（基础数学专业论文）关于左理想的若干讨论.pdf

摘要 关于单侧理想的结果在环论中是重要的本文以左理想为 对象，对左理想所含的相关理想及左理想的诣零幂零性进行研 究 正文部分共三章 第一章对所用的一部分符号和概念作了说明，而它们在不 同的书上有时是混淆的 第二章探讨的是相关理想主要结果有： 定理2 1 1 设i 为环r 的左理想，则在所有包含于i 的r 的理 想中，有一个是最大的 定理2 1 5 设j 为环r 的一个左理想，则下列集合相等： ( 1 )f ( d ( 2 ) y ic i i ，是r 的理想 ( 3 ) z ic i i ，是r 的右理想 ( 4 ) a f ia r c m 定理2 1 6 设l ，均为r 的左理想，则 ( 1 ) t ( n t 。) = n f ( f ，) ( 2 ) f ( ) c - t ( ) ( 3 ) j i f 2 j 。t ( ，) c t ( f l f2 ，。，) 。 定理2 1 1 0 设j 是环r 的真左理想，则对任意玎z + ，存在i ， i2 ，i 。g i ，使得i l 仨li i i2 硭i ，i ii2 i 。仨l 命题2 , 2 1 2 f 为范畴l ( r ) 到范畴( r ) 的左正合共变加法函子 第三章考虑了左理想的l 幂零性主要结果有： 命题3 1 4 若环r 含有一个不是零因子的元素，n r 的l 幂零 左理想是幂零左理想 定理3 1 9 设i 是环r 的l 幂零左理想，则堤幂零的当且仅当 为对任意i li 。有界 定理3 , 2 3 设环r 具有局部左因子极小条件。那么r 的任意诣 零左理想必是l 幂零左理想 同时，在第三章还对左理想的o v e r n 旨零性与幂零性进行了 研究主要结果是： 定理3 3 6 若环r 对左理想有极小条件，则r 的任意o z ，pr j 诣 零左理想都是o i j e r j 幂零的 关键词：左理想；相关理想；函子；l 幂零；o v e r n 旨零； o vp r 踝零 a b s t r a c t t h er e s u l t sa b o u to n e s i d ei d e a l sa r ei m p o r t a n ti nr i n gt h e o r y t h ea u t h o rt a k e sl e f ti d e a l sa so b j e c t si nt h i sp a p e ra n dd o e ss o m e r e s e a r c ho nr e l a t i v ei d e a l sa n dt h en i l - n i l p o t e n c ep r o b l e mo fl e f t i d e a l s t h ep a p e rm a i n l yc o n s i s t so f t h r e ep a r t s i nc h a p t e r1t h ea u t h o rm a k e ss o m en e c e s s a r yn o t e sf o rs o m e s y m b o l sa n dc o n c e p t i o n sw h i c hw i l lb eu s e ds u b s e q u e n t l y i nf a c t ， w ea r ec o n f u s e db yt h e mb e c a u s em e ys o m e t i m e sh a v ed i f f e r e n t m e a n i n g si nd i f f e r e n tb o o k s r e l a t i v ei d e a l sa r et a l k e da b o u ti nc h a p t e r2 t h em a i nr e s u l t s a r ea sf o l l o w s ： t h e o r e m2 1 1l e trb ear i n ga n dial e f ti d e a lo fi t ，t h e n t h e r ee x i s t sa ni d e a lo frw h i c hi st h e b i g g e s to fa l l i d e a l so fr c o n t a i n e d i n i t h e o r e m2 1 5l e trb ear i n ga n dfal e f ti d e a lo f i t , t h e nt h e f o l l o w i n gs e t sa r ee q u a l ： ( 1 ) t c ) ( 2 ) e l c j i l i sa n i d e a l o f r ( 3 ) e cj f ，i sar i g h ti d e a lo f r ( 4 ) a e i ia r c m t h e o r e m2 1 6l e ti ，jb eb o t hl e f ti d e a l so far i n gr ，t h e n ( 1 ) t ( n i ，) = n ) ， ( 2 ) f ( ，) c t ( t ) 1， ( 3 ) f i l 2 f 。t ( ，) c t ( i l j2 j 。，) t h e o r e m2 1 1 0l e trb ear i n ga n diap r o p e rl e f ti d e a lo fi t , t h e nf o re v e r y 竹z + ，t h e r ee x i s tf l ，f2 ，f 。叠js u c ht h a tf lg l i i i2 芒l ，f i f2 f 。萑l p r o p o s i t i o n2 2 1 2 ti sal e f te x a c tc o v a r i a n ta d d i t i v ef u n c t o r f r o mc a t e g o r yl ( r ) t oc a t e g o r y ( r ) i nc h a p t e r3t h ea u t h o rd e a l sw i t ht h el - n i l p o t e n c yf o rl e f t i d e a l s t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： p r o p o s i t i o n3 1 4 l e trb ear i n gw h i c hh a san o n z e r o d i v i s o r e l e m e n t , t h e ne v e r yn i ll e f ti d e a lo fr i sn i l p o t e n t t h e o r e m3 1 9l e trb ear i n ga n dia nl n i l p o t e n tl e f ti d e a l o f i t ，t h e nii sn i l p o t e n ti f a n do n l yi f i ，h a sb o u n d a r yf o re v e r yf i t h e o r e m3 2 3l e trb ea r i n g w i t h l o c a l l y m i n i m u m c o n d i t i o nf o rl e f tf a c t o r s ，t h e ne v e r yn i ll e f ti d e a lo f ri sn i l p o t e n t m e a n w h i l e ，i nc h a p t e r3 ，t h ea u t h o ra l s od i s c u s s e st h er e l a t i o n 4 b e t w e e no v e r fn i l c ya n do v e r in i l p o t e n c yo fal e f ti d e a l t h e m a i nr e s u l ti s ： t h e o r e m3 3 6l e trb ear i n gw i t hm i n i m u mc o n d i t i o nf o r l e f t i d e a l s ，t h e n e v e r y o v e r - j n 订l e f t i d e a lo f r i so v e r i n i l p o t e n t k e y w o r d s ：l e f ti d e a l ；r e l a t i v ei d e a l ；f u n c t o r ；l n i l p o t e n t ； o v e r j n i l ；o v e r - i n i l p o t e n t 5 独创性声明 v 9 7 8 7 7 4 。, 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得自救氕孝或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：痛瘴瓦 签字日期：z 。6年呼月加日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解发杈大学有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅本人授权霞敬氕学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者张席霄耙导师始老艺纨 签字日期：御6 年十月加日签字日期：玉即6 年p 月加日 学位论文作者毕业去向：高校锨忻 工作单位客 氛瑞钟投学阮 电话：o 黟5 2 占7 m 中 通讯地址：名粤李乳移强l 沁私研技新毛邮编：二q 。 表吊敦强糸 第一幸引言 第一章引言 如无特别声明，本文所涉及的环均为未必含单位元未必交 换的结合环下面对本文要用到的一些重要符号和概念进行说 明，未列出的见于参考文献： z + ：正整数集 a + b ：集合 4 + di a a ，b e b a - - b ：集合 4ia a a ，a 芒b a b ： 集合 q b l e a ，b ，b 有限祁 a 3 b ：包含，即若a b ，则a a d b ：真包含，即a 3 b 且a b 左理想：称环r 的子环f 为r 的左理想，如果r i c i n o e t h e r 环：对左理想有降链条件的环 g o l d i e 环：具有如下性质的环：( i ) 左理想组成的无关集都 是有限的；( i f ) 对左零化子有极大条件 a 是幂零的：存在玎z + ，使得a “= o a 是诣零的：任意4a a 是幂零的 a 是幂零的：存在l r e z + ，使得a ”= o 关于左理想的若干讨论 第二章左理想所含的相关理想 2 1 相关理想 定理2 1 1 设j 为环r 的左理想，则在所有包含于i 的r 的理想 中。有一个是最大的 证明记= ”c ila 为r 的理想) 由于零理想在z o o ，故非 空考虑z 中的任意升链 a lc a2c c a 月f - - 贝u u a 。i 以z + 是该链在中的上界事实上，记。刮 a 。f 栉z + ， 则显然中c l 且对任意4 ，b m ，存在押z + ，使得a ，b a 。，故 口一b a 。c ；对任意r 岳足有r a a 。c o ，r a 。c 巾，故o 由z d r ”引理【i 】知有极大元若，均为的极大元，贝, x j i c i + ! ， 易知“，z ，由于f 是的极大元，故i “，同理有i = i + 1 所以仁， 即的极大元唯一，从而是最大的证毕 定义2 1 2 称定理2 1 1 中的与辟且关的最大的理想为左理想i 的相关理想记为t ( o 环的右理想 2 1 的相关理想可以被类似地定义以下我们只考 第= 幸左理想所夸的相关理想 虑左理想的相关理想，关于右理想的结论是对称的 由定义立即可得： 命题2 1 3 左理想堤理想当且仅当f ( d = j 命题2 1 4t ”( f ) = f ( 耽 竹z + 由于左理想i 未必为理想，即存在i 使得i t ( 耽由命题2 1 4 知t ( i ) = t2 ( 耽故由f ( d = f ( ，) 是未必可以得到卢，的 定理2 1 5 设i 为环r 的一个左理想，则下列集合相等： ( 1 ) t ( o ( 2 ) ，c j l ，是r 的理想 ( 3 ) x c i l ，是r 的右理想) ( 4 ) 4 j la r c - i 证明记上述各款中的集合依次为a ，b ，c ，d 首先指出， 参考定理2 1 1 的结论及其证明过程可知：b ，c 并不会导致罗素 悖论纠下面我们分两步证明本定理： 一，必有a c b c c c d c - l 事实上，a c b c c c ld r - 圾c 为r 的右理想是显然的 设a c ，则4 la r c c r c c c i 于是c c d 关于左理想的若干讨论 二，由于a = f ( d 是包含在j 中的最大的r 的理想，故为了完成 证明，仅需再证d 是r 的理想 事实上，对任意a ，b d ，r ，s r 我们有 从而a - - b e d 从而r a d a b l ( r a ) s = r ( 口s ) e i 从而nr d 所以d 是包含在i 中的r 的理想故a = d ，即有a = b = c = n 证毕 定理2 1 6 设i ，均为r 的左理想，则 ( 1 ) t ( a t ，) - - n t ( i ，) ( 2 ) r ( l ) c t ( ) ( 3 ) j i l 2 i 。t ( ，) c t ( j i l 2 i 。，) 证明( 1 ) f ( n i 。) cnf ( ，) 事实上，设任意n f ( n j ，) ，足则有 第二章左理想所含的相关理想 故对任意i ，有 口n r 。，nr e n i a j i ，ar i ， 即对任意f ，有口t ( f ，) 故口n t ( i ，) n t ( i ，) c t ( n i ，) 事实上，设任意n n t ( i 。) ，r r 则对任意i ，有 n t ( i ，) j 4 i l ，a r c i ， 即 a e n r ，a r c n i ， 于是4 f ( ni ，) ( 2 ) 首先用数学归纳法证明当f 的个数为有限时结论成立 当i 的个数为1 时结论显然成立 设窆f ( 1 2cf ( 窆) ，则对任意n n + l ，( ) ，足存在 4 。窆，( ) ，4 ：t ( x 。) ，使得口= 口。+ 4 ：，于是 1 = 1 n + l 4 i + 42 毛， h月+ l ( 4 l + 2 ) r = a ir + a2r - i - i n + l 一- - l j j - i - l 于是4 f ( l ) 关于左理想的若干讨出 现在我们取i ，的下标集为r ，而且假设其阶为无限设任意 口z t ( i 。) ，则存在，z z + ，使得口e z t ( 1 , ) ，由上述己证的结论有 e r 悼l 4 e t ( ，。) ，于是 口，c ， 4r c l - li e i 9 , i i i a e t ( ) j e r ( 3 ) 由于i ，i ：i 。t ( ，) c i 。i ：i 。，是r 的理想 证毕 命题2 1 7 设肼s 是环并_ i t f ：r 斗s 是环的满同态，f 是r 的 一个左理想，则f 吹d ) = 只f ( d ) 证明由于s f ( o = f ( 固f i o = f i r l ) = f ( o ，故 d 是s 的左理想 从而有 证毕 t f i o = y ，( di v 肭c 7 f ( o ) = ，( 力f i oi ，( 姐刁c f ( o = ， x e i ix r c i ) = f i t ( o ) 6 第= 章左理想所备的相关理想 命题2 1 8 环r 的极大左理想的相关理想是极大理想 证明设i 是环r 的极大左理想，是环r 的理想并且f ( d c ， 由于，也r 的左理想，我们有 f ( d c ，c 工 于是 t ( f ) c t ( ，) c t ( j ) 且p l = t 0 ) 证毕 命题2 1 9 环r 的极小左理想的相关理想是0 或其本身 证明类似于命题2 1 8 定理2 1 1 0 设i 是环r 的真左理想，则对任意”z + ，存在 i i ，i2 ，i 。芒l 使得 i l 叠l i l i2 芒j i i i2 i 。萑i 证明应用数学归纳法 当r m l 时结论显然成立 假设当胪七时结论成立，即存在i ，i ：，i 。叠l 使得 i l 芒l 关于左理想的若干讨论 i l i2 l igj 则有 i l i2 i i 正t ( i ) 故存在i 。r 使得 i l i2 i i i 。+ i 茌i 这里一定有i 。t l 否则由于i 是左理想，则有i 。i ：i 。i 川l 矛 盾 故当n = k + l 时结论也成立 证毕 2 2 f 的函子性质 定义2 2 1 设r 是一个环，i 和，是r 的左理想，称映射，i 专j 为从i 到j 的左理想同态，如果f ( i - - j ) = ，( i ) - - f ( j ) ，并且对任意 r r 有( r i ) = r f ( i ) 称伪左理想单同态( 满同态、同构) 如果左 理想同态雕为映射是单射( 满射、一一映射) 第= 幸左理想所舍的相关理想 定义2 2 2 设r 是一个环，旰口，是r 的理想，称映射，i j ，为 从i 到，的理想同态，如果，( i f ) = ，( i ) 一，( j ) ，并且对任意r r 有 f ( r i ) = r f ( i ) ，( ir ) = ，( f ) ，称伪理想单同态( 满同态、同构) ，如 果理想同态，作为映射是单射( 满射、一一映射) 命题2 2 3 记o b l ( r ) 为r 的所有左理想构成的类，o b ( r ) 为r 的所有理想构成的类，则o b l ( r ) 关于左理想同态构成r 的左理想 范畴，o b ( r ) 关于理想同态构成r 的理想范畴 证明是显然的今后将r 的左理想范畴记为l ( r ) ，将r 的理想 范畴记为( r ) 显而易见，l ( r ) 是( r ) 的子范畴 一个自然的问题是f 能否成为l ( r ) 到( r ) 的函子【4 | ? 回答是 肯定的首先，我们给出 命题2 2 4设i 为r 的左理想，则h - i r 为r 中的包含i 的最小的 理想( 今后记为p ) 证明是显然的 众所周知，在一般环中，两个幂零元之和未必是幂零元所 以当i 是诣零左理想时，i 未必是诣零理想但是我们有 定理2 2 5p 是幂零理想当且仅当i 是幂零左理想 关于左理担的若干讨论 证明( j ) 显然 ( 仁) 设i l 对任意打p ，有 由于f 为幂零，故总存在n 使得( r i ) ”= o ，此时( fr ) ”1 = o 由二 项式定理及数学归纳法知i + 是幂零理想 证毕 定理2 2 6 设，i 一，为环r 的左理想同态，则。厂可扩充为环r 的理想同态广：p 专，使得f * l i = f 证明( 1 ) 定义映射 r ；i + l r j l + j r f + 咯卜，( f ) + 厂( ) 咯 t ；i k = l 可以验证定义是良好的： 广( o ) = ，( o + o r k ) = ，( o ) + f ( o ) r k2 0 t t lt l ( 2 ) 厂的确是r 到，的理想同态： 广( ( f + 噍) + ( j + 五) ) i it t l 2 n = 广( ( f + ，) + 弛) t - l 2 = f ( i + j ) + f ( i k ) r i 第= 章左理想所舍的相关理想 ：( ，( f ) + 窆( ) ) + ( ，( f ) + 窆( 五) & ) t = 1女一l hh = 广( i + ) + 广( f + ，。) 广( s ( + ) ) k = l = 广( s i + 瓯丘) k = l = f ( s ) + f ( m k ) r k t - l = s ，( f ) + s f ( i k ) r k = s ( ，( f ) + f ( i k ) r k ) k = l = s 广( f + 识) ； i t l 广( ( f + 丘珞) s ) t t l = 广( f s + t s ) k = l = f ( i ) s + ，( ) p k - i = ( ，( f ) + f ( i k ) r k ) s k = l = 广( 件识) s ( 3 ) 对任意i l 有 关于左理想的若干讨论 月 厂( f ) = 川+ o 咯) = 川) + ( o ) 咯= 州) i z li z l 即厂i 仁厂证毕 定义2 2 7 称以上证明中所作的扩充广为，的自然扩充 为方便计，以后我们取i 中的元素为如i 。+ ：r 形式的两项 和容易知道，这并不会影响结论的一般性下面的定理给出了 尚其自然扩充广的另一关系： 定理2 2 8 广是同构当且仅当促同构 证明( j ) 由于_ - 广i l 故 k e r = k e r 铲n i = o 设，则，+ ，因而存在i ，+ f ：r ej + ，使得广( f + f ：r ) = 7 但由于广是肭自然扩充及广是同构，故i 。+ f ：r e l ( 仁) 设广( f 。+ f2r ) = o ，则 在仃： 由于弹，故 i li - 4 厂( i l ) 一i2r h 一，( i2r ) 第= 幸左理想所奢的相关理想 1 1 2 一l2r ， 即i l + i2r = o ，k e r 广= o 设j ，+ j ：r e l + ，由于筋，故存在i ，i ：i ，使得 ，( i 。) = “，f ( i ：) = f2 故 广( i 。+ i2r ) = ，( i l ) + ，( i2 ) r 57 - + 72 证毕 定理2 2 9 设 i 一，为左理想同态，贝l j f l t ( d 为f ( i ) 到f ( j ) 的理想同态 证明设i t ( d ，贝j j j l t ( d ( f ) = ，( f ) ，我们证明对于任意 r r ，( f ) r e ， 事实上，由于f t ( d ，故fr lf ( i ) r = f ( ir ) ，于是厂l f ( i ) 是 t ( i ) 到t ( j ) 的映射关z = f i f l t ( i ) 是理想同态的证明类似于定理 2 2 6 证毕 定义2 2 1 0 设厂i 一，为左理想同态，称f i t ( i ) 为御自然限 制，并且记为f ( d 我们有下面的f ( 力与。庞间的关系： 关于左理想的若干讨论 定理2 2 1 1 ( 1 ) 若，是同构，则f ( d 是同构 ( 2 ) 若t ( 力是同构，则，未必是同构 证明( 1 ) k e rt ( f ) = k e rf i t ( j ) = k e r ，n t ( i ) = t ( k e r 力n t ( f ) = f ( k e rf n n = 0 对于t ( _ n ：t ( j ) j t ( ，) ，任取t ( ，) ，则存在2 f ，使得 ，( f ) = ，现证明f t ( d 只需证对任意r r ir l 考虑 p ：p 崎l i 仆，( f ) r = j7 由于，t ( ，) ，故r ，又由定理2 2 8 知，p ( i ) - - i 故ir e l ( 2 ) 例如设i 为非理想的极小左理想，考虑左理想同态 f = o j l o 卜o 则f ( 力是同构，但慢然并不是同构证毕 命题2 2 1 2f 为范畴l ( r ) 到范畴( r ) 的左正合共交加法函子 证明：容易验证f 满足文献 4 】中的共变函子条件及加法函子 条件 左正合是由于 k e rt ( d = k e rf i t ( i ) = k e r 厂nt ( j ) ；t ( k e r 力n t ( i ) = f ( k e r ，n i ) - - t ( k e r 力 证毕 第三幸左理想的诣皋摹零性 第三章左理想的诣零幂零性 3 1 l 幂零性 对左理想的幂零性已有很多研究在文献【7 卜 1 0 1 ，【1 2 】【3 0 】的 基础上，我们考虑较幂零性更广泛的l 幂零性概念： 定义3 1 1 称环r 的( 左) 理想i 为l 幂零的，如果对于任意r r 存在栉z + ，使得r i ”= o 称使此式成立的最小的正整数仃为i 的r 指数，记为i ， 由定义立即可得： 命题3 1 2 环的幂零左理想 6 1 是l 幂零的环的l 幂零左理 想是左t 幂零p 1 的，因而也是诣零的 l 幂零未必是幂零的文献【8 】给出的一个i 旨零m h r - 诣零环 的例子恰好作为反例： 设x - e fii ，j z + ，i ，) ，r 是二元域f 上以x 为基底的向量空 间规定pp e 触= 占曲e * ，其中艿舯为k r d 埘c k p r 符号，借助分配律定 义r 中元素的乘法，则r 成为结合环 取定p 。x ，则对x 中任意九个元素e 。，p 。：，p 。，必有 e m e f 】le 1 2 j 2 e 。0 否则，n = i 。 j 。= f ： ，：一= f 。 ，。1 即，。，2 ，n 是托个不同的小 于打的正整数，这是不可能的因此e 。x ”= o ，进而p 。彤= o 即r 是l 幂零的由于对任意r z z + 都有r ”r “，据文献f 8 】定理1 2 知嗣 幂零 但是尚不清楚左t 幂零是否一定是l 幂零的 由上可知，l 幂零是介于幂零和左t 幂零之间的一种性质 推论3 1 3 若环r 是g ol 讲p 环，则r 的l 幂零左理想是幂零左 理想 证明由命题3 1 2 ，环r 的l 幂零左理想是诣零的而g o i d i e 环的诣零左理想是幂零的1 9 1 证毕 命题3 1 4 若环r 含有一个不是零因子的元素，则r 的l 幂零 左理想是幂零左理想 证明设r r 不是零因子，i 是r 的l 幂零左理想，则存在 ，l z + ，使得r i ”- - 0 即对任意i ，i2 ，i 。l 都有 r i l i2 i 。2 0 因为r 不是零因子，故 第三幸左理想的诣零幕皋性 即f 。= o 证毕 由命题3 1 4 可以得到： 推论3 1 5 若环r 含有左单位元，则r 的l 幂零左理想是幂 零左理想 推论3 1 6 i 叫若环赡有正则元，则r 的l 幂零左理想是幂零 左理想 命题3 1 7 设 r 哼s 是环的满同态，i 是r 的l 幂零左理想，则 ，( f ) 也是r 的l 幂零左理想 证明对任意se s ，则存在r e e , , 使得，( r ) = s 于是 r f ( i ) k ，( r i “) 命题3 1 8 设 j 专，是环r 的左理想同态，若j 是r 的l 幂零左 理想，则，( j ) 是r 的l 幂零左理想 证明类似于命题3 1 7 定理3 1 9 设i 是环r 的l 幂零左理想，则i 是幂零的当且仅当 关于左理想的若干讨论 为对任意i li 。有界 证明( j ) 显然 ( 仁) 对于任意r r 有 故 即 注意到对任意i e l 有 从而r f “= o 证毕 想 i s ” 定理3 1 1 0 非零的l 幂零左理想包含一个非零的幂零左理 证明设j o 为环r f l 勺l 幂零左理想，仿文献 1 7 】，令 则f 。是r 的幂零左理想 事实上，j 。显然非空，且容易验证设i 。是r 的子环对任意 i i ”= o ( r 1 ) r 2 u 故r i i 于是i 。是r 的左理想 由于f 是l 幂零的，故i 。是l 幂零的又由于对任意f l 存在 榷z + ，使得( f 。) ，s m 故由定理3 1 9 知j 。是r 的幂零左理想因i 是非零的，故总有适当的正整数”，使得i 。非零 证毕 推论3 1 u 环r 的任一l 幂零左理想必为b ；r 的若干个幂零 左理想之和 证明如定理3 1 1 0 ，令 i 。= f if f ”= o ) 则辟l ，i 。是幂零的证毕 命题3 1 1 2 若环r 对l 幂零左理想有极大条件，则l 幂零左 理想是幂零的 证明设1 0 为环r 的l 幂零左理想，注意到在定理3 1 1 0 中 有 i l c l 2 c c i 。c 由于r 对l 幂零左理想有极大条件，故存在i r f ez + ，使得 再由推论3 1 1 1 ，仁n ，。= in 是幂零的证毕 推论3 1 1 3 若r 是n d p t h p r 环，则r 的l 幂零左理想是幂零的 命题3 1 1 4设j 。为r 的左理想，i ：为r 的l 幂零左理想，则 i 。n i ：，f 。i ：均为r 的l 幂零左理想 证明( i l n l 2 ) 4c i ：，1 1 1 2c i ； 命题3 1 1 5 设i 为r 自f ( j l 幂零左理想，则i r 是r 的l 幂零理想 证明( 固”1c i ( p 4 ) ”r e - i ”1 r 命题3 1 1 6 设ki ：是r 的l 幂零左理想，则印+ f ：也是r 的l 幂零左理想 证明注意到对任意竹z + ，有 ( i 。+ i ：) 2 “= i ? + i ：+ l 其中中均含因子i 。与i ：，且或者f 。的个舞x - n ，或者i ：的个数，1 对于任意，r 由于i 。，i ：均为r 的l 幂零左理想，故存在 n i f i ，竹2 1 2 ，使得r i p = o ，r 砖卸取2 r m n i 托2 ，由于l ，f 2 均为r 的 左理想。易知 证毕 r ( 1 1 + j2 ) 2 ”= o 利用上面的结论，定理2 2 5 有如下推广： 推论3 1 1 7r 是l 幂零理想当且仅当i 是l 幂零左理想 证明( j ) 显然 ( 仁) 由推论3 1 1 5 知眼是l 幂零左理想由定理3 1 1 6 失1 1 i * = i + t r 是l 幂零理想 证毕 定理3 1 1 8 环r 的任意l 幂零理想恒含于r 的b 口p ，根1 6 】之中， 从而恒为半幂零的 证明设i 为r 的任一l 幂零理想，n 。为r 的b a e r 根 由于l 幂零性是同态不变性，理想i 在自然同态，r 斗r n 。 下的同态象，( i ) 仍为l 幂零的，贝u f u ) = o 否则，( j ) 为非零的l 幂零理想，由定理3 1 1 0 知，( d 含非零 幂零理想，与n 。的定义矛盾故f ( oc n 。c n 。，此n 。处为r 的 l e vi t z k i 根证毕 由于b 4 p r 根n 。= n r 的理想f l 黝不含非零的幂零理想) ，注 关于左理想的若干讨论 意到定理3 1 1 0 ，我们可以得至：l j b a e r 根的另一刻画，即有 定理3 1 1 9 设n 。为环r 的b a e r 根，则 n 。= n r 的理想ilm 不含非零的l 幂零理想) 3 2 局部左因子极小条件 定义3 2 1 1 7 j设i 为r 的一个左理想，r 为r 的一个元素，如果 i r o ，则称i 为关于元素r 的一个左因子 定义3 2 2 称环r 具有局部左因子极小条件，如果关于同一 元素的任一组左因子中均有极小元 定理3 2 3 设环r 具有局部左因子极小条件，那么r 的任意诣 零左理想必是l 幂零左理想 证明设j 为环r 的一个诣零左理想如果i 不是l 幂零的，那 么必存在元素r 足使得对于任意盯，均有i ”r 0 从而知i ”都是 关于r 的左因子，由局部左因子极小条件知降链 1 3 f 23 3 f ”3 必止于有限处即存在正整数以z + ，使得 f 一= r ”i _ 0 第三章左理想的诣零幕摹性 j ”r = i ”“，一0 令，= i ”，则 l = l2 一t o ，r = ，2r 一o 设使j k r 0 成立且含于，关于r 元素的诸左因子k 当中的极 小元为i ，那么，j + r 0 所以存在元素f f + ，使得 ，i r 0 因为，( ，f ) r = l2 i r = l ir # o ，j 拟k = i f 也是含于，的满足，k r 0 的 关于r 的左因子又f e r ，ic i * ，由r 之极小性可知 r = ii 于是对任意，存在元素f p ，使 i = j i 此时 i = j i = j i2 一 由于i 是诣零的，故对充分大的n ，总有j f “= o ，此与j ir o 矛盾故i 是l 幂零的证毕 由这个定理可以推出如下经典结果： 定理3 2 4 n具有左理想极小条件的环的任意诣零左理想 必是幂零左理想 证明设j 为环r 的诣零左理想，r 2 0 且r 具有左理想极小条 关于左理想的若干讨论 件，那么r 自然具有局部左因子极小条件，从而，是l 幂零的对 于任意r e r 存在玎z + ，使得 ，工”= 0 由于r 具有左理想极小条件，故当九充分大时有 j ”= i ”1 _ 从而对于任意r 足j ，有界由命题3 1 9 即知i 是幂零的证毕 下面记环r 的最大的l 幂零理想为坂r ) 我们有 定理3 2 5 设环r 具有局部左因子极小条件，记m = u in 是 r 的l 幂零理想 ，则 ( 1 ) m - - - m ( r ) ( 2 ) m = u nin 是r 的幂零理想) 证明( 1 ) 任取口，b m ，则存在l 幂零理想a ，b ，使 4 a ，b e b 由命题3 2 1 6 ，a + b 仍为l 幂零的，从而为诣零的于是4 + b 为幂零元故m 是诣零理想 由定理3 2 3 ，m 是l 幂零理想，从而m = 佩r ) ( 3 ) 由于幂零理想是l 幂零的，再由推论3 1 i i 即得结论 证毕 第三幸左理想的诣零摹奉性 推论3 2 6 似删r ) ) = o 证明是显然的 定理3 2 7 设交换环r 具有局部左因子极小条件，则 积r ) = n p ，c m ( r ) ip ，是r 的索理想) 证明记m - - r e ( r ) ，考察商环r = r , c a ，应用推论3 2 6 ，有 碾r ) = o 而p 是r 的素理想当且仅当p 是r 的素理想l l l 】故要证本 定理，只要证i = n 丘f 五是五的素理想) 于是只要证对于满足 ， 颤r ) = 0 的环足有o ；n ( p 。ip ，是r 的素理想) 因为碱g ) - - o ，即r 不含非零的因子幂零理想，由命题3 1 2 知r 不含非零的幂零理想于是对任意0 a r 主理想( n ) o 于是对任意栉z + ，有( 口) ”0 因为( 口) ，c 砌r 所以 ( 砌r ) ”0 ，所以a r a o 于是存在r r 使得a a 0 固定一个0 4i r则存在rl r 使得n l r l al o ；记 4 ：= 4 。，。口，则o a ：足对a ：可如上办理手续，这样一直作下去 便可得到序列 a ”a2 ，a 月， 记a = 4 1 ，a2 ，a 。，) ， ii 是r 的理想，i n a = a ) 由于零 理想在中，故z 非空，且易知中升链之并也在中并且就是相应 升链的上界，故由z dr l 引理知有极大元设其一为j 。，则j 。是r 关于左理想的若干讨论 的理想我们证j 。也是r 的素理想 事实上，设j ，是r 的素理想，且i ，? j 。，由j 。的极大性知 j n a d ，n a a 故存在珥n ez + ，使得4 。j ，4 。，不妨设抡竹，则日。j 从而 n h = 口nr 。a 。i ， 但。仨i 。，故j ，旺j 。即j 。是r 的素理想 于是对任意o 4 r 都存在不含4 的素理想i 。 故n r 。= o ，即有n p ，i p ，是r 的素理想 = 0 口l 证毕， 53 3o v e l i 诣零性与幂零性 u 。 定义3 3 1 i 2 ，1 设，3 胸为环r 的左理想，称，是o ve r i 幂零的， 如果对任意存在n a z + ，使得，”c i ；称，是o v e r i 诣零的，如果对 任意j ，存在，z z + ，使得，”j 文献【2 6 卜 2 8 】对左理想的dz ，p r j 诣零性与幂零性进行了研究 这里限定f 为r 的理想，研究环r 的。舻p ，j 幂零性与诣零性易知当 辟。时，o ve r 耀零性与诣零性就是一般的幂零性与诣零性概念 ， t 鸯 。、 j 第三幸左理想的诣摹摹车性 定义3 3 2 设口e r 称n 是o ve r f 幂零元，如果存在托z + ， 使得n 一i 称使此式成立的最小的正整数n 为n 的o ve r j 幂零指 数 称r 的非空子集a 是o ve r n 旨零的，如果任意a a 都是 o ve r 一课零元 称r 的非空子集a 是o ? ) e r i 幂零的，如果存在托z + ，使得 a c i 称使此式成立的最小的正整数竹为a 的o v e r 糯；零指数 由定义可知，若a 是o v e y i 幂零的，则a 是o ve r - f 诣零的但 反之未必成立下面研究在什么条件下，d f l o v e r n 旨零性可以推 出o v e r 课零性 定理3 3 5 设环r 是dz ，e r n 旨零环，若r 对o v e r 廉零理想有 极大条件，则r 是。口e r i 幂零的 证明设s 为r 的一个极大的o v e r i 幂零理想，s 的o v e r j 幂零指数为n 我们证明r = - s 假设r s 任取a r - - s ，令m = s “a s n - i9 则m q = s 再取b s m ，令n - - s + ( b ) ，则n ? s 于是有 ( b ) s c s ，s ( b ) c - s 故n 是r 的理想下证n 是o v e r 屏；零的由的取法知b 是0 7 1e r 保 ， l 秘 k l 关于左理想的若干讨论 零的，从而( 自) 是。口e r 一屏零的设其o ve r j 幂零指数为k ，则 n “= ( s 4 - ( 自) ) “c 7 - j ， 即n 是o ve r - f 幂零的但n s ，又s 为r 的一个极大的o ve r - f 幂零 理想矛盾 证毕 定理3 3 6 若环r 对左理想有极小条件，则r 的任意o v e r i 诣零左理想都是o ve r 糯；零的 证明设，是指数为k 的r l 拘o v e r i 诣零左理想左理想 考察左理想降链 ，3 ，23 3 ，“3 由于环r 对左理想有极小条件，故存在仃z + ，使得 ，”= ，”1 _ 设，一旺l 则，”“cl 故存在，使得j ，n + k - i 旺l 从而 j k1 “t 1 这s i i ，i l “d 矛盾证毕 定理3 3 7 设环r 对左理想有极大条件，若r 含有非零的 o v e r i 诣零左理想，则r 的理想，r 含有非零的o v e r i 幂零左理 想 证明设j 不是o v e r 课零的，则有，2c l 故存在，使 一 # 第