 一般来说坐标系不是整体存在的) ，当然这些坐标系本身没有什么意 义，只是在研究几何性质时会带来方便。因此在我们的文章里，常根据实际情 况的需要而选择不同的坐标系。 仿射微分几何又是微分几何的一个重要分支，它是由w b l a s c h k e 和他的合 作者们按照克莱茵的几何分类思想，于上世纪2 0 年代创立的。它主要研究仿 射空间a n + i 中的非退化的超曲面在幺模仿射变换下的不变性质。 在仿射微分几何中，a n + i 中的局部严格凸的超曲面m 有唯一确定的仿射 法向量场y ，它在a n + l 中的幺模仿射变换下不变。除此之外，在每点的微 分落在m 在该点的切空间中。回忆一下欧氏空间中的微分几何，欧氏空间的 超曲面的单位正交法向量场也有这一性质。仿射微分几何和欧氏微分几何是 两种不同的几何，但是作为两种几何范畴下的超曲面的法向量场，却有下面共 同的性质： ( 1 ) 横截于m ； 【2 ) 其在每点的微分落在该点的切空闻中。 自然想到把法向量场作一些推广，考虑m 上具有性质( 1 ) 和( 2 ) 的向量场。我 们把_ 4 n + 中超曲面m 上具有性质( 1 ) 和( 2 ) 的向量场称为m 上的相对法向量 场。粗略地说，相对微分几何就是以任意的相对法向量场替代仿射法向量场 四川大学硕士学位论文 ，照着仿射微分几何的方式方法建立起来的一种微分几何学。在吖上取定一 个相对法向量场，也称给定了m 一个法化。对m 以不同的法化，一般来说对 应不同的几何。 如果能够选择a r t + l 的坐标原点，使m 的位置向量z 与m 横截，则z 具有 上面的性质( 1 ) 和( 2 ) 。因而，可以取z 作为m 的相对法向量场。它所对应的 法化称为中心仿射法化，所对应的几何称为中心仿射几何。 在这篇文章里，我们考虑m 是由在舻的一个区域n 上的严格凸函数 。n + 1 = ，( z 1 ，z o ，- 一，z n ) 的图，取定m 的一个相对法化e 。+ 。= ( o ，0 ，1 ) ，则有相对度量 g = z 。抛0 t 2 蛳f d x i 奶 因此有一个仿射不变的体积元，本文就是计算m 关于相对度量g 的体积第二 变分，并判断其稳定性 四川太学硕士学位论文 51 , 2 主要结果 3 设a - 表示t l + 1 维的实仿射空间，z ：m _ + a n + - 是定义在区域f 2ca n 上 的某个严格凸函数 z n + 1 = ，( z l ，z n ) 的图。我们考虑m 上的度量g ，定义为 g = 器蛐。 不难明白g 是关于相对法化 e 。“= ( 0 ，一，0 ，1 ) 的相对度量。 我们考虑变分”：mx r _ + a n “，使得 ( i ) 在m 上，= z ； ( i i ) 对每个t r 饥：= ( ，t ) ：m - + 4 ”+ 1 是定义在区域nc 4 “上的某个严 格凸函数。+ z = ，缸t ，z 。，# ) 的图； ( i i i ) 变分向量场f = ：蔷1 e o 具有紧致支撑集。 设v ( t ) 表示m 关于相对度量g ( t ) 的体积，则有 r r 一 y ( ) 2 厶、4 眦( 五，) 出l _ “4 。n ， 这里 ，= ：盎。 在 9 】里，作者已经获得了m 关于相对度量g 的体积的第一变分公式： ( 01 e 。= ；f u ( al o g p ) p - l f d a ：1a a 出n ， 这里表示关于相对度量g 的拉普拉斯， p = ： d e t ( a j ) l o g p = 0 刻画了严格凸函数的图的极值。 四川女学硕士学位论文 在这篇文章里，我们计算严格凸函数z 。+ - = ，( 钆，z 。) 的图关于相对度 量g 的体积第二变分。通过计算得出第二变分公式 ( 0 ) - 一；厶 f ( a e - 2 n 户t t f j ) 2 ( ，j t , f j ) 2 _ 2 中r 聊吖， 这里d m = ：p - t 出l a d x 。，置= 一丽1e ，“ m ( ，“) 是阵( a f ) 的逆阵。 由此可以得出如下结果： 定理：设z ：m - + a n + - 是定义在区域n c 4 n 上的某个严格凸函数 的图。如果正= 0 ，那么这个图是稳定的。 推论：抛物型仿射球是稳定的。 四川大学硕士学位论文 第二章相对几何的基本理论 在仿射微分几何中，a “+ 1 中的局部严格凸的超曲面m 有唯一确定的仿射 法向量场】，而且它在小+ - 中的幺模仿射变换下不变。而在相对几何中，相 对法向量场只需要满足横截于m 和其在每点的微分落在m 在该点的切空间 中即可。关于这个相对法化就有一个相对度量。因此，也就类似于仿射微分几 何，可以定义f u b i n i p i c k 形式和p i c k 不变量以及t s c h e b y s c h e w 向量场。 2 1 超曲面的相对度量 设。：m a n + - 为光滑的超曲面浸入 m 选取标架场扛；e 1 1 e 2 ，y ，使e 1 ，e 2 ： y 是盯上的相对法向量场。沿着 ，e 。疋m 由y 的性质我们有 e 1 ，e 2 ，一，e n ，d y j = 0 设u ，“。，叫一为对偶标架场，则有 如= 此t ，u ”1 = 0 ， d e i = 叫e ，+ u r l f d e 州= 以小，e = y d w k q ， 叫= u ： 以+ u ? “a 咄， 山4 。= u 鲁t u ；， u ? “= 0 ， u 鼻，a u r l = 0 从( 2 1 4 ) 有 u ? + 1 = t 一，= 如果( 。) 是非退化的，可以用它在m 上定义一个伪黎曼度量 g = ，j u 。 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) f 2 1 3 1 ( 2 14 ) f 2 1 5 1 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 四川大学疆士学位论文 6 鲡集m 楚严格路懿，胃黻选择y 酶方辩使f 。) 芷定，魏对g 慧m 上静芷定 黎曼度嫩。这里的度量不同于仿射微分几何中的b l a s e h k e 度量，后者与法向量 秘懿选取无关，褥虽是幺搂傣辩不变豹+ 这蔓懿度量。不具毒这些缝藤，它 是在y 取定了以后确定的，g 被称为m 上的关于相对法化 的相对度量， 麓张摇对发量。 2 2f u b i n i p i c k 形式 在上节辛，尽管g 袋犊予y 游选取，毽它与掰上酶辣檠场，e 。静 选取无关。因此我们可以选择e ，e 。，使得h i ，= ，即 。? + 1 = ，2 , 2 1 ) 于是於微分上式襻 d w u u 矿1 = u 扩 ( 2 _ 2 2 ) 跌f 2 1 + 1 ) 靼2 2 2 ) 舞式产生 山= 讲 i ( q 一) - ( 2 2 3 ) 因为( 叫一薯) 葳称，以及w 1 ，舻，u “是关予g 的单使正交余标架场，根据 黎曼几何的基本定理，( 2 ，2 3 ) 表明相对度量g 的l e v i - c i v i t a 连络形式霹为 耐= ；( 0 一q ) ( 2 2 4 ) 类钕予傍射镦分尼篱，定义 且k 一觎= i 似+ 屿) ， ( 2 删 a 拈= ：e h j t a ；b ， ( 2 2 6 ) 这星 u = r ：f ， 霹= 卷 即有 r 嘉一 善= ： 薯， ( 2 。2 7 j 四川大学硕士学位论文 它满足 a i j k = a j i e = a i k j 但反极关系 h i j a i j k = 0 不必成立，其中( 川) 为( 。) 的逆。同样，分别称 a = a i j k w “一 ，= 五南n “驴。n “a “t a r n 为f u b i n l - p i c k 形式和p i c k 不变量。我们有如下定义 定义：我们称向量场 为t s c h e b y s c h e w 向量场。 y = ：n “a 弛 7 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 i i ) 四川大学硕士学位论文 第三章图的体积变分 8 仿射空间小“中的局部严格凸的超曲面上可以定义仿射不变的黎曼度量 一b l a s c h k e 度量，因此有一个仿射不变的体积元。就可以研究体积的极值问题( 参 看【1 0 】) ，对应的欧拉拉格郎日方程是四阶非线性偏微分方程。由于它的简单 的仿射微分几何意义，它有很多好的性质。历史上，人们与黎曼几何中的极小 曲面类比，称这个仿射不变的体积的极值曲面为仿射极小曲面。c a l a b i 曾经 计算过极值曲面的第二变分( 参看【2 1 ) ，他证明了在很多重要的情形，第二变 分是负的。因此，他建议称仿射不变的体积的极值曲面为仿射极大曲面。对于 舻中的严格凸函数的图，可以定义一个相对度量，可以类似地研究体积的极 值问题( 参看 9 1 ) ，它也有很多好的性质。我们这章的目的就是要计算极值曲 面的第二变分，通过计算我们发现也有很多情形第二变分是负的，也就是说这 个极值曲面为极大曲面。本章第一节介绍相关的预备知识第二节就是详细的 计算极值曲面关于相对度量的体积的第二变分。第三节得出这个严格凸函数 的图稳定的情形 53 1 预备知识 设。：m _ + a n + - 是由定义在区域nc a n 上的某一个严格凸函数 的图。我们在m 上选择仿射标架场，使得 e l = ( 1 ，0 ，- ，0 ，1 ) e 2 = ( 0 ，1 ，一，0 ，盎) e 。= ( 0 ，0 ，1 ，厶) ， e n + l = ( 0 ，0 ，0 ，1 ) y = e n + l ， 四川太学硕士学位论文 这里 = 差，k 1 ，2 ，一，n 我们有 叫= 。，b = 凡= ：瓦0 两 2 f 从( 2 2 7 ) ，得 。 a 各= 一毪 ( 3 1 1 又我们知道 f o = ；( 鬻十等一等) = ；( 罄+ 警一誓， 9 = i ，“船 ( 3 1 2 从( 3 1 1 ) ，有 a ；= 一；，“船 ( 3 1 3 ) 将上式代入( 2 2 1 1 ) ，得 t = 磊1 驴a 缸= 一去，“，”勘 ( 3 _ 1 4 ) 我们考虑第一章5 1 2 节中的变分在1 9 里，作者已经计算了m 关于相对度量 g 的体积第一变分公式 k 。= 差厶卢而出1 a a 出n = ；厶刍【，t ( 局) 老1 f 出1 a a 2 il ( 姐p - ，玎p 。2 p i p j ) p “f 如l 眦n = ；f ( a l o , p ) p - 1 f 出1 a a 如n ，( 3 - 剖 这里表示关于相对度量g 的拉普拉斯，其定义为 = 志去( ，玎俩丽刍) ， 并且在( 3 1 5 ) 中，我们省略了求和符号，下面的文章里我们都对相同指标求 和时省略求和符号 四川大学硕士学位论文 3 2 体积的第二变分 设。：m _ a 一1 是定义在区域nc a ”上的某个严格凸函数 z n + l = f ( z l ，卫n ) 的图，”是z 的一个变分，我们选择和上节相同的标架场。在( 3 1 4 ) 中，记 由于 两边关于越微分，整理得 即 乳= 一去产k r 厂f k j = 蝣 蜉= 一f 。8 j 。8 i ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) = 一去蜿 d e t ( 知) 】- 一去( - 2 1 0 9 p ) = 2 户p _ 1 舶 ( 3 2 4 ) 这里p = ：差 现在我们来计算体积的第二变分。 从( 3 1 5 ) ，有 即得 帅) = 晏( ；厶1 0 9 p p - l f 如1 a a 蚓 = ；厶岳c 崦p p - 1 ) f 如1 a a 如n 1 0 s 川_ l = 杀( 一。产肌) 晏( 崦p , p - 1 ) = 瓦d 耐a , p - 2 户肌) 运用( 3 2 4 ) ，得 去( p 。，m ) = ( 町垆内坷2 ：i p l + p - 2 一“) = 一2 p 一3 p j f oo + 2 p f 1 p 一1 跳p i + p - 2 f p i i = p - 2 吣 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 四川七学硕士学位论文 即有 晏未扩垆础岳( p 。，u 腑) = 酝。pp 时+ p - 2 沓毒砖+ p - 2 f o p o l l p i 2 t ip + g - 2 t 一 “f 。8 t 8 | 、p i j + p - 2 j ”p i j t 心2 1 、 因为z 是极值曲面，从( 3 2 6 ) 有 化简( 3 2 7 ) ，得 下面计算p 渺因 从( 3 2 1 ) ，有 l o g p p 一1 = p - r 。f i i p t 3 = 0 ( 3 2 8 ) 磊o ( l o g p - p - 1 ) = p 一2 e j 向t p - - 2 ，。，4 幻f 0 口 ( 3 2 9 ) 对( 3 2 1 0 ) 两边微商，得 戊：一：p ，“ 。 p l = n p 五 ( 3 2 1 0 ) p 玎= ( 礼p 噩) ，：n p j t , + n p t i j = n 2 矾乃+ n p t 0 ( 3 2 1 1 ) 通过( 3 2 1 0 ) 我们能化简( 3 2 8 ) 根据( 3 2 1 1 ) ，有 p - 2 ，玎腑= n z p 一1 ，“t = t j + n p 一1 产= 0 ( 3 2 1 2 ) p 玎t = n 2 m 正弓+ ? 2 2 p t , t d + n 2 p t = t j t + n p t t 玎+ n p t o t ( 3 2 1 3 ) 对( 3 2 1 ) 两边关于t 微分，得 死= 一去( m + ，“) = 一去( 一，“厶m ，出血t + ，“n “) 去产尸m 兄口一i 。f “ ( 3 , 2 1 4 ) 四川大学硕士学位论文 同评地， = 一去( 加) = 一去( 片血，+ ，“ 唧) = 去严尹f k l 出圹未 对( 3 2 1 5 ) 两边关于微分，得 t 文= 未l l n 脚氟矗钌十f 。 。f k 【i r 劬+ k n 陬甜嘶 叩泸曲一三2 n 黝tm j 一去f m j = 丢一| “| ”尹沁t f m 。”叩征喇 一f n f 8 m f “f k i i 。b | f m 。+ f k 。f 刨j 。b i f u 0 + 丢“尹r 8 一去f k 吣 = 一去严| ”p 沁氘跖f 一+ 去产p 以奶 一去严p 品。+ 去产尹溉“ + 去，“知，凡一一去以蜘 通过( 3 2 1 4 ) ，( 3 2 1 5 ) 和( 3 2 1 6 ) ，得 尸p 日t = n 2 ( 一l p f “如) t , t j + n 2 p ，“( 去，“，剧a “f 口口 一去粕，) 乃+ n 2 甜t i ( 1 f “ 玎r 口一i 。f “f k + n ( 一；p ，f m 枷， + n p ，玎 一i f m ，们，倒 “厶脚e m + 去，妇，彤 “j k 日 一去，“，加a “厶所矗。+ 去，“ 倒i + 去，“ 蜥f 口一一刍以枷】 = 一；n 2 p ，“，玎正巧凡z + ；p ，甜，“，剧a “乃只d ( 3 2 1 5 ) ( 3 2 1 6 ) 四川大学硕士学位论文 一鼍p 州“f m t j + 2 p f l i k 。n r f a 4 一；”f k z j t , 一；p t i j f f m n 一p 产 ”f 8 i 沁忒b i f m 。j 专p f t 译叩一嫡一煳“尹“f k 一一。 + 产产尹3 f m + k o f 8 l 一专j f k 饥m = n p f t i | 。严f k h r 毋| 一n p f “f k 矗i p f 甜，。，舯f m f k f 叩，靠。十p f l j f 。，剧 “r 脚 + ：产 埘兄口一：矿尸， ( 3 2 1 7 ) 最后一个等号成立是因为：第二个等号中的第一项和第六项之和为零；第二项 和第四项，第三项和第五项，第七项和第九项，第八项和第十项分别相等。又 因此 同样地， ( ，“毋1 ) i= 露f k l + ，“n “ = 一f k 。f8 l f 雠f k l + f “f k 恒 ，“最“= ( ，“r f ) i + f k o f 创厶口i 最i 对( 3 2 1 8 ) 两边微分，得 ( ，“r “) j = 如。+ ，“凡甜 = 一f ；g m 。j f “最“+ f k i 巩螂 ( ，“f k l ，) ， = ( ，肼以j ) 甜+ ( ，“，觑厶威j k ) ， = l | m 酞i 、i + | ；。j 脚| 。甑f h + f k 。f 宇 d 8 i f k 【 + | 。l 部 a ”f k l + | n 鼬f q 雠f k l 3 = l j “f k l 、| j f k m f ”j 。i f 锄 。“f h f 3 2 1 8 1 ( 3 2 1 9 ) 四川大学硕士学位论文 一f l c 。f o “f “| 。n i m 8 i f h + f t , 。f f 。8 ”f u + f 。f 鼬 。f 嘶 比较( 3 2 1 9 ) 和( 3 2 2 0 ) ，得 f “f k t ” = t 。tf k i l i i f k m f ”d 烈l m 。i f n 酗f h j k 。f 8 帕f 州| m 。| 。甑f + f o ：f 鼬 。b 。i f 时 + f h f 郾| n 。i f i + f k m f m 。| f 州f k i 通过( 3 2 1 8 ) 和( 3 2 2 1 ) ，得 f ”p t n = n p | 均| k 。 鼬 畦8 i f 。8 一n p f 4 j ( f “f k f ) + 乃一n p f i j ，。f 州厶州乃最f p | ”| k n | o ”| “| k | ，8 3 + p | 1 3f “。| 0 1 | k l i f q b 3 1 4 f 3 2 2 0 1 ( 3 2 2 1 ) + 和q “p b 一；w “f k ) t j + ；垆”，”，m 。尸胁f k + 专p f 。| 。“ “r | m 。| f 。b t f u 一鼍p t 3 k 。| 。t f 。| j f u 一：p 产尸丸日，风妇一；，“厶。凡， = 一n p ，玎乃( ，“r 也一；p ，j ( 兄也， ( 3 - 2 2 2 ) 最后一个等号成立是因为：第一个等号中的第一项和第三项，第六项和第十项 之和都为零；第四项，第八项和第九项之和为零；第五项，第十一项和第十二 项之和为零再从( 3 1 2 ) ，有 1 f 0 8f ，5 = | 。80 f j 。8 + f “l a a i f 心 = a f + f “ 。o o 3 i f k = a f n ，“丑f k f 一竹gf 3 2 2 3 ) 西大学硬圭学位论文1 5 这里c = ：，玎鼍与，表零关手褪砖废虽g 豹整鬻蕴囊，矿。$ 是f 关于攘对疫 量g 的协变微商从( 3 2 2 2 ) 和( 3 2 2 3 ) ，得 p 一2 脚= - r i p - t 产( a f s k t j j 1 p i l f 蟮( a f 一 2 2 2 4 ) 缀据( 3 。2 + 9 ) 积( 3 2 2 4 ) ，有 袅c a t o g p , p - 1 ) = = n p 1 f | j t j ( a f n g ) 。一；p 一1 ，“( f n g ) 甜 一旷。严f 彝j p t | & $ ， 邂为f 舆有紧致支撵集，我魍, - - j - 以在下式中应翅豢扼竟疑定理，摄 帅) = ：厶未( l o g p p - 1 ) f d x i a a 妇” = i 肛旷1 产t j f ( a f 川卜扩膨( ，埘硒 一p 一2 ，“严$ ，羁# 司玉la a 玉8 = ；l p 。t j 耽( f 一删一( i 1 1 确( a f - n a + ( p 一2 ，“，甜肋聊口f 口l 如la a 如。 残在我 】分羟l 计算f p 一墨f ) “( p - 1 f ) “秘圹2 严f p j p l j f ) 8 。 妒一1 p 堙j f ) l = 妒f 1 j t j f 尹一1 f ：t j f + p - 1 ，玎码f 斗- 产一1 ，甜霸最 = 一p - 2 i 矾t i e + 2 f = j p 一2 p i t i f + 口_ l | 劬t u f + p - 1 c = p - z f i p _ i t j f + p 一1 ，站f + p - i c n p 一1 ，霉为f + 尹一1 户，b f + p - l c = p - 1 a ( p 一1 ，玎f ) 灯 = 扣f 1 ，玎f 十p - 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1 d x l a a 淼。 四川大学硕士学位论文 3 3 图的稳定性 1 7 通过第二节的计算，现在我们就可以判断这个严格凸函数的图的稳定性。 首先有如下定义： 定义：如果某个严格凸函数的图的体积的第二变分y ”( o ) 0 或y ”( o ) 茎0 恒成立时，我们就说这个图是稳定的。 因此我们有下面的定理 定理：设z ：m - + a n + 是定义在区域nc a n 上的某个严格凸函数 z 。+ 1 = f ( x l ，一，z n ) 的图如果正= o ，那么这个图是稳定的。 证明：如果正= 0 ，从( 3 2 3 0 ) ，有 巾卜j 厶( f ) 2 d m _ 。 因此图是稳定的。 推论：抛物型仿射球是稳定的 证明：因为抛物型仿射球有耳= 0 ，所以是稳定的。 四川大学硕士学位论文 参考文献 1 8 1 1 b a r b o s aa n dc a r m o m ：s t a b i l i t yo fh y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n tm e a n c u r v a t u r e ，m a t h 五1 8 5 ( 1 9 8 4 ) ，3 3 9 - 3 5 3 2 】c a l a b i ，e ：h y p e r s u r f a c e sw i t hm a x i m a la f f i n e l yi n v a r i a n ta r e a ，a m e r j m a t h 1 4 0 ( 1 9 8 2 ) ，9 1 1 2 6 3 c h a n g p i n gw a n g ：c e n t r o a f f i n em i u i m a lh y p e r s u r f a c e si nr ”1 ，g e o r n e t r i a er e d i c a t a5 1 ( 1 9 9 4 ) ，6 3 7 4 f 4 c h e r n ，s s ：a f f i n em i n i m a lh y p e r s u r f a c e s p r o c j a p u 只s e m i n a r ，1 9 7 7 ， t o k y o ( 1 9 7 8 ) ，1 3 0 c h e r n ，s sa n dw h c h e n ，d i f f e r e n t i a lg e o m e