（应用数学专业论文）blackscholes方程的一些数值新方法及分析研究.pdf

华北电力大学硕士学位论文 摘要 b l a c k s c h o l e s 方程是金融数学中期权定价理论的重要模型，研究其数值解 法有重要的现实意义。本文给出求解b s 方程的一些数值新方法，数值试验表 明新方法计算期权价格是可行的。 第一章，对期权定价问题给出一个明确的表述，第二章，构造b s 方程的 一个新的二阶格式，分析了新格式的稳定性和收敛性，第三章，给出b s 方程 等价初值问题的一种新的普遍性差分格式及误差估计，数值试验证明该格式是 可行的；第四章，对亚式期权给出二叉树方法定价的具体过程，通过分析及数 值算例表明该方法实用有效。 关键词：期权，b l a c k s e h o l e s 方程，差分格式，稳定性，收敛性，数值试验， 二叉树方法 a b s t r a c t b l a c k - s c h o l e se q u a t i o ni sa ni m p o r t a n tm o d e li no p t i o np r i c i n gt h e o r yo f f i n a n c i a lm a t h e m a t i c s ，a n di ti sv e r ys i g n i f i c a n ti np r a c t i c a la p p l i c a t i o n st os t u d yi t s n u m e r i c a lr e s u l t s i nt h i sp a p e r ，w eg i v es e v e r a ln e wn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n g b se q u a t i o n ，a n dt h en u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h ef e a s i b i l i t yo ft h e s em e t h o d s i nc h a p t e r1 ，as p e c i f i cs t a t e m e n to fo p t i o np r i c i n gt h e o r yi sm a d e i nc h a p t e r2 ， w ee s t a b l i s han e wt w o o r d e rn u m e r i c a ls c h e m ef o rs o l v i n gb l a c k s c h o l e sm o d e l i n g ， a n di t ss t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c ea r ea l s od i s c u s s e d i nc h a p t e r3 ，w ec o n s t r u c ta n e wf u l l yd i s c r e t eu n i v e r s a ld i f f e r e n c es c h e m eo fa ne q u i v a l e n ti n i t i a lv a l u e p r o b l e mt r a n s f o r m e df r o mb l a c k - s c h o l e se q u a t i o nv i av a r i a b l e - s u b s t i t u t i o n s ，a n d t h es c h e m e so fs t a b i l i t yp r o o fa n dc o n v e r g e n c e sa r ep r e s e n t e d t h e n ，t h en u m e r i c a l e x p e r i m e n t sv e r i f yt h ec o r r e c t n e s sa n dt h ep r a c t i c a b i l i t y i nc h a p t e r4 ，w eg i v ea d e t a i l e dp r o c e s so ft h eb i n o m i a lt r e em e t h o do ft h ea s i a no p t i o n s ，a n dt h e nt h e a n a l y s e sa n ds i m p l ee x a m p l e si n d i c a t et h ee f f i c i e n c y l i uy a n g g u o ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f y a n gx i a o z h o n g k e yw o r d s ：o p t i o np r i c i n g ，b l a c k s c h o l e se q u a t i o n ，d i f f e r e n c es c h e m e ， s t a b i l i t y , c o n v e r g e n c e ，n u m e r i c a le x p e r i m e n t s ，b i n o m i a lt r e em e t h o d l 声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文 b l a c k - s c h o l e s 方程的一些数值新方法 及分析研究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工 作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：塞l 塑圈日期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 日期： 毒7 扬】訇 导师签名： 遗些 华北电力大学硕士学位论文 引言 期权是风险管理的核心工具，是最重要的金融衍生产品之一，对期权定价理论 作出杰出贡献的s c h o l e s 和m e f t o n 曾因此荣获1 9 9 7 年诺贝尔经济学奖。研究期权 定价问题，有着非常重要的理论和实用价值。 在期权定价的数学理论方面，早在1 9 0 0 年，l o u i sb a c h e l i e r 就在他的学位论文 中首次利用随机游动思想给出了股票价格运行的随机模型，并提到了期权定价问题 1 1 1 。1 9 6 4 年p a u ls a m u e l s o n 以股票的回报代替原模型中的股票价格对l b a c h e l i e r 的模型进行了修正，提出一个随机微分方程模型，他的修改克服了原先模型中可能 使股票价格出现负值的不合理情况，基于这个模型，j b a n e s s ( 1 9 6 4 ) ，es a m u e l s o n ， c s p r e n k l e ( 1 9 6 5 ) 等分别研究了看涨期权的定价问题，并给出了一个期权定价公式， 但可惜的是这一定价公式在实际交易中不能应用【1 1 。直到1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 在有效市场和股票价格遵循几何布朗运动等一系列的假设下，运用连续交易保值策 略推导出了著名的b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型，并建立了看涨期权定价公式【l 】， 该成果是金融衍生证券发展史上的里程碑，这不仅为金融衍生证券市场近十年来的 迅猛发展奠定了可靠的理论基础，而且它在经济诸多领域中的广泛应用为金融业的 发展带来一场革命性的变化。该定价模型和公式的创新之处在于期权的价格不依赖 于投资人的个人偏好，把所有投资人引向同一个以无风险利率作为投资回报率的风 险中性世界( r i s k - n e u t r a l w o r l d ) 。事实上，著名的经济学家凡m o r t o n 对b l a c k - s c h o l c s 期权定价模型作了必要的准备工作，提出了重要的理论成果【1 捌。继b l a c k s c h o l e s 期权定价模型提出之后，其他各种期权定价模型也被纷纷提出，其中最为著名的是 j c o x ，s r o s s 和m r u b i n s t e i n 在1 9 7 9 年提出的二项式模型 3 4 5 1 ，该模型是对 b l a c k s h o l e s 期权定价模型的进一步简化，这种简化了的模型更便于实际操作。基 于b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型，m e r t o n ( 1 9 9 0 ) ，r o b i n s t e i n ( 1 9 9 1 ) ，p w i l m o t t ( 1 9 9 3 ，1 9 9 8 ) ，c h a r l e sj c o r r a d o s e r g e if e d o t o v l _ ，j ，h o s a mk i ，b y u n g w o o kc h o i ，k o o k h y u n c h a n g ，e t c 【s l 等在不同的市场条件假设下，提出了修正的模型使之更加实用，r o g e r s ， l c g ，z s h i 9 1 在1 9 9 5 年对亚式期权定价的估值进行了研究：在国内，j i a n g 和 d a i 在文献【1 0 】，z h a n g 在【1 l 】讨论了路径有关期权问题等，王峰，徐小平等【l 甜，陈 万义【1 3 等分别对b l a c k s h o l e s 期权定价模型进行了推广，使得更符合实际市场规律。 b l a c k s c h o l e s 模型给出了所有可以用标的变量定义的不同衍生证券的价格所 华北电力大学硕士学位论文 满足的偏微分方程，不同的衍生证券有着不同的边界条件。欧式期权的定价虽有显 式表达式【1 1 ，但解析解的形式较特殊和复杂，且不能进行快速的求解；特别是当所 研究的衍生证券没有精确解析公式时，研究其数值解有重要意义，期权定价问题数 值计算方面的研究，近年来也有较大的发展n 5 】。现在市场上存在的大量复杂衍生 证券，就常常找不到相应可行的解析公式来求解其价格，在随着计算机技术的飞速 发展，数值方法显示出许多优越性，所以数值方法就成为了一种相当重要的衍生证 券定价方法，因此，期权定价问题的数值计算方法的研究已引起了越来越多地人们 的关注 传统的数值方法包括有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) 、二叉树方法( b i n o m i a l m e t h o d ) 以及蒙特卡罗方法( m o n t ec a r l om e t h o d ) 【】等。k a r a t z a s ，i & s h r e v e ，s 讨 论了许多期权定价的数值计算问题，并分析了现有数值方法的缺陷和不足d 4 ；k b u r r a g e ，p m b u r r a g ea n dt t i a n i s 】，m u s i e l a ，m 和r u t k o w s k i ，m 1 1 6 讨论y 期权定 价的鞅方法( m a r t i n g a l em e t h o d ) ，虽然鞅方法也是研究期权定价的重要方法，但却未建 立起完善的理论依据；u l r i c h a n d e r s , o l a f k o ma n dc h r i s t i a ns c h m i t 1 7 1 则提出了在其他领 域中广泛采用的神经网络方法( a n nm e t h o d ) ，这实际上是神经网络与回归方法的结合， 因此在计算有时会出现不符合实际的结果或存在较大的误差。最近，j i a n g & d a i l 【1 8 , 1 9 1 在他们的论文中有研究了二叉树方法的收敛性等问题，并说明了在某些情形下二叉 树方法可能会出现不收敛的情况；张铁给出了美式期权定价的有限元方法【2 0 ，2 ，但 对于有限元法来说，存在一个网格剖分的问题。比如在美国股票市场股票价格变动 是以八分之一美元的间隔，而使用有限元法的网格剖分间隔在五美元时有比较好的 效果，因此需要使用插值拟合等方法，造成结果的不准确。如果网格剖分过大，使 得运算复杂度大大增强，还可能溢出计算机内存或者占用内存过大而导致计算速度 大大降低。在误差分析方面，黄建国，汪洋，叶中行吲给出了求解b l a e k - s c h o l e s 方程 时截断误差的分析，但他们也只是讨论了几种特殊情形的截断误差，并没有给出一般情 形的分析。 本文在现有结果的基础上从偏微分方程和期权定价的一般理论出发，对期权定 价问题数值方法进行了新的探索和研究，以克服现有数值方法的不足，我们希望能 够从最基本的理论和方法出发，寻求出更加行之有效的、实用的期权定价问题数值 求解方法。 第一章，我们首先对期权定价问题给出一个明确的表述，给出欧式期权定价 2 华北电力大学硕士学位论文 数学模型和公式较为详细的推导过程；第二章，以欧式看涨期权定价为例，给出求解 期权定价模型( b l a c k - s c h o l e s 方程) 的一种新数值方法，该方法对空间步长是2 阶精度， 分析了新格式的稳定性和收敛性，并通过数值算例验证了方法的实用性和可行性； 第三章，对b l a c k s c h o l e s 方程等价初值问题给出一种新的普遍性差分格式，它包含 了大部分常用的差分格式，其中c r a n k - n i c o l s o n 格式就是它的一个特例，并进行了相 应的稳定性收敛性分析和误差估计，最后用数值实验证明了该格式的有效性；第四章， 对亚式期权给出二叉树方法定价的具体过程，通过分析及数值算例表明该方法是 实用有效的。 3 华北电力大学硕士学位论文 第一章期权定价模型 1 1 期权定价基本理论 1 1 1 符号约定 s ：风险资产价格( 为简单计，本文都认为是股票价格) k ：期权的敞定价格( s t r i k ep r i c e e x e r c i s ep r i c e ) t ：期权的到期日( e x p i r yd a t e ) t ：时间变量 s ：在t 时刻风险资产价格 ， ：在丁时刻到期的投资的无风险利率( r i s k - f r e ei n t e r e s tr a t e ) c ：美式看涨期权的价值 p ：美式看跌期权的价值 c ：欧式看涨期权的价值 p ：欧式看跌期权的价值 ：期望回报率( e x p e c t e dr e t u mr a t e ) ( 常数) 仃：波动率( v o l a t i l i t y ) 1 1 2 基本假设 任何理论都建立在一定的合理假设基础上，反过来，这些假设的可靠程度又决 定了理论与现实的接近程度。在现代金融学领域，包括期权定价理论在内的各种金 融资产的定价理论，都建立在以下6 条关于金融市场一般特征的假设基础上： ( 1 ) 市场不存在摩擦。即，金融市场没有交易成本( 包括佣金费用、买卖价 差、税赋、市场冲击等) ，没有保证金要求，也没有卖空的限制。 ( 2 ) 市场参与者不承担风险。即，对于市场参与者所涉及的任何一个金融合 同交易，合同对家不存在违约的可能。 ( 3 ) 市场是完全竞争的。即，金融市场上任何一位参与者都是价格的承受者， 而不是价格的制订者。 ( 4 ) 市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好。 ( 5 ) 市场不存在套利机会，即，如果市场上存在套利的可能性，市场会使价 格迅速准确地进行调整，使得这种套利机会很快消失。无套利假设的成立需要一 定的前提，如市场必须是有效率的，并且不存在摩擦。无套利假设是期权定价理 论得以生存和发展的最重要的假设，在研究期权定价模型时广泛应用的无套利定价 4 华北电力大学硕士学位论文 原则正是建立在此假设基础之上。 ( 6 ) 关于股利的假设。这一概念包含了通常意义上的股利，即发行标的股票 的公司向其股东定期支付了通常意义上的股利，即发行标的股票的公司向其股东定 期支付的现金股利，我们称之为离散股利。对于标的资产为货币、股票指数、期货 等的非股票期权来讲，所谓的股利是指标的资产所有者在一侧面时间内，按一定收 益率所得到的报酬，如利息收入，因此它是一种连续的支付，我们称之为连续股利。 对股票来说，被定义为每股股票所得到的股利除以股票价格。对股票指数和货币等 金融资产来说，被定义为单位资产的年收益率。从总体上来说，无论是离散股利 或连续股利，其对期权价值的影响主要是通过影响标的资产的市场价格来实现的。 一般说来，由于股利发放后的除权作用，将使标的资产的市场价格下降，其结果表 明将对买权价值产生不同的影响。 1 1 3 期权价值的内涵 期权的价值等于内在价值和时间价值之和，其中，期权的内在价值是指期权盈 价的金额，即期权的多头从执行期权合同中得到的现金收入额。美式看涨期权和看 跌期权的内在价值a 和分别表示为 c i = m a x ( o ，墨一幻( 1 1 ) p i = m a x ( o , k 一墨)( 1 2 ) 而欧式看涨期权和看跌期权的内在价值应当调整为 c = m a x ( 0 ，墨一k e - r ( 7 哪) ( 1 3 ) = m a x ( 0 , k e - ( 7 “一s )( 1 4 ) 期权的时间价值是期权中所包含的灵活性价值，它源于期权买方相机抉择的权 利，在形式上则表现为期权价值减去内在价值的差。 1 2 布朗运动与伊藤公式 1 2 1 布朗运动( b r o w n i a nm o t i o n ) 1 2 3 | 定义随机变量r ( 国) ，( j = 1 ，2 ，一) ： 荆= _ ! 。篙 易知足( 功具有如下性质： e ( 足) = 0 v a r ( r i ) = 1 e ( r , r j ) = o ，( f 力 5 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 华北电力大学硕士学位论文 足与弓独立o d 从随机量r 出发，定义随机量砰= 酏以及随机序列醴， 醋= o 磷：圭砰：壹妇泌，( 七：l ，2 ，) ml = l ( 1 9 ) ( k = 0 ，1 ，2 ，) ： ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 考虑时间段o sr r - 细分【o ，明，令= 吾，= n a ，( n = o ，1 ，n ) ，从而有分割 0 = t o 0 = t 在【o ，刀上定义随机游动( r a n d o mw a l k ) s 6 ( f ) ： l醴t= 价泞跏譬霹 o j 2 ( ，) 称为随机游动的轨线( 路径) ( p a t h ) 。 容易得到( f ) 具有以下性质： ( 1 ) e ( s 6 ( ) 一s 6 e ) ) = o ( 2 ) v a r ( s 6 伉) 一s 6 ( ) ) = 占( 陋6 晓) 一s 6 ( 汗) = 性一i + d ( ) ( 3 ) e ( s 6 ( 乏) s 6 ( ) ) = m i n ( 毛，) + d ( ) ( 4 ) s a ( t k + o d - s 6 ( t d 与纯) 独立 其中= k a ，l s k o ；o s ，乏s 丁。 引理：中心极限定理( c e n t r a l l i m i t t h e o r e m ) 考虑随机序列 而1 r ，则当_ i 斗 i _ l 时 去善b 稍 ( 1 j 3 ) 这里随机变量x ( o ，1 ) ，即随机变量z 是服从标准正态分布( s t a n d a r dn o r m a l d i s t r i b u t i o n ) ； e ( 册= o ，v a r ( x ) = 1 。 应用中心极限定理，考察当a - - h 0 时s 6 ( f ) 的极限。 对于任意固定f ( s 有 形( o 一形( d n ( o , t 一曲 ( 1 1 5 ) ( 3 ) 增量独立形纯) 一纯。) ，形纯- 1 ) 一形8 。：) ，) 一形( ，i ) - qw ( t o 都是独立的 ( o t t f 2 ) 适合性质( i ) 一( 3 ) 的随机过程w ( o ( 简写为彬) 成为b r o w n 运动或w i e n e r 过程。 1 2 2 原生资产价格演化遵循的随机过程1 1 1 用二叉树可以离散地刻画原生资产价格的演化过程1 句】，基于此，我们考察原 生资产价格演化的连续模型，以便为以后的t 作提供理论依据。 为此，引迸原生资产价格的贴现值g ： g = 鲁 ( 1 1 6 ) 以及相应的无风险资产的贴现价格，此时无风险利率r = o ，= 1 + r + a t = 1 。 事实上，设n ，是无风险资产， l - l , + u = p ，= 等兀， ( p = 1 + ，f )( 1 1 7 ) 故 兀i = 瓦h t + t = 面l i t = n ： 即对于无风险资产的贴现价格，p + = l ，= 0 。 对于g ，在i t , r + 出】时段，二叉树模型可以表述为 ( 1 1 8 ) 华北电力大学硕士学位论文 譬告 设谢= 1 ，令 兰；p 一压+ d ( 出) ，旦= p 一压+ d ( 址) pp 其中口为常数，它表示原生资产的贴现价格的波动率。 对于鞅铡度q ：，吼，有 吼= 当= 糍= 万1 - e 而- 析+ o ( a t ) = 1 ：+ d ( 面 蠢：i + d ( 面 2 j + d ( 甜) ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) 因此如果忽略址的小量，在i t ，t + a t 】时段内原生资产的贴现价格的波动，上扬与f n 具n n n 的概率，他们都是 而它的回报 警= 器三二端。= ，- 舞篇2 2 ， 因此不计a t 的高阶小量，我们有 篮墨：盯硫( ) ( 1 2 3 ) ( 丑( 功的定义见前一小节) 由t a y l o r 展开，由于丛= 殴。一g 是小量，因此 篮铲刈+ 篮铲) + l 掣) 2 + 。m ) 即不计a t 的高阶小量 h 等2 盯廊( 咖 口2 ( 1 2 4 ) 根据定义= l ，岛= 1 ，因此在对【o ，r l 静l # 以后，在每一个分点t = ， 】n = 1 n p 吨- = 仃砰一圭盯2 t ( 1 2 5 ) l o i - i 1 1 1 即 华北电力大学硕士学位论文 i n & = 】n + i n b , = 嘎+ 盯掣一 盯 ( 1 2 6 ) 把它用线性插值连成“路径”，并记作弘( r ) ，那么 l i l 6 ( o = ( r 一要) r + c r s 6 ( f )( 1 2 7 ) 其中酽( f ) 定义在前一小节。令分专0 用s ( f ) 记争( f ) 的极限函数，根据前一节的结论， 我们有 l n 孚：( ，一乌r + o w ( t ) (128)2 瓯 、7”7 即 s o ) ：s o 芦手”螂( 1 2 9 ) 其中品= s ( 0 ) 。 这表示原生资产价格演化作为一个连续的随机过程，它的对数是用b r o w n 运动 来刻画，故称原生资产价格双磅适合几何b r o w n 运动( g e o m e t r i cb r o w a i a nm o t i o n ) 1 2 3 二次变差定理1 1 1 用b r o w n 运动刻画的粒子运动的每一条轨线都是连续的，但是它却是一条处处 不可微的曲线。 假如v ) c 1 【o ，t 】( 即在【o ，明上一次连续可微) ，则_ ，( f ) 的二次变差( q u a d r a t i c v a r i a t i o n ) 必趋于0 。 设【o ，7 1 上给定函数f ( t ) ，在【0 ，明上定义一个剖分n ： 0 = t o o ( 0 ) 表示在t 时刻买进( 卖出) 该风险资产的份额。问：在给定的交易策略下，该投资人在f = t 时刻的总收益为多 少? 剖分【o ，t 】：0 = t o 0 = t 假设交易只在时间t = ( k = 1 ，2 ，n ) 进行，则在f = 时刻进行交易，在t = 气“ 时刻所获的收益( 损失) 为 ，也) 【。一睨】 从而整个时段 o ，卅上的总收益 1 0 华北电力大学硕士学位论文 厶= 厂q ) 【一睨】 ( 1 3 6 ) 由于投资人决定自己的投资策略时，对风险资产未来价格的走向没有任何信 息，对于这样的投资策略加) ，称为是非预测的( n o n - a n t i c i p a t i n g ) 。 定义： 若，o ) 是非预测的随机过程，它使得 嬲厶2 妞荟，纯) 【一睨】 ( 1 3 7 ) ( a = 。m 。a x 一( t k + , 一) ) 存在，并与剖分无关的唯一极限，则称这个极限值为，( f ) 的i t 6 积分，记作f f ( t ) d l e t ，即 r 厂( f ) 媚= 躲荟n - i ，n 峨。一睨】( 1 3 8 ) 由于b r o w n 运动的二次变差不为0 ，因此i t 8 积分的结果与普通积分的结果是 不一样的。且我们知道函数的微分是函数增量的线性主部，由于b r o w n 运动的二次 变差定理，因此对于由随机过程形成的复合函数，它的增量的线性主部将出现新的 内容。下面将介绍随机分析中复合函数求微分的法则：i t 6 公式。 定理1 2 ：( i t 6 公式) 设k = 矿 ，f ) ，y 是二元可微函数。若随机过程s 适合 微分方程 d 霉= ( 墨，力西+ 仃( s ，d d 形 ( 1 3 9 ) 则 彤= 学+ 盯2 ，t ，o 瓠2 v 。渺+ 詈嚣 = 学+ ，f ) 西o v + 盯2 ，) 爱毋+ 盯 力詈形 ( i 4 0 ) 详细证明过程请参见文献 2 3 1 ，这里不再累述。 1 3 期权定价的数学模型 1 3 1b i a c k - s c h o l e s 微分方程的推导m 由于理论往往趋于理想化，简单化，而实际情况却往往是比较复杂的，因此理 论必须建立在一定的假设基础之上的。b l a c k s c h o l e s 微分方程也不例外，除了前面 对金融市场作过的假设之外，再作如下假定： 华北电力大学硕士学位论文 ( a ) 证券交易是连续的； ( b ) 允许使用卖空衍生证券的全部所得； ( c ) 无风险利率为常数且对所有到期日都相同； ( d ) 标的资产价格遵循几何b r o w n 运动： a 。s , = z c o + 耐形 ( 1 4 1 ) o t 识是标准b r o w n 运动( s t a n d a r db r o w n i a nm o t i o n ) ， z ( u w , ) = 0 ，v a r c a v 6 ) = d t( 1 4 2 ) 问题：设矿= v ，t ) 是期权价格，它在期权的到期日t = t 时 郴肛 ：墨：淼 n 4 ， 求在期权的有效期内它的价值。 我们利用一对冲( 一h e d g i n g ) 原理，给出期权定价的数学模型。 形成投资组合： 1 7 = 矿一岱 ( 1 4 4 ) ( 是原生资产的份额) ，选取适当的使得在o ，t + c o ) 时段内，1 1 是无风险的。 设在时刻t 形成投资组合n ，并在时段o ，t + c o ) 内，不改变份额，那么由于n 是无风险的，因此在时刻f + 毋，投资组合的回报是 肇粤：r d t ( 1 4 5 ) n ”。 即 d r , - a d s , = ，r i , 出= ，( k - a s , ) c o ( 1 4 6 ) 由于 k = 矿( 墨，d 其中s 是由随机微分方程( 1 4 1 ) 确定的随机过程，因此由i t 6 公式 晔学巾2 s 2 豢椰詈m 盯等彤 ( 1 4 7 ) 将( 1 。4 7 ) 代入( 1 4 6 ) 得到 学+ a 2 s 2 窘+ z s 西o f 一v u s ) c o 巾著- a c r s 朋( 1 4 8 ) = r ( v - a s ) d r 由于右端是无风险的，因此等式左端随机项d 彬的系数必为0 ，即选取 华北电力大学硕士学位论文 a ：罢 ( 1 4 9 ) 嚣 、。 将它带入( 1 4 6 ) ，并消去西得到 竺0 t 22 s 2 警+ 心詈卅= o ( 1 5 0 ) a 舔 于是，得到了刻画期权价格变化的偏微分方程- - b l a e k - s c h o l e s 方程。 1 3 2 欧式期权的定价公式 通过求解b l a e k - s e h o l e s 方程，可以得到期权定价的公式。对欧式看涨期权，定 价公式为 c ( s ，f ) = s n ( d t ) 一缸“( 如) ( 1 5 1 ) 人们称它为b l a e k - s c h o l e s 公式，其中 喀= 西一盯再 ( 1 5 2 ) n ( x 1 为标准正态分布的累积概率分布函数( c u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ) 。 对于欧式看跌期权，由平价公式 只= c t + 妇一7 口。一s = f 艮”7 。【l 一( 毛) 卜s t l - n ( 4 ) 以及 1 一( 碣) = 去i 如= 7 杀e e 如= ( 一暖) 它的定价公式为 p ( s ，f ) = k e 一“7 。( 一吃) 一s n ( - 4 ) ( 1 5 3 ) 华北电力大学硕士学位论文 第二章b i a c k - s o h o i e s 方程的一种新数值方法及分析 本章我们将给出求解期权定价模型( b l a c k - s e h o l e s 方程) 的一种新的数值方法， 大体思路是，首先将b - s 方程通过适当的自交数等价代换变为一个定义在全空间上 的标准的抛物型偏微分方程，然后利用二阶微商三次样条四阶逼近公式对转化后的 抛物型方程建立了一个稳定的差分格式，再通过f o u r i e r 分析方法证明格式的稳定 性，用追赶法求解差分格式后，将所得结果回代就得到要求的期权的价格，数值算 例表明运用此数值方法来计算期权的价格是可行的。 2 1 二阶微商三次样条四阶逼近公式 为了方便，我们以0 ，l ，2 ，3 分别代表点o ，力，o + | i l ，力，( x ，y + 七) ，( x - h ，y ) ，用 u ( i ，j ) 和吻分别表示” ，乃) 的精确值与近似值。在x 轴方向将三次样条插值公式应 用到点0 ，l ，3 上，则有 丢m + 詈+ 丢鸩= 吉“+ + u 2 ) 其中m = ( ) 。，扛o l ，3 。 将上式在0 点进行t a y l o r 展开，得 = g 力一( _ 1 1 2 1 2 ) u , = ( i ，j 3 + o ( h 4 ) ( - h 2 1 2 沁。仗歹) 保留，并根据标准三点中心差分逼近公式，将封一，力离散为 “。嬲o ，) = o h 2 ) 【o 一1 ，d 一2 。k ( f ，) + t k o + l ，) 】+ d ( 矗2 ) 则我们可以得到 ( m ) 。一i + l o ( u , j 。，+ ( z k ) 件1 = ( 1 2 h 2 ) ( ，l j 一2 坼，+ “l ) 即 ( x + 1 0 ( ”辩) o + ( ) i = ( 1 2 h 2 ) ( 蚝- 2 u o + 屿) ( 2 o ) 此( 2 o ) 式就是所谓的二阶微商三次样条四阶逼近公式【2 4 l 。 2 2 数值格式 为了确定在合约有效期 0 , t 】内看涨期权的价值，就要在区域 o s 根据期权实际意义补充边界条件为： l i i r i 塑业；l s 呻。 s v ( o ，0 = 0 对方程( 2 1 ) 作自变数代换： s = 肠，= r 一a l 2 1 2 v ( s ，d = 足鼎“一三( a l h 一丢( a + 1 ) 2 f ) ” ，r ) 2 7 瓦 定解问题( 2 1 ) 转化为一个标准的抛物型方程的定解问题： ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 丝一堡：o 打缸2 ( 2 4 ) 甜 ，o ) = m 瓢 麟p 畦+ 1 ) 一既p ( 圭( a 一1 ) 功，o ) 相应的边界条件( 2 2 ) ( 2 3 ) 可化为： l i m 唧。抄u 岍( x , + o 再丽2 1 “”c x p ( 去( a + 1 ) x + 去( z + 1 ) 2 f ) ( 2 5 ) l i m “o ，r ) = 0 ( 2 6 ) 因空间项x 为无界域，必须截断方能进行实际计算，我们采用传统的截断方法：取 m ，m + 为充分大的正数，定义( 2 5 ) ( 2 6 ) 为： “似+ ，r ) “c x p 哇( 旯+ 1 ) 肘+ + 丢( 旯+ 1 ) 2 r ) ( 2 7 ) u ( m 一，f ) 0 ( 2 8 ) 至此，我们得到一个抛物型方程的初边值问题： 肘一s x s m + ，o s r 手n 华北电力大学硕士学位论文 丝一堡：o o ra x 。 “ ，o ) = m 强 既畦 + 1 ) d e x p ( 丢( 五一1 ) 砷，o ) ( 2 9 ) 材+ 力“e 畦( 兄+ 1 ) m + + ( a + 1 ) 2 f ) u ( m 一，f ) 0 在忽略误差后，以上变换均是等价的，故只要对( 2 9 ) 进行数值求解即可。首先， 将求解区域 材一s x s 吖+ ，o s f 譬d 离散为步长分别为而= 等，未= ! 等丝的小 区间。在x ( j - 1 ) h ，u + 1 ) 聊，- ，= l ，2 ，( p 一1 ) ；f 加七，( 疗+ 1 ) 七】，撑= 0 , 1 ，n 一1 小区间内，根据二阶微商三次样条四阶逼近公式( 2 o ) ，则有： h + l o ) + 帆h = 詈( 一2 u j + u j + 。) ( 2 1 0 ) 在区间 ( j - o h , u + 1 ) h i 内由( 2 9 ) 中第一式可得： ，) - i = ( k ) q 1 0 ( u ，) ，= l o ( u a ) 以) 川= ( 五+ - 将以上三个式子相加得到： ( 材，) j - l + l o ( u ，) j + ( 甜。) + l = ( z o ) ，- l + l o ( 1 0 l + ( 1 ) “ ( 2 1 1 ) 由( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 推得： ( u r ) 1 - l + l o ( q ) j + ( 心h = 罟( 一2 u j + ) ( 2 1 2 ) 现对( 2 1 2 ) 式用向前差分对f 离散化，于是 牟n + 1 0 拦p 牟h 。= 秽6 n + l 督婶1 - 2 帅搿球。) j “- i 一巧n 一。+ 1 0 ( “，一u t ) + ( 嘣一蠕) = 菩( 喇+ 一n 一2 叶n + i 一2 彬+ ，n + l + “二。) 令，：妻并整理上式得到格式： ( 1 6 r ) “筒+ 2 ( 5 + 6 ，) 矿+ 1 + ( 1 6 r ) 巧n “+ l = ( 1 + 6 r ) 二1 + 2 ( 5 6 r ) u ；+ o + 6 ，) 盖i ( 2 1 3 ) 将式( 2 9 ) 中的初边值条件离散化得到： 矿= m a x e x p ( 1 ( , 2 + 1 ) j h ) 一e ) 中0 ( a 一1 ) j h ) ，o ) ，_ ，：o ，l ，p ( 2 1 4 ) 1 6 华北电力大学硕士学位论文 睇z e ) 【畦( a + 1 ) m + ( a + 1 ) 2 础) ，雅= 0 , 1 ，2 ， ( 2 1 5 ) 屿z o ，刀= o ，1 ，2 ，n ( 2 1 6 ) 因格式( 2 1 3 ) 只涉及到3 个网格点，故可以采用追赶法直接求解一个三对角方程 组得到解。 下面考察格式( 2 1 3 ) 的精度，即考虑截断误差r ( x ，f ) ： 丁( 墨f ) = ( 1 6 r ) u ( x h ，r + k ) + 2 ( 5 + 6 r ) u ( x ，f + j ) + ( 1 6 r ) “( x + 见f + 露) ( 1 + 6 r ) u ( x h ，f ) 一2 ( 5 - 6 r ) u ( x , r ) 一( 1 + 6 r ) 甜( x + 甄f ) 对t ( x , o 在f ) 进行t a y l o r 展开有： 丁( 马f ) = 烈矿+ 动 所以格式( 2 1 3 ) 在时间f 方向可以达到一阶精度，空间x 方向二阶精度。 2 3 稳定性和收敛性分析 对差分格式( 2 1 3 ) ，我们采用f o u r i e r 分析法研究其稳定性。 令 ：= 矿p 螂，j - 一1 为虚数单位，而g 是波数，并将它代入格式( 2 1 3 ) 得到： ( 1 6 r ) 一e 勾。q 6 + 2 ( 5 + 6 ，) 1 ，j ，“p 硼+ ( 1 6 r ) v “+ 1 b 畸( p 1 m = ( 1 + 6 r ) 1 ，| e 幻u - 1 6 + 2 ( 5 6 r ) v e 姆h + ( 1 + 6 ，) v ”e 勾j “汕 经过化简整理得 ( 1 - 6 r ) e 一蛐+ 2 ( 5 + 6 ，) + ( 1 6 r ) e 蛐 v ”1 = ( 1 + 6 r ) p 一舭+ 2 ( 5 6 ，) + ( 1 + 6 r ) e n h y = 嚣嵩0 黑6 r ) c 蚴o s ( q h ) 矿 ( 2 1 7 ) ( 5 + 6 r ) + 一 由此我们得到增长因子为 go，七)：(5-6r)+(1+6r)eos(qh)：=5+eos(qh=)-6-rl-cos一(qh)(218) 。( 5 + 6 0 + 0 6 r ) e o s ( q h ) 【5 + c o s ( q h ) 】+ 6 r f l c o s ( q h ) 其中，= 去 显然i g o ，七) l s l ，即满足v o n n e u m a r m 条件【2 5 1 ，故格式( 2 1 3 ) 是无条件稳定的。 由于这里讨论的是常系数线性偏微分方程，从而，根据l a x 等价性定理【2 习有： 定理2 1 b l a c k - s c h o l e s 方程等价初植问题( 2 9 ) 的差分格式( 2 1 3 ) 是收敛的。 华北电力大学硕士学位论文 2 4 数值算例 分别考虑一个不付红利股票的3 ，6 ，9 ，1 2 个月期欧式看涨期权，股票当前价 格为8 0 美元，敲定价格为1 0 0 美元，无风险利率为每年5 ，波动率为每年4 0 ， 用符号记为：s = 8 0 ，k = 1 0 0 ，t = o 2 5 ，0 5 ，0 7 5 , 1 ，= o 0 5 ，盯= o 4 0 。 首先，将b l a c k s c h o l e s 方程( 2 1 ) 通过自变数等价代换转化为抛物型方程( 2 4 ) ， 然后建立差分格式( 2 1 3 ) ，由于( 2 1 3 ) 只涉及到3 个网格点，故具体运算时可采 用追赶法求解，最后，将所求的结果回代，即得要求的期权价格。现在分别取充分大 的正数m = 1 0 0 ，2 0 0 ，然后，取p = 5 0 0 ，n = 1 0 在m a t l a b 环境下进行数值运算，并与用 b l a c k s c h o l e s 公式( 1 5 1 ) 计算出的准确值相比较，结果如下： 表2 1 、欧式看涨期权定价的估计 相对误差 t ( 月) m = 1 0 0 时，近似值c m - - - = 2 0 0 时，近似值c 准确值c m = 1 0 0 时m = 2 0 0 时 31 3 2 1 2 7 21 3 2 6 3 7 l1 3 3 2 6 8 4 0 0 0 8 60 0 0 4 7 63 6 5 3 1 5 03 6 0 2 5 6 83 5 4 6 3 1 70 0 3 0