（基础数学专业论文）有限群的连通3度陪集图的正规性.pdf

有限群的连通3 度陪集图的正规性 摘要 在群与图研究中，图的对称性一宣是一个热门问题它主要通过图的自 同构群具有某些传递性来描述这类图的典型代表是c a y l e y 图和s a b i d u s s i 陪集图 关于陪集图对称性的研究其实较c a y l e y 图更具有普遍的意义，因为任 何一个点传递图都是其全自同构群的某个陪集图类似于c a y l e y 图的正规 性，我们同样可以定义陪集图的正规性，即相应的群是否正规于它的这个 陪集图的全自同构群甚至，我们也可以定义一个陪集图是一个图表示， 简称g r ，即相应的群是否恰等于它的这个陪集图的全自同构群 李才恒证明1 1 】：除a 5 ，p s l ( 2 ，1 1 ) ，m ，l ，a 1 1 im 2 3 ，a z 3 与a 4 7 外的有限非交 换单群的连通3 度弧传递c a y l e y 图都是正规的而徐尚进证明【2 】：除交锚 群a 4 7 单群a 5 ，p s l ( 2 ，1 1 ) ，m 1 1 a m 2 3 ，a 2 3 的连通3 度弧传递c a y l e y 图也 是正规的，至于剩下的交错群a 扎徐尚进构造了它的非正规连通3 度弧传 递c a y l e y 图，并证明这样的图在同构意义下只有两个，而且都是5 - 弧传递 的这样，有限非交换单群的连通3 度弧传递c a y l e y 图除两个￥阶的非正 规5 弧传递图外都正规，这个结果不仅圆满解决了有限非交换单群的连通 3 度弧传递c a y l e y 图的正规性问题，也等于给出了有限非交换单群的非正规 连通3 度弧传递c a y l e y 图的完全分类但是，关于陪集图的正规性的研究相 对来说较少，目前只有导师徐尚进老师研究了有限非交换单群陪集图的正 规性，并给出了较好的结果，证明了绝大多数有限非交换单群的连通3 度 g 一弧传递陪集图是正规的，进而给出这类图的全自同构群的一个界主要 结论如下： 1 设g 是有限非交换单群，满足i g i ，l a 8 i 且g a 。，则每个连通3 度 g - 弧传递s a b i d u s s i 陪集图f ：= s a b ( g ，t ，d ) 都是正规的 2 设g 是有限非交换单群，满足2 sj ，i g i 且g a t ，则每个连通3 度 g - 弧传递s a b i d u s s i 陪集图p ：= s a b ( c ，t ，d ) 都是正规的 利用陪集图的正规性可以给出某类图的全自同构群的界，且可以得到 某类群具有陪集图表示的充分条件f 2 】 另外陪集图的正规性对于求给定群 的最小级陪集图表示具有重要作用【3 】 本文对于s a b i d u s s i 陪集图的正规性进行了进一步研究，主要有三方面： ( 1 ) 进一步研究有限非交换单群g 弧传递陪集图的正规性； ( 2 ) 研究有限非交换单群弧传递陪集图的正规性； ( 3 ) 研究了可解群s 4 及d 卸的s a b i d u s s i 陪集图的正规性情况 本文主要采用群论方法，其中，对某些已知图的全自同构群的计算运用 了g a p 与n a u t y 软件文中有关群论及代数图论的概念可参考文献【2 ，4 ，5 】 关键词：单群点传递图陪集图g - 弧传递弧传递图正规性g r 中图分类号：0 1 5 7 t h en o r m a l i t y0 ft h e c o n n e c t e d c u b i cc o s e tg r a p h so nf i n i t e g r o u p s a b s t r a c t i ns t u d i n gt h eg r o u p sa n dg r a p h s ，t h es y m m e t r yp r o p e r t yo ft h eg r a p h sh a sb e e n b e i n gav e r yh o ti s s u e ，w h i c hi sm a i n l yd e s c r i b e db ys o m et r a n s i t i v ep r o p e r t i e so f t h e i ra u t o m o r p h i s mg r o u p s t h ec l a s s i c a lr e p r e s e n t a t i o n so ft h e s et y p eg r a p h sa r e c a y l e y g r a p h sa n ds a b i d u s s ic o s e tg r a p h s i nf a c t r e s e a r c h i n gt h es y m m e t r yp r o p e r t yo ft h ec o s e tg r a p hi sm o r es i g n i f i c a n t t h a nt h ec a y l e y g r a p h ，b e c a u s ee v e r yv e r t e x - t r a n s i t i v eg r a p hi sa l w a y ss o m ec o s e t g r a p ho fi t sf u l la u t o m o r p b i s mg r o u p s i m i l a rt ot h en o r m a l i t yo ft h ec a y l e y g r a p h ， w ec a na l s od e f i n et h en o r m a l i t yo ft h ec o s c tg r a p h ，t h a ti s ，i ft h er e l e v a n tg r o u pi s n o r m a lt oi t sf u l la u t o m o r p h i s l no ft h ec o s e tg r a p h f u r t h e r ，w ec a l la l s od e f i n ei fa c o s e tg r a p hi sag r a p hr e p r e s e n t a t i o n ，w en o t ei tg rf o rs h o r t ，t h a ti s ，t h er e l e v a n t g r o u pi se x a c t l ye q u a lt ot h ef u l la u t o m o r p h i s mg r o u po ft h ec o s e tg r a p h c a i h e n gl ih a sp r o v e dt h a t 1 ：t h ec o n n e c t e dc u b i ca r c t r a n s i t i v ec a y l e y g r a p h s o nt h ef i n i t en o n a b e l i a ns i m p l eg r o u p sa r ea l ln o r m a le x c e p ta 5 ，p s l ( 2 ，1 1 ) ，m n ，a n ， m 2 3 ，a 2 3a n da 4 r s h a n g j i nx uh a sp r o v e dt h a t 【2 】：t h ec o n n e c t e dc u b i ca r c - t r a n s i t i v e c a y l e y g r a p h so nt h es i m p l eg r o u p sa 5 ，p s l ( 2 ，i i ) ，m 1 1 ，a n ，m 2 3 ，a 2 3a r ea l s on o r m a l e x c e p ta 4 7 a sf o rt h el e f ta l t e r n a t i n gg r o u pa 4 7 ，s h a n g j i nx uh a ss t r u c t u r i z e dt h a t i t sn o n n o r m a lc o n n e c t e dc u b i ca r c - t r a n s i t i v ec a y l e y g r a p h ，a n dh a sp r o v e dt h a tu n d e r t h em e a n i n go fi s o m o r p h i s mt h i sk i n do fg r a p hh a sj u s tt w o ，a n db o t ho ft h e ma r e 5 - a r c - t r a n s i t i v e t h u s ，t h ec o n n e c t e dc u b i ca r e - t r a n s i t i v ec a y l e y g r a p h so nt i l ef i n i t e n o n a b e l i a n s i m p l eg r o u p sa r ea l ln o r m a le x c e p tt w on o n n o r m a la r c - t r a n s i t i v eg r a p h s o fo r d e r - 5 一- t h i sc o n s e q u e n c en o to n l ys o l v et h en o r m a l i t yp r o b l e mb u ta l s oe q u i v - a l e n t l yg i v eac o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no ft h en o n n o r m a lc o n n e c t e dc u b i ca r c - t r a n s i t i v e c a y l e y g r a p h so nt i l ef i n i t en o n a b e l i a ns i m p l eg r o u p s h o w e v e r ，a sf o rr e s e a r c h i n g a b o u tt h en o r m a l i t yo ft h ec o s e tg r a p h sa r er a t h e rf e w a tp r e s e n t ，o n l ym ys u p e r v i s o rs h a n g j i nx uh a ss t u d i e dt h en o r m a l i t yo ft h ec o s e t g r a p h so nt h ef i n i t en o n a b e f i a n s i m p l eg r o u p s ，a n dh eh a sg i v e nq u i tg o o dc o n c l u s i o n s h eh a sp r o v e dt h a tm o s t ，i fn o t a 1 1 t h ec o n n e c t e dc u b i cg - a r c - t r a n s i t i v ec o s e tg r a p h so nt h ef i n i t en o n a b e l i a ns i m p l e g r o u p sa r en o r m a l ，f u r t h e r ，h a sg i v e nb o u n d so ft h ef u l la u t o m o r p h i s mo nt h i sk i n do f g r a p h s t h ep a r t i c u l a rc o n c l u s i o n sa r ea sf o l l o w s ： 1 l e tgb eaf i n i t en 。n a b e l i a ns i m p l eg r o u p ，s a t i s f y i n g g ij ，i a 8 ia n dg 笋a l a ， t h e ne v e r yc o n n e c t e dc u b i cg a r c - t r a n s i t i v es a b i d u s s ic o s e tg r a p hr ：= s a b c g ，t ，d ) i sn o r m a l 2 l e tgb eaf i n i t en 。n a b e l i a ns i m p l eg r o u p ，s a t i s 趴n g2 5j ，i g la n dg 笋a 7 ， t h e ne v e r yc o n n e c t e dc u b i cg a r c - t r a n s i t i v es a b i d u s s ic o s e tg r a p hr ：= s a b ( g ，t ，d ) i sn o r m a l b yu s i n gt h en o r m a l i t yo ft h ec o s e tg r a p h s ，w ec a l lg i v et h eb o u n do ft h ef u l l a u t o m o r p h i s mo fs o m ek i n do fg r a p h s ，a n dw ec a ng e tt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rs o m e k i n do fg r o u p sh a v i n gc o s e tg r a p hr e p r e s e n t a t i o n s 2 o t h e r w i s e ，t h en o r m m i t yo ft h e c o s e tg r a p h sp l a ya ni m p o r t a n tp a r ti ns o l v i n gt h em i m i m u m d e g r e er e p r e s e n t a t i o n f o rt h eg i v e ng r o u p 3 t h i sp a p e rs t u d yt h en o r m a l i t yo ft h es a b i d u s s ic o s e tg r a p hi m p r o v e l y t h e r e a r em a i n l yt h r e ep a r t s ： ( 1 ) c o n s i d e rt h en o r m a l i t yo ft h ec u b i cc o n n e c t e dg a r c - t r a n s i t i v ec o s e tg r a p h f u r t h e r ( 2 ) c o n s i d e rt h en o r m a l i t yo ft h ec u b i cc o n n e c t e da r c - t r a n s i t i v ec o s e tg r a p h ( 3 ) c o n s i d e rt h en o r m a l i t yo ft h ec u b i cc o n n e c t e dc o s e tg r a p h so nt h es o l v a b l e g r o u p ss 4a n dd 4 p t h em e t h o du s e di nt h i sp a p e ri sm a i n l yg r o u p - t h e o r y , i ni t ，w eu s et h eg a pa n d n a n t ys o f t w a r ef o rc o m p u t i n gt h ef u l la u t o m o r p h i s mg r o u p so fs o m ek n o w ng r a p h s f o rt h ec o n c e p t so fg r o u pt h e o r ya n d a l g e b r a i cg r a p ht h e o r yw er e f e rt ot h ed o c u m e n t s 【2 ，4 ，5 】 k e yw o r d s ：s i m p l e g r o u p ；v e r t e x - t r a n s i t i v eg r a p h ；c o s e tg r a p h ； g - a r c - t r a n s i t i v e ；a r c - t r a n s i t i v eg r a p h ；n o r m a l i t y ；g r a m s 阢b j e e rc l a s s i f i c a t i o n s ：0 5 c 2 5 2 0 8 2 5 第一章基本概念及基本结果 1 ：1 基本概念 本文讨论的图都指有限简单无向图，主要采用群论方法，有关的定义 和符号可参阅文献【2 ，4 ，5 】 定义1 1 1 4 一个有限简单无向图r 是指一个顶点数有限且无环无重 边的无向图，即顶点集y ( r ) 有限，边集e ( r ) ：= “u ，”) iu ，u k u ”) 通 常记作f = ( u e ) 定义1 1 2 【6 】设f = ( v e ) 和f ，- ( ，e ) 是两个图，是y 到y 上的 一一映射，满足对于所有的“，u i s , ( u ，u ) e = = 寺( u 4 ，u 4 ) e ， 则称一为图r 到图r 上的同构映射，并称图r 与图r ，同构，记作f 些r ， 我们较常讨论的是顶点集相同的两个图的同构问题，即v 7 = v ，这时有 命题1 1 3 【5 】图f = ( v e ) 与图r = ( v , e ) 同构当且仅当： 存在s y m ( v ) ，使得( u ， ) e = 争( u 7 ，旷) e 定义1 1 4 【4 图f 到自身上的同构映射称为图r 的自同构 定义1 1 5 【4 图r 的全体自同构的集合在置换乘法之下构成一个群， 称为图r 的全自同构群，记作a u t ( r ) a u t ( r ) 的子群统称为r 的自同构群 定义1 1 6 【4 】4 一个图r 如果各顶点的度数都相等，则称为正则图 定义1 1 7 4 】设q = a ，卢，7 ) 是一个非空集合，其元素称作点岛 表示q 上的对称群所谓群g 在q 上的一个作用妒指的是g 到s z 内的一 个同态即对每个元素z g ，对应q 上的一个变换妒( z ) ：n 一酽，并且满 足：( a 。) ”= o “，x ，ye g ，q 如果k e r a = 1 ，则称g 忠实地作用在n 上， 如果e r 妒= g ，则称g 平凡地作用在q 上 定义1 1 8f 4 】设群g 作用在集合q 上，称二元素o ，卢q 为等价的，记 作d 一卢，如果存在z g ，使酽= 卢q 对于”一”的一个等价类叫做g 在q 上的一个轨道 定义1 1 9 【4 1 4 一个轨道所包含的元素的个数叫做该轨道的长，对于a n ，令o g = 酽ize g ) ，则o 。是g 的包含点口的轨道 定义1 1 1 0 ( 4 l 如果g 在n 上只有一个轨道，则称g 在q 上的作用是 传递的 定义1 1 1 1 【7 】一个图r 如果a u t ( f ) 作用在其顶点集v ( r ) 上传递，则 称图r 为点传递图 定义1 1 1 2 【4 】设g s l ，若对任意的i q ，恒有g 产1 ，则称g 为半正 则的，如果半正则群g 又在n 上传递，则称g 为正则群 定义1 1 1 3 【8 】一个图r 如果a u t ( f ) 在r 的弧集上的作用是传递的，则 称图r 为弧传递图弧传递图也叫对称图 定义1 1 1 4 f 9 】设8 是一个正整数，取r 中s + 1 个顶点的序列( 1 ) 0 m r 一， ) ，如果对所有i ，满足( 轧“饥) e ( r ) 及i ) i 一1 饥+ l 则称其为r 的一条s 弧 定义1 1 1 5 【1 0 设r 是无向简单图，并且r 中有圈我们以g ( r ) 记r 中最短圈的长度，叫做r 的围长( g i r t h ) 定义1 1 1 6 【5 1 图r 的一个自同构群h 如果作用在其s 弧集上传递，则 称为( h ，s ) 一弧传递图 定义1 1 1 7 【5 】一个图r 如果只是( h ，s ) 弧传递而非( h ，s + 1 ) 一弧传递， 则称为( h ，s ) 。传递图 定义1 1 1 8 【1 1 】一个图r 如果a u t ( r ) 在r 的所有s 一弧上是传递的，则 称为s 一弧传递图 f l ( v ) 定义1 1 1 9 【1 2 1 设”y ( r ) ，则与”邻接的顶点集合称为”的邻域，记作 定义1 1 2 0 【1 3 】图r 的一个自同构群h 中作用”不变的元素集合构成 日的一个子群，通常称为日关于点”的点稳定子，记作风 命题1 1 2 1 【1 4 图r 是一弧传递图当且仅当h 作用在f 的顶点集v ( r ) 上是传递的，并且任意一点u y ( r ) 在h 中的稳定子群风在 的邻域f 1 ( u ) 上也是传递的 特别地，还有 命题1 1 2 21 15 】设a ：= a u t ( r ) 是r 的全自同构群，图r 是弧传递图当 且仅当a 在f 的顶点集v ( r ) 上是传递的，并且任意一点”v ( r ) 在a 中 的稳定子群a 在”的邻域f i ( u ) 上也是传递的 定义1 1 2 3 【1 6 】设g 是一个有限群，t 是其真子群，d 是若干个形 如t d t ( d 隹t ) 的双陪集的并定义g 关于r 和d 的s a b i d u s s i 陪集图r ：= s a b ( c ，ed ) 如下： v ( r ) = 【g ：t 】，( t 在g 中的全体右陪集的集合) e ( f ) = ( t g ，t d g ) ige g ，d e d ) 当d 是单个双陪集d = t d t 时，简记f = s a b ( g ，正d ) 注：因为不考虑重边，所以当t d g = t d 7 9 时认为边 功，t d g ) 与边 t g ，t d g 相同 命题1 1 2 4 【1 6 】每个点传递图r 一定同构于其全自同构群a ：= a u t ( r ) 的一个s a b i d u s s i 陪集图 事实上，设f = ( u e ) 是点传递图，取g = a u t ( r ) ，t = g 。为g 在顶点 u v 上的点稳定子以及d = g gi 似v g ) e ) 则易知d 是若干个形如 功t ( g t ) 的双陪集的并，且满足d n t = 妒，并且这时有f 型s a b ( c ，t ，d ) 定义1 1 2 5 【17 】设g 是一个有限群，t 是其子群，取q 为t 的所有右 陪集的集合，作用p ( g ) 取右乘变换，则称p ( g ) 为g 在子群t 上的置换 表示该表示的核k e r r ( c ) = t g = n 。g t 9 ，为子群t 在g 中的核 因此有 命题1 1 2 6 【1 8 】g 兰p ( g ) ，其中t v = n g g t a 是右乘置换表示p ( g ) 的核 此外，还有 命题1 1 2 7 【1 9 】g 同构a u t ( s a b ( g ，e d ) ) 的子群p ( g ) 等价于殆= 1 群 定义1 1 2 8 【2 0 右乘置换表示p ( a ) 的核t a = 1 ，则称t 是g 的无核子 定义1 1 2 9f 2 1 】a ：= a u t ( p ) 是s a b i d u s s i 陪集图f ：= s a b ( g ，ld ) 的全自 同构群若p ( g ) 塑a ，则称s a b i d u s s i 陪集图f ：= s a b ( g ，t ，d ) 关于g 是正规 的如果p ( g ) = a ，则称r 是g 的一个图正则表示，简称g r 注：若t 取自g 的无核子群，则g 可作为a u t ( s a b ( g ，t ，d ) ) 的子群，这时 记p ( g ) 为g 1 2 基本结果 为方便读者，在这一节，我们列出了部分与本文有关或在以后章节都 要引用的已知定理，它们均以引理的形式给出 引理1 2 1 ( 1 6 设f = s a b ( a ，e d ) 是g 关于r 和d 的s a b i d u s s i 陪集图， 则 ( 1 ) f 是良定义的度数为l d ：t i 的无向图 ( 2 ) a u t ( r ) 包含g ( 依右乘变换) ，于是r 是点传递图又，顶点2 在g 中 的稳定子群是g - 1 t g ( 3 ) f 是连通的当且仅当g = ( 4 ) r 是无向的当且仅当d _ 1 = d ( 5 ) p 是g _ 弧传递的当且仅当d 是一个单个的双陪集 口 引理1 2 2f 2 2 】设r 是连通3 度( h ，s ) 一传递图，因而1 8 5 取 v ( r ) 并记矾为日的点稳定子，则： 口 现跚“删蛳 笺 竺 兰 些 竺 凰风巩风风时时时时时 l 2 3 4 5 i l = i | j i = s s s s s当当当当当 、j、j 1 2 3 4 5 ，l，【，【 引理1 2 3 【5 】设r 是连通3 度弧传递图，a ：= a u t ( f ) 是图r 的全自同 构群则对任一顶点u u ( r ) ，”在a 中的点稳定子群a 。的阶整除4 8 = 2 4 3 口 引理1 2 4 【4 】设r 是对称图，a ：= a u t ( r ) 是它的自同构群，则a 在r 的弧集上的作用是2 一弧传递的 = 争a 在r 的点集v ( r ) 上是传递的，并且任 一点 v ( r ) 在a 中的点稳定子群也在 的邻域r 1 ( u ) 上作用是2 重传递 的 证明：”号”r 是2 一弧传递的 设 为v ( r ) 中的任一点，1 ，v 2 ，i t l ，u 2 r l ( 口) ，则( l ，u ，地) ，( t 1 ， ，“2 ) 是 r 中的2 一弧，故j n a ，使得( v 1 1 ，忱) 4 = ( u l ，u ，u 2 ) ，有a a 。，( l ，抛) 。= ( u 1 ，“2 ) ， 所以a ：- ( ”) 是2 重传递的 仁v ( r ) ，ar i ( ”) 为2 重传递 设( ”l ，u 3 ) ，( “，u z ，u 3 ) 为r 中的任意2 个2 一弧因为，以作用在v ( r ) 上传递，故3 aea ，使得”；= 则”n l 嵋为r - ( u z ) 中两个不同的点，又 a 。，为2 重传递，所以3 h a 。，使得( u ? ，蠼) “= ( 如，“2 ) ，即3 a h a ，使得 ( u l ，也，地) n = ( u 1 ，i t 2 ，i t 3 ) ，即a 为2 一弧传递 口 引理1 2 5 设g 在q 上传递，i q i = p ，则p 在q 上传递，其中p s t y p ( a ) 证明：由g 在q 上传递， l g ：瓯i = p ，又( i g ：p i ，i g ：g 。i ) = 1 ，所以 g = g 。p ，又y p q ，3 9 = 9 1 9 2 g ，其中，g l g 。，9 2 p 口9 = o l g - 啦= 卢，丑p 0 1 9 2 = 卢，p 作用在q 上传递 口 引理1 2 6 设g 在q 上传递，h g ，若日在q 上也传递，则g = h g 。= g 。h 证明：由g ，h 在q 上传递，v g g ，有o t g = a “日) g = ( g h - 1 ) g n h 第二章有限非交换单群的连通3 度g 弧传递 图的正规性 2 1预备知识及引理 设f = s a b ( g ，t ，d ) 是g 的陪集图，g 为有限非交换单群，由命题1 1 2 6 知g 垡p ( g ) ，简记p ( g ) 为g 陪集功是其中一个顶点，如果不计较代表元 的选取，功在a ：= a u t ( r ) 中的点稳定子简记作a 于是有： 引理2 1 1 【2 】( 1 ) y ( r ) i = f a ：a ，i = l g ：t i ； ( 2 ) a = g a f 及g n a 9 = t g 特另qg n a l = t ； ( 3 ) i a ：g l = i a l ：t i 口 引理2 1 2 【2 】设g 是有限非交换单群，满足i g i a 8j 且g a 1 5 ，则每 个连通3 度g - 弧传递s a b i d u s s i 陪集图f ：= s a b ( g ，正d ) 都是正规的 几 引理2 1 3 【2 】设g 是有限非交换单群，满足2 5 g i 且g a 7 ，则每个 连通3 度g 一弧传递s a b i d u s s i 陪集图f ：= s a b ( g ，ed ) 都是正规的 口 引理2 1 4 【2 3 】设g 是2 a 3 6 5 c 7 8 阶单群，其中，口，b ，c ，d 为非负整数，则 g 同构于下述群之一( 括号中数为相应群的阶) ： ( 1 ) z 2 ，z 3 ，z 5 ，z 7 ( 2 ) a 5 ( 2 2 3 5 ) ，p s l ( 2 ，7 ) ( 2 3 3 7 ) ，a 6 ( 2 3 3 2 5 ) ，p s l ( 2 ，8 ) ( 2 3 3 2 7 ) ，p s u ( 3 ，3 ) ( 2 5 3 3 7 ) ，p s u ( 4 ，2 ) ( 2 6 3 4 5 ) ； ( 3 ) a z ( 2 3 3 2 5 7 ) ，a 8 ( 2 6 3 2 5 7 ) ，p s l ( 3 ，4 ) ( 2 6 3 3 5 7 ) ，p s l ( 2 ，4 9 ) ( 2 4 3 5 2 7 2 ) ，p s u ( 3 ，5 ) ( 2 4 3 2 - 5 3 7 ) ，a 9 ( 2 6 3 4 5 7 ) ，j 2 ( 2 7 - 3 3 - 5 2 - 7 ) ，s 6 ( 2 ) ( 2 9 - 3 4 - 5 7 ) ，a l o ( 2 7 3 4 5 2 7 ) ，p s u ( 4 ，3 ) ( 2 7 3 6 5 7 ) ，s 4 ( 7 ) ( 2 8 3 2 5 2 7 4 ) ，o 手( 2 ) ( 2 1 23 s 5 2 7 ) 口 引理2 1 5 设r ：= s a b ( g ，瓦d ) 为g 的连通3 度g 一弧传递s a b i d u s s i 陪集 图，则 ( 1 ) d 2 t ，且d 可选为2 - 元素 ( 2 ) 若r 为( g ，1 ) 一传递图，则有d = t d t = t d ，t d 2 ，：r d 3 ，其中d ，d 2 ，d 3 都 为2 阶元且d 2 ，d 3 的形式只能为t 2 d t ，t d t 2 ，0 r ) 证明：( 1 ) 设d = t d l t = t d l ，t d 2 ，t d 3 ) 由t a l l ) ，( t d l ，t ) a r c ( r ) ， 又r 为g 一弧传递图，故存在d g ，使( t d l ，t ) 4 = t d l ) ，即( t d l d ，t d ) = ( 正t d l ) = = 争t d l d = et d = t d l = = = d l d t ，d d a - l t ，d d l d i d = d 2 t 由 引理1 2 2 ，知t 中元素要么为2 一元素，要么为3 阶元或6 阶元设d 2 = t ， 若o ( t ) = 2 ，则d 即为所要2 一元素；若o ( t ) = 3 ，则有d 6 = 1 茸o ( c 3 ) = 2 ，取 d ，= d 3 有r = s a b ( g ，t ，d ) = s a b ( g ，ed ，) ，则d ，即为所要2 一元素；若o ( t ) = 6 ，则 有d ”= 1 弓o ( c 3 ) = 4 ，取d ，= d 3 仍有r = s a b ( g ，正d ) = s a b ( g ，zd ，) ，则d ，即 为所要2 一元素 总之，有限非交换单群g 的连通3 度g - 弧传递s a b i d u s s i 陪集图r = s a b ( g ，l d ) ，其中的d 可选为2 一元素，( 1 ) 得证 ( 2 ) r 为( g ，1 ) 一传递图号iti = 3 ，此时d = t d t = t d ，t d 2 ，：r r l 3 ，d 为 2 - 元素，且有d 2 t ，t ，t ，= 辛d 2 = 1 又t 作用在r ，( t ) 上传递，不 妨假设t d t = t d 2 即似，t 氓t 2 d t ) = d 2 ，t d 2 ，t 2 d 2 ) 盾 1 ) 如果d 2 = d t ，贝0 出- d t t = = 争d t d t j t d t = t d ，矛盾 2 ) 如果d 2 = t d t ，则t 出t d t t = = 争d f 2 d t = = 刚产= t d ，矛盾 所以d 2 只可能取t 2 批 而t d t 2 = t d 3 即 d t 2 ，t d t 2 ，t 2 d t 2 ) = d 3 ，t d 3 ，t 2 d 3 ) 1 ) 女口果d 3 = d t 2 ，贝0d t 2 d t 2 丁= = 争d t 2 d = t 爿t d t 2 = t d ，矛盾 2 ) 如果d 3 = t 2 d t 2 ，则护d t 2 t 2 d t 2 = t 2 d t d t 2 t 弓d t d t 爿t d t = t d ，矛 所以d 3 只可能取t d t 2 口 引理2 1 6 5 】顶点n 5 0 0 0 的3 度5 弧传递图，n 只能取自 3 0 ，9 0 ，2 3 4 ，4 6 8 ， 6 5 0 ，2 3 5 2 ，4 7 0 4 中之一 口 引理2 1 7t g ，若t 型磊，则g 不存在连通3 度弧传递陪集图f ：= s a b ( g ，正d ) 证明：反证若存在连通3 度弧传递陪集图，由引理1 2 2 知a - 竺d 。2 ， 又j 4 l 作用在r l ( 即上传递，则z 3 t a l ，由引理1 2 5 磊作用在r l ( t ) 上正则，t 作用在r - ( t ) 上传递，又g 在v ( r ) 上传递，= = r 为凸弧传递， = 辛g l = t 与之一同构，这与g 1 掣t 型磊矛盾 口 引理2 1 8t g ，若t 竺z 3 ，则g 的连通3 度弧传递正规陪集图f ：= s a b ( g ，e d ) 只可能为5 一弧传递的，s 3 证明：r 正规弓g 望a j 丁= g n a l 里a l ，而a l 垡 磊， 岛， d l ：，之一，但 ， 岛易 ，易中无正规3 阶子群，故a ，只能同构于 岛，之一，即f 只能为 fz 3 ， i d 2 。一传递的，。， - 帆 n k + l 1 ， ，墨文l驴x5 垆3 3 5酽铲叫 并要求k 是使肌帆+ ，不可解的最大正整数此时，必然艇= 肌否 则，由正规群列： a = n o n a n k g i 1 加细得到的新主群列，其不可解主因子的下标必然大于k ，矛盾于原主 群列的选取 假设f g ，i + 1 芝g 记百：= g g t + l n , + l i - r ：= g , g , + 1 则由g n g , + 1 = 1 ，g 兰百- n 即i g 川- n 川a i 这说明不可解， 而其他主因子因阶整除ia ：gl = 2 。，可解由k 的选取得l ：k ，即 g 帆及舀：= g n , + 1 g , + 1 丙：= n d n , + 1 设不可孵特征单群丙= h ”，h 是某非交换单群这时日n - g 鱼- g ，得 口n 召= 1 或召h 若h n 百= l 爿h g s n ，i hj l i ：召i = 2 2 ，矛盾于h 为非交换单群 所以召h 再由i h ”ij i 丙f ir g i2 2 ，容易得m = 1 故召h = 假若召h ，则虿是日的指数为2 t ，i 2 的子群，单群对子 ( 日，- ) = ( a 2 。，a 2 。一- ) ，其中，n 3 ，矛盾 于是召= h = = 帆帆+ 1 即n k = l m + 1 】g ，【帆+ 1 1 q = n k 假若帆+ ，1 ，则肌+ - 是阶整除2 2 的群考虑g 在帆+ ，上的共轭作 用，若该作用非平凡，则g 同构于a u t ( n 女+ ，) 的子群，群f 帆+ ，g l ( 2 ，2 ) l = 6 ， 矛盾所以该作用平凡，即帆= 肌+ l g ，导致以= 艇+ 1 g g k + 。g = n k ， 矛盾 于是，n k + 1 = 1 ，即g = n kg a 口 对于g = a 。s ，经g a p 搜索知，其可由一个2 阶元和一个3 阶元生成仿 前面证明a ，a 。可得，a ，。的所有连通3 度弧传递陪集图f = s a b ( a ，。，z d ) 都是正规的，除非i t i = 3 且r 恰为( a ，5 ) 一传递此时，a ：= a u t ( r ) = a ，。，有 a = a 1 a 1 5 ，其中，a 1 望s 4 z 2 且有d = t d t = t d ，t d 2 ，t d 3 ，其中t d 2 ，t d 3 的形式必为引理2 1 5 中的( 2 ) 定理2 2 2a 1 5 的连通3