（基础数学专业论文）剩余格的若干研究.pdf

摘要 剩余格理论是代数学中的重要研究领域之一，近十年来许多专家学者对 其进行了深入细致地研究。剩余格可以看作是满足特定条件的偏序半群。 这样，我们可以借助半群代数理论中的观点和方法来研究剩余格。本文主要 从半群的角度出发研究了三类剩余格。 全文共分三章。第一章首先简要地介绍了剩余格理论的研究背景，现状 和结果，然后介绍了与本文相关的半群，剩余格和泛代数的基本知识。第二 章研究了幂等元剩余链。在揭示了这类剩余格的若干性质和特征之后，我们 获得了它们的结构定理，推广了文献 1 】的主要结果。此外，我们给出了有单 位元的带是某个幂等元剩余链的半群导出的充分必要条件。第三章研究了 锥形幂等元剩余格，是前一章研究工作的扩展和深入。我们首先利用半群导 出上的g r e e n 口一关系给出了锥形幂等元幺半群的一些重要性质和特征。 其次利用这些性质给出了锥形幂等元剩余格的结构定理。此外，我们给出锥 形幂等元剩余格的一个刻画，推广了文献【2 】的一些结果。最后我们运用锥 形幂等元剩余格的结构定理分别给出了次直积不可约锥形幂等元剩余格，单 锥形幂等元剩余格与严格单锥形幂等元剩余格的刻画。特别地，我们给出了 严格单锥形幂等元剩余格的一个分类。第四章研究了b 酉逆剩余链。首先 我们给出了这类剩余格的一些重要性质和特征。其次我t f n 用这些性质给 出了e 一酉逆剩余链的结构定理。作为应用，我们考虑了几类特殊的b 酉 逆剩余链。最后我们应用e 酉逆剩余链结构定理分别给出了次直积不可 约b 酉逆剩余链，单b 酉逆剩余链与严格单b 酉逆剩余链的刻画。 关键词 剩余格，带，锥形格序幂等元幺半群，b 酉逆半群 b o i n ec o n t r l b u t l o n st or e s l d u a t e dl a t t l c e s ，11111 a b s t r a c t t h es t u d yo ft h et h e o r yo fr e s i d u a t e dl a t t i c e si so n eo ft h ei m p o r t a n t t o p i c si na l g e b r a m a n ye x p e r t sa n ds c h o l a r so v e rt h ep a s td e c a d eh a v ec a r r i e do u tt h o r o u g h ，p a i n s t a k i n ga n ds y s t e m a t i c a lr e s e a r c hi n t oi t r e s i d u a t e d l a t t i c e sa r ei n d e e dp a r t i a l l yo r d e r e ds e m i g r o u p s t h u s ，w ec a ns t u d yt h e r e s i d u a t e dl a t t i c e sb ym e a n so ft h ev i e w p o i n t sa n dm e t h o d si nt h ea l g e b r a i c t h e o r yo fs e m i g r o u p s w em a i n l ys t u d yt h r e ec l a s s e so fr e s i d u a t e dl a t t i c e s f r o mt h ea n g l eo fs e m i g r o u p si nt h i sp a p e r t h ed i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n d ， t h ep r e s e n ts t a t eo fr e s i d u a t e dt h e o r ya n ds o m ef u n d a m e n t a lk n o w l e d g ea b o u t s e m i g r o u p s ，r e s i d u a t e dl a t t i c e sa n du n i v e r s a la l g e b r aa r es i m p l yi n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，w es t u d yi d e m p o t e n tr e s i d u a t e dc h a i n s a f t e ro b t a i n i n gs o m e p r o p e r t i e so fs u c hr e s i d u a t e dl a t t i c e ，w ee s t a b l i s has t r u c t u r et h e o r e mf o r i d e m p o t e n tr e s i d u a t e dc h a i n s ，w h i c hg e n e r a l i z e sm a i nr e s u l t si n ”m o r e - o v e r ，w eg i v en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rab a n dw i t ha ni d e n t i t y t ob et h es e m i g r o u pr e d u c to fs o m ei d e m p o t e n tr e s i d u a t e dc h a i n c h a p t e r3i s d e v o t e dt or e s e a r c hc o n i c a li d e m p o t e n tr e s i d u a t e dl a t t i c e s ，w h i c hi sa ne x t e n - s i o no ft h ep r e v i o u sc h a p t e ra n di n d e p t h f i r s t l y , w eo b t a i ns o m ep r o p e r t i e s o fc o n i c a ll a t t i c e - o r d e r e di d e m p o t e n tm o n o i d sb yu s i n gt h eg r e e nd - r e l a t i o n o nt h es e m i g r o u pr e d u c t s s e c o n d l y , w ee s t a b l i s has t r u c t u r et h e o r e mf o rc o n - i c a li d e m p o t e n tr e s i d u a t e dl a t t i c e s w ea l s og i v eac h a r a t e r i z a t i o no fc o n i c a l i d e m p o t e n tr e s i d u a t e dl a t t i c e s ，w h i c hg e n e r a l i z e sr e s u l t si n 【2 】f i n a l l y ，b a s e d o nt h es t r u c t u r et h e o r e m ，w eo b t a i ns o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fs u b d i r e c t l yi t - r e d u c i b l e ，s i m p l ea n ds t r i c t l ys i m p l ec o n i c a li d e m p o t e n tr e s i d u a t e dl a t t i c e s 1 1 i np a r t i c u l a r ，w eh e r eg i v et h ec l a s s i f i c a t i o no fs t r i c t l ys i m p l ec o n i c a li d e m p o - t e n tr e s i d u a t e dl a t t i c e s i nc h a p t e r4 ，w es t u d ye u n i t a r yi n v e r s er e s i d u a t e d c h a i n s a f t e rg i v i n gs o m ep r o p e r t i e so fs u c hr e s i d u a t e dl a t t i c e s ，w eo b t a i na s t r u c t u r et h e o r e mf o re u n i t a r yi n v e r s er e s i d u a t e dc h a i n s a sa p p l i c a t i o n s ， w ec o n s i d e rs o m e s p e c i a lc a s e so fe u n i t a r yi n v e r s er e s i d u a t e dc h a i n s f i n a l l y , w eg i v es o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fs u b d i r e c t l yi r r e d u c i b l e ，s i m p l ea n ds t r i c t l y s i m p l ee - u n i t a r yi n v e r s er e s i d u a t e dc h a i n s k e y w o r d s r e s i d u a t e dl a t t i c e ，b a n d ，c o n i c a ll a t t i c e - o r d e r e di d e m p o t e n tm o n o i d ，e - u n i t a r yi n v e r s es e m i g r o u p 1 1 1 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适 学位论文作者签名： 纱护7 j 指导教师签名：委豺 年乡月1 日 。夕年彩月订日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同2 1 2 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者虢际伽 矽p 7 年6 月日 西北大学博士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 令( q 3 ，) 是偏序集。二元运算。称为剩余的如果存在两个q 3 上的二 元运算和q 满足条件： ( v x ，y ，z 秘) z0y z = 争y z z = 争z z 幻y 在这种情况下，二元运算对修，q ) 称为运算。的剩余组。由文献 3 】知在偏 序集( 币，) 上的运算。是剩余的充分必要条件是。关于每个变量都保序并 且满足条件：对于任意a ，b q 3 ，集合 p 币ia o p 6 ) 和 g q 3iq o as6 】- 都有最大元( 分别记为a b 和bqn ) 。代数= ( ，a ，v ，o ，司，e ) 是剩余 格如果满足下面条件： ( r l l ) ( ，a ，v ) 是格； ( r l 2 ) ( ，o ) 是有单位元e 的幺半群； ( r l 3 ) 运算对哆，司) 是。的剩余组。 在这种情况下，我们分别称格( ，a ，v ) 和半群( ，o ) 为剩余 格( ，a ，v ，o ，q ，e ) 的格导出和半群导出。有时，剩余格也称为剩余 格序幺半群。 剩余格是和数理逻辑联系紧密的一类代数结构。w a r dm 和d i l w o r t h r p 在上世纪三十年代首先提出剩余格的概念并对剩余格进行了深入的理 论研究( 参见 4 - 8 1 ) 。因为他们最初引入剩余格的目的主要是推广环的理想 格的重要性质，所以他们所提出的剩余格定义比本文给出的剩余格的一般定 义有更多的限制条件。剩余格的一般定义是由b l o u n tk 和t s i n a k i sc 在 文献 9 】给出的。他们在 9 】中第一次发展了剩余格这类代数的结构理论。 最近十年伴随着理论计算机和信息科学的迅猛发展，剩余格的理论研究取得 了很大的进展( 参见 1 3 ，9 3 7 1 ) 。一方面，剩余格理论为结构逻辑提供了代 1 第一章绪论 数语义。另一方面，它推广了具有广泛应用价值的一些很好的代数结构，包 括格序群，布劳威尔代数，广义m v 代数等。因此，许多数学家和逻辑学家 对剩余格及其子类的理论研究越来越关注。 许多学者从不同角度来研究剩余格。例如b l o u n tk ，t s i n a k i sc 等把剩 余格看作是格序群的推广，从格序群角度来研究剩余格( 参见 3 3 ，3 1 ) ；k t i h r j , v a na l t e nc j 等从剩余组的角度来研究剩余格( 参见【1 2 ，1 6 ) ；j i p s e np 等从半环的角度来研究剩余格( 参见【2 6 1 ) 。剩余格实际上是一类偏序半群， 很自然地我们就从一个新的独特的角度一半群角度来研究剩余格。本文就 是运用半群代数理论中的观点，方法研究了三类剩余格，获得了许多新的重 要的结果，丰富了剩余格的理论成果。 剩余格( ，a ，v ，0 ，q ，e ) 称为幂等元剩余格如果的半群导出是带。 幂等元剩余格( ，a ，v ，o ，q ，e ) 称为交换的如果的半群导出是交换的； 称为幂等元剩余链如果的格导出是链。在剩余格理论的研究中，幂等元 剩余格的研究是其中十分活跃的重要领域。文献 1 ，2 ，1 1 ，2 4 】的作者致力于 幂等元剩余格方面的研究。其中r a f t e r yj g 在文献 1 】中研究了交换幂 等元剩余链，主要给出了次直积不可约交换幂等元剩余链的结构定理。本文 在第二章从半群的角度研究了幂等元剩余链，借助半群的g r e e n - 关系方 法，给出了幂等元剩余链的一些重要性质和结构定理，推广了【1 】的主要结 果。此外，幂等元剩余链的半群导出是有单位元的带，很自然的我们会提出 这样一个问题：是否每个有单位元的带都是某个幂等元剩余链的半群导出? 回答是否定的。在这章最后一节我们给出了有单位元的带是某个幂等元剩 余链的半群导出的充分必要条件。 幂等元剩余格( ，a ，v ，o ，q ，e ) 称为锥形的如果对于每个a ， a e 或e a ，其中是的格导出中的偏序( 参见 9 】) 。本文在第三章 研究了锥形幂等元剩余格，这是第二章研究工作的扩展和深入。第一节我们 利用带的g r e e n 口一关系理论获得了锥形格序幺半群的一些重要性质。第 二节我们给出了锥形幂等元剩余格的结构定理，进一步推广了 1 】的主要结 2 西北大学博士学何论文 果。第三节我们给出了锥形幂等元剩余格的一个刻画，推广了文献【2 的一 些结果。在本章的第四节作为锥形幂等元剩余格的结构定理的应用我们分 别给出了次直积不可约锥形幂等元剩余格，单锥形幂等元剩余格与严格单锥 形幂等元剩余格的刻画。日本学者g a l a t o sn 在文献 2 4 】利用一类严格单 锥形幂等元剩余格构造出幂等元剩余格簇的不可数多个极小子簇，我们在这 一节最后给出了严格单锥形幂等元剩余格的一个分类。 剩余格( ，a ，v ，o ，q ，e ) 称为e 一酉逆剩余链如果的半群导出 是e 一酉逆半群并且的格导出是链。e 一酉逆半群的研究在半群代数 理论研究中占有十分重要的地位，取得了丰硕的成果( 参见【4 4 ，4 7 ，5 3 ，5 8 6 2 ) 。m c a l i s t e rd b 在文献【5 8 】研究了e - 酉逆半群，给出了e 一酉逆半群 的结构定理。s a i t 6t 在文献【5 3 】研究了全序b 酉逆半群，给出了全序口 酉逆半群的结构定理。g o m e sg m s ，g i r a l d e se 和m c a l i s t e rd b 在文 献 6 0 】应用文献 5 8 】中的口酉逆半群的结构定理简化了s a i t 6t 关于全 序b 酉逆半群的结构定理。我们把b 酉逆剩余链看成是一类全序b 酉 逆半群。很自然地我们会提出这样一个问题：我们怎样刻画b 酉逆剩余链 的结构? 我们在第四章就回答了这个问题。我们在获得b 酉逆剩余链的一 些重要性质后，给出了这类剩余格的结构定理。作为应用，我们考虑了几类 特殊的口酉逆剩余链的结构。最后我们应用口酉逆剩余链的结构定理分 别给出了次直积不可约口酉逆剩余链，单e 一酉逆剩余链与严格单e 酉逆 剩余链的刻画。 1 2 预备知识 设s 是半群，若存在e s 使得 ( v e s ) e 8 = s e = 8 ， 则e 称为s 的单位元。含有单位元的半群称为幺半群。容易验证半群至多 有一个单位元。若s 不含有单位元，可以在s 中添加元素1 ( 1 盛s ) ，并定义 3u 第一章绪论 站，s = 慨 船剃0 西北大学博士学位论文 半群代数理论研究的最基本的工具之一是g r e e n 关系。下面将介绍半 群上g r e e n 关系的定义。 设s 是半群，在s 上分别定义g r e e n 关系c ，冗，歹为： ( a ，b s ) acb 营s l a = s 1 6 ； a 冗b a s l ：b s l ： n 了b 铮s 1 a s l = s 1 b s l ； 并且咒全cn 冗：d 全v 冗 关于半群上的g r e e n 关系，我们有以下的结论。 引理1 2 1 ( 【4 4 悔2 1 ) 若s 是半群，n - f 歹d 命题成立： ( i ) ( a ，b s ) acb 营( 3x ，y s 1 ) x a = b ，y b = a ( i i ) ( a ，b s ) o7 已6 营( | z ，y s 1 ) a x = b ，b y = a ( i i i ) ( a ，b s ) a 了b 营( | z ，y ，u ，秒s 1 ) x a y = b ，u b v = a ( i v ) c 是s 上的右同余，冗是s 上的左同余 ( v ) ：1 9 = co 冗= 冗0 令孵是带。由文献 4 4 】的命题2 1 4 和定理4 1 3 知，在孵上，口= 了 并且d 是同余；豸d 是半格，通常称为豸的结构半格。我们用y 表示 半格豸d 。设秽：豸_ y 是由d 导出的自然同态。对于q y ，我们 用d a 来表示q 秽。显然，每个d q 是豸的一个口一类，进而是矩形带。 易知d a d 卢：= n 6ia d a ，b d p ) d 口卢。因此我们有 引理1 2 2 ( 4 4 】定理4 4 1 ) 每个带都是矩形带的半格。 设s 是半群，s 的元a 称为正则元如果存在x s 使得a x a = a 。半 群s 称为正则半群如果它的所有元都是正则元。正则半群s 称为逆半群如 果它的任意两个幂等元相乘可交换。为方便，我们把半群s 的幂等元集合记 为e ( s ) 。因为逆半群s 的幂等元集合e ( s ) 是半格，所以我们称e ( s ) 为s 的幂等元半格。逆半群s 称为b 酉逆半群如果对于e e ( s ) 和8 s ， e 8 e ( s ) 意味着8 e ( s ) 。 5 第一章绪论 设印是非空集合。平上的二元关系称为偏序如果具有反身性，反对 称性，传递性。这时称币为偏序集，记为( 印，) 或q 3 。币上偏序称为 全序如果对于任意z ，y q 3 ，x y 或y x 。偏序集( 币，) 称为全序集如 果是全序。全序集也称为链。设是半群( s ，) 上的偏序。( s ，) 称 为偏序半群如果对任意a ，b s ，a b 兮( y x ，y s 1 ) x a y z b y 。偏序半 群( s ，) 称为全序半群如果是全序。关于偏序半群的详细情况，请参 考文献 4 4 - 5 7 】。 设s 是e 酉逆半群，盯是s 上的最小群同余。令g = s 6 r 。由 文献 6 0 】第5 0 3 页知，s 同构于p 一半群p ( c ，纱) ，这里( g ，彤，纱) 是m c a l i s t e r 三元组：即影是下有向偏序集，纱是影的子半格和序 理想，g 通过保序自同构的方式对影从左边进行作用，满足= g 眇并对于夕g ，9 纱n d 。事实上，纱同构于s 的幂等元半 格e ( s ) 。p ( g ，形，纱) = ( n ，g ) 眇xg ig - 1 a 纱 - ，p ( g ，彤，纱) 上的乘 法如下定义：( n ，9 ) ( 6 ，h ) = ( a + g b ，g h ) ，这里a + g b 表示a 和咖在偏序集纱 上的最大下界( 当它存在时) 。因为我们后面要考虑的是全序半格，它关 于强加的序还有v 和a 两种运算，为了避免于此混淆，我们使用了+ 来表 示上面提及的运算。我们还将用来表示集合彤上的偏序，而我们要考 虑的纱上的强加的偏序用来表示。由文献 4 4 】的定理5 9 2 和文献 6 0 的推论2 8 ，我们有下面的结论： 引理1 2 3 ( 6 0 推论2 8 ) 令g 是全序群，影是树，纱是彤的理想并 且是全序双树。若g 通过保序自同构方式对彤进行作用并且满足： ( 1 ) 万= g 纱； ( 2 ) 对于任意9 g ，9 n 纱0 ； ( 3 ) 若a ，b ，夕g 且夕n ，g b 纱则g a g b 当且仅当a b 则关于下面的字典序： ( a ，g ) ( b ，h ) 当且仅当g v ) 。 引理1 2 4 ( 2 5 】引理2 1 ) 令( ，a ，v ，o ，q ，e ) 是剩余格。则满足 下面恒等式： ( 1 ) x ( yvz ) x yvx z 和( yvz ) x y x vz x ( 2 ) x ( yaz ) ( x y ) a ( z z ) 和( yaz ) qx ( yqx ) a ( zqz ) ( 3 ) xq ( yvz ) ( zqy ) a ( zqz ) 和( yvz ) z ( y z ) a ( z z ) ( 4 ) ( zqy ) y z 和u ( u 。) x ( 5 ) z ( z ) x yqz 和( z ! ，) z z y x ( 6 ) ( zqy ) q z zqz y 和z ( y z ) y z z 7 第一章绪论 ( 7 ) x ( yqz ) ( x y ) 司z ( 8 ) xqe z e x ( 9 ) e xqz 和e z z 此外，若有最小元上，则有最大元t 且t = 上q 上= 上上。 对于a ，x ，我们称一元多项式p a ( x ) = ( a x x a ) a e 为a 导出的x 的左共轭。的子集其 称为正规的如果对于所有的u 和所有的x 贝，p u ( z ) ，h ( z ) 兵；贝称为 凸的如果对于任意z ，y 贝，【x ，y 】贝，其中【x ，y 】= u iz u 可) 。 对于任意z ，y ，我们定义k 。( z ，y ) = ( aax ) vy 。易知的子格王工是凸 的当且仅当对于任意a 和z ，y u ，k 口( z ，y ) u 。这意味着的任意凸 正规子代数关于a ，p 和k 是封闭的。此外，我们有 引理1 2 5 ( 3 3 】引理4 1 2 ) 令( ，a ，v ，o ，q ，e ) 是剩余格。 ( 1 ) c ( ) ( 的所有凸正规子代数组成的集合) 形成一个格。 ( 2 ) 设c o n ( ) 是的所有同余组成的格。则映射 p ：c ( ) 一c 0 ( ) ；兵ho a ：= ( n ，b ) l ( ( n 司6 ) e ) ( ( 6 口) e ) 贝) 是保序同构。 对于的子集贝，我们定义 饥( 兵) = n u 垦ii 工是的包含贝的凸正规子代数) 。特别地，如 果贝= s ) ，我们把c n ( 兄) 写成饥( s ) 。 ( 贝) = ( sa ( e 司8 ) a e 8 埘 r ( 贝) = a u lo 几：oa u 3o o 几2 。( s ) i 礼u ，u t ，8 贝) n ( 兵) = 8 1 8 2 8 nin u ，8 i 更) u e ) 引理1 2 6 ( 3 】定理3 6 )令贝是( ，a ，v ，o ，q ，e ) 的子集。则饥( 炅) = n i 对于某个z r ( 其) ，z a z e ) 。 8 西北大学博士学位论文 偏序幺半群( m ，o ，) 称为格序幺半群如果偏序集( m ，) 还是一个 格。此外，格序幺半群称为格序幂等元幺半群如果幺半群( m ，o ) 是带。 下面的引理在本文中有着重要的作用。 引理1 2 7 ( 2 】引理2 1 ) 令( m ，o ，) 是有单位元e 的格序幂等元幺半 群。a ，b m 。则 ( 1 ) aab a b a vb 。 ( 2 ) 若a ，b e ，则0 6 = 口vb 。 ( 3 ) 若a ，b e ，则a b = na b 。 ( 4 ) 若a e a b ，则a b = b 。 ( 5 ) 若口6 e a ，则a b = b 。 设( 币，) 是偏序集。假定z ，y 币和y z 。我们称z 覆盖秒如 果对于任意z 秘，y z z 意味着或者z = z 或者y = 名。z 覆盖可 记为y z 。对于a ，b 秘，a0b 表示n 和b 关于偏序不可比较。 令尸= 【z iz | l 口) 。 定义1 2 8 设( 币，) 是偏序集。b 被称为a 的下方点如果b a 并且 对于任意d q 3 且b d e , b e ，b e , b e 。因为是链，所以z 和e 可比较， 即，z e ，或z e 。若前者成立，则由( 1 ) 的证明可知，z = 6 ；类似地， 1 1 第_ 章幂等元剩余链 若z e ，则x = a 。因此d 最多有两个元。 ( 3 ) 令b d 口。那么据引理1 2 1 ，存在c 使得n c 矾n 。显然，c d d 。又据( 2 ) ，l d i 2 ，于是有或者c = a ，或者c = b ，对应的有或者配n ， 或者6 冗n 。因此，( d 口，o ) 或者是左零半群，或者是右零半群。 现在令( ，o ，) 是幂等元剩余链。因为的半群导出是含幺元的 带，所以由文献 4 4 】的5 2 节知，我们可以在上如下定义自然序n ：对 于a ，b ， a nb 当且仅当a b = b a = a ， 并且n 是的偏序关系。又由引理1 2 2 前而的论述知，d 是的半群导 出上的半格同余。也就是说，商半群( , c v ，) ，简写成, c v ，是半格。为了方 便，对于a ，我们也把半群d 中的元n d 5 写成d n 。我们在, c v 上如 下定义一个二元关系：对于a ，b ， d 口木d b 当月仅当d 口d b = d a 据文献 4 4 命题1 3 2 ，+ 是半格c v 的偏序关系。 命题2 1 2 ( 1 ) ( 口，+ ) 是有最大元d e 的链。 ( 2 ) 若a ，b 满足a e 和b e ，则a b 当且仅当a nb 当且仅 当d a + d b ( 3 ) 若a ，b 满足a2e 和b e ，则a b 当且仅当b na 当且仅 当d b 幸d 口 ( 4 ) 若a ，b 满足a e 和b e ，则a nb 当且仅当d 。 d b ( 5 ) 若a ，b 满足a e 和b e ，则b na 当且仅当d b + d n ( 6 ) 若a ，b 满足a e ，则a 和b 关于自然序n 不可比较 当且仅当d a = d b 证明 ( 1 ) 因为e 是单位元，易知d 。是( v 是关于+ ) 的最大元。由 引理1 2 7 知，对于所有a ，b ，a b = a 或a b = b 。这意味着优d b = d a 或d 口d b = d b 。于是d a d b 或d b + 仇。这就证明了( 1 ) 。 】2 西北大学博士学付论文 ( 2 ) 令n ，b 且有n e 和b e 。若n b ，则由引理1 2 7 ( 3 ) 知， o = a b = b a = ab ，于是n nb 。若n nb ，则o = a b = b a ，于是d a = d a b = d 凸d b 。因此d 口+ d b 。若优d b ，则d n = d a b = d 口d b ，于 是0 6 d 口。据引理1 2 7 ( 3 ) ，a b = 口八b e ，于是由命题2 1 1 ( 1 ) 知，我们 有曲= n 。于是n b 。 ( 3 ) 类似于( 2 ) 可证。 ( 4 ) 令n ，b 且有n e 和b e 。若口 nb ，则n = a b = b a ，于 是d e , = d 口6 = d a d b 。因此d o + d b 。假设d o = d b 。则或者o = a b ，b = 6 0 或者n = b a ，6 = a b ，于是n 和b 关于n 是不可比较的，这与n 竹b 相矛盾。因此仇 + d b 。反之，若d 口 幸d b ，则d o = d 曲= d d d 6 ，于 是a b d o 。假设a b e 。则由引理1 2 7 ( 4 ) 知，a b = b ，于是d b + d n ，这 与d a + d b 相矛盾。从而a b e 。再由引理1 2 7 ( 5 ) 知，a b = n 。类似可 证，b a = o 。因此n nb 。 ( 5 ) 类似于( 4 ) 可证。 ( 6 ) 令口，b 且有o e 。设。和b 关于5 n 不可比较。 若d 口d b ，则据( 1 ) ，仇 d b 或d b d 凸。于是由( 4 ) 和( 5 ) 知，口 n6 或b e ，则存在惟一的b 使得6 e 和d b + d 口，并且满足下面条件： ( r c ) 若d ( e v ，+ ) 且d b + d e 。 ( 2 ) 若b 且b e ，则存在惟一的口使得o e 和d b + d a ，并 且满足下面条件： ( r c 7 ) 若d ( 口，+ ) 且d b + d e 相矛盾。从而我们 有d b d a ，这意味着b e 。于是我们仅需考虑下面两种情况： 如果见覆盖d 6 ，那么b 满足条件( r c ) 。 如果d 6 不被d 。所覆盖，那么存在d ( , c v ，+ ) 使得d b d d a 。假设c d 满足c e 。据引理1 2 7 ，由c e 我们得 出b = b c = bac c 和a c = c e 。据后面的不等式，c a e = b ，这 与b c 相矛盾。这意味着b 满足条件( r e ) 。 情况2 若( d n ，) 右零半群，则类似于( 么，) 是左零半群的情况我们 可以证明b = eqa 是满足条件的元。目前为止我们已经证明了b 的存在 性。b 的惟一性是显然的。 ( 2 ) 类似于( 1 ) 的证明。 2 2 幂等元剩余链的结构定理 首先我们介绍一些概念。 令是一非空集合。设丌是的一个划分。那么有，若a ，存在惟 一一个a 7 r ，使得a a 。我们如下定义上的二元关系易：n 晶b 当且 仅当a 和b 属于同一个a 7 r 。令e 是上的一个等价关系。若a ， 我们令a = 6 jb e a 。我们用7 r e 表示 五ia ) 。由文献【4 3 】的0 3 节知晶是的等价关系，7 r e 是的一个划分，e 和7 r 之间的关系是互逆 的，意思是说7 r e , = 7 r 和晶e = e 。现在设 + ，一， e ) ) 是的一簇两两 互不相交的子集并且有= + u 一o e ) 。 定义2 2 1 上的一个划分 qlo l 粤) 称为的链划分如果满足 1 4 西北大学博士学何论文 ( 1 ) ( 固，+ ) 是有最大元1 的链；和 ( 2 ) 划分满足下面两个条件： ( c p l ) 1 = e ) ，这里我们规定e = a l = b l 。 ( c p 2 ) 对于任一q 固 1 ) ，i n + l 1 和i nn 一i 1 。我们 用a q 表示口n + 里的元，用6 q 表示qn 一里的元。 给定一个链划分 qiq 固) 。易知对于任意q 9 ，有i n i 2 。 在上如下定义序关系：对于a q ，b 口， a b 当且仅当或者满足条件( 0 1 ) ：q + 且a = b a ，或者满足 条件( 0 2 ) ：p a 且b = a 0 。 引理2 2 2 ( ，) 是偏序集且是链。 证明显然，满足自反性。下面证明满足反对称性。为此，我们 令a 口，b 口且有a b 和b a 。我们考虑下面四种情况： 如果a b 和b a 都满足条件( 0 1 ) ，那么我们有q + p ，a = 6 口 和卢+ q ，b = 幻，于是口= 。因此a = b 。 如果a b 满足条件( 0 1 ) 而b a 满足条件( 0 2 ) ，那么口+ p ， a = b q 和q + 卢，a = a q 。于是a n = b a 。因为+ n 一= 0 ，由( c p l ) 知口= 1 。注意到1 是固的最大元，q + p 导出q = p = 1 ，于 是a = b = e 。 如果a b 满足条件( 0 2 ) 而b a 满足条件( 0 1 ) ，那么类似于第二种 情况可证明a = b 。 如果a b 和b a 都满足条件( 0 2 ) ，那么我们有p + q ，b = a z 和q + 卢，a = a a 。于是q = p ，因此a = b 。 综上，由a b 和b a 可得出a = b 。因此满足反对称性。 最后，我们证明满足传递性。令a 口，b 勘和c q 并且满 足a b 和b c 。我们考虑下面四种情况： 】5 第章幂等元剩余链 如果a b 和b c 都满足条件( 0 1 ) ，那么q + p ，a = b 。和p 7 ， 如果a b 满足条件( 0 1 ) 而b c 满足条件( 0 2 ) ，那么q + p ，a = b a 和7 + p ，c = a 1 。若o l + 7 或7 + q ，则据的定义，a c 。因 如果a b 满足条件( 0 2 ) 而b c 满足条件( 0 1 ) ，那么p + q ，b = o 口 和p + 7 ，b = 妇，于是b = a z = b z 。因为+ n 一= 0 ，所以由( c p l ) 知卢= 1 。注意到1 是粤的最大元，p + o l 意味着q = p = 1 ，于 如果a b 和b c 都满足条件( 0 2 ) ，那么p + q ，b = a b 和7 + 卢， 综上可知a c ，从而满足传递性。因此( ，) 是偏序集。因为 如i 口羽) 是的链划分，所以( 固，+ ) 是有最大元1 的链，因此由的定义 定义2 2 3 设 口iq 固) 是链划分。固的一个子集笺称为划 分 ql 口彩) 的带子集如果对于任意q 笺有i n i = 2 。 令 qi 口穆) 是上的具有带子集芏的链划分。我们在上如下 定义乘法o ：对于a n ，b a ，a b ，幻， k o 妇= b m i n q ，卢) ； q a 。幻： 如果q 。p 或者口= p 置 i 知如果卢 + o l 或者q = p 芏； 。n a ： 口口如果q + p 或者q = p 譬毛 l 如如果p + q 或者q = p 芏 引理2 2 4 若 qiq 习) 是上的具有带子集笺的链划分， 则( ，o ) 是有单位元e 的带。 西北大学博士学何论文 证明显然，0 满足结合律。又由乘法定义知，对于任意o ， 有o oo = 口和eon = 口= ooe 。因此( ，0 ) 是有单位元e 的带。 此外我们可以证明 引理2 2 5 若7 r = aiq 黟) 是上的具有带子集戈的链划分， 则( ，o ，) 是全序带。此外，在这种情况下有晶= d 和7 r = 7 r d 。 证明 令n ，b 且n b 。我们只需证明对于任意c ，有n o c b o c 和c 0o cob 。令o 口，b 口，c - r 。设q + p 和口= 6 q 。我们需要 考虑下面的情况： 如果q + p 。，y 或q ，y + p ，那么由的定义知，n c 。由。 定义知，o0c = c0 口= o ，6 oc 6 ，