（基础数学专业论文）一类不可分解banach空间上线性算子理论及有关问题.pdf

摘要 本文的研究内容主要包括三个方面： 一是在g o n z a l e z 和h e r r e r a 引进新型b a n a c h 空间类e ：的基础上，研究：型 b a n a c h 空间上线性算子理论、强连续线性算子( 半) 群和余弦族的性质， 这是本文的主要内容在这种空间上t 证明有界线性算子r 的谱，( 有 特殊性，例如，谱一( t ) 中存在唯一点b 使t 一蛔j 是非本性算子；给出线 性算子( 不一定有界) 的谱的一些性质；证明每个良有界算子t 都能唯一 地表示为t = 盯+ k ，其中a 为标量，k 为紧算子；证明黎斯算子类就等 于非本性算子理想；证明岛群的生成元总是有界线性算子；举例说明 岛半群的生成元不必是有界的；证明由h e r m i t i a n 算子或由等距算子组成 的岛半群的生成元都是有界线性算子；给出( 特别是在自反空间时) 一 致有界岛半群的生成元是有界线性算子的充分条件；给出任何岛半群 的生成元的谱的构成；证明任何岛半群的生成元都满足谱映射定理； 给出一致有界岛半群稳定性的一个谱特征，并且给出这个稳定性定理 的一个应用；证明每个强连续非拟解析余弦族的生成元必是有界线性 算子给出一般b a n a c h 空间上良有界黎斯算子的一个结构表示，从而证 明了一般b a n a e h 空间上每个良有界黎斯算子必是紧算子 二是在一般b m m e h 空间上引进算子的左( 右) b r o w d e r 谱的概念，对两个拟 相似算子s 和t ，研究s 的左( 茬l ) b r o w d e r 谱、b r o w d e r 谱等与t 的左( 右) b r o w d e r 谱，b r o w d e r 谱等的相交关系，证明了s 的右b r o w d e r 谱的每一个连通分支 都与t 的左b r o w d e r 谱相交 三是研究一般b a n a c h 空间上完全有限升指数算子满足w e y l 定理的几 个充分必要条件，以及两个拟相似算子都满足w e y l 定理的条件；证明了 一般b a n a c h 空间上完全有限升指数算子满足b r o w d e r 定理 关键词现型b a n a c h 空间，线性算子，谱，强连续算子( 半) 群，余弦族 a b s t r a c t t h e r ea r em a i n l yt h r e ea s p e c t si nt h i sp a p e r f i r s t l y , o nt h eb a s i so ft h en e wt y p eo fb a n a c hs p a c e s z 1 i n t r o d u c e d b y g o n z a i e z a n d h e r r e r a ，t h e t h e o r y o f l i n e a r o p e r a t o r s ，s t r o n g l y c o n t 1 n u o u s ( s e m i - ) f o u p s a n dt h ep r o p e r t i e so fc o s i n ef a m i l ya r es t u d i e do nt h e ：一t y p eb a n a c hs p a c e s ，t h e ya r em a i nc o n t e n t s i nt h i sp a p e r o ns u c hs p a c e s ：i ti ss h o w nt h a tt h e8 p e c t r 哪矿( 砷o f8b o u n d e dl i n e a ro p e r a t o rt h a sc o m es p e c i a lp r o p e r t i e s ，f o ri n s t a n c e ，t h e r ei sa nu n i q u ep o i n t ri n 矿( ，r ) s u c ht h a tt a t ii s a ni n e s s e n t i a lo p e r a t o r ；8 0 m ep r o p e r t i e so ft h es p e c t r u mo fl i n e a ro p e r a t o r s ( n o tn e c e s s a r i l yb o u n d e d ) a r eo b t a i n e d ；i ti ss h o w nt h a te v e r yw e l l - b o u n d e do p e r a t o rtc a nb er e p r e s e n t e da 8t 茹m + k h e r eai ss c a l a r ki 8ac o m p a c to p e r a t o r ；i ti ss h o w nt h a tt h ef a m i l yo fa l lr i s s zo p e r a t o r si sj u s t t h ei d e a lo fa l li n e s s e n t i a lo p e r a t o r s ；i ti ss h o w nt h a tt h eg e n e r a t o ro fe v e r yc b g r o u pi sn e c e s s a r i l ya b o u n d e do p e r a t o r ；t h eg e n e r a t o r so f 侥- s e m i g r o u p sn e e dn o tb eb o u n d e db ya ne x a m p l e ；i ti ss h o w n t h a tt h eg e n e r a t o r so fc e r t a i nc l a s s e so fo o - s e m i g r o u p so ft h eo p e r a t o r ss u c ha 8h e r m i t i a no p e r a t o r sa n d i s o m e t r i e sa r ea l w a y sb o u n d e d ：s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e du n d e rw h i c ht h eg e n e r a t o r so f u n a n i m o u s l yb o u n d e d 岛- s e m i g r o u p sa r eb o u n d e d ( i np a r t i c u l a r l yo nr e f l e x i v es p a c e s ) ；t h ec o n s t i t u t i o n o ft h es p e c t r u mo ft h eg e n e r a t o ro fa n yc o - s e m i g r o u pi so b t a i n e d ；i ti ss h o w nt h a tt h eg e n e r a t o ro f a n y 岛- s e m i g r o u ps a t i s f i e st h es p e c t r a lm a p p i n gt h e o r e m ；as p e c t r a lc h a r a c t e r i z a t i o no fs t a b i l i t yf o r u n a n i m o u s l yb o u n d e dc o s e m i g r o u p si so b t a i n e d ，a n da na p p l i c a t i o nt ot h es t a b i l i t yt h e o r e mi sg i v e n ； i ti ss h o w nt h a tt h eg e n e r a t o ro fa n ys t r o n g l yc o n t i n u o u s ，n o n - q u a s i a n a l y t i cc o s i n ef a m i l yi sn e c e s s a r i l y ab o u n d e do p e r a t o r o ng e n e r a lb a n a c hs p a c e s ，ac o n s t i t u t i v er e p r e s e n t a t i o nf o raw e l l - b o u n d e dr i e s z o p e r a t o ri so b t a i n e d 8 0i ti ss h o w nt h a te v e r yw e l l - b o u n d e dr i e s zo p e r a t o ri sn e c e s s a r i l yac o m p a c t o p e r a t o r s e c o n d l y , t h ec o n c e p t so ft h el e f t ( r i g h t ) b r o w d e rs p e c t r u mo fo p e r a t o r sa r ei n t r o d u c e do ng e n e r a l b a n a s hs p a c e s t h ei n t e r s e c t i o nr e l a t i o n sb e t w e e nt h el e f t ( r i g h t ) b r o w d e rs p e c t r u mo ft h eo p e r a t o rsa n d t h a to ft h eo p e r a t o rta r es t u d i e dw h e n 占a n dta r eq u a s i s i m i l a r i ti ss h o w nt h a te v e r yc o m p o n e n to f t h er i g h tb r o w d e rs p e c t r u mo fsi n t e r s e c t sw i t ht h el e f tb r o w d e rs p e c t r u mo ft t h i r d l y , o ng e n e r a lb a n a c hs p a c e s ，s o m es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e du n d e r w h i c ht h eo p e r a t o r sw i t hc o m p l e t e l yf i n i t eu s c e n ts a t i s f yt h ew e y lt h e o r e m ，a n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s a r eo b t a i n e du n d e rw h i c ht w oq u a s i s i m i l a ro p e r a t o r sb o t hs a t i s f yt h ew e y lt h e o r e m ；i ti ss h o w nt h a t e v e r yo p e r a t o rw i t hc o m p l e t e l yf i n i t ea s c e n ts a t i s f i e st h eb r o w d e rt h e o r e m k e y w o r d ss 1 - t y p eb a n a c hs p a c e ，l i n e a ro p e r a t o r ，s p e c t r u m ，s t r o n g l yc o n t i n u o u so p e r a t o r ( s e m i - ) g r o u p ，c o s i n ef a m i l y 第一章引言和预备知识 1 1 引言 1 9 9 3 年g o w e r s 和m s u r e y 1 l 联手，通过构造出第一例遗传不可分解b a n a c h 空间硒。，否定地解决了“无条件基序列问题”1 9 9 4 年g o w e r s l 。j 构造出一 个b a n a c h 空间洳，否定地解决了b a n s c h 本人提出的“超平面问题”1 9 9 4 年g o w e r s 【3 1 构造出一个b a n a c h 空间砺，否定地解决了所谓的三分枝问题： 每一个b a n a c h 空间是否有子空间或自反，或同构于匈，或同构于1 1 1 9 9 6 年 g o w e r s 4 1 在两个新二分枝法则的基础上，肯定地解决了所谓的齐性b a n a c h 空间问题：如果一个可分b a n a c h 空间x 与其任意一个无限维子空间同 构，则x 同构于h i l b e r t 空间1 9 9 6 年g o w e r s s 通过构造一个b a n a c h 空间x g 4 ， 有性质洳* 秘但x c 带碓，否定地解决了著名的s c h r o e d e r - b e r l m t e i n 问题 1 9 9 7 年g o w e r s 和m a u r e y 8 1 再度联手构造出一个b a n a c h 空间洳。，肯定地说明存 在非平凡( 即非c o 、同构型) 的素空间，并且探讨算子构成对空间结 构的反作用g o w e r s 主要因为上述系列成果于1 9 9 8 年8 月获得了f i e l d s 奖 ( 见文献吲) 1 9 9 7 年以来，以f e r e n c z i i s 一，a r g y r o s 和f e l o u z l s 1 0 ，g o n z a l e z 和h e r r e r a i ”】，钟 怀杰【1 2 1 ，m 等的工作为代表，给出了g o w e c s - m a u r e y 型空间的诸多新品种：遗 传有限分解空间，商遗传不可分解空间，插值遗传不可分解空间，商有 限分解空间，商不可分解空间等2 0 0 5 年g o n z a l e z 和h e r r e r a 1 4 又引进新型 b a n a c h 空间类? ，其中b a n a c h 空间类：是一类不可分解空间，它是遗传不 可分解空间和商不可分解空间的推广对g o w e r s - m a u r e y 系列成果的深入 研讨，已成为泛函分析空间理论中引人注目的前沿专题( 见文献【1 5 ，1 6 】) 不仅如此，b a n a c h 空间新品种的出现和b a n a c h 空间结构的新格局，还极 大地丰富了b a n a c h 空间上算子理论和算子代数k 理论的研究内容( 见文 献 1 7 - 2 4 1 ) 本文的研究内容主要包括三个方面：一是在文献【1 4 】引进新型b a n a c h 空间类：的基础上，研究e ：型b a n a c h 空间上线性算子理论、强连续线性 算子( 半) 群和余弦族的性质，它们是本文的主要研究内容；二是通过 引进算子的左( 右 ) b r o w d e r 谱的概念， 子s 和t ，研究s 的左( 右 ) b r o w d e r 谱， 对一般b a n a c h 空间上两个拟相似算 b r o w d e r 谱等与t 的左( 右) b r o w d e r 谱、 b r o w d e r 谱等的相交关系；三是研究一般b a n a c h 空间上完全有限升指数算 子满足w e y l 定理的几个充分必要条件，以及一般b a n a c h 空间上两个拟相 似算子都满足w e y l 定理的条件 我们知道，对于一般b a n a c h 空间上的线性算子( 不一定有界) ，谱性质的 研究已经有许多结果，但关于谱结构问题，至今仍然没有完全解决既 然瑶型b a n a c h 空间是一类特殊的不可分解空间，自然就有必要探究其上 的线性算子( 特别是有界线性算子) 的谱性质和谱结构有什么特殊性 我们获得比较完美的如下结果 主要结果一：设x 是一个：型b a n a c h 空间，t b ( x ) ，那么 ( 1 ) t 的谱a ( t ) 中存在唯一点蛔使t a ，是非本性算子，且钆( t ) = b ( 2 ) 若b 如( 1 ) 中的情况，则t 一 r i 是黎斯算子，而且蛔是c 中使t a 一 为黎斯算子的唯一的点特别地，一( t ) 或是有限集或是由一个收敛到 a ，的特征值序列) 器，构成而且，一( r ) ( 蛔 中的每一点都是，( t ) 中的 孤立点，且相应的谱投影e ( 九? ) 都是有限秩的 ( 3 ) t 是可分篇算子( 命题2 2 7 ) 主要结果一说明了：型b a n a c h 空间上有界线性算子具有特殊的谱性 质和谱结构，其中结果( 1 ) 和( 2 ) 是本学位论文展开系列研究的基础 主要结果二：设x 是一个：型b a n a c h 空间，d ( t ) ) 是x 中一个具有 非空的预解集p ( t ) = c v ( t ) 的线性算子那么 ( 1 ) ，( r ) 或是一个有限集( 可能是空集) ，或是由扩充复平面c 。= c u o o 中的一个收敛点列构成( 命题2 2 1 0 ) ( 2 ) 若a ( t ) 是c 的一个有界无限子集，则t b ( x ) ( 命题2 2 1 2 ) 其中结果( 1 ) 给出：型b a n a c h 空间上线性算子( 不一定有界) 的谱结构， 结果( 2 ) 给出这种空间上闭算子是有界算子的一个充分条件 虽然紧算子必是黎斯算子，但由文献【2 5 l 知一般b a n a c h 空间上的黎斯 算子不一定是紧算子，所以有必要迸一步探究使黎斯算子成为紧算子 的条件本文第二章2 3 给出一般b a n a c h 空间上良有界黎斯算子的一个 结构表示，从而证明了一般b a n a c h 空间上每个良有界黎斯算子必是紧算 子即有 主要结果三：设x 是一个b a n a c h 空间，t 口( x ) 是良有界黎斯算子 ( 1 ) 若一( t ) = t ) 器。u o ) ，其中 ) 器。是t 的互不相同的实特征值序列且满 足f ，i - - - i 知| 一，一o u o o ) ，则必存在一列一致有界的互不相交的有限 秩投影算子 b ) 整。cb ( x ) ( 即存在常数k ，使对每个j21 ，i i 马临k ，且当i j 时只b = o ) ，使r = 翠，弓，其中级数按b ( x ) 的算子拓扑收敛( 定理2 3 1 0 ) ( 2 ) x 上每个良有界黎斯算子必是紧算子( 推论2 3 1 1 ) 对于良有界算子的研究，当我们的研究视角从一般b a n a c h 空间转到 特殊的砭型b a n a c h 空间时，获得比文献( 1 7 ，定理1 j 更好的如下结果 主要结果四：设x 是一个e ：型b a n a c h 空间那么 ( 1 ) 若t 口( x ) 是良有界算子，那么存在唯一的紧算子耳晖) 使 t = 蛔k ，其中妇r 满足t b ) = ( t ) ( 定理2 3 1 2 ) ( 2 ) 若t b ( x ) 是( b ) 型良有界算子，f ：r 一口僻) 是t 的谱系，b 是一( t ) 中使t 一如，是黎斯算子的唯一点，则对每个“e 一( t ) 蛔) ，u 是t 的特征值， 且谱投影f ，t ) 的值域等于k e r ( t u n ( 推论2 3 1 5 ) 其中结果( 1 ) 把文献【1 7 定理1 】关于遗传不可分解b a n a c h 空间上每个( b ) 型良有界算子的结构表示定理推广到更大的：型b a n a c h 空间类和更大 的良有界算子类，结果( 2 ) 给出了：型b a n a e h 空间上( b ) 型良有界算子的 特殊谱性质 由文献【2 5 】知一般b a n a c h 空间( 甚至h i l b e r t 空间) 上黎斯算子类一般来说 既不是一个向量空间也不是一个理想，在算子范数拓扑下般来说也 不是一个闭集但在毯型b a n a c 出空间上黎斯算子类有特殊性质本文第 二章2 3 证明了：型b a n a c h 空间上黎斯算子类r ( x ) 就等于非本性算子理 想h ( x ) ，从而r ( x ) 是b ( x ) 中亏维为1 的依算子范数闭的双侧理想即有 主要结果五；设x 是一个e ：型b a n a c h 空间，那么x 上黎斯算子类月僻) 就等于非本性算子理想h ( x ) ，从而r ( x ) 是b ( x ) 中亏维为l 的依算子范数 闭的双侧理想( 定理2 3 1 7 ) 我们知道，在一般b a n a c h 空间上讨论生成岛群和g o 半群的线性算子 及其谱的性质是有困难的，至今已取得的结果并不多，到目前为止还 不知道一般b a n a c h 空间上生成岛群和岛半群的线性算子是否是有界线 性算子既然：型b a n a c h 空间是一类特殊的不可分解空间，自然就有 必要研究e ：型b a n a c h 空间上生成岛群和岛半群的线性算子有什么特殊 性本文第三章5 3 l 探究：型b a n a c h 空间上生成岛群和岛半群的线性算 子的有界性和谱性质，首先得到如下结果 主要结果六；设x 是一个e ：型b a n a c h 空间，d ( t ) ) 是岛群 e t r ，t r 的 生成元，则t b ( x ) ( 定理3 1 5 ) 其次，本文还证明了如果毯型b a n a c h 空间上岛群的生成元为t ，而且 g 0 群是多项式增长的，那么对某个k n ，口一b 胪是紧算子，并且一a r 胪 是有限秩算子当且仅当一( t ) 是有限集 但对：型b a n a c h 空间上岛半群，结果有些不同本文举例说明e ：型 b a n a c h 空间上岛半群的生成元不必是有界的因此有必要探究在什么条 件下：型b a n a c h 空间中岛半群的生成元是有界线性算子本文首先证明 在e ：型b a n a c h 空间中由h e r m i t i a n 算子或由等距算子组成的岛半群的生成 元都是有界线性算子然后给出在：型b a n a c h 空间( 特别是在自反e ：型 b a n a c h 空间) 中一致有界岛半群的生成元是有界线性算子的充分条件 虽然e ：型b a n a c h 空间上岛半群的生成元不一定是有界算子，但本文 证明了这种空间上任何岛半群的生成元都满足谱映射定理，并且给出 了这种空间上任何岛半群的生成元的谱结构即有 主要结果七：设x 是一个毯型b a n a c h 空间，仍d ( 习) 是x 上岛半群( e t r t ，。 的生成元则 ( 1 ) ，( 砷或是有限集( 可能是空集) ，或是由一个数列) 墨。构成，其中数 列 k 甚，或收敛到某个a c ，或满足，墨r e x 。= 一o o 特别地，若算子d 口) ) 生成一个岛群，那么，( 刃是c 中的一个有界子集( 命题3 1 4 ) ( 2 ) 对每个t 0 ，e “( 即= ( e 7 ) o ) ( 定理3 1 8 ) 同样地，我们至今还不知道一般b a n a c h 空间上每个强连续非拟解析 余弦族的生成元是否是有界线性算子本文第三章3 3 利用：型b a n a c h 空间的结构特点，证明了在e ：型b a n a c h 空间中每个强连续非拟解析余弦 族的生成元必是有界线性算子 已知文献 2 6 】中给出了h i b e r t 空间上岛半群稳定性的一个充分条件， 文献 2 7 1 2 8 】中给出了b a n a c h 空间上岛半群稳定性的一个充分条件，文献 f 29 】中给出了超自反b a n a c h 空间上一致有界岛半群超稳定性的一个谱特 征，但到目前为止一般b a n a c h 空间上岛半群稳定性的谱特征尚未建立 本文第三章3 2 综合应用了抽象解析函数的积分技巧和线性算子谱理 论的知识，给出了e ：型b a n a c h 空间上一致有界岛半群稳定性的一个谱特 征，并且给出这个稳定性定理的一个应用即有 主要结果八：设x 是一个e ：型b a n a c h 空间，( a ，d ( a ) ) 是x 上一个一致 有界岛半群 t ( t ) k o 的生成元，那么 t ( t ) t 邳是稳定的充分必要条件是 唧( ) n t r = o ( 定理3 2 4 ) 对于岛半群稳定性的谱特征的研究，我们的主要结果八虽然还只是 研究特殊空间上特殊岛半群，但它仍是到目前为止最好的结果 自1 9 6 7 年b 一n a g y 和c f a i a s l 2 6 1 两人提出算子的拟相似概念以来，研 究b a n a c h 空间( 特别是h i l b e r t 空间) 上两个拟相似算子s 和t 的谱一( s ) 的某 些子集与谱一( t ) 的某些子集的相交关系至今仍是算子理论中一个没有 完全解决的课题( 见文献f 3 0 ，3 1 j 等) 设算子s 和t 拟相似，t b h o o v e r 在文 献【3 2 】中证明了一( s ) n ，( t ) o ，d a h e r r e r o 在文献【3 3 】中证明了一( 占) 的每一个 连通分支r 都有r n a ( t ) o ，l a f i a l k o w 在文献 3 4 】中证明了“( s ) n 吒( t ) o ， l a f i l k o w 在文献中证明了西。( s ) n 巩。( 力p ，j g s t a m p f l i 在文献 3 6 j 中证明 了巩( s ) n 靠( t ) o ，d a h e r r e r o 在文献【3 0 1 中证明了吒( s ) 的每一个连通分支r 都有r n “( t ) o 与算子的左( 右) 本质谱类似，本文第四章通过引进算子 的左( 右) b r o w d e r 谱的概念，对空间上两个拟相似算子s 和2 ，证明了西。( s ) 的每一个连通分支r 都有r n ( t ) o ，同时证明了几( s ) 的每一个连通分 支r 都有r n ( t ) o 即有 主要结果九；设x 为一般b a n a c h 空间，s ，t b ) ，s t ，则对西6 ( t ) 的每一个连通分支r 都有r n k t ) n 盯( s ) o 从而r n ( s ) o 其中a j ( t ) = 以b ( t ) 【日啬。( t ) u a 。o 。( t ) 】。( 定理4 2 ，1 6 ) 1 9 0 9 年h w e y l 在文献m 中证明了h i l b e r t 空间上自共轭算子t 必满足 a ( 功( t ) = 咖( t ) ，这时把t 称为满足w e y l 定理对b a n a c h 空间上算子t ，若 ( t ) = ( t ) ，则称t 满足b r o w d e r 定理文献f 3 8 】中有例子说明b a n a c h 空间( 甚 至h i l b e r t 空间) 上的算子不一定都满足w e y l 定理或b r o w d e r 定理研究b a n a c h 空间( 特别是h i l b e r t 空间) 上算子在什么条件下满足w e y l 定理或b r o w d e r 定 理至今仍是算子理论中一个没有完全解决的课题( 见文献1 3 9 4 0 】等) 因此 有必要从空间结构和算子性质两个方面进一步研究在什么条件下一个 算子能满足w e y l 定理或b r o w d e r 定理在文献【1 4 】引进新型b a n a c h 空间类e ： 的基础上，本文第五章5 1 首先证明了如下结果 主要结果+ ：设x 是一个：型b a n a c h 空间，那么每个t s c x ) 都满足 w e y l 定理和b r o w d e r 定理( 命题5 1 3 ) l a c o b u r n 在文献1 4 1 】中证明了亚正常算子满足w e y l 定理，w y l e e 和 s h l e e 在文献【4 2 】中证明了，( t ) 满足w e y l 定理( 其中t 为亚正常算子，是 一( t ) 的开邻域上的解析函数) ，m c h 5 ，m i t o h 和s 6 s h i r o 在文献【4 3 】中证明了 p 一亚正常算子满足w e y l 定理( o p s l ) ，b p d u g g a 在文献中证明了， 满足w e y l 定理( 其中t 为p 一亚正常算子( o p 1 ) ，是一( t ) 的开邻域上的 解析函数) 既然亚正常算子是完全有限升指数算子( 见文献【4 5 】) ，因 此自然要问：完全有限升指数算子是否也满足w e y l 定理和b r o w d e r 定理? 本文第五章5 2 证明了b a n a c h 空间上完全有限升指数算子满足b r o w d e r 定 理，并且也满足w e y l 谱的谱映射定理即有 主要结果十一：设x 为一般b a n a c h 空间若t b ( x ) 或p b ( x ) 为完全 有限升指数算子，则 ( 1 ) 对每个，h p 口) ) 有，( o 。口) ) = ( ，口) ) 其中h p 口) ) 表示一口) 的开邻域 上所有复值解析函数( 定理5 1 1 4 ) ( 2 ) 对每个，钾( 一( t ) ) ，f c t ) 满足b r o w d e r 定理( 定理5 1 1 5 ) 不仅如此，本文还给出了b a n a c h 空间上完全有限升指数算子满足w e y l 定理的几个充分必要条件即有 主要结果+ 二：设x 为般b a n a c h 空间那么 ( 1 ) 若t b ( x ) 为完全有限升指数算子，则t 满足w e y l 定理当且仅当对 每个 砌( t ) ，值域r a n ( t a ) 是闭的( 定理5 2 2 ) ( 2 ) 若t b ( x ) 或t b ( x ) 为完全有限升指数算子，则t 满足w e y l 定理 当且仅当日( t ) 一m r o o ( t ) ；t 满足w e y l 定理当且仅当嵋( t ) = ，r o o ( t ) ( 定理5 2 1 ) 由于本文涉及较多概念和记号，所以主要采取分散各处随时引进的 处理方法本文中凡属于引用定义，引理、命题、推论等均及时注明出 处，否则意味着是我们的工作 1 2 主要记号和预备知识 本文中若无特别声明，x 均表示无限维复b a n a c h 空间，x 表示x 的 对偶空间b ( x ) 表示x 上有界线性算子全体，耳( x ) 表示x 上紧算子全 体，j 表示x 上恒等算子。c 表示复数全体，z + 表示非负整数全体，n 表示正整数全体，d 。表示复平面上点集d 的内点全体，o d 表示d 的边 界，i s o d 表示d 的孤立点全体 对于t b ( x ) ，t 表示t 的共轭算子，k e r ( t ) 和r a n ( t ) 分别表示t 的零空 间和值域，记t 的零维为p ( t ) = d i m k e r ( t ) ，t 的亏维为一( t ) = p ( t - ) = d i m k e r ( t ) = d i m ( x r a n c t ) ) 若“( t ) 与v ( t ) 中至少有一个有限，则记i n d ( t ) = p ( t ) 一p ( t ) 若 存在非负整数n 使得k e r ( t ) = k e r ( p + ) ，则记t 的升指数为a s c ( t ) = m i n n ： k e r ( t ) = k e r ( t + x ) ，n z + ) ，否则记a s c ( t ) = o 。若存在非负整数m 使得r a n ( t m ) = r a n ( t + 1 ) ，则记r 的降指数为d e s ( t ) = m i n m ：m n ( p ) = r a n ( t m + 1 ) ，m ez + ) ，否则记 d e s ( t ) = o o 如果a s c ( t ) 0 0 且d e s ( t ) o o ，则a s c ( t ) = d e s ( t ) 记* ( 卵= u 甚lk e r ( t ”) ， r ”( t ) = n 墨1r a n ( t “) x 上左半y i e d h o l m 算子全体记为西+ ( x ) = p b ( x ) ：r a n ( t ) 闭且p ( t ) ) ， x 上右半f r e d h o l m 算子全体记为o - ( x ) = p b ( x ) ：r a n ( t ) 闭且v ( t ) o o ) ，x 上f r e d h o l m 算子全体记为圣( x ) = 西+ i x ) n 圣一i x ) ，x 上半l 舟e d h o l m 算子全体记为 垂士( x ) = 圣+ i x ) u 垂一i x ) 记圣。( x ) = t 西士i x ) ：i n d ( t ) = n ) ，n = o ，士1 ，士2 ，4 - c o x 上 w e y l 算子全体记为垂。( x ) = 口圣( x ) ：i n d ( t ) = o ) ，x 上b r o w d e r 算子全体记为 雪i x ) = t 圣( x ) ：a s c ( t ) 0 0 ，d e s ( t ) ) 对于t b ( x ) ，( t ) = c ：t 一 在日( x ) 中不可逆) 表示t 的谱，p ( t ) = c 一( t ) 表示t 的预解集，a p ( t ) 表示t 的特征值全体，丌o ( t ) 表示t 的有限几何重特 征值全体，咖( t ) 表示r 的孤立有限几何重特征值全体，醒( t ) = n c ：a 是 一口) 的孤立点且谱投影e ( a ，2 - ) 是非零有限秩的表示t 的孤立有限代数重 特征值全体，( t ) = c ：存在) c x 使i lz 。0 = 1 且“+ 。0 口一a k i l - o ) 表 示t 的近似点谱，“口) = n c ：r a n ( t 一柚科表示t 的值域非满谱( 或称满射 谱) ，口) = d c ：胁口一a ) 非闭 表示t 的值域非闭谱t 的左本质谱定义为 们。= d c ：r 一 钆( x ) 或虽r a 外( x ) 但r a n ( t 一 ) 在x 中不可补) ，t 的右本 质谱定义为“。口) = n c ：t a ge l , ( x ) 或虽t a 圣一( x ) 但k e r ( t a ) 在x 中不可 补) ，t 的本质谱定义为吒( t ) = n 1 3 ：t a g 圣( x ) = 以。( t ) u 卧。( t ) ，t 的k a t o 谱定 义为“( t ) = n c ：t a m ( x ) ) ，t 的w e y l 谱定义为( 研= n c ：t a c i , o ( x ) t 的b r o w d e r 谱定义为c r b ( 丁) = a 1 2 ：t a 皿( x ) 设t b ( x ) 记西+ ( t ) = a c ：t a 垂+ ( x ) ) ，垂一( t ) = a c ：t a 西一( x ) ) ，圣士( t ) = 垂+ ( t ) u 圣一( t ) ，西( t ) = 西+ ( t ) n 圣一( t ) ，雪。( t ) = a c ：2 一a 西。( x ) = 0 ，5 ：1 ，4 - 2 ，士o o ) ， 垂m 。( t ) = t a c ：r a n ( ：r a ) 闭且u ( t a ) = 竹i ，( t a ) = n ，( 竹i ，竹= 0 ，1 ，2 ，o o ) 命题l 2 1 1 2 4 1 设x 为无限维复b a r m e h 空间，t b ( x ) ，则 ( 1 ) m ( t ) ，圣。( t ) = o ，4 - 1 ，士2 ，士) ，西o 。( t ) ，圣。o ( t ) ( m = 0 ，1 ，2 ，) 都是c 中的 开集 ( 2 ) 圣( t ) 的每一个连通分支r 都有某一个固定指标n ( n = o ，4 - 1 ，士2 ，士o o ) ， 即对任意a r ，i n d ( t a ) = n 命题1 2 2 1 2 4 设x 为无限维复b a n a e h 空间，t b ( x ) ，则 ( 1 ) 口( t ) ，o b ( t ) ，( t ) ，“( 2 ) ，巩。( t ) ，“。( t ) ，吼( t ) 都是c 中的非空紧集 ( 2 ) 盯( t ) ) ( t ) ) 口o ( t ) ) 口- ( t ) ) d ( t ) ( 3 ) d b ( t ) = n ( 口( t + 耳) ：k k ( x ) ，k t = t k = 盯( t ) 以( t ) ， 盯叫( t ) = n 盯( t + 耳) ：k k ( x ) ) = 盯( t ) 垂o ( t ) ( 4 ) d i ( t ) = 以。( t ) u ( 垂o ( t ) n 盯( t ) 。) ，a 口i ( t ) ca 口训( t ) ( 5 ) 吼。( t ) = 口。( t ) u ( u 1 。 。圣n ( t ) ) u ( u l 。 。圣一n ( t ) ) ，a z ”( t ) ca 仃c ( t ) ( 6 ) “( t ) = 盯k ( t ) u 垂( t ) u 圣一( t ) ，a 凡( t ) c 曲k ( t ) ( 7 ) ( 7 1 ( t ) = d k ( t ) um 。o ( t ) ，d “( t ) = 盯k ( t ) u 垂一( t ) ( 8 ) d ( t ) = d o ( t ) u 西( t ) 9 定义1 2 3 【矧设x 是线性空间，噩，恐，是x 的线性子空间对任 意z 托+ 恐+ + ，若$ 的分解式z ：l + 勋+ + 2 。( e 五“= l 2 ，n ) ) 是唯 一的，则称五十恐+ + 是代数直和 定义1 2 4 1 2 4 设x 是b a n a c h 空间，x 。，x 2 ，矗是x 的闭子空间，称 y = x 。+ 恐+ + 墨是拓扑直和，如果y 是代数直和，且对t 1 。2 ，n ) 的任 意非空子集，k = m 咒是x 中的闭子空间这时记y = x 。o x 2 0 申矗 特别地，若x 是x 的两个闭子空间m ，n 的拓扑直和，即x = m 审n ，则称 m c n ) 在x 中( 拓扑) 可补，( m ) 为m c n ) 的一个补子空间 定义1 2 5 1 2 4 称两个b a n a c h 空间x 和y 是( 拓扑) 同构的，如果x 和y 是 线性同构且范数拓扑同胚 定义1 2 6 1 2 4 称t b ( x ) 为非本性算子，如果对任意a b c x ) ，t + a 圣( x ) x 上非本性算子全体记为h ( x ) 定义1 2 7 1 2 4 称t b c x ) 为严格奇异算子，如果t 在任意无限维闭子空 间m c x 上的限制t i 。：m t m 都不是同构x 上严格奇异算子全体记 为s ) 定义1 2 8 1 2 4 称t b c x ) 为严格余奇异算子，如果对x 的任意亏维无限 的闭子空间n c x ，“t 都不是满射，其中“：x x n 是商映射x 上严 格余奇异算子全体记为萨( x ) 定义1 2 9 1 2 4 1 称t b ( x ) 为r i e s z 算子( 黎斯算子) ，如果对任意0 a c ， t 一圣( x ) x 上r i e s z 算子全体记为r c x ) 命题1 2 1 0 2 4 设x 为无限维复b a n a c h 空间，则 职n c x ) ) 躲) ) k c x ) 第二章暑：型b a n a c h 空间上线性算子理论 2 1z ：型b a n a e h 空间的概念和性质 定义2 1 1 1 1 】b a n a c h 空间x 称为是不可分解的，如果x 不能表示成两个 无限维闭子空间m 和n 的拓扑直