（基础数学专业论文）三角范数archimedean性质的刻画及凸性问题.pdf

三角范数a r c h i m e d e a n 性质的刻画及凸性问题 摘要 最近几年，模糊数学已成为模糊最优化和模糊控制及模糊领域中非常重要 的工具它也在模糊集理论中起到重要的作用通过z a d e h 的扩展原理，可以把 实数上的算术运算扩展到模糊区间上的算术运算而这个重要的原理就是基 于t 一范数a r c l f i m e d e a n 性质又是t 一范数中的重要性质之一连续的t 一范数可 以完全由a r 出皿e d e nt 一范数来刻画，并且如出血e d e 8 n 性质与加法生成元和乘 法生成元也有非常紧密的联系，等等如能清晰的刻画出a r c h i m e d e a n 性质，必将 对t 一范数的发展起到推动作用系词不仅在概率理论和统计中起重要作用，而 且在其他需要输入数据的集合中起到重要作用象多元决策的制定，概率度量 空间等等，而且结合系词还是熟知的三角范数的子类而本文中提到的公开问 题的解决将会产生全新的结合系词的刻画 本文主要讨论了三角范数的舭h i m e d e m 性质的刻画和三角范数的凸性问 题前半部分回答了三角范数的凸性问题，得出了以下的结论： ( 1 ) 对于严格的连续的a r e h i m e d e a nt 一范数，可以证明对所有z 【o ，1 】和所有 o 】o ， f t ( m a x ( x o ，o ) ，m i n ( x + o ，1 ) ) s t ( x ，z ) ( ) 当且仅当t 是凸的总是成立的 ( 2 ) 对于幂零的连续的a r c h i r n e d e a nt 一范数，对所有。【o ，1 】和所有o 】o ，；【 t ( m “扣一o ，o ) ，m i n ( x + 口1 1 ) ) s t ( z ，) ( ) 当且仅当t 是凸的不一定成立并在削弱 条件的情况下，又进行了讨论后半部分刻画了a r e h i m e d e a n 性质，得到了以下重 要的定理： ( 1 ) 若连续的t _ 范数t 满足c c l 且无零因子，则t 是a r c h i m e d e m 的 ( 2 ) t 是连续的a r e h i m e d e a nt - 范数且无零因子，则t 是严格的 等 并做了推广最后一部分做了总结 关键词：三角范数、a r c h i m e d e a n 性质、凸性、连续 c h a r a c t e r i z a t i o n st o t h ea r c h i m e d e a n a n dt h ec o n v e x i t yo ft r i a n g u l a rn o r m s a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，f u z z ym a t h e m a t i c sh a sg r o w ni ni m p o r t a n c ea sa na d v a n c e dt o o li n f u z z yo p t i m i z a t i o na n dc o n t r o lt h e o r y t h eu s u a la r i t h m e t i co p e r a t i o n so nt h er e a l sc a l l b ee x t e n d e dt or i t h m e t i co p e r a t i o n so nt h ef u z z yi n t e r v a l sb ym e a n so fz a d e h se x t e n - s i o np r i n c i p a l t h i sp r i n c i p a li sb a s e do i lat r i a n g u l a rn o r mt o n eo ft h em o s ti m p o r t a n t p r o p e r t i e st b a tc a b es a t i s f i e db yt - n o r m so nt h eu n i ti n t e r v a li st h ea r c h i m e d e a np r o p - e r t y ：c o n t i n u o n st - n o r m sc a nb ef u u yc h a r a c t e r i z e db ym e a n so fa r c h i m e d e a nt - n o r m s ，t h e a r c h i m e d e a np r o p e r t yi sc l o s e l yr e l a t e dt 0a d d i t i v ea n dm u l t i p l i c a t i v eg e n e r a t o r s e t c c o p u l a sh a v ep l a y e da ni m p o r t a n tr o l en o to n l yi np r o b a b i l i t yt h e o r ya n ds t a t i s t i c s ，b u t a l s oi nm a n yo t h e rf i e l d sr e q u i r i n gt h ea g g r e g a t i o no fi n c o m i n gd a t a ，s u c hm u l t i - c r i t e r i a d e c i s i o nm a k i n g ，p r o b a b i l i s t i em e t r i cs p a c e s m o r e o v e r ，a s s o c i a t i v ec o p r a sa r eaw e l l - k n o w ns u b c l a s so ft r i a n g u l a rn 0 1 i n b t h eo p e np r o b l e mw h i c hi ss t a t e di nt h i sp a p e rw o u l d i n d u c ean e wc h a r a c t e r i z a t i o no fa s s o c i a t i v ec o p u l a s t h i sp a p e rw ec h a r a c t e r i z et h ea r c h i m e d e a np r o p e r t ya n da n s w e rt h ec o n v e x i t y o ft h et - n o r m s i nt h ef o r m e r w ea n s w e rt h ec o n v e x i t yo ft h eg - n o r m sa n di n d u c et h e c o n c l u s i o n ： ( 1 ) f o rs t r i c tc o n t i n u o u sa r c h i m e d e a nt - n o r m s ，w ec a l lc o m p l e t e l yp r o v et ( m a x ( x n ，o ) ，m i n ( x + 口，1 ) ) t ( x ，z ) ( ) h o l d sf o ra l lz 【0 ，1 】a n d 五。fa u 口】o ， 【i fa n do n l yi f t i s c o n v e x f 2 ) f o rn i l p o t e n tc o n t i n u o u sa r c h i m e d e a nt - n o r m s ，w ec a nd i s p r o v et ( m a x ( x 一 口，o ) ，m i n p + 口，1 ) ) st ( z ，动( _ ) f o ra l lz 0 ，1 】a n df o ra l ln 】o ， 【i f a n do n l yi f ti s c o n v e x m o r e o v e r ，r e d u c i n gt h ec o n d i t i o n ，w ea l s oa n s w e rt h eq u e s t i o n i nt h el a t t e r ，w ec h a r - a c t e r i z et h ea r c h i m e d e a np r o p e r t i e so ft - n o r m sa n de x t e n dt h ep r o p e r t y ( 1 ) i ft - n o r mt s a t i s f i e sc c la n dh a si l oz e r od i v i s o r , t h e ntn e c e s s a r i l ys a t i s f i e sc l ( 2 ) ti sc o n t i n u o u sa r c h i m e d e a nt - n o r ma n dh a sn oz e r o - d i v i s o r st h e nt i ss t r i c t k e y w o r d s , t r i a n g u l a rn o r i i m ，a r e h i m e d e a np r o p e r t y , c o n v e x i t y , c o n t i n u o u s ； 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包舍其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得由墓直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：i 虱鱼亟 指导教师签名： 啼帛 日期：三团：! ：lb期：兰咀：垒三 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索。也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期问导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名：睡嵫 日期：至皿! l 指导教师签名： 彳夸品昂 e t 期：三巫垒墨 第一章绪论 二十世纪六十年代产生了模糊数学这门新兴学科， 现代数学是建立在集合论的基础上集合论的重要意义就一个侧面看，在于它把数 学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处一组对象确定一组属性，人们可 ：王通过说明 属性来说明概念( 内涵) ，也可以通过指明对象来说明它符合概念的那些对象的全体叫 做这个概念的外延，外延其实就是集合从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论 中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都可能纳入集合描述的数 学框架 但是，数学的发展也是阶段性的经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明 确外延的概念和事物上，它明确地限定；每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合 的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可对于那些外延不分明的概念和事物，经典集 合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴 1 9 6 5 年，美国控翩论专家数学家查德发表了论文模糊集合，标志着模糊数学这 门学科的诞生 模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制模糊识别、模糊聚类分析、模 糊决策、模糊评判、系统理论信息检索医学生物学等各个方面在气象、结构力学、 控制、心理学等方面已有具体的研究成果然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职 能，不少入认为它与新一代计算机的研制有密切的联系 目前，世界上发达国家正积极研究试制具有智能化的模糊计算机，1 9 8 6 年日本山川 烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1 0 0 0 万次秒1 9 8 8 年，我国汪培庄教 授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机一一分立元件样机，它的推理速度为1 5 0 0 万次秒这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的步 国内研究模糊数学的人非常的多，象【1 1 】，【1 2 】1 【驯，1 2 6 1 ，1 2 8 ，【冽，都值得好好看一看而 ( 【o ，1 】，) 上的三角范致在模糊集理论中扮演重要的角色，更多的详细信息见文献【1 ，7 ，8 】， 以下简要介绍一下三角范数的历史 三角范数的历史起源于论文统计度量【m e n g e r1 9 4 2 k a r lm e n g e r 的本意是构造度 量空间使得概率分配而不是数用在其中以便刻画所提问题中的空间2 元素的距离在概 括经典的范数不等式到这种更一般的情形时，三角范数( 简称卜范数) 自然就引起人们 的关注最初的t 范数公理是相当的弱，它包括我们今天熟知的三詹对偶范数 因此，t - 范数起重要作用的第一个领域就是概率度量空间的理论( 1 9 6 4 年后我们称之 为统计度量空问) b e r t h o l ds c h w e i z e r 和a b es k l a r 在【s c h w e i z e ra n ds k l a r1 9 5 8 ，1 9 6 0 ，1 9 6 1 】提 供了我们今天仍在使用的t _ 范致理论和在 s e r s t n e v1 9 6 2 给出的统计度量的重新定义这 个定义引起了这个领域的快速发展许多关于t _ 范数的结果都是在这一发展过程中得出 的它们中的大多数都总结在专著【s c h w e i z e ra n ds l d a r1 9 8 3 l 里 从数学方面来说，( 连续的卜范数的理论准确的说有2 个独立的根源，即( 特定) 函数 等式领域和( 特定拓扑) 半群理论 关于函数等式领域，( 连续的m 范数理论与结合性等式( 它的更一般形式仍未解决) 密 切相关据2 3 文献1 介绍，关于这一点，最早的起源是i a b e l1 8 2 6 ，这一方向的更多结果 见i b r o u w e r1 9 0 9 ，c a f t a n1 9 3 0 ，a c z e ，l1 9 4 9 ，h 8 ：1 9 5 4 j 尤其j 一8 c ze ，l 的专著( 德语 版本 a c z e l1 9 6 1 l 和英语版本【a c z e l1 9 6 6 ) 对t _ 范数的发展有并且仍将有深远的影响在 这个背景下的主要结果是借助加法生成元( 见 l i n g1 9 6 5 ) 完全刻画连续的a r c h i m e d e a n t _ 范数( 严格t - 范数的情形见f s c h w e i z e ra n ds k l a r1 9 6 1 ) 研究的另一个方向是为解决一些( 或多或少的) 自然函数等式的t _ 范数参数族的证 明关于这一点，最重要的结果多半在【f r a n k1 9 7 9 里，它表明f r a n kt - 范数和t _ 对偶范数 ( 加上序数和定理) 是所谓的f r a n k 函数等式的唯解决办法 在陋h u o e t t1 9 5 5 】中最先对一类紧致的，不可约的连通的拓扑半群的研究诱导出对这 样的半群的刻画，这种半群的边界点( 同时零化子和中性元) 只是幂等元并且无幂零元存 在就t _ 范数而言，这提供了严格仁范数的完全表示在【m o s t e r ta n ds h i e l d s1 9 5 7 1 里，所 有这样的半群( 边界点扮演着零化子和中性元的角色) 都被刻画了( 也可见f p a n l m a n - d e m i r a n d a1 9 叫) 又，对t 范数而言，这也提供了所有连续t - 范数的表示( 见【l i n g1 9 6 5 ) 半群理论的一些构造方法，象( 同构) 转化( 这与上面提到的生成元有关) 和序数和 【c l i m e ：u1 9 4 6 ，c l i f f o r d1 9 5 4 ，s c h w e i z e ta n ds k l a r1 9 6 3 ，已经成功的运用到构造一些给定的 典型例子的t - 范数的所有族【s c h w e i z e ra n ds k l a r1 9 6 3 总之，只需从三种t _ 范数，即乃，昂，死，借助同构转化和序数和就可以构造出所有的 连续b 范数 l i n 9 1 5 1 许多特定的结果，象序或收敛的定理的刻画，都是基于对连续t 范数的这种一般表示 非连续的t _ 范致，象t d 在【s c h w e i z e ra n ds l d a r1 9 6 0 】一开始就被考虑了在【l i n g1 9 6 5 】 甚至这个t 范数的加法生成元都给出了然而，非连续t _ 范数的一般分类仍然未知 对于不必连续的t - 范致的构造方法，或多或少的与已经提到过的有关，最近已经被提 出来了 国内专门研究三角范数的人并不太多，而国外研究这方面的非常的多象e r i 出p e t e r k l e m e n t ，r a d k om e s i a r ，e n d r ep a p ，j f o d o r ，s j e n e i 等等在这方面都做出了很有意义的工作 经典的文献见【1 】文章见【4 ，【9 】， 1 0 j ，【15 ，【19 】，【2 1 】，【2 2 等等 学者们研究“范数的时间并不长，到现在已经解决了很多公开问题诸如： 巳解决问题1 ：假设t - 范数t 有连续的对角线，则t 一定是连续的么? 2 第一章绪论 这个问题可以推广到对有连续对角线的任意t - 范数k r a u s e 【3 2 1 给出了否定的回答 更多详细内容见【1 , a p p e n d i xb 】， 巳解决问题2 ：设t 是在( 1 , 1 ) 点连续的消去的卜范数则t 一定是连续的么? 这个问题由p a p 3 3 l 提出由b 谳们b 口记和k u r i l i 给出否定答案【3 5 】并且有左连续 的非连续的消去的t 范数，见【1 ，e x a m p l e2 2 9 ( i i ) 但直到现在仍有很多的公开问题等待人们去解决文章【2 】提出了非常多有意义的问 题现列举几个问题如f ： 问题1 ：设t 是在( 1 , 1 ) 点连续的条件消去的( 左连续的卜范数，则t 必定是连续的 么? 注意到对于无零因子的t - 范数，这就是上面提到的问题2 问题2 ：设t 是消去的左连续的t 范数，则t 唯一的由它的a r 出血e d e 补元确定 么? 注意到，给定一个。范数t ，说二元素z ，v 【0 ，1 】是t - a t c h i m e d e a n 等价的若存在 n n 使得 z 笋蔓耖s z 或毋z 掣 问题3 ：刻画所有的连续( a r c h i m e d e a n ) t - 范数t 使得t 到q 2 上的限制是【0 ，1 1nq 上的二元运算 这个问题由j e n e i 和m o n t a g n a 的一些关于b 范数的著作而来 问题4 ：刻画所有的严格减函数t ：【0 ，1 】一【o ，】满足t ( 1 ) = 0 使得由t ( x ，f ) = t ( - 1 ) ( ( z ) + t ( ”) ) 给定的运算t ：【0 ，l 】2 一【o ，1 】是仁范数这里伪逆：t ( 一1 ) ：【o ，】一【0 ，1 】由 t ( - 1 ) ( u ) = s u p x 【o ，1 l t ( x ) u ) 给出 问题5 ：设r 是有加法生成元t ：【0 ，1 】一1 0 ，o o 的连续a j 吐i m e d e t - 范数能否证明： t ( m a x ( x d ，o ) ，m i n 0 + ，1 ) ) t ( x ，z ) 对所有z 【0 ，1 】和所有d e o ，0 5 【成立当且仅当t 是凸的 问题6 ( j f o d o r ) ：对给定的t - 范致和给定的t - 对偶范数岛，刻画所有的t _ 范数t 和t 对偶范数s 使得对所有( z ，v ) 【o ，l 】2 有 t ( x ，) + s ( x ，f ) = t o ( z ，y ) + s b 扛，y ) 问题7 ：刻画g - 收敛的仁范数的类 1 9 5 9 年，a b es k l a r 引进了系词的概念从那时起系词不仅在概率理论和统计中起重 要作用【1 4 ，而且在其他需要输入数据的集合中起到重要作用象多元决策的制定【3 1 】，概 3 率度量空间等等，而且结合系词还是熟知的三角范数的子类而上面的问题5 的解决将会 得出全新的系词的刻画由于t - 范敬这门学科的年轻，许多理论都尚未成熟，所以能够找 到合适的反例，也是一件非常不容易的事情关于b 范数的许多已经解决的问题大多是采 用寻找例子来给予回答( 多数问题的结论都是否定的，因此举反例不失为一种好的方法) 这个问题也是沿用了此方法在论文的前半部分里尝试着找到了反例，对问题做了回答， 并得出相应的结论在条件削弱的条件下，又回答了这个问题在对问题深入研究的同时， 还发现t 范数的重要性质之一a r c h i m e d e a n 性质连续b 范数可以完全由a r c h i m e d e a n t - 范数来刻画并且a r c h t m e d e a n 性质也与加法生成元和乘法生成元密切相关，等等如果 能够彻底清楚的刻画出a r c h i m e d e a n 性质，将会对t 范数的发展起到推动作用论文的后 半部分对a r c h i m e d e a n 性质进行了2 次刻画，并做了一些推广 4 第二章预备知识 为本文讨论问题的方便，现将三角范数的预备知识叙述如下，文中提到的定义，性质 定理见经典文献1 和【4 】 ( 一基本定义 2 1 分析方面的预备知识 定义2 1 1 【l 】1 三角范数r ( 简称t 一范敷，是定义在单位区间o , 工，上的二元运算印 对函数n 【0 1 】2 一【o 1 1 ，使得对所有z ，：1 0 ，1 】，有以下四个公理成立： r n ，t ( z ，) = r ( y ，功伎换律， r 冽t ( z ，t ( y ，= ) ) = t ( t ( z ，”) ，z )r 珏合律j ，驯t ( z ，y ) 茎r ( z ，z ) ，只要s2弹调桂j r 驯t ( z ，1 ) = zr 边界条件， 因为t - 范数是闭区间【o ，1 】上的代数运算，所以可用中缀表示法z + 来代替前缀表 示法r ( z ，们事实上，公理( t 1 ) 一( t 4 ) 可以用大多数读者熟悉的表示法来表示，即对所有 z ，p ，z 【0 ，1 】， ( t 1 ) z + f = y 2 ( t 2 ) z 0 z ) = 0 f ) z ( t 3 ) z + 掣z z ，只要z ( t 4 1 z 1 = 本文涉及范数的很多函数方面的知识，而且也为了保持表示法的一致性，因此本文 采用了前缀表示法 o 范数很多，我们先列举四种基本的t 范数 定义2 1 2 【l 】以下是四种基本的扣范数n f ，昂，死，7 d t m 0 ，y ) = r a i n ( = ，y ) t p ( z ，) = o p t l 仕，) = m a x ( z + v 一1 ，0 ) 一，= k 们哿垮n 坪 只有死和丁b 的结合性是不完全平凡的因为死可以看作： 5 2 1 分析方面的预备知识 死( z ，死( ，2 ) ) = m a x ( o ，z + ”+ ：一2 ) = 死( 死( z ，f ) ，z ) 对于z d ，只有在毛弘：中至少有2 个等于1 时，在每一侧才都能得到一个不等于0 的值，而在这种情况下，显然在两侧都有m i n ( x ，v ，：) 这四种基本t - 范数很重要z d 和t k 分别是最小和最大的t 范数t m 是唯一的对于 任意z 【0 ，1 】都是幂等元的扛范数，而昂和死是两种重要的t 范数子类的基本例子 这两种重要的t - 范数分别是严格的和幂零的仁范数 最后我们指出在定义2 1 1 中的( t 1 ) 一( t 4 ) 是互相独立的，这可以从下面的例子中 可以看出 例子2 1 3 【4 】定义函数最：【o ，1 j 2 一【0 ，1 】“= 1 ，2 ，3 ，4 ) 啪，= o 若- ( z ：5 】m 【 j ( z ，) = z p m a x ( z ，) ， ，= ：。嘉，= 吨卅 只( z ，) = 0 显然，每个e 都满足除) 外的( t 1 ) 一( t 4 ) 定义2 1 4 函数f 0 ，1 2 一 o ，1 】是连续的当且仅当对所有的收敛数列( z 。) 竹n ，( 鲰) 。n 0 ，1 1 n 有 f ( 1 i mz n ，u m ) = h mf ( ，鲰) 因为【0 ，1 j 2 是实平面r p 的紧子集，函数f ：【o ，1 】2 一【o ，l 】的连续性等价于它的一致连续性 显然，t _ 范数t k ，昂和死都是连续的，而t o 不是连续的 定义2 1 5 非减函数n i o ，1 】2 一【0 ，1 】扛童里的非减指的是满足t ( z l ，v 1 ) st ( x 2 ，y 2 ) 只要z l 现，l l 2 ，是连续的当且仅当它在每个分支上连续即：对所有的z o ，1 1 0 【0 ，1 】，f ( x o ，) ：【0 ，1 j 一【0 ，1 】和f ( ，蜥) ：【0 ，1 】一【0 ，1 】都是连续的 ( - - ) 基本性质 由边界条件( t 4 ) 和单调性( t 3 ) 我们可以得到以下结论： 注2 1 6 从定义2 1 】我们可以直接推出，对千所有的z i o ，1 】，扛范数t 满足以下另外两 个边界条件： t ( o ，z ) = t ( x ，0 ) = 0 ， 6 2 1 1 ) 第二幸预奋知识 t ( 1 ，z ) = z ，( g 1 2 ) 因此，所有的t - 范敷在| o ，1 】2 的边界上都是重合的 ( i i ) t - 范敷t 在第二个分支的单调性由r z 剀可描述，加之r n ，等价于在两个分支的 p 联合j 单调性即 t ( z l ，们) t ( x 2 ，l 2 ) 只要x lsz 2 ，ls 抛 r 2 j 卅 事实上，若：z 1 2 2 ，l 抛，则我们有 t ( z l ，9 1 ) st ( x l ，抛) = t ( y 2 ，。1 ) t ( y 2 ，z 2 ) = t ( x 2 ，抛) 注2 1 7 由r 2 - 1 圳可知，对每个t - 范敷t 和每个( z ，) 【o ，1 1 2 ，有t ( ，”) t ( 1 ，口) = 口，t ( x ，”) t ( z ，1 ) = z 所有的t - 范数在【o ，1 】2 的边界上是重合的且对所有的( z ，) 】0 ，1 p ，有t ( z ，) 20 = t 1 d ( z ，口) 因此，i d 是i 弱的t - 范数，t m 是置强的t - 范敷： 功t 死f ( 2 1 4 ) 砂显然死 2 p ，所以我们可以得到四种基本扣范敷的序 码 死 昂 砌 ( 2 1 研 性质2 1 8 倒对所有的z 【0 ，1 】满足t ( x ，z ) = z 的唯一的扣范数是t k 俺j 对所有的# 【0 ，1 【满足t ( z ，习= 0 的唯一的扣范敷是t t d 证明：若对b 范数t ，对于$ 【0 ，1 l 有t ( x ，z ) = 毛则对所有的( z ，) 【0 ，1 2 , y z ，由 单调性( t 3 ) 可推出 v = t ( y ，v ) t ( x ，) s t m 扛，口) = ”， 又由( t 1 ) 可知t = z k 为证( i i ) ，假设对任意z 【0 ，1 i 有t ( z ，z ) = 0 则对所有的 ( z ，”) 【0 ，1 【2 ，z 我们有0 t ( z ，v ) s t 仁，z ) = 0 因此，又由( t 1 ) ，( t 4 ) 可知t = 2 d 2 2 代数方面的预备知识 现在我们把注意力转向t _ 范数的代数方面，以下理论大都是我们熟知的半群和格的 一般理论我们先看一下幂等元，幂零元和零因子因为对任意n n ，都有畔= 0 ，1 孚= 1 ， 所以在以下定义中幂零元和零因子只考虑在】0 ，1 【中的元 7 2 2 代数方面的预备知识 定义2 2 1 【4 】设t 是扣范数 倒元n 1 0 ，1 】称为t 的幂等元，若t ( 如d ) = d 0 和j 陡任意t 的幂等元j 称为t 的 平凡幂等元任意在】0 ，1 【里的幂等元称为t 的非平凡的幂等元 例元口e l o ，1 i 称为t 的幂零元，若存在某个n n 使得砰= 0 阳砂元n 】o ，1 【称为t 的零因子，若存在某个b e 0 ，1 【使得t ( a ，b ) = 0 定义2 2 2 【4 】对任意的扛范数r 我们考虑以下性质： 倒t _ 范敷r 是严格单调的若 ( s m )t ( z ，耖) 0 ，掣 0蕴涵= ： 俐扛范敷t 是a r e h i m e d e a n 的若 ( a p ) 对任意( z ，口) e o ，1 p 存在n n 使得碍 俐厶范敷t 有辊限性质若 ( l p ) 对所有z 】o ，l 【：县襄砰= 0 例子2 2 3 ( i ) t m 无以上任何性质r 任意z 【0 ，1 】是t m 的幂等元j ，2 p 满足以上所有 性质死和功- 是a r c h i m e d e a n 的，满足( c c z ) 和仁卅但不满足其它性质 砂若亡_ 范数r 满足似u 则它显然满足( c c z ) 反之不然r 见例死j ( i i i ) 定义2 2 2 中介绍的代敷性质与连续性之间是无关的：连续扛苑敷死，表明连续 性不蕴涵这些性质中的任何一个而功和严格单调并满足圳的非连续厶范数t t ( 毛们= 詈r a i n 扛，们专箸们 0 ，1 【2 但2 j ， 则表明无任何代数性质蕴涵扛范敷的连续性 将连续性与一些代数性质相结合，我们得到极其重要的t 范数类 定义2 2 4 1 俐一范数t 是严格的若它是连续的和严格单调的 o i ) t - 范数t 是幂零的若它是连续的且任意d 】o ，1 【是t 的幂零元 8 第三章三角范数的凸性问题 在这一章里我们寻找到特殊的例子，对三角范数的一公开问题( 凸性问胚) 给予了回 答我们先来看一下这个问题： 在2 0 0 3 年2 月举行的第2 4 届关于模糊理论( 多值逻辑里的三角范数和相关算子) 的l i a z 研讨班中提出一些问题，这些问题收集在 2 】中其中的个问题是： 设r 是有加法生成元t ：( 0 ，1 】一【0 o 。】的连续a r c h i m e d e a nt - 范数能否证明： t ( m a x 扛一口，o ) ，m i n 0 + d ，1 ) ) t ( x ，z ) ( ) 对所有z 【0 ，1 】和所有n 】0 ，0 5 【成立当且仅当t 是凸的 3 1 基本概念 我们再来看几个与本问题相关的基本概念 定义3 1 1 【5 i t 是连续的a r c h i r a e d e a nt - 范数当且仅当存在连续的减函数即t 的加 法生成元f ：【0 ，1 】一【o ，】满足f ( o ) = 0 使得对所有( 毛口) 【o ，1 】2 有 r ( z ，) = - 1 ( m i n ( f ( x ) + ，( p ) ，( 0 ) ) ) 定义3 1 2 3 0 f 为定义在区间，上的函敷，若对i 上任意两点z 1 ，钇和实数 】o ，1 【 总有 , x f ( w 1 ) + ( 1 一 ) ，( z 2 ) ，( a 2 1 + ( 1 一a ) 。2 ) 则称f 为i 上的凸函敷本文只需要取a = ；的情形即 m - ) i - f ( m 2 ) 22 ，( 里沪) ( + ) 3 2 凸性问嗣 我们已经知道连续的如出血e d e t - 范数要么是严格的要么是幂零的本文就从这两 方面来分析问题 ( i ) 严格性 因为t 是有加法生成元的连续的a r c h i m e d e a nt - 范数，则由定义知 t 扛，f ) = t - t ( m i n ( t ( z ) + t 0 ) ，t ( o ) ) ) = t - 1 ( t ( z ) + t ( 可) ) 注：这里的a r c h i m e d e a n 可以省去因若t 有加法生成元则t 必是m h i m e d e a n 的 9 32 凸性问题 对z n ( ) 显然成立 考虑z 】口，1 】，ne o ，0 5 【 当d z 1 一n 时，对于( ) 只需考虑 t 扛一口) + ( z + 口) 2 t ( z ) 0 ) 当z 1 一。时，对于( ) 只需考虑 t 扛一o ) + t 扛+ d ) 22 t ( x ) ， 这里由定义知t ( 1 ) = 0 ，故 t ( x o ) 22 t ( z ) ( i i ) 以下证明在此种情况下，问题是能够证明的 ( = j ) 若t 是凸的，n z 1 一a 在( ) 中， 令z l = z n ，z 2 = z + 口，则 t ( z d ) + ( z + d ) 2 t 扛) 因( ，) 与( i ) 等价， 所以( ) 对z h 1 】，ne j o ，0 5 i 成立 若z 1 一d ，则2 - r 一1 一口， 故有z o s2 z 一1 t ( $ 一n ) t ( 2 z 一1 ) = t ( 2 x 一1 ) + t ( 1 ) 22 ( 半) = 2 t ( z ) 因( + ) 与( t ) 等价，所以( ) 对z l 口，1 1 ，e o ，0 5 【成立 ( 告) 若严格t 范数对所有z 1 0 ，1 】，e o ，0 5 成立 d z 1 一n ，在( ) 中 令z 一口= z l ，z + o = 勉 则有 t ( x 1 ) + t ( z 2 ) 2 t ( 叫产) 所以t 是凸的 z 2 1 一o ，在( ) 中 令2 z 一1 = 。l ，1 = x 2 则有 t ( z 1 ) + t ( x 2 ) 2 孔( 2 垆) 所以t 是凸的 ( 2 ) 幂零性 构造 啦，2 协- ；一r 伺麓： 据定义3 1 1 我们计算一下可得 1 0 第三章三角范数的凸性问题 t ( z ，可) = ( 扛+ 扣一1 ) 2 讵+ 加i 2 ( 历+ 同一2( z ，f ) 】扣 2 且； 拆+ 何； 互十3 狮一；扛，) 1 0 ，- j 1 一j i l ，1 】且； z + ；狮i p + ；、i 一0 ，p ) 】 ，1 1 1 0 ， 】且2 t ( o ) = 1 ， 所以t ( x ，) = t - 1 ( t ( o ) ) = 0 ( b ) 当z ，y 睦，1 】时， t 扛) + t ( ) = ；一讧+ ；一；而= 3 一；( + 功 因 历s 1 ，； 而1 ， 所以1 柝+ 撕2 ， 故； ；( 扫+ 厕3 0 3 一；( i + 功 ； 当；3 一；( 、i + 、i ) 1 时， 有4 兰 i + i ； 此时t - i ( 3 一；( 讧+ 厕) = ；( 西+ 彬一2 ) 当0 3 一；( i + 、仞 ；时， 即2s ；( i + 、研3 2 面+ 面2 此时t - t ( 3 一( i + 狮) ) = ( 、i + 、_ ) 一1 ) 2 ( c ) 当z 0 ，割，” ，1 】时 t ( z ) + t ( y ) = 1 一z + ；( 1 一、可) = l z 一； f 此时；一z 一； 可1 ， ；sz + ；狮； 此时t - - 1 ( ( z ) + ( ) ) = z + 3 ，y 一； 同理 当p i o ，；】，z 】；，1 】时， t 一1 ( t ( z ) + ( ) ) = p + ；行一； 此时有； 口+ ；面； 计算过程结束 3 2 凸性问胚 显然( ) + ( ；) 现( ) ，t 不是凸的 下验证对所有z 【o ，鄯和所有o 陋， 【有 若z so ；，则 0 z 一口 z ，0 z + a 2 z 1 【； 2 以； 此时1 一z n ；， ； 即 品 z g ，1 一z 口 ； r 扛一a ，1 ) = z 一口 0 所以r 扛一，1 ) t 扛，z ) 1 0 sz d 囊专g 【； z o + ；布面； 即杀 所以r 忙一o y z + 口) t 扛，习 10 z o ； i 嚣g 【； z o + ；讧币； 此时t ( z 一6 t , z + 口) = 0 t 0 ，。) 10 z n s ； 僚葚f 【； z 一口+ ；、互1 i ； 此时t ( z d ，z + 口) = 0 t ( z ，z ) 3 3 结论 z d s z + o 1 2 面； z o