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三类非线性波的整体解及性质 基础数学专业 研究生刘诗焕指导教师赖绍永 本文讨论了三类非线性偏微分方程解的一些性质第二章研究了散射 b o u s s i n e s q 方程饥t a u t t z z 一2 6 毗z z + m u t = 一c 让z z + 仳一p 2 乱+ p ( 札2 ) $ 。的 初边值问题在古典空间中利用扰动方法，得到了这类方程整体解的适定性和形式 近似解的长时间渐近合理性 第三章讨论了半线性波动方程u t t 一“。z m u t t 。+ b u = e ，( 亡，z ，u ，) 的初值 问题在s o b o l e v 空间c ( 九，h 5 ( 冗) ) nc 1 ( 九，h s - - 1 ( r ) ) 中，运用b a n a c h 不动点 理论证明了解的存在唯一性，得到了这类半线性波动方程形式近似解的合理性 第四章研究了非线性电报方程u t t u + p u t + g 让兰y ( u ) 的初值问题在 s o b o l e v 空间c ( 【o ，o o ) ，h s + l ( 兄) ) nc 1 ( o ，0 0 ) ，h 5 ( r ) ) 中，得到了此问题整体 解的存在唯一性，部分回答了初始信号对发散波长时间稳定性的影响 关键词：电报方程；b o u s s i n e s q 方程；整体解；渐近性；扰动 第i 页，共2 9 页 t h ep r o p e r t i e so fg l o b a ls o l u t i o nf o rt h r e ek i n d so f n o n - l i n e a rw a v es y s t e m s m a j o r ：m a t h e m a t i c s a u t h o r ：s h i h u a n - l i u s u p e r v i s o r ：s h a o y o n g - l a i t h i s p a p e r d e a l sw i t hs o m ep r o p e r t i e so f s o l u t i o nt ot h r e et y p e s o f p a r t i a l d i f f e r e n t e q u a t i o n s i n c h a p t e r2 ，w ea i m a tt h e s t u d y o fi n i t i a l b o u n d a r yp r o b l e m f o rt h e s c a t t e r i n g b o u s s i n e s qe q u a t i o n 乱t t o 地t z $ 一2 b u z z + m u t =一c 地c z 霉$ + t 正一p 2 u + p ( u 2 ) z z t h ew e l l - p o s e d n e s so fg l o b a ls o l u t i o na n dt h el o n gt i m ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h ef o r m a l a p p r o x i m a t i o ns o l u t i o nt ot h i st y p ee q u a t i o ni sd i s c u s s e di nd e t a i li nac l a s s i c a l s p a c eb yu s i n gp e r t u r b a t i o nm e t h o d i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mo ft h es e m i l i n e a r w a v ee q u t i o nu t t 一z m 毗z + b u = e f ( t ，z ，u ，) i nas o b o l e vs p a c e c ( 九，h 3 ( r ) ) nc 1 ( 九，h ”1 ( 兄) ) ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h es o l u t i o nb yt h em e a n so ft h eb a n a c hf i x e d - p o i n tt h e o r ya n dg e tt h ef o r m a l a p p r o x i m a t i o ns o l u t i o no fi t i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mo ft h es e m i l i n e a r t e l e g r a p he q u a t i o nu 一仳z z + p u + q u = f ( i t ) t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e - h e s so fg l o b a ls o l u t i o no ft h eq u e s t i o na r ee s t a b l i s h e di nas o b o l e vs p a c e c ( o ，o o ) ，h 5 + 1 ( r ) ) nc 1 ( 【o ，) ，h 5 ( r ) ) w ec o n f i r mt h ef a c tt h a tt h el o n g t i m es t a b i l i t yo ft h ee m i s s i o nw a v ei sp a r t l yi n f l u e n c e db yt h ei n i t i a li n p u ts i g n a l k e yw o r d s ：t e l e g r a p he q u a t i o n ；b o u s s i n e s qe q u a t i o n ；g l o b a ls o l u t i o n ； a s y m p t o t i cp r o p e r w ；p e r t u r b a t i o n 第i i 页，共2 9 页 奠 9 2 8 2 3 5 四川师范大学学位论文独创性及使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师盘丝l 苤指导下，独立进行 玎究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任伺其他 卜人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个 k 和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 ；i 起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 芎学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷 疲和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 佥索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文 乍为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名 别吩吹 玩f 年年月 r 第一章前言 1 1 研究背景 自然界中存在着各种各样的非线性现象这些现象包括散射，非线性波的相 互干扰，漩流伸延，无线电波的传播，孤立子波，非线性水波的振荡，海岸低频率 波浪等( 见f 1 1 0 】) 为了能够部分或完全明白这些非线性现象，用实验方法去探讨 这些问题和研究它们的动力性质是很不经济的因此众多科学家使用理论的方 法去研究一些非线性现象，并且在某些领域取得了比较好的理论进展基于此目 的，本文从理论上研究了三种非线性波在一定受控初值或初边值条件下的一些 动力性质 文【3 】【1 5 】中，研究了不可压缩，无旋水波的自由边界问题，假定水平速度 沿水深均匀分布，垂向速度从底部由零线性增加到自由表面的最大值，建立了小 扰动展开理论，推导出了一维的非线性水波控制方程，提出了描述浅水波的两种 基本模型 乱t t t k 。一乱。= 3 ( u 2 ) z ，( 1 - 1 ) 让t t u 。一让船t = 3 ( u 2 ) 。，( 1 2 ) 并证明了这两个方程具有孤立波解，对孤立波给出了科学的解释z a k h a r o vve 在研究非线性弦振动时又得到了b o u s s i n e s q 方程的另一种形式 u “一u x 。+ 钍。= ( , 1 5 2 ) 。( 1 - 3 ) ( 1 1 ) ( 1 3 ) 是如下方程的特殊形式 u u 一乱z z = a u 。+ 6 ( 札2 ) 。，( 1 - 4 ) 其中a ，b 为实数且a 0 当a 0 时，( 1 4 ) 式称为“坏”b o u s s i n e s q 方程对于 第1 页，共2 9 页 第一章前言 “坏”b o u s s i n e s q 方程，以往人们只找到了它的孤立子解，至今对它的研究还 很不成熟文f 1 3 用逆散射理论的技巧讨论了特殊的“坏”b o u s s i n e s q 方程 u 扰一u z z = 3 。z z 一1 2 ( u 。) z z ( 1 - 5 ) 初值问题整体解的存在性与不存在性b o u s s i n e s q 方程可用来刻划近岸波浪动 力学中的一些非线性现象，如港口航道波浪模拟，波浪在岸滩上的爬高，泥沙运 动与岸滩演变，湖泊中的静振，浅滩上的波浪破碎等事实上b o u s s i n e s q 方程也 可用来描述等离子体中粒子声波的传播 在自然界中普遍存在着随时间演化和空间传播的振荡现象，即波动现象 1 7 4 7 年，d a l e m b e r t 首先推导出描述弦微小横振动的一维波动方程，从此波动 方程就用来研究众多的波动现象如弹性杆的微小纵振动，薄膜的振动，浅水面 上波的传播，弹性体的微小振动，声学中弹性波散射和超声波的研究，工程力学 中动态应力集中问题的研究，电磁学中的无线移动数据通讯，光学中微波光子晶 体的实验研究，地球物理学中多元介质中地震波传播问题的研究等都用到波动 方程f 见 1 7 - 2 6 ) 多年来，尽管世界上许多科学家在非线性波的研究方面取得了很多成果， 但还有许多问题有待进一步解决，这正是非线性波研究的生命力所在 1 2 研究内容 在第二章中我们研究如下非线性阻尼b o u s s i n e s q 系统 i 乱t t a u t t z z 一2 b u t z z + m t 正t = - - c u x x 茁z + 乱z z 一矿让+ p ( 让2 ) z z ， 以0 ，刮_ 。) - 0 ， 给0 i ( 1 - 6 )、， l 也。( o ，) = 钍z 。( 丌，t ) = 0 ，t 0 ， l 札( z ，0 ) = e 2 妒( z ) ， u t ( z ，0 ) = e 2 妒( z ) ，z ( 0 ，7 r ) 这里a ，b ，c ，m 0 ，p 0 且都为常数，卢r 1 ，是小参数在古典空间中，得 到了此系统整体解的适定性和形式解的长时间渐近性。 第2 页，共2 9 页毕业论文 第一章前言 第三章在s o b o l e v 空间c ( 九，h 3 ( 兄) ) nc 1 ( 九，h 8 1 ( r ) ) 中讨论了如下半 线性波系统 m 魄缸。+ 6 乱= e ，( t ，z ，牡，e ) ，z r ，t 0 ， 妒( z ，e ) ，z r ， 妒( z ，) ，z r ， ( 1 7 ) 其中m ，b 为常数且m 0 ，b 0 ，参数e 满足0 0 ，4 q p 2 0 ，( 牡) 是心的一个 m 次多项式，m 1 且为正整数，为充分小的正参数在初值很小时我们得到 了此电报方程整体解的存在唯一性 1 3 研究方法 本文我们使用了扰动法，确切地说我们假定解具有形式u ( 。，z ) = 一u t ( z ，t ) 然后把它代入方程，根据方程两端e 的同次幂相等而得到关于 i = 0 u i ( z ，t ) ( i = 0 ，1 ，2 ，) 的方程，然后去求出u i ( x ，t ) ( i = 0 ，1 ，2 ，) 另外 本文还使用了f o u r i e r 变换和不动点理论去证明所讨论系统解的存在唯一性 第3 页，共2 9 页 毕业论文 z、，、1，j 0 一 咖 一 l o 托什=，从 “毗 ，-lj(1ii一一 第二章一类阻尼b o u s s i n e s q 方程初边值问题的整体解 2 1引言 自1 8 7 2 年b o u s s i n e s q ( 3 1 推导出描述浅水中小振幅长波传播的b o u s s i n e s q 方 程以来，各种类型的b o u s s i n e s q 方程就成为众多学者关注的对象，如文【4 】一 17 】 古典b o u s s i n e s q 方程可描述为 t t t = 一q u 。+ u 。+ p ( u 2 ) 。( 2 - 1 ) 这里u ( x ，t ) 为流体自由表面的运动，常数口，p 0 依赖于流体的深度和长波 的特征速度b o n a 和s a c h s 6 1 研究了下述b o u s s i n e s q 方程 u t t = 一t k 。+ t k 。+ ( ，( u ) ) 霉霉( 2 - 2 ) c a u c h y 问题的适定性，证明了方程( 2 - 2 ) 的特殊孤立子解在一定传播速度范围 内是非线性稳定的v a r l a m o v 【9 】研究了如下阻尼b o u s s i n e s q 方程 t 上比一2 6 缸t 。= 一o l u x x 。+ u 霉。十卢( 缸2 ) 。( 2 - 3 ) 文 9 】构造了方程( 2 - 3 ) 初边值问题的古典解，得到了解的长时问渐近形式文 【17 】中作者研究了更一般的阻尼b o u s s i n e s q 方程 u t t a u t t $ z 一2 b u t x x = 一伽。+ t k 。+ ( u 2 ) 。 ( 2 - 4 ) 用f o u r i e r 级数形式构造了方程( 2 - 4 ) 初边值问题的古典解，得到了解的适定性 和长时间渐近行为 本章研究如下阻尼b o u s s i n e s q 方程 u t t a u t t 一2 b u 黜+ m u t = 一c u z z z 霉+ z p 2 u + p ( u 2 ) ( 2 - 5 ) 得到了方程( 2 5 ) 初边值问题整体解的存在唯一性和解按指数衰减的长时间渐 近性本章在文 17 】的基础上对方程进行了推广，主要证明的技巧是以文 1 6 】为 基础，但证明唯一性的方法不同于文【1 6 1 第4 页，共2 9 页 第二章一类阻尼b o u s s i n e s q 方程初边值问题的整体解 2 2 主要结果 考虑如下阻尼b o u s s i n e s q 方程初边值问题 it 正扰一a u t ：一2 + m u , = 一c 札z 搬+ 牡z z 一矿牡+ ( u 2 ) z z ， j 牡( o ，t ) = 乱( 7 r ，t ) = 0 ，t 0 ， l 仳z 。( o ，t ) = u x = ( 7 ，t ) = 0 ，t 0 ， lu ( z ，0 ) = 2 妒( z ) ， 地( z ，0 ) = 2 妒( z ) ，z ( 0 ，7 r ) ， 这里a ，b ，c ，m 0 ，p 0 且都为常数，r 1 ，e 是小参数 ( 2 - 6 ) 定义2 2 1 ：函数孔( z ) 俨“( o ，7 r ) ，礼1 ，是指u ( o ) = u 何) = u ( o ) = 包，( 7 r ) = = “( 2 n 一2 ( o ) = 钆( 2 “一2 ) ( 7 r ) = 0 且缸( 2 n ) ( z ) 三2 ( o ，丌) 定义2 2 2 ：函数u ( x ，t ) 【0 ，丌】x 【0 ，+ 。o ) ，问题( 2 - 6 ) 中出现的连续偏导数 存在且u ( x ，t ) 满足问题( 2 6 ) ，则称u ( x ，t ) 是问题( 2 - 6 ) 的古典解 定理2 2 1 ：如果n ，b ，c 0 ，o + c b 2 ，0 0 ，当 0 e o 时，问题( 2 - 6 ) 存在唯一的古典解，且 让( z ，t ) = e + 1 让川( z ，艺) ， ( 2 7 ) 其中函数缸( ) ( z ，t ) 由( 2 - 2 4 ) 式定义( 见以下证明中) 当z 【o ，7 r 】，0 ，e 【0 ，印】时，此级数和它在问题( 2 - 6 ) 中出现的各阶偏导数一致收敛且 出一 _ 紫 c a c o s a t + b s i n a t ) s i n x + o ( e x p 一紫】) ， ( 2 - 8 ) 其中 、o c + ( 口+ c b 2 ) 4 - ( 1 + 妒一6 m ) + p 2 一竽 盯2 订i 一， 0 b 2 ，0 0 ，n 0 这里及本章下文中的c 表示与n ，扎，e ，t 无关的任 意常数 下面用数学归纳法来证( 2 - 2 0 ) 式当n = 0 时，由( 2 1 4 ) 及( 2 1 8 ) 式知 i 哿( t ) l e x p 一( b l n 2 + + n n 孑。) t j l ( 1 + ( 1 梳+ 2 a + n 2 娶) a , ，、i m 。i + 1 i 皿。1 n - 6 e x p ( b l n 2 + + n n 詈：) t j l ( 2 _ 2 1 ) 当0 s n 一1 时，假设器( t ) 满足( 2 - 2 0 ) 式，下证s = 时( 2 - 2 0 ) 式也成 立由文【16 】知，对任意n 1 ，g 1 ，g 礼的两整数有 i 佗一9 l _ 6 9 一6 2 6 几一6 【9 6 + i 礼一9 i _ 6 】， j 一2 ( + 1 一j ) 一2 2 2 ( + 1 ) 一2 b 一2 + ( n + 1 一歹) 一2 】 由( 2 1 9 ) 式得 陟( t ) i s n ( n , t ) l ：i一茄高o 。唧 _ 警 d 丁 c e x p 一( b l n 2 + + n n 罟。) t 1z e x p 一糌 打 c e x p 卜( b l n 2 + + n 州詈) t 1 第8 页，共2 9 页 ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) 毕业论文 酗 h 脚 znn殴 脚 勉= 一 9 一n+ 一 g l， 6一 n 2 1 + 幻 仡 。荸 却 一 + 一 一 l+ n 一 c 一 芦 引：劣一篇黧i s ) ：1 9 ) 慧) 来表示( 2 - 1 1 ) 和( 2 - 1 0 试并交换级数求 用掣( 由( 2 ( 2 一 式定义) 来表不 利风x 职锻默1 和顺序，即“州) ：2 i 尹 n ( t ) s i n 彻：2 i 壹 妻+ 酗( u ( 州) 划 n ( 归彻= 2 名 l 飞婶 这里 ( 2 2 4 ) 因为此级数存z f o 7 r 】，t o ，e 【0 n = l - - - - l ， 。】上绝对且一致收敛，所以，交换求和 脯雄埘和攀式! ：。篙：当5 鬻翥匀 劈黝：壹吐( 州蛆1 + a n 2 、。唧 等学 州1 = 0 一t c o s c 训+ 黼掣卜掣皿n ) 砷掣( t ) 8 静 习厕 凡( n , t - r ) q ( 窜( 丁) ) d r + 凤( r t , t ) ， j 0 纛：洳叫。b n 2 + 卦，te x p 一磐弦s i n 学 ， q f 蛰，( 下写。由( 2 _ 1 9 ) 式定义，吐为二项式系数，凰( 孔可从( 2 - 1 9 ) 式求微分 衍o r 1 ( n ，t m 0 蛳t 卜羔q n ( 酗) 1 ( n ，) 亍，r 2 ( n ，) 2 一斋q n l 乞并。l u 当叫，巩洲，l 2 雌用r 9 群驾荨可推出 。陶：) l _ c ) 矿q b - - f i 6 唧( 2 - 1 【譬警 ( 2 - 2 5 ) 由( 2 2 5 ) 式知级数( 2 - 2 4 ) 。式收敛且( 2 - 2 4 ) 是问题( 2 - 6 ) 的古典解 第9 页，共2 9 页 毕业论文 z u + e 脚 = 2 4 解的唯一性证明 第二章一类阻尼b o u s s i n e s q 方程初边值问题的整体解 假设问题( 2 - 6 ) 存在两个古典解乱( 1 ) ( z ，t ) 和让( 2 ( z ，) ，对它们在( 一7 r ，0 】上 作奇延拓，注意到它们都属于l 2 ( 一7 r ，7 r ) 空间，根据定义( 2 2 2 ) ，对固定的t 0 有 m a x i u ( 1 ( z ，z ) i x e - - ”，】 、。一 g ， m a x i 让( 2 ( z ，t ) i g ， x e - - l r ，丌】 、。“ 这里g 是与t 有关的常数令u ( z ，t ) = u ( 1 ) ( z ，t ) 一仳( 2 ( z ，t ) ，对w ( x ，t ) 作偶延 拓至区间( 一3 7 r ，一7 r ) ，( 7 r ，3 7 r ) ，( 3 丌，5 7 r ) ，由问题( 2 - 6 ) 知 则有 其中 d t 2 一毗t z z 一2 6 u 船+ m “九= 一o w z z + u z z p 2 w + p p ( z ，t ) c u c l ( z ，t ) + u ( 2 ( z ，z ) ) 】。z ， u ( z ，0 ) = w t ( x ，t ) = 0 在( 一，o o ) k 1 - l 对u ( z ，) 作f o u r i e r 变换，即 0 ( ，t )= 仁o oe 砘讹牡 ( 1 + 2 ) 扩( ，) + ( 2 蜒2 + 虿m ) u a 7 ( f ，t ) + ( 4 + 2 + 矿) 岔( ，t ) 一朕2 氕，) ，( 2 2 6 ) ( z ，t ) = u ( z ，t ) ( u 1 ( z ，t ) + u mx ，t ) ) 由( 2 - 2 6 ) 式得 础卜者为 这里 所以 吒2 厂o j o 唧氅罢 s i i l 1 + o n 2 j ( 吒 一丁) ) 氕，丁) ， d ( ，z ) i c 厂2e x p j o 1 + 2 ( b n 2 + 罟) ( 一7 ) 1 + a n 2 j 第1 0 页，共2 9 页 笊，丁) l i ( 2 2 7 ) 毕业论文 第二章一类阻尼b o u s s i n e s q 方程初边值问题的整体解 c z 2 唧 _ 坐 掣 叫5 o i 永川1 2 叫5 叫。瞰r ) 1 2 币( 2 - 2 8 ) 由( 2 - 2 8 ) 式及p a r s e v a l 等式得 k ，t ) 1 2 埏 li f o 。r cl l j 一j o 氕，丁) i 2 d 丁必 c 翩肺州：打 c 2i f u ( z ，丁) ( 让c l ，( z ，丁) + 札c 2 ，( z ，丁) ) | i 三。d 丁 c o g l l 巾吧打 由g r o w a l l 不等式知在l 2 中u ( z ，t ) = 0 ，即让( 1 ( z ，t ) 三仳( 2 ( z ，t ) 2 5 长时间渐近性分析 余项 其中 为研究构造解的长时间行为，我们先确定主项雹，( t ) 的渐近估计，然后估计 因爸。( t ) = o o + a ( ) ，把它代入积分方程( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 式得 n = 0 藓。( z ) = e x p 一垡 ；芋 【a ( 。) c 。s ( 盯t ) + b ( 。) s i n ( 以) ，( 2 - 2 9 ) 辄) = 唧 - 紫 a ( ) + 桦训c 。s ( 州+ b ( ) + r 妒( ) s i i l ( 叫) ，( 2 - 3 0 ) a ( o ) = a ， 胪，= 昙( 篙a + 磊) ， 盯2 a ( ) ： 1 + a 鼎z 唧 訾m 州洲氓 第1 1 页，共2 9 页 毕业论文 厂，一 z他n5弓 硫 脚 ，：一禹z 唧 訾 c o s 风机 即：禹。0e x p 譬 s 酬洲妣 r ：一鼎唧 訾一州洲抚 。( t ) = 搿( ) 酽刊( t ) ，n 1 这里函数磐( ) ，歹：0 ，1 ，一1 由( 2 - 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 式定义当佗 l ，1 ，运用文【1 6 】中相似的方法，结合( 2 - 1 4 ) 和( 2 - 1 s ) 式可得存在一个正 郯簖1 罱唧 掣”i 、 c e x p 警旧1 ， 忡t ) 卜唧 等 ，柳功 p 等半卜3 1 ) 甏；= 置有螋 a c o s ( a t ) + bs i n ( a t ) l + a a + 0 ( 。e x p 一学 ) ，2 i 砬。( z ) ：唧f 一 - 警j ) ， a ：2 i 曼e + l a ( 1 ， b = 2 i 妻e n + z b ( 1 ， 汶单4 ( ) b ( ) 由f 嚣和() 式定义，上述n = 级0 2 - 2 9 2 - 3 0数对e 【0 5 0 】是绝对且一 汶单4 ( m b ( ) 由f) 和() 式定义，上述级数对e 忆j 楚弛凋且一 致收敛的 又因 利用( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) 式推出 钍( z ，t ) = 2 i 砬1 ( t ) + r l ( z ，t ) ， t ) i 唧 尘裟掣1 c n e n - f 1 ( n + i ) - 2 n 邱 。n = 0 n - - - 2 ( 2 3 2 ) ce x p 【尘拦 ( 2 - 3 3 ) ：x 而, t ) = e x pf 一紫 f ( c o s a t + b sinat)sinx+0(exp坐f干和-k、,a) u ( 一紫 f ( 坐埘抑1 ) j ， 其中0 0 ，参数- c 满足0 ；时，存在不依赖于e 的正常数m 使得i l u l b , m ，则 称u ( z ，x ，e ) c ( j l ，h 5 ( r ) ) ac 1 ( 九，h 5 - 1 ( r ) ) 令 b ( r o ) = u ：i l u l l j , 3 伽( 睢+ i i 妒1 1 。一) ， 常数礼。的定义见后 条件( a ) ：( z ，e ) 1 1 - ，( r ) ，i l 妒( z ，e ) i f 伊一( r ) 关于参数【一e 0 ，e 0 】连续； 条件( b ) ：，( ，z ，u ，e ) 关于t ，z ，u 一次连续可微且 i i ( t ，z ，u ，e ) i i h ，( r ) m ll i ? 2 1 1 ，, ， i l ( t ，z ，u ，e ) 一i ( t ，z ，u ，e ) i i h s ( 冗) i l u u l i 九， 这里尬， 0 且不依赖于 定理3 2 1 ：设s ；，0 h e 0 1 ，若妒( z ，e ) ，妒( z ，e ) ，f ( t ，z ，u ，) 满足条件( a ) ，( b ) 则问题( 3 - 1 ) 存在唯一解u ( t ，z ，e ) c ( j l ，h 5 ( r ) ) ac 1 ( 屯，h 3 - 1 ( r ) ) ，且i i u | i j l ( 忆+ 1 1 矽1 1 。一) ，其中不 依赖于 第1 4 页，共2 9 页 毕业论文 第三章一类半线性波系统的渐近理论 证明令k = 器一器一m 舞象+ b ，假设牡+ 满足 fk u 0 ， t 正+ ( 0 t 正；( 0 妒( z ，) ， 妒( z ，e ) 由文【2 7 】知k 存在前向基本解e ，令f u = u + e ( c f ( t ，z ，u ，) ) ，由s o b o l e v 定理知对( t ，z ) 有b ( 岛) c 伊( 屯冗) 所以我们只需证明： ( i ) ：l i g u f o i i 九丢0 也一u 0 九，vu ，u b ( r o ) ， ( i i ) ：f ( b ( r o ) ) cb ( r o ) 令 ( ) = 、器，由文【2 8 】知 菇和) _ c o s ( 蚓腻卅喘笋讯 + 2 兰垫铲氕丁，f ，“，e ) d r ( 3 - 2 ) 由条件( b ) 知 广弋 i l f u 一儿j l 九2 m a x i r a + 言，1 l m u i u u i i j l ， 取常数n o m a x v m + ，1 ) ，选取l 充分小使2 n o l m 2 互1 则( j ) 成立 又如果u b ( ) 则 l i f u l l 儿2 孔o ( i j 妒肌4 - l i 妒1 1 。一1 ) + 2 n o l m l | j u lj 九， 选取l 充分小使2 n o l m x j 1 ，得到i i f u l l 九 1 ，只要选取l 充分小可得一圳九= o ( i e i ”1 ) 于是得以下定理 定理3 3 1 ：假设 1 ，形式近似解v ( t ，z ，g - ) 满足问题( 3 - 3 ) ，妒，矽，f 满足条 件( a ) 和( b ) ，r 1 ，r 2 ，r 3 满足( a 1 ) 和( b 1 ) 则形式渐近解u ( ，z ，) 是问题p 1 ) 解的渐近近似解( _ o ) ，且 i f u u | l 九= o ( 1 e l n 一1 ) ，z r ，0 t l l e i 一1 ，( 孓7 ) 这里正数三充分小且不依赖于e 3 4 应用举例 本节应用定理3 2 1 和定理3 3 1 来讨论如下问题 i 啦一让z z u t t 黜+ 乱= e 让2 ， z r ，t 0 ， 扎( o ，z ，e ) = 夕( z ) ， z r ， ( 3 - 8 ) lu ( o ，z ，e ) = p ( z ) ， z r ， 其中g ( x ) h 8 ( r 1 ) ，p ( x ) h ”1 ( r 1 ) ，s ；设9 ( z ) ，p ( x ) 充分光滑，使得条 件( a ) ，( b ) ，( a ，) ，( b 1 ) 能够成立 运用扰动方法，设 u ( t ，z ，) = u o ( t ，z ) + e u l ( t ，z ) + e 2 u 2 ( t ，z ) + ( 3 - 9 ) 把( 3 - 9 ) 代入( 3 - 8 ) ，由e 的同次幂相等得 f u o f t - - u o x x - - n o 淞。+ 咖= o ， a 0 ( o ，z ，) = g ( x ，e ) ， ( 3 - 1 0 ) l 她( o ，z ，) = p ( x ，e ) i u l 托一u l z z u l 托z z + u l = u 3 ， u l ( o ，z ，) = 0 ， ( 3 - 1 1 ) iu l t ( o ，z ，e ) = 0 由( 3 - 1 0 ) 和( 3 - - 1 1 ) 得 谝( ，) = 爹( ) c o s ( t ) + 烈) s i n ( t ) ， 第1 7 页，共2 9 页毕业论文 第三章一类半线性波系统的渐近理论 面( z ，) 二r bz 。s i n ( 一下) 瑶( r ，) 打 即 让以= 忑1e 郇煳一武，( 3 - 1 2 ) 毗垆去e 郇煳吨( 3 - 1 3 ) 记 面( t ，z ，) = u o ( t ，z ) + e 乱1 ( t ，z ) ( 3 - 1 4 ) 下面证明在定理3 3 1 的意义下西( ，z ，e ) 满足问题( 3 - 8 ) 由( 3 - 1 4 ) 式及( 3 - 1 0 ) ，( 3 - 11 ) 式得 一 u t t 一u x x 一面瓦= + j c i e _ 2 = ( u o t t t 幻z z 一牡o t t z + u o ) + e ( u l t t u l z z u l t t z z + u l u ：) 一e 2 ( 2 u o u l + e 让；) 一10 + 0 一2 ( 2 u o u l + 缸；) = 一e 2 ( 2 u o u l + 牡；) = 一e 2 ( 百( ，z ) ) 因为夕( z ) ，p ( x ) 充分光滑，所以i | e ( h 百) | | 九一致有界，则由定理3 3 1 知 面( t ，z ，) 是问题( 3 - 8 ) 的解u ( t ，z ，e ) 的e 渐近解，即 i i u 一面0 j 上= d ( i e i ) ，z r ，0 t l i e i 一1 又由 i l u u o l l 九l i 让一面i i j l + i i 西一u o i i 九 = l | u 一西i i j l + e i i u i i j l = d ( h ) 得到咖( ，z ) ，西( ，z ) 都是问题( 孓8 ) 的渐近近似解 第1 8 页，共2 9 页 毕业论文 第四章一类电报方程小初值问题的整体解 4 1 准备知识 s ek i mw 血f 2 】研究了下列电报方程