（基础数学专业论文）l拓扑空间的完全正规分离性和lfuzzy代数中若干结构的研究.pdf

摘要 本文主要是研究l 拓扑空间的( 强) 完全正规分离性和l f u z z y 代数中的若干 代数结构全文由两部分组成，第一部分是关于l 拓扑空间的完全正规分离性和 强完全正规分离性的研究第二部分是关于l f u z z y 代数中若干代数结构的研究 1 第一部分的主要内容如下：冉一一节 、 第一部分这一部分是将一般拓扑学的完全正规分离性的概念推广到了l 一拓 扑空间，给出了三一拓扑空间的完全正规分离性和强完全正规分离性的定义并讨论 了它们的若干性质，比如，它们都是可遗传的，弱同胚不变的，“l o w e n 意义下好 的推广”等但是它们一般不是可积的另外，本文还给出了在诱导空间中完全正 规分离性和强完全正规分离性的几个充要条件 ( 第二部分的主要内容如下：) r 一7 一一 第二部分这一部分给出了上f u z z y 代数中的l f u z z y 子域，l f u z z y 子域上 的l f u z z y 线性空间，l f u z z y 子域上的l f u z z y 代数，l f u z z y 子格群等代数结构 的定义并借助于【8 1 8 中的几种水平截集讨论了它们的若干特征性质最后，借助于 z a d e h 型函数给出了这些刻画的一个应用 关键词；l 拓扑空间 子挞a 工一f u z z y 线性空间 、- - _ _ _ 。一 7 | ( 强) 完全正规l 一拓扑空间，l - f u z z y 代数，：l 皤每 j - _ _ _ _ 。_ - _ - l f u z z y 子域上的l f u z z y 代数，l - f u z z y 子格群 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，t h em a i np u r p o s ei st os t u d y ( s t r o n g ) c o m p l e t e l yn o r m a ls e p a r a t i o n a x i o mi n l t o p o l o g i c a ls p a c e sa n ds e v e r a la l g e b r as t r u c t u r e so nl f u z z ya l g e b r a t h i s p a p e ri s m a d eu po ft w op a r t si nt h ef i r s tp a r t ，s e v e r a lk i n d so fc o m p l e t e l yn o r m a l s e p a r a t i o na x i o m si nl t o p o l o g i c a ls p a c e sa r er e s e a r c h e d i nt h es e c o n dp a r t ，w es t u d yu p o ns e v e r a la l g e b r as t r u c t u r e so f fl - f u z z ya l g e b r a i nt h ef i r s tp a r t ，t h ec o n c e p t so ft h ec o m p l e t e l yn o r m a l s p a c e sa n ds t r o n gc o m p l e t e l y n o r m a ls p a c e si nl t o p o l o g i c a ls p a c e sa r ed e f i n e d w h i c ha r et h e g e n e r a l i z a t i o no ft h ec o m p l e t e l yn o r m a ls p a c e si ng e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e st h e ya r es o m eg o o dp r o p e r t i e ss u c h a 8h e r e d i t a r y , w e a k l yh o m e o m o r p f i i s mi u v a r i a n t p r o p e r t i e s ，g o o dl e x t e n s i o n ，b u tt h e y a r e n tp r o d u c i b l ei ng e n e r a l m o r e o v e r jt h e i rs e v e r a ls u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n si n i n d u c e ds p a c e sa r ep r e s e n t e d i nt h es e c o n dp a r t ，s e v e r a lf u z z ya l g e b r as t r u c t u r e s ，s u c ha s 工一f u z z ys u b f i e l d ，l f u z z yl i n e a rs p a c e so v e rl f u z z ys u b f i e l d s ，l f u z z ya l g e b r ao v e rl f u z z ys u b f i e l d s ， l f u z z ys u b l a t t i c eg r o u pe t c ，a r ed e f i n e d s u b s e q u e n t l y , b a s e do ns e v e r a lk i n d so fl e v e l c u ts e t si n 吼t h e i rs o m en a t u r ep r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d f i n a l l y , a p p l i c a t i o no ft h e s e e q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n sb ym e b 3 1 so fz a d e hf u n c t i o ni sp r e s e n t e d k e y w o r d s ：l t o p o l o g i c a is p a c e s ，( s t r o n g ) c o m p l e t e l y n o r m a l l t o p o l o g i c a ls p a c e s l f u z z ya l g e b r a ，l f u z z yl i n e a rs p a c e so v e rl f u z z ys u b f i e l d s ，l - f u z z ya l g e b r ao v e r l f u z z ys u b f i e l d ，l f u z z ys u b l a t t i c eg r o u p 一婴堕j 卫塑型塑避塑主芏堡堡塞墨：堑! i 窒囹盟塞全垩塑坌塞丝塑墨：坠! 型垡墼生董王堕塑鲍堑窒 2 引言 全文由两部分构成，第一部分是关于l 一拓扑空间( l f u z z y 拓扑空间的简称) 的 完全正规分离性和强完全正规分离性的研究第二部分是关于l f u z z y 代数中若干 结构的研究 分离性是拓扑空间的一类重要性质，关于三拓扑空间的分离性的研究已经有 了很多的成果，参见第一部分文献【1 , 2 ，9 ，l l ，1 2 】等在本文第一部分中，给出了l 一 拓扑空间的完全正规分离性和强完全正规分离性的定义，它们都以一般拓扑学的完 全正规分离性为特例本文第一部分讨论了这两种分离性的一些较好性质，比如， 它们都是可遗传的，弱同胚不变的，“l o w e n 意义下好的推广”等但是它们一般 不是可积的另外，本文还给出了诱导空间中的完全正规分离性和强完全正规分离 性的几个充要条件 f u z z y 代数是- - f 研究各种模糊代数结构的学科，这方面的工作最早见于1 9 7 1 年a r o s e n f e l d 的文献【1 6 】迄今为止，f u z z y 代数已有许多成果，参见第二部分文 献【1 18 1 等，受【2 ，l l 】等的启发，在本文第二部分中给出了l - f u z z y 子域，l f u z z y 子域上的l f u z z y 线性空间，l f u z z y 子域上的l f u z z y 代数和l f u z z y 子格群等 代数结构的定义并借助于 8 】中的几种水平截集讨论了它们的若干特征性质，并给 出了它们的一些刻画最后，借助于z a d e h 型函数给出了这些刻画的一个应用 ! ! 塑至蔓墅堕蕉查兰堡主堂堡丝塞 生：堑i ! 窒囹盟塞全堡塑坌查壁塑墨：塑! 型垡墼生菱王堕塑盟受塞 3 第一部分l 一拓扑空间的( 强) 完全正规分离性 分离性是拓扑空间的一类重要性质，关于l 一拓扑空间的分离性的研究已经有 了很多的成果，参见文献【1 , 2 ，9 ，l i ，1 2 】等在本部分中，给出了工拓扑空间的完全 正规分离性和强完全正规分离性的定义，它们都以一般拓扑学的完全正规分离性为 特例其次，讨论了这两种分离性的一些较好性质，比如，它们都是可遗传的，弱 同胚不变的，“l o w e n 意义下好的推广”等但是它们一般不是可积的最后，本 部分给出了诱导空间中的完全正规分离性和强完全正规分离性的几个充要条件 1 0 预备知识 本章沿用 6 】中的以下记号，对于a 三o ，记 a = z x a ( x ) n ) ，a ( 。) = z x l a 卢( a ( o ) ) ) 显然，s u p p a = a 【0 1 定义1 o i i “l 设( l 。，6 ) 是l 拓扑空间若对于m + ( 工x ) 中的任意两个不同的 分子z 和y 。，当。 g 钆时，存在p 日( 。 ) 使得轧p 则称( l “，6 ) 为n 空间 定义1 0 2 1 1 1 】设( l o ，6 ) 是l 拓扑空间若每个l f 点都是闭集，则称( l o ，6 ) 为s 孔空间 定义1 0 3 设( l 。，d ) 是l 拓扑空间，a l 。，p 5 ，若v z x ，当a ( x ) 0 时，a ( x ) g p ( 。) ，则称p 为a 的闭远域这时若q p ，则称q 为a 的远域a 的一切远域之集记作目( a ) ，a 的一切闭远域之集记作q 一( a ) 定义1 0 4 1 1 1 i 设( l x ，6 ) 是l 一拓扑空间，若对于任意两个非零的准分明闭集 a 和b ，当s u p p ans u p p b = 0 时，有p 叼( a ) ，q 叩( 口) ，使得p vq = l ( v z x ，p ( x ) = 1 或q ( x ) = 1 ) ，则称( l 。，5 ) 为正规空间( 强正规空间) ，称噩( s 丑) 的正规 拓扑空间( 强正规l 拓扑空间) 为t 4 ( s t 4 ) 空间 以上定义中q ) 和q ( b ) 可用q 一( a ) 和q 一( b ) 代替 定理1 0 1 i “) 设( ，u l ( 丁) ) 是由分明拓扑空间( x ，丁) 拓扑生成的l 拓扑空 问，则( 上。，w l ( 7 ) ) 是正( s 正) 空间当且仅当( x ，丁) 是正空间( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 定理1 0 2 【1 1 l 拓扑空间的n ( s n ) 分离性是遗传的，即，若l - 拓扑空间旺。，6 ) 是n ( s n ) 空间，则对于x 的任意非空子集y ，子空间( ，6 i y ) 也是乃( s n ) 空间 ! ! ! ! 芏蔓塑盟蔓盔芏堕主兰焦堡皇 墨：堑赴皇堕箜塞全垩塑坌壅丝塑墨：塑! 型垡墼主董王壁塑盟堡塞4 1 1l 一拓扑空间的完全正规分离性 定义1 _ 1 1 设( 三x ，d ) 是l 一拓扑空间，a ，b l x ，若a 而n b ( o ) = a ( o 】n b c 0 1 = 0 ， 则称l f 集a 和口是强隔离的 显然，若a 面) n b ( o ) = a ( o ) n b 面) = 0 ，则a a b = a a b 一= 0 所以强隔离的一 定是隔离的 定义1 1 2 设( 三x ，j ) 是l 一拓扑空间，若对于a ，b l x , a ，b 为非零准分明集 且a 与b 是强隔离的，存在p q ( a ) ，q q ( b ) ，使得p v q = 1 ，则称( l x ，d ) 为完 全正规工拓扑空间，称n 的完全正规l 拓扑空间为玷l 拓扑空间 以上定义中q ( a ) 和q ( b ) 可用q 一) 和q 一( b ) 代替 定理1 1 1 完全正规) l 拓扑空间是正规m ) l 拓扑空间 证明设( 工x ，6 ) 是l 拓扑空间，a ，b x 是任意两个非零的准分明闭集， 且a 【o ) nb ( o ) = o ，则a 面) f 1b ( o ) = a ( o ) n b 五) = 0 由于( 三x ，6 ) 是完全正规l 一拓扑 空间，于是存在p r l ( a ) ，q q ( b ) ，使得p v q = 1 所以( l 。，6 ) 是正规l 一拓扑空 间 由以上证明易知死l 拓扑空间一定是乃工拓扑空间，显然，反之不一定成 立 定理1 1 2 设。，6 ) 是完全正规( 砧) l 拓扑空间，y 是x 的非空子集，则其 子空间( l o ，6 i y ) 是完全正规( t 5 ) l - 拓扑空间 证明设a ，b l 。都是l 一拓扑空间( l 。，6 i y ) 中的非零准分明集，且a 而1 a b ( o ) = a ( o ) nb 品= 0 定义a + ，b + 如下： vxe x , a + 扛，= 且之：耋：iib + c 。，= b 宅：耋：；i 则a + ，b + 都是( l x ，5 ) 中的非零准分明集，且a 1 0 1 = a ( 0 ) b 尚= b ( 0 ) y 由于 a = a + 一i b 一= b + 一l y ，从而a 面1 = ( a + 一 y ) i o ) = ( a + 一) o ) n y ，b 而1 = ( 8 + 一l y ) o ) = ( b 一) ( o ) nf 因此a 高nb 南) = a 轴) n8 蒿= d 又( l “，d ) 是完全正规l 一拓扑空 间，于是存在p q 一( a + ) ，q q _ ( b + ) 使得pvq = 1 令u = p i v = q i y ：则 u 1 弋a ) ，v q 一( b ) ，且u v v = 1 所以( l ”，圳l ，) 是完全正规l 拓扑空间 由以上证明和定理1 02 易证死l 一拓扑空间的子空间是死l 一拓扑空间 定理1 1 3l 拓扑空间的完全正规分离性是弱同胚不变性，即，若( l 。，5 ) 足 完全正规上拓扑空间，：x ，d ) 一”，肛) 是强同胚序同态( 即，是值z a d e h 型函数) ，则( ，“) 是完全正规l 拓扑空间 幽望蔓! 堕堕盘堂堡主竺焦丝壅 生：堑! ! 窒宴鲤塞全堡塑坌塞些塑生塑! 型垡墼主董王堕塑箜堡塞5 证明设a ，b 是l 一拓扑空间( l 。，“) 中的两个非零的强隔离准分明集，则由 【6 l 中定理5l 以及，是强同胚映射易证，。( a ) ，f _ 1 ( b ) 是工拓扑空间( l x ，6 ) 中 的两个非零的强隔离准分明集又( 。，6 ) 是完全正规l 拓扑空间，于是存在p q _ ( ，_ 1 ) ) ，q 1 一( ，o ( b ) ) 使得pv q = 1 由于，是强同胚映射，从而，( p ) t t - ( 4 ) ，f ( q ) r - ( 口) 且，( 尸) v ( q ) = 1 所以7 ，p ) 是完全正规l 一拓扑空间 推论1 1 1l 拓扑空间的砖分离性是弱同胚不变性质 证明由定理l13 以及乃l 拓扑空间是同胚不变性质易证 定理1 1 4 设l 一拓扑空间( l 。，j ) 是弱诱导空间，则( l x ，5 ) 是完全正规l 一拓 扑空间当且仅当( x ，是完全正规空间 证明必要性：设( l x ，6 ) 是完全正规l 拓扑空间，a ，b 是( x ，) 中的两个非 空隔离子集，即a q b 一= a n b = 0 ，于是( x a ) 【o ) n ( o b 一) 【0 ) = ( x 日) ( o ) n ( x ) ( o ) = 0 因为( l 。，6 ) 是弱诱导空间，从而x 一，x 8 一是( l 。，6 ) 中的闭集又由于( ) ( b ) 一 x b 一( x ) 一sx a 一，于是( x b ) 面) ( ) ( b 一) c o ) ，( x a ) 面) ( x a 一) ( o ) 因此( x a ) ( o ) n ( x b ) 面) = ( x b ) t o ) n ( x ) 1 1 = 0 因为。，6 ) 是完全正规l 一拓扑空间，所以存在p q 一( a ) 和 q q 一( b ) 使得p v q = 1 ，这时p 7 aq ，= 0 因为v g a ，p ( y ) 1 ，于是p b ) 0 ， 即y ) ，所以a 】同理，日q i o ) 由于。，5 ) 是弱诱导空间，显然，1 与q ；n 、是( x ，) 中的两不相交的开集，所以( x ，问) 是完全正规空间 充分性：设( x ，i 们) 是完全正规空间，v a ，b 庐，a ，b 是非零准分明集，并且 a 尚nb ( o ) = a ( o ) n b ? 0 1 = 0 由于a ，b 是非零准分明集，从而取肛，m ( l ) ，分别 满足vz x ，a ( z ) 0 甘a ( x ) p ，b ( z ) 0 营b ( x ) p 记 e 1 = x i a ( y ) p f 1 = y x i b ( y ) v e 2 = x l a ( g ) p f 2 = x i b 一( y ) 则a ( o ) = e lc 局a 而，b ( o ) = f l 几b ( - ) ，由于( 三“，6 ) 是弱诱导空间， 因此e 2 见都是( x ，中的闭集所以( a t o ) ) 一n _ 8 ( o 】= ae o ) r 、( b ( 0 ) ) 一= o 由于 ( x ，是完全正规空间，从而存在开集u v 满足a ( 0 1cu ，b ( o ) 互v u n v = o 令 p = x ，q = x ”则p q 弋a ) ，q eq 一( b ) ，且p v q = 1 所以( p ，5 ) 是完全正规l 拓扑空间 由上述定理易得下面的推论 推论1 1 2 设( l x ，u l ( 丁) ) 是由分明拓扑空间( x ，丁) 拓扑生成的l 拓扑空间， 则( 工x ，u l ( 丁) ) 是完全正规工一拓扑空间当且仅当( x ，丁) 是完全正规空间 推论1 1 3 设( l “，u l ( 丁) ) 是由分明拓扑空间( x ，丁) 拓扑生成的l 拓扑空间， 则( l o ，u l ( 丁) ) 是珏- 拓扑空间当且仅当，丁) 是如空间 证明由定理1 0 1 和推论1 12 易证 上面的定理和推论说明完全正规( 死) 三一拓扑空间是可遗传的，弱同胚不变的， “l o w e n 意义下好的推广”但由于它是分明拓扑中完全正规空间的推广，所以完 型坚l 生亘墨堕蔓盔兰堡圭兰堕丝塞上堑处皇囹塑塞全垂垫坌壅丝塑墨：坠! 型垡墼圭董王垫塑丝墅塞 6 全正规( t s ) l - 拓扑空间一般不是可积的下面的定理给出了诱导空间中完全正规 ( b ) l 一拓扑空间的等价刻画 引理1 1 1 1 1 1 】设l - 拓扑空间( l 。，6 ) 是可拓扑生成空间，则其子空间( l y ，6 l y ) 也是可拓扑生成的，并且u l ( t i y ) = u l ( t ) i e 引理1 1 2 c i i i 设( l 。，d ) 是上一拓扑空间，则( l x ，6 ) 是诱导空间当且仅当它是 可拓扑生成空间 定理1 1 5 设l 一拓扑空间( l x ，6 ) 是诱导空间，则以下条件等价： ( 1 ) ( l “，6 ) 是完全正规( 噩) l ，拓扑空间， ( 2 ) ( p ，d ) 的每一子空间都是正规( t 4 ) l 拓扑空间， ( 3 ) ( p ，6 ) 的每一开子空间都是正规( t 4 ) l 拓扑空间 证明由定理l0 1 ，定理111 ，定理l12 ，推论1 12 ，推论1 1 3 以及引理l11 和引理1 12 易证以上条件等价 1 2l - 拓扑空间的强完全正规分离性 定义1 2 1 设。，j ) 是l - 拓扑空间，若对于a ，b l 。，a ，b 都是非零准分明集 且a 与b 是强隔离的，则存在p q ( a ) ，q 7 7 ( b ) ，使得v 。x ，p ( x ) = 1 或q ( z ) ：l ， 则称( ，6 ) 为强完全正规工一拓扑空间，称s 噩的强完全正规l 拓扑空间为s 珏工 拓扑空间 以上定义中7 1 ( a ) 和q ( b ) 可用q 一( a ) 和q _ ( b ) 代替 显然，对于工- 拓扑空间，强完全正规分离性辛完全正规分离性；正规分离 性，s 瑶辛如，s t s 号s 乃号s t 3 号s 死= 争s n 特别地，当工= 【0 ，1 时，强完全正规l 拓扑空间等价于完全正规l 一拓扑空 间，并且s 五= 正( 江1 ，3 ，4 ，5 ) ，s 而= n + 乃 定理1 2 1 设( 。，是强完全正规( s t s ) l 一拓扑空间，r 是x 的非空子集， 则其子空间( ，d i y ) 是强完全正规( s t s ) l 一拓扑空间 证明设a ：b l 7 都是l 一拓扑空间( ，d i y ) 中的非零准分明集，且a 1 1 nb ( o ) ： a ( o ) n b 面= 0 定义a + ，b + 如下： v xe x , a + c z ，= 4 i 耋：；b 。c z ，= b 之：| | | ：i y y i o ，当z f 、。 lo ，当z 则a + ，b + 都是( l 。，6 ) 中的非零准分明集， a = a + 一i f , b 一= b 一i v , 从而a 而1 = ( a + 且a 轴) = a ( o ) 垦y b 南) = b ( o ) y 由于 l y ) ( o ) = ( a + 一) ( o ) n b 面) = ( b + 一i y ) ( 0 ) = 垫些蟹型型翌整查兰堡圭兰堕堡苎 墨：堑! ! 窒 望盟塞全垂塑佥塞丝塑生：旦! 型垡墼生董王堕塑盟堡塞 7 ( b 一) ( o ) ny 因此a 高nb 函= a 南) nb 蒿= o 又( l 。，6 ) 是强完全正规l 拓扑 空间，于是存在p q - ( a + ) ，q q 一( b 4 ) 使得vz x ，p ( x ) = 1 或q ( t ) ：l 令 u = p l y , v = q i y ，则u q 一( a ) ，v q 一( 口) 且vz x ，p ( x ) = 1 或q 佃) = l 所以 ( l 7 ，d l y ) 是强完全正规l 拓扑空间 由以上证明和定理1 02 易证s 砧l 一拓扑空间的子空间是s 砧l 一拓扑空间 定理1 2 2 l - 拓扑空间的强完全正规分离性是弱同胚不变性，即，若( l x ，d ) 是强完全正规l - 拓扑空间，：( l x ，6 ) 一( 工7 ，p ) 是强同胚序同态( 即，是工值 z a d e h 型函数) ，则( l o ，p ) 是强完全正规l 一拓扑空间 证明设a ，b 是l - 拓扑空间( l 。，p ) 中的两个非零强隔离准分明集，则由f 6 1 中定理51 以及，是强同胚映射易证f - 1 ( a ) ，f 1 ( b ) 是l 拓扑空间( l 。，6 ) 中的 两个非零强隔离准分明集 ( l x ，6 ) 是强完全正规l 一拓扑空间，于是，存在p q 一( f 。( a ) ) ，q q 一( f _ 1 ( b ) ) 使得vz x ，p ( x ) = 1 或q ( x ) = 1 由于，是强同胚映 射，从而y ( p ) q 一( a ) ，f ( q ) q 一( b ) 且vz x ，( p ) ( z ) = l 或，( q ) ( 。) = 1 所以 ( l o ，肛) 是强完全正规三拓扑空间 推论1 2 1l 拓扑空间的s b 分离性是弱同胚不变性质 定理1 2 3 设l 一拓扑空间( ，6 ) 是弱诱导空间，则( l 。，6 ) 是强完全正规 ( s t 5 ) 工拓扑空间当且仅当( x ，旧) 是完全正规空间( 豇空间) 证明下面只证明强完全正规空间的情形 必要性：设( ，6 ) 是强完全正规l 拓扑空间，a ，b 是( x ，) 中的两个非空 隔离子集，即a n b 一= a n b = o ，于是，( x ) ( o ) n ( ) ( b 一) ( 0 ) = ( x b ) ( o ) n ( x ) ( o ) = 0 因为( l 。，6 ) 是弱诱导空间，从而x 一，x b 一是( l 。，6 ) 中的闭集又由于( x b ) 一 x b 一，( x a ) 一sx a 一，于是( x b ) 面) ( x b 一) ( o ) ，( ) ( ) 面) ( x a - ) ( o ) 因此( x ) ( 。) n ( x b ) 而1 = ( x b ) ( o ) v 1 ( a ) 尚= 0 因为( l x ，6 ) 是强完全正规上一拓扑空间，所以存在p q - ( a ) 和q q _ ( b ) 使得vz x ，p ( x ) = 1 或q ( z ) = l 这时p a q = 0 因为vg a p ( y ) 1 于是p ( 9 ) 0 ，即p 尚，所以a p f 0 】同理，b q 0 1 由于( l 。，6 ) 是 弱诱导空间，显然，1 与q ，o ) 是( x ) 中的两不相交的开集，所以( x ，) 是完 全正规空间 充分性：设( x ，是完全正规空间 va ，b 工x ，a ，b 都是非零准分明集， 并且a 商n b ( o ) = a ( o ) nb 函= 0 由于a ，b 是非零准分明集，从而取p ，p ( l ) ， 分别满足vz x ，a ( x ) 0 甘4 ( z ) 上，b ( x ) 0 甘b ( x ) v 记 e 1 = x i a ( ) p f l = g x i b ( y ) p ) e 2 = 口x l a 一( ) p ) f 2 = 9 x l b 一( y ) p ) 则a ( o ) = e 1 譬如a 面) ，b ( o ) = f l f 2 b 面) 由于( l 。，6 ) 是弱诱导空间， 从而局，f 2 都是( x ，中的闭集因此( a ( o ) ) 一n b ( o ) = a ( o ) n ( b ( o ) ) 一= 0 由于 ! ! ! ! 主堇堑墅蔓盘兰堡主兰堡堡皇 圭：堑i ! 奎囹鲍壶全垩塑坌查丝塑墨：坠! 型垡墼主羞王堑塑笪受窒8 ( x ，) 是完全正规空间，从而存在开集阢v 满足a 【0 ) b ( o ) e u nv = 0 令 p = ) ( u ，q = ) ( v ，贝0p q 一( a ) ，q q 一( b ) ，且vz x ，p ( x ) = 1 或q ( x ) = 1 所以 ( 工o ，6 ) 是强完全正规工拓扑空间 推论1 2 2 设( l 。，u l ( 丁) ) 是由分明拓扑空间( x ，丁) 拓扑生成的三一拓扑空间， 则( l x , u l ( 丁) ) 是强完全正规( s t s ) l 一拓扑空间当且仅当( x ，丁) 是完全正规( 玷) 空 间 证明由定理1 0 1 和定理1 23 易证 上面的定理和推论说明强完全正规( s 砧) l 一拓扑空间是可遗传的，弱同胚不变 的，“l o w e n 意义下好的推广”但由于它是分明拓扑中完全正规的推广，所以强完 全正规( s 死) l 一拓扑空间一般不是可积的下面的定理给出了强完全正规( s 如) 工一 拓扑空间在诱导空间中的等价刻画 定理1 2 4 设l - 拓扑空间( ，d ) 是诱导空间，则以下条件等价： ( 1 ) ( l x ，6 ) 是强完全正规( s t 5 ) 三一拓扑空间， ( 2 ) ( l x ，6 ) 是完全正规( 砧) l 拓扑空间， ( 3 ) ( l x ，6 ) 的每一子空间都是正规( t 4 ) l - 拓扑空间， ( 4 ) ( l x ，5 ) 的每一开子空间都是正规m ) 三拓扑空间 证明由引理11 1 ，引理11 2 ，定理115 和推论1 22 易证 垫唑j 王塑墅塑坠壁型坠主兰焦垂塞 墨：堑! ! 窒闻笪塞垒垂堡坌堕丝塑墨：坠! 型垡墼生董王堕塑塑堡塞 9 参考文献 lbh u t t o n ，ir e i n y s e p e r a t i o na x i o m si nf u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s j f s s ，3 ( 1 9 8 0 ) 9 3 1 0 4 2bh u t t o n n o r m a l i t yi nf u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s j j m a a ，5 0 ( 1 9 7 5 ) 7 4 7 9 3hwm a r t i n w e a k l yi n d u c e df u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s j j m a a ，7 8 ( 1 9 8 0 ) 6 3 4 6 3 9 4 刘应明诱导空间与不分明s t o n e - e e c h 紧化【j 】中国科学，1 9 8 7 ，( 4 ) ：3 6 0 3 6 8 5 彭育威关于格值诱导空间的两个公开问题m 数学学报，1 9 9 2 ，( 6 ) ：7 5 1 7 5 7 6 史福贵如- 集合套l 。一集合套理论及应用m 模糊系统与数学，1 9 9 5 ，9 ( 4 ) 6 5 7 2 7 史福贵l - f u z z y 集与素元集合套f j 】数学研究与评论，1 9 9 6 ，1 6 ( 3 ) ：3 9 8 4 0 2 8 史福贵分子集合套理论及应用 j 】烟台师范学院学报( 自然科学版) ，1 9 9 6 ，1 2 ( i ) ：3 3 3 6 9 史福贵，郑崇友l - f u z z y 拓扑空间中一种新型的f 仿紧性【j 】模糊系统与数 学，1 9 9 5 ，( 3 ) ：4 9 - 4 8 1 0f u g u is h i l - f u z z yr e l a t i o n sa n d 一f u z z ys u b g r o u p s j t h ej o u r n a lo ff u z z y m a t h e m a t i c s ，2 0 0 0 ，8 ( 2 ) ：4 9 1 4 9 9 1 1 王国俊l f u z z y 拓扑空间论【m 】西安：陕西师范大学出版社， 1 9 8 8 1 2l i uy i n g r u i n g ，l u om a o - k a n ga d v a n c e si nf u z z ys y s t e m s - a p p l i c a t i o n sa n dt h e o r y v 0 1 9 f u z z yt o p o l o g y m w o r l ds c i e n t i f i cp u b l i s h i n gc o p t el t d ，s i n g a p o r e 1 9 9 7 f u z z ys e t sa n ds y s t e m s ，7 2 ( 1 9 9 5 ) 1 1 9 - 1 2 3 1 3jn a g a t a m o d e r ng e n e r a lt o p o l o g y m e l s e v i e rs c i e n c ep u b l i s h e r sbv 1 9 8 5 堑坚l 生堇塑堕堕盔兰塑圭兰堇堡塞生二堑i i 室| 旦鲤塞全蒌塑坌壹壁塑墨：坠! 型丛墼董王壁蝗箜堡塞 1 0 第二部分l - f u z z y 代数中若干结构的研究 f u z z y 代数是- - i j 研究各种模糊代数结构的学科，这方面的工作最早见于1 9 7 1 年a r o s e n f e l d 的文献【1 6 】迄今为止，f u z z y 代数已有许多成果，参见文献1 - 1 8 1 等受1 21 1 】等的启发，在本部分中给出了l f u z z y 子域，l f u z z y 子域上的l f u z z y 缵眭空间，l - f u z z y 子域上的工一f u z z y 代数和l f u z z y 子格群等代数结构的定义并 借助于【8 】中的几种水平截集讨论了它们的若干特征性质，并给出了它们的一些刻 画最后，借助于z a d e h 型函数给出了这些刻画的一个应用 2 0 预备知识 在本部分中，l 总表示完全分配格，m ( l ) 表示l 的全体分子之集， p ( 工) 表示工中全体非1 素元 1 9 】之集对于。l ，o ( o ) 表示a 的最大极大集 。+ ( o ) = 。( n ) n p ( 工) ，p ( o ) 表示口的最大极小集，( o ) = 卢( o ) n m ( l ) 恒取值n 的 l - f u z z y 集记作。本文将不区别分明集和其特征函数为了方便，沿用【8 】中的以 下记号，对于a l x ，记 a 【。】= z x i a ( x ) o ) ，a ( 。) = z x l a 卢( a ( z ) ) ， a 【o 】= z x l a 掣n ( a ( z ) ) ，a ( “) = z x i a ( x ) o 显然，若n 卢( 6 ) ，则a 【州a 【。) 至a ”若n 口( b ) ，则a 【d 】a ( 6 ) 4 陋】特别 地，当l = ( 0 ，1 】时，a ( 。) = a ( 引，a = a 【0 】 定义2 0 1 设g 是群，a l g ，若a 满足 ( 1 ) a ( z y ) a ( x ) aa ( 9 ) ，v z ，y g ， ( 2 ) a ( x - 1 ) a ( z ) ，v z g ， ( 3 ) a ( e ) = 1 ，e 是g 的单位元， 则称a 是群g 的l f u z z y 子群 定义2 0 2 ( 1 7 】格群是一个( 2 , 2 ，2 ) 型代数( g ；a ，v ，) ，其中，( g ；) 是群，( g ；a ，v ) 是格，并且群中运算“”与格中运算“a ，v ”满足如下条件，v z ，y ，z g ， ( 1 ) ( xvy ) z = 陋z ) v ( z ) ， ( 2 ) ( zay ) z = ( xz ) a ( yz ) ， ( 3 ) 2 ( x vy ) = ( z z ) v ( z ) ， ( 4 ) 。( x ay ) = ( z x ) a ( z ) 垄旦坠望堕塑竖堕盔兰堡主兰堡丝塞 墨：堑! ! 皇旦塑塞垒垩塑坌塞壁塑墨：题! 型垡墼董王堕塑盟堡塞 1 1 定理2 0 1 i o j 设g 是群，a 工。，则以下条件等价； ( 1 ) a 是g 的l f u z z y 子群， ( 2 ) v a 三，a i 。1 是g 的子群， ( 3 ) v a m ( l ) ，a 是g 的子群， ( 4 ) v a l ，a i o j 是g 的子群， ( 5 ) v a p ( l ) ，a l o j 是g 的子群， ( 6 ) v a p ( l ) ，a ( o ) 是g 的子群 定理2 0 2 【8 】设a l x ，b l 7 且，：一是l 值z a d e h 型函数，则 v a l ，以下结论成立； ( 1 ) ，( a ) ( 。) = ，( a ( 。) ) ， ( 3 ) ，一1 ( b ) ( 。) = 厂1 ( b ( 。) ) ( 5 ) f - 1 ( b ) = f - 1 ( b q ) ， ( 2 ) ，) = ，) ， ( 4 ) f - l ( b ) ( 。) = f - 1 ( b ( 。) ) ( 6 ) f - 1 ( b ) 【。】_ f - 1 ( b t 。】) 2 1l - f u z z y 子域 定义2 1 1 设f 是域，a l 9 ，v z ，f ，若a 满足 ( 1 ) a ( x 十v ) a ( x ) a a ( f ) ，( 2 ) a ( 一z ) a ) ， ( 3 ) a ( x y ) a ( x ) aa ( ) ，( 4 ) a ( x 一1 ) 2a ( z ) ， o ) ， ( 5 ) a ( o ) = a 0 ) ；1 ， 则称a 为域f 的l f u z z y 子域 注： 【6 】在l = 【0 ，1 】时用条件( 1 ) - ( 4 ) 定义了f u z z y 域的概念 由定义2l1 不难验证下面的两个定理 定理2 1 1 设f 是域，a l 7 ，则a 是域f 的l - f u z z y 子域，当且仅当以下 条件成立： ( 1 ) a ( x y ) a ( x ) a a ( ) ，v z ，y f ， ( 2 ) a ( x y “) a ( x ) a a ( )妇，y fy 0 ( 3 ) a ( 0 ) = a ( 1 ) = l 定理2 1 2 设f 是域，a 工7 ，则a 是f 的l f u z z y 子域，当且仅当以下条 件成立： ( 1 ) a 是域f 的加法群( f ，十) 的l t ：、l z z y 子群， ( 2 ) a 是域f 的乘法群( f o ) ，) 的l f u z z y 子群 定理2 1 3 设f 是域，a 7 ，则以下条件等价： ( 1 ) a 是域f 的l f u z z y 子域， 丝塑j 塑塑型塑瞪堡圭璺焦丝一 圭：堑盐童塑鲍壶全垂塑坌塞丝塑圭：旦! 型垡墼主董王堕堕盟堡塞 1 2 ( 2 ) 2 v a l ，a i , ，i 是f 的子域， ( 3 ) c a m ( 工) ，a f 。1 是f 的子域， ( 4 ) v a l ，a 【0 1 是f 的子域， ( 5 ) v a p ( l ) ，a 【o 是f 的子域， ( 6 ) v a p ( l ) ，a ( o ) 是f 的子域 证明由定理2 1 2 和定理2 0 1 即得证 定义2 1 2 设f 是域，a l 7 ，r l ，若a 满足 ( 1 ) a ( 0 ) = a ( 1 ) = 1 ， ( 2 ) a ( x ) = r ，v x f 一 o ，l ， 则称a 是域f 的r 平凡l - f u z z y 子域 显然，域f 的r - 平凡l f u z z y 子域是域f 的l f u z z y 子域记域f 的全体r 一 平凡l - f u z z y 子域作成的集合为o l f ，则易证0 l p 对任意交和任意并封闭，从而是 9 的完备子格 定理2 1 4 设f 是域，a l 7 ，则以下条件等价： ( 1 ) a 是域f 的r 平凡l - f u z z y 子域， ( 2 ) v ael ，a 是f 的平凡子域， ( 3 ) v a m ( l ) ，a 是f 的平凡子域， ( 4 ) v a l ，a 是f 的平凡子域， ( 5 ) v a p ( 三) ，a i a 是f 的平凡子域， ( 6 ) v a l 一 1 ) ，a ( n ) 是f 的平凡子域， ( 7 ) c a p ( l ) ，a ( o ) 是f 的平凡子域 为证明定理21 4 ，先给出下面的定义和引理 定义2 1 3 设g 是群，a l g ，若a 满足 ( 1 ) a ( e ) = 1 ， ( 2 ) a ( x ) = r ，v x g 一 e ，r l ， 则称a 是