（应用数学专业论文）arch模型和garch模型的变点检测.pdf

摘要 金融时间序列模型的变点分析是一类重要的统计问题，它引起众多学者的 关注。本文研究a r c h ( a u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a lh e t e r o s c a d a s t i c ) 模型和 g a r c h ( g e n e r a la u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e m s c a d a s t i c ) 模型的变点检验和 估计问题。在已有义献的研究成果基础上，本文进行了以下几方面的研究，得 至0 了女日f 结果： 1对g a r c h 模型变点进行残量检验。在原假设下证明了统计量的极限 分行是标准b r o w n 运动的泛函。 2 对a r c h 模型的多变点进行检验与估计。在原假设下得到检验统计量 的极限分布：在假设检验过程中得到变点个数与变点位置的估计，并证明估计 的一致性。 3对a r c h 模型的均值变点进行估计。在较弱的条件下证明估计的一致 性。 4 给出了数值模拟，实例计算说明方法的可行性。 关键词a r c h 模型g a r c h 模型变点b r o w n 桥c u s u m 统计量 a b s t r a c t t h ec h a n g e p o i ma n a l y s i si nf i n a n c i a lt i m es e r i e sh a sb e e nr e g a r d e da so n eo f t h ec o r ea r e a so fr e s e a r c hi ns t a t i s t i c s r e c e n t l y ，n u m e r o u ss t u d i e sr e l a t e dt ot h i s p r o b l e mh a v eb e e na p p e a r t h i sp a p e rs t u d i e st h ep r o b l e mo ft e s t i n ga n de s t i m a t i o n o f c h a n g e p o i n ti na u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s c a d a s t i c ( a r c h ) m o d e l sa n d g e n e r a la u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s e a d a s t i c ( g a r c h ) m o d e l sa n do b t a i n s s e v e r a lr e s u l t sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ec h a n g ep o i n tt e s tp r o b l e mf o rg a r c h m o d e l s t h e l i m i t i n g d i s t r i b u t i o no ft e s ts t a t i s t i cu n d e rn u l lh y p o t h e s i si s p r o v e d t ob et h e f u n c t i o no fas t a n d a r db r o w n i a n c h a p t e r3s t u d i e st h ep r o b l e mo fm u l t i p l ec h a n g ep o i n tt e s ti na r c h m o d e l s t h e l i m i t i n gd i s t r i b u t i o n o ft h et e s tu n d e rn u l lh y p o t h e s i si so b t a i n e d t h en u m b e ro f c h a n g ep o i n t sc a l lb e e s t i m a t e dv i at h et e s tp r o c e d u r e w es h o w e dt h a tt h ee s t i m a t o r i sc o n s i s t e n t t h i sp a p e ra l s oc o n s i d e r st h em e a nc h a n g ep o i n te s t i m a t i o ni nc h a p t e r4 t h e e s t i m a t o ri ss h o w e dt ob ec o n s i s t e n t an u m b e ro fs i m u l a t i o ne x a m p l e sa n dr e a l d a t a a n a l y s i sh a v eb e e nd o n et o s u p p o r tt h ev a l i d i t yo f m e t h o d si nt h i sp a p e r k e y w o r d s ：a r c hm o d e l sg a r c h m o d e l s c h a n g e p o i n t b r o w n i a nb r i d g e c u s u ms t a t i s t i c i i 一堕! ! i 些奎堂塑! ：堂些堡苎 第一章前言 变点的识别是一类重要的统计问题，它大致包括两方面：是断点和尖点 的识别：二是分布变点的识别。例如对于回归函数，( x ) 的断点和尖点的辩识属 于前者；而对于样本_ ，x 2 ，h ( _ ，x ，f ( j ) x 。，x 。g ( z ) ) 中的t 的辩 识则属于后者。本论文主要研究分布变点的识别问题，以下提到的变点识别均 指分布变点的识别。包括变点存在的检验，变点存在的情况下变点位置、个数、 跳跃度的估计。 变点的辩识在实际中应用非常广泛，这是因为在许多情形下变点可以描述 所研究的对象的某种突变性，例如，在石油勘探中，地震信号的交点可能预示 着地下岩层的断层；而汇率断点则可能预示着某些重大事件对金融市场的影响。 近几十年来，国内夕 统计学家研究出若干方法，能有效地对变点进行估计 ( 如文i t 2 1 ) ，并在历史气候突变、灾异性地球物理现象、重大事件对金融市场 的影响等分析预测中获得有成效的应用。 本论文将详细讨论当前金融市场应用广泛的a r c h 模型( a u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a lh e t e r o s c a d a s t i cm o d e l ) 和g a r c h 模型( g e n e r a la u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a lh e t e r o s c a d a s t i cm o d e l ) 的变点估计与检验问题，包括变点存在的检 验，变点位置、个数、跳跃度的估计。本章1 1 介绍的变点检测中常见的均 值变点分析方法。i 2 介绍本论文需要的一些预备知识。 1 1 均值变点分析 均值变点是最常见的最直观的一种类型。金融时间序列中模型的结构变化 常常转化为历史数据的均值变点分析来寻找其规律。 均值变点分析的步骤大致如下： ( 1 ) 检验有无变点，即检验原假设h 。：不存在变点。若风假设被接受， 两北_ t 业大学硕0 学位论文 则该数据序列没有变点。 ( 2 ) 若h 。假设被否定，则假设该序列至多存在q 个变点，对变点 m f ，”2 ，聊。进行估计。 ( 3 ) 估计变点个数。 ( 4 ) 估计变点处均值的跳跃度。 实际数据分析时，如果先验知识足以肯定变点的存在，也可免去第( 1 ) 步 而直接进入后几步。 l _ 1 1 有无变点的检验 一、模型和原假设凰 均值变点问题的离散数据模型为：设 x ，= a ，+ e f ，f = 1 , 2 ，n 4 l2 2 a ，一l2 吼， 此处l n ， ： c ，则否定，认为无变点，否则接受峨 该检验方法的思想是很直观的，因为平均说来，变点的存在会使s 和s ，的 差距增大。但应注意该方法对恰有一个变点的检验最为有效，多个交点存在时 可能因为均值的多次升降而抵消了s 和s ，间的差距。此外，有无交点的检验也 可结合变点的估计来进行。 1 1 2 变点的估计 两北丁业大学颂卜学位论文 、最小方差方法 当q = l 时，由1 1 1 中的最小方差法可直接估计单个变点，估计值即为 式( 1 1 6 ) 中s + 相应的f 值。 二、最小二乘方法 最小二乘法以观测值与理论值之差的平方和作为目标函数，以其达到最小 之点作为有关参数的估计。该方法无需知道模型误差的分布，因此在处理变点 问题时得到较多的应用。以下介绍最d , - 乘法的变点与变点个数的估计步骤。 l ，变点估计步骤 均值变点的最小二乘估计是使如下目标函数达到最小化来得到的( 这里约 定m o = l ，m = n + 1 ) ： q + l 厂i t = 7 _ ( 研l ，一，研，“，b 州) = ( t b j ) 2 ( 1 1 9 ) 均值变点的估计步骤为 ( 1 ) 给出变点个数q 和变点位置m ，( ，= 1 州2 ，g ) 的初步估计。 ( 2 ) 给出q 个均值b ，的初步估计b ，： b ，= ( x _ ：+ + x 。，i ) ( m j 一坍j i ) - ( 1 l 1 0 ) ( 3 ) 建立简化的目标函数 t = t ( r n 】， ( 4 ) 极小化( 1 1 1 1 ) 式，求的m ，m ：，m 。的估计。 2 变点个数的估计 汜q 为变点个数的上限，为进一步确定变点个数，可在( 1 1 。9 ) 式中取 g = k ，k = 1 ，2 ，q ，用前面的方法算出t 的最小值疋显然互正l 一般 说来，若只有k 个变点，则瓦与疋+ 。相比不应大得太多：反之变点个数比多， 一l x _ 、雌州一 i ) g m 两北丁业大学硕【学位论史 则瓦应显著地大于l ，基于这一思想，以下给出的两种方法可用来估计变点的 个数： ( 1 ) 若i 到瓦的下降梯度较大，而t 之后的丁值变化平缓，则可估计出变 点个数为k 。 ( 2 ) 设定一个略大于l 的数( 如1 1 ) ，取使不等式瓦l 1 1 成立的最大 k 值为变点个数的估计。 三、局部比较法 系统模型或系统输出在变点附近的局部有显著变化而在非变点附近相对稳 定，这个差别提供了发现变点的一般方法：考察某种有针对性的统计量在各个 局部内的变化，取其最显著之处作为变点位置的估计。下面介绍用该方法估计 变点的步骤。 1 模型与变点估计步骤 考虑模型 l f m l ； ( 1 1 1 2 ) m t 茎n 其中随机误差g ，( 1 f ) 相互独立，e 沁) = 0 ，v a r ( e 。) ；a 2 ，式中 肌，d 1 ，a 2 d2 都未知。 模型( 1 _ 1 1 2 ) 中的均值交点m 的估计步骤如f ： ( 1 ) 取f 1 ，n 并给定一适当的自然数d ，将i 左右各d 个观测值( 右边包 含f ) 求和并相减，得 y 。= ( x ，+ + x ，+ d i ) 一( x 卜d + + x h ) ，i = d + 1 ，n d + 1 ( 1 1 1 3 ) ( 2 ) 殴而是使i y ，l 达到最大的足标，即 | y 自l = m a x ( i y d + li , i y d + 2l ，- - ，l y 一d + l1 ) ， ( 1 1 1 4 ) 则取南作为变点m 的估计。 ( 3 ) 当i y 。| 超过某临界值c 时( c 的选择见文献 3 ) 否定“无变点”的 5 ， ， q q + + 】 2 辞 盯 ，(l = x 一娈韭! ：些点兰塑主堂些鲨塞 原假设，接受扁为变点。 1 1 3 跳跃度的估计 单变点扁处均值跳跃度0 的点估计取为 乡2 矿薹一志拳恤耽( 1 1 1 5 ， 我们也可作出。的区间估计，它基于争的极限分布：当样本量v 寸o 。时， 有 ( 扫而占) ( 疹一扩) 山( o ，1 ) ， ( 1 1 1 6 ) 此处毛= & n ，占2 为z ，方差的估计( 由( 1 1 8 ) 式计算) 。由( 1 ，1 1 6 ) 式即可获 得跳跃度0 的置信系数为l 一口的区间估计。当充分大时，近似地可取为 ( 舀一白。扫瓣，毋+ 面。缸丽( j 1 z 7 ) 多变点的情形可将样本总序列分段，每段处可用( 1 1 1 5 ) 和( 1 1 1 7 ) 式 对跳跃度进行点估计与区间估计，式中n 及求和上下限需作相应的变动。 1 2 预备知识 本文的工作是在随机过程的基础上进行的，为以后叙述清楚，本节介绍随 机过程中的些结论。 定义1 4 ( 标准w i e n e r 过程) 标准w i e n e r 过程 形p ) ：， 0 ，1 】 是定义在闭 区间【o ，1 】上的连续变化的随机过程，满足以下条件： ( 1 ) ( o ) = o ； ( 2 ) 对闭区间【o ，1 上的任何一组有限分割0 s t l 2 靠= 1 ，相应 的w ( t ，) ( = 1 , 2 ，七) 的变化量 w ( r 2 ) 一w ( q ) 1 ， w ( t 3 ) 一w ( t 2 ) ，一，【f 矿o ) 一w ( t k 一1 ) 两北t 业人学硕卜学位论艾 为相互独立的随机变量。 ( 3 ) 对任何的0 s 0 ，b ( f ) 称为方差为口2 的w i e n e r 过程，不难看出，对任何0 玉s 0 ，使得p ( 一， ) 2 ) 的口一混合或尺度为一r ( 2 r - 2 ) p 2 ) 的一混合序列。 ( 2 ) s u p ，e 1x ，一e x ，l o 成立 n 其中盯：= v 斫一) 则 8 西北t 业人学硕二i 学位论文 i ”r l 。= 口j 1 ( x ，- e x ，) b ( ，) ，0 r 1 ( 12 6 ) 其中( ，) 是【o ，l 】上的标准b r o w n 运动，生斗表示依分布收敛。 考虑g a r c h 模型 ( 1 2 7 ) 其中，一i d n ( o 1 ) ，一是互+ ，可测过程。h a n s e n ( 1 9 9 1 ) 6 得到了g a r c h ( 1 ，1 ) 过程是一个。一n e d 序列的条件，这里我们考虑g a r c h ( p ，q ) 的情况，不失一 般性，设 则我们有如下引理 引理1 5 曩：口。+ 窆口，“三，+ 妻声， 。 ( 1 | 2 8 ) 甜，e 篇“。i l2 口i “21 1 红一占f h - - m “啊2 ( 1 2 9 ) 进一步口 得 命题1 5 1 四阶矩有穷的g a r c h ( p ，q ) 过程是 s ， 上的l 2 一n e d 序列且d ，= 1 这个结果可推广为 命题2 1 5 由四阶矩有穷的g a r c h 过程生成的a r m a 过程是l ：一n e d 序列且 d ，= 1 下面列出本论文在处理变点问题时要用到h 6 j e k - 一鼬n y 不等式。 令e ) 。是具有零均值，有限方差e 5 7 = 盯2 0 ，有 p k 驯驯占 - - c o 了0 - 2 ( m ”2 。耋( 1 2 1 0 ) g c 。是正常数， 轧) 是递减的正实数序列，s = 壹吼，i f n 两：l l ：t 业大学砸七学位论文 h 6 j e k r 6 n y 不等式由k o k o s z k a 和l e i p u s ( 2 0 0 0 ) 7 推广为更一般的场合 令。是任意的具有有穷的二：阶矩随机变量序列，。l ，f 一，c 。是任意非 负常数，则 s2 p m a x c k e e 一c ：i e ( x ，x ，) 一i n l + 2 e ( 慨+ ，x + c ；+ 。删暑( 1 2 1 1 ) k = m ，t l 一” o 坛 +z ( e 。州 蠢 x 。一 西北工业大学硕上学位论文 第二章g a r c h 模型变点检验 对于g a r c h ( p ，q ) 模型的变点检验，k i m ，c h o 和l e e ( 2 0 0 0 ) 8 曾提出应用 l n c l d n 和t i a o ( 1 9 9 4 ) 9 的平方累积和( s c u s u m ) 统计量检验g a r c h ( i ，i ) 模型参 数的变化，其主要方法是：设y 。= 仃，g ，t = 1 , 2 ，是g a r c h 过程，其无条 件方差印? 是模型参数的函数，模型参数的变化会引起无条件方差毋? 的变化， 这样检验参数变化的问题转化为检验其无条件方差母? 变化的问题。基于y ? 而 构造的c u s u m 统计量称之为平方累积和( s c u s u m ) 统计量。文 7 】也用这种方 法对a r c h 模型进行变点估计。但是实验表明，由于g a r c h 过程的条件方差 的变化会造成检验的不稳定，所以出现经验势函数值低于理论势函数值的问题。 为克服这一缺陷，l e e ，t o k u t s u 和m a e k a w a ( 2 0 0 3 ) 1 0 1 提出基于? 的估计构造 c u s u m 统计量来检验g a r c h ( 1 ，1 ) 模型参数的变化。本文应用u o 的思想，通 过b e r k e s ，h o r v c ，t h 和k o k o s z a ( 2 0 0 0 ) i1 】对g a r c h ( p ，q ) 过程研究的一些结果， 对g a r c h ( p ，q ) 的变点检验进行了研究。 本章各节安排如下：2 1 节给出了定义与假设：2 _ 2 节给出了统计量的极 限分布：2 3 节给出数值模拟结果。 2 1 模型与假设条件 本节沿用文 1 1 】的定义与假设，考虑g a r c h ( p ，q ) 模型 y f = 盯s f 盯? = f 2 ) + 口。y 二，+ 。盯工 i s pl e j 5 9 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 在原假设风：不存在变点成立下，定义参数向量口= ( 鲫，口1 ，口p ，l ，目) 在备择假设：存在变点成立下，有 两北t 业大学硕_ l 学位论文 n ) + 旺，正，+ p ，旷三，一 f s f + ； 1 j s pl j e 口 + + a ，+ y 王，+ p ，0 - 。2 一j ，f t 。 l f s ，】! j s q f 2 1 3 ) 即参数在发生变化，新的参数向量为口+ = ( 出+ ，岱。4 ，口，+ ，。+ 。) 。 在本文中，我们假设缸，一o o k 。是f i d 序列，令 一i 蠹一斗跳+ 盎 n ：忑。zfw fl “jj 其中 协，( u ) = c 。( u ) + q ( u ) 见 通过递归定义函数c 。( u ) ，( o i 。) ，若q p ，则 。o ( u ) = x ( 1 一( t l + r + t q ) ) 若g p ，则c ：( u ) ，( o i r = m a x ( p ，q ) ，则 上述c ，( u ) ，( 0 蔓i o 。) 的递归定义可以确保当u = 0 时 盯；= 铴( d ) + 。q ( d ) y 五， 为保证g a r c h ( p ，q ) 具有惟一平稳解，引入以下符号。令 t 。= ( 崩+ 口1 s 。2 ，岛，一，尾一1 ) r 9 。= ( s ：，- ，o ) r q 一1 岱= 2 ，口口一i ) r 9 。2 不失一般性，假没m i n ( p ，g ) 2 。定义( p + q 一1 ) x ( p + q 一1 ) 维分块矩阵a 。 a 。= t 卢。 i q l 0 。0 00 盘 a 一 00 00 i p 一2 0 其中i 。和i p - 2 分别是g 一1 维与p - 2 维的单位矩阵。d d 维矩阵m 的范数定 义为 l 眇1 l = s u p u m x l l 。州虬：x r 。，x o 其中 。是r “空间的e u c l i d e a n 范数。序列 以，一m 疗 。 的最大l y a p u n 。v 指数 定义为 ，。= 。i n f 。n l - e l 。g i l a 。小- 彳。 假设 e ( 1 0 9 l l a 。恰 o 。 ( 2 1 4 ) b o u g e r o l 与p i c a r d ( 1 9 9 2 a ，b ) 1 2 】 1 3 】证明若上式成立，则有惟一平稳解的充分必 垄j ! 工些盔堂堡圭兰丝迨塞 要条件是 ，f 0 ( 2 1 5 ) 注意到这个条件隐含着屈+ + 鼠 1 ( 文献 1 3 】) 。 现在介绍参数空间的一些条件。令o 坚 i0 p 。 1 ，q u 0 ，使得 e ：2 + a o o ( 2 ，1 1o ) 文献【1 1 证明若( 2 1 1 ) 式，f 2 1 2 ) 式和( 2 1 4 ) 式一2 1 ，l o ) 式成立，则 m “2 ( 0 e ) 渐近服从正态分布。 由于本文的需要，下面给出文献【1 1 中的两个引理： 引理l 对任意的u = ( x ，5 r ，j p ，q ) u 和u + = ( x ，j i ，一，j ，f + 】，q ) u 有 1 4 两北t 业大学倾t 学位论文 c lu 1 c ，( u ) ，0 i 。 c ，( u ) c 2 尸；，0 s i o o 等玛( 嚣川一， 其中c ，c ：，c ，为e 常数。 “卟( 掣，掣o s ，掣，掣) l黜凹叫j ；i 理2 设日u ，贝u 有 l 剐去， 掣堕：o ，1 s ，p ， 0 s 其中e 是常数。 _ 与，1 墨q ， ( 1 一风) 2 。 c 。( u ) l i c 。( u ) c 4 i ，1 f 0 蔓忑2 鬻l 台, - s p 隆即h ，渤 击掰陲k 等2 2 一能t l jz = l 占 兰p 饽c 舻h 加舭。 m ) + 柱妻。lc , ( o ) - c j ( 蚓”班 由引理1 ，引理2 ，对任给的7 7 0 k = p ，蚕忙冰川”m i ，= 叫j p ，耋i 口一a lq p ；w a 。 s ，z 【j = + fj 。训弋。 徽 上石 。等。h 黔 上石 丝砰 y 一 两北t 业人学硕卜学位论文 叫石伊卅p e ，蠢? 酬勺”m 卜。h 。： 其中 ，u ， n ，c 是正常数。由于百( 8 一a ) ：0 ，( 1 ) ，故可适当选择玎，使 f 忆= o p ( 1 ) 又由泛函中心极限定理可知，a 。= o ，( 1 ) 及对充分大的n 印j w = o ( 1 ) ，再利用m a r k o v 不等式可得，咄：= o p ( 1 ) 所以对适当的7 7 及对 ，= 1 充分大的，有，。= 0 i , ( 1 ) 容易验证f 。= o p ( 1 ) 即f = 2 时，( 2 2 2 ) 式成立。 由于 尸协髅阻一( 艚3 f | p 铙乳1 0 s 去喜巩即( 而硝巾) = 0 ( 1 ) 故i = 3 时，( 2 2 2 ) 式成立。 现在证明 成立。可以证明 其中c 是常数。 m 瓢陟阢 月“一l 智( 辘h = d j ， i i ，c z i ：茸 而 窆童i ：矛? ：。，( 1 ) ， 吖门f 烈j = l ( 2 2 3 ) 击秘珥( 痂d ( 1 ) 故( 2 2 3 ) 式成立。联合( 2 2 1 ) 式，( 2 2 3 ) 式及与r 可得 盖。一r 。= d ，( 1 ) 定理得证。 耍j ! 三些盔兰塑堂焦堡j 文 2 3 模拟结果 本节对含变点的数据进行检验，并与文献【1 】进行了比较。具体结果如下 1 、考虑模型 y t2 a l t ， 盯? = + 口i y 三l + 口2 y 三2 + 声l 仃? 其中f ，是独立同分布的正态白噪声序列。考虑如下的假设检验问题 h o ：0 = ( 珊，a 1 ，口2 ，1 ) ，f = 1 , 2 ，一n h 1 ：口= ( 甜，口1 ，口2 ，】) ，t = 1 , 2 ，n 2 护= ( ，口i ，口2 ，芦1 ) ，t = n 2 + l ， 选取样本容量为盯= 5 0 0 ，8 0 0 ，1 0 0 0 ，检验显著性水平为a = o 0 5 ，用1 0 0 次试 验中拒绝原假设的百分数作为经验势函数值，模拟结果见表1 表3 ，其中括号 中的值是用文【8 】的s c u s u m 统计量得到的势函数值。 从表中可以看到，当十搿，十届接近1 的情况下，检验也是稳定的( 见表2 和表3 ) ，并且随着样本容量的增加，经验势函数值在增加，当胆= 1 0 0 0 时，经 验势函数值高于o 9 5 ，同时从表中明显可以看出，用r c u s u m 统计量得到的势函 数值要高于用文 8 的s c u s u m 统计量得到的势函数值，这说明本文的方法要 优于文【8 】的方法。 表1 做1 0 0 次实验拒绝原假设的百分点或经验势函数值，其中0 = ( o 0 2 ，0 2 ，0 2 ，0 1 ) 日= ( 0 3 ，口i ，“2 ，芦i ) ”= 5 0 0n = 8 0 0厅= 1 0 0 0 ( o 0 2 ，0 2 ，0 ，2 ，0 1 ) 02 2 ( 0 0 4 1 0 1 8 ( 0 1 4 )o 2 2 ( 0 0 3 ) ( o 0 2 ，o 4 ，0 2 ，0 1 )o 8 0 ( o 4 8 ) o 9 0f o 7 4 )0 ，9 6r 0 8 6 ) ( o 0 2 ，0 2 ，0 4 ，0 1 )0 8 1 ( o 4 8 、o 8 9 ( 0 ，6 6 ) o 9 4f o 7 5 ) ( o ，0 2 ，0 2 ，0 2 ，0 - 3 )o 9 7 ( 0 5 5 )1 o o ( o 8 4 )1 o o ( o 9 0 ) 1 9 一一一 堕韭王些叁兰堡蔓兰垡鲨塞 表2 做1 0 0 次实验拒绝原假设的百分点或经验势函数值，其中臼= ( o 0 2 0 3 ，0 3 ，0 1 ) l0 = 【，d ：，口2 ，芦f )”= 5 0 0 = 8 0 0 = 1 0 0 0 l ( o 0 2 ，o - 3 ，o - 3 ，o 1 ) 0 3 0 ( 0 3 0 )o 2 7 ( 0 2 8 、0 3 3 ( 0 2 3 ) ( 0 0 2 ，o 5 ，o 3 ，o 1 )o 8 9 ( 07 0 )o 9 4 ( 0 8 7 、o 9 6 ( 07 6 ) i ( ( 0 0 2 ，0 3 ，0 ，5 ，0 1 )o 9 s ( o 7 5 )0 9 8 ( 0 8 6 )o 9 8 ( 09 1 ) l ( o0 2 ，03 ，0 3 ，0 3 )o 9 9 ( 0 8 9 ) 1 o o ( o 9 0 )1 0 0 ( 0 9 3 ) 表3 做1 0 0 次实验拒绝原假设的百分点或经验势函数值，其中0 = ( 0 0 2 ，0 4 ，0 4 ，0 1 ) 0 = ( ，口，口：，爿) ”= 5 0 0f = 8 0 0n = 1 0 0 0 【( o0 2 ，04 ，0 4 ，0 1 )o 2 3 ( 0 t 7 )o 2 6 ( o 1 3 ) o 3 0f o 2 8 ) ( o0 2 ，0 2 ，0 4 ，0 1 )o 4 ( 0 2 3 )o 5 8 ( 0 5 5 )o 8 3 ( 0 7 4 ) i ( 0 0 2 ，0 1 ，0 2 ，0 1 )0 9 4 ( 0 7 9 )o 9 7 ( 0 8 5 、 o 9 8f o 8 8 ) l ( o - 0 2 ，0 1 ，o 3 ，o 1 ) 0 5l ( o 2 0 ) o 9 7 ( 0 7 3 ) o 9 7f o 9 1 ) 对h 。：0 = ( 0 0 2 ，02 ，0 2 ，0 1 ) h ，：0 = ( 0 0 2 ，0 2 ，0 2 ，0 1 ) ，= 1 , 2 ，n 2 0 = ( 0 0 2 ，0 4 ，0 2 ，0 1 ) ，t = 2 + 1 ，以， 的假设检验问题在原假设成立的情况下对变点进行了估计。图1 ( ( a ) - 1 d ) ) 是样 本容量分别为n = 5 0 0 ，8 0 0 ，1 0 0 0 ，1 2 0 0 时对变点，= n 2 进行1 0 0 次估计的直方图， 其中横坐标为变点分数，即变点估计f 样本容量，此例中变点分数为o 5 。从图 中可以看出，随着样本量的增加，估计越来越准确，表现为估计值越来越向0 5 集中。我们也对交点分数的标准差进行了估计，分别为0 1 3 6 3 ，o 0 9 9 4 ，o 0 7 4 6 ， 0 0 6 3 7 、进一步说明，估计更准确了。 两北丁业大学预l 学位论文 z ( a 1 一= 5 0 0 l ( b ) = 8 0 0 -t ( c ) = 1 0 0 0( d ) n = 1 2 0 0 图l 样本容量分别为f = 5 0 0 ，8 0 0 ，1 0 0 0 ，1 2 0 0 时变点估计的直方图 对于跳跃度对变点估计的影响我们也进行了研究。取样本容量 = 5 0 0 ，变 点分数为o 5 ，对目= ( o 0 2 ，0 2 ，0 2 ，0 1 ) ， ( 1 ) 0 = ( o ，0 2 5 ，0 2 ，0 2 ，0 1 ) ，( 2 ) 0 。= ( o 0 3 ，0 2 ，0 2 ，0 1 ) ， ( 3 ) 0 = ( o 0 4 ，0 2 ，0 2 ，0 1 ) ，( 4 ) 0 = ( o 0 5 ，0 2 ，0 2 ，0 1 ) ， 四种情况下分别对变点做1 0 0 次估计，估计的直方图为图2 ( ( e ) 一( h ) ) ，其中横 坐标为变点分数。我们发现跳跃度越大，估计越准确。同时得到变点分数标准 差分别为o 0 9 0 0 ，o 0 4 2 9 ，o 0 3 5 1 ，o 0 2 4 6 ，也说明了这一结果。 西北工业大学颅十学位沦文 jl ： 两北1 二业大学砸 学位论文 j 乙吆珈 、矿、 一 z 氏产、 一一 、小p 图3 浦发银行股票价格( 1 9 9 9 1 1 1 1 2 0 1 1 3 0 ) l 渺似嘶帅似懈e 图4 浦发银行殷票价格的一阶差分 西北1 = 业大学硕士学位论义 第三章a r c h 模型的多变点估计与检验 自c h o w ( 1 9 6 0 ) 1 4 】和q u a n d t ( 1 9 6 0 ) 1 5 】的研究工作至今，已有大量文献研究 时阳j 序列结构单变点检验与估计的问题。c s 6 r 9 6 与h o r v o t h ( 1 9 8 8 ) ( 1 9 9 7 ) 1 6 1 07 l b r o d s k y 与d a r k h o v s k y ( 1 9 9 3 ) 1 8 主要研究独立情形下的线性时间序列的变点估 计，a n t o c h ( 1 9 9 7 ) 1 9 ，d a v i s ( 1 9 9 5 ) 2 0 ，g i r a i t i s ( 1 9 9 6 ) 【2 2 】，g i r m t i s 与l e i p u s ( 1 9 9 0 ) ( 1 9 9 2 ) 2 3 1 1 2 4 1 ，h o r v 6 t h 与k o k o s a k a ( 1 9 9 7 ) 2 5 ，l e i p u s ( 1 9 9 4 ) 2 6 等研究相依变量 的变点估计。然而在许多情况下，特别是在一个很长的时间段内，只存在一个 变点的假设是不合理的需要假设多个变点的存在，所以实际工作中不汉需要 检验变点的存在，而且需要对变点的个数以及变点的位置做出估计。 本文主要研究条件异方差( a r c h ) 模型的多变点检验与估计问题。与b a i f 1 9 9 9 ) 2 7 对线性时间序列多变点的处理的方法类似，本文首先构造原假设 n ：m = ，备择假设h ：m = ，+ 1 下的检验统计量，在原假设下得到统计量的 极限分布并构造检验的拒绝域。若原假设被拒绝，则设置新的原假设 矾：脚：f 十1 ，备择假设h l ：m = “2 ，继续如上步骤，直至原假设被接受为 止。在上述检验过程中，我们同时得到变点的个数与变点位置的估计，并且证 明了估计是一致估计。不同的是文 2 7 的检验统计量是基于最小二乘估计得到 的，而本文直接由c u s u m 型统计量构造检验统计量，不需要事先对模型中的 参数进行估计，从而有比文 2 7 】更简单的极限分布。 本章其余各节安排如下：在3 1 节将给出模型与假设：3 2 节给出本章 的主要结果，包括检验统计量的极限分布与变点个数估计的一致性：3 3 节 给出模拟结果。 3 1 模型与假设条件 本节给出平稳a r c h 过程、含多个变点的a r c h 过程及假设条件。 1 平稳a r c h 过程 堕韭三些占兰塑! 堂丝丝一一 如果随机变量序列以，z 满足如下条件 盯；= a 。+ 口，砬， 0 ，盘，o ，“j 1 其中 毛，j i z ) 是独立同分布的随机变量序列，并且眈* = 0 ， ：= 1 ( 3 11 ) f 3 1 2 1 ( 3 ，i 3 ) ： c c 以下是对这一结论的严格证明。 1 、统计量的极限分布 定理1 若原假设h 。：= ，成立及假设条件( 1 ) ( 4 ) 成立，则 l ( 1 + 1iz ) 山m a x 磊，身 ，( 3 2 1 ) 其中手，= s u p s ，仃，i 。( v ) l + 彳，。+ 8 ，) ，这里s 。= 1 ( 碳，一? ) ，吼为区问 t ，k 。 上x 。的无条件标准差，w ? ( v ) 是 o ，1 独立的b r o w n 桥，并且 = t 掣产 其中当i s 0 时，f ? = 0 ，当i l + 1 时，z ? = 1 h 。哦 ) l m 二 为此苜先证明以f 引理1 引理6 引理1 若原假设巩：m = l 成立及假设条件( 1 ) ( 4 ) 成立，则 p 机? ) 一r ( 刮 s ) 啼o ( 3 2 2 ) 证明由文献【7 知，假设a ，= i ) 2 1 斗0 ，丁”2 蟹呻o o 时，有 ；一f = 瓯( 一) 定义集合k ，( m ) = ：k = 【砰+ 僻】，1v 阵m ) ，其中 】为取整函数，m 是 怕一 等 钟 蔓广鬻 一 盟 嚣 陂一 西北：r 业大学埘上学位论文 任给的正数，m 。o o 且m t 40 ，当k k r ( m ) 时 i r ( k ) - r ( k 州掣傣塾一击。引 七? ( r k ? ) 一上t-k。t k ，剖，皋川 s p 髅也卜击，黔t 也) 学磷( x , - e x , ) - ，弘t 叫i + | 掣髓即击 k ? ( 丁一砰) 倍1 善k i 即壶，丢t 剐 由对称性，不妨假设v 0 令y ，= x ，一e x ，则 i r ( k ) - r ( k 驯可1 睦”瞅叫纠t + 对于第一颂 耱， + 伊副 妒雩掣， r = i l + 1 2 + i3 由泛孙蝴艮定理瞧儿扣羽朋啪假设条删坨笛一。，所 以 e i ， 6 1 3 ) 辛0 ，t 呻