（基础数学专业论文）关于smarandache函数方程求解和伪偶数序列的性质.pdf

中文摘要 研究数论函数的各种性质是初等数论的一个重要内容，而著名s m a r a n d a c h e 函数 s ( n 1 是重要的数论函数之一，它是由美籍罗马尼亚著名数论专家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授首先提出的此外，在1 9 9 1 年美国研究出版社出版的只有问题，没有解答一书 中，f s m a r a n d a c h e 教授提出了1 0 5 个关于特殊数列、算术函数等未解决的数学问题及猜 想许多学者都对此进行了深入的研究，并且取得了不少具有重要理论价值的研究成果 本文基于对以上所述问题的兴趣，主要研究了一类s m a r a n d a c h e 函数方程的求解问 题以及伪偶数序列的性质等具体说来，主要成果包括以下三方面： 1 、研究了一类包含s m a r a n d a c h e 函数的同余方程： 1 s ”+ 2 s 伽+ 3 s 伽+ + ( 刀一1 ) s o 量o ( m o d n ) 的可解性，并且当n 为无平方因子数时，给出了该方程所有整数解的具体形式 2 、利用初等及组合方法，获得了第一类和第二类s m a r a n d a c h e 伪偶数个数的两个较 为精确的计算公式 3 、用初等方法研究了s m a r a n d a c h e3 n 数列的性质，同时证明了当，z 为一些特殊整数 时，张文鹏教授提出的一个猜想是成立的! 关键词 s m a r a n d a c h e 函数，s m a r a n d a c h e 伪偶数，s m a r a n d a c h e3 n 数列，同余方程，序列， 正整数解 a b s t r a c t i ti sav e r yi m p o r t a n tc o n t e n to fe l e m e n t a r yn u m b e rt h e o r yt o s t u d yt h ev a r i o u s p r o p e r t i e so ft h ea r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s ，a n dt h ef a m o u ss m a r a n d a c h ef u n c t i o ns ( n ) i so n eo f t h ei m p o r t a n ta r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s ，i ti sf i r s ti n t r o d u c e d b ya m e r i c a nr o m a n i af a m o u s m a t h e m a t i c i a nf l o r e n t i ns m a r a n d a c h e i na d d i t i o n ，i nh i sb o o k o n l yp r o b l e m s ，n o t s o l u s i o n s ) ) ，p r o f e s s o re s m a r a n d a c h ep r o p o s e d10 5s p e c i a ls e q u e n c e s ，a r i t h m e t i cf u n c t i o n s a n ds o m eu n r e s o l v e dp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e s a f t e rt l _ i a l m a n ys c h o l a r sh a ds t u d i e d t h e s ep r o b l e m s ，a n do b t a i n e das e r i e so fv e r yi m p o r t a n tr e s e 铘c hr e s u l t s i nt h i sp a p e r , b a s e do nt h ea b o v em e n t i o n e dp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e s ，w es t u d i e dt h e v a r i o u sp r o p e r t i e so fs o m es m a r a n d a c h es e q u e n c e s ，a n dt h es o l u t i o n so fs o m ee q u a t i o n s i n v o l v i n gt h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n t h em a i nr e s u l t sa sf o l l o w s ： 1 t h es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n1 s ”+ 2 s 枷+ 3 s o + + ( 拧一1 ) s ( ”兰o ( m o dn ) h a sb e e n s t u d i e d ，a n di t sa l lp o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n sa l eg i v e n ，i f ni sas q u a r e - f r e en u m b e r 2 u s i n gt h ee l e m e n t a r ya n dc o m b i n a t o r i a lm e t h o d st os t u d ys o m ec a l c u l a t i n gp r o b l e m s o ft h ef i r s ta n ds e c o n ds m a r a n d a c h ep s e u d o e v e ns e q u e n c e s ，a n dt w om o r es h a r p e r a s y m p t o t i cf o r m u l a ea r eg i v e n 3 u s i n gt h ee l e m e n t a r ym e t h o dt os t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h es m a r a n d a c h e3 n d i g i t a l s e q u e n c e ，a n dp a r to ft h ec o n j e c t u r ep r o p o s e db yp r o f e s s o rz h a n gw e n p e n g i ss o l v e d k e yw o r d s s m a r a n d a c h ef u n c t i o n , s m a r a n d a c h ep s e u d o e v e n ，s m a r a n d a c h e 3 n d i g i t a ls e q u e n c e ， c o n g r u e n c ee q u a t i o n ，s e q u e n c e ，s o l u t i o n so fp o s i t i v ei n t e g e r i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 亟煎指导教师签名：猩兰望兰 7 , , olo 年6 月i 日 锄p 年占月f 弓e l 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：伏桶 7 , 0 70 年占月睑日 话北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 数论的发展简况 从原始社会石头记数开始，人类就开始和自然数打交道了，就有了自然数的初始概 念后来实践需要，数的概念又进一步得到了扩大，分别是正整数、零与负整数，它们又统 称为整数 对整数施行加，减，乘，除四种运算方式，我们把此类运算称为四则运算在整数 范围内，其中加、减、乘这三种运算，可以无限制、无阻碍地进行也就是，任意两个或 两个以上的整数在进行相加、相减、相乘运算的时候，它们的和、差、积依然是一个整 数但是整数之间的除法运算在整数范围内并不一定能无阻碍地进行 人们在对于整数进行各种运算的研究和应用中，逐渐熟悉了整数的特性。例如，整数 可以分为两大类，一类是奇数，另一类是偶数( 通常情况被称为单数、双数) 等利用整 数一些基本的性质，可以逐步研究和探索许多复杂和有趣的数学规律也正是这些特性 的魅力，吸引了从古至今许多数学家的不断研究和探索 数论最初是从研究整数开始的，所以我们叫做整数论后来整数论又进一步的发展， 就叫做数论了可以确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 自古以来，许多数学家对于整数性质的研究一直非常重视，但直到十九世纪，这些研 究成果还只是记载在各个时期的一些算术著作中，也就是说还没有形成一门完整统一的 学科 自我国古代至今，很多非常著名的数学著作中都有关于数论内容的一些论述，例如 求某些不定方程整数解、勾股数组、最大公约数的问题等等在国外，数论中一个最基本 问题，即整除性问题，在古希腊时代，数学家就有系统的研究，并且关于约数、质数、和数、 倍数等一系列的概念也都已经被提出来并加以应用了紧接着，后来各个时代的数学家 也都在研究整数性质上做出过非常重大的贡献，使数论的基本理论得到了逐步的完善 到了十八世纪末，关于整数性质零散的知识，历代数学家积累的已经十分丰富了，并 且把它们整理再加工成一门系统学科的条件也已经完全成熟了德国著名数学家高斯集 中历代数学家的成果，编写了一本书叫做算术探讨，于1 8 0 0 年寄给了法国科学院，但 是高斯的这部杰作却被法国科学院拒绝了，高斯只好把这部著作于1 8 0 1 年自己发表了 这部书也就开始了现代数论的新纪元，标志着数论成为独立的数学分支学科的开始 第一章绪论 数论形成为一门完全独立的学科后，又随着数学其他各个分支的发展，人们研究数 论的各种各样的方法也在不断的发展按研究方法的侧重点，数论分为四个部分，分别是 初等数论、解析数论、代数数论和几何数论 初等数论在数论中相对独立，是只依靠初等的方法而不求助其他数学学科的帮助， 来研究整数性质的一个分支在初等数论的研究中，中国古代就有着光辉的成就，孙子 算经、数书九章、周髀算经、张邱建算经等很多古文献上都有记载其 中最有名的就属“中国剩余定理”，它是初等数论中重要内容之一 解析数论是用数学分析的相关方法作为工具来解决数论问题的分支数学分析是在 极限概念的基础上研究函数而建立起来的一门数学学科解析数论的奠基人是数学全才 欧拉解析数论在解决数论中艰深问题中是一道强有力的工具在解决“哥德巴赫猜 想”问题中，我国数学家陈景润使用的就是解析数论的方法 代数数论起源于费马大定理的研究，是把整数概念推广到代数整数的一个分支很 多整数问题的研究和解决都离不开代数整数的研究，理所当然，整数研究推动了代数数 论发展，而后者又推动了代数学的发展 几何数论的研究基本对象是“空间格网，即透过几何观点研究整数的分布情形 其中最著名的定理是m i n k o w s k i 定理几何数论的奠基人是德国数学家、物理学家闵可 夫斯基 1 2 数论的迷人之处 在数学领域中，数论拥有独特的地位，是最美丽的一枝花朵“数学王子高斯把数 论喻为“科学的皇后长期以来，许许多多的专家和数学爱好者花大量的精力去研究数 论这一领域，无数的人为它倾注了毕生的精力那么，是什么原因，使得数论成为数学领 域中最耀眼的明星? 它拥有什么魅力能让无数极富智慧的人为之如痴如醉昵? 首先，数论这一门学科产生了许多具有刺激性的难题，且辉煌而丰富，堪称数学家的 宝库希尔伯特曾说过：“一门学科只要能够提出大量的问题，它就充满着无限的生命力， 而缺乏问题则表明这门学科独立发展的中止或衰亡 而数论就是一个拥有大量尚待 解决的问题的数学领域，这就向一代代的数学研究者提出了挑战著名数学家高斯曾把 数论比喻成“一座仓库，存储着无穷无尽的，能让人们感兴趣的真理” 其次，数论的一个真正诱惑是小学生都能把一些问题看懂然而，却令一代一代世界 西北大学硕士学位论文 一流的数学家们为之付出了艰辛的努力比如，著名的困惑了世间数学研究者3 6 0 多年的 费马大定理，最终到1 9 9 5 年才获得解决而像这些至今还未解决的问题在数论领域中却 比比皆是，像哥德巴赫猜想、孪生素数对、奇完全数存在性问题等等问题表达的简单和 解答的非常复杂，作为这门数学分支看着似乎很反常的特点却吸引着很多的专家与业余 爱好者 另外，为了解决这些问题，人们使用了许多的非常复杂的手段在如今的数论进展中， 代数、几何、实与复分析，甚至概率论问题的方法，都作出了非常重要的贡献然而，这些 不同的深刻的数学方法相互影响着，清楚地让人们看到了一个惊人的事实，也让人们几 乎无法避免地会产生一种非常玄秘的感觉有些结论，仅仅涉及到一些有关于自然数的 最简单的概念，比如素数但是，要证明它们，则必须用到分析、代数几何相关的复杂工具 哥德巴赫猜想就是一个非常好的例证 国内外非常著名的数论专家曾经形容那些试图只运用初等数学或微积分知识去解 决这一猜想的努力和付出，是“蹬着自行车上月球 ，又“好比拿着锯、钻子造一架大航 天飞机，因为他们使用的工具太原始，太落后了，再多的努力也都是白费然而，要解决 这一猜想，则必须用全新的观念与更加先进的工具才行不过，的确人们很难解释，为什 么人的认知机制非要七弯八转兜一个大圈子，之后才在一个假设条件与另外一个看上去 跟它非常相近的结论之间建立起联系然而，这种陈述定理的简单性，方法的深奥性，却 以一种非常明显的形式体现了数学领域内部深刻而又和谐的一致性，从而使数论吸引了 一代又一代的数学家去研究和探索 然而，还有一部分数学家着迷于数论的脱离实用的“纯正洁白 对于数论的研究 课题并不意味着马上招致对科学的应用如同鲍尔于1 8 9 6 年所说：“数论这门学科本身 是一个非常引人而又非常雅致的学科，但它的结论并没有什么实际意义 的确，按通常 的分法如果把数学划分为“纯粹 数学与“应用 数学，那么，数论或许是数学领域中 所能达到的最纯粹的学科了高斯、费马、拉格朗日、欧拉、勒让达等都是因数论内在 的无限趣味及自身特有的美而研究这一领域的他们毫不在乎那些优美的定理是否会在 实际生活中有什么“有用的应用高斯曾说过，皇后不愿弄脏她那洁白的双手英国数 学家哈代也曾为自己所研究的数论问题无用而举杯虽然数论位于数学领域中最美妙的 思想之列，而在哈代之前却从来没有被应用于任何非常有实际意义的目的现在，这种现 象已被改变 第章绪论 1 3 数论的应用 数论是一门抽象的学科，对训练人的心智有用长期以来，数论的发展处于非常纯粹 的理论研究状态，在数学理论的发展进程中，它起到了积极的作用但大多数人却并不清 楚它的实际意义 现今，由于计算机科学和应用数学的发展，数论广泛的应用于各个领域比如，在计 算方法、组合论等方面都非常广泛的使用了初等数论范围内的非常多的研究成果此外， 有些国家还应用了“孙子定理”来进行测量距离，在计算离散傅立叶变换时用到原根和 指数等许多的比较深刻的数论研究成果也在快速变换、差集合、近似分析等方面得到 了广泛应用 另外，数论也是密码学的理论基础由于计算机科学的飞速发展，又随着现代计算机 网络通信的非常广泛的应用，给传统密码带来了非常大的挑战，传统密码学已经不能够 完全适应飞速发展的网络环境下使用密码的各种需求于是，紧接着在上世纪七十年代， 研究学者们提出了公钥密码的概念，而且是运用了数论的方法，设计了第一个公钥密码 体制，也就是r s a 公钥密码然而，经过了人们二十多年的探索和研究，r s a 公钥密码在各 个领域已经得到了非常广泛的应用在r s a 密码的整个体制中，使用了一个大整数，即就 是目前通常取这个数有1 0 2 4 比特长，并且它是两个素数的乘积，而且这个大整数是公开 的，但它的两个素因子是完全保密的假如有人能够把这个大整数分解因子继而得到它 的两个素因子，那么他就能破译这整个密码体制，所以说，r s a 公钥密码的安全性是建立 于大整数因子分解问题的基础之上的研究学者们对r s a 的提出，大大的推动了人们对大 整数因子分解算法的探索和研究所以说，这是一个非常经典的数论问题而后，人们在 上世纪八十年代，又提出了椭圆曲线公钥密码，并且在其中应用了更加深刻的数论知识， 而且它的安全性也得到了全世界密码界的公认，而今也正逐步推向应用足以可见，公钥 密码的出现，使得数论在密码的探索和研究过程中发挥了非常核心的作用所以，从数论 到密码学，可以说是理论与应用的完美结合 4 西北大学硕上学位论文 第二章一个包含s m a r a n d a c h e 函数的同余方程 2 1 关于和式莓两访 2 1 1 引言 对任意正整数n ，著名的es m a r a n d a c h e 函数s ( ，2 ) 定义为最小的正整数m 使得 疗j 聊! ，即s ( 刀) = r a i n r e m e n ，i r a ! 这一函数是美籍罗马尼亚著名数论专家e s m a r a n d a c h e 教授在他所著的0 n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s 一书中引入的( 参阅 文献 1 】) 叭s ( n ) 的定义易推出：如果，2 = p l a l 岛m 所表示刀的标准素幂分解式，那么 s ( 聆) = 懋 s ( 只吒) ) 由此，亦不难计算出s ( 刀) 的前几个值为： s ( 1 ) = 1 ，s ( 2 ) = 2 ，s ( 3 ) = 3 ，s ( 4 ) = 4 ，s ( 5 ) = 5 ，s ( 6 ) = 3 ，s ( 7 ) = 7 ，s ( 8 ) = 4 ， s ( 9 ) = 6 ，s ( 1 0 ) = 5 ，s 0 1 ) = 1 1 ，s ( 1 2 ) = 4 ，s ( 1 3 ) = 1 3 ，s ( 1 4 ) = 7 ，s 0 5 ) = 5 ，s ( 1 6 ) = 6 ， 关于s ( 聆) 及其有关函数的算术性质，许多学者进行了研究，获得了不少有趣的结果， 参见文献 2 ，3 ，4 ，5 】例如，文献【5 】研究了和式 击 ( 2 1 ) 匆s ( d ) p 一7 是否为整数的问题，并证明了下面3 个结论： ( a ) 当，z 为无平方因子数时，式( 2 1 ) 不可能是正整数 ( b ) 对任意奇素数p 及任意正整数a ，当疗= p 。h a p 时，式( 2 1 ) 不可能是正整数 ( c ) 对于任意正整数刀，当n 的标准分解式为p l 口i p 2 “2 效一。口t - l 仇且s ( ，z ) = 见时，式 ( 2 1 ) 不可能是正整数 此# 1 - ，文献【6 】研究了s ( 2 川( 2 p 1 ) ) 的下界估计问题，并给出了估计式 s ( 2 川( 2 p 一1 ) ) 2 p + 1 ，其中p 为任意奇素数 对任意正整数，l 1 ，同余方程 i s ( ”) + 2 s 扣) + 3 s ( ”) + + ( 玎一1 ) s ( ”) 三0 m o d n ( 2 2 ) 是否可解呢? 对于这一问题，还未有人研究过 本章主要利用初等方法及其原根的性质研究了同余方程( 2 2 ) 的可解性，同时，也给 出了对于正整数刀满足同余方程( 2 2 ) 的一个充分条件，即证明了下面两个结论 第二章个包含s m a r a n d a c h e 函数的同余方程 2 1 2 主要结论 定理 2 1 对任意正整数玎 1 ，当j l f ( ，2 ) 0 时，有同余式 l 剐呻+ 2 剐砷+ 3 双川+ + ( 刀一1 ) 剐力三三( 1 + ( 一1 ) ”r o o d 船 其中p ( ) 为m o b i u s 函数 定理2 2 设奇数门 1 且其标准分解式为n = p l 钆p 2 。2 p k “，则有 s ( ，z ) = s ( 马。，= o r 乃，其中1s 口口，那么刀满足同余方程( 2 2 ) 的充分条件是对所有 i = 1 ，2 ，k ，有妒( 只) 不整除口乃 显然，当，z 为奇无平方因子数时，有三( 1 + ( 一1 ) ”) = o ，由定理2 1 立刻得到下面的推 论 推论 对任意奇数刀 1 ，且p ( n ) 0 ，则有同余式 l s ( ) + 2 s 伽) + 3 s _ ) 4 - - - - + ( 一1 ) 5 扣) 兰0 r o o d n 显然，由定理2 1 可知同余方程( 2 2 ) 有无穷多个正整数解，即所有大于1 的奇无平方 因子数都是同余方程( 2 2 ) 的解结合定理2 1 及定理2 2 不难推出同余方程( 2 2 ) 没有偶数 解 2 2 定理的证明 我们利用初等方法及原根的性质来完成定理的证明关于原根的存在性及其有关性 质，可以参阅文献【7 ，8 】 首先证明定理2 1 设刀 l 且p ( 刀) 0 ，于是由 es m a r a n d a c h e函数的性质可设 s ( 玎) = s ( 岛，p 2 ，仇) = 仇当以为奇数时，对任意b ，1 f k ，设g 为模尼的原根，显然 自然数1 ，2 ，刀一1 中包含了模b 的旦个简化剩余系，于是由原根的性质可得 p t 1 s ( 疗) + 2 s ( ”) + 3 s ( n ) + + ( 刀一1 ) s ( ”) = 1 肚+ 2 肚+ 3 肚+ + ( 刀一2 ) 肚+ ( 肛一1 ) 肚暑 6 西北大学硕士学位论文 詈( 矿肚+ g l - p k + 矿肚+ + g 2 肚) 毫 p t j。 尝掣g 兰- 1 m o 岍 p t 脚 _ l( 2 3 ) 因为g 为模a 的原根，所以g 川暑1 r n o d p ，从而推出g ( p , - i ) 。- = 1m o d p f ，而 ( p k ，只一1 ) = 1 ，f f i 以( g 肚一1 ，只1 = 1 ，因此有 鲁善。m o a b 亿4 ， 结合同余式( 2 3 ) 及( 2 4 ) 立刻得到 1 s 加) + 2 s 扣) + 3 s ( ”) + + ( 玎一1 ) s 伽) = 0 m o d p , ( 2 5 ) 注意到易，p 2 ，所两两互素，且每个见均整除1 s ( ”) + 2 s ( 月) + 3 s ( 行) + + 一1 ) s ( ，所以由式 ( 2 5 ) 知乘积易p 2 p k = 疗也整除1 s ( 打) + 2 3 ( n ) + 3 5 ( h ) + + 仍一1 ) s ( ，即 1 s ( ”) + 2 s ( h ) + 3 s 伽) + + ( ，z 1 ) 5 0 ) = 0 r o o d n 于是证明了当n 为奇无平方因子数时，定理2 1 成立 当以为偶无平方因子数时，由前面的证明过程可知若b 为n 的奇素因子时，式( 2 5 ) 仍 然成立，所以易推出同余式 1 s 扣) + 2 s 扣) + 3 s ( 月) + + ( 珂一1 ) s ( ”) = o m o d l 2 玎 ( 2 6 ) 同时也易验证 1 s ( 打) + 2 s 扣) + 3 s ( 打) + + ( 疗一1 ) s 加) - - l m o d 2 ( 2 7 ) 注意到( 2 ，三刀) = 1 ，于是结合式( 2 6 ) ，( 2 - 7 ) 不难推出 1 剐砷+ 2 剐砷+ 3 s 伽) + + ( 疗1 ) 剐川羞三甩毫三( 1 + ( 一1 ) ”) m 。d 刀 这样就完成了定理2 1 的证明 现存证明定理2 2 7 第二章一个包含s m a r a n d a c h e 函数的同余方程 设奇数刀 1 且标准分解式为厅= 奶钆p ：“2 见，s ( 门) = s ( 乃“= t 2 p j ，其中 1 1 ，有渐近公式 y t1 = 去x + d ( 妒轴1 0 ) ，- - , 一 、7 荟m ) = l x l n x + 芝1y + 警一扣蛐1 0 + _ 其中b 表示所有第二类s m a r a n d a c h e 伪偶数的集合，d ( n ) 是d i r i c h l e t 除数函数，) ，是欧 拉常数，s 为任意给定的正数 本文利用初等及组合方法给出了计算第一、二类s m a r a n d a c h e 伪偶数个数的精确计 算公式。 令a 表示所有第一类s m a r a n d a c h e 伪偶数的集合，b 表示所有第二类s m a r a n d a c h e 伪偶数的集合则有 定理3 1对v x r ，x 1 ，记x 的整数部分的十进制展开式为 【x 】_ 口m l o 朋+ 口m l l o ”1 + + a l l o + a o ，其中o q 1 0 ( f = o ，1 ，聊) 为正整数且 a m o ，七= n 瞰 f ：口f 为偶数且f o ，l ，州则 ( a ) 若0 k m ，有 9 第三章关于s m a r a n d a c h e 伪偶数序列 荟= 【x 】一百5c 5 m 一，一姜 号 5 ， 萎= 【x 】一百5c 5 册一，一姜 号 5 一5 t 。册一一5 善c q 一- ，。扣l 一 詈 一- ( b ) 若k 不存在，有 荟= 【x 卜石5c 5 ”一- ) 一善 号 5 。一， 蒌= 【x 】一百5c 5 ”一t ，一善 号 5 一5 。”一一5 善c 哆一- ，- 。卜l 一 一2 ， 其中【x 】表示不超过x 的最大整数 3 2 定理的证明 事实上为求出【1 ，x 】之间第一类s m a r a n d a c h e 伪偶数的个数，只需用【x 】减去【l ，x 】之 间非第一类s m a r a n d a c h e 伪偶数的个数而第二类s m a r a n d a c h e 伪偶数的个数即就是第 一类s m a r a n d a c h e 伪偶数的个数与 1 ，x 】之间偶数个数之差 ( a ) 计算【1 ，x 】之间第一类s m a r a n d a c h e 伪偶数的个数为此进行分类计算非第一类 s m a r a n d a c h e 伪偶数中每一位数有5 种可能，所以所有一位数中有5 个，即就是1 ，3 ，5 ， 7 ，9 ；所有两位数中共有5 2 个；所有三位数中共有5 3 个，所有聊位数中共有5 册个， 于是 区间 1 0 ”，口卅l o ”) 之间有【口肌2 】5 ”个， 区l h q a 1 0 , a m l o ”+ a m 一。1 0 川) 之间有【一。2 】5 肼一1 个， i 噩i h - j a , 1 0 ”+ + 咏+ 。1 0 m ，口卅l o ”+ + q + 1 1 0 川+ a i l o ) 之间有【q 2 】5 。个， 区l h - j a 。1 0 “+ + a k + 1 1 0 纠+ 吼1 0 。，1 0 ”+ + ) 之间无非第一类s m a r a n d a c h e 伪 偶数 1 0 西北大学硕士学位论文 ( b ) 计算区间【1 ，x 】之间偶数的个数，可以直接计算，也可以采用与上述相同的分类方 法，区间【1 , x 】之间偶数中一位数有5 个，即0 ，2 ，4 ，6 ，8 ，两位数有9 5 个，三位数有 9 x l o x 5 个，m 位数有9 1 0 ”2x 5 个，于是 区间 1 0 ”，a m l o ”) 之间有( - 1 ) 1 0 m - ! x 5 个， x e l 暗- 3 a , 1 0 , a m l o 肘+ 口卅一。1 0 ”一1 ) 之间有( - 1 ) 1 0 m - 2x 5 个， 区间 1 0 ”+ + a 。l o ，a m l o ”+ + 口1 1 0 + 口o 之间有【口o 2 】+ 1 个 所以区间【1 ，x 】之间的偶数个数【影2 】为 5 + 9 x 5 + 9 x l o x 5 + + 9 x l o ”一2 5 + ( - 1 ) x l o 川x 5 + + a o 2 + l = 5 x l o ”1 + 5 ( q - 1 ) 1 0 卜1 + a o 2 + 1 i = l 若0 k m ，贝a a 1 0 ”+ + 为第一类s m a r a n d a c h e 伪偶数，故 n e a 朴5 5 ”一阱llm 丁l 等l 卜j 时l =j二j 【x k 5 ( 5 “一，) - 羔础l f - 二, j 1 5 1 = 1 一1 = n e bn e a 2 1 【x 】一i 5c 5 ”一- ，一萎 詈 5 一5 ，。”一一5 善c q 一，。卜l 一 詈 一- 其中【y 】表示不超过j ，的最大整数 若k 不存在，即所有的口( f = 0 ，l ，聊) 均为奇数，此时1 0 m + + 口0 不是第一类 s m a r a n d a c h e 伪偶数，故 第三章关于s m a r a n d a c h e 伪偶数序列 n e a l _ 【十5 9 5 胁一阱册一斟5 州阱- 咖= 【x 卜i 5c 5 ”一，一芸 鲁 5 。一t l = 1 一l = 一b坩a 2 i n 一耳行x打主工 【x 卜j 5c 5 ”一，一喜 鲁 5 一5 。册一一5 喜c q 一，。卜l 一 詈 一2 这样就完成了定理3 i 的证明 1 2 西北大学硕二l 学位论文 第四章关于s m a r a n d a c h e3 n 数列和张文鹏猜想 4 1 引言及结论 对任意正整数刀，s m a r a n d a c h e3 n 数列为 a n _ 1 3 ，2 6 ，3 9 ，4 1 2 ，5 1 5 ，6 18 ，7 2 l ，8 2 4 ，) 这些数字被分为两组，其中后一个数是前一个数的3 倍例 如，c 1 1 0 = 1 0 3 0 ，a 2 1 = 2 1 6 3 ，a 3 2 = 3 2 9 6 ，q o o = 1 0 0 3 0 0 ，这个数列是f s m a r a n d a c h e 教授提 出来的，建议我们研究它的性质关于这个问题的文章至今没有看到2 0 0 8 年末，张文鹏 教授建议我研究这个数列，同时他还提出了以下猜想： s m a r a n d a c h e 3 n 数列 ) 中不存在完全平方数，也就是说对任意正整数疗g lm ，方 程= m 2 没有正整数解 张文鹏教授认为这个猜想是有趣的，因为如果它是正确的，那么我们将会得到 s m a r a n d a c h e 3 n 数列更深层次的性质本章利用初等方法来研究这一问题，并证明了张教 授的猜想对一些特殊的正整数是正确的也就是我们证明了以下三个结论： 定理4 1 1 如果正整数刀是无平方数( 也就是说，对任意的素数p ，如果p 整除 力，那么p 2 不整除刀) ，那么q 不是完全平方数 定理4 1 2 如果正整数刀是完全平方数，那么不是完全平方数 定理4 1 3 如果是一个完全平方数，那么当( 协，3 3 0 ) = l 时，就有 ，z = 2 2 口i 3 2 a 2 5 2 q 1 1 2 q 惕 从以上定理可以得到对一些特殊正整数r l ，a n 不是一个完全平方数对一般的正整 数，z ，张教授的猜想是否正确是一个公开的问题 4 2 定理的证明 这一部分将利用初等方法完全证明以上定理，首先证明定理4 1 1 对任意的无平方数r l ，当1 q 9 ，0 q 9 ，江l ，2 ，k - 1 时，i _ l z3 n = a k a k l a 2 a l ， 那么从的定义可以得到= ，l ( 1 0 + 3 ) 如果刀是一个无平方数，就存在一个正整数肌， 使得 = 聆( 1 0 + 3 ) = 朋2 ( 4 1 ) 从( 4 1 ) 式和无平方数我们得到力l 所，让m = z ，刀，那么( 4 1 ) 就变为 1 0 + 3 = u 2 撑 ( 4 2 ) 第四章关于s m a r a n d a c h e3 n 数列和张文鹏猜想 在( 4 2 ) 式中，如果u = l ，就不可能存在 1 0 + 3 2 2 ：2 a k a k 一1 呸口12 3 n ，z 七 如果”：2 ，( 4 2 ) 式不成立；事实上，如果( 4 2 ) 式成立，那么1 0 。+ 3 = 4 ，l ，既然1 0 + 3 是一个奇数，4 是一个偶数，显然1 0 + 3 = 4 - 刀是矛盾的 如果材：3 ，( 4 2 ) 式不成立，因为当满足条件时可以得出恒等式l o + 3 - = l m o d 3 ，但是 甜2 7 = 9 7f - o m o d 3 ，因此( 4 2 ) 式不成立 如果甜：4 ，那么1 0 + 3 是一个奇数，但2 7 = 4 2 n 是一个偶数，因此( 4 2 ) 式也不成 立 如果甜：5 ，存在1 0 + 3 羞3 m o d 5 ，u 2 7 = 5 2 甩耋0 r o o d 5 ，因此( 4 2 ) 式不成立 如果：6 ，那么1 0 + 3 是一个奇数，但扰2 n = 6 2 r l 是一个偶数，因此( 4 2 ) 式不成立 如果 材7 ， 3 n = a k a k l a 2 a l - 1 0 h ， 存在不等式 甜2 船7 2 n ：4 9 n 1 0 4 n + 9 1 0 1 0 h + 9 1 0 。+ 3 ，因此( 4 2 ) 式不成立 从以上证明过程得出任意的正整数都不满足( 4 2 ) 式，因此定理4 1 1 得证 定理4 1 2 的证明： 设刀：u 2 是一个完全平方数，如果存在一个正整数m 使得 n - ( 1 0 膏+ 3 ) = m 2 ( 1 0 膏+ 3 ) = 聊2 ， ( 4 3 ) 那么从( 4 3 ) 式可以推理出i r a ，设所= “，那么( 4 3 ) 式变为 1 0 + 3 = ，2 ，( 4 4 ) 既然1 0 + 3 兰l m o d 3 ，但是，2 基0o f1 m o d 3 ，显然( 4 4 ) 式不成立定理4 1 2 得证 定理4 1 3 的证明： 对任意的正整数k ，( 1 0 + 3 ，2 3 5 1 1 ) = ( 1 0 。+ 3 ，3 3 0 ) = 1 ，事实上 1 0 + 3 羞( 一1 ) + 3 - 2 0 r 4 m o d l1 ，1 0 。+ 3 - - l m o d 2 ，1 0 。+ 3 = l m o d 3 ，1 0 + 3 - 3 m o d 5 ，存在 ( 1 0 + 3 ，2 3 5 11 ) = 1 ，然而，如果”( 1 0 + 3 ) = m 2 并且当p - - 2 ，3 ，5 ，11 时，p i n ，那么 p 2k 也就是说，p 的幂在玎的因式分解中是一个偶数，定理4 1 3 得证 4 3 定义 将s m a r a n d a c h e3 7 数列的性质推广到相关定义上，s m a r a n d a c h e4 n 数列 玩) = 1 4 ，2 8 ，3 1 2 ，4 1 6 ，5 2 0 ，6 2 4 ，7 2 8 ，8 3 2 ， ，这些数字后一个是前一个的4 倍， 1 4 西北大学硕士学位论文 s m a r a n d a c h e5 n 数列 巳) = 1 5 ，2 1 0 ，3 1 5 ，4 2 0 ，5 2 5 ，6 3 0 ，7 3 5 ，8 4 0 ， ，这些数字后一个是 前一个的5 倍对于这类数列，张文鹏教授提出以下猜想： 推论：s m a r a n d a c h e4 nj , i y l j b 和s m a r a n d a c h e5 n 数列 巳) 中不存在任意的完全 平方数 使用这些定理，能够处理s m a r a n d a c h e4 n 数列和s m a r a n d a c h e5 n 数列中的问题， 并得到一些相关结论 1 5 小结与展望 小结与展望 在1 9 9 1 年美国研究出版社出版的只有问题，没有解答一书中，e s m a r a n d a c h e 教 授提出了1 0 5 个关于特殊数列、算术函数等未解决的数学问题及猜想本文基于对以上 所述问题的兴趣，主要研究了s m a r a n d a c h e 函数的方程求解和伪偶数序列的性质等然而， 还有很多问题期待我们去解决，需要我们进一步研究的问题有： ( 1 ) 对于s m a r a n d a c h e 函数的同余方程，我们目前只得出了方程解的部分结论，能否 完全得出它的全部解，我们还需要要进一步研究 ( 2 ) 关于伪偶数序列的问题，我们主要改进了前人的结论，并得出了较为精确的计算 公式，我们能否运用其他方法得出计算公式 ( 3 ) 对关于s m a r a n d a c h e 3 n 数列和张文鹏猜想进行研究并最终得到解决，是一个有待 于进一步研究的课题 1 6 西北大学硕士学位论文 参考文献 1 】s m a r a n d a c h ef o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s m c h i c a g o ：x i q u a np u b l i s h i n g h o u s e ，1 9 9 3 【2 】l uy a - m i n g o nt h es o l u t i o n so fa ne q u a t i o ni n v o l v i n gt h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n j s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 6 ，2 ( 1 ) ：7 6 - 7 9 【3 】 乐茂华关于s m a r a i l d a c h e 函数的一个猜想川黑龙江大学学报( 自然科学版) ， 2 0 0 7 ，2 4 ( 5 ) - 6 8 7 6 8 8 4 】朱伟义原数函数s p ( 砌) 与m e m a n nz e t a 一函数的关系 j 】西北大学学报( 自然科 学版) ，2 0 0 7 ，3 7 ( 3 ) ：3 4 5 3 4 7 ( 5 】杜风英关于s m 觚m d a c h e 函数s ( 玎) 的一个猜想叨纯粹数学与应用数学，2 0 0 7 ， 2 3 ( 2 ) ：2 0 5 2 0 8 【6 】l em o h u a al o w e rb o u n df o rs ( 2 p q ( 2 ，一1 ) ) 川s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ， 2 0 0 1 ，1 2 ( 1 3 ) - 2 1 7 - 2 1 8 【7 】 张文鹏初等数论【m 】西安：陕西师范大学出版社，2 0 0 7 【8 】a p o s t o ltm i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i c a ln u m b e rt h e o r y m n e wy o r k ：s p r i n g - v e r l a g - 19 7 6 【9 】l i uy a n - n i o nt h es m a r a n d a c h ep s e u d on u m b e rs e q u e n c e j 数学季刊，2 0 0 6 ，2 1 ( 4 ) ： 5 8 1 - 5 8 4 【1o 】m l p e r e z ，f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e ，d e f i n i t i o n s ，s o l v ea n du n s o l v e dp r o b l e m s 。 c o n j e c t u r e sa n dt h e o r e m si nn u m b e rt h e r o ya n dg e o m e