（基础数学专业论文）一类无界函数的变分原理.pdf

摘要 本文主要研究了定义在b a n a c h 空间上在在每个有界集上有下界 但在整个空间上可能无界的广义实值下半连续函数，的变分问题 我们知道，关于函数的变分问题几乎都以有下界为前提条件，但是， 无下界的变分问题几乎无人研究骆道忠研究了一类无下界函数的 变分问题 本文就是在骆道忠的基础上继续对这类问题进行讨论首先，我 们证明了，可以加上一个单调函数，连续凸函数，可微凸函数使它 转化为有界函数其次，我们又证明了如果，和一个大于0 的连续 函数圣的比值在i _ + 时大于一个常数那么，一a 圣必有下 界然后再利用有下界的变分原理，即得到无界函数的变分原理 本文首先回顾了变分原理的发展过程和一些重要成果，接着对 本文所要用到的一系列基本概念作了一个简单的介绍最后，介绍 了本文的主要结果 关键词：b a n a c h 空间；下半连续；伊可微；变分问题 a b s t r a c t i nt h ep r e s e n tp a p e rw ei n v e s t i g a t et h ev a r i a t i o n a lp r o p l e mo fe x t e n d e d r e a l v a l u e dl o w e rs e m i c o n t i n u o u sf u n c t i o n sd e f i n e do nr e a lb a n a c hs p a c e st h a t a r el o w e rb o u n d e do ne v e r yb o u n d e ds e t ，b u tm a yb en o tl o w e rb o u n d e do n t h ew h o l es p a c e a sw ea l lk n o w ，t h ev a r a t i o n a lp r o b l e ma b o u tf u n c t i o n sa l - m o s th a st h ep r e r e q u i s i t eh a v i n gl o w e rb o u n d ，h o w e v e r ，t h ev a r a t i o n a lp r o b l e m w i t h o u tl o w e rb o u n dh a sn o tb e e ns t u d i e dw i d e l y l u od a o z h o n gs t u d i e da d a s so fv a r i a t i o n a lp r o b l e m so ff u n c t i o n sw i t h o u tl o w e rb o u n d s t m sp a p e rd i s c u s s e st h ev a r i a t i o n a lq u e s t i o n sc o n c e r n i n ga b o u tal o w e r s e m i c o n t i n u o u sf u n c t i o nw i t h o u tl o w e rb o u n d f i r s t ，w ep r o v et h a ta d ( 1 i n gt oa m o n o t o n i c a lf u n c t i o n ，o rac o n t i n u o u sc o n v e xf u n c t i o n ，o rad i f f e r e n t i a lc o n v e x f u n c t i o nc a nt u r n | i n t oal o w e rb o u n d e df u n c t i o n s e c o n d l y , w ep r o v et h a t t h er a t i oo f | a n d 圣w i t h 圣 0i sl a r g e rt h a nac o n s t a n tu n d e rt h ec o n d i t i o n 0 zl - - - - 4o o t h e n ，一a 圣h a sal o w e rb o u n d u s i n gt h ev a r a t i o n a lt h e o r e m w i t hl o w e rb o u n d ，w eg e tt h ev a r a t i o n a lt h e o r e mo f f u n c t i o n sw i t h o u tb o u n d i nt h i sp a p e rw ef i r s tr e v i e wt h ed e v e l o p e n ta n ds o m es i g n i f i c a n tr e s u l to f v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e t h e nw es i m p l yi n t r o d u c et h en o t i o n st h a tw i l lb eu s e d i nt h i sp a p e r t h e nw ei n t r o d u c et h em a i nr e s u l to ft h ep a p e r k e yw o r d s ：b a n a c hs p a c e ；l o w e rs e m i c o n t i n u o n sf u n c t i o n ；b - d i f f e r e n t i a b l e ； v a r i a t i o nq u e s t i o n 1 1 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究 成果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由 此论文而产生的权利和责任。 责任人( 签名) ：枸l 霄客 沙曰7 年秒臼伊 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用 本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) 。 ( 请在以上相应括号内打 ”) 日期：泐_ 7 年。6 月仟日 日期：叩年7 月石日 一类无界函数的变分原理 第一章引言昂一早ji 舌 变分问题有着悠久的历史，下面我们看两个例子，首先是等周 问题，即在给定周长的所有曲线中，求一条曲线，使它围成的面积 最大另一个是最速降线问题，即要求一条从定点到不在其垂直下 方的一点的曲线，再不考虑空气阻力和摩擦力的情况下，使得质点 沿着这条线从定点到另一点所用的时间最短这个问题产生与十七 世纪这两个问题可归结为一种提法，即要求函数秒= ，0 ) ，使得 秒= 解f ( x ，s ，y ) d x 达到最小值，这两个问题虽然不足以名垂千古，但 它却导致了古典变分法的产生，而随着变分法产生的还有集合论， 积分方程，正是以此为背景导致了泛函分析的产生 在泛函分析中，变分问题更是起着至关重要的作用，它在许多数 学分支中都有所涉及，并且日益显现出了它的重要性，如控制论， 决策论，数学规划，生物数学与生物工程，金融数学与金融工程领 域都有很多问题要考虑变分问题 众所周知，定义在无穷维b a n a c h 空间上的各种类型的变分定理 在非线性分析中有着至关重要的作用，因此，数学变分问题的理论 研究就引起了人们的极大的关注 一般来说，变分问题就是扰动问题，就是给予一个广义实值真函 数，和 0 我们要求有个l i p s c h i t z 函数h 拥有小于s 的l i p s c h i t z 范数，使得，+ h 取到最小值自然，必是下半连续和有下界的函 数比如b i s h o p - p h e l p s 4 】变分定理，扰动函数可取矿e x 。，且它的 泛数可以任意小b i s h o p - p h e l p s 变分定理在b a n a c h 空间几何理论 中起着非常重要的作用，它说明每个b a n a c h 空间都是次自反的，除 了研究泛函达到它的最小值外，还研究了算子达到它的泛数问题 l i n d e n s t r u s s 研究了这方面的问题而后又进一步提出具b i s h o p - p h e l p s 性质的b a n a c h 空间问题但这个变分定理只限x 中的函数1 9 7 4 年，e k e l a n d 正是在此基础上给出了真正意义下的变分原理一e k e l a n d 变分定理 5 】5 它实用于任何有下界的下半连续函数它的扰动函 一类无界函数的变分原理 2 数可取为e f i 一勋0 的形式，这里黝为x 的元素这个扰动函数的 l i p s c h i t z i a n 范数可任意小，并且它的严格最小值可在黝附近取到 这一事实在不动点定理，非线形半群，非线形分析的各个方面都有重 要的作用可以说它为无穷维b a n a c h 空间的优化开辟了道路，之后 变分定理的发展就一发不可收拾例如，正是天才的运用了e k e l a n d 变分定理证明了b o r e i n s 定理，正是运用e k e l a n d 变分定理说明了一 个胁d l e t 光滑的b a n a c h 空间是a s p l u n d 空间【6 】1 9 9 7 出现了非凸最 小值问题，而e k e l a n d 变分定理对它的解决比较接近这就更引起了人 们对它的关注，出现了很多有关它的概念和等价形式【7 - 2 1 】，并且对 它进行了推广 7 ，1 0 ，1 3 ，1 7 ，1 8 ，2 2 ，2 3 】2 0 0 5 年j i n g h u iq i u 2 4 】正是在研 究局部凸空间中，运用了出现在e k e l a n d 变分定理中极值点的稠密性 解决了这个问题 然而，e k e l a n d 变分定理虽然拥有巨大的用处，但也有不足的地 方，那就是扰动函数不具可微性，这就给我们的运用带来了极大的不 便当b a n a c h 空间x 具有光滑性，就是它拥有等价的泛数除零点外 是p 可微的或b u m p 函数在它的支撑集上是p 可微的要解决这个问 题，就必须要求扰动函数具有p 可微性1 9 7 8 年s t e g a l l 首先给出强 变分定理【2 5 】，扰动函数可以是线性泛函，且范数可以任意小，所讨论 的函数必须是强制性的，且所定义的空间x 必须具有r n p 性质，这 就给我们的应用带来极大的限制，因为象匈这样重要的b a n a c h 空间 不具有r n p 性质这就迫切需要新理论的诞生，1 9 8 7 年b o r w e i n 和 p r e i s s 给出了光滑变分定理【2 6 1 ，它不需要加任何条件当然x 必须 拥有等价光滑范数它的形式比较优美，有很大的应用前景，例如， 它在可微性方面大显身手，它说明了拥有g a t e a u xd i f f e r e n t i a b l e 范数 的空间必是g a t e a u xd i f f e r e n t i a b l e 空间。它在次可微方面也有重要用 途【2 7 - 2 9 】1 9 9 3 年d e v i l i e ，r ，g e o m e t r y ，g z i z l e r ，v 给出了光滑变分原理 【3 0 】，它实际上是b o r w e i n p r e i s s 变分定理的推广它的扰动函数可 拥有l i p s c h i t z i a n 光滑性它说明了无穷维b a n a c h 空间上的h a m i l t o n - j a c o b i 方程解的存在性和唯一性【3 1 】1 9 9 6 年，m f a b i a n ，p h a j e k 和 j v a n d e r w e r f f 继续这方面的工作解决了d e v i l l e ，r ，g e o m e t r y , g z i z l e r ，v 一类无界函数的变分原理 3 变分定理没有解决的问题，拥有一个俨光滑或者个h o l d e r - 光滑 的变分定理的空间必是超自反的如果x 拥有f r e c h e t 光滑范数，那 么就有f r e c h e t 可微范数在固定范数的单位球上取到它们的最小值 另外，e k e l a n d 变分定理和b o r w e i n - p r e i s s 变分定理随有相同之处，但 并不包含e k e l a n d 变分定理，李永新和史树中建立了变分定理【3 2 】， 即包含e k e l a n d 变分定理也包含b o r w e i n - p r e i s s 变分定理2 0 0 0 年 a h a r o na t z m o n ，g i u e sg o d e f r o y 利用光滑变分定理，通过定义在拥有 g a t e a u x 光滑范数的b a n a c h 空间上的g a t e a u x 光滑函数说明一定的 线性算字子拥有非平凡的不变子空间【3 3 2 0 0 5 年m a r i a nf a b i a n ， c a t h e r i n ef i n e r 改进s t e g a l l 变分定理说明定义在b a n a c h 空间上的强 制，连续，有下界的函数扰动之后取得最小值，那么这个空间是可 凹的【3 5 】还有，j o n a t h a nm b o r w e i n ，j a ys t r e i m a n ，q i j ij z h u 也对光 滑变分定理的应用作了重要工作 但是，上面所说变分原理不满足强变分性质，就是定义在有界 集c 上的下半连续广义实值函数，我们不仅要求m a x v ( f + g ) 存 在，还要求对任何 ) 鲁1cc ，只要( ，+ 9 ) ( ) 一m a x v ( f + g ) 就有 一x 0 s t e g a l l 和f a b i a n 3 6 】在一定的b a n a c h 空间子集上建立了强变 分原理确切地说，都是定义在b a n a c h 空间上的有下界的下半连续 函数，它的有效定义域是有界的，它的闭凸组合有r n p 性质，对每 个这样的函数，扰动函数取线性范函矿x + 且满足忪0 一o o ，然后利用有界函数的变分原理，可得 到相应的结论 一类无界函数的变分原理 5 第二章正文 昂一早止义 2 1基本概念和定义 为方便读者，我们把凸分析的一些基本定义和概念介绍如下： x 表示b a n a c h 空间，x 表示x 的对偶空间，d o m f 三【z ：f ( x ) o o ) 表示函数的有效定义域；b ( z ，r ) 表示b a n a c h 空间x 中以z 为 中心，为半径的球；b ( r ) 表示空间中以原点为中心，r 为半径的 球；留表示x 上的一个伊囿；0 表示定义在x 上所有形如下列形 式的实值函数秽族：o ( z ) = i 1 墨l 肛n 忙一1 1 2 其中脚= 1 ，0 ， n = 1 ，2 ，3 ， ) 是】cx ，一 定义2 1 1 【勰l 定义在非空开凸集dcx 上的一个广义实值函数 ，称为凸函数，如果比，秒d 及0 入1 有f ( , x x + ( 1 一a ) y ) 入，( z ) + ( 1 一a ) ，( 秒) 定义2 1 2 嘲设，：x 一风j + ) 为广义实值函数 i ) f 称为真函数，如果，不取一o o 值且其有效定义域锄，三 z ： f ( x ) 0 和每个s 历，劭 0 ，8 t 当0 t 0 ，且 c r a ( x ) = s u p ：z a 同样a 若为x + 中的非空集合， s ( x ，a ，q ) = z a ： a a ( x ) 一q ) 这里z x ，a 0 ，且 ( z 。) = s u p ：z a 】- 定义2 1 8 1 镐i 如果一个非空集合有半径任意小的切片，就称为可 凹的，意思是对ve 0 ，j 矿x 和a 0 ，使得d i a m s ( x ，a ，口) 0 ， x o d d m ( ，) ，0 a 1 ，若f ( x o ) 0 ，a 0 ，x o d d 仇( n 若( x o ) ( v ) + 2 e a 2 0 c v ) ； i i ) i i x o u 0 0 若满足 ，( 黝) 0 ， ，( 砍) + n - - - - - - - o 矗p ( 磁，) ，( 如) i 警( ，) + e 拖砍，( z ) + 晶j d ( 磁，) ，( 磁) + 矗p ( 欢，) n = on = o 若如 0 ，乃= 0 当j 七0 时那么有 k - 1 k - 1 比露，3 m 南，( z ) + 文p ( z ，如) + ( z ，) ，( 致) + 却( ，x , t ) + 6 k p ( x e ，) 一类无界函数的变分原理9 2 2主要结果 为了将上述变分原理推广到一类无下界的下半连续广义实值函 数，我们首先要证明下面定理 定理2 2 1 设f ：x _ 只u + o o ) 为下半连续广义实值函数，且对 任何有界集bcx ，i n f b f 一0 0 则必存在 i ) 矿上的单调不减函数t 使得i n f x ( f ( x ) + u ( 1 l z l l ) ) 0 ； i i ) 兄+ 上的连续凸函数钉使得i i l f x ( 1 ( z ) + v ( 1 l x l l ) ) o ； i i i ) r + 上的连续可微凸函数叫使得i n f x ( f ( x ) + w ( 1 l x l l ) ) 0 特别地，当i n f xf 一时，我们只须取u = t ，= 仰三一i n f x ， 当i n f x f = 一o o 时，v x o d o m f ，v c 0 ，我们可分别取上述札，口，如使得 口) i x n f ( f ( x ) + u ( 1 l x l l ) 2 i n f ，。) ( f ( x ) + u ( 1 l x l l ) ) = 0 6 ) 5 f ( ，( 动+ 移( f l a i l ) = i n f 6 ) ( m ) + 彭( 1 l z l l ) ) = o c ) 1 譬( 他) + 锄( ) 2 i n f 占) ( m ) + 伽( ) ) = o 证明：a ) 不妨设x o = 0 ，f ( x o ) = 0 ，令- u ( r ) = i n f b ( ，) ，( z ) ，( z ) + u ( 1 l x l l ) 0 ，厂( o ) + t ( o ) = 0 ，则1 魄 0 ，1 饰 0 ，有i n f x ( f ( x ) + t ( 1 l x l l ) = i n f b o b o1 ( ，( z ) +) = b ) 不妨设x o = 0 ，f ( x o ) = 0 ，对上述e 0 ， z ：f ( x ) f ( x o ) 一e ) 是开集因此存在万 0 ，使得z b ( x o ，6 ) ，有f ( z ) f ( x o ) 一c 对 上述6 0 ，取q 0 ，使得当恻i 6 时，有q | - i 1 定义 一类无界函数的变分原理 1 0 危( r ) = 一i n f b ( ，) ，( z ) ， ( t ) = 譬。h ( r ) d r 当i l x l l 6 时，有 f ( x ) + v ( 1 l x l l ) = ，( z ) + h ( r ) d r ，( z ) + h ( r ) d r r a l l z l l ，i l x l l ，( z ) + h ( 1 l x l l ) d r f ： l i z l l j 1 1 ：4 m ) 一掰1 ) m ) 0 ，( 勋) + v ( 1 l z o l f ) = 0 i x n f ( f ( x ) + - ( 1 l x l l ) 2b 舞( 他) + v ( 1 l 圳= o c ) 不妨设x o = 0 ，f ( x o ) = 0 ，f 下半连续，对上述e 0 ， z ： f ( z ) f ( x o ) 一e ) 是包含x o 点的开集，则存在6 0 ，当z b ( x o ，j ) 时，有f ( x ) f ( x o ) 一e 对上述e 0 ，取q 0 ，使得i i x l i 6 时， 有, 1 l l z l l i l x l l 、压，令 ( r ) = 一i n f b ( r ) ，( z ) ，叫( 亡) = f oh ( r ) d r d s ，当 i i x l f 讵时，有 f ( x ) + 叫( 1 1 z i i ) = f ( z ) + 叫陋” 。h ( r ) d r d 8 m ) + a l l 础。h ( r ) d r d s ，( z ) + h ( 1 l x l l ) d r 弛) 一扣一) 2 赫i ) m ) 0 。f ( x o ) + v ( 1 l x o l l ) = 0 i x n f c f ( x ) + 伽( 忙i i ) 2b 酷) ( 他) + 叫( ) ) = o 证毕 口 推论2 2 1 设f ：x _ ro + o 。) 为下半连续广义实值函数，且对 任何有界集bcx ，i n f bf 一o o v c 0 ，x o d d m ，0 a o , g g o d o m f ，根据定理2 2 1 的证明，我们知 道必存在连续凸函数移( z ) ，使得 ，( 勋) + v ( x o ) 一o o v c 0 ，x o d o m l ，0 0 ，厶0 ，n = l ，2 ，3 是一个非负序列，v c 0 ，y x , o d o m f ，存在可微凸函数g ，使得 ( x o ) + g c x o ) 0 ， 一类无界函数的变分原理 ( ，+ 9 ) ( 敢) + 厶p ( 磁，x n ) ( j f + 9 ) ( 加) i x n f ( f + g ) + e 比欢， ，( z ) + 9 ( z ) + 如p ( 磁，) f ( x e ) + 9 ( 磁) + “p ( 豫，) n = 0n - - - - - - 0 若以 0 ，妨= 0 当歹 凫0 时那么有 比磁，s m k 1 3 k - 1七一l ， ) + 9 ) + 瓯p ，筑) + 以p ( z ，z 仇) ，( ) + 夕( 砍) + 况| l d ( 豫，兢) + 以p ( 豫，) i - = 0i = 0 证明：根据定理2 2 1 的证明，可直接得出结论 口 定理2 2 2 设，：x _ ru + o 。) 为下半连续广义实值函数，且对 任何有界集bcx ，i n f b ， 一o o 圣( z ) ：x 一矿u + o o ) 为一连续函 数若l i m i n k 粥 q ，则必有i n f x ( ，( 功一q 圣( z ) ) - - o q 证明：。l i m i n f 器 口，则存在m 0 当恻i m 时，( z ) 一 a 圣( z ) 0 又因，( z ) 在每个有界集上有下界，必存在声r ，使得当 z b ( m ) 时，l ( x ) 一q 圣( z ) p ，既得结论 口 推论2 2 5 设，：x ru + o o ) 为下半连续广义实值函数，且对 任何有界集bcx ，i n f b f 一o o 有圣( z ) = p l l x l l n , l i m i n fp l i z i i 。 q 那 么必存在多项式函数9 ( z ) 加d o m f ，z d o m f ，使得 i ) l i x 0 一z 0 ( ，) ( z ) 证明：。l i m i n f 圳剐， 口，则必有i n f x ( f ( x ) 一叩恻l n ) 一则必 有e o ，x o d o m f 使得 ，( 铷) 一叩l i z l j n i x n f ( f ( x ) 一a p l l x l l n ) + e 一类无界函数的变分原理 1 4 那么根据e k e l a n d 变分原理，必存在z d o m f ，0 a 一0 0 若有雪( z ) = e l l x l l 2 , l i m i n f 筹 q 那 么，必存在可微凸函数g ，使得 i ) y ( x ) + 9 ( z ) ( z ) + 9 ( z ) ； i i ) i i x o z l i a ，则必有i n f x ( f ( x ) 一a e l l 霉u 2 ) 一o o 从而必 有e o ，x o d a m f 使得 ，( z o ) 一o r e f l z 。1 1 2 ( z ) 一a e l l 名1 1 2 + 2 e a 2 0 ( z ) ， b ) l i x o z l i 久； 如果x 存在p 一光滑范数，那么一a e u 喾n 2 + 2 e a 2 p ( z ) 必p 一可微， 且a p f ( z ) 存在令g ( x ) = 一o r e l l = 1 1 2 + 2 e , v o ( z ) 既得结论 口 垒查塞墼 1 5 参考文献 【l jc h e n gl h d n ，t e n ga n dy a n m e i ，d i f f e r e n t i a b i l i t y0 fc o n 、r e xf u n c t i o 瑚0 ns u b l i n _ e a rt o p o l o g i c a ls p a c e sa n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e si nl o c a l l yc o n v e x s p a c e s 【2 】m a r i a nf a b i a na n dc a t h e r i n ef i n e t ，o ns t e g a l l ss m o o t hv a r i a t i o n 8 lp r i n c i p l e ， n o n l i n e a ra n a l y s i s6 6 ( 2 0 0 7 ) 5 6 5 - 5 7 0 【3 】j o n a t h a nm b o r w e i n ，j a y , 8 q i j ia n dj z h u ，p a r t i a l l ys m o o t hv a r i a t i o n a lp r i n - c i p l e sa n da p p l i c a t m n s ，n o n l i n e a ra n a l y s i s3 5 ( 1 9 9 9 ) 1 0 3 1 1 0 5 9 4 1e b i s h o pa n dr r p h e l p s ，ap r o o ft h a te v e r yb a n a c hs p a c e si ss u b b r e n e ) 【i v e 。 b u l l a m e r m a t h s o c 6 7 ( 1 9 6 1 ) 9 7 - 9 8 5 1i e k e l a n d ，o nt h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，j m a t h a p p l 4 7 ( 1 9 7 4 ) 3 2 4 - 3 5 3 6 1m f a b i a n ，p h a j e ka n dj v a n d e r w e r f f , o ns m o o t h p r i n c i p l e si nb a n a c hs p a c 鹪， j o u r n a lo fm a t h e m a t i c sa n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s1 9 71 5 3 1 7 20 9 9 2 ) 【7 1j x f a n g ，t h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l ea n df i x e dp o i n tt h e o r e m si nc e r t a i nt o p 。l o g - i c a l s p a c e s ，j m a t h a n a l a p p l 2 0 2 ( 1 9 9 6 ) 3 9 8 - 4 1 2 i s p g r g e o r g i e v ，t h es t r o n ge k e l a n dv a r i a t i o n a l ，t h es t r o n gd r c i pt h e c i r e m 粕d a p p l i c a t i o n s ，j m a t h a n a l a p p l 1 3 1 ( 2 0 0 3 ) 3 0 2 5 3 0 3 8 【9 1a g o p f e r t ，c h r t a m m e ra n dc z a l i n e s c u ，o nt h ev e c t o r i a le k e l a n d sp r i n c i p l e a n dm i n i m a lp o i n t si np r o d u c ts p a c e s ，n o n l i n e a ra n a l 3 9 ( 2 0 0 0 ) 9 0 9 - 9 2 2 【1 0 】a h h a m e l ，p h e l p 8l e m m a ，d a n e s d r o pt h e o r e ma n de l 【e l a n d sv a r i a t j o n 8 li n l o c a l l yc o n v e xs p a c e s ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 3 l ( 2 0 0 3 ) 3 0 2 5 ，3 0 3 8 f 1 1 】g , i s a c ，t h ee k e l a n d sv a r i a t i o n a la n dt h ee - e f f i c i e n c y , i n ：m t a m i z ( e d ) ，m u l t i - o b j e c t i v ep r o g r a m m i n ga n dg o a lp r o g r a m m i n g ，i n ：l e c t u r en o t e si ne c o n o m m a t h - s y s t e m ，v 0 1 4 3 2 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 6 ，p p 1 4 8 - 1 6 2 f 1 2 jg i s a c ，e k e l a n d sv a r i a t i o n a la n dn u c l e a rc o n e s ：ag e o m e t r i c a l 嬲p e c t ，m a t h c o m p u t e r m o d e l l i n g2 6 ( 1 9 9 7 ) 1 1 1 1 1 6 参考文献 【1 3 】m i z o g u c h i ，ag e n e r a l i z a t i o no fb r o n d s t e d sr e s u l ta n di t sa p p l i c a t i o n ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 0 8 ( 1 9 9 0 ) 7 0 7 - 7 1 4 【1 4 】w o e t t l ia n dm t h r e a ，e q u i v a l e n t so fe k e l a n d sp r i n c i p l e ，b u l l a u s r t a l m a t h s o c 4 8 ( 1 9 9 3 ) 3 8 5 - 3 9 2 f 1 5 】s p a r k ，o ng e n e r a l i z a t i o n so ft h ee k e l a n d t y p ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，n o n l i n e a r a n a l 3 9 ( 2 0 0 0 ) 8 8 1 - 8 8 9 【i s j p p e n o t ，t h ed r o pt h e o r e m ，t h ep e t a lt h e o r e ma n de k e l a n d 8v a r i a t i o n a lp r i n - c i p l e ，n o n l i n e a ra n a l 1 0 ( 1 9 8 6 ) 8 1 3 8 2 2 【17 】j h q i u e k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ei nl o c a l l yc o m p l e t es p a c e s ，m a t h n a c h r 2 5 7 ( 2 0 0 3 ) 5 5 - 5 8 1 1 8 1j h q i u ，l o c a lc o m p l e t e n e s s ，d r o pt h e o r e ma n de k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ， j m a t h a n a l a p p l 3 1 1 ( 2 0 0 5 ) 2 3 - 3 9 1 19 】c h r t a m m e r ，ag e n e r a l i z a t i o no fe k e l a n d 8v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，o p t i m i z a t i o n 2 5 ( 2 0 0 5 ) 1 2 9 - 1 4 1 【2 0 z i l iw u ，e q u i v a l e n tf o r m u l a t i o n so fe k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，n o n l i n e a r a n a l y s i s5 5 ( 2 0 0 3 ) 6 0 9 6 1 5 【2 1 1l a i - j i ul i na n dw e i s h i hd u ，s o m ee q u i v a l e n tf o